Smoothness of generalized solutions to the Dirichlet problem for strongly elliptic functional differential equations with orthotropic contractions on the boundary of adjacent subdomains

Full Text

1. Введение В работе рассматривается первая краевая задача для функционально-дифференциального уравнения 2 i j ARu ≡ - , (RijBux )x = f (x), x ∈ B, (1.1) i,j=1 u|∂B = 0 (1.2) в круге B ⊂ R2 некоторого радиуса r с центром в начале координат. Здесь оператор RijB является композицией операторов RijB = PBRij IB, где IB : L2(B) → L2(R2) - оператор продолжения функций из пространства Лебега L2(B) нулем в R2 \ B, PB : L2(R2) → L2(B) - оператор сужения функций из L2(R2) на B, а оператор Rij : L2(R2) → L2(R2) определяется по формуле Rijv(x) = aij0v(x)+ aij1v(q-1x1, px2)+ aij, 1v(qx , p-1x ). - 1 2 В рассматриваемой задаче числа p, q > 1, коэффициенты уравнения aij0, aij,±1 ∈ C (i, j = 1, 2), а функция f ∈ L2(B) является комплекснозначной. Сформулируем определение сильной эллиптичности следующим образом. 0 Определение 1.1. Уравнение (1.1) будем называть сильно эллиптическим уравнением, а соответствующий оператор AR - сильно эллиптическим оператором, если существуют такие постоянные c1 > 0, c2 ?: 0, что для любой финитной бесконечно гладкой функции u ∈ C∞(B) выполняется неравенство типа Гординга 2 2 Re(ARu, u)L2 (B) ?: c1±u±H1 (B) - c2±u±L2 (B). (1.3) 2 Здесь и далее H1(B) = W 1(B) - гильбертово пространство Соболева первого порядка. С задачей (1.1), (1.2) свяжем полуторалинейную форму, непрерывную на пространстве H˚1(B) = {u ∈ H1(B) : u(x) = 0 для x ∈/ B} 2 aR[u, v] = , (RijBux , vx ) (u, v ∈ H˚1(B)). i,j=1 i j L2 (B) Очевидно, существует постоянная M > 0 такая, что |aR[u, v]| M ±u±H1 (B)±v±H1 (B) (u, v ∈ H˚1(B)). (1.4) Кроме того, неравенство (1.3), левая часть которого совпадает на гладких финитных функциях с действительной частью формы Re aR[u, u], обеспечивает оценку Re aR[u, u] ?: c1±u±H1 (B) - c2±u±L2 (B) (u ∈ H˚ (B)) (1.5) 2 2 1 на всем пространстве H˚1(B). Определение 1.2. Функция u ∈ H˚1(B) называется обобщенным решением задачи (1.1), (1.2), если интегральное тождество aR[u, v] = (f, v)L2 (B) (1.6) выполнено для любой функции v ∈ H˚1(B). Будем рассматривать также неограниченный оператор AR : D(AR) ⊂ L2(B) → L2(B), область определения D(AR) которого состоит из всевозможных обобщенных решений задачи (1.1), (1.2), когда f пробегает все пространство L2(B). Если u - обобщенное решение, отвечающее правой части f, то полагаем ARu = f (оператор AR, очевидно, корректно определен на D(AR)). Понятно, что C∞(B) ⊂ D(AR) ⊂ H˚1(B) и ARu = ARu, если u ∈ C∞(B). 0 0 Данная статья посвящена гладкости обобщенных решений функционально-дифференциальных уравнений с ортотропными сжатиями в круге, при этом считается выполненным неравенство типа Гординга, которое рассматривается как аналог условия сильной эллиптичности. Для дифференциальных уравнений, включая системы дифференциальных уравнений, уравнения с переменными коэффициентами и уравнения высокого порядка, сильная эллиптичность начала изучаться в 50-х годах XX века с работ М. И. Вишика [1] и Л. Гординга [23]. Для дифференциальноразностных уравнений необходимые и достаточные условия сильной эллиптичности были получены в [28, 29], а для функционально-дифференциальных уравнений с изотропными сжатиями - в работах [11-13]. Хорошо известно, что неравенство Гординга гарантирует фредгольмову разрешимость, дискретность и секториальную структуру спектра. Кроме того это неравенство связано с решением известной проблемы Т. Като о квадратном корне из m-аккретивного оператора [20-22, 24-26]. 154 А. Л. ТАСЕВИЧ x2 B3 B2 B1 B B-1 B-2 B-3 x1 Рис. 1. Множества Bk,k = -4, 4. Fig. 1. Sets Bk, k = -4, 4. Изучение гладкости обобщенных решений является естественным шагом при исследовании краевых задач. В отличие от эллиптических дифференциальных уравнений, гладкость обобщенных решений краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений может нарушаться в ограниченной области и сохраняться только в некоторых подобластях. Гладкость решений краевых задач для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений была изучена А. Л. Скубачевским в работах [15, 17, 19, 29] и в обзоре [16]. Вторая краевая задача для дифференциально-разностного уравнения второго порядка с переменными коэффициентами на интервале (0, d) рассматривалась в [4-6]. Случай, когда правая часть дифференциальноразностного уравнения принадлежит пространству Гельдера, рассматривался в работе [9, 10]. Ряд результатов по гладкости для функционально-дифференциальных уравнений со сжатиями и растяжениями получен в [13]. В вышеперечисленных работах было показано возникновение степенных особенностей у решения в некоторых точках внутри области. 2. Некоторые геометрические конструкции Опишем геометрические конструкции, связанные с отражением (x1, x2) → (q-1x1, px2), q, p > 1, в круге B. Более подробные построения и доказательства приведенных ниже утверждений можно найти в [18]. Обозначим через Bk множество Bk = {(x1, x2) ∈ R2|(qk-1x1, p1-kx2) ∈ B}, а через Br - открытую компоненту множества B \ ( J k∈Z \ ∂Bk . Определение 2.1. Множество Br будем называть подобластью, а множество R всех подобластей Br назовем разбиением области B. На рис. 1 мы видим разбиение R круга B, рассматриваемое в первой координатной четверти. Легко убедиться, что R счетно. Для круга B, а также и для более сложной по форме области, будут справедливы следующие леммы. ( Лемма 2.1. J ∂Br = J \ n ∂Bk B. r k∈Z ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 155 Лемма 2.2. 1. J Br = B. r k k 2. Для любой подобласти Br1 и k ∈ Z либо существует Br2 такое, что Br2 = (Br1 ) , либо 2 (Br1 ) ⊂ R \ B. Мы можем разбить множество R на непересекающиеся классы следующим образом: подоблаk сти Br1 , Br2 ∈ R принадлежат одному классу, если существует такое k ∈ Z, что (Br1 ) = Br2 . Обозначим подобласти Br через Bsl, где s является номером класса, а l - номером подобласти в s-ом классе, l = 1,N (s). В силу ограниченности круга каждый класс состоит из конечного числа подобластей. Количество классов будет счетным, поскольку область B содержит начало координат - точку сгущения орбит оператора P. Замечание 2.1. В каждой координатной четверти возможно упорядочить классы подобластей таким образом, что номер класса совпадет с числом его элементов, т. е. N (s) = s. В этом можно убедиться на рис. 2. Поэтому, без ограничения общности, везде далее считаем, что количество элементов класса совпадает с его номером. Введем множество K по следующей формуле: ( \ ( \L K = I f ∩ B k1,k2∈Z k1I=k2 ∂Bk1 ∩ ∂Bk2 . (2.1) Сформулируем основное условие, накладываемое на область для дальнейших построений, справедливое для рассматриваемого случая круга и оператора ортотропного сжатия. Условие 2.1. μ(K ∩ ∂B) = 0. Для элементов границы областей Bsl выполняются следующие утверждения. Лемма 2.3. Пусть x0 ∈ ∂Bsl ∩ ∂B. Предположим, что существует последовательность точек xn → x0 при n → ∞ такая, что xn ∈ Bs nln , (sn, ln) /= (s, l). Тогда x0 ∈ K. 1 1 Следствие 2.1. Пусть x0 ∈ ∂B ∩ ∂Bs l 2 2 ∩ ∂Bs l , (s1, l1) /= (s2, l2). Тогда x0 ∈ K. Лемма 2.4. Пусть x0 ∈ B ∩ ∂Bsl ∩ ∂Brk, (p, l) /= (q, k). Предположим, что существует последовательность точек xn → x0 при n → ∞, а также xn ∈ Bs x0 ∈ K. nln , (sn, ln) /= (s, l), (r, k). Тогда i i Следствие 2.2. Пусть x0 ∈ n ∂Bs l , где (si, li) /= (sj , lj ) для i /= j (i, j = 1, 2, 3). Тогда x0 ∈ K. i Обозначим через Γp компоненты множества ∂B \ K, являющиеся открытыми и связными в топологии ∂B. s Мы можем разбить множество {Γk s : Γk ⊂ B, s ∈ N,k ∈ Z} на классы следующим образом. Множества Γk1 и Γk2 принадлежат одному классу, если существует k ∈ Z такое, что Γk1 = (Γk2 )k . s1 s2 s1 s2 s Очевидно, что множество Γk может содержаться только в одном классе. Обозначим мноs жество Γk через Γrj, где r - это номер класса, а j - номер элемента в данном классе (1 j J = J (r)) . Для круга B возможно упорядочить множества элементов класса так, чтобы Γr1 ⊂ ∂B, Γr2,... , ΓrJ ⊂ B. Приведем справедливые для элементов Γrj утверждения. Лемма 2.5. Для любого множества Γr1 ⊂ ∂B существует подобласть Bsl такая, что Γrj ⊂ ∂Bsl и Γrj ∩ ∂Bs1l1 = ∅, если (s1, l1) /= (s, l). Также для каждого класса r ∈ N существует единственное число s = s(r) такое, что J (r) = s, и после перенумерации Γrl ⊂ ∂Bsl (l = 1, s). Лемма 2.6. Для каждого Γrj ⊂ B существуют подобласти Bs1l1 и Bs2l2 такие, что Bs1l1 /= Bs2 l2 , Γrj ⊂ ∂Bs1 l1 ∩ ∂Bs2l2 и Γrj ∩ ∂Bs3 l3 = ∅, если (s3, l3) /= (s1, l1), (s2, l2). 156 А. Л. ТАСЕВИЧ Рис. 2. Множества Bsl и Γrj. Fig. 2. Sets Bsl and Γrj. 1. Условия сильной эллиптичности ФДУ с ортотропными сжатиями Результаты данного пункта приводятся без доказательств. Необходимые доказательства можно найти в [18]. Для каждого s ∈ N и всякой функции u ∈ L2(Bs), Bs = 2 U = (u1,... , us)T ∈ Ls (Bs1), где s J Bsl построим вектор-функцию l=1 uk (x1, x2) = ( q \ p 1-k 2 u(q 1-k x1, pk-1 x2) (x ∈ Bs1,k = 1, s). (3.1) Отображение u → U унитарно, т. е. (u, v)L2 (Bs ) = (U, V )L2 (Bs1 ). Построим матрицу Rijs (s × s) с элементами kl = ρijs ⎪ ⎧( q ⎨ p \ l-k 2 aij,l-k, |l - k| 1; (3.2) ⎪⎩ 0, |l - k| > 1. 2 Тогда если v = Riju и V = (v1 ... vs)T ∈ Ls (Bs1) - соответствующая вектор-функция, то vk(x1, x2) = ρijsuk(x1, x2)+ ρijs uk+1(x1, x2)+ ρijs uk 1(x ,x ). kk Таким образом, k,k+1 k,k-1 - 1 2 2 v = Riju (u, v ∈ L2(Bs)) ⇐⇒ V = RijsU (U, V ∈ Ls (Bs1)) . (3.3) Заметим, что дифференциальный оператор не коммутирует с оператором сжатия и справедливы следующие отношения: ( q \ 1-k 2 ( 1-k k-1 \ (ux1 )k (x1, x2) = p 1-k ux1 q x1,p x2 = (3.4) ( q \ = p u(q 2 qk-1 ( 1-k 1-k x1, pk-1 ) x2 \ x1 = qk-1 (uk(x1, x2))x1 . Аналогично, (ux2 )k (x) = p Положим (uk (x))x2 . ⎛ 1 0 ⎞ q ⎛ 1 0 ⎞ p-1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ Qs = ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟ , Ps = ⎜ . ⎟ . (3.5) ⎝ . ⎠ 0 qs-1 ⎝ . ⎠ 0 p1-s ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 157 0 Тогда можно переписать неравенство (1.3) для функции u ∈ C∞(Bs) в виде Re(ARu, u)L2 (B) = Re(ARu, u)L2 (Bs ) = (3.6) = ((R11s + R∗ 11s ) QsUx1 , QsUx1 )Ls (Bs1 ) 2 + ((R12s + R∗ 12s ) QsUx1 , PsUx2 )Ls (Bs1 ) + 2 ((R21s + R∗ ) PsUx , QsUx ) s + ((R22s + R∗ ) PsUx , PsUx ) s ?: 21s 2 r ( 1 L2(Bs1 ) 2 2 22s 2 2\ 2 2 L2(Bs1 ) ?: c2 Bs1 |QsUx1 | + |PsUx2 | 2 (Bs1 ) + |U | dx - c1±U ±Ls ?: r ?: c2 2 ( |Ux1 | + p2-2s 2 |Ux2 | | + |U 2\ ±L dx - c1±U 2 s ?: c2p 2-2s 2 ±U ± 2 - c1±U ± s . Bs1 2 (Bs1 ) H1,s (Bs1 ) L2 (Bs1 ) 0 Данное неравенство выполняется для всех вектор-функций U ∈ C∞,s(Bs1) и означает сильную эллиптичность матричного дифференциального оператора второго порядка с постоянными коэффициентами As = - ( ∂ ∂x1 ∂ 1 QsR11sQs ∂x ∂ + ∂x2 ∂ 1 PsR12sQs ∂x ∂ + ∂x1 ∂ 2 QsR21sPs ∂x ∂ + ∂x2 ∂ \ 2 PsR22sPs ∂x . Введем обозначения (3.7) R11sP Q = Qs (R11s + R∗ s 12sP Q s 12s 12s) Qs, (3.8) R21sP Q = Qs (R21s + R∗ s 22sP Q s 22s 22s) Ps. Таким образом, из известных результатов по сильно эллиптическим системам [1] вытекает следующее утверждение. Лемма 3.1. Пусть уравнение (1.1) сильно эллиптическое в B. Тогда матрицы 2 , RijsP Qξiξj (3.9) i,j=1 положительно определены для всех 0 /= ξ ∈ R2 и s = 1, 2,... Для каждого s = 1, 2,... из матриц QsR11sQs, PsR12sQs, QsR21sPs, PsR22sPs составим блочную матрицу Rs порядка 2s × 2s. Введем матричный оператор R : L2(B) → L2(B), элементами которого являются разностные 2 2 операторы RijB : L2(B) → L2(B) (i, j = 1, 2). Сопряженному оператору R∗, состоящему из опеjiB раторов R∗ s : L2(B) → L2(B), отвечают эрмитово сопряженные матрицы R∗. s Лемма 3.2. Оператор R + R∗ положительно определен тогда и только тогда, когда все матрицы Rs + R∗ (s = 1, 2,.. .) положительно определены. 2 2 2 Доказательство. Пусть имеется вектор-функция w ∈ L2(B). Для каждой ее компоненты wi и каждого s по правилу (3.1) построим вектор-функцию Wis ∈ Ls (Bs1). Затем из W1s, W2s составим вектор Ws длины 2s. Таким образом, для каждого s имеем вектор-функцию Ws ∈ L2s(Bs1). Теперь неравенство 2 (B) ((R + R∗) w, w)L2 2 ji = , ((Rij + R∗ ) wj, wi) i,j=1 L2 (B) (B) = c , ±wi±L (B) (3.10) 2 ?: c±w±L 2 2 2 2 2 i=1 2 для любой вектор-функции w ∈ L2(B) может быть записано в виде 2 , , ((RijsP Q) Wjs, Wis)Ls 2 ± ± , , 2 is L (B ) или s i,j=1 2 (Bs1 ) ?: c s W s 2 i=1 , (3.11) s1 , ((Rs + R∗) Wjs, Wis)L2s 2 ?: c , ±Ws±L2s (3.12) s 2 (Bs1 ) s s 2 (Bs1 ) 158 А. Л. ТАСЕВИЧ s Если все матрицы Rs + R∗ положительно определены, то найдется такая константа c > 0, что выполнено неравенство (3.12). Если же, зафиксировав s = s0, подставлять в неравенство (3.11) функции, равные постоянным в подобластях s0-го класса и нулю вне этих подобластей, то (3.12) s0 становится условием положительной определенности матрицы Rs0 + R∗ . Лемма доказана. 2. Гладкость обобщенных решений на границе подобластей В дальнейшем предполагаем, что для оператора AR выполняется условие сильной эллиптичности. В статье [14] приведены явные, как необходимые, так и достаточные условия сильной эллиптичности на коэффициенты уравнения (1.1). Справедливы следующие теоремы о гладкости обобщенных решений (см. статью [18]). Теорема 4.1. Пусть уравнение (1.1) является сильно эллиптическим в B. Предположим, что функция u является обобщенным решением краевой задачи (1.1), (1.2), а функция f приloc надлежит L2(B) ∩ Hk loc (Bsl) (s ∈ N,l = 1, s). Тогда u ∈ Hk+2(Bsl) для всех s, l. Теорема 4.2. Пусть уравнение (1.1) является сильно эллиптическим в B. Предположим, что функция u является обобщенным решением краевой задачи (1.1), (1.2), а функция f принадлежит L2(B). Тогда u ∈ H2(Bsl \ Kε) для всех ε > 0 (s ∈ N, l = 1, s), где Kε = {x ∈ R2 : ρ(x, K) < ε}. Перейдем к выводу основного результата статьи о гладкости обобщенных решений на границе соседних подобластей. Пусть, как и прежде, функционально-дифференциальный оператор AR является сильно эллиптическим, и область B удовлетворяет условию 2.1. Предположим, что u(x) является обобщенным решением краевой задачи (1.1), (1.2), где f ∈ L2(B). Зафиксируем класс s и рассмотрим точку y1 = (y1, y1) ∈ B ∩ (∂Bs1 \ K). Пусть yl = (ql-1y1, p1-ly1) ∈ ∂Bsl \ K 1 2 1 2 (l = 1,... , s). l При этом возможны три случая: yl ∈ B (l = 1,... ,s - 1), ys ∈ ∂B, или y1 ∈ l ∂B, y ∈ B (l = 2,... , s), или y ∈ B (l = 1,... , s). Без ограничения общности, которое будет пояснено ниже, рассмотрим третий случай. Будем искать условия, при которых для заданного 1 l s существует a > 0 такое, что u ∈ H2(Sa(yl)) для всех f ∈ L2(B), т. е. решение имеет соответствующую гладкость в некоторой окрестности Sa(yl). По лемме 2.6 существует единственная подобласть Brj /= Bs1 такая, что y1 ∈ ∂Brj. При этом в рассматриваемом случае r = s + 1. Введем дополнительный набор точек z1,... , zs+1 ∈ B такой, что zl = (ql-j zj, pj-lzj ) ∈ ∂Brl \ K (l = 1,... ,s + 1), zj = y1. Без ограничения общности можно 1 2 положить yl = zl (l = 1,... , s), zs+1 ∈ ∂B. В противном случае yl = zl+1 (l = 1,... , s), z1 ∈ ∂B. При этом для случаев, когда одна из точек yl лежит на границе, мы получаем, что соседним классом подобластей является класс Brj, где r = s - 1. Таким образом, для различных случаев расположения точек yl дальнейшие построения и рассуждения будут действительными. В силу лемм 2.3, 2.4 можно выбрать a> 0 достаточно малым, чтобы выполнялись следующие условия: · K · множества ∂Bsl ∩ Sa(yl) являются связанными и принадлежат классу C∞ (l = 1,... , s); a< min ρ(xtl , ), где t = s, s + 1; xsl = yl, xs+1,l = zl; t,l • Sa(xs+1,l) ⊂ B при l = 1,... , s; Sa(xs+1,s+1) ∩ B = Sa(xs+1,s+1) ∩ Bsl; 1 1 · Sa(xsl) ∩ Bs l = ∅, ((s1, l1) /= (s, l)). Пусть u - обобщенное решение задачи (1.1), (1.2). Будем рассматривать его поведение вблизи точки yl, l = 1,... , s. Умножим уравнение (1.1) на функцию l-1 ( q \ 2 l-1 1-l ξ(x1, x2) = p η(q x1,p x2), где η ∈ C˙ ∞(Sa(y1)). Тогда будет справедливо следующее равенство: 2 , r r - (RijBuxi (x))xj ξ(x)dx = f (x)ξ(x)dx. (4.1) Sa (yl ) i,j=1 Sa(yl ) ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 159 При помощи замены переменных перейдем в (4.1) к интегралу по множеству Sa(y1): ( \ ( \ r - r 2 l-1 l 1 p p , 2 - q (RijBuxi (q- l+1 x1, pl-1 x2))xj η(x)dx = 2 f (q q -l+1 x1, pl-1 x2)η(x)dx. Sa(y1 ) i,j=1 В силу определения (3.1) вектор-функции U получаем Sa (y1 ) (4.2) R1jBux1 (q 1-l x1, pl-1 x2)=a1j,-1ux1 (q 2-l x1, pl-2 x2)+a1j0ux1 (q 1-l x1, pl-1 l x2)+a1j1ux1 (q- \ x1, plx2) = = (a1j, 1ql-2u(q2-lx , pl-2x )+ a ql-1u(q1-lx , pl-1x )+ a qlu(q-lx , plx ) = - ( \ / 2-l p 2 1 l-2 2 1j0 ( \ 1-l p 2 1 l-1 2 1j1 1 2 x1 ( p \ - l \ 2 l = a1j,-1 q q ul-1(x)+ a1j0 q 1-l (I q ul(x)+ a1j1 q q ul+1(x) = x1 \ q I ( p \ 2 = q p q a1j,-1q l-2 ul-1(x)+ a1j0q l-1 ul(x)+ a1j1qlul+1(x) p . (4.3) x1 Обратим внимание на то, что в скобках полученного выражения стоит l-ый элемент векторстолбца R1jsQsU. Аналогичным (4.3) образом, получим \ 1-l (I 1-l l-1 I ( p \ 2 p 2-l 1-l q -l R2jBux2 (q x1,p x2) = q q a2j,-1p ul-1(x)+ a2j0p ul(x)+ a2j1p p ul+1(x) . x2 Тогда каждому l = 1,... ,s будет соответствовать уравнение из системы r r , - (R11r Qr Ux1x1 + R12r Qr Ux1x2 + R21r Pr Ux2 x1 + R22r Pr Ux2x2 ) η(x)dx = Fη(x)dx, (4.4) r=s,s+1ωr Sa(y1 ) где ωr = Br1 ∩ Sa(y1) (r = s, s + 1), а вектор-функция F ∈ L2,s(Sa(y1)) имеет элементы fl = 2 ( p \ l-1 f (q-l+1x , pl-1x ). q 1 2 Теперь можно, не ограничивая общности, считать, что y1 = 0, ωs = {x ∈ R2 : x2 > 0} ∩ Sa(0), ωs+1 = {x ∈ R2 : x2 < 0} ∩ Sa(0), γr = ∂Br1 ∩ Sa(0) = {x ∈ R2 : x2 = 0}, r = s, s + 1. В силу теоремы 4.2 имеем u ∈ H2(ωr ). Поэтому мы можем проинтегрировать по частям уравнение по областям ωr,r = s, s + 1. Тогда слева в (4.4) получим r i,(-1)μ(r)+1 (R12r QrUx +R22r Pr Ux )|γ η|γ dx1+ , r 2 , (R1jr Qr Ux +R2jrPr Ux ) η (x)dx. 1 r=s,s+1 γr 2 r r r=s,s+1ωr 1 j=1 2 xj Здесь v|γr - след функции v, определенной в области Br1, на границе γr. При этом μ(s) = 1, μ(s + 1) = 2. С другой стороны, для обобщенного решения u справедливо интегральное тождество (1.6), из которого следует, что r 2 , , (R1jr Qr Ux r 2jr r x r=s,s+1ωr j=1 1 +R P U 2 ) ηxj (x)dx = Fη(x)dx. Sa(y1 ) Таким образом, получаем условие r ,(-1)μ(r)+1 (R12r Qr U1r + R22r Pr U2r )|γ = 0, (4.5) r=s,s+1 где Uir, r = s, s + 1, i = 1, 2 - производная по xi вектор-столбца U длины r. 160 А. Л. ТАСЕВИЧ Запишем матрицу Rij,s+1, определенную формулой (3.2), следующим образом: (Aij,s+1\ = (A± ,s+1 A±± ,s+1\ , Rij,s+1 = Bij,s+1 ij ij ± ±± Bij,s+1 Bij,s+1 ij,s+1 где матрица Aij,s+1 имеет размер (s × s + 1), Bij,s+1 - (1 × s + 1), A± ij,s+1 - (s × s), A±± - (s × 1), ij,s+1 - (1×s), Bij,s+1 - (1×1). При этом данные матрицы имеют четкий геометрический смысл: B± ±± A± матрица ij,s+1 соответствует отображению внутренней точки области во внутреннюю, матрица A ±± ij,s+1 ij,s+1 · внутренней точки в граничную, матрица B± · граничной точки во внутреннюю, ij,s+1 матрица B±± ij,s+1 · граничной точки в граничную. Обратим внимание на то, что матрица A± равна матрице Rijs. Введем также дополнительные обозначения для вектор-функции Ui,s+1: Ui,s+1 = U ( ± \ . i,s+1 U ±± i,s+1 i,s+1 Здесь вектор-функции U ± i,s+1 ки, а вектор-функции U ±± получены из вектор-функций Ui,s+1 вычеркиванием последней строполучены из вектор-функций Ui,s+1 вычеркиванием первых s строк. В силу того, что u ∈ H˚1(B) является обобщенным решением задачи (1.1), (1.2), из теоремы 4.2 получаем следующие соотношения: s+1 = Us, Us+1 = 0, U1,s+1 = U1s, U1,s+1 = 0. (4.6) U ± ±± ± ±± Перепишем (4.5) для l = 1,... , s, используя новые обозначения: A± ± ±± -s ±± 22,s+1Ps(U2s - U2,s+1) = A22,s+1p U2,s+1. (4.7) Умножив (4.7) слева на Ps, перепишем уравнение, используя новые обозначения: EsY (x1) = F (x1) (x1, 0) ∈ γ, (4.8) 2,s+1 где Es = R22sP Q, Y (x1) = U2s - U ± 2,s+1 , F (x1) = E0U ±± 22,s+1 , E0 = PsA±± p-s. 22sP Q По лемме 3.1 матрица R22sP Q + R∗ положительно определена. Тогда существует обратная 22sP Q матрица R-1 , и из уравнения (4.7) вытекает U2s - U ± = R-1 PsA±± p-sU ±± -1 ±-1 ±± -s ±± 2,s+1 22sP Q 22,s+1 2,s+1 = Ps A22,s+1A22,s+1p U2,s+1. Обозначим через Esl матрицу порядка s × (s - 1), полученную из матрицы Es вычеркиванием l-го столбца. Теорема 4.3. Пусть уравнение (1.1) является сильно эллиптическим в B. Тогда для данного l (1 l s) обобщенное решение u(x) краевой задачи (1.1), (1.2) принадлежит пространству H2(Sa(yl)) для всех f ∈ L2(B) в том и только том случае, когда для любого (x1, 0) ∈ γ векторстолбец E0 является линейной комбинацией столбцов матрицы Esl. Доказательство. 1. Достаточность. По теореме 4.2 решение u(x) краевой задачи (1.1), (1.2) принадлежит пространству H2(Sa(yl)) тогда и только тогда, когда равны l-ые компоненты векторов U2s и U2,s+1: Ul ±l 2s - U2,s+1 = 0. (4.9) Выше было показано, что решение u(x) удовлетворяет уравнениям (4.8). Поскольку det R22sP Q /=0 для всех (x1, 0) ∈ γ, существует единственное решение Y (x) системы (4.8). Предположим, что вектор-столбец E0 является линейной комбинацией столбцов матрицы Esl для всех (x1, 0) ∈ γ. Тогда матрица системы (4.8), (4.9) и расширенная матрица этой системы имеют один и тот же ранг s. Следовательно решение Y (x) системы (4.8) удовлетворяет уравнению (4.9). Поэтому u ∈ H2(Sa(yl)). 2. Необходимость. Предположим, что вектор-столбец E0 не является линейной комбинацией столбцов матрицы Esl. Покажем, что тогда существует функция u ∈ D(AR) такая, что u ∈/ 0 H2(Sa(yl)). Введем функцию ξ(x) ∈ C∞(R2) : ξ(x) = 1 при x ∈ Sε(y1); ξ(x) = 0 при x ∈/ S2ε(y1). 2 Положим W s(x) = 0 (x ∈ ωs), W s+1(x) = ix2ξ (x ∈ ωs+1). Очевидно, что W s+1(x)|x =0 = 0. ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 161 Рассмотрим систему уравнений (4.8). Эта система имеет единственное решение Y (x1) ∈ C∞,s 2,s 0 (γ). Очевидно, что существует вектор-функция Z ∈ C0 (Sa(0)) такая, что Z(x)|x2 =0 = 0, (x1, 0) ∈ γ, Zx2 (x)|x2 =0 = Y (x1), (x1, 0) ∈ γ. Пусть t u(x) = U 1(q1-tx1, pt-1x2), x ∈ Bs+1,t ∩ Sa(yt), (t = 1,... ,s + 1); ( u(x) = 0, x ∈ B \ I(Bs+1,t ∩ Sa(yt)) , t где U 1 = (Z1,... , Zs,W s+1). В силу (4.8) имеем u ∈ D(AR). Докажем, что u ∈/ H2(Sa(yl)). Учитывая вид функции W s+1, перепишем уравнение (4.8): EsY (x1) = E0 (x1, 0) ∈ γ ∩ Sε(y1). (4.10) Если u ∈ H2(Sa(yl)), то 2,s+1 U2s(x1) - U ± (x1) = 0 ((x1, 0) ∈ γ ∩ Sε(y1)). (4.11) По предположению E0 не является линейной комбинацией столбцов матрицы Esl. Поэтому матрица и расширенная матрица системы (4.10), (4.11) имеют ранги s и s + 1, соответственно. Таким образом, функция u(x) не удовлетворяет уравнению (4.11). Следовательно, построенная функция u ∈ D(AR) не принадлежит пространству H2(Sa(yl)). Теорема доказана. Проиллюстрируем полученные результаты на первых классах подмножеств. Пусть s = 1. В первом классе содержится одна подобласть B11, тогда y1 ∈ B11 ∩ B21. Запишем уравнение (4.7): ± I q a220(u21 - u22) = p a221 22 p-1u±± . Для сохранения гладкости решения в окрестности точки y1 для любой правой части требуется, чтобы a221 = 0. Перейдем ко второму классу подобластей. Уравнение (4.7) приобретает вид ⎛ a220 I q ⎞ p-1a221 ⎛ 0 ⎞ ⎜ p ⎟ (u1 1 \ 21 - u22 = ⎜I ⎟ . 2 2 q ⎜I p 1a ⎟ u21 - u22 ⎝ p-2a u3 ⎠ ⎝ q a22,-1 p- 220 ⎠ p 221 22 Для того, чтобы u ∈ H2(yi),i = 1, 2, необходимо, чтобы обнулялись следующие определители: I q 1 a220 0 p I q 0 p- a221 для i = 1, I для i = 2. q pa p-2a p-2a221 p-1a220 p q 22,-1 p 221 Учитывая сильную эллиптичность, получаем условие равенства нулю коэффициента a221.

About the authors

A. L. Tasevich

RUDN University; Federal Research Center “Computer Science and Control” of Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: tasevich-al@rudn.ru
Moscow, Russia

References

Supplementary files