Einstein material balance and modeling of the flow of compressible fluid near the boundary

Full Text

1. Предисловие Радиус блока скважины Писмана [7, 13-17] рутинно используется инженерами, моделирующими процесс добычи для интерпретации расчетных данных на блоке B0, который содержит скважину. Целью является сравнение численного значения функции давления, полученного на расчетном блоке B0, с фактическим значением давления на скважине. При этом суммарный дебит скважины считается заданным. В приложениях считается, что радиус Писмана не зависит от радиуса скважины, а определяется размером блока B0, и задача стационарна. Условия применимости такого подхода, к сожалению, не обоснованы математически строго, и поэтому формулу Писмана трудно обобщать даже для установившихся течений. Подробный обзор основных принципов для построения писмановского радиуса для линейных и нелинейных стационарных течений в пористых средах представлен в статье, принятой к публикации в журнале «Applied and Computational Mathematics» (vol. 23, № 1, 2024) и опубликован в 2022 г. в работе [11] (см. также [4]). Здесь мы хотим отметить следующее: насколько нам известно, понятие эквивалентного радиуса было введено в первые в России (см. [1, 3]), но соответствующие работы не были переведены, а потому не цитируются в современной западной литературе. В основе идеи радиуса блока скважины Писмана лежит уравнение материального баланса, которое позволяет «сшить» аналитическое решение с численным (дискретным), а также интерпретировать результат расчета значения давления в блоке, содержащем скважину. Обычно в блоках, не содержащих скважину, численное решение мало отличается от фактического при малых размерах блока и для строго эллиптических задач. В настоящей статье мы рассматриваем этот вопрос для нестационарных задач двух типов: 1. с заданным дебитом скважины; 2. заданным давлением на скважине в условиях непротекания на границе дренирования. Рассматриваемый подход является общим с математической точки зрения, а потому применим к задачам разного происхождения. В этом разделе мы опишем парадигму материального баланса как систему алгебраических уравнений и укажем предполагаемое применение этого подхода для нашей задачи фильтрации в пористых средах. Чтобы представить систему уравнений материального баланса, сначала рассмотрим следующий набор зависимых переменных: P = p±r0,0(s); p0,±r0 (s); p±1,0(s); p0,±1(s); q±(s); q±(s) . (1.1) x y Предположим, что входные параметры алгебраической модели постоянны: K = K±; K± и Q = Q±; Q± . (1.2) x y x y Как уже отмечалось, мы рассматриваем задачу о течении жидкости к скважине в пористой среде. А именно, рассмотрим диффузионный процесс в области, содержащей центр 0: U × 0. Предположим, что диффузионный процесс инициирован источником (стоком), расположенным N в центре 0. Пусть UN = ), Bi - численная сетка, аппроксимирующая U, такая, что UN ⊃ B0 × 0 i=1 и квадратные блоки Bi имеют характерный размер Δ (см. рис. 1). Главное предположение о параметрах заключается в том, что процесс течения жидкости в среде несравненно быстрее, чем изменения в жидкости и в пористой среде, потому изменениями в K и Q пренебрегают. Предположим, что проводимость по отношению к течению, генерируемому источником, в интересующих нас блоках не зависит от Δ. a Пусть набор P содержит параметры, определенные только в центре B0 = B0,0 (область значений параметров p±r0,0(s), p0,±r0 (s),... находится в B0) и ближайших четырех блоках Bi,J (области значений параметров p±r0,0(s), p0,±r0 (s) находятся в B±1,0, B0,±1.). Рассмотрим фильтрацию, описываемую уравнением материального баланса, как алгебраическое уравнение относительно неизвестной переменной pa,b(s), зависящей от параметра s и входной переменной qb (s), которая также зависит от параметра s. Параметр s моделирует время. Система также характеризуется параметром τ, который связан с изменением свойств переменных p на интервале времени [s, s + τ ] . Этот параметр τ в некотором смысле связывает наше уравнение материального баланса (алгебраическое) с уравнением баланса Эйнштейна (см. [8, 10]). МАТЕРИАЛЬНЫЙ БАЛАНС ЭЙНШТЕЙНА И МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 645 Рис. 1. Дискретная сетка. Блоки расположены в тех же областях, что и pi,j ; pi,i ассоциируется с B0, UN аппроксимирует область U . Fig. 1. Discrete grid. Blocks are located in the same areas as pi,j ; pi,i is associated with B0, UN approximates the area U . В статье τ фиксировано и предполагается очень маленьким. Замечание 1.1. Обратим внимание, что уравнение материального баланса Эйнштейна естественно является детерминированным, но с коэффициентом, зависящим от плотности вероятности и интервала τ. Поэтому мы считаем, что подход Эйнштейна можно распространить на случайные процессы, определенные на стохастической сетке. Мы оставим этот вопрос для дальнейших исследований. Зависимые переменные из множества P по отношению к независимым (заданным) параметрам K, Q, и τ удовлетворяют системе алгебраических уравнений: τK- (p-r ,0(s) - p-1,0(s)) = τq-(s)+ Q- (p-r ,0(s + τ ) - p-r ,0(s)) , (1.3) x 0 x x 0 0 τK+ (pr ,0(s) - p1,0(s)) = τq+(s)+ Q+ (p (s + τ ) - p (s)) , (1.4) x 0 x x -r0,0 -r0 ,0 y 0 (s) - p (s)) = τq-(s)+ Q- (p-r0,0(s + τ ) - p-r0,0(s)) , (1.5) τK+ (p0,r (s) - p0,1(s)) = τq+(s)+ Q+ (p0,r (s + τ ) - p0,r (s)) . (1.6) y 0 Введем обозначения: y y 0 0 qx(s) = q-(s)+ q+(s), qy (s) = q-(s)+ q+(s), Qx = Q- + Q+Qy = Q- + Q+, (1.7) x x y y x x y y q(s) = qx(s)+ qy (s), Q = Qx + Qy. (1.8) Введем базовые предположения с целью получения аналитических явных решений. Пусть имеет место симметрия относительно «+» и «-», определяемая следующим образом. Определение 1.1. Структурная симметрия относительно «+» и «-». 1. Коэффициенты K: K- + - + 2. Параметры q: x = Kx = Kx, Ky = Ky = Ky. (1.9) q- + qx(s) + qy (s) 3. Коэффициенты Q: x (s) = qx (s) = y , q-(s) = qy 2 (s) = . (1.10) 2 Q- + Qx - + Qy x = Qx = 4. Переменные p по первому индексу: , Qy = Qy = 2 x . (1.11) 2 x p-r0,0(s) = pr0 ,0(s) = pr0 (s), p-1,0(s) = p1,0(s) = p1 (s). (1.12) 646 A. ИБРАГИМОВ и др. 5. Переменные p по второму индексу: y y p0,-r0 (s) = p0,r0 (s) = pr0 (s), p0,-1(s) = p0,1(s) = p1(s). (1.13) Из вышеприведенных предположений о симметрии из уравнений (1.3)-(1.6) после небольших модификаций следует τ · 2 · Kx (px (s) - px(s)) = τqx(s)+ Qx · 2 · (px (s + τ ) - px (s)) , (1.14) r0 1 r0 r0 τ · 2 · Ky (py (s) - py (s)) = τqy (s)+ Qy · 2 · (py (s + τ ) - py (s)) . (1.15) r0 1 r0 r0 Предположим, что (py (s)-py (s) = 0 (py (s + τ ) - py (s)) и qy (s) = 0. Это условие представляет r0 1 r0 r0 собой прототип 1-мерного уравнения материального баланса, которое примет в случае симметрии в направлении x следующий вид: τ · 2 · Kx (px (s) - px(s)) = τqx(s)+ Qx · 2 · (px (s + τ ) - px (s)) . (1.16) r0 1 r0 r0 В 2-мерном случае как прототип для радиально-симметричного течения в уравнении материx y ального баланса мы положим pr0 = pr0 = pr0 ,... , а для изотропного течения положим: Kx = Ky, q(s) = qx(s)+ qy (s) и Q(s) = Qx(s)+ Qy (s). Соответствующее уравнение примет вид: i τ · 4 · K (pr0 (s) - p1(s)) = τq(s)+ Q(s) · 4 · (pr0 (s + τ ) - pr0 (s)) . (1.17) B динамической постановке искомые алгебраические переменные px,y,..., i = 0, 1, 2,... , зависят также от параметра s (прототип времени), и это достаточно общее обстоятельство для структур в алгебраической геометрии. Замечание 1.2. Структура алгебраических зависимостей абстрактна, хотя в этой статье мы применяем эту конструкцию к задачам подземной гидромеханики. В этом смысле мы отметим общие характеристики уравнения материального баланса. С учетом алгебраической структуры уравнения параметры pi(s) являются зависимыми переменными. Положим i = 0, 1; тогда, применяя ранее приведенные рассуждения, мы можем использовать параметрическую алгебраическую структуру как технику сшивания (усреднения) между аналитическим и численным решением. Это весьма общее обстоятельство, которое может быть использовано для разных задач. С этой целью мы перепишем уравнения материального баланса с общими коэффициентами: τ ( Jp p0 1,0 (p0(s) - p1(s)) - Iqq(s) = Lq (p0(s + τ ) - p0(s)) . (1.18) В дальнейшем мы выберем их в специальном виде, связанном с размерностью и областью дискретизации. Значения коэффициентов и их зависимость от входных параметров могут варьироваться в зависимости от предполагаемого применения, размерности, геометрии и динамики процесса, дискретности и т. д. В уравнении (1.18) функция q(s) - это основная функция, определяющая процесс, и три других 1,0 коэффициента Jp q , Iq, и Lp0 содержат существенные характеристики алгебраической и геометрической структуры среды течения и ее дискретизации по области UN . Эти коэффициенты мы выберем в следующем разделе. 2. Коэффициенты в уравнении материального баланса с точки зрения конечноразностной схемы Рассмотрим течение слабосжимаемой жидкости в области U и соответствующую модель в форме краевой задачи без начальных условий. Известно, что численное моделирование течения дает три базовые характеристики процесса: 1. геометрическую аппроксимацию области фильтрации композитной жидкости; 2. численные значения таких функций, как давление или скорость и т. д.; 3. величины основных параметров, характеризующих область фильтрации по отношению к химическим и физическим свойствам жидкостей в пористой среде. Чтобы объяснить алгебраическую структуру уравнения материального баланса (1.18), рассмотрим ортогональную сетку размерности M × N и размеров Δx и Δy. Пусть P(M,N ) - матрица размерности M × N значений давления с элементами pi,j (t), которые привязаны к блоку Bi,j. МАТЕРИАЛЬНЫЙ БАЛАНС ЭЙНШТЕЙНА И МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 647 В этом разделе мы явно определим коэффициенты в системе уравнений материального баланса в зависимости от Δx и Δy на пятиточечной ортогональной сетке. Предположим, что блок B0,0 содержит источник в центре (0, 0), и этот источник порождает конечные разности функции pi,j (t) для различных i и j. Здесь D = Ω × (0, h) - трёхмерная цилиндрическая область, и отсутствует поток в направлении z. Предположим, что функция типа Грина p(x, y, t) является решением базовой задачи моделирования: ∂p(x, y, t) L ∂t ( ∂2 - J ∂x2 ∂2 \ + ∂y2 p = Iδ(x, y) в (U \ (0, 0)) × (-∞, ∞) , (2.1) B(p) = 0 на ∂U × (-∞, ∞). (2.2) Здесь B - граничный оператор, которым в нашем случае будет оператор Дирихле или Ньюмана. Для аппроксимации функции p(x, y, t) рассмотрим конечно-разностное решение задачи в прямоугольной области: Lpi,i(t + τ ) - pi,i(t) τ ( pi-1,j (t) - 2pi,j (t)+pi+1,j (t) Δ - J 2 + x = pi,j-1(t) - 2pi,j (t)+pi,j+1(t)\ Δ 2 y δi,j или = I B(p) = 0 на ∂ΩN × (-∞, ∞), ΔxΔyh в ΩN \ (0, 0), (2.3) L(ΔxΔy h) (pi,j (t + τ ) - pi,j (t)) = I = τ Jh ( Δy Δx (pi-1,j (t) - 2pi,j (t)+ pi+1,j (t)) + Δx \ Δ (pi,j-1(t) - 2pi,j (t)+ pi,j+1(t)) y l + Iδi,j , (2.4) B(p) = 0 на ∂ΩN × (-∞, ∞). Здесь δi,j - символ Кронекера. Приведенное выше уравнение является основным и может применяться как в 1-мерном, так и в 2-мерном случае. Хотя в обоих случаях есть много общего, мы будем рассматривать их отдельно. А именно: 1. 1-мерный материальный баланс в «последних блоках» B0, B1. В случае 1-мерной симметрии естественно предположить, что Δyh = 1 при любых Δ = Δx. Тогда уравнение материального баланса примет вид L · Δ · 1 · (p0(t + τ ) - p0(t)) = ( = τ 2 · J · 1 · (p1(t) - p0(t)) + Iδ \ = τ Δ 0,0 ( 2 · J · 1 · (p1(t) - p0(t)) + qδ \ Δ 0,0 . (2.5) 2. Радиально-симметричный материальный баланс для «последних блоков» B0, Bpm1,0, B0,pm1. В предположении 2-мерной симметрии имеем Δ = Δx = Δy. (2.6) Напомним, что толщина скважины постоянна, а потому I = q. (2.7) Тогда уравнение (2.4) может быть упрощено: LΔ2h (p0(t + τ ) - p0(t)) = τ (4Jh (p1(t) - p0(t)) + Iδi,j ) = τ (4(J h) (p1(t) - p0(t)) + qδi,j ) . (2.8) Замечание 2.1. Для удобства суммируем комментарии о свойствах среды по отношению к потоку жидкости в виде списка примечаний. 1. Всюду выше q - это общий расход скважины (дебит скважины), который зависит от времени, q = q(s), для псевдостационарного режима и режима с доминированием граничного условия. 2. В этой статье в случае 2-мерных потоков предполагаются условия симметричности и изотропии в следующем виде: K = K- = K+ = K- = K+, q- = q+ = q- = q+, Q- = Q+ = Q- = Q+. (2.9) x x y y x x y y x x y y 648 A. ИБРАГИМОВ и др. 3. В этой статье в случае 1-мерных потоков предполагаются условия симметричности и изотропии в следующем виде: K = K- = K+, q = q- = q+q- = q+ = 0, Q = Q- = Q+Q- = Q+ = 0. (2.10) x x x x y y x x y y 4. Все приведенные выше предположения позволяют получить аналитическое решение, которое можно построить явно. В случае, когда явное аналитическое решение недоступно для «склеивания», можно использовать численное решение на мелком масштабе для соответствующего параболического уравнения с граничными условиями. В этом смысле задача Писмана является задачей усреднения. 5. Уравнение материального баланса «не видит» границы (внутренней) ΩN и используется для склеивания аналитического решения путем решения задачи Писмана. Но аналитическое решение будет учитывать влияние граничных условий на значение радиуса Писмана как на самой скважине (внутренней границе) так и на границе области дренирования (внешней границе). Мы увидим, что в линейном случае в нестационарной задаче R0 будет зависеть только от размера области. В случае стационарной задачи, как было показано Писманом, R0 не зависит от размера области дренирования, и это весьма примечательное открытие. Этот вопрос подробно обсуждался в нашей статье [11]. 3. 1-мерное уравнение материального баланса Рассмотрим сетку, определенную на рис. 2 при отсутствии течения в направлении вертикальной оси y. Пусть hΔy = 1 и Δx = Δ. Материальный баланс в вертикальном направлении (направлении y) для 1-мерного уравнения материального баланса предполагается тривиальным. Определим в уравнении (1.18) соответствующие коэффициенты следующим образом: 1 x Iq (s) = q 1 · Δ , (3.1) p 1 Δ J 1,0 = 2K 2 , (3.2) x q C0 = Lp0 = φCp. (3.3) Тогда уравнение материального баланса (1.18) можно переписать в виде p0(s + τ ) - p0(s) τ 2K (p0(s) - p1(s)) = -qΔ+ C0 Δ2. (3.4) Отметим, что если мы будем использовать конечноразностную аппроксимацию в качестве уравнение материального баланса (2.8), мы получим LΔ · 1 · (p0(t + τ ) - pi,i(t)) = τ ( 2(J · 1 · (p1(t) - p0(t)) + qδ \ Δ i,j , (3.5) B(p) = 0 на ∂U × (-∞, ∞), что эквивалентно уравнению (3.4) при J = K и L = C0. 1. 1-мерная стационарная задача. В данном разделе мы рассмотрим элементарную задачу, в которой p не зависит от s. А именно, рассмотрим случай, когда pi, i = 0, 1 не зависят от s. Для этого достаточно член в левой части уравнения (3.4) положить равным нулю: p0(s + τ ) - p0(s) φCpΔ2 τ ≡ 0. (3.6) С физической точки зрения (см. (3.6)), это означает следующее: 1. интервал времени τ с точки зрения сжатия фиксированного объема V0 = Δ2 относительно объема всей области течения достаточно велик; 2. пористость φ незначительна; 3. сжимаемость Cp незначительна; 4. изменение давления в блоке V0 за время τ пренебрежимо мало. Определение 3.1. Будем говорить, что уравнение материального баланса является установившимся, если условие (3.6) выполняется для всех s и τ. МАТЕРИАЛЬНЫЙ БАЛАНС ЭЙНШТЕЙНА И МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 649 Тогда симметричное, изотропное и стационарное 1-мерное уравнение баланса имеет вид 2K(p0 - p1) = qΔ. (3.7) Замечание 3.1. Обратим внимание, что для стационарной задачи в уравнении материального баланса pi не зависит от параметра s (времени в нашем предполагаемом приложении). Чтобы согласовать значение p0 с профилем давления гидродинамической задачи на границе области течения, порожденного заданным дебитом q, рассмотрим 1-мерное течение несжимаемой жидкости в направлении слоя x = 0. На поток воздействуют: 1. силы, порождающие линейное уравнение Дарси - связи скорости и градиента фильтрации; 2. независимое от s давление p = pe на границе резервуара x = re; 3. дебит q на слое x = 0 в качестве внутренней границы потока. Соответствующая аналитическая модель для 1-мерного давления имеет вид d ( d K dx dx \ pan(x) 1 = 0; (3.8) pan(x)1 1x=Re dpan 1 = pe; (3.9) -K dx 1 1x=0 = q. (3.10) Определение 3.2. Пусть на 1-мерной области (0; Re) задана сетка [0, Δ, 2Δ,... ,N Δ] , где N Δ = re. Мы говорим, что проблема Писмана корректно определена относительно материального баланса (3.7) для 1-мерных потоков, если для любого заданного Δ существует такое R0, зависящее только от Δ, что аналитическое решение 1-мерной стационарной задачи (3.8)-(3.10) удовлетворяет уравнению: -2K (pan(Δ) - pan(R0)) = qΔ. (3.11) Теорема 3.1. Чтобы проблема Писмана была корректно определена относительно уравнения материального баланса (3.7) для 1-мерных потоков, необходимо и достаточно, чтобы Δ R0 = . (3.12) 2 Доказательство. Очевидно, что аналитическое решение pan(x) имеет вид q q pan(x) = Ax + B, A = - K , B = pe + K re. (3.13) Подставив pan(x) в уравнение (3.11), получим 2KA((Δ) - R0 + (B - B)) = qΔ, или 2(Δ) = Δ + 2R0, или Δ = 2R0. (3.14) Отсюда следует формула (3.12) в утверждении теоремы. Замечание 3.2. Теорема 3.1 элементарна, но мы привели ее здесь, чтобы подчеркнуть, почему формула Писмана для R0 в случае стационарного режима зависит только от размера блока Δ, но не зависит от размера области, проводимости и суммарной скорости потока. Фактически это следует из теоремы Лагранжа о среднем значении, закона Дарси и теоремы о дивергенции (закона сохранения) для несжимаемой жидкости (т. е. формула 1-мерна по самой природе). 2. Линейный 1-мерный псевдостационарный материальный баланс (алгебраический) и соответствующий радиус R0. Для псевдостационарного материального баланса определим дополнительные ограничения на решение алгебраического уравнения материального баланса, предполагая, что на p0 p1 и q наложены следующие условия. Определение 3.3. Будем говорить, что материальный баланс является установившимся относительно к псевдостационарного режима, если q(s) = q не зависит от s, (3.15) p0(s + τ ) - p0(s) = qC0τ и C0 зависят от s. (3.16) 650 A. ИБРАГИМОВ и др. Из этого очевидно следует, что разность p1(s) - p0(s) не зависит от s. (3.17) Тогда уравнение линейного 1-мерного псевдостационарного материального баланса будет иметь вид 2K (p1 - p0) = qΔ (1 - φcp · 1 · C0Δ) = qΔ (1 - C1Δ) . (3.18) Для простоты положим C1 = 1, Δ < 1. 3. Аналитическая модель для 1-мерной псевдостационарной задачи. Аналитическая модель для 1-мерного псевдостационарного течения Дарси слабосжимаемой жидкости при естественных предположениях о пористости и проницаемости аппроксимируется как начальнокраевая задача для скалярной функции давления p(x, t) (см [6]): ∂ ( ∂ K ∂x ∂x \ ∂p p(x, t) = ∂t на (0; re) × (0, ∞), (3.19) ∂p 1 1 ∂x 1x=re ∂pan 1 = 0, (3.20) -K ∂x 1 1x=0 = q, (3.21) p(x, 0) = pan(x). (3.22) Положим в задаче (3.22) начальную функцию pan(x) решением стационарной задачи d ( d K dx dx \ pan(x) q = Q = re на (0; re), (3.23) dpan 1 K 1 = 0, (3.24) dx 1x=re dpan 1 -K dx 1 1x=0 = q. (3.25) Очевидно, что аналитическое решение начально-краевой задачи для псевдостационарного режима течения имеет вид 1 r и A0 = e ppss(x, t) = w(x)+ A0t, где w(x) = pan(x) (3.26) q. Решение pan(x) краевой задачи (3.23)-(3.25) для удобства обозначается через w(x). Псевдостационарный режим порождает давление pss(x, t), которое называется псевдостационарным давлением. Стационарная часть общего решения pan(x) представляется в виде pan(x) = w(x) = Ax2 + Bx. (3.27) Константы A и B определяются из задачи непосредственно формулами q B = , (3.28) K B q - A = 2re = 2Kre . (3.29) Замечание 3.3. Заметим, что вспомогательная функция w(x) по построению обращается в нуль при x = 0 («на скважине»). По аналогии со стационарной задачей дадим определение «корректности» для псевдостационарного режима, зависящего от времени. 0 Определение 3.4. Будем говорить, что задача Писмана для псевдостационарного режима корректно определена относительно уравнения материального баланса (3.4) для 1-мерных потоков, зависящего от времени, если для любых заданных Δ и re существует Rpss(Δ, re) (зависящее от Δ и re) такое, что аналитическое решение 1-мерной псевдостационарной задачи (3.23)-(3.25) удовлетворяет уравнению, а также условиям (3.15) и (3.16). МАТЕРИАЛЬНЫЙ БАЛАНС ЭЙНШТЕЙНА И МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 651 0 Теорема 3.2. Проблема Писмана корректно определена для 1-мерного уравнения материального баланса, зависящего от времени. А именно, существует Rpss(Δ, re) такое, что p1(t) = p(Δ, t), p0(t) = p(R0, t) и q удовлетворяет уравнению материального баланса, зависящему от времени, и обоим ограничениям в определении 3.3. Более того, справедлив следующий предельный результат: lim re→∞ 0 Rpss(Δ, re) = R0. (3.30) Доказательство. Для доказательства подставим явную формулу для аналитического псевдостационарного решения в уравнение материального баланса (3.18): 2K (ppss(Δ, t) - ppss(R0, t)) = 2K (w(Δ) - w(R0)) = qΔ ( Δ\ r 1 - φcp · 1 · C2 e . (3.31) Из явного представления для w(x) следует, что R0 должно удовлетворять уравнению Δ2 +Δ - 0 ) (Rpss 2 - Rpss = Δ - C Δ2 , (3.32) 2re 2re 0 2 3 2re 0 при этом константа C3 зависит только от cp, C2. Отсюда явно следует формула для RPSS : Δ2 Δ pss 0 (Rpss)2 e (1 + C3) 2r + 0 = R + 2 2re . (3.33) Полагая для простоты C3 = 0, нетрудно видеть, что 0 )2 (Rpss 1 0 + 2reRpss - ( Δ re + 1 Δ2 \ 1 = 0. (3.34) Отсюда следует, что положительная ветвь корня удовлетворяет цепочке равенств / 2 2 2 0 = - Rpss 2re + 4re + 4Δre + 8Δ Δ 2Δ = I + . (3.35) 2 1+ 1+ Δ + 2 Δ2 re Из этой цепочки следует утверждение теоремы 3.2. r e re 2 Следующая теорема получается непосредственно с помощью неявного дифференцирования равенства (3.32) и критерия монотонности. 0 Теорема 3.3. Пусть фиксированы Δ и все параметры задачи, кроме re. Тогда при достаточно больших re величина Rpss убывает как функция от re. 4. Линейное 1-мерное уравнение материального баланса для режима фильтрации с доминированием граничного условия и соответствующий радиус Писмана R0. Для определения не зависящего от времени приведенного радиуса Писмана в задаче фильтрации с доминирующим на границе давлением нам понадобятся вспомогательные ограничения. Их удобно сформулировать в виде определения терминах ограничений на входные ключевые характеристики уравнения материального баланса: q(s), pi(s), i = 1, 0, и p0(s + τ ). Определение 3.5. Алгебраические ограничения на уравнения материального баланса для течения c доминирующим давлением на границе (режим с доминированием граничного условия) формулируются следующим образом. Существуют константы Q0, P1, P0, такие, что для переменных pi и q в уравнении материального баланса выполняются соотношения: q(s) 1. p0(s) 2. p1(s) p0(s) = Q0(re), где Q0(re) не зависит от Δ и s; = P1(Δ, re), где P1(Δ, re) является функцией только от Δ и re, но не от s; 3. p0(s + τ ) p0(s) = P0(Δ, re) e-C(K,re)τ - 1 τ где, как и в предыдущем пункте, величина P0(Δ, re) является функцией от Δ и re, но не зависит от s. 652 A. ИБРАГИМОВ и др. 3.4.1. 1-мерная аналитическая задача c доминированием давления на границе. Рассмотрим аналитическую начально-краевую задачу ∂ ( ∂ \ ∂u0(x, t) Lu0(x, t) = ∂x K u0(x, t) ∂x ∂u0(x, t) 1 = c0 , (3.36) ∂t K 1 ∂x 1x=re 1 = 0, (3.37) u0(x, t)1 1t=0 = φ0(x), (3.38) где φ0(x) и λ0 - первая собственная функция и первое собственное значение задачи Lφ0(x) = -λ0φ0(x), φ(0) = 0, φx(re) = 0. Полагая для простоты c0 = 1, нетрудно доказать следующее утверждение. Предложение 3.1. Пусть u0(x, t) - аналитическое решение начально-краевой задачи (3.36)- (3.38): u0(x, t) = e-Kλ0t sin(λ0x). (3.39) Определим переменные в уравнении материального баланса посредством функции u0(x, t): p0(s) = u0(R0, s), (3.40) p1(s) = u0(Δ, s), (3.41) ∂u0 1 q(s) = K 1 ∂x 1x=0 . (3.42) Тогда все соотношения в определении 3.5 корректно определены для некоторых констант Q0, P0, P1 для любых R0 и Δ, а также e π λ0 = 2r . (3.43) Замечание 3.4. Заметим, что все исходные данные для всех трех аналитических задач задаются таким образом, что соответствующие значения для коэффициента продуктивности (см. [9]) не зависят от времени. Важно отметить, что существование констант из предложения 3.1 представляет основной интерес и будет рассмотрено ниже. Мы сформулировали это предложение, чтобы мотивировать следующее определение корректности по Писману для режима с доминированием граничных условий. 0 Определение 3.6. Будем говорить, что проблема Писмана для режима, определяемого граничным давлением на скважине, корректно определена относительно зависящего от времени материального баланса (3.36)-(3.38) для 1-мерных потоков, если для любых заданных Δ и re существует RBD (Δ, re), зависящее от Δ и re, такое, что аналитическое решение 1-мерной задачи с доминированием граничных условий (3.36)-(3.38) удовлетворяет уравнению и, кроме того, выполняются ограничения из определения (3.5). 0 Лемма 3.1. Предположим, что Rbd < Δ, тогда режим фильтрации Писмана корректен в случае доминирования граничных условий, если 0 sin(λ0Rbd) - sin(λ0Δ) + λ0Δ 2 0 1 = sin(λ0Rbd) 2K 2 e-λ0 τ - 1 τ . (3.44) 0 Более того, при re → ∞ и τ → 0 величина Rbd(λ0,τ ) сходится к стационарному радиусу Писма- R0. Здесь λ0 - первое собственное значение, а Rbd, удовлетворяющее трансцендентному уравна 0 нению (3.44), зависит от Δ, а также от re, τ, K, cp. Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно вычислить решение задачи (3.36)- (3.38) при x = 0: q(s) = K ∂u0(x, t) 1 1 )1 = e-Kλ0sλ0 cos(λ0x 1 = Ke-Kλ0sλ0. (3.45) ∂x 1x=0 1x=0 МАТЕРИАЛЬНЫЙ БАЛАНС ЭЙНШТЕЙНА И МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 653 Здесь λ0 - первое собственное значение соответствующей краевой задачи со смешанными граничными условиями (см. последнюю строку в (3.36)-(3.38)). Для удобства перепишем еще раз уравнение материального баланса: p0(s + τ ) - p0(s) 2K (p0(s) - p1(s)) = -q(s)Δ + 1 · 0 Полагая R0 = Rbd < Δ неизвестным, получим Δ. (3.46) τ 2 0 p0(s) = e-Kλ0 s sin(λ0Rbd), (3.47) p1(s) = e Kλ s sin(λ2Δ), (3.48) 2 - 0 0 2 0 p0(s + τ ) = e-Kλ0(s+τ ) sin(λ0Rbd), (3.49) q(s) = Ke-Kλ2 λ . (3.50) 0s 0 С учетом (3.47)-(3.50) уравнение материального баланса (3.46) примет вид λ2 (s+τ ) -λ2 s 2Ke-λ2 s ( bd -λ2 s bd e- - e sin(λR0 - sin(λΔ) = -KλΔe 2 +1 · sin(λR0 ) Δ. (3.51) τ Здесь λ = λ0. После деления на e-λ s уравнение (3.51) примет вид -λ2 τ 0 2K (sin(λRbd - sin(λΔ) Разделив (3.52) на 2K, получим (3.44). 0 = -KλΔ+ 1 · 1 · sin(λRbd) e - 1 Δ. (3.52) τ 0 Чтобы аналитическое решение удовлетворяло уравнению материального баланса, достаточно, чтобы Rbd(Δ, re,τ ) являлось решением уравнения (3.44). Чтобы «явно» найти решение, удобно работать с уравнением (3.52), которое эквивалентно 2K · 2 ( sin 0 λ(Rbd - Δ) 2 cos 0 λ(Rbd + Δ)\ 2 0 = -KλΔ+ 1 · sin(λRbd)λ2 2 e-λ τ - 1 λ2τ Δ. (3.53) При τ → 0 из (3.53) получим, что ( 4K sin 0 λ(Rbd - Δ) 2 cos 0 λ(Rbd + Δ)\ 2 0 = -KλΔ+ 1 · sin(λRbd)λ2 · (-1) · Δ. (3.54) Положим, что λ таково, что cos 0 λ(Rbd + Δ) 2 0 ≈ 1. Для получения простой формулы для Rbd, 0 предположим, что Rbd достаточно мало: Rbd Δ 1 2 bd то есть 0 ≈ Rbd 2 - 2K λ R0 Δ, (3.55) Δ 2 1+ 0 ≈ 1 2K . (3.56) λ2Δ Принимая во внимание, что в 1-мерном случае λ = π , и предполагая, что Δ π2 достаточно 2re e 8K r2 мало, мы получим простую аппроксимацию для формулы расчета радиуса Писмана для режима с заданным давлением на границе области течения: Δ Rbd 2 0 ≈ 1+ 1 . (3.57) π2 Δ e 8K r2 0 Замечание 3.5. Отметим, что для достаточно малого τ, малого λΔ и малого частного соответствующее решение RBD для (3.52) существует. φcp 2K 654 A. ИБРАГИМОВ и др. Рис. 2. Материальный баланс Эйнштейна для 1-мерного потока Fig. 2. Einstein material balance for 1D ow Обратим также внимание на следующее. Используя теорему Лагранжа о среднем, из рассуждений выше можно показать, что если область течения «не ограничена», то получим такой же радиус Писмана, как и в стационарном (классическом) случае. Мы приводим формулировку и доказательство следующей теоремы для будущего более общего рассмотрения с учетом многомерной теоремы Ландиса о среднем значении [2]. 0 Теорема 3.4. Полученный радиус Rbd(re, Δ) в 1-мерной постановке, при котором задача Писмана корректно определена в псевдостационарном случае, асимптотически сходится к радиусу Писмана для стационарной задачи, который не зависит от размеров области фильтрации: Δ для любого фиксированного τ. lim re→∞ 0 Rbd(re, Δ) = 2 = R0 (3.58) Доказательство. Сначала заметим, что из теоремы Лагранжа о среднем значении следует, что -λ2 τ Rbd bd cos ξλ ( λΔ 1 e - Δ + = sin(λR ) - 1 . (3.59) Здесь 0 2 λRbd 0 2K τ 0 < ξ < λΔ и, следовательно, cos ξ = 1 + O(λ). (3.60) После деления на λ в (3.59) получим (cos ξ) (Rbd - Δ + Δ = λ sin(λRbd) 1 e-λ2 τ - 1 , (3.61) 0 2 0 2K λ2τ или, предполагая, как и раньше, что λ таково, что cos ξ ≈ 1, получим λ2 τ 0 - 0 Rbd Δ bd 1 e- - 1 = λ sin(λR ) 2 2K e-λ2 τ λ2τ + O(λ). (3.62) Очевидно, в правой части (3.63) имеем -1 · - 1 λ2τ 0 = O(1) и sin(λRbd) = o(λ), поэтому формулировка теоремы следует из (3.43) и равенства R bd Δ 2 0 - = O(λ). (3.63) 1. Псевдостационарный материальный баланс и соответствующая аналитическая модель Рассмотрим 2-мерное течение к скважине Γw в изолированном резервуаре U с границей ∂U = Γw ∪ Γe, высотой h = 1 и φcp = 1. Пусть V - объем области дренирования U. Уравнение материального баланса для нестационарного течения слабосжимаемой жидкости в блоке размерами Δ × Δ · 1 с объемом V0 = Δ2 · 1 и давлением p0, содержащем скважину Γw (источник или сток) с дебитом q (положительным для источника и отрицательным для стока) имеет вид: q 2 1 -4K(p0(s) - p1(s)) + h = Δ · 1 · τ (p0(s + τ ) - p0(s)) . (4.1) Приведем уравнение материального баланса для слабосжимаемой жидкости c коэффициентом сжимаемости cp, ассоциированное с псевдостационарным течением в терминах следующих предположений. МАТЕРИАЛЬНЫЙ БАЛАНС ЭЙНШТЕЙНА И МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 655 Рис. 3. Уравнение материального баланса Эйнштейна на сетке из 5 точек, 2-мерный случай Fig. 3. Einstein material balance equation on the 5 spots grid, 2D case Предположение 4.1. Предположим, что τ p0(s + τ ) - p0(s) = q 1 · V , (4.2) разность p0(s) - p1(s) = const (не зависит от s) . (4.3) При этих предположениях уравнение (4.1) принимает вид q ( 4K(p0(s) - p1(s)) = 1 1 - Δ2 \ V , (4.4) где q - заданная константа по времени и характеризует суммарную на Γw скорость потока при любом s. Замечание 4.1. Важно отметить, что pi(s) зависят от параметра s (времени в нашем приложении), и это принципиальное отличие по сравнению со стационарным режимом (уравнения материального баланса). В тоже время разность в псевдостационарном уравнении материального баланса не зависит от s, и мы это существенно используем. 1. Аналитическое решение, соответствующее 2-мерному течению. Рассмотрим диффузионную модель неустановившегося 2-мерного радиального течения в изолированной области U для слабо сжимаемой жидкости в направлении скважины Γw с заданным дебитом и отсутствием потока на внешней границе Γe. Как известно, при этом функция давления p(x, t) аппроксимируется решением начальнокраевой задачи: ∂p KΔp = 1 · ∂t в U = U (0, rw , re), (4.5) ∂p K ∂ν = 0 на Γe, (4.6) 656 A. ИБРАГИМОВ и др. Здесь r ∂p K ∂ν Γw ds = -q˜ на Γw. (4.7) U (0, rw, re) = {x : rw < |x| < re}, Γw = {x : |x| = rw, }, Γe = {x : |x| = re}, x = (x1, x2), q˜ = q k 1 , V = 1 · |U |, K = μ, ∂p - «внешняя» производная в конормальном направлении. ∂ν В общем случае для решения задачи естественно рассмотреть смешанную краевую задачу для параболического уравнения, которая с математической точки зрения четко корректно определена и может быть обобщена для различных сценариев. Чтобы писмановский радиус R0 не зависел от времени, мы воспользуемся псевдостационарной начально-краевой задачей. А именно, рассмотрим псевдостационарное решение задачи (5.2)-(4.7) в виде суммы: где ppss(x, t) = w(x)+ At, (4.8) q˜ A = 1 · |U | , (4.9) а w(x) - решение смешанной краевой задачи для уравнения Пуассона: q˜ ∇ (K∇w(x)) = |U | в U, (4.10) w(x) = 0 на Γw, (4.11) ∂w K ∂ ν = 0 на Γe. (4.12) В радиально-симметричном случае, обозначая r = |x|, псевдостационарное решение удобно записать в виде ppss(r, t) = w(r)+ At. (4.13) Нетрудно видеть, что эта функция удовлетворяет условиям (4.2) и (4.3). Далее, подставляя эту функцию в уравнение материального баланса (4.1), нетрудно получить в общем виде теорему для нахождения радиуса Писмана для псевдостационарной задачи. 0 Теорема 4.1. Радиус Писмана rRPSS (re, Δ)l для псевдостационарной задачи можно найти из уравнения 0 4K (w(Δ) - w([Rpss(re, Δ)])) = - q 1 · V (V - Δ2) . (4.14) 0 Из явной формы решения задачи (4.10)-(4.12) можно выразить такой [Rpss(re, Δ)] . Мы воспользуемся другим подходом, основанным на постановке задачи в терминах поля скоростей. Этот подход поможет в будущем работать с нелинейными потоками, а в некоторых случаях- явно получить соответствующий радиус блока скважины Писмана. Начнем с технического замечания. Замечание 4.2. В общем случае U - область кусочной границей ∂U = Γe ∪ Γw, и Γe ∩ Γw = ∅. Будем говорить, что поле скоростей v(x) имеет псевдостационарный профиль, если выполнено следующее предположение. Предположение 4.2. Будем говорить, что поле скорости соответствует псевдостационарному режиму потоков, если скорость не зависит от времени и является решением следующей краевой задачи: ∇ v = C в U, (4.15) v ν = 0 на Γe. (4.16) МАТЕРИАЛЬНЫЙ БАЛАНС ЭЙНШТЕЙНА И МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 657 Заметим, что по теореме о дивергенции константа C из уравнения (4.15) удовлетворяет r v νds = q˜ = C|U |. (4.17) Γw Замечание 4.3. Обратим внимание, что в нашем исходном исследовании псевдостационарные режимы [9] определялись через функцию давления. А именно, мы предполагали, что течение ∂p является псевдостационарным, если = const, и нет условий течения на внешней границе. ∂t В рассматриваемом приложении оба определения эквивалентны друг другу. 2. Формула приведенного радиуса Писмана для 2-мерного симметричного течения (радиального). Начнем этот пункт с формулировки общей теоремы о формуле Писмана для псевдостационарного режима в радиальной постановке. 0 Теорема 4.2. Существует решение задачи Писмана для нестационарного псевдостационарного режима течения, и соответствующий радиумс RPSS (re, Δ) определяется уравнением Более того, -π + 0 rRPSS (re, Δ)l2 2 re r2 I 2 - + π w = 2 ln re Δ \ PSS rR0 (re, Δ)l . (4.18) lim rRPSS (re, Δ)l = RSS = RP eaceman. (4.19) re→∞ 0 0 Доказательство. В общем случае решение краевой задачи для вектора скорости (4.15)-(4.16) не является единственным, но в радиальном случае однозначно определено: 1 q˜ - r (rv(r))r = C = |U | , (4.20) Тогда для rw r re: 1 v r 1r=re = 0. (4.21) C v(r) = - 2 r + C1 . (4.22) r Указанные выше постоянные могут быть выбраны так, что q C = π(r2 - r2 ) q = |U | и C1 = e C r2. (4.23) 2 e w Вспомним, что скорость и градиент давления в случае, рассматриваемом в статье, связаны законом Дарси, а потому псевдостационарное решение для функции давления имеет вид μ r и, соответственно w(r) = - k I v(r)dr l - 2 w(r) = -K-1 C r + C1 4 ln r + C2 . (4.24) Выше постоянная C2 выбрана так, что w(r)|r=rw = 0, и потому I C 2 l C2 = 4 rw - C1 ln rw . (4.25) 0 Соответственно, выражение для выбора RPSS (re, Δ) с использованием псевдостационарного материального баланса в форме, представленной в теореме 4.1, принимает вид: ( -q˜ 1 - Δ2 \ V = 4K(p1 - p0) = 4K[w(Δ) - w(R0)]. (4.26) Тогда в силу (4.24) и (4.23) нетрудно видеть, что ( - q˜ 1 - Δ2 \ = 4KK-1 I( Δ2 C o C1 \ ln(Δ) - C2 - |U | 4 658 A. ИБРАГИМОВ и др. 0 I rRPSS (re, Δ)l2 - C 4 \l 0 o C1 ln(rRPSS (re, Δ)l) - C2 = 0 = C (Δ2 - R2) - 4 I C1 ln r Δ \l RPSS l = 0 (re, Δ) I 2 Δ \l После упрощений получим 0 = C (Δ2 - rRPSS (re, Δ)l e - 2 r2 ln rRPSS 0 (re, Δ)l . (4.27) или 0 2 Δ2 - |U | = (Δ2 - rRPSS (re, Δ)l I e - 2 r2 ln Δ \ rRPSS 0 (re, Δ)l , (4.28) rRPSS 2 2 2 PSS 2 I 2 Δ \ 0 (re, Δ)l - π (re - rw ) = rR0 (re, Δ)l - |U | = -2 re ln rRPSS l . (4.29) 0 (re, Δ) Отсюда следует основное уравнение (4.18). Второе утверждение теоремы следует из (4.18). 0 По теореме 4.2 из формулы (4.18) следует свойство монотонности псевдостационарного радиуса Писмана RPSS (re, Δ) относительно внешнего радиуса re. Теорема 4.3. При условии применимости формул для псевдостационарной задачи выполяется re ;;: RPSS (re, Δ) и функция RPSS (re, Δ) монотонно убывает. 0 0 Доказательство. Взяв производную от левой и правой части уравнения (4.18), можно получить r2 PSS 2 (R (r , Δ))2 l e - (R0 (re, Δ)) 2 d RPSS r PSS 2 0 e w RPSS 2 e e 0 (re, Δ) = -2 r r + π < 0. (4.30) 0 (re, Δ)re dre 3 3 Но с точки зрения применимости подхода выражение rr2 - (RPSS (re, Δ)2)l > 0, поэтому утверe 0 ждение теоремы следует из (4.30). Замечание 4.4. Очевидно, что при re > R0 можно получить хорошее приближение, используя выражение для радиуса блока скважины Писмана π ( Δ \ ≈ ln 2 R0 . (4.31) 1. Радиус Писмана для режима с доминированием граничного условия Уравнение линейного материального баланса (4.1) для слабосжимаемой жидкости такое же, как и раньше для потока в сторону скважины Γw в изолированном резервуаре V высотой h = 1 и φcp = 1. Предположим, что ограничение для доминирования граничного условия в случае слабосжимаемой жидкости такое же, как и для псевдостационарного случая. А именно, q(s) V0 1 -4K(p0(s) - p1(s)) + · τ h = 1 1 (p0(s + τ ) - p0(s)) . (5.1) Снова пусть V - объем области-резервуара U с границей ∂U = Γe ∪ Γw. Чтобы радиус Писмана для режима с доминированием границы был независимым от времени, введем следующее предположение. Предположение 5.1. Предположим, что: q(s) (A1) (A2) = C1, где постоянная C1 is не зависит от s; p1(s) p0(s) = C где постоянная C is не зависит от s; p1(s) 2 2 (A3) τ-1 ( p0(s + τ ) p0(s) \ - 1 ≈ C3 при τ << 1, где постоянная C3 не зависит от s и τ. МАТЕРИАЛЬНЫЙ БАЛАНС ЭЙНШТЕЙНА И МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 659 Аналитическая модель для режима с доминированием граничного условия определяется как динамическая краевая задача без начальных условий ∂p KΔp = cpφ ∂t в U = U (0, re, rw ) = B(0, re) \ B(0, rw ); (5.2) ∂p K ∂ν = 0 на Γe, r = re; (5.3) p(x) = pw на Γw, r = rw. (5.4) Для простоты положим pw = 0. Снова предполагая, что радиальный поток направлен к скважине радиуса rw, будем искать базовое решение вышеприведенной задачи в виде K p(x, t) = u0(x, t) = e-λ0 t 1 ϕ0(x). (5.5) Здесь ϕ0(x) - первая собственная функция, соответствующая первому собственному значению λ0 задачи в области U с кусочной границей ∂U = Γw ∪ Γe. Тогда: - Δϕ0(x) = λ0ϕ0(x) в U, (5.6) ϕ0(x) = 0 на Γw, r = rw, (5.7) ∂ϕ0(x) = 0 на Γ , r = r . (5.8) ∂ν e e Замечание 5.1. Мотивацией к рассмотрению такого вида решения послужила статья [9], в которой нами было доказано, что соответствующий индекс коэффициента продуктивности для такого режима с доминированием граничного условия не зависит от времени. Проверим что такое аналитическое решение (5.5) удовлетворяет всем ограничениям. Действительно, нетрудно увидеть, что все три условия: (A1), (A2) и (A3) в предположении 5.1 удовлетворяются: ϕ0(Δ) ( ϕ0dx C1(Δ,R0) = ϕ (R ) , C2 = Λ , C3 = φV0cpΛ. 0 0 ϕ0(R0) 0 Наконец, предположив, что cp = 1 для заданного Δ, получим уравнение для Rbd: ϕ0(Δ) + λ ( ( ϕ0dx ϕ0(Δ) 1 Γw = λ V , или + ds ∂ϕ0 ∂ν = λ ϕ (R ). (5.9) ϕ0(R0) 0 ϕ0(R0) 0 0 Δ2 cp Δ2 0 0 0 Функция ϕ0(r), удовлетворяющая условиям (5.7)-(5.8), является решением задачи Штурма- Лиувилля для уравнения Гельмгольца в кольцевой области с условиями Дирихле и Неймана: 1 ∂ + λ0ϕ0(r) = 0, rw < r < re; (5.10) r r∂r ∂ϕ0(r) 1 ϕ0(rw ) = 0, 1 ∂r 1r=re = 0. (5.11) Нас интересует неотрицательное решение указанной краевой задачи, которое имеет вид (см. [5]) ϕ0(r) = J0(/λ0rw )N0(/λ0r) - N0(/λ0rw)J0(/λ0r), (5.12) где λ0 - первое собственное значение, которое представляет собой решение трансцендентного уравнения: N0(/λ0rw)J (/λ0re) - N (/λ0re)J0(/λ0rw) = 0 (5.13) 0 0 Следовательно, решение задачи (5.2)-(5.4) имеет вид K u0(r, t) = e-λ0 t 1 J0(/λ0rw)N0(/λ0r) - N0(/λ0rw )J0(/λ0r) Можно непосредственно проверить все ограничения из предположения 5.1, полагая 1 ∂u0(r, s) (5.14) p1(s) = u0(Δ, s), p0(s) = u0(R0, s), p0(s + τ ) = u0(R0,s + τ ), q(s) = -2πrw K ∂r 1r=rw . (5.15) 660 A. ИБРАГИМОВ и др. В данной статье мы не приводим доказательства существования радиуса блока скважины Писмана для режима с доминированием граничного условия в радиальном случае и не исследуем его свойства в зависимости от параметров радиуса области дренирования. Вместо этого мы сформулируем утверждение в форме замечания, оставив подробности для последующей публикации. 0 Замечание 5.2. Подставив p0(s), p1(s), p0(s + τ ) и q(s) в уравнение материального баланса (5.1), мы получим трансцендентное уравнение для нахождения RBD (re, Δ) вида 0 2 π ϕ0(RBD (re, Δ)) - ϕ0(Δ) = - Δ ln RBD , (5.16) 0 (re, Δ) где ϕ0(r) - первая собственная функция задачи (5.10)-(5.11), определяемая уравнением (5.12).

About the authors

A. Ibraguimov

Texas Tech University; Oil and Gas Research Institute of the RAS

Author for correspondence.
Email: akif.ibraguimov@ttu.edu
Lubbock, USA; Moscow, Russia

E. Zakirov

Oil and Gas Research Institute of the RAS

Email: ezakirov@ogri.ru
Moscow, Russia

I. Indrupskiy

Oil and Gas Research Institute of the RAS

Email: i-ind@ipng.ru
Moscow, Russia

D. Anikeev

Oil and Gas Research Institute of the RAS

Email: anikeev@ogri.ru
Moscow, Russia

A. Zhaglova

Oil and Gas Research Institute of the RAS

Email: azhalova90@gmail.com
Moscow, Russia

References

Supplementary files