Maslov complex germ and semiclassical contracted states in the Cauchy problem for the Schrödinger equation with delta potential

Full Text

1. Введение и постановка задачи Операторы Шредингера с дельта-потенциалами широко применяются в различных физических и математических задачах; в частности, для описания сильно локализованных полей, порожденных точечными дефектами в материалах. Одной из первых работ, где такие потенциалы применялись к изучению движения электрона в кристаллической решетке, является работа [10], в которой потенциал представляет собой периодическую цепочку дельта-функций. Строгое математическое определение операторов с дельта-потенциалом было дано Ф. А. Березиным и Л. Д. Фаддеевым в работе [1], где было предложено использовать подход, основанный на теории расширений. Теории операторов с точечными потенциалами посвящен ряд монографий; см., например, [8, 9] и цитированную там литературу. Теория комплексного ростка Маслова (см. [2, 3]) позволяет описывать квазиклассические асимптотические решения уравнений с гладкими коэффициентами, локализованные в малой окрестности подмногообразия положительной коразмерности. В простейших ситуациях такие решения описываются функциями eiS(x,t)/hϕ(x, t, h), где h - квазиклассический малый параметр, фаза S комплексна и ×S 0 (указанное многообразие задается уравнением ×S = 0). В общем случае для описания решения используются геометрические объекты - комплексные векторные расслоения над изотопными поверхностями. Если коэффициенты уравнения содержат особенности, теория Маслова впрямую неприменима; в частности, соответствующие геометрические объекты должны перестраиваться в точках носителя особенностей коэффициентов. Ниже описана такая перестройка в случае задачи Коши для нестационарного уравнения Шредингера с потенциалом, содержащим особенность типа δ-функции, локализованной на поверхности коразмерности 1. В начальный момент времени волновая функция задается в виде узкого пика, представляющего собой гауссов пакет, локализованный в малой окрестности точки. Близкие задачи, связанные с квазиклассическими асимптотиками с вещественными фазами, изучались в работах [5-7, 11]; в частности, в этих работах описаны перестройки лагранжевых поверхностей, определяющих решение, в точках носителя дельта-потенциала. Отметим, что лагранжевы поверхности преобразуются самым естественным образом - «по законам геометрической оптики»; в то же время, перестройка комплексного ростка, описанная в настоящей работе, нетривиальна и оказывается связана с геометрией поверхности-носителя. Пусть x ∈ Rn, а δM - δ-функция, определенная на поверхности M. Будем считать, что M ∈ Rn - гладкое (n - 1)-мерное ориентированное подмногообразие. Рассмотрим задачу Коши для уравнения Шредингера: ⎧ ∂ψ h2 q(y) ⎨ih ∂t = - 2 Δψ + V (x)ψ + S0 (x) δM ψ, h (1.1) ⎩ψ(x, 0) = A ei h . - Здесь V (x) - гладкая вещественная функция в Rn (для определенности будем считать, что эта функция равна константе вне некоторого компакта - это предположение никак не влияет на конструкцию асимптотики), а q(y) - гладкая вещественная функция, заданная на поверхности M ; y = (y1, y2,... , yn 1) - локальные координаты на M ; h > 0 - малый квазиклассический параn метр. Начальные условия заданы в виде гауссова пучка: амплитуда имеет вид A = h- 4 A, A ∈ R, начальная фаза S0(x) - гладкая комплекснозначная функция, заданная формулой 1 S0(x) = s0+ < p0,x - x0 > + 2 <x - x0, Q0(x - x0) >, (1.2) где s0 ∈ R, p0 ∈ Rn, Q0 - симметричная матрица размера n × n с элементами из C, причем ×Q0 > 0. Угловыми скобками здесь и всюду далее обозначена стандартная билинейная форма (сумма произведений соответствующих координат) над полем комплексных чисел. Нормировочный множитель h-n/4 введен для того, чтобы гарантировать оценку начальной функции 1ψ(x, 0)1L2 = O(1). 2 Оператор Hˆ = - h q(y) Δ+ V (x)+ δ 2 h M h2 введем как самосопряженное расширение оператора с гладким потенциалом Hˆ0 = - 2 Δ+ V (x), ограниченного на функции, равные нулю на M. Зададим область определения такого оператора краевыми условиями ⎧ ⎨ψ(r(y) - 0, t) = ψ(r(y)+ 0, t), ∂ψ ∂ψ (1.3) ∂ν ⎩h (r(y) - 0, t) - ∂ν (r(y)+ 0, t) = q(y)ψ(r(y), t). Здесь x = r(y)M - параметрические уравнения, задающие поверхность M, ψ(r(y) ± 0, t) - пределы функции ψ с положительной и отрицательной сторон от этой поверхности, ν = ν(y) - ориентирующая единичная нормаль к M. Замечание 1.1. Всюду далее мы считаем, что точка x0 не лежит на поверхности M ; чтобы начальная функция ψ(x, 0) удовлетворяла краевым условиям, ее надо домножить на гладкую финитную функцию, равную единице в некоторой не зависящей от h окрестности точки x0 и такой, что ее носитель не пересекается с M. Такое домножение приведет к изменению начальной функции и всего асимптотического решения на величину O(h∞); в дальнейшем мы считаем, что 706 А. И. ШАФАРЕВИЧ, О. А. ЩЕГОРЦОВА эта процедура выполнена, причем для упрощения формул не будем явно выписывать указанную срезающую функцию. Ниже описана асимптотика при h → +0 решения задачи Коши (1.1). Начальный гауссов пучок распространяется в пространстве и взаимодействует с дельта-потенциалом. После взаимодействия он разбивается на две части, одна из которых проходит дальше, а другая отражается; мы описываем эволюцию прошедшей и отраженной частей гауссова пучка, а также правила склейки этих частей в точках поверхности M. Замечание 1.2. В каждый момент времени асимптотическое решение представляет собой функцию, локализованную в малой окрестности одной или двух точек в Rn и экспоненциально малое вне любой не зависящей от h окрестности этих точек. В частности, на любом конечном отрезке времени решение экспоненциально мало вне некоторого шара. Будем считать, что поверхность M делит этот шар на две части - положительную и отрицательную (относительно нормали ν); в действительности на асимптотику, описанную ниже, влияет лишь сколь угодно малая окрестность одной точки M (точки пересечения этой поверхности с траекторией классической системы Гамильтона, выпущенной из точки x0 с начальным импульсом p0). Работа имеет следующую структуру. В разделе 2 мы напоминаем конструкцию асимптотики решения задачи с гладким потенциалом. В разделе 3 получено решение задачи с потенциалом, содержащим дельта-функцию. 2. Задача Коши с гладким потенциалом Напомним структуру асимптотического решения уравнения Шредингера с гладким потенциалом (т. е. в этом разделе мы считаем, что q ≡ 0). В этом случае задача Коши имеет вид ⎧ 2 ⎨ih ∂ψ = - h Δψ + V (x)ψ, i ∂t 2 (2.1) ⎩ψ(x, 0) = A e h S0 (x), и все функции определены так же, как и для (1.1). Покажем, что решение задачи (2.1) разлагается в асимптотический ряд ψ(x, t, h) ∼ h-n/4ei S(x,t) h ∞ ' ϕk k=0 x - X(t) h1/2 ,t hk/2, S(x, t) = σ(t)+ < P (t),x - X(t) > + <x - X(t), Q(t)(x - X(t)) >, где h-n/4 - нормировочный множитель. Для этого введем новую переменную z = x - X(t) . Уравh1/2 нение Шредингера имеет вид ∂ψ ih ∂t - ih1/2 < X˙ , ∂ψ ∂z >= - h 2 Δzψ + V (z, t)ψ, где V (z, t) = V (h1/2z + X(t)). Вместо потенциала V (z, t) рассмотрим его разложение в ряд Тейлора в окрестности точки z = 0: V (z, t) ∼ V (X(t)) + ' 1 k ' ∂ V I zs. k! k>0 |s|=k Iz ∂zs I =0 Заметим, что k-ые производные по z выражаются через производные x как I ∂k V (z, t) I k/2 ∂k V (x) I ∂zm Iz=0 = h ∂xm I Ix=X(t) (m - мультииндекс, |m| = k). В новых координатах функция ψ(x, t, h), определенная выше, принимает вид N ψ(z, t, h) ∼ h-n/4eiS(z,t)/h ' ϕk (z, t)hk/2, k=0 КОМПЛЕКСНЫЙ РОСТОК МАСЛОВА И КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЕ СЖАТЫЕ СОСТОЯНИЯ В ЗАДАЧЕ КОШИ 707 S(z, t) = σ(t)+ h1/2 < P (t),z > + h < z, Q(t)z > . 2 Подставив ψ(z, t, h) в уравнение Шредингера (2.1), получим h-n/4 ˙ - < ˙ 1 ' k/2 o X, P > + 2 < P, P > +V (X) ϕkh + k + h-n/4h1/2 < P˙ , z > - < X˙ , Qz > + < P, Qz > + < ∇xV (X),z > ' ϕkhk/2 + k - + ih-n/4h1/2 ' < X˙ P, ∂ϕk ∂z > hk/2 + k + h-n/4 h < z, Q˙ z > + < Qz, Qz > + < z, V 2 xx ' (X))z > k ϕkhk/2 - - ih-n/4h ' ∂ϕk + < Qz, ∂ϕk > + 1 tr Qϕ i - Δϕ k/2+ k + h-n/4 ' 1 ∂t ∂z 2 k ' hk/2 ∂ V m ' k 2 k h j/2 k 3 k! |m|=k ∂xm (X)z ϕjh j = 0. Последнее слагаемое можно переписать в форме k 2 h-n/4h ' hk ' ϕs ' ∂| m|V (X)zm + U , U N +3 = O(h 2 ). k 1 s=0 (k - s + 2)! |m|=k-s+2 |m|>2 ∂xm N +1 1 N +11L2 Собирая коэффициенты при различных степенях hk/2 и опуская нормировочный коэффициент h-n/4, получим уравнения на функции σ(t), X(t), P (t), Q(t), ϕk (z, t). Выписав слагаемые при h0, получим, что функция σ(t) должна удовлетворять уравнению: (σ˙ (t) =< X˙ (t),P (t) > -H(X(t),P (t)), где H(x, p) = p2/2+ V (x). σ(0) = S0(x0) = s0, (2.2) Рассмотрим задачу Коши для гамильтоновой системы x˙ = Hp, p˙ = -Hx, x(0) = x0, p(0) = p0; (x,p) пусть {x = X(t),p = P (t)} - решение этой задачи (траектория в фазовом пространстве R2n ). Тогда σ(t) определяется формулой t p2 I σ(t) = S0(x0)+ 0 2 - V (x) I Ix=X(τ ),p=P (τ ) dτ. Рассматривая слагаемые при h1, получим уравнения на функции Q(t) и ϕ0(z, t). Функция Q(t) представляет собой симметричную комплекснозначную матрицу размера n × n и удовлетворяет уравнению или в матричном виде < z, Q˙ z > + < Qz, Qz > + < z, Vxx(X(t))z >= 0, Q˙ + Q2 + Hxx(X(t),P (t)) = 0, Q(0) = Q0. (2.3) Известно, что решение такого уравнения имеет вид Q(t) = B(t)(C(t))-1, где B(t) и C(t) - решения системы в вариациях в матричной форме C˙ = HppB + HpxC = B, B˙ = -HxxC - HxpB = -Vxx(X)C, C(0) = E, B(0) = Q0. 708 А. И. ШАФАРЕВИЧ, О. А. ЩЕГОРЦОВА Рассмотрим оставшиеся слагаемые при h1 и hk,k > 1. Старшая часть амплитуды ϕ0 и поправки к ней ϕk (k > 0) должны удовлетворять уравнениям переноса ∂ϕk 1 i ϕ˙ k + < Q(t)z, ∂z 2 2 > + tr Q(t)ϕk - Δzϕk = Φk-1, N Φ-1 = 0, Φk(z, t) = -i ' j=0 ϕj (k - j + 2)! ' |m|=k-j+2 |m|>2 ∂|m|V ∂xm (X)zm , k 0 и начальным условиям ϕ0(z, 0) = A, ϕk (z, 0) = 0. Решения этих уравнений- многочлены по переменным z. Таким образом, получаем следующее предложение. Предложение 2.1 (ср. с [3, лемма 3.12]). На любом конечном (не зависящем от h) промежутке времени t ∈ [0,T ] функция ψN (x, t, h) = h-n/4ei S(x,t) h N § ϕk k=0 x - X(t) h1/2 ,t hk/2 N +1 удовлетворяет уравнению (2.1) с точностью до функции ω, где 1ω1L2 = O(h удовлетворяет начальному условию. Учитывая самосопряженность оператора Шредингера, получаем следствие. 2 ), и точно N-1 Следствие 2.1. Точное решение ψ задачи (2.1) при t ∈ [0,T ] имеет вид ψ = ψN + O(h 3. Потенциал с особенностью типа δ-функции 2 ). Перейдем к описанию асимптотики при наличии дельта-потенциала. Влияние особенности заключается в том, что при взаимодействии с дельта-потенциалом гауссов пучок разбивается на две части, одна из которых отражается от поверхности-носителя дельта-функции, а другая проходит дальше. Решение задачи строится в виде суммы трех функций, отвечающих падающей, отраженной и прошедшей волнам. Падающий и отраженный пучки определяются с отрицательной стороны от поверхности M, тогда как прошедшая - с положительной. Для этих функций используются обозначения {+, -,ˆ}. Сформулируем результат. Рассмотрим траекторию {X+(t),P +(t)} гамильтоновой системы c гамильтонианом H(x, p) = p2/2+ V (x), заданную условиями X+(0) = x0, P +(0) = p0. (3.1) Пусть точка x0 лежит с отрицательной стороны от поверхности M и за промежуток времени x t ∈ [0,T ] проекция X+(t) траектории на пространство Rn пересекает M в единственной точке x = r(y0) = X+(t0), причем вектор X˙ +(t0) не касается M. Обозначим через {X-(t),P-(t)} «отраженную» траекторию той же системы - она задается условиями X-(t0) = X+(t0), P-(t0) = -P +(t0), P-(t0) = P +(t0), (3.2) n n τ τ где P +(t0) и P +(t0) - нормальная и касательная к поверхности M компоненты вектора P +(t0) в n τ точке x = r(y0). Рассмотрим систему в вариациях C˙ = B, B˙ = -Vxx(X+(t))C (3.3) и определим матричные функции B+(t) и C+(t) размера n × n, составленные из вектор-столбцов решений этой системы (3.3), и заданные начальным условиями C+(0) = E, B+(0) = Q0. Пусть Q+(t) = B+(C+)-1; определим симметричную матрицу Q-(t0) равенствами ⎧ - + + - < ri,Q ⎪⎨ (t0)rj >=< ri,Q (t0)ri > + < rij ,p - p >, ∂V 0 - < p-, Q-(t0)p- >=< p+, Q+(t0)p+ > + < ⎪ (r(y )), p+ p- >, ∂x (3.4) ⎩< p-, Q-(t0)ri >=< p+, Q+(t0)ri >. КОМПЛЕКСНЫЙ РОСТОК МАСЛОВА И КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЕ СЖАТЫЕ СОСТОЯНИЯ В ЗАДАЧЕ КОШИ 709 ∂r ∂2r + + Здесь ri = ∂yi (y0), rij = ∂yi∂yj (y0), p = P (t0) и p- = P-(t0). Замечание 3.1. Из приведенных равенств следует, что ограничение формы Q-(t0) на касательную плоскость к M получается из ограничения формы Q+(t0) сдвигом на вторую фундаментальную форму b поверхности M : r(y ) r(y ) n Q-(t0)|T M = Q-(t0)|T M + 2P +(t0)b(r(y0)). 0 0 Определим матричные функции B-(t) и C-(t) как решения системы в вариациях определенные условиями C˙ = B, B˙ = -Vxx(X-(t))C, (3.5) B-(t0) = Q-(t0), C-(t0) = E. (3.6) Введем функции σ+(t0), σ-(t0), σˆ(t): t p2 I σˆ(t) = σ+(t) = S0(x0)+ 0 t 2 - V (x) I Ix=X+(τ ),p=P +(τ ) dτ, (3.7) p2 I σ-(t) = σ+(t0)+ t0 2 - V (x) I Ix=X-(τ ),p=P -(τ ) dτ. Определим функции S+, S- и Sˆ (фазы падающей, отраженной и прошедшей волн) следующим образом: S+(x, t) = Sˆ(x, t) = σ+(t)+ < P +(t),x - X+(t) > + 1 <x - X+(t), Q+(t)(x - X+(t)) >, 2 (3.8) 1 S-(x, t) = σ-(t)+ < P-(t),x - X-(t) > + 2 <x - X-(t), Q-(t)(x - X-(t)) >, где Q+(t) = B+(t)(C+(t))-1 и Q-(t) = B-(t)(C-(t))-1. Введем новые переменные z+ = x - X (t) + h1/2 , z- = x - X -(t) h1/2 и рассмотрим функции ϕ+(z+, t), ϕ-(z-, t), ϕˆ-(z+, t) (старшие части амплитуд падающего, отраk k k женного и прошедшего пучков (k = 0) и поправки к ним (k > 0)), удовлетворяющие уравнениям переноса ∂ϕk i ϕ˙ k + < Q(t)z, ∂z 2 > + tr Q(t)ϕk - Δzϕk = Φk-1, k Φ-1 = 0, Φk(z, t) = -i ' j=0 ϕj (k +3 - j)! ' |m|=k+3-j ∂|m|V ∂xm (X(t))zm , k = 0,N. (3.9) 0 Здесь для краткости опущены индексы, различающие три пучка. Для падающего пучка в начальный момент времени t = 0 амплитуда совпадает с начальным условием: ϕ+(z+, 0) = A, ϕ+ k (z+ , 0) = 0. Для отраженного и прошедшего пучков амплитуды определим с помощью условий в точке t0. Для этого введем n-мерный вектор ξ = (y - y0,t - t0)h-1/2, тогда z±|M ∼ z± 1 (ξ) + ),∞ k z±(ξ)h k-1 2 k (асимптотический ряд), где z± - однородные многочлены от ξ степени k. i=2 Потребуем от ϕ+(z+, t), ϕ-(z-, t), ϕˆ-(z+, t) выполнения следующих условий k k k k (z1 , t0) = - q(y0)ϕ+(z+, t0)+ uk (ξ) , ϕˆk (z1 , t0) = 2iP +(t0)ϕ+(z+, t0)+ vk(ξ) . (3.10) ϕ- - k 1 + n k 1 2iP +(t )+ q(y ) 2iP +(t )+ q(y ) n 0 0 n 0 0 Здесь uk(ξ) и vk (ξ) - многочлены от ξ, которые выражаются через амплитуды ϕ с предыдущими номерами (0,... ,k - 1), причем u0 = v0 = 0; они описаны ниже при доказательстве теоремы. 710 А. И. ШАФАРЕВИЧ, О. А. ЩЕГОРЦОВА Решения ϕk (z, t) задач Коши (3.9)-(3.10) представляют собой многочлены от переменным z степени 3k. Определим функцию ⎧ + ⎪h-n/4eiS N (x,t)/h ), ϕ+ x-X +(t) k/2 -n/4 N iS-(x,t)/h ), - x-X-(t) k/2 ( ⎪ k=0 k ⎪ h1/2 , t)h + h e k=0 ϕk ( h1/2 , t)h ⎨⎪ с отрицательной стороны поверхности M, Ψ(x, t, h) = ⎪ -n/4 N iSˆ(x,t)/h ), x - X +(t) k/2 h e ⎪ k=1 ⎪ ϕˆk h1/2 ,t h + ω ⎩⎪ с положительной стороны поверхности M, (3.11) N где функция ω определена ниже (см. доказательство теоремы), причем ||ω||L2 = O(h 2 ). Теорема 3.1. Решение задачи Коши (1.1) при t ∈ [t0,T ] представимо в виде ψ = Ψ + κ, где N 1 1κ1L2 = O(h 2 - ). Доказательство. Обозначим через Lˆ нестационарный оператор Шредингера с гладким потенциалом: - Lˆ = ih ∂ ∂t h2 - 2 Δ+ V (x). (3.12) 1. Докажем, что при ω = 0 построенная функция Ψ(x, t, h) вне поверхности M удовлетворяет уравнению 2 LˆΨ = O(h N +3 ) (здесь и далее все оценки понимаются в норме пространства L2). Сделаем замену переменных zj = (x - Xj (t))h-1/2 (здесь и далее индексом j ∈ {1, 2, 3} переобозначены символы {+, -,ˆ}), в новых переменных оператор Lˆ принимает вид - Lˆ = ih ∂ ∂t + ih1/2 < X˙ , ∂ ∂z h > - 2 Δz + V (X + h1/2z). Рассмотрим действие оператора Lˆ на функцию Ψ(z, t, h). Получим 3 - < X˙ ,P 1 > + <P ,P > +V (X ) N ' ϕ h + LˆΨ = h-n/4 ' eiSj /hl σ˙ j j=1 j j j j 2 j k=0 j k/2 k N k + h-n/4h1/2 < P˙ j, zj > - < X˙ j, Qzj > + < Pj, Qjzj > + < ∇xV (Xj ), zj > ' ϕj hk/2 + N ∂ϕj k=0 - + ih-n/4h1/2 ' < X˙ j Pj, k ∂z > hk/2 + k=0 + h-n/4 h < z, Q˙ jz > + < Qjz, Qjz > + < z, Δ 2 x V (X)z > N k o ϕj hk/2 - k=0 N - ih-n/4h ' ∂ϕj k + < Qjz, k ∂ϕj > + tr Qjϕj - i Δϕj k/2+ k=0 + h-n/4 ' 1 ∂t k o hk/2 ∂ V ∂z N j m ' k 2 k h j l/2l k 3 k! |m|=k ∂xm (X )z l=0 ϕl h , S±(z, t) = σj (t)+ h1/2 < Pj (t),z > + h < z, Qjz > . 2 Здесь и далее индексы при переменных zj опущены для упрощения записи. Поскольку (Xj,Pj ) - траектории системы Гамильтона, (Bj,Cj ) - решения системы в вариациях, а σj определены формулами (3.7), то соответствующие слагаемые обращаются в нуль и 3 N j j LˆΨ = h-n/4 ' eiSj /hl ' ∂ϕk ∂ϕk j j i j k/2 j=1 - ih k=0 + < Qz, ∂t - k > + tr Q ϕ Δϕ h + ∂z k 2 КОМПЛЕКСНЫЙ РОСТОК МАСЛОВА И КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЕ СЖАТЫЕ СОСТОЯНИЯ В ЗАДАЧЕ КОШИ 711 + h-n/4 ' 1 k o hk/2 ∂ V N j m ' j l/2l k 3 k! |m|=k ∂xm (X )z l=0 ϕl h . k В силу того, что ϕj - решения соответствующих уравнений переноса, получим h ' ∞ k ϕi ∂|m|V LˆΨ = h-n/4h ' k=N +1 k 2 j=0 j (k - j + 2)! ' ∂xm |m|=k-j+2 (X(t))zm, 1LˆΨ1L2 = O(h N +3 2 ). 2. Докажем, что функцию ω можно выбрать так, что Ψ попадет в область определения оператора Шредингера с дельта-потенциалом. Для этого должны выполняться краевые условия (1.3). Решение Ψ представимо в виде линейной комбинации падающей, прошедшей и отраженной волн. Рассмотрим каждую из них в точках поверхности M, заданной уравнением x = r(y). Определим вектор ξ = (y - y0,t - t0)h-1/2, тогда z|M = z1(ξ)+ ),∞ zk (ξ)h k-1 2 , где zk - однородные мноk=2 гочлены от ξ степени k. В точках поверхности, заданных координатами (y, t), сделаем замену (y, t) = (y0, t0)+ h1/2ξ. После этого фазы S+ и S- можно переписать в виде ∞ m S±(z1(ξ), t) = ' S± (ξ)hm/2 = σ±(t0)+ σ˙ ±(t0)ξn+ <P±, z1(ξ) > h1/2 + m=0 1 1 + σ¨±(ξn)2+ < P˙ ±(t0), z1(ξ) > ξn+ <P±(t0), z2(ξ) > + 2 2 ∞ \ < Q±(t0)z1(ξ), z1(ξ) > h + m + ' S± (ξ)hm/2 , m=3 m где S± - однородные многочлены от ξ степени m. Тогда i S± = h h i S0 + S1h1/2 + S2 h 1 ∞ + ' Smh m=3 m-2 2 . Из построения σ± известно, что σ˙ ± = 2 < P±,P± > -V (X±) и σ¨± = 2 < P±, P˙ ± >. Замеn-1 ∂r n-1 n-1 ∂2r тим, что z1(ξ) = ), ξi - P (t0)ξn и z2(ξ) = ), ), ξiξj - P˙ (t0)(ξn)2. Учитывая услоi=0 ∂yi i=0 j=0 ∂yi∂yj вия (3.2), (3.4), получим, что фазы падающей и отраженной волн на поверхности M совпадают вплоть до квадратичных по ξ слагаемых: S+ = S-, S+ = S- и S+ = S-. 0 Разложим амплитуды по ξ, получим 0 1 1 2 2 k (z(ξ), t) = ϕk (z1(ξ), t0)+ ' ϕk (ξ)h , ϕˆk (z(ξ), t) = ϕˆk (z1(ξ), t0)+ ' ϕˆk (ξ)h , ϕ± ± ±s s 1 s/2 s s 1 s/2 где ϕ±s(ξ), ϕˆs (ξ) - многочлены от ξ. k k Напишем разложения по ξ для функций, входящих в краевые условия (1.3): i Ψ+|M = h-n/4eh S N +(z(ξ),t) ' ϕ+ k/2 k=0 k (z(ξ), t)h = N = h-n/4eh (S0 +S1 (ξ)h +S2 (ξ)h) ' (ϕ+ 1 0 + k/2 + ∂Ψ+ I i + + i + + 1/2 + 1/2 + k=0 N k (z (ξ),t )+ χk (ξ)) h + φ , h I -n/4 h (S0 +S1 (ξ)h +S2 (ξ)h) ' ( + + + ) k/2 + ∂ν IM = h e k=0 i < P (t0), ν(y0) > ϕk (z1(ξ), t0)+ μk (ξ) h + φν , 712 А. И. ШАФАРЕВИЧ, О. А. ЩЕГОРЦОВА q(y)Ψ|M = h-n/4eh (S0 +S1 (ξ)h N +S2 (ξ)h)(q(y0) ' ϕ+ + k/2 + i + + 1/2 + k=0 k (z1, t0)+ γk (ξ))h + φq . Здесь χ+(ξ), μ+(ξ), γ+(ξ) - многочлены от ξ, выражающиеся через линейные комбинации функk k k ций ϕ+,... , ϕ+ при k = 1,N ; χ+ ≡ μ+ ≡ γ+ ≡ 0 при k = 1,N ; φ+, φ+ и φ+ - функции порядка 0 N +1 k-1 0 0 0 m q O(h 2 ). Аналогично устроены разложения для отраженной и прошедшей волн. Подставляя полученные разложения в краевые условия (1.3), получим из первого условия N h-n/4eh (S0 +S1 (ξ)h +S2 (ξ)h) ' (ϕ+ 1 0 - 1 0 k/2 i + + 1/2 + k=0 N k (z (ξ),t )+ ϕk (z (ξ),t )) h = = h-n/4eh (S0 +S1 (ξ)h +S2 (ξ)h) ' (ϕˆk (z1(ξ), t0)+ χˆk (ξ) - χ+(ξ) χ-(ξ)) hk/2 + φ. i + + 1/2 + k=0 k - k Второе краевое условие перепишем в виде N ih-n/4P + h (S0 +S1 (ξ)h +S2 (ξ)h) ' + - k/2 i + + n (t0)e 1/2 + k=0 N (ϕk (z1(ξ), t0) - ϕk (z1(ξ), t0) - ϕˆk (z1(ξ), t0))h = = h-n/4eh (S0 +S1 (ξ)h +S2 (ξ)h) '(q(y )ϕk (z1, t0)+ γk (ξ)+ μˆk(ξ) - μ+(ξ) μ-(ξ))hk/2 + φ . i + + 1/2 + 0 k=0 k - k ν Здесь φ = φˆ - φ+ - φ-, φν = φˆq - φ+ - φ- + φˆm - φ+ - φ-, γk = γˆk - γ+ - γ-. q q ν ν k k Введем обозначения χk = χˆk - χ+ - χ-, μk = μˆk - μ+ - μ-. Определим функции k k k k n uk(ξ) = - (μk(ξ)+ γk (ξ) - iP +(t0)χk (ξ)) , n vk(ξ) = - (μk(ξ)+ γk (ξ)+ iP +(t0)χk (ξ)) . (3.13) Принимая во внимания условия на амплитуды (3.10), получим, что функция Ψ0 = Ψ|ω=0 удовлетворяет условиям ⎧ ⎨Ψ0(r(y) - 0, t) - Ψ0(r(y)+ 0, t) = φ, ∂Ψ0 ∂Ψ0 0 (3.14) - - ⎩ h (r(y) 0, t) ∂ν (r(y)+ 0, t) ∂ν - q(y)Ψ (r(y), t) = φν. Отметим свойства функций φ, φm: каждая из этих функций представляется в виде N +1 n i h 2 - 4 e h sg(ξ, y, t, h), где s - квадратичная по ξ часть функции S+|M , g(ξ, y, t, h) - гладкая функция своих аргументов, растущая при |ξ|→ ∞ не быстрее многочлена. Нормы функций φ и φν удовлетворяют оценкам 1φ1L2 (M×[0,T ]) = O(h N +1 2 ), I ∂ I I φI = O(h N +1 2 ), I ∂ I Ih φI = O(h N +1 2 ); j Ih∂y I I ∂t I кроме того, эти функции локализованы в малой окрестности точки r(y0) (в частности, экспоненциально малы на конечном, не зависящем от h, расстоянии от этой точки). Введем в окрестности точки r(y0) координаты (y, ρ), где ρ - ориентированное расстояние до M по нормали. Определим функцию ω с положительной стороны от M в этой окрестности по формуле ρ2 ω = e- h (φ + ρ 1. (φν - qφ)) и продолжим ее во все пространство при помощи гладкой не зависящей от h функции, равной нулю вне некоторой большей окрестности. Легко видеть, что при этом функция Ψ точно удовлетворяет краевым условиям (1.3), т. е. лежит в области определения оператора Шредингера с дельта-потенциалом. Кроме того, поскольку N I ∂ I N I ∂ I N 1ω1L2 (Rn ) = O(h 2 ), Ih I ∂xj ωI = O(h 2 ), I Ih I ∂t ωI = O(h 2 ), I 2 вне поверхности M выполнено LˆΨ = O(h N ). КОМПЛЕКСНЫЙ РОСТОК МАСЛОВА И КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЕ СЖАТЫЕ СОСТОЯНИЯ В ЗАДАЧЕ КОШИ 713 3. Построенная функция Ψ удовлетворяет уравнению ∂Ψ ih = Hˆ Ψ+ f, ∂t N где Hˆ - оператор Шредингера с дельта-потенциалом и 1f 1L2 = O(h 2 ). Теперь утверждение теоремы следует из самосопряженности Hˆ .

About the authors

A. I. Shafarevich

Lomonosov Moscow State University

Author for correspondence.
Email: shafarev@yahoo.com
Moscow, Russia

O. A. Shchegortsova

Lomonosov Moscow State University

Email: olga.shchegortsova@gmail.com
Moscow, Russia

References

Supplementary files