Spectral properties of operators in the problem on normal oscillations of a mixture of viscous compressible fluids

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

In this paper, we study a problem of normal oscillations of a homogeneous mixture of several viscous compressible fluids filling a bounded domain of three-dimensional space with an infinitely smooth boundary. Two boundary conditions are considered: the no-slip condition and the slip condition without shear stresses. It is proved that the essential spectrum of the problem in both cases is a finite set of segments located on the real axis. The discrete spectrum lies on the real axis, except perhaps for a finite number of complex conjugate eigenvalues. The spectrum of the problem contains a subsequence of eigenvalues with a limit point at infinity and a power-law asymptotic distribution.

About the authors

D. A. Zakora

V. I. Vernadsky Crimean Federal University

Author for correspondence.
Email: dmitry.zkr@gmail.com
Simferopol’, Russia

References

  1. Азизов Т. Я., Иохвидов И. С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. - М.: Наука, 1986.
  2. Азизов Т. Я., Копачевский Н. Д., Орлова Л. Д. Эволюционная и спектральная задачи, порожденные проблемой малых движений вязкоупругой жидкости// Тр. СПб. Мат. об-ва. - 1988. - 6. - С. 5-33.
  3. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Асимптотика спектра дифференциальных уравнений// Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал. - 1977. - 14, № 11. - С. 5-58.
  4. Волевич Л. Р. Разрешимость краевых задач для общих эллиптических систем// Мат. сб. - 1965. - 68, № 3. - С. 373-416.
  5. Доровский В. Н., Перепечко Ю. В. Теория частичного плавления// Геолог. и геофиз. - 1989. - № 9. - С. 56-64.
  6. Имомназаров Х. Х., Имомназаров Ш. Х., Маматкулов М. М., Черных Е. Г. Фундаментальное решение для стационарного уравнения двухскоростной гидродинамики с одним давлением// Сиб. ж. индустр. мат. - 2014. - 17, № 4. - С. 60-66.
  7. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. - М.: Мир, 1972.
  8. Кожевников А. Н. Функциональные методы математической физики. Учебное пособие. - М.: МАИ, 1991.
  9. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. - М.: Наука, 1967.
  10. Ланкастер П. Теория матриц. - М.: Наука, 1973.
  11. Мамонтов А. Е., Прокудин Д. А. Разрешимость начально-краевой задачи для уравнений политропного движения смесей вязких сжимаемых жидкостей// Сиб. электрон. мат. изв. - 2016. - 13. - С. 541- 583.
  12. Мамонтов А. Е., Прокудин Д. А. Разрешимость нестационарных уравнений многокомпонентных вязких сжимаемых жидкостей// Изв. РАН. Сер. мат. - 2018. - 82, № 1. - С. 151-197.
  13. Маркус А. С., Мацаев В. И. Теорема о сравнении спектров и спектральная асимптотика для пучка М. В. Келдыша// Мат. сб. - 1984. - 123, № 3. - С. 391-406.
  14. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. Т. 1. - М.: Наука, 1987.
  15. Олейник О. А., Иосифьян Г. А., Шамаев А. С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. - М.: МГУ, 1990.
  16. Пал П. К., Масленникова В. Н. Спектральные свойства операторов в задаче о колебании сжимаемой жидкости во вращающихся сосудах// Докл. АН СССР. - 1985. - 281, № 3. - С. 529-534.
  17. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. - М.: Мир, 1985.
  18. Солонников В. А. Об общих краевых задачах для систем, эллиптических в смысле А. Даглиса-Л. Ниренберга. II// Тр. МИАН. - 1966. - 92. - С. 233-297.
  19. Atkinson F. V., Langer H., Mennicken R., Shkalikov A. A. The essential spectrum of some matrix operators// Math. Nachr. - 1994. - 167. - С. 5-20.
  20. Faierman M., Fries R. J., Mennicken R., Mo¨ller M. On the essential spectrum of the linearized Navier-Stokes operator// Integr. Equ. Oper. Theory. - 2000. - 38, № 1. - С. 9-27.
  21. Frehse J., Goj S., Ma´lek J. A Stokes-like system for mixtures// В сб.: «Nonlinear Problems in Mathematical Physics and Related Topics. II». - Dordrecht-Norwell-New York-London: Kluwer, 2002. - С. 119-136.
  22. Frehse J., Goj S., Ma´lek J. On power and non-power asymptotic behavior of positive solutions to Emden-Fowler type higher-order equations// SIAM J. Math. Anal. - 2005. - 36, № 4. - С. 1259-1281.
  23. Frehse J., Goj S., Ma´lek J. A uniqueness result for a model for mixtures in the absence of external forces and interaction momentum// Appl. Math. - 2005. - 50. - С. 527-541.
  24. Gohberg I., Goldberg S., Kaashoek M. A. Classes of linear operators. Vol. 1. - Basel-Boston-Berlin: Birkha¨user, 1990.
  25. Grubb G., Geymonat G. The essential spectrum of elliptic systems of mixed order// Math. Ann. - 1977. - 227. - С. 247-276.
  26. Kozhevnikov A., Skubachevskaya T. Some applications of pseudo-differential operators to elasticity// Hokkaido Math. J. - 1997. - 26, № 2. - С. 297-322.
  27. Mamontov A. E., Prokudin D. A. Viscous compressible multi-fluids: modeling and multi-D existence// Methods Appl. Anal. - 2013. - 20, № 2. - С. 179-195.
  28. Mennicken R., Shkalikov A. A. Spectral decomposition of symmetric operator matrices// Math. Nachr. - 1996. - 179. - С. 259-273.
  29. Rajagopal K. L., Tao L. Mechanics of mixtures. - River Edge: World Sci. Publ., 1995.

Copyright (c) 2023 Zakora D.A.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies