Том 69, № 1 (2023): Дифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения
- Год: 2023
- Статей: 12
- URL: https://journals.rudn.ru/CMFD/issue/view/1652
- DOI: https://doi.org/10.22363/2413-3639-2023-69-1
Весь выпуск
Статьи
Гладкость решений задачи об успокоении нестационарной системы управления с последействием нейтрального типа на всем интервале
Аннотация
Рассматривается задача об успокоении нестационарной системы управления, описываемой системой дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа с гладкими матричными коэффициентами и несколькими запаздываниями. Эта задача эквивалентна краевой задаче для системы дифференциально-разностных уравнений второго порядка, которая имеет единственное обобщенное решение. Доказано, что гладкость этого решения может нарушаться на рассматриваемом интервале и сохраняется лишь на некоторых подынтервалах. Получены достаточные условия на начальную функцию, обеспечивающие гладкость обобщенного решения на всем интервале.
1-17
Квазилинейные эллиптические и параболические системы с недиагональными главными матрицами и сильными нелинейностями по градиенту. Проблемы разрешимости и регулярности
Аннотация
Изучаются недиагональные эллиптические и параболические системы уравнений с сильно нелинейными членами по градиенту. Мы рассматриваем и комментируем известные результаты о разрешимости и регулярности и описываем последние результаты автора в этой области.
18-31
Разностные схемы второго порядка точности для нелокальных по времени параболических задач интегрального типа
Аннотация
Исследуются разностные схемы второго порядка точности для приближенного решения нелокальных по времени параболических задач интегрального типа. Установлены теоремы об устойчивости r-модифицированной разностной схемы Кранка-Николсона и неявной разностной схемы второго порядка точности для приближенного решения нелокальных по времени параболических задач интегрального типа в гильбертовом пространстве с самосопряженным положительно определенным оператором. В качестве приложения получены оценки устойчивости решений второго порядка точности по t разностных схем для одномерной и многомерной нелокальной во времени параболической задачи. Приведены численные результаты.
32-49
Свойство отслеживания для неавтономных динамических систем
Аннотация
Предлагается новый подход, основанный на анализе влияния одиночного возмущения, в качестве теста для свойства отслеживания для широкого класса динамических систем (в частности, неавтономных) при различных возмущениях. Подробно изучены приложения для нескольких интересных классов динамических систем.
50-61
Отсутствие положительных решений некоторых нелинейных неравенств с преобразованиями аргумента в полупространстве
Аннотация
Мы доказываем отсутствие положительных решений для некоторых полулинейных эллиптических неравенств в частных производных с преобразованиями аргумента в полупространстве. Доказательства основаны на методе пробных функций.
62-72
Спектральные свойства операторов в задаче о нормальных колебаниях смеси вязких сжимаемых жидкостей
Аннотация
Исследуется задача о нормальных колебаниях гомогенной смеси нескольких вязких сжимаемых жидкостей, заполняющих ограниченную область трёхмерного пространства с бесконечно гладкой границей. Рассматриваются два граничных условия: условие прилипания и условие проскальзывания без касательных напряжений. Доказано, что существенный спектр задачи в обоих случаях представляет собой конечный набор отрезков, расположенных на действительной оси. Оставшийся спектр состоит из изолированных собственных значений конечной алгебраической кратности и расположен на действительной оси за исключением, быть может, конечного числа комплексно сопряжённых собственных значений. Спектр задачи содержит подпоследовательность собственных значений с предельной точкой в бесконечности и степенным асимптотическим распределением.
73-97
Энтропийные и ренормализованные решения нелинейной эллиптической задачи в пространствах Музилака-Орлича
Аннотация
В работе установлена эквивалентность энтропийных и ренормализованных решений эллиптических уравнений второго порядка с нелинейностями, определяемыми функциями Музилака-Орлича, и правой частью из пространства L1(Ω). В нерефлексивных пространствах Музилака-Орлича-Соболева доказаны существование и единственность как энтропийных, так и ренормализованных решений задачи Дирихле в областях с липшицевой границей.
98-115
Об асимптотических свойствах решений дифференциальных уравнений нейтрального типа
Аннотация
Исследуется устойчивость систем линейных автономных функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа. В основе исследования лежит известное представление решения в виде интегрального оператора, ядром которого является функция Коши исследуемого уравнения. Определения устойчивости по Ляпунову, асимптотической и экспоненциальной устойчивости сформулированы в терминах соответствующих свойств функции Коши, что позволило без потери общности уточнить ряд традиционных понятий. Наряду с понятием асимптотической устойчивости вводится новое понятие сильной асимптотической устойчивости. Основные результаты связаны с устойчивостью по начальной функции из пространств суммируемых функций. В частности, установлено, что сильная асимптотическая устойчивость при начальных данных из пространства \(L_1\) равносильна экспоненциальной оценке функции Коши и, более того, экспоненциальной устойчивости по начальным данным из пространств \(L_p\) для любого \(p\ge1.\)
116-133
L2 -оценки погрешности усреднения параболических уравненийс учетом корректоров
Аннотация
Рассматриваются параболические уравнения второго порядка с ограниченными измеримыми \(\varepsilon\)-периодическими коэффициентами. Для решения задачи Коши в слое \(R^d\times(0,T)\) с неоднородным уравнением получены приближения в норме \(\|\cdot\|_{L^2(R^d\times(0,T))}\) с остаточным членом порядка \(\varepsilon^2\) при \(\varepsilon \to 0.\)
134-151
Гладкость обобщенных решений задачи Дирихле для сильно эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с ортотропными сжатиями на границе соседних подобластей
Аннотация
Статья посвящена изучению гладкости обобщенных решений первой краевой задачи для сильно эллиптического функционально-дифференциального уравнения, содержащего в старшей части преобразования ортотропного сжатия аргументов искомой функции. Задача рассматривается в круге, коэффициенты уравнения постоянные. Под ортотропным сжатием понимается различное сжатие по различным переменным. Найдены в явном виде условия сохранения гладкости на границах соседних подобластей, образованных действием группы преобразования сжатия на круг, при любой правой части из пространства Лебега.
152-165
Интегро-дифференциальные уравнения в банаховых пространствах и аналитические разрешающие семейства операторов
Аннотация
Исследуется класс уравнений в банаховых пространствах с интегро-дифференциальным оператором типа Римана—Лиувилля с операторнозначным ядром свертки. Исследованы свойства \(k\)-разрешающих операторов таких уравнений, определен класс \(\mathcal A_{m,K,\chi}\) линейных замкнутых операторов, принадлежность которому необходима и в случае коммутирования оператора с ядром свертки достаточна для существования аналитических в секторе \(k\)-разрешающих семейств операторов исследуемого уравнения. При некоторых дополнительных условиях на ядро свертки доказаны теоремы об однозначной разрешимости неоднородного линейного уравнения рассматриваемого класса в случае непрерывной в норме графика оператора из уравнения или гельдеровой неоднородности. Доказана теорема о достаточных условиях на аддитивное возмущение оператора класса \(\mathcal A_{m,K,\chi}\) для того, чтобы возмущенный оператор также принадлежал такому классу. Абстрактные результаты использованы при исследовании начально-краевых задач для системы уравнений в частных производных с несколькими дробными производными Римана—Лиувилля по времени разных порядков и для уравнения с дробной производной Прабхакара по времени.
166-184
Метод поисковых функционалов и его применения в теории неподвижных точек и совпадений
Аннотация
Статья содержит обзор ряда результатов, содержащихся в работах автора, а также автора и Ю. Н. Захаряна, о существовании и аппроксимации нулей однозначных и многозначных (α, β)поисковых функционалов, о сохранении, при изменении числового параметра, существования нулей таких функционалов. Приводятся следствия из этих результатов в теории неподвижных точек и точек совпадения однозначных и многозначных отображений метрических пространств. Проводится сравнение с известными результатами других авторов. В завершающей части статьи исследуется проблема существовании непрерывной по параметру однозначной ветви нулей у параметрического семейства поисковых функционалов. Доказана теорема о существовании решения этой задачи.
185-200