Том 59, № (2016)

При разработке устройств и деталей, взаимодействующих с потоком газа или жидкости, необходимо решать задачи, связанные с исследованием устойчивости, необходимой для их надежной работы. Определение устойчивости упругого тела, принятое в данной работе, соответствует идее устойчивости динамических систем Ляпунова. На основе предложенной нелинейной математической модели исследована динамическая устойчивость упругого элерона крыла, учитывая случайный дозвуковой поток газа или жидкости (в идеальной модели несжимаемой среды). Также рассмотрена нелинейная математическая модель устройства вибрационной техники, которое предназначено для ускорения технологических процессов, например, процесса перемешивания. Работа этих устройств основана на колебаниях упругих элементов в течении газа или жидкости. Рассмотрена динамическая устойчивость упругого элемента, расположенного на одной из стенок канала с дозвуковым потоком газа или жидкости (п модели идеальной сжимаемой среды). Обе модели описываются двумя нелинейными системами дифференциальных уравнений для неизвестных функций - потенциала скорости газа и деформации упругого элемента. Из конструкции функционала получаются достаточные условия устойчивости, накладывающие ограничения на скорость свободного потока воздуха, изгибную жесткость упругого элемента и другие параметры механической системы. Приведены примеры построения областей устойчивости для конкретных параметров механических систем.

Изучаются краевые задачи для дифференциально-разностных операторов при наличии возмущений в сдвигах аргумента. Получены условия равномерной относительно сдвига аргумента положительной определенности семейства дифференциально-разностных операторов и непрерывной зависимости решений таких задач от сдвигов. Исследуется также проблема коэрцитивности дифференциально-разностных операторов с несоизмеримыми сдвигами аргументов и возможность аппроксимации этих операторов рациональными операторами.

Развита теория обобщенных жордановых цепочек многопараметрических операторфункций A(λ) : E1 → E2, λ ∈ Λ, dim Λ = k, dim E1 = dim E2 = n, где A0 = A(0) - необратимый оператор. Для упрощения изложения в разделах 1-3 геометрическая кратность λ0 равна единице, т. е. dim N(A0) = 1, N (A0 ) = span{ψ} и оператор-функция A(λ) предполагается линейной по λ. Для полиномиальной зависимости A(λ) в разделе 4 выполнена лине- аризация. Однако результаты теорем существования бифуркации получены при наличии нескольких жордановых цепочек. Даны приложения к вырожденным дифференциальным уравнениям вида [A0 + R(·, x)]x∗ = Bx.

В работе изучаются эллиптические операторы на многообразиях с особенностями в ситуации, когда на многообразии действует дискретная группа G. Как обычно в эллиптической теории, фредгольмовость оператора определяется главным символом. Мы показываем, что в данной ситуации символ является парой, состоящей из символа на основном страте (внутренний символ) и символа в конической точке (конормальный символ). Установлена фредгольмовость эллиптических элементов.