On ellipticity of operators with shear mappings

Abstract

The nonlocal boundary value problems are considered, in which the main operator and the operators in the boundary conditions include the differential operators and twisting operators. The de nition of the trajectory symbols for this class of problems is given. We show that the elliptic problems de ne the Fredholm operators in the corresponding Sobolev spaces. The ellipticity condition of such nonlocal boundary value problem is given.

Full Text

Введение Во многих разделах математической физики возникают нелокальные краевые задачи, которые содержат дифференциальные операторы и операторы сдвига, отвечающие дискретной группе, действующей на многообразии диффеоморфизмами, и требуется установить условия, при кото- рых такие краевые задачи являются эллиптическими. Рассматриваются нелокальные краевые задачи двух типов: при которых диффеоморфизмы сохраняют область (см., напр., [5, 8, 9, 13]) или не сохраняют ее (см., напр., [4, 6, 15, 16, 18, 20, 21]). Исследование классических краевых задач включает нахождение условий эллиптичности, т. е. условий, обеспечивающих фредгольмову разрешимость задачи. Эти условия состоят в требовании обратимости символа основного оператора краевой задачи как функции на косферическом рас- слоении многообразия с краем и условия Шапиро-Лопатинского на крае, которое накладывается в точках косферического расслоения края на символы основного оператора задачи и оператора, определяющего краевое условие (см., напр., [14]). В том случае, когда краевые задачи включают операторы сдвига, такие задачи становятся нелокальными и условия их эллиптичности формулируются в терминах так называемых тра- екторных символов, которые учитывают коэффициенты оператора не в одной точке, а на всей траектории точки под действием группы. Далее, при изучении задач с операторами сдвига на- до учитывать тот факт, что в случае бесконечной группы для доказательства фредгольмовости приходится привлекать методы теории C∗-алгебр (см. [8, 9]). © А. В. Болтачев, 2023 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 565 566 А. В. БОЛТАЧЕВ В данной работе проводится исследование краевых задач с операторами сдвига, отвечающими скручиванию конечного цилиндра S1×[0, 1] с координатами (x, t). Скручивание определяется фор- мулой (x, t) ×→ (x + αt, t), где α > 0 - фиксированное число, а соответствующий оператор сдвига дается формулой (T u)(x, t) = u(x - αt, t). Ранее такие операторы сдвига не рассматривались спе- циалистами в области нелокальных задач, а потому им посвящена данная работа. Скручивание не является изометрическим, а также оно не сохраняет нормальную переменную к краю, поэтому результаты работ [8, 9] в данном случае неприменимы. Для исследования таких нелокальных кра- евых задач используются результаты, полученные в статьях [2, 10, 11]. Даны явные формулы для траекторных символов задачи, и на основе этих формул предоставлены условия эллиптичности нелокальной краевой задачи для дифференциального оператора со скручиваниями. Кратко остановимся на содержании работы. В первом разделе дается постановка краевой за- дачи со скручиваниями конечного цилиндра. Следуя [11], во втором разделе исследуется внут- ренний символ дифференциального оператора со сдвигами и даются условия его эллиптичности. Оказывается, что в ряде случаев исследование внутреннего символа сводится к исследованию дифференциальных операторов с периодическими коэффициентами. Дальнейшее исследование состоит в получении условий эллиптичности граничного символа дифференциального оператора со скручиваниями. Левое основание цилиндра, в отличие от правого, является неподвижным при скручивании, поэтому отдельно вычисляются граничные траекторные символы на различных ос- нованиях цилиндра. В третьем разделе данной работы исследуется граничный символ на левом основании цилиндра и дается условие его эллиптичности как условие обратимости оператора с периодическими коэффициентами на полуоси. В четвертом разделе вычисляется граничный сим- вол на правом основании цилиндра, который является краевой задачей на полуоси с постоянными операторными коэффициентами. На основе этих формул сформулированы основные результаты работы. В заключительном разделе приводится пример, иллюстрирующий основные результаты работы, а именно, рассмотрена краевая задача для дифференциального оператора со сдвига- ми и постоянными коэффициентами, для которой условия эллиптичности даются как условия однозначной разрешимости некоторого уравнения Матьё. Постановка задачи Фиксируем число α > 0, несоизмеримое с π. Рассмотрим бесконечный цилиндр Y = S1 × R, на котором группа Γ = Z действует скручиваниями перпендикулярно образующей цилиндра (x, t) ×→ (x + kαt, t), k ∈ Z. Определим оператор сдвига, отвечающий скручиваниям, формулой (T u)(x, t) = u(x - αt, t). На конечном цилиндре M = S1 × [0, 1] ⊂ Y рассмотрим нелокальную краевую задачу Hs-m(M ) ( D D = i∗B : Hs (M ) -→ ⊕ Hs-b-1/2(∂M, CN ). (1.1) Определим операторы, участвующие в краевой задаче (1.1). Во-первых, D = D ( eix, t, -i ∂ , -i ∂ ,T = ) D ( eix, t, -i ∂ , -i ∂ T l, ord D = m, (1.2) ∂x ∂t l l∈Z ∂x ∂t - дифференциальный оператор со сдвигами на цилиндре M, а коэффициенты Dl в нем являют- ся дифференциальными операторами порядка :( m с гладкими коэффициентами. Здесь и ниже для операторов со сдвигами предполагается, что операторы Dl /= 0 только для конечного чис- ла l. Во-вторых, оператор B = (B0, B1) в задаче (1.1) представляет собой пару операторов на левом/правом основании цилиндра, причем дифференциальный оператор на левом основании B0 = B0 ( eix, -i ∂ ∂ ∂x, -i∂t ОБ ЭЛЛИПТИЧНОСТИ ОПЕРАТОРОВ СО СКРУЧИВАНИЯМИ 567 имеет порядок ord B0 = b0 и определяет N0 ∈ N граничных условий, а дифференциальный опе- ратор со сдвигами на правом основании B1 = B1 ( eix, -i ∂ ∂ ∂x, -i∂t,T = ) B1,l l∈Z ( eix, -i ∂ ∂ l ∂x, -i∂t T имеет порядок ord B1 = b1 и определяет N1 ∈ N граничных условий, в то время как B1,l - дифференциальные операторы. Положим b = (b0, b1), N = (N0, N1) и обозначим Hs-b-1/2(∂M, CN ) = Hs-b0-1/2(∂M |t=0, CN0 ) ⊕ Hs-b1-1/2(∂M |t=1, CN1 ). Вложение i : ∂M <→ M индуцирует отображение сужения i∗ : Hs(M ) -→ Hs-1/2(∂M ) функций на границу при s > 1/2. Замечание 1.1. Левое основание цилиндра M является неподвижным относительно скру- чиваний. Поэтому добавление к оператору B0 операторов сдвига не приведет к новому классу операторов. Цель данной работы - дать условия эллиптичности задачи (1.1) в явном виде, обеспечивающие ее фредгольмову разрешимость. Общая теория была построена в работах [2, 10, 11], в которых условие эллиптичности дается в терминах внутреннего и граничного символов оператора (1.1). Эллиптичность внутреннего символа Внутренний символ. Перед тем, как вычислить внутренний символ оператора D по форму- ле (16) из работы [11], сначала вычислим дифференциал dγ : TM -→ TM и кодифференциал ∂γ = ((dγ)t)-1 : T ∗M -→ T ∗M диффеоморфизма γ : M -→ M, γ(x, t) = (x + kαt, t), 0 где T ∗M - кокасательное расслоение многообразия M. Фиксируем точку (x, t, ξ1, ξ2) ∈ T ∗M. По- скольку диффеоморфизм γ линеен, dγ и ∂γ действуют как операторы умножения на матрицы ⎛1 kα 0 0 ⎞ ⎛1 kα 0 0⎞ dγ = ⎜0 1 0 0 ⎟ , ∂γ = ⎜0 1 0 0⎟ . ⎜0 0 1 kα⎟ ⎜0 0 1 0⎟ ⎝ ⎠ 0 0 0 1 ⎝ ⎠ 0 0 -kα 1 Далее по формуле из [11, § 5] вычислим вес, который равен γ∗-1(dx ∧ dt) ∗-1 2s d(x - kαt) ∧ dt 2 1, если ξ1 = 0, 2 s μs(k) = ∂γ dx ∧ dt (|ξ| ) = (ξ1 + (ξ2 + kαξ1) ) ∼ dx ∧ dt k | | 2s, если ξ1 /= 0. (2.1) Здесь символом «∼» обозначается эквивалентность весов1. s Получаем следующее описание весового пространства £2(Z): £2 s (Z) := w : Z -→ C ) J 2 |w(k)| μs(k) < ∞ . k Тогда в соответствии с формулой (16) из работы [11] внутренний символ оператора D в точке 0 (x, t, ξ1, ξ2) ∈ T ∗M по определению равен σint (D) (x, t, ξ1, ξ2) : £2(Z) -→ £2 (Z), s s-m где ( w)(k) = w(k + 1), (2.2) σint (D) (x, t, ξ1, ξ2) = D(ei(x-kαt), t, ξ1, ξ2 + kαξ1, T ), T и является конечно-разностным оператором с переменными коэффициентами: D(ei(x-kαt), t, ξ1, kαξ1 + ξ2, T ) = ) Dl (ei(x-kαt), t, ξ1, ξ2 + kαξ1\ T l, l 1 Веса µ(k) и µt(k), k ∈ Z, называются эквивалентными, если существуют такие положительные константы C1 , C2, что для любых k ∈ Z выполнены неравенства C1µ(k) :( µt (k) :( C2µ(k). 568 А. В. БОЛТАЧЕВ где Dl (eix, t, ξ1, ξ2) - главные символы слагаемых в операторе (1.2). Отметим, что в частном случае, когда ξ1 = 0, в соответствии с формулой (2.1) получаем 0 μs(k) ∼ 1, и внутренний символ оператора D в точке (x, t, 0, ξ2) ∈ T ∗M равен σint (D) (x, t, 0, ξ2) : £2(Z) -→ £2(Z), σint (D) (x, t, 0, ξ2) = D(ei(x-kαt), t, 0, ξ2, T ). (2.3) Эллиптичность внутреннего символа. В дальнейшем изложении будем пользоваться обрат- ным преобразованием Фурье F-1 2 s 1 k→ϕ : £s (Z) -→ H (S ), {w(k)} ×-→ w(ϕ) = ), w(k)eikϕ, (2.4) k∈Z которое осуществляет изоморфизм весовых пространств на Z и пространств Соболева на окруж- ности S1 с координатой ϕ. Следующее утверждение дает условия эллиптичности внутреннего символа оператора D. Утверждение 2.1. Следующие условия эквивалентны: внутренний символ σint (D) (x, t, ξ1, ξ2) эллиптичен при любых значениях параметров 0 (x, t, ξ1, ξ2) ∈ T ∗M ; семейство дифференциально-разностных операторов на окружности S1 σint 1 k→ϕ int ϕ k ( ix αt 2 d iϕ s 1 s-m 1 (D) = F- σ (D)F → = D e T , t, 1,ξ - iα dϕ , e- : H (S ) -→ H (S ), (2.5) где (T αtu)(ϕ) = u(ϕ - αt), обратимо при любых значениях параметров (x, t) ∈ M, ξ2 ∈ R. Доказательство. Для доказательства эквивалентности условий 1) и 2) преобразуем внутренний символ. Положим ξ1 /= 0 и рассмотрим следующую диаграмму: £2 σint(D) ,, s-m s (Z) F -1 k→ϕ σint(D) £2 (Z) F -1 k→ϕ (2.6) Hs(S1) ,, Hs-m(S1). Здесь Fk→ϕ - преобразования Фурье (2.4), а в нижней строке диаграммы (2.6) участвует опера- тор (2.5). Коммутативность диаграммы (2.6) доказывается прямым вычислением. Приведем таблицу для операторов в k-пространстве и их образов в ϕ-пространстве под действием обратного преобразо- F вания Фурье -1 : k→ϕ Оператор в k-пространстве/ Operator in k-space Оператор в ϕ-пространстве/ Operator in ϕ-space w(k) ×→ kw(k) u(ϕ) ×→ -i∂ϕu(ϕ) w(k) ×→ e-ikaw(k),a ∈ R u(ϕ) ×→ u(ϕ - a) w(k) ×→ w(k + 1) u(ϕ) ×→ e-iϕu(ϕ) Теперь рассмотрим случай ξ1 = 0. Для оператора (2.5) на окружности рассмотрим условие эллиптичности (см. [9]). Это условие состоит в требовании обратимости разностного оператора с переменными коэффициентами D (eixT αt, t, 0, ξ2, e-iϕ\ : L2(S1) -→ L2(S1) ∀(x, t) ∈ M, ξ2 /= 0, (2.7) обратимость которого эквивалентна обратимости оператора (2.3). Эквивалентность условий 1) и 2) следует из диаграммы (2.6) и изоморфности обратного пре- k→ϕ образования Фурье F-1 . Утверждение доказано. ОБ ЭЛЛИПТИЧНОСТИ ОПЕРАТОРОВ СО СКРУЧИВАНИЯМИ 569 Утверждение 2.2. Пусть операторы Dl в формуле (1.2) имеют постоянные по x коэффи- циенты (всюду ниже опускаем первый аргумент операторов). Тогда условия 1) и 2) из утвер- ждения 2.1 эквивалентны условию обратимо семейство дифференциальных операторов с периодическими коэффициентами на прямой ( d D t, 1, -iα dψ , e- iψ : Hs -→ H s-m (R), ∀t ∈ [0, 1]. (2.8) Доказательство. Для проверки эквивалентности условий 2) и 3) в этом случае воспользуемся преобразованием Фурье-Лапласа (см., напр., [22, § 4]). Преобразование Фурье-Лапласа дается формулой Fθ : Hs(Rψ ) -→ L2(S1,Hs(S1 )), θ ϕ а обратное - формулой (Fθu)(ϕ, θ) = eiθϕ/2π ) einθu(ϕ + 2πn), n∈Z 1 u(ψ) = 2π 2π r e-iθψ/2π (Fθu)(ψ, θ) dθ. 0 В работе [3] показано, что это преобразование определяет изоморфизм указанных пространств. Теперь положим ξ2 = -αθ/(2π), θ ∈ [0, 2π], и семейству операторов (2.5) сопоставим оператор a(θ) = D (t, 1, α(-i∂ϕ - θ/(2π)), e-iϕ ) : L2(S1,Hs(S1 )) -→ L2(S1,Hs-m(S1 )). (2.9) θ ϕ θ ϕ Применим к оператору (2.9) обратное преобразование Фурье-Лапласа и составим коммута- тивную диаграмму Hs(Rψ ) Fθ F -1 θ a(θ)Fθ a(θ) ,, Hs-m(Rψ ) Fθ (2.10) L2(S1,Hs(S1 )) ,, L2(S1,Hs-m(S1 )). θ ϕ θ ϕ Поскольку имеет место коммутационное соотношение ( θ -i∂ϕ - 2π (Fθu(ψ)) = ( θ -i∂ϕ - 2π eiθϕ/2π ) n∈Z eiθn \ u(ϕ + 2πn) = Fθ (-i∂ψ u(ψ)), а экспоненты e-iψ являются периодическими функциями, то оператор в верхней строчке диа- граммы (2.10) совпадает с оператором (2.8). В силу коммутативности диаграммы (2.10) эллиптичность внутреннего символа σint (D) (x, t, ξ1, ξ2) эквивалентна обратимости семейства операторов (2.8). Граничный символ на левом основании цилиндра 0 Будем рассматривать граничные символы на разных основаниях цилиндра по отдельности. Рассмотрим сначала левое основание цилиндра S1 × {0}. Фиксируем точку (x, ξ1) ∈ T ∗∂M, т. е. ξ1 /= 0. Граничный символ на левом основании - это оператор, действующий по формуле (см. [11]) H s-m + σL Π D(eix, 0,ξ ,ξ ,T )w(ξ )\ σL s ∂ (D) + 1 2 αξ1 2 Здесь ∂ (D)(x, ξ1) : H+ -→ ⊕ CN0 , w(ξ2) ×-→ Π ξ2 I (B0(x, ξ1, ξ2)w(ξ2)) . (3.1) B0(x, ξ1, ξ2) - главный символ оператора B0 в задаче (1.1); T : Hs -→ Hs - оператор сдвига, действующий по формуле (Tαξ w)(ξ2) = w(ξ2 + αξ1); + + 1 пространство Hs = Ft ξ (Hs(R+)) означает пространство образов при преобразовании Фу- + → 2 s рье Ft→ξ2 пространства Соболева H (R+) функций на полупрямой R+; 570 А. В. БОЛТАЧЕВ оператор Π+ : Hs ⊕ Hs → Hs - проектор на первое слагаемое, где пространство Hs анало- + - + - гично определяется как Hs = Ft ξ (Hs(R )); - → 2 - ΠI - непрерывный функционал ΠI : Hs ⊕ Hs -→ C, + - -1 u(ξ2) ×-→ Более подробно, см., напр., в работах [12, 17, 19]. lim t→0+ Fξ2 →t(u(ξ2)). F Воспользовавшись обратным преобразованием Фурье -1 ξ2 →t , перейдем от задачи (3.1) к краевой задаче для оператора с периодическими коэффициентами периода 2π/(αξ1) на полуоси σL ∂ (D)(x, ξ1) : H s(R+) -→ Hs-m(R+) ⊕ ∂ , где σL(D)(x, ξ1) = D(eix, 0, ξ1, -i∂t, e-iαξ1 t)\ , (3.2) CN0 j∗B0(eix, ξ1, -i∂t) а j∗ - сужение в точку t = 0. Получим условия однозначной разрешимости краевой задачи (3.2). Пусть M - матрица монодромии при t = 0 оператора с периодическими коэффициентами D(eix, 0, ξ1, -i∂t, e-iαξ1 t) : Hs(R) -→ Hs-m(R). (3.3) Напомним, что матрица монодромии - это квадратная матрица M∈ Matm(C), равная - M(v0,... , vm 1) = (u(t), uI(t),... , u(m-1) Здесь u(t) - решение однородного уравнения (t )) . t=2π/αξ1 D(eix, 0, ξ1, -i∂t, e-iαξ1 t)u(t) = 0 с данными Коши в начальной точке t = 0 - u(0) = v0,... , u(m-1)(0) = vm 1. Из теории дифференциальных операторов с периодическими коэффициентами (см., напр., [7, гл. 2]) известно, что оператор (3.3) обратим тогда и только тогда, когда спектр его матрицы монодромии не пересекает единичную окружность. Составим матрицу монодромии M оператора (3.3) и обозначим через λk собственные значения этой матрицы. Обозначим через L+(x, ξ1) пространство решений уравнения (3.3), стремящихся к нулю при t → +∞. Ясно, что имеет место изоморфизм конечномерных линейных пространств L+(x, ξ1) "' k:|λk|<1 Vk, где через Vk обозначено корневое подпространство, соответствующее собственному значению λk матрицы M. Утверждение 3.1. Следующие условия эквивалентны: ∂ ∗ граничный символ σL(D)(x, ξ1) на левом основании цилиндра (см. (3.1)) эллиптичен при любых значениях параметров (x, ξ1) ∈ T0 ∂M |t=0; 0 краевая задача (3.2) на R+ с периодическими коэффициентами обратима при любых зна- чениях параметров (x, ξ1) ∈ T ∗∂M |t=0; (условие Шапиро-Лопатинского на левом основании цилиндра S1 ×[0, 1]) обратим оператор j∗ (B0(eix, ξ1, -i∂t)) : L+(x, ξ1) -→ CN0 , (3.4) где N0 - число граничных условий в задаче (1.1) на левом основании цилиндра. Доказательство. Эквивалентность условий 1) и 2) утверждения следует из изоморфности преоб- разования Фурье. Докажем эквивалентность условий 2) и 3), для чего воспользуемся следующей известной леммой. ОБ ЭЛЛИПТИЧНОСТИ ОПЕРАТОРОВ СО СКРУЧИВАНИЯМИ 571 Лемма 3.1. Пусть дан ограниченный оператор (A1 H2 A = A2 : H1 -→ ⊕ , (3.5) H3 где пространства H1, H2, H3 банаховы, а оператор A1 : H1 -→ H2 сюръективен. Тогда оператор A является изоморфизмом тогда и только тогда, когда сужение оператора A2|kerA1 : kerA1 -→ H3 на ядро оператора A1 является изоморфизмом. Вернемся к доказательству утверждения 3.1. Утверждается, что оператор D(eix, 0, ξ1, -i∂t, e-iαξ1 t) : Hs(R+) -→ Hs-m(R+) (3.6) сюръективен. В самом деле, продолжим функцию f ∈ Hs-m(R+) на всю прямую R с помощью оператора продолжения E : Hs(R+) -→ Hs(R) (см., напр., [1, с. 157]). Оператор D(eix, 0, ξ1, -i∂t, e-iαξ1 t) : Hs(R) -→ Hs-m(R) является изоморфизмом на всей прямой (см. (2.8)). Применив оператор сужения на полупря- мую R+ к функции u = (D-1E )f, получим функцию в Hs(R+), что доказывает сюръективность оператора (3.6) на полупрямой. 0 В силу приведенной леммы изоморфность оператора (3.4) эквивалентна обратимости краевой задачи (3.2) при любых значениях параметров (x, ξ1) ∈ T ∗∂M |t=0. Таким образом, условия 2) и 3) эквивалентны. Утверждение доказано. Граничный символ на правом основании цилиндра 0 σR Теперь рассмотрим правое основание S1 × {1} цилиндра. Фиксируем точку (x, ξ1) ∈ T ∗∂M |t=1. Граничный символ, обозначаемый через пространствах ∂ (D)(x, ξ1), согласно формуле (20) из [11], действует в σR 2 s 2 s-m по формуле - ∂ (D)(x, ξ1) : £ (Z,H - ) -→ £ (Z,H ⊕ C) (4.1) D(ei(x-kα), 1, ξ1, ξ2 + kαξ1, T )w(k, ξ2) \ w(k, ξ2) ×-→ (B (e ,ξ ,ξ + kαξ , , )w(k, ξ )) Π I - i(x kα) 1 ξ2 1 2 1 T 2 где (T w)(k, ξ2) = w(k + 1, ξ2 + αξ1), и выражения D(ei(x-kα), 1, ξ1, ξ2 + kαξ1, T ) = ) Dl (ei(x-kα), 1, ξ1, ξ2 + kαξ1\ T l, l ei(x-kα) B1(ei(x-kα), ξ1, ξ2 + kαξ1, T ) = ) B1,l ( , ξ1, ξ2 + kαξ1\ T l l определяются главными символами операторов D и B1 в задаче (1.1). Дадим явные выражения для пространств в (4.1). Имеем пространство ) = £2(Z,Hs J {w(k)} w(k) ∈ Hs l k и ) lw(k) 2 s 2s < ∞ с нормой - - H- k 2 r s 2 и пространство - lulHs = R |Π-(iξ2 + |ξ1|) u(ξ2)| dξ2 - £2(Z,Hs(R - ) ⊕ CN1 ) = J(w, v) = {(w(k), v(k))} w(k) ∈ Hs(R ), v(k) ∈ CN1 2 и ) l(w(k), v(k))ls,k < ∞ , k 2 где в соответствии с формулой (19) из [11] семейство норм l(w, v)ls,k в последнем пространстве равно 572 А. В. БОЛТАЧЕВ 2 ∗-1 s 2 ∂γ∗- 2 ∗-1 s M l(w, v)ls,k = lΠ-∂γ £-wlL2 | | + v (∂γ vol M σ(ΔXM ) ) = volXM 1 s 2 2 ∗-1 s s 2 2 2s Здесь = lΠ-∂γ∗- £-wlL2 + |v| (∂γ σ(ΔXM ) ) = lΠ-(i(ξ2 + kαξ1)+ |ξ1|) wlL2 + |v| ξ1 . (4.2) 0 £- : T ∗M -→ C - эллиптические символы первого порядка, которые в окрестности края многообразия M равны £-(x, t, ξ1, ξ2) = iξ2 + |ξ1|; второе равенство в (4.2) справедливо в силу того, что формы объема vol M = dx ∧ dt и volXM = dx не изменяются при скручиваниях цилиндра; в третьем равенстве в (4.2) мы учли, что γ(x, t) = (x + kαt, t), и сделали подстановки ∂γ∗-1£ = i(ξ + kαξ )+ |ξ | и σ(Δ ) = ξ2. - 2 1 1 XM 1 Далее для простоты будем полагать ξ1 = 1 и приведем следующую лемму. Лемма 4.1. Справедлива коммутативная диаграмма: σR (D) Z £2( ,Hs ) - - ∂ ,, £2(Z,Hs-m ⊕ CN1 ) (4.3) F -1 -1 F -1 -1 k→ϕ ⊗Fξ2 →t σR (D) k→ϕ ⊗Fξ2 →t Hs 1 ∂ ,, s-m 1 2 1 N1 a (S × R-) Ha (S × R-) ⊕ L (S , C ), k→ϕ где F-1 и F -1 ξ2 →t - обратные преобразования Фурье, а в нижней строчке диаграммы участвует оператор, действующий по формуле σR D(eixT α, 1, 1, -i∂t - iα∂ϕ, e-i(ϕ-αt))u(ϕ, t)\ ∂ (D)u(ϕ, t) = B1(eix T α, 1, -i∂t - iα∂ϕ, e- i(ϕ- αt) )u(ϕ, 0) , (4.4) a где T αu(ϕ, t) = u(ϕ - α, t). Пространства Hs в диаграмме (4.3) являются анизотропными про- странствами Соболева с нормой 2 lwlHs 1 = r r 1(1 (∂ + α∂ )2)sw(ϕ, t)l w(ϕ, t)dtdϕ. (4.5) - t ϕ a (S ×R-) R S1 - Знак «⊗» в диаграмме (4.3) означает, что первое преобразование действует по первой перемен- ной, а второе - по второй переменной. Доказательство. Для нахождения нормы в пространстве Hs(S1 × R ) вычислим второе вер- a - тикальное отображение в диаграмме. Введем обозначения wˆ(k, ξ2) = Fϕ→k (w(ϕ, ξ2)) и vˆ(k) = 2 s - Fϕ→k (v(ϕ)) и выразим норму в пространстве £ (Z,H ⊕ C) в терминах обратных преобразований Фурье: 2 r 2 s 2 ⊕C) l(wˆ, vˆ)lα2 (Z,Hs = ) - k R Π-((ξ2 + kα) + 1) wˆ(k, ξ2)wˆ(k, ξ2)dξ2 + |vˆ(k)| = r r 2 s 2 = S1 R Π-((ξ2 - iα∂ϕ) + 1) w(ϕ, ξ2)w(ϕ, ξ2)dξ2dϕ + lvlL2 (S1 ) = r r lL2 (S1 = (1 - (∂t + α∂ϕ)2)sw(ϕ, t)w(ϕ, t)dtdϕ + lv 2 ). R S1 - a - Полученное выражение является квадратом нормы в пространстве Hs(S1 ×R вом интеграле мы воспользовались обратным преобразованием Фурье F-1 )⊕L2(S1, C). В пер- , а во втором - об- ξ2 →t ратным преобразованием Фурье F-1 k→ϕ . Последнее равенство справедливо в силу того, что преоб- разование Фурье переводит проектор Π- в отображение сужения на R-. ОБ ЭЛЛИПТИЧНОСТИ ОПЕРАТОРОВ СО СКРУЧИВАНИЯМИ 573 Воспользуемся в краевой задаче (4.4) следующей заменой переменных: (ϕ, t) = (ψ + ατ, τ ) с соответствующей заменой производных ∂ψ = ∂ϕ, ∂τ = ∂t + α∂ϕ. Тогда задача (4.4) примет вид σR s 2 1 - Hs-m(R , L2(S1)) ∂ (D) : H (R-,L (S )) -→ ⊕ L2(S1, CN1 ) , (4.6) R D(eixT α, 1, 1, -i∂τ , e-iψ )u(τ, ψ)\ σ ∂ (D)u(τ, ψ) = где T αu(τ, ψ) = u(τ, ψ - α). , B1(eixT α, 1, -i∂τ , e-iψ )u(0, ψ) Следующее утверждение является аналогом утверждения 3.1 для граничного символа на пра- вом основании цилиндра. Утверждение 4.1. Следующие условия эквивалентны: R ∂ S1 граничный символ σR(D)(x, ξ1) на правом основании цилиндра (см. (4.1)) эллиптичен при любых значениях параметров x ∈ , ξ1 ∈ ; оператор (4.6) обратим при любых x ∈ S1; Если операторы Dl в формуле (1.2) имеют постоянные по x коэффициенты, то условия 1) и 2) эквивалентны условию: (условие Шапиро-Лопатинского на правом основании цилиндра S1 × [0, 1]) обратимо семей- ство краевых задач для дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами на полупрямой: D(1, 1, -i∂τ , e-iψ ) \ Hs-m (R-) j∗B1(1, -i∂τ , e-iψ ) с параметром ψ ∈ [0, 2π]. - : Hs(R ) -→ ⊕ CN1 (4.7) Доказательство. Аналогично утверждению 3.1 условия 1) и 2) эквивалентны в силу диаграм- мы (4.3) и изоморфности преобразования Фурье. В случае, когда оператор D имеет постоянные по x коэффициенты, оператор (4.6) отвечает семейству операторов (4.7) с параметром ψ ∈ [0, 2π]. В силу коммутативности диаграммы (4.3) и изоморфности преобразования Фурье условия 1) и 3) эквивалентны. Из утверждений 2.1, 3.1 и 4.1 получаем условие эллиптичности задачи (1.1), которое является основным результатом данной работы. Теорема 4.1. Краевая задача (1.1) эллиптична тогда и только тогда, когда выполнены сле- дующие три условия: внутренний символ оператора D (см. (2.2)) эллиптичен; выполнено условие Шапиро-Лопатинского на левом основании цилиндра M (см. утвер- ждение 3.1); выполнено условие Шапиро-Лопатинского на правом основании цилиндра M (см. утвер- ждение 4.1). Пусть α несоизмеримо с π. Применяя результаты из [2, следствие 2] и [11, § 4], получаем следствие. Следствие 4.1. Если выполнены условия теоремы 4.1, то краевая задача (1.1) фредгольмова. Пример На цилиндре M = S1 × [0, 1] найдем условия эллиптичности задачи ∂2 t u + (1+ ε(T + T x ∗))∂2u = f (x, t), (5.1) u|t=0 = g0(x), u|t=1 = g1(x), где u ∈ Hs(M ), (T u)(x, t) = u(x - αt, t), α ∈ R+, ε ∈ R. Нетрудно проверить, что оператор T является унитарным, т. е., T ∗ = T -1. 574 А. В. БОЛТАЧЕВ Выпишем условия эллиптичности задачи (5.1). В силу утверждения 2.1 обратимость внутреннего символа задачи (5.1) эквивалентна обра- тимости оператора Матьё (см., напр., [23]) α-2σint d2 ( 1 2ε s s-2 (D) = - dϕ2 + α2 + α2 cos ϕ : H (R) -→ H (R). (5.2) ∂ В силу утверждения 3.1 граничному символу σL(D)(ξ1) соответствует краевая задача ⎧ ( 1 2ε s ⎨ -uII(t)+ ⎩ u(0) = h1. α2 + α2 cos t u(t) = 0, u ∈ H (R+), (5.3) Дифференциальный оператор в полученной краевой задаче является оператором Матьё, ана- логичным оператору (5.2). Условие эллиптичности состоит в однозначной разрешимости зада- чи (5.3). Теперь зафиксируем ψ ∈ [0, 2π]. В силу утверждения 4.1 обратимость граничного символа задачи (5.1) на правом основании цилиндра эквивалентна однозначной разрешимости краевой задачи - -α2uII(τ )+ (1 + 2ε cos ψ) u(τ ) = 0, u ∈ Hs(R ), u(0) = h1. Это условие легко проверить. Уравнение -α2uII(τ )+ (1 + 2ε cos ψ) u(τ ) = 0 (5.4) √ √ имеет решение u(τ ) = C1e- λτ +C2e λτ , где λ = α-2(1+2ε cos ψ). Для однозначной разрешимости задачи (5.4) необходимо выполнение условия 1+ 2ε cos ψ > 0 при всех ψ ∈ [0, 2π], откуда получаем условие |ε| < 1/2. Таким образом, доказана следующая теорема. Теорема 5.1. Задача (5.1) эллиптична, когда выполнены следующие условия: уравнение Матьё (5.2) однозначно разрешимо; краевая задача для уравнения Матьё (5.4) однозначно разрешима; выполнено условие |ε| < 1/2.