Quasilinear elliptic and parabolic systems with nondiagonal principal matrices and strong nonlinearities in the gradient. Solvability and regularity problems

Abstract

We consider nondiagonal elliptic and parabolic systems of equations with strongly nonlinear terms in the gradient. We review and comment known solvability and regularity results and describe the last author’s results in this field.

Full Text

Сильно нелинейные эллиптические системы Пусть Ω - ограниченная область в пространстве Rn, n 2, и u : Ω → RN , N 1 - решение системы -div(A(x, u)∇ u)+ b(x, u, ∇ u) = f (x), x ∈ Ω, (1.1) k lk N ∇ где u = (u1,... , uN ), u = f ∂u ∂ xα . α n f lα,β n Предположим, что недиагональная матрица A(x, u) = kl Aαβ (x, u) k,l N равномерно непрерывна на Ω × RN и удовлетворяет условию равномерной эллиптичности | (A(x, u) ξ · ξ) ν |ξ 2 ∀ξ ∈ RnN , (1.2) с константами 0 <ν μ. |A(x, u)| μ, (x, u) ∈ Ω × RN , (1.3) Мы также предполагаем, что функция b : Ω × RN × RnN → RN определена, удовлетворяет условиям Каратеодори на Ω × RN × RnN , и 2 |b(x, u, p)| b0|p| , b0 = const, (x, u) ∈ Ω × RN , p ∈ RnN ; (1.4) © А. А. Архипова, 2023 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 18 КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ И ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 19 следующее одностороннее условие выполнено на Ω × RN × RnN : N 2 b(x, u, p) · u = ' bk(x, u, p)uk γ |p| , γ = const, ν + γ > 0; (1.5) k=1 а также существует константа b1 такая, что |b(x, v, p) - b(x, v, q)| b1(|p| + |q|)|p - q|, (x, v) ∈ Ω × RN , p, q ∈ RnN . (1.6) В уравнении (1.1) мы рассматриваем функции f ∈ Lq (Ω; RN ), q > n/2. (1.7) 2 Условие (1.4) означает, что b(x, u(x), ∇ u(x)) ∈ L1(Ω; RN ) при условии, что u - функция из пространства Соболева W 1(Ω; RN ), и мы имеем, что -div(A(x, u)∇ u) = -b(x, u(x), ∇ u(x)) + f (x) ∈ L1(Ω; RN ). Такие системы (и, в частности, скалярные уравнения при N = 1) известны как сильно нелинейные системы. Для изучения такого класса систем мы вынуждены применять специальные подходы. 2 Например, для исследования задачи Дирихле для такого класса скалярных уравнений (при N = 1) в [8] применялся метод Лере-Шаудера. Доказано, что подходящим классом слабых решений является W 1(Ω) ∩ L∞(Ω). Ограниченность слабых решений предполагалась как необходимое условие для доказательства их дальнейшей гладкости (см. контрпримеры регулярности в [8, гл. 1, § 2]). 2 Поскольку класс W 1(Ω) ∩ L∞(Ω) является естественным при изучении задачи Дирихле для уравнения (1.1), N = 1, где b(x, u, p) имеет квадратичный рост по |p| при |p| → ∞, нам потребуются дополнительные предположения для оценки ⊕u⊕L∞ (Ω). Одним из таких предположений является одностороннее условие (1.5). Следует отметить, что можно допустить более общие условия, чем (1.4) и (1.5) для функции b, но мы выбрали простейший вариант ограничений, чтобы объяснить основную идею нашего подхода. В качестве контрпримера регулярности в скалярных задачах Дж. Фрезе [31] рассматривал вариационную задачу r Φ[u] = | [1 + (1 + eu (ln |x|)-12)-1] |∇ u 2 dx =⇒ min , 2 u∈W˚ 1(Ω) BR(0) где u : BR(0) → R1, R = e-1, n = 2, N = 1. Здесь a(x, u) = 1 + (1 + eu (ln |x|)-12)-1, минимизирующей функцией здесь является u ≡ 0, и существует неограниченная экстремаль 2 u(x) = 12 ln(ln |x|-1) ∈ W˚ 1(BR(0)), u 1 a(x, u(x)) 2, |at (x, u(x))| 1. Эта функция удовлетворяет уравнению Эйлера-Лагранжа 1 2 в смысле распределений. u -div(a(x, u)∇ u)+ 2 at (x, u)|∇ u| = 0 В этом примере выполняются предположения (1.1)-(1.4), но нет дополнительного условия, обеспечивающего L∞-оценку на u. Теперь рассмотрим так называемые диагональные сильно нелинейные системы. В этом случае u : Ω → RN , N > 1, является решением системы xβ -(aαβ (x, u)uk )xα + bk (x, u, ∇ u) = fk(x), k N, x ∈ Ω, (1.8) где главная [n × n]-матрица a(x, u) одинакова для всех уравнений, а функция b имеет квадратичный рост по градиенту. Качественные свойства решений систем такого типа (в частности, систем, связанных с гармоническими отображениями) хорошо изучены. Априорная оценка L∞нормы решений (1.8) была получена в [8, гл. 8, § 5] при некотором одностороннем условии для функции b, но дальнейшая регулярность доказана только при предположении меньшей скорости 2-ε роста b(x, u, p) ∼ |p| , ε > 0, |p|→ ∞. 20 А. А. АРХИПОВА Результаты о гладкости при размерностях n = 2 и n 3 для таких систем различны. Гладкая разрешимость задачи Дирихле для класса сильно нелинейных эллиптических систем в Ω ⊂ R2 была доказана Дж. Фрезе [32] при некотором одностороннем условии для b. 2 С. Хильдебрандтом и К.-О. Видманом [34] было показано, что необходимым условием для доказательства непрерывности по Гельдеру и дальнейшей регулярности слабых решений уравнения (1.8) в W 1(Ω; RN ) ∩ L∞(Ω; RN ), n 3, при условиях (1.2)-(1.4) является следующее условие: b0 ⊕u⊕L∞ (Ω;RN ) < ν. (1.9) В то же время, контрпримеры П.-А. Айверта [35] и М. Струве [48] подтверждают, что одностороннего условия (1.5) недостаточно для доказательства непрерывности ограниченного слабого решения диагональной системы при n 3. Существует важное различие в поведении слабых решений эллиптических систем с недиа- 2 гональными главными матрицами и скалярных уравнений. Напомним, что слабые решения u ∈ W 1(Ω) уравнения (1.1) с b = 0, N = 1 и ограниченными эллиптическими матрицами a(x) = A(x, u(x)) - это функции, непрерывные по Гельдеру в Ω, согласно хорошо известным классическим результатам Де Джорджи и Нэша (см. [18, 40] и [8, гл. 4, § 1]). В 1968 г. в работе [19] Э. Де Джорджи была построена линейная эллиптическая система div(A(x) ∇ u) = 0, x ∈ B1(0) ⊂ Rn, n = N, n 3, (1.10) с ограниченными, но не гладкими элементами эллиптической матрицы A. Система имеет слабое решение u ∈ W˚ 1(B1(0); Rn), lim |u(x)| = ∞. Матрица A(x) является симметричной, и мы можем 2 x→0 рассматривать u(x) как экстремаль соответствующего квадратичного функционала. Очевидно, результат противоречит скалярной ситуации [18, 40]. Позднее разными авторами было построено много различных контрпримеров регулярности для эллиптических и параболических систем с недиагональными главными частями (см. работы [24, 38, 44-46, 49] и ссылки в них). Из сказанного следует, что можно ожидать лишь частичную регулярность слабых решений различных классов эллиптических и параболических систем. Возникает проблема описания и оценки допустимых сингулярных множеств слабых решений. Как правило, мы можем оценить хаусдорфову размерность сингулярного множества. В настоящее время существует три основных подхода к изучению частичной регулярности слабых решений. Исторически первый метод использовал идею доказательства от противного. Он известен как «метод от противного». Идея состоит в том, чтобы доказать монотонность масштабированного эксцесса слабого решения от противного (см., например, [24, гл. 4, § 1]). Позднее появился так называемый «прямой» метод. Он сочетает в себе идею замораживания коэффициентов и более высокую интегрируемость градиента слабого решения u. Более высокая интегрируемость |∇ u| является следствием применения локального варианта леммы Геринга [23]. Локальные варианты леммы [27, 47] позволяют доказать более высокую интегрируемость |∇ u| при условии, что определенная степень |∇ u| удовлетворяет обратным неравенствам Гельдера (ОНГ) с различными носителями (см. [24, гл. 5, § 1] и [26, § 7.1]). ОНГ применялись для уточнения данных о слабых решениях как эллиптических, так и параболических задач. Возникли различные модификации леммы Геринга, в частности, появились ОНГ в параболической метрике. Предложенная автором концепция квазиобратных неравенств Гельдера применялась для изучения решений сильно нелинейных эллиптических и параболических систем уравнений (см. [9, 10]). Наконец, третий подход (метод A-гармонической аппроксимации) был успешно применен Ф. Дюзаром и Дж. Ф. Гротовски для исследования частичной регулярности нелинейных эллиптических систем [20] (см. также [22]). Метод является развитием идеи Э. Де Джорджи, заключающейся в оценке отличия интегрального тождества для слабого решения нелинейной задачи от простейшего тождества для модельной системы с подходящим классом пробных функций (см. [41]). Метод вводит элементарный способ доказательства частичной регулярности решений при более естественных или даже оптимальных предположениях о данных. Эта идея была обобщена Ф. Дюзаром и Г. Минджионе в [21] для изучения частичной регулярности слабых решений для широкого класса параболических систем (метод A-калорической аппроксимации). Позже появилась новая версия метода. Он получил название «метод A(t)-калорической аппроксимации» [17]. КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ И ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 21 Метод ослабил предположения о гладкости главной матрицы различных классов параболических систем (см. [14-17]). Теперь обсудим некоторые известные результаты о частичной регулярности. 2 Если мы рассмотрим простейшую эллиптическую систему (1.10) в Ω ⊂ Rn, n 3, с эллиптической равномерно непрерывной на Ω × RN матрицей A(x, u), то любое слабое решение системы из W 1(Ω; RN ) является функцией, непрерывной по Гельдеру на открытом множестве Ω0, а замкнутое сингулярное множество Σ = Ω \ Ω0 допускает оценку Hn-2-ε(Σ) = 0 для некоторого (достаточно малого) ε > 0. Результат был доказан Э. Джусти, М. Миранда [30] и Ч. Морри [39]. Следует отметить, что в двумерном случае (n = 2, N 1) особые множества слабых решений (1.10) отсутствуют. Непрерывность слабых решений в этом случае следует из того, что любое слабое решение (1.10) из W 1(Ω; RN ) принадлежит некоторому пространству W 1 (Ω; RN ), ε > 0. 2 2+ε Это доказывается с помощью техники ОНГ. Непрерывность следует из теоремы вложения при dim Ω = 2. Первый результат об интегрируемости более высокого порядка |∇ u| для систем (1.10) и более общих систем был доказан М. Джаквинта и Э. Джусти [25]. Авторы применяли прямой метод для доказательства частичной регулярности слабых решений. 2 Такую же оценку сингулярного множества можно получить для систем (1.1), если функция b имеет квадратичный рост по градиенту, и мы рассматриваем слабые ограниченные решения u ∈ W 1(Ω; RN ) ∩ L∞(Ω; RN ) в предположении, что 2 b0 ⊕u⊕L∞ (Ω;RN ) < ν, (1.11) где ν и b0 фиксированы в (1.2) и (1.4), соответственно. Это ограничение на L∞-норму позволяет получить локальные энергетические оценки решения. Окончание доказательства частичной регулярности такое же, как и в случае b = 0 либо в случае не критически растущего b при |p|→ ∞. Следует отметить, что условие (1.11) всегда допускается авторами, если рассматриваются системы с квадратичной нелинейностью по градиенту. 2 По мнению автора, класс V = W 1(Ω; RN ) ∩ L∞(Ω; RN ) является естественным для изучения сильно нелинейных скалярных уравнений (N = 1) и доказательства непрерывности слабых решений во всех точках области. В этой ситуации принцип максимума помогает оценить ⊕u⊕L∞ (Ω;RN ) по данным. Для эллиптических и параболических систем с недиагональными главными матрицами принцип максимума не выполняется, и у нас нет инструментов для оценки L∞-нормы решения. Это означает, что невозможно проверить условие (1.11). 2 Именно по этой причине автор решил рассматривать слабые решения задачи (1.1)-(1.4) в более общем смысле. Предположим, что u ∈ W 1(Ω; RN ) может быть неограниченным. 2 Определение 1.1. Функция u ∈ W 1(Ω; RN ) является слабым решением системы (1.1), если она удовлетворяет тождеству r r [A(x, u) ∇ u ·∇ η + b(x, u, ∇ u) · η] dx = Ω Ω 0 f (x) · η dx ∀η ∈ C∞(Ω). (1.12) 2 Это означает, что мы понимаем u как решение в смысле распределений. Конечно, мы можем рассмотреть в (1.12) пробные функции из W˚ 1(Ω; RN ) ∩ L∞(Ω; RN ). Чтобы доказать локальную регулярность потенциально неограниченных слабых решений, мы дополнительно предположим, что выполняется одностороннее условие (1.5). Сформулируем предположения о поведении u в фиксированной точке x0 ∈ Ω, гарантирующие непрерывность u(x) в некоторой окрестности этой точки. Сначала определим эксцесс E(r, x0) следующим образом: Напомним, что условие E(r, x0) = 1 rn-2 r Br (x0 ) | |∇ u 2 dx. lim inf E(r, x0) = 0 (1.13) r→0 22 А. А. АРХИПОВА является основным предположением для описания регулярных точек решений даже для простейших систем (1.10). В этом случае предположение (1.13) позволяет доказать монотонность по r эксцесса E(r, x0). Как следствие, можно доказать непрерывность по Гельдеру u в окрестности x0. Предположения (1.13) и (1.11) обычно используются для доказательства частичной регулярности ограниченных слабых решений системы (1.1) при условиях (1.2)-(1.4). Теперь исследуем среднее значение u. Положим ur,x0 = 1 |Br | r Br (x0 ) u(y) dy и сформулируем следующий результат, принадлежащий автору. 2 Теорема 1.1 (см. [4, Theorem 2.1]). Пусть выполнены предположения (1.2)-(1.7), а u - слабое решение уравнения (1.1) из W 1(Ω; RN ). Если при n> 2 имеет место предел lim |uρ,x0 | = m, m < ρ→0 ν + γ b0 , (1.14) Bρ 0 β N в некоторой точке x0 ∈ Ω, и если предположение (1.13) выполнено в x0, то существует 0 (x ) ⊂ Ω такое, что u ∈ C (Bρ0 (x0); R ) для любого β ∈ (0, min{1, 2 - n/q}). Если n = 2, то утверждение теоремы следует при выполнении условия (1.14). 0 Замечание 1.1. Если доказана непрерывность u по Гельдеру в некотором шаре Bρ0 (x ) и 1 данные задачи достаточно гладкие, то можно доказать непрерывность ∇ u(x) в некотором шаре Bρ (x0), ρ1 < ρ0 (см., например, [26, теорема 9.7]), и дальнейшая регулярность следует из линейной теории регулярности. Замечание 1.2. Как уже упоминалось, условие (1.13) предполагается даже тогда, когда b = 0 и требуется описать регулярные точки решений. Мы заменили в этой теореме ограничение (1.11) предположением (1.14). Замечание 1.3. В [5] мы описали регулярные точки неограниченных слабых решений нелинейных эллиптических систем с квадратичной нелинейностью по градиенту -div a(x, u, ∇ u)+ b(x, u, ∇ u) = f (x), x ∈ Ω. Предполагалось одностороннее условие для функции b. Замечание 1.4. В [4, 5] результаты были доказаны методом от противного. Метод был ранее применен Ч. Гамбургером в [33] для изучения частичной регулярности ограниченных слабых решений нелинейных эллиптических систем с естественными q-нелинейностями по градиенту, q 2. 2. Параболические системы с квадратичной нелинейностью по градиенту Глобальная разрешимость задачи Коши-Дирихле для скалярных параболических уравнений (N = 1) с квадратичной нелинейностью по градиенту может быть доказана методом Лере- Шаудера при условии, что данные достаточно гладкие в QT = Ω × [0,T ] ∀T > 0 (см., например, [7, гл. 5, § 6]). В качестве первого шага для применения метода нам потребуется априорная оценка ⊕u(x, t)⊕L∞ (QT ) по данным, где u - решение задачи. Напомним, что получить такую оценку помогает одностороннее условие на нелинейный член. Далее рассмотрим случай N > 1. Прежде всего рассмотрим параболические системы вариационной структуры. Более точно, пусть Ω - ограниченная область в R2, QT = Ω × (0,T ) и u : QT → RN , N > 1, - решение следующей задачи Коши-Дирихле: × ut + Lu = 0, u = u(z), z = (x, t) ∈ QT ; u|∂ Ω (0,T ) = 0, u|t=0 = φ0(x). (2.1) Здесь L - оператор Эйлера-Лагранжа для некоторого класса квадратичных функционалов. КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ И ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 23 Первый результат [1] автора был посвящен системам, порожденным простейшими функционалами Φ0[v] = 1 r (A(x, v) v v) dx, Ω R2, 2 ∇ ·∇ ⊂ Ω с эллиптическими недиагональными достаточно гладкими матрицами A (см. также [2, 11, 12]). В [1] было доказано, что глобальное решение задачи существует и имеет не более чем конечное число особых (сингулярных) точек (xj, tj ) ∈ Ω × (0, ∞). Точка (xj, tj ) является особой, если lim sup E(u(t), Br (xj ) ∩ Ω) ε0 ∀r > 0 (2.2) t±tj при некотором ε0 > 0, где E(u(t), Br (xj ) ∩ Ω) = 1 r 2 Ω∩Br (xj ) (A(x, u(x, t))∇ u(x, t) ·∇ u(x, t)) dx. Условие (2.2) означает, что концентрация энергии сохраняется в особых точках. Позднее в работах М. Спековиус-Нейгебауэр и Дж. Фрезе [42, 43] было доказано, что если дополнительно предположить, что для сильно нелинейных членов b(x, u, ∇ u) класса параболических систем с вариационной структурой (n = 2) выполняется одностороннее условие, то не существует точек (xj, tj ), в которых локальная энергия E(u(t), Br (xj ) ∩ Ω) концентрируется, и глобальное решение задачи является гладким для всех t ∈ [0, ∞). В [3] нами были рассмотрены более общие квадратичные функционалы r Φt[v] = Ω [f (x, t, v, ∇ v)+ g(x, t, v)] dx, x ∈ Ω ⊂ R2, t ∈ [0,T ]. } Тогда L = {Lk k N имеет следующую структуру: где - Lk[v] = d d xα v ∇ ∇ f k (x, t, v, v)+ bk (x, v, v), xα bk (x, t, v, p) = fvk (x, t, v, p)+ gvk (x, t, v). Среди предположений в [3] для f, g и их производных имеем, в частности, что 2 2 m f (z, v, p) ≈ |p| , |p|→ ∞, |b(z, v, p)| b0|p| + b1|v| + ψ(z), m 0. (Отметим, что ниже мы пишем B(QT ) вместо B(QT ; RN ) для упрощения записи.) При некоторых предположениях о гладкости данных и при некотором условии малости произведения b0 ⊕∇ φ0⊕L2 (Ω) нами доказана в [3] глобальная по времени разрешимость задачи (2.1) в классе W 2,1(QT ) ∩ Cβ (QT ; δ), ⊕u(·, t) - φ0(·)⊕ ˚ → 0, t → 0. 2 2 W 1 (Ω) Напомним, что параболическая метрика определяется следующим образом: | δ(z1, z2) = max{|x1 - x2|, |t1 - t2 1/2 } ∀z1 , z2 R , n+1 ∈ а утверждение u ∈ Cβ (QT ; δ) означает, что функция u является непрерывной по Гельдеру с показателем β по xi, i n, и показателем β/2 по переменной t. Теперь рассмотрим квазилинейные параболические системы ut + Lu = f (z), z ∈ QT , (2.3) где оператор | Lu = -div(A(z, u)∇ u)+ b(z, u, ∇ u), b(z, u, p) ∼ |p 2, |p|→ ∞, (2.4) не имеет вариационной структуры и эллиптическая матрица A(z, u) не является диагональной. Насколько известно автору, для классических краевых задач с системами такого типа нет результатов о разрешимости даже в двумерной области Ω. 24 А. А. АРХИПОВА В то же время имеются результаты частичной регулярности для сильно нелинейных параболических систем с недиагональными главными матрицами. При условии (параметры ν и b0 определены в (2.7) и (2.9)) 2 b0 ⊕u⊕L∞ (QT ) <ν (2.5) 2 Q0 T было доказано М. Джаквинта и М. Струве [28], что слабое решение задачи (2.3), (2.4) из L2((0,T ); W 1(Ω)) ∩ L∞(QT ) является непрерывной гельдеровской функцией на открытом множестве ⊂ Q , а n-мерная мера Хаусдорфа в параболической метрике замкнутого сингулярного множества Σ = QT \ Q0 равна нулю, т. е. Hn(Σ; δ) = 0. Качественные свойства слабых ограниченных решений сильно нелинейных систем изучались в предположении (2.5) в [36, 37] и других работах, посвященных этому классу параболических систем. Возникает та же проблема, что и в эллиптическом случае. Принцип максимума не выполняется для недиагональных параболических систем, мы не можем оценить ⊕u⊕L∞ (QT ) и проверить соотношение (2.5). В недавних работах [6, 13] автором были рассмотрены слабые, возможно, неограниченные решения сильно нелинейных систем из пространства V (QT ) := W 1,0(QT ) = L2((0,T ); W 1(Ω)). 2 2 Определение 2.1. Функция u ∈ V (QT ) называется слабым решением системы (2.3), (2.4), если она удовлетворяет тождеству r r [-u · ηt + (A(z, u)∇ u ·∇ η)+ b(z, u, ∇ u) · η)] dz = QT QT 0 f · η dz ∀η ∈ C∞(QT ). (2.6) Легко видеть, что мы можем зафиксировать пробные функции η в (2.6) из пространства W˚ 1 T ∞ T 1 T I ∞ 2 (Q ) ∩ L W 1 (Q ), где W˚2 (Q ) = C0 (QT ) . 2 (QT ) В [6, 13] мы предполагали, что матрица A определена на множестве QT × RN и удовлетворяет сильному условию эллиптичности в виде: (H1) | (A(z, u)ξ · ξ) ν|ξ 2 ∀ξ ∈ RnN , |A(z, u)| μ, (2.7) для почти всех z ∈ QT , u ∈ RN ; ν μ - положительные константы. Мы также предполагали в [13], что матрица A(z, u) равномерно непрерывна на QT × RN . Мы смягчили это предположение в [6] до следующих условий: (H2) матрица A(z, u) равномерно непрерывна по u ∈ RN при п. в. z ∈ QT ; kl Aαβ (H3) элементы Aαβ (x, t, u) матрицы A непрерывны по x ∈ Ω в интегральном смысле, т. е. kl (x, t, u) ∈ V MO(Ω) для п. в. t ∈ (0,T ) и для всех u ∈ RN , и, кроме того, sup r r r sup - - \ 2 |A(y, t, η) - Aρ,x0 (t, η)| dy dt =: q2(r) → 0, r → 0; (2.8) z0∈QT , η∈RN ρ r Λρ(t0 ) Bρ(x0 ) здесь и ниже Qρ(z0) = Bρ(x0) × Λρ(t0), где Bρ(x0) = {x ∈ Rn : |x - x0| < ρ}, Λρ(t0) = (t0 - ρ2, t0 + ρ2), |Qρ|n+1 = 2ωnρn+2, ωn = |B1|n, перечеркиванием обозначается среднее значение интеграла; (H4) функция b(z, u, p) удовлетворяет условиям Каратеодори на QT × RN × RnN и имеет квадратичный рост при |p|→ ∞: 2 |b(z, u, p)| b0 |p| , b0 = const; (2.9) (H5) функция b удовлетворяет односторонней оценке | (b(z, u, p) · u) γ|p 2 с ν + γ > 0, п. в. z ∈ QT , u ∈ RN , p ∈ RnN ; (2.10) (H6) существует константа b1 такая, что ess sup |b(z, u, p) - b(z, u, q)| b1(|p| + |q|)|p - q|, u ∈ RN , p, q ∈ RnN ; (2.11) z∈QT (H7) f ∈ Lq (QT ), q > n +2 2, ⊕f ⊕ =: c . 2 , n Lq (QT ) f КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ И ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 25 В [6] был доказан следующий результат. Теорема 2.1 (см. [6, теорема 2.1]). Пусть выполняются условия (H1)-(H7) и u ∈ V (QT ) является слабым решением системы (2.3), (2.4). Предположим, что sup |uρ,z0 | < ρ>0 ν + γ b0 r , uρ,z0 = - Qρ(z0 ) u(z) dz, (2.12) lim inf r→0 1 r rn Qr (z0) 2 |∇ u| dz = 0, (2.13) 0 в некоторой точке z0 ∈ QT . Тогда существует окрестность Qr (z0) ⊂ QT такая, что u ∈ n +2 l\ Cβ (Qr (z0); δ) для любых β ∈ r , min f - , 1 . 0 0 2 q Следующая лемма содержит основной аналитический результат для доказательства теоремы 2.1. Лемма 2.1 (см. [6, Lemma 3.1]). Пусть u ∈ V (QT ) - слабое решение системы (2.3), (2.4). За- ν + γ фиксируем множество Q0 ⊂⊂ QT и числа τ ∈ (0, 1), M < b . Существуют числа θ, C1, C2 0 такие, что если для некоторых z0 ∈ Q0 и R < δ(Q0; ∂QT ) =: δ0 |uR,z0 | M, (2.14) E(R, z0) := R2α + 1 Rn то r r QR(z0 ) | |∇ u 2 dz < θ2, (2.15) 2 0 Φ(R, z0) := - QR(z0) |u(z) - uR,z0 | dz C1E(R, z ) (2.16) E(τ R, z0) C2 τ 2αE(R, z0), (2.17) где α = min f n +2 - 1 , C = C (μ, b , n,c ), C = C (ν, μ, α, n, q, c ). 2 , l 1 q 1 0 f 2 2 f Заметим, что если зафиксировать любое β < α и выбрать такое τ, что выполняется неравенство C2τ 2α τ 2β, то из (2.17) следует, что E(τ R, z0) τ 2β E(R, z0). Это обеспечивает монотонность E(r, z0 ) в точке z0. Эта лемма была доказана в [6, 13] методом от противного. Отметим, что подход того же типа мы применяли в эллиптическом случае, но в параболическом случае доказательство имеет дополнительные шаги, поскольку функция u(x, t) не является гладкой по переменной t. С помощью леммы 2.1 доказывается следующая оценка: r r \2β Φ(r, ξ0) c R 0 для всех ξ0 в цилиндре Qρ (z0). E(R, z0) ∀r R (2.18) Как следствие оценки (2.18), мы получаем оценку sup sup 1 r n+2+2β 2 |u(z) - ur,ξ0 | dz c∗, (2.19) ξ0∈Qρ0 (z0) r R r R где константа c∗ зависит от R-1, ⊕∇ u⊕2,Q Qr (ξ0 ) (z0 ) и других данных задачи. Это означает, что мы оце- 0 0 β нили полунорму в пространстве Кампанато L2,n+2+2β (Qρ (z0); δ) и, как следствие, также оценили норму в этом пространстве. Используя изоморфизм между L 0 можно утверждать, что u ∈ Cβ (Qρ (z0)); δ). 2,n+2+2β Qρ0 (z ); δ) и C (Qρ0 (z0)); δ), 26 А. А. АРХИПОВА 3. Оценки сингулярных множеств Здесь мы обсуждаем сведения о сингулярных множествах слабых решений эллиптических и параболических систем с квадратичной нелинейностью по градиенту. Как следствие теоремы 1.1, мы имеем описание сингулярного множества Σ в системе (1.1): Σ = Σ0 ∪ Σ , где и Σ = Σ 1 ∪ Σ 2, Σ0 = {x0 ∈ Ω : lim inf ρ→0 1 ρn-2 r Bρ(x0 ) 2 |∇ u| dx > 0}, (3.1) Σ 1 = {x0 ∈ Ω \ Σ0 : ν + γ b0 lim |ur,x0 | < ∞}, (3.2) r→0 Σ 2 = {x0 ∈ Ω \ Σ0 : lim |ur,x0 | = ∞ и / ∃ lim |ur,x0 |}. (3.3) r→0 r→0 Множество Σ0 можно оценить по соответствующему результату Э. Джусти [29] (см. также доказательство в [24, гл. 4, теорема 2.2]). Поскольку этот результат применяется для оценки сингулярных множеств различных типов систем, сформулируем его. loc Теорема 3.1 (см. [29]). Пусть Ω - открытое множество в Rn, v ∈ L1 (Ω) и 0 α < n. Положим, что Тогда имеем Hα(Σα) = 0. Σα = {x ∈ Ω : lim sup ρ→0 1 r ρα Bρ(x) |v(y)| dy > 0}. Следуя этому результату, мы имеем в нашем случае, что Hn-2(Σ0) = 0. (3.4) Отметим, что множество Σ0 может появиться даже в случае простейших квазилинейных эллиптических систем с b = 0. Известно, как оценить множество Σ 2 (см., например, [24, теорема 2.1, гл. 4]). В этом случае мы доказываем, что Σ 2 ⊂ Iε = {x0 ∈ Ω \ Σ0 : lim inf r→0 1 rn-2+ε r Br (x0) 2 |∇ u| dx > 0} ∀ε> 0. (3.5) - - Если (3.5) верно, то Hn 2+ε(Σ2) Hn 2+ε(Iε) = T h.3.1 0. По определению размерности меры Хаусдорфа Таким образом, мы оценили множество dimH Σ 2 n - 2. (3.6) Σ∗ = Σ0 ∪ Σ 2 : dimH Σ∗ n - 2. Открытым вопросом для автора является то, как оценить множество Σ 1. В нашей статье [6] мы обсуждали сингулярное множество слабых решений u ∈ V (QT ) параболических систем (2.1) в условиях теоремы 2.1. В этом случае замкнутое сингулярное множество Σ = Σ0 ∪ Σ , где Σ0 = {z0 ∈ QT : lim inf r→0 1 r rn Qr (z0) 2 |∇ u| dz > 0} Σ = Σ 1 ∪ Σ 2. КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ И ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 27 Здесь Σ 1 = {z0 ∈ QT \ Σ0 : ν + γ b0 lim |ur,z0 | < ∞}, (3.7) r→0 Σ 2 = {z0 ∈ QT \ Σ0 : lim |ur,z0 | = ∞ и / ∃ lim |ur,z0 |}. (3.8) r→0 r→0 Используя параболическую версию теоремы 3.1, мы можем утверждать, что n-мерная мера Хаусдорфа множества Σ0 в параболической метрике δ обращается в нуль, т. е. Hn(Σ0; δ) = 0. (3.9) Нами доказано в [6, раздел 4], что Σ 2 ⊂ Iε = {z0 ∈ QT \ Σ0 : lim sup r→0 1 rn+ε r Qr (z0 ) 2 |∇ u| dz > 0} ∀ε> 0. (3.10) В силу параболического варианта теоремы 3.1 Hn+ε(Iε; δ) = 0. Из соотношения (3.10) следует, что Hn+ε(Σ 2; δ) = 0 ∀ε> 0. Таким образом, dimH(Σ 2) n. (3.11) Из (3.9), (3.11) вытекает dimH(Σ0 ∪ Σ 2) n. Открытый вопрос здесь тот же, что и в эллиптической ситуации: как оценить множество Σ 1.