Smoothness of solutions to the damping problem for nonstationary control system with delay of neutral type on the whole interval

Full Text

Введение Впервые задача об успокоении системы управления с последействием рассматривалась Н. Н. Красовским [7]. Поведение системы управления описывалось системой линейных дифференциально-разностных уравнений запаздывающего типа с постоянными коэффициентами и постоянным запаздыванием. В работах [11, 18] задача Н. Н. Красовского об успокоении системы управления с последействием была обобщена на случай, когда уравнение, описывающее управляемую систему, содержит также старшие члены с запаздыванием, т. е. имеет нейтральный тип. Многомерная система управления с постоянными матричными коэффициентами исследовалась в [9, 14], а многомерная нестационарная система управления нейтрального типа рассматривалась в [2, 3]. Системы управления с последействием запаздывающего типа изучались в [1, 8, 10]. Отметим также работы, посвященные исследованию систем нейтрального типа с малыми коэффициентами при членах с запаздыванием [15, 17]. Настоящая работа посвящена исследованию гладкости обобщенных решений краевых задач для систем дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа, к которым сводится задача об успокоении многомерных нестационарных систем управления нейтрального типа, рассмотренная в [2, 3]. Гладкость обобщенных решений этих краевых задач может нарушаться внутри интервала при сколь угодно гладкой начальной функции. Однако, как показано в статье [1], гладкость решений сохраняется на некоторых подынтервалах. В данной статье получены достаточные условия сохранения гладкости на всем интервале. Статья построена следующим образом. В первом разделе содержится введение, второй раздел посвящен постановке задачи об успокоении многомерной системы управления с последействием и связи между вариационной задачей, описывающей модель успокоения системы управления с последействием нейтрального типа, и краевой задачей для системы дифференциально-разностных уравнений второго порядка. В том же разделе сформулирована теорема об однозначной разрешимости рассматриваемой краевой задачи. Доказательство результатов, изложенных во втором разделе, можно найти в работе [2]. В третьем разделе содержатся свойства разностных операторов на конечном интервале. В четвертом разделе изучается гладкость обобщенных решений на подынтервалах [1]. Отметим, что вопросы гладкости обобщенных решений второй краевой задачи для дифференциально-разностных уравнений с переменными коэффициентами рассматривались в работах [12, 13]. 16. Постановка задачи Рассмотрим линейную систему управления, описываемую системой дифференциально-разностных уравнений M M \ Am(t)y×(t - mτ )+ \ Bm(t)y(t - mτ ) = u(t), 0 < t < T. (2.1) m=0 m=0 ij Здесь y(t) = (y1(t),... , yn(t))T - неизвестная вектор-функция, описывающая состояние системы, u(t) = (u1(t),... , un(t))T - вектор-функция управления, Am(t) = {am(t)}i,j=1,...,n, Bm(t) = bm m m { ij (t)}i,j=1,...,n - матрицы порядка n × n с элементами aij (t), bij (t), которые являются вещественными непрерывно дифференцируемыми функциями на R, τ = const > 0 - запаздывание. Предыстория системы задается начальным условием y(t) = ϕ(t), t ∈ [-Mτ, 0]. (2.2) Здесь ϕ(t) = (ϕ1(t),... , ϕn(t))T - некоторая вектор-функция. Рассмотрим задачу о приведении системы (2.1) с начальным условием (2.2) в положение равновесия при t T. Для этого мы найдем такое управление u(t), 0 < t < T, что y(t) = 0, t ∈ [T - Mτ, T ], (2.3) где T > (M + 1)τ. Будем искать управление, доставляющее минимум функционалу энергии T r |u(t)|2dt → min, 0 где |· | - евклидова норма в Rn. Таким образом, в силу (2.1) мы получаем вариационную задачу о минимуме функционала r T M M 2 J (y) := \ Am(t)y×(t - mτ )+ \ Bm(t)y(t - mτ ) dt → min . (2.4) 0 m=0 m=0 Мы приведем без доказательства ряд результатов из [2, 3], необходимых нам в дальнейшем для изучения гладкости обобщенных решений. Чтобы установить взаимосвязь между вариационной задачей (2.4), (2.2), (2.3) и соответствующей краевой задачей для системы дифференциально-разностных уравнений, введем некоторые вспомогательные обозначения для различных вещественных функциональных пространств. ГЛАДКОСТЬ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ОБ УСПОКОЕНИИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ 3 Обозначим через C(R) пространство непрерывных и ограниченных на R функций с нормой ||x(t)||C(R) = sup |x(t)|. t∈R Пусть Ck(R), k ∈ N, - пространство непрерывных и k раз непрерывно дифференцируемых функций на R, ограниченных на R вместе со всеми производными вплоть до k-го порядка, с нормой || || x(t) Ck (R) = max 0 i k sup |x(i)(t)|. t∈R 2 Обозначим через W k(a, b) пространство абсолютно непрерывных на [a, b] функций, имеющих производную k-го порядка из L2(a, b) со скалярным произведением 2 (a,b) (v, w)W k b k r = \ v(i)(t)w(i)(t)dt. i=0 a Пусть W˚ k(a, b) = {w ∈ W k(a, b) : w(i)(a) = w(i)(b) = 0,i = 0,... ,k - 1}. 2 2 Введем пространства вектор-функций n n n Ln n k,n n k k,n n ˚ k 2 (a, b) = i=1 L2(a, b), W2 (a, b) = i=1 W2 (a, b), W˚2 (a, b) = i=1 W2 (a, b), со скалярными произведениями n n (v, w)Ln = \(v ,w ) , (v, w) k,n = \(v ,w )W k , 2 (a,b) i i=1 i L2 (a,b) W2 (a,b) i i=1 i 2 (a,b) где v = (v1,... , vn)T , w = (w1,... , wn)T . Покажем, что вариационная задача (2.2)-(2.4) эквивалента краевой задаче для системы дифференциально-разностных уравнений второго порядка. Пусть y ∈ W 1,n(-Mτ, T ) - решение вариационной задачи (2.2)-(2.4), где ϕ ∈ W 1,n(-Mτ, 0). 2 2 Введем пространства 2 L = {v ∈ Ln(-Mτ, T ) : v(t) = 0, t ∈ (-Mτ, 0) ∪ (T - Mτ, T )}, 2 W = {v ∈ W 1,n(-Mτ, T ) : v(t) = 0, t ∈ (-Mτ, 0) ∪ (T - Mτ, T )}. Мы будем часто отождествлять пространство L c Ln(0,T - Mτ ), а пространство W с W˚ 1,n(0,T - 2 2 Mτ ), не оговаривая этого специально. W 1,n Пусть v ∈ W - произвольная фиксированная функция. Тогда функция y + sv принадлежит 2 (-Mτ, T ) и удовлетворяет краевым условиям (2.2), (2.3) для всех s ∈ R. Обозначим J (y + sv) = F (s). Поскольку J (y + sv) J (y), s ∈ R, мы имеем dF ds s=0 = 0, (2.5) r T M M \T B(y, v) := \ Am(t)y×(t - mτ )+ \ Bm(t)y(t - mτ ) × 0 m=0 m=0 M \ × l=0 Al(t)v×(t - lτ )+ M \ l=0 \ Bl(t)v(t - lτ ) dt. (2.6) Из равенства (2.5) следует, что Обозначим T r B(y, v) = 0, v ∈ W . (2.7) Bm,l(y, v) = 0 (Am(t)y×(t - mτ )+ Bm(t)y(t - mτ ))T (Al(t)v×(t - lτ )+ Bl(t)v(t - lτ )) dt. (2.8) 4 А. Ш. АДХАМОВА Проведем преобразование слагаемых, полученных при раскрытии скобок в правой части (2.8). В слагаемых, содержащих v(t - lτ ) или v×(t - lτ ), сделаем замену переменной ξ = t - lτ. Получим T -lτ r Bm,l(y, v) = -lτ (Am(ξ + lτ )y×(ξ + (l - m)τ )+ Bm(ξ + lτ ) × × y(ξ + (l - m)τ ))T (Al (ξ + lτ )v×(ξ)+ Bl(ξ + lτ )v(ξ))dξ. Возвращаясь к старой переменной t, полагая t = ξ и учитывая, что v(t) = 0 при t ∈ (-Mτ, 0) ∪ (T - Mτ, T ), имеем T -Mτ r Bm,l(y, v) = 0 (Am(t + lτ )y×(t + (l - m)τ )+ Bm(t + lτ ) × × y(t + (l - m)τ ))T (Al(t + lτ )v×(t)+ Bl(t + lτ )v(t))dt. (2.9) Из (2.6), (2.8) и (2.9) следует, что B(y, v) = T -Mτ r \ M {(Am(t + lτ )y×(t + (l - m)τ ))T (Al (t + lτ )v×(t)) + 0 l,m=0 + [(Am(t + lτ )y×(t + (l - m)τ ))T Bl(t + lτ ) - ((Bm(t + lτ )y(t + (l - m)τ ))T Al (t + lτ ))× + + (Bm(t + lτ )y(t + (l - m)τ ))T Bl(t + lτ )]v(t)}dt. (2.10) Из (2.10) и определения обобщенной производной следует, что M \ AT × 1,n l,m=0 l (t + lτ )Am(t + lτ )y (t + (l - m)τ ) ∈ W2 (0,T - Mτ ). (2.11) 2 Подставляя (2.10) в (2.7), в силу (2.11) мы можем произвести интегрирование по частям. Поскольку v ∈ W˚ 1,n(0,T - Mτ ) - произвольная функция, мы получим ⎛ M ⎞× ARy := - ⎝ \ l,m=0 l AT (t + lτ )Am(t + lτ )y×(t + (l - m)τ )⎠ + M ⎛ M ⎞× + \ l,m=0 l BT (t + lτ )Am(t + lτ )y×(t + (l - m)τ ) - ⎝ \ l,m=0 M l AT (t + lτ )Bm(t + lτ )y(t + (l - m)τ )⎠ + + \ l,m=0 l BT (t + lτ )Bm(t + lτ )y(t + (l - m)τ ) = 0 (t ∈ (0,T - Mτ ). (2.12) 2 Таким образом, вектор-функция y ∈ W 1,n(-Mτ, T ) удовлетворяет системе дифференциальноразностных уравнений (2.12) почти всюду на интервале (0,T - Mτ ). 2 Определение 2.1. Вектор-функция y ∈ W 1,n(-Mτ, T ) называется обобщенным решением задачи (2.12), (2.2), (2.3), если выполняется условие (2.11), y(t) почти всюду на (0,T - Mτ ) удовлетворяет системе уравнений (2.12), а также краевым условиям (2.2), (2.3). Очевидно, следующее определение обобщенного решения эквивалентно определению 2.1. 2 Определение 2.2. Вектор-функция y ∈ W 1,n(-Mτ, T ) называется обобщенным решением задачи (2.12), (2.2), (2.3), если она удовлетворяет интегральному тождеству B(y, v) = T -Mτ r M l \ (AT (t + lτ )Am(t + lτ )y×(t + (l - m)τ ))T v×(t)dt + 0 l,m=0 ГЛАДКОСТЬ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ОБ УСПОКОЕНИИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ 5 T -Mτ r + M \ l {(BT (t + lτ )Am(t + lτ )y×(t + (l - m)τ ))T - 0 l,m=0 l - ((AT (t + lτ )Bm(t + lτ )y(t + (l - m)τ ))×)T + l 2 + (BT (t + lτ )Bm(t + lτ )y(t + (l - m)τ ))T }v(t)dt = 0 (2.13) для всех v ∈ W˚ 1,n(0,T - Mτ ), а также краевым условиям (2.2), (2.3). 2 Таким образом, мы доказали, что если вектор-функция y ∈ W 1,n(-Mτ, T ) является решением вариационной задачи (2.2)-(2.4), то она будет обобщенным решением краевой задачи (2.12), (2.2), (2.3). 2 Справедливо и обратное утверждение: если вектор-функция y ∈ W 1,n(-Mτ, T ) является обобщенным решением краевой задачи (2.12), (2.2), (2.3), то она будет решением вариационной задачи (2.2)-(2.4), см. [2]. Таким образом, справедливо следующее утверждение. 2 Теорема 2.1. Пусть ϕ ∈ W 1,n(-Mτ, 0). Функционал (2.4) с краевыми условиями (2.2), (2.3) достигает минимума на некоторой функции тогда и только тогда, когда она является обобщенным решением краевой задачи (2.12), (2.2), (2.3). Имеет место следующий результат, см. [2]. Лемма 2.1. Пусть det A0(t) /= 0, t ∈ R. Тогда для всех w ∈ W 2 2 (0,T -Mτ ) J0(w) c1||w||W 1,n , (2.14) где c1 > 0 -постоянная, не зависящая от w, T × r M \ J0(v) := 0 \ Ak (t)v×(t - kτ ) k=0 dt. (2.15) Используя лемму 2.1, можно доказать следующее утверждение, см. [2]. 2 Теорема 2.2. Пусть det A0(t) /= 0, t ∈ R. Тогда для любой вектор-функции ϕ ∈ W 1,n(-Mτ, 0) 2 существует единственное обобщенное решение y ∈ W 1,n(-Mτ, T ) краевой задачи (2.12), (2.2), (2.3), при этом ||y||W 1,n c||ϕ|| 1,n , (2.16) 2 (-Mτ,T ) где c > 0 -постоянная, не зависящая от ϕ. W2 (-Mτ,0) 17. Свойства разностных операторов Положим d := T - Mτ. Пусть d = (N + θ)τ, где N ∈ N, 0 < θ 1. Введем некоторые дополнительные обозначения. Если 0 < θ < 1, обозначим Q1s = ((s - 1)τ, (s - 1 + θ)τ ), s = 1,... ,N + 1 и Q2s = ((s - 1 + θ)τ, sτ ), s = 1,... , N. Если θ = 1, обозначим Q1s = ((s - 1)τ, sτ ), s = 1,... ,N + 1. Таким образом, мы имеем два семейства непересекающихся интервалов, если 0 < θ < 1, и одно семейство, если θ = 1; причем каждые два интервала одного семейства получаются друг из друга сдвигом на некоторое число. Не ограничивая общности, будем предполагать M = N. Введем оператор R : Ln(0, d) → Ln(0, d) по формуле 2 2 M (Rx)(t) = \ l,m=0 l AT (t + lτ )Am(t + lτ )x(t + (l - m)τ ). (3.1) Лемма 3.1. Оператор R : Ln(0, d) → Ln(0, d) самосопряженный, т. е. для любых x, y ∈ L2(R) выполняется равенство 2 2 2 (R) (Rx, y)Ln 2 = (x, Ry)Ln (R). 6 А. Ш. АДХАМОВА 2 Доказательство. Действительно, при любых x, y ∈ Ln(R), делая замену t× = t+(l-m)τ, получим (Rx, y)Ln r +∞⎛ M = \ ⎞ AT (t + lτ )Am(t + lτ )x(t + (l - m)τ ) y(t)dt = 2 (R) ⎝ l -∞ l,m=0 ⎠ +∞ ⎛ M ⎞ r = x(t×) ⎝ \ -∞ l,m=0 m AT (t× + mτ )Al (t× + mτ )y(t× + (m - l)τ )⎠ dt×. Обозначая t× через t и меняя местами индексы l, m, имеем (Rx, y)Ln +∞ ⎛ M \ r = x(t) ⎞ AT (t + lτ )Am(t + lτ )y(t + (l - m)τ ) dt = (x, Ry) . 2 (R) -∞ ⎝ l l,m=0 2 ⎠ Ln (R) Запишем оператор R в виде где (Ry)(t) := M \ s=-M Cs(t)y(t + sτ ), (3.2) Cs(t) := \ l,m:l-m=s l AT (t + lτ )Am(t + lτ ) (3.3) - матрица порядка n × n с элементами cij (t), i, j = 1,... , n. По построению cij (t) - непрерывно s s дифференцируемые функции на R. Обозначим Q := (0, d). Введем ограниченные операторы IQ : Ln(Q) → Ln(R) и PQ : Ln(R) → 2 2 2 Ln 2 (Q) следующим образом: (IQx)(t) = x(t), t ∈ (0, d), (IQx)(t) = 0, t ∈/ (0, d) и (PQy)(t) = y(t), t ∈ (0, d). Обозначим RQ = PQRIQ. Из леммы 3.1 вытекает следующий результат. Лемма 3.2. Оператор RQ : Ln(Q) → Ln(Q) ограниченный и самосопряженный. 2 2 Пусть Pα : Ln(Q) → Ln(J Qαs) - оператор ортогонального проектирования из пространства 2 2 s Ln n n f n 2 (Q) на пространство L2 (J Qαs), где L2 (J Qαs) = y ∈ L2 (Q) : y(t) = 0, t ∈ (0, d)\ J Qαs , s s s α = 1, 2, если θ < 1; α = 1 и Pα - единичный оператор, если θ = 1. Очевидно следующее утверждение. 2 Лемма 3.3. Ln(J Qαs) -инвариантное подпространство оператора RQ. s 2 Введем оператор Uα : L2(J Qαs) → LN (α)(Qα1) по формуле s (Uαy)k (t) = y(t + (k - 1)τ ),t ∈ Qα1, (3.4) где k = 1,... ,N (α); N (α) = M + 1, если α = 1; N (α) = M, если α = 2. Введем теперь изометрический изоморфизм гильбертовых пространств 2 U α : Ln(J Qαs) → LnM 2 (Qα1) по формуле где s (U αy)(t) = ((Uαy1)T ,... , (Uαyn)T )T (t), (3.5) 2 y = (y1,... , yn)T ∈ Ln(0, d), (Uαyj )(t) = ((Uαyj )1(t),... , (Uαyj )M (t))T . Для каждого α = 1, 2 рассмотрим блочную матрицу }i,j=1 Rα(t) = {Rαij (t) n . (3.6) Здесь R1ij - квадратные матрицы порядка (M + 1) × (M + 1) с элементами r1ij ij kl = cl-k(t + (k - 1)τ ), k, l = 1,... ,M + 1, (3.7) ГЛАДКОСТЬ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ОБ УСПОКОЕНИИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ 7 R2ij - квадратные матрицы порядка M × M с элементами r2ij ij kl = cl-k(t + (k - 1)τ ), k, l = 1,... , M. (3.8) Лемма 3.4. Оператор RQα = U αRQU -1 : LnN (α)(Qα1) → LnN (α)(Qα1) является оператором α 2 2 умножения на симметричную матрицу Rα(t). 2 Доказательство. Пусть V ∈ LnN (α)(Qα1). Обозначим v = U -1V ∈ Ln(J Qsl). В силу форму- α 2 l лы (3.4) и определения оператора RQ мы имеем 1 α V ) (t) = (U R v) (t) = (RQαV )(i-1)N (α)+k (t) = (U αRQU - (i-1)N (α)+k = \ \ Cij n α Q (i-1)N (α)+k s (t + (k - 1)τ )vj (t + (k - 1+ s)τ ) (t ∈ Qα1). (3.9) j=1 s Здесь мы суммируем по s таким, что 1 k + s N (α). Пусть l := k + s. Тогда из (3.9) и (3.8) следует, что n N (α) n N (α) \ \ ij \ \ αij (RQαV )(i-1)N (α)+k (t) = j=1 l=1 Cl-k (t + (k - 1)τ )vj (t + (l - 1)τ ) = j=1 l=1 rkl (t)V(j-1)N (α)+l (t). 2 Таким образом, мы доказали, что оператор RQα является умножением на матрицу Rα в пространстве LnN (α)(Qα1). Отсюда из леммы 3.2 следует симметричность матрицы Rα. Также отметим следующее равенство: U αRQy = RαU αy, y ∈ L2(Q). (3.10) Пусть Bmp(t) - алгебраическое дополнение элемента rmp матрицы R1, m, p = 1,... ,n ×(M + 1). Будем записывать индексы следующим образом: Bi+(l-1)(M +1) (t), где i, j = 1,... ,M + 1, k, l = j+(k-1)(M +1) lk1 1,... , n. Таким образом, Bi+(l-1)(M +1) (t) соответствует элементу R , находящемуся в i-й строке j+(k-1)(M +1) и j-м столбце. Аналогичным образом обозначим через ri+(l-1)(M +1) j+(k-1)(M +1) ij = rlk элемент матрицы R1, находящийся в i-й строке и j-м столбце матрицы R1lk. Обозначим через B1 матрицу, полученную вычеркиванием первой строки и первого столбца из каждой матрицы Rij1, i,j = 1,... , n. Важно, что матрица B1 совпадает с матрицей, полученной вычеркиванием последней строки и последнего столбца в каждой матрице Rij1, i,j = 1,... , n. Лемма 3.5. Оператор RQ : W˚ 1,n(0,T - Mτ ) → W 1,n(0,T - Mτ ) является непрерывным, 2 2 причем (RQy)× = RQy× + R× y для любых y ∈ W˚ 1,n(0,T - Mτ ). Q 2 Доказательство очевидно. Обозначим через W 1,n подпространство функций w ∈ W 1,n(0,T - Mτ ), которое удовлетворяет 2,Γ 2 следующим условиям: \ \ Bi+(l-1)(M +1) n M +1 1+(k-1)(M +1)(0)wl (i - τ ) = 0, (3.11) l=1 i=1 \ \ Bi+(l-1)(M +1) n M +1 k(M +1) (θ)wl(θ + i - τ ) = 0, (3.12) где k = 1,... , n. l=1 i=1 Лемма 3.6. Предположим, что det R1(t) /= 0, t ∈ Q11 и det B1(t) /= 0, t ∈ Q21. Тогда оператор RQ отображает W 1,n(0,T - Mτ ) на пространство W 1,n(0,T - Mτ ) непрерывно и взаимно 2 однозначно. 2,Γ 8 А. Ш. АДХАМОВА Доказательство. Докажем, что RQ(W 1,n(0,T - Mτ )) ⊂ W 1,n(0,T - Mτ ), \ \ Bi+(l-1)(M +1) n M +1 2 \ \ n M +1 2,Γ n \ 1+(k-1)(M +1)(0) (RQy)l(i - 1) = Bi+(l-1)(M +1) (0) 1+(k-1)(M +1) \ RlmQym (i - 1) = l=1 n i=1 M +1 l=1 n i=1 n M +1 m=1 n 1+(k 1)(M +1)(0) = \ \ Bi+(l-1)(M +1) - \(U 1RlmQym)i(0) = \ \ Bi+(l-1)(M +1) (0) 1+(k-1)(M +1) \(RlmU 1ym)i(0) = l=1 i=1 m=1 n M +1 l=1 n i=1 M +1 m=1 1+(k 1)(M +1)(0) = \ \ Bi+(l-1)(M +1) - ij \ \ rlmym(j - τ ) = l=1 n M +1 i=1 n M +1 m=1 j=2 = \ \ ym(j - τ ) \ \ Bi+(l-1)(M +1) i+(l-1)(M +1) m=1 j=2 l=1 i=1 1+(k-1)(M +1)(0) rj+(k-1)(M +1) = 0. 2 W 1,n Получаем, что если y ∈ W˚ 1,n(0,T - Mτ ), равенство (3.11) выполняется. Следовательно, RQy ⊂ 2,Γ (0,T - Mτ ). Равенство (3.12) рассматривается аналогично. Теперь докажем обратное вложение: W 1,n(0,T - Mτ ) ⊂ RQ(W˚ 1,n(0,T - Mτ )). Пусть w ∈ W 1,n 2,Γ nN (α) 2 nN (α) 2,Γ (0,T - Mτ ). Согласно лемме 3.4 оператор RQ : L2 (Qα1) → L2 (Qα1) имеет ограниченный обратный оператор R-1 : LnN (α)(Qα1) → LnN (α)(Qα1). Покажем, что y = R-1w ∈ W˚ 1,n(0,T - Q 2 2 Q 2 2 Mτ ). Без потери общности предположим, что θ = 1. Очевидно, что y ∈ W 1,n((s - 1)τ, sτ ). Таким образом, достаточно показать, что ym(0 + 0) = ym(0 - 0) и ym(0) = ym(d) = 0, l = 1,... , M, m = 1,... , n. Используя (3.11), получим \ \ Bi+(l-1)(M +1) n M +1 \ \ n M +1 n 1+(k-1)(M +1)(0) (RQy)l(i - τ ) = Bi+(l-1)(M +1) (0) (\ 1+(k-1)(M +1) RlmQym)(i - τ ) = l=1 i=1 n M +1 l=1 i=1 m=1 = \ \ Bi+(l-1)(M +1) i+(l-1)(M +1) m,l=1 i,j=1 1+(k-1)(M +1)(0)rj+(m-1)(M +1) ym(j - τ ) = det R1(0) × yk(0) = 0, 2 k = 1,... , n. Так как det R1(t) /= 0, получаем, что yk(0) = 0, k = 1,... , n. Используя (3.12), получим yk(T - Mτ ) = 0, k = 1,... , n. Теперь покажем, что RQy ⊂ W 1,n(0,T - Mτ ), т. е. (RQy)(τ + 0) = (RQy)(τ - 0), l = 1,... , M, m = 1,... , n. Пусть φl+(k-1)(M +1) = yk(τ + 0), l = 0,... ,M ; ψl+(k-1)(M +1) = yk(τ - 0), l = 0,... ,M + 1. Тогда \ \ rp,k n M +1 \ \ n M +1 i+1,lφl-1+(k-1)(M +1) = i,l - rp,kψl+(k 1)(M +1), k=1 l=1 k=1 l=1 i = 1,... , M, p = 1,... , n. Согласно краевым условиям φ0+(k-1)(M +1) = ψM +1+(k-1)(M +1) = 0. Получаем \ \ rp,k n M +1 \ \ n M +1 i+1,l+1φl+(k-1)(M +1) = i,l - rp,kψl+(k 1)(M +1). k=1 l=1 Используя равенство rp,k = rp,k , получаем k=1 l=1 i,l i+1,l+1 \ \ rp,k n M +1 i,l (φl+(k-1)(M +1) - ψl+(k-1)(M +1)) = 0, k=1 l=1 i = 1,... , M, p = 1,... , n. Неравенство det B1(0) /= 0 означает, что φl+(k-1)(M +1) = ψl+(k-1)(M +1), l = 1,... , M, k = 1,... , n. ГЛАДКОСТЬ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ОБ УСПОКОЕНИИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ 9 18. Гладкость обобщенных решений на подынтервалах Как известно [4, 5, 18], гладкость обобщенных решений краевых задач для дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа может нарушаться внутри интервала, на котором определено решение. С другой стороны, гладкость обобщенных решений сохраняется на некоторых подынтервалах. Приведем теорему о гладкости обобщенного решения на подынтервалах из [1]. 2 2 Теорема 4.1. Пусть det A0(t) /= 0, t ∈ R, и пусть ϕ ∈ W 2,n(-Mτ, 0). Тогда обобщенное решение y ∈ W 1,n(-Mτ, T ) задачи (2.12), (2.2), (2.3) обладает следующей гладкостью на подынтервалах интервала (0, d): 2 • y ∈ W 2,n((j - 1)τ, jτ ) (j = 1,... ,M + 1), если θ = 1; • y ∈ W 2,n((j - 1)τ, (j - 1+ θ)τ ) (j = 1,... ,M + 1) и y ∈ W 2,n((j - 1+ θ)τ, jτ ) (j = 1,... ,M ), 2 2 если θ < 1. Доказательство. 19. По теореме о продолжении функций в пространстве Соболева для любой вектор-функции ϕ ∈ W 2,n 2,n 2 (-Mτ, 0) существует Φ ∈ W2 (-Mτ, T ) такая, что Φ(t) = ϕ(t) при t ∈ (-Mτ, 0), Φ(t) = 0 при t ∈ (T - Mτ, T ) и ||Φ||W 2,n k1||ϕ|| 2,n , (4.1) 2 (-Mτ,T ) где константа k1 > 0 не зависит от ϕ. W2 (-Mτ,0) Введем вектор-функцию x(t) = y(t) - Φ(t) ∈ W 1,n(-Mτ, 0). Поскольку Φ ∈ W 2,n(-Mτ, T ), то 2 2 в силу (2.11) x(t) удовлетворяет условию M \ AT × 1,n l,m=0 l (t + lτ )Am(t + lτ )x (t + (l - m)τ ) ∈ W2 (0,T - Mτ ). (4.2) Таким образом, вектор-функция x(t) удовлетворяет почти всюду на интервале (0,T - Mτ ) системе дифференциально-разностных уравнений 0 × × и краевым условиям Здесь ARx := -(RQx ) (t) = F (t), t ∈ (0,T - Mτ ) (4.3) x(0) = x(T - Mτ ) = 0. (4.4) F (t) := -ARΦ - M \ l,m=0 l BT (t + lτ )Am(t + lτ )y×(t + (l - m)τ )+ M +( \ l,m=0 l AT (t + lτ )Bm(t + lτ )y(t + (l - m)τ ))× - M - \ BT (t + lτ )Bm(t + lτ )y(t + (l - m)τ ) ∈ Ln(0,T - Mτ ). l 2 l,m=0 20. Повторяя в обратном порядке выкладки раздела 2, сделанные при выводе системы дифференциально-разностных уравнений (2.12) из интегрального тождества (2.7), в силу леммы 2.1 мы получим неравенство (A0 w, w) = J0(w) c1||w 2 (4.5) || 2 W 1,n R Ln (0,T -Mτ ) n 2 (0,T -Mτ ) 0 для любых w ∈ C∞,n(0,T - Mτ ) := 0 n C∞(0,T - Mτ ). j=1 Будем предполагать, что supp w ⊂ J Qαs. Обозначим Wα = Uαw. Тогда из равенства (3.5) и s лемм 3.2, 3.4 следует, что LnN (α) -((RαW × )×, Wα) || c1||Wα 2 2 (Qα1 ) . (4.6) α 2 (Qα1 ) W 1,nN (α) 10 А. Ш. АДХАМОВА 2 Из (4.3) и формулы Лейбница следует, что вектор-функция Uαx ∈ W 1,nN (α)(Qα1) удовлетворяет почти всюду в Qα1 системе дифференциальных уравнений -Rα(t)(Uαx)××(t) = F0(t), t ∈ Qα1, (4.7) nN (α) α где F0(t) = F (t) - R× (t)(Uαx)×(t) ∈ L2 (Qα1). Таким образом, чтобы доказать утверждение теоремы, достаточно убедиться, что det R1(t) /= 0 2 W 2,n для всех t ∈ Qα1, поскольку тогда из (4.7) мы получим Uαx ∈ W 2,nN (α)(Qα1), т. е. y = x - Φ ∈ 2 (Qα1), s = 1,... ,N (α). Для доказательства того, что det R1(t) /= 0 для всех t ∈ Qα1, мы используем неравенство (4.5). 21. Пусть t0 ∈ Qα1 - произвольная точка. Выберем t1 и r так, что [t1 - r, t1 + r] ⊂ Qα1 ∩ (t0 - 0 δ, t0 + δ), где δ > 0 будет определено ниже. Предположим, что Wα ∈ C∞,nN (α)(t1 - r, t1 + r). Из (4.6) следует, что где ||W (Qα1 ) b1 + b2 k2||Wα 2 1,nN (α) 2 , (4.8) α LnN (α) b1 = (Rα(t0)W × ,W × ) , α 2 (t1 -r,t1+r) α LnN (α) b2 = ((Rα(t) - Rα(t0))W × ,W × ) . α 2 (t1 -r,t1+r) Поскольку коэффициенты матрицы Rα(t) равномерно непрерывны на [0,T - Mτ ], мы имеем 2 (t1 -r,t1+r) |b2| ε(δ)||Wα ||W 1,nN (α) , где ε(δ) → 0 при δ → 0. Выберем δ > 0 так, что ε(δ) < k2/2. Тогда из (4.8) мы получим (Rα(t0)W × ,W × ) 2 k2 α LnN (α) ||Wα|| . 2 α 2 (t1 -r,t1+r) 2 W 1,nN (α)(t1 -r,t1+r) 0 Получим теперь аналогичную оценку для функции Vα ∈ C∞,nN (α)(-R, R), где κ = R/r > 1. Сделаем замену переменной η = κ(t - t1). Обозначим Vα(η) = Wα(t(η)). Тогда из последнего неравенства мы получим LnN (α) (Rα(t0)V × (η),V × (η)) = κ-1(Rα(t0)W × (t),W × (t)) 2 α α 2 (-R,R) α α LnN (α)(t1 -r,t1+r) k2 1 × 2 2 k × 2 LnN (α) 2 κ- ||Wα(t)|| = 2 ||Vα(η)|| nN (α) . (4.9) 2 (t1 -r,t1 +r) L2 (-R,R) 0 Предположим, что Vα = vαY, где vα ∈ C∞(-R, R), Y ∈ CnN (α). Пусть функция vα продолжена нулем в R\(-R, R). Тогда, используя преобразование Фурье, из (4.9) в силу теоремы Планшереля мы получим r 2 k2 r 2 2 Здесь 2 (Rα(t0)ξ2Y, Y )|vˆα(ξ)| dξ R R r ξ2|Y | |vˆα(ξ)| dξ. (4.10) vˆα(ξ) = (2π)-1/2 R vα(η)e-iξη dη 0 - преобразование Фурье функции vα(η). Поскольку C∞(R) всюду плотно в L2(R), из (4.10) следует, что (Rα(t0)Y, Y ) 2 k2 2 |Y | . Таким образом, симметрическая матрица Rα(t0) положительно определена для любого t0 ∈ Qα1. Следовательно, det R0(t) /= 0 для всех t ∈ Qα1. Рассмотрим следующую модельную задачу: -(RQy)××(t) = F (t), F ∈ Ln(0,T - Mτ ), (4.11) 2 y(t) = 0, t ∈ (-Mτ, 0) ∪ (T - Mτ, T ). (4.12) Ее обобщенное решение определяется аналогично решению (2.12), (2.2), (2.3). ГЛАДКОСТЬ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ОБ УСПОКОЕНИИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ 11 Задача (4.11), (4.12) также обладает гладкостью на подынтервалах, поэтому определены значения y×(0 + 0) и y×(d - 0). Пусть Ly = -(RQy)××. Теорема 4.2. Предположим, что det B1(0) /= 0 и y -обобщенное решение задачи (4.11), (4.12). Тогда если 2 то y ∈ W˚ 2,n(0,T - Mτ ). y×(0 + 0) = y×(d - 0) = 0, Доказательство. Для простоты предположим, что θ = 0. Случай θ ∈ (0, 1) рассматривается аналогично. Докажем, что D(L) ⊂ W˚ 2,n(0,T -Mτ ). Пусть y ⊂ D(L). Тогда w = RQy ⊂ W 2,n(0,T - 2 2 n n Mτ ), т. е. 2 U 1wl ⊂ W 2,M +1(0, 1). Так как wl = ), RlkQyk, получаем k=1 U 1wl = ), RlkiU 1yk, l = k=1 2 1,... , n. Следовательно, (U 1yk) - линейная комбинация функций, принадлежащих W 2,M +1(0, 1), т. е. U 1yk ∈ W 2,M +1(0, 1) (воспользуемся тем фактом, что det R1(0) /= 0) и yk ∈ W 2(l - 1, l), 2 2 l = 1,... ,M + 1. Этого достаточно, чтобы доказать, что y× (l - 0) = y× (l + 0), l = 1,... , N. k k 2 Из равенства (RQy)l = wl ∈ W 2(0, d) получаем n n \(RlkQyk)×(m - 0) = \(RlkQyk)×(m + 0), k=1 k=1 m = 1,... , M, l = 1,... , n. Применим U 1 к обеим сторонам равенства. Используя (3.10), получим n n \(R1lk U 1y× )m(τ - 0) = \(R1lk U 1y× )m+1(0 + 0), k k=1 m = 1,... , M, l = 1,... , n. k k=1 Пусть φmk = (U 1y× )m(1 - 0), ψmk = (U 1y× )m+1(0 + 0). Так как y× (0 + 0) = (U 1y× )1(0 + 0) = 0 и k k k k k (d - 0) = (U 1yk )M +1(1 - 0) = 0, можем записать y× × \ \ rl,k n M n M +1 m = 1,... , M, l = 1,... , n. m,j φj,k = k=1 j=1 \ \ k=1 i=2 m+1,i - rl,k ψi 1,k, m,j Так как rl,k = r l,k m+1,j+1 , то \ \ rl,k n M +1 m+1,j (φj-1,k - ψj-1,k) = 0, (4.13) m = 1,... , M, l = 1,... , n. k=1 j=2 m+1,j Очевидно, что rl,k = rm+1+(l-1)(M +1) j+(k-1)(M +1) , где m = 1,... ,M ; j = 2,... ,M + 1; l, k = 1,... , M. Введем две вспомогательные функции. Пусть φj-1+(k-1)(N +1) = φj-1,k, ψj-1+(k-1)(M +1) = ψj-1,k, j = 2,... ,M + 1, k = 1,... , n. Теперь с помощью этих функций можем переписать (4.13) в виде \ \ rm+1+(l-1)(M +1) M M +1 j+(k-1)(M +1) (φj-1+(k-1)(M +1) - ψj-1+(k-1)(M +1)) = 0, (4.14) m = 1,... , M. k=1 j=2 С учетом того, что B1(0) /= 0, можем сделать вывод, что система (4.13) имеет только тривиальные решения, т. е. φj-1+(k-1)(M +1) = ψj-1+(k-1)(M +1), j = 2,... ,M + 1,k = 1,... , n. Другими словами, y× (l - 0) = y× (l + 0),l = 1,... , M, k = 1,... , n. Следовательно, y ∈ W˚ 2,n(0,T - Mτ ). k k 2 12 А. Ш. АДХАМОВА Рассмотрим вектор w = RQy, где y - решение системы уравнений Ly = F. В силу леммы 3.6 w является решением системы уравнений -w××(x) = F (x), x ∈ (0, d) (4.15) Q и удовлетворяет нелокальным краевым условиям (3.11) и (3.12). И обратно: если w обладает этими свойствами, то функция y = R-1w является обобщенным решением уравнения (4.11) с краевым условием (4.12). Общее решение уравнения (4.13) принимает следующий вид: t r w(t) = C1 + C2t + 0 (t - τ )F (τ )dτ. (4.16) Если мы подставим w(t) в (3.11) и (3.12), благодаря (4.16) мы получим следующие системы 2n уравнений для C1 и C2 : n C \ l 1 l=1 \ Bi+(l-1)(M +1) M +1 1+(k-1)(M +1)(0) + i=1 n C \ l 2 l=1 M +1 1+(k-1)(M +1)(0) = \ (i - τ )Bi+(l-1)(M +1) i=1 n M +1 i-1 r 1+(k-1)(M +1)(0) = - \ \ Bi+(l-1)(M +1) (i - τ )Fl(τ )dτ = 0, (4.17) n M +1 l=1 i=1 0 n M +1 C \ l 1 l=1 k(M +1) (θ)+ \ Bi+(l-1)(M +1) i=1 C \ l 2 l=1 k(M +1) (θ) = \ (i - τ + θ)Bi+(l-1)(M +1) i=1 n M +1 i-1+θ r k(M +1) (θ) = - \ \ Bi+(l-1)(M +1) (i + θ - τ )Fl (τ )dτ = 0, (4.18) где k = 1,... , n. l=1 i=1 0 Используя y× (0 + 0) = y× (d - 0) = 0, k = 1,... , n, получаем k k n M +1 k (0 + 0) = (U 1yk )1(0 + 0) = \ \ (det R1(0)) × B1+(k 1)(M +1)(0)(U 1w×)i(0 + 0) = y× × n M +1 l=1 i=1 -1 i+(l-1)(M +1) - l = \ \ Bi+(l-1)(M +1) -1 × l=1 i=1 1+(k-1)(M +1)(0) × (det R1(0)) wl(i - τ - 0) = n M +1 i-1 r = \ \ (det R1(0))-1Bi+(l-1)(M +1) l k = 1,... , M. Аналогично, l=1 n M +1 i=1 1+(k-1)(M +1)(0)(C2 + 0 θ+i-1 Fl (τ )dτ ) = 0, (4.19) u× -1 i+(l-1)(M +1) l r k (d - 0) = \ \ (det R1(0)) Bk(M +1) (θ)(C2 + Fl(τ )dτ ) = 0, (4.20) k = 1,... , M. l=1 i=1 0 2 Система уравнений Ly = F разрешима, значит, система линейных алгебраических уравнений (4.17), (4.18) разрешима. Решения y ∈ D(L) принадлежат пространству W 2,n(0,T - Mτ ) тогда и только тогда, когда выполняются условия (4.19) и (4.20). Матрицу, соответствующую (4.17), (4.18), обозначим через R: I I A B I R = I I I , (4.21) I G D I ГЛАДКОСТЬ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ОБ УСПОКОЕНИИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ 13 где IM +1 A = I ), In Bi+(l-1)(M +1) I IM +1 In , B = I ), (i - τ )Bi+(l-1)(M +1) I , I I i=1 IM +1 I 1+(k-1)(M +1)(0)I k,l=1 In I I I i=1 IM +1 1+(k-1)(M +1)(0)I k,l=1 In G = I ), Bi+(l-1)(M +1) I , D = I ), (i - τ + θ)Bi+(l-1)(M +1) I . I I i=1 k(M +1) (θ)I Ik,l=1 I I i=1 k(M +1) (θ)I Ik,l=1 R Замечание. Условием однозначной разрешимости модельной задачи (4.11), (4.12) является невырожденность матрицы R: det R /= 0. В дальнейшем будем полагать его выполненным. Эта задача отличается от исходной задачи с оператором A0 , которая разрешима, младшими членами, поэтому накладываемое условие не лишнее, однозначная разрешимость модельной задачи не следует из однозначной разрешимости краевой задачи. Теперь рассмотрим модельную задачу в пространстве гладких функций. Ей будет отвечать ограниченный оператор L0 : W˚ 2,n(0,T - Mτ ) → Ln(0,T - Mτ ). Из гладкости обобщенных реше- 2 2 ний на подынтервалах и из [16, лемма 4.1] следует, что гладкость обобщенного решения связана с проверкой равенств y×(0 + 0) = y×(d - 0) = 0. Для анализа этих равенств мы сводим рассматриваемую задачу к задаче для уравнения -w××(t) = F (t) с нелокальными краевыми условиями, что обеспечивается леммой 3.6 об изоморфизме. Заметим, что подстановкой общего решения в краевые условия (4.17) и (4.18) и анализом получившейся системы алгебраических линейных уравнений относительно столбцов C1 и C2 мы решаем вопрос существования и единственности обобщенного решения. Таким образом, предположение об однозначной разрешимости задачи может быть записано как det R /= 0. Дополнительные условия y×(0 + 0) = y×(d - 0) в случае однозначно определенных выше столбцов C1 и C2 имеют вид 2n условий на правую часть F. 2 Из доказательства [16, лемма 4.1] следует, что они представляют собой условия ортогональности набору 2n линейно независимых функций из Ln(0,T - Mτ ). Таким образом, dim Coker L0 = 2n, dim Ker L0 = 0. Теорема 4.3. Пусть det R /= 0 и det B1(0) /= 0. Тогда dim Ker L0 = 0, dim Coker L0 = 2n. Доказательство. Ядро тривиально в силу det R /= 0. В силу теоремы 4.2 достаточно проверить следующие условия для обобщенного решения: n M +1 y× -1 i+(l-1)(M +1) ⎛ i-1 ⎞ l r k(0 + 0) = \ \ (det R1(0)) B1+(k -1)(M +1)(0) ⎝C2 + Fl (τ )dτ ⎠ = 0, l=1 i=1 0 n M +1 u× ⎛ -1 i+(l-1)(M +1) l θ+i-1 ⎞ r k (d - 0) = \ \ (det R1(0)) Bk(M +1) (θ) ⎝C2 + Fl (τ )dτ ⎠ = 0, l=1 i=1 0 2 k = 1,... , M, в которых столбец C2 находится однозначно из системы (4.17), (4.18). В этом случае системы (4.19) и (4.20) принимают вид условий на правую часть уравнения. Из доказательства теоремы 4.3 получим, что (4.19), (4.20) являются условиями ортогональности в системе из 2n линейно независимых функций ψ в Ln(-Mτ, 0). Введем пространство вектор-функций H = Ln(0,T - Mτ ) × W 2,n(-Mτ, 0) × W 2,n(T - Mτ, T ) 2 2 2 2 и определим линейный непрерывный оператор G : W 2,n(-Mτ, T ) → H , отвечающий гладким решениям, по следующей формуле: Gy = ((Ly), (y|(-Mτ,0)), 0), где L : W 2,n(-Mτ, T ) → LM (-Mτ, T ) действует по формуле 2 2 Ly = -(RQy×)× + M \ l,m=0 l BT (t + lτ )Am(t + lτ )y×(t + (l - m)τ )+ 14 А. Ш. АДХАМОВА ⎛ M ⎞× M + ⎝ \ l,m=0 l AT (t + lτ )Bm(t + lτ )y(t + (l - m)τ )⎠ \ - l,m=0 l BT (t + lτ )Bm(t + lτ )y(t + (l - m)τ ). 2 Определение 4.1. Функция y ∈ W 2,n(-M, d + M ) называется гладким решением краевой задачи (2.12), (2.2), (2.3), если Gy = (0, ϕ1, 0). 2 Теорема 4.4. Пусть det R(0) /= 0, det B1(0) /= 0. Тогда для гладкости обобщенного решения задачи (2.12), (2.2), (2.3) необходимо и достаточно, чтобы функция φ удовлетворяла в пространстве W 2,n(-Mτ, 0) конечному числу p условий ортогональности, где p 2n. Ядро G тривиально, поэтому достаточно показать, что его индекс больше или равен -2n. Оператор L отличается от оператора L0 младшими членами, представляющими собой компактный оператор из W 2,n(-Mτ, T ) в Ln(0,T - Mτ ), что не меняет индекс оператора, поэтому 2 2 без ограничения общности можно считать, что Ly = -(RQy)××, ind L0 = ind L = -2n. Рассмотрим уравнение с краевыми условиями Введем функцию -(RQy)××(t) = F (t) (4.22) y(t) = ϕ1(t), t ∈ (-Mτ, 0), (4.23) y(t) = 0, t ∈ (T - Mτ, T ). (4.24) ⎧ψ1(t), t ∈ (-Mτ, 0), ψ (t ⎨ψ2(t), t ∈ (T - Mτ, T ), ⎪⎪ ) = 1 1 (ψ (0) + ψ× (0))η(t)+ ⎪ ⎩⎪ + (ψ2 2 (T - Mτ )+ ψ× (T - Mτ )(t - T + Mτ ))η(t - T + Mτ ), t ∈ (0,T - Mτ ), τ τ где η(t) - срезающая функция такая, что η(t) = 1, если |t| < 4 , и η(t) = 0, если |t| > 3 . Представим v = y - ψ , таким образом краевую задачу (4.22)-(4.24) можно переписать в виде L0v = F - (Rψ )××. (4.25) В силу теоремы 4.3 уравнение (4.25) разрешимо тогда и только тогда, когда 2 (0,T -Mτ ) (F - (Rψ )××, ξi)Ln = 0, i = 1,... , 2n, (4.26) 2 где ξi ∈ Ln(0, d), i = 1,... , 2n, линейно независимы. Введем линейные функционалы Φiψ = 2 (0,T -Mτ ) ((Rψ )××, ξi)Ln , i = 1,... , 2n. В силу выбора ψ имеем 2 (-Mτ,0) Φi(ψ ) C||ψ||W 2,n ||ξi||Ln 2 (0,T -Mτ ) , i = 1,... , 2n, где C > 0. По теореме Рисса существует линейный ограниченный оператор B1 такой, что -((Rψ )××, ξi)Ln = (ψ, B ξ )W 2,n . 2 (0,T -Mτ ) Таким образом, условие (4.26) примет вид 1 i 2 (-Mτ,0) (F , Ki)H = 0, i = 1,... , 2n, (4.27) где F = (F, ϕ1, 0), вектор-функции Ki = (ξi, (B1ξi), 0) ∈ H линейно независимы в силу линейной независимости функций ξi. Для задачи (2.12), (2.2), (2.3) при F = 0 условие (4.27) принимает 2 (-Mτ,0) вид (ϕ1, B1ξi)W 2n = 0, i = 1,... , 2n. Некоторые из функций B1ξ могут быть линейно зависимыми, поэтому число условий ортогональности не превышает 2n. Таким образом, индекс задачи (4.22)-(4.24), совпадающий с индексом оператора G, больше или равен -2n. Учитывая, что ядро оператора G тривиально, получаем утверждение теоремы.

About the authors

A. Sh. Adkhamova

RUDN University

Author for correspondence.
Email: ami_adhamova@mail.ru
Moscow, Russia

References

Supplementary files