Том 68, № 4 (2022)

Мы изучаем существование решений задачи

\[\label{A1} \begin{array}{rl} -\Delta u+u^p-M|\nabla u|^q=0 & \text{в }\;\Omega,\\ u=\mu & \text{на }\;\partial\Omega \end{array}\]

в ограниченной области \(\Omega\), где \(p>1\), \(1, \(M>0\), \(\mu\) "— неотрицательная мера Радона в \(\partial\Omega,\) а также связанной с ней задачи с изолированной граничной особенностью в точке \(a\in\partial\Omega,\)

\[\label{A2} \begin{array}{rl} -\Delta u+u^p-M|\nabla u|^q=0 & \text{в }\;\Omega,\\ u=0 & \text{на }\;\partial\Omega\setminus\{a\}. \end{array}\]

Трудность заключается в оппозиции двух нелинейных членов, имеющих разную природу. Существование решений задачи [A1] достигается при емкостном условии

\[\mu(K)\leq c\min\left\{cap^{\partial\Omega}_{\frac{2}{p},p'},cap^{\partial\Omega}_{\frac{2-q}{q},q'}\right\}\quad\text{для всех компактов }K\subset\partial\Omega.\]

Задача [A2] зависит от нескольких критических условий на \(p\) и \(q\), а также от соотношения величин \(q\) и \(\dfrac{2p}{p+1}\).

Работа является кратким обзором результатов, полученных в неавтономной динамике, опираясь на понятие равномерной эквивалентности неавтономных систем. Этот подход к изучению неавтономных систем был предложен в работе [10] и развит далее в работах второго автора, а недавно - совместно обоими авторами. Такой подход видится плодотворным и перспективным, поскольку он позволяет развить неавтономный аналог теории динамических систем для указанных классов систем и дать классификацию некоторых естественных классов неавтономных систем, используя инварианты комбинаторного типа. Мы показываем это для классов неавтономных градиентноподобных векторных полей на замкнутых многообразиях размерности один, два и три. В последнем случае появляется новый инвариант эквивалентности, тип дикого вложения устойчивых и неустойчивых многообразий [14, 17], как было показано в недавней работе авторов [5].

В настоящей работе проведено исследование модели деформаций системы стилтьесовских струн, расположенных вдоль геометрического графа-звезды, с нелинейным условием в узле. Такого рода условие возникает за счет наличия в узле ограничителя на перемещение струн под воздействием внешней нагрузки. В работе установлены необходимое и достаточное условия экстремума энергетического функционала; доказаны теоремы существования и единственности решения; проанализированы критические нагрузки, при которых происходит соприкосновение струн с ограничителем; установлена зависимость решения от длины ограничителя.

В настоящей работе изучается усреднение параболического уравнения, заданного в области, перфорированной «крошечными» шариками. На границе этих перфораций заданы односторонние динамические граничные ограничения. Мы обращаемся к так называемому «критическому» случаю, который характеризуется связью между коэффициентом в граничном условии, периодом структуры и размером отверстий. В этом случае усредненное уравнение содержит нелокальный «странный» член. Этот член получается как решение вариационной задачи, содержащей обыкновенный дифференциальный оператор.

Описана квазиклассическая асимптотика решения задачи Коши для уравнения Шредингера с дельта-потенциалом, локализованным на поверхности коразмерности 1. Оператор Шредингера с дельта-потенциалом определяется при помощи теории расширений и задается краевыми условиями на этой поверхности. Начальные данные выбираются в виде узкого пика, представляющего собой гауссов пакет, локализованный в малой окрестности точки. Для построения асимптотики используется метод комплексного ростка Маслова. Описывается отражение комплексного ростка от носителя дельта-потенциала.