On Stability of Perturbed Semigroups in Partially Ordered Banach Spaces

Abstract

We prove necessary and su cient conditions for stability of perturbed semigroups of linear operators in Banach spaces with cones and consider some examples of using these conditions. In particular, we consider an example where the boundary-value problem is perturbed by a linear operator with delayed argument and establish conditions of stability for such a perturbed semigroup.

Full Text

ВВЕДЕНИЕ Рассмотрим возмущенную задачу Коши в банаховом пространстве ( y× = -(Γ + M )y, y(0) = y0, где Γ - замкнутый, но (вообще говоря) неограниченный оператор, а M - ограниченный оператор, считающийся возмущением. Как будет показано в данной статье, наличие инвариантного относительно Γ и M конуса позволяет доказать связь устойчивости полугруппы, порожденной этой задачей (другими словами, диссипативности оператора -Γ + M ), и свойством оператора Γ-1M быть сжимающим. Точные формулировки выглядят следующим образом: Теорема 3.1. Пусть F - вещественное банахово пространство, K ⊂ F - воспроизводящий конус и норма пространства F монотонна. Пусть заданы линейные операторы: o Γ : D(Γ) ⊂ F → F такой, что -Γ - производящий оператор сильно непрерывной полугруппы, причем e-Γt 0 в смысле K для всех t 0, o M : F → F, ограниченный и M 0 в смысле K, Qc 2016 РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ 97 98 М. И. КАМЕНСКИЙ, И. М. ГУДОШНИКОВ и пусть композиция Γ-1M вполне непрерывна. Тогда при любом t> 0 ρ(e(-Γ+M )t) < 1 =⇒ ρ(Γ-1M ) < 1. Теорема 5.1. Пусть F - вещественное банахово пространство, а K ⊂ F - воспроизводящий конус. Пусть заданы линейные операторы: o Γ : D(Γ) ⊂ F → F, такой, что Γ-1 вполне непрерывен, -ΓC является производящим оператором аналитической и равномерно экспоненциально устойчивой полугруппы, а e-Γt положительны в смысле K для всех t 0; o M : F → F - ограничен и M 0 в смысле K. Тогда для любого t> 0 ρ(Γ-1M ) < 1 =⇒ ρ(e(-Γ+M )t) < 1. Разделы 3, 4, 5 содержат доказательства этих теорем. В статье также рассмотрены два примера использования теоремы 5.1. Первый пример, описываемый в разделе 6, касается операторов, действующих в пространстве последовательностей l1 (бесконечных матриц, их теорию можно найти в [11, 14, 15]). Как будет показано, теорема 5.1 позволяет получить условие устойчивости возмущенной полугруппы, порожденной такими операторами, отличающееся от обычной локализации собственных значений кругами Гершгорина [15]. Вторым примером, который описывается в разделе 7, является задача Коши с производящим оператором (-Γ)(f ) = f ×× - af с краевыми условиями Неймана. Все условия теоремы 5.1 проверяются явно через вычисление функции Грина и проверку положительности и аналитичности получаемой полугруппы. В качестве возмущения рассматриваются операторы с запаздыванием, что стало возможным благодаря характеру условий, наложенных на оператор M в теореме 5.1 (инвариантность конуса и оценка на спектральный радиус/норму). Для удобства читателя в разделе 2, перед изложением основных результатов, приведены используемые сведения о конусах, полугруппах и комплексификации пространства. 2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1. Конуса в банаховом пространстве. В данном разделе приведены основные определения, относящиеся к конусам в банаховом пространстве, которые будут использованы в статье. Источниками по данной теме могут являться [5, 8]. Определение 2.1. Замкнутое подмножество K вещественного банахова пространства X называется конусом, если: 1. α 0, x ∈ K =⇒ αx ∈ K, 2. x, y ∈ K =⇒ x + y ∈ K, 3. K ∩ (-K) = 0. Конус K задает отношение полуупорядоченности в пространстве X. Если x, y ∈ X и x-y ∈ K, то пишут, что x y. Определение 2.2. Конус K называется воспроизводящим, если ∀(x ∈ X)∃(u, v ∈ K)[x = u - v]. Определение 2.3. Норма в пространстве X с конусом K называется монотонной, если 0 x y =⇒ ⊗x⊗ ⊗y⊗. Определение 2.4. Оператор A : X → X называется положительным (обозначается A 0), если A(K) ⊂ K. 2. Теория полугрупп. Данный раздел, содержащий основные общеизвестные понятия и факты из теории полугрупп, основан на [12]. Также этот материал содержится (в той или иной степени) в [1, 6, 7, 10, 13]. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ВОЗМУЩЕННЫХ ПОЛУГРУПП В ПОЛУУПОРЯДОЧЕННЫХ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 99 Определение 2.5. Семейство {T (t)}t 0 ограниченных линейных операторов на банаховом пространстве X называется (однопараметрической) полугруппой на X, если оно удовлетворяет ( T (t + s) = T (t)T (s) ∀(t, s 0), T (0) = I. Определение 2.6. Полугруппа {T (t)}t 0 называется сильно непрерывной, или C0-полугруппой, если функции непрерывны при любом x ∈ X. ξx : R+ → X, ξx : t 1→ ξx(t) := T (t)x Определение 2.7. Производящим оператором сильно непрерывной полугруппы T (t) называется оператор, определенный на множестве D(A) = {x|ξx дифференцируема} и действующий по правилу A : x 1→ lim t↓0 T (t)x - x. t Мы часто будем обозначать полугруппу T (t) как eAt. Свойство 2.1. Производящий оператор сильно непрерывной полугруппы всегда является линейным замкнутым плотно определенным оператором. Свойство 2.2. Если {T (t)}t 0 - сильно непрерывная полугруппа, то существуют такие ω ∈ R и M 1, что для всех t 0 ⊗T (t)⊗ Meωt. Определение 2.8. Пусть дана сильно непрерывная полугруппа T = {T (t)}t 0. Тогда ее порядком роста называется число ω0(T ) = inf {ω ∈ R : ∃(Mω )∀(t 0) r⊗T (t)⊗ Mωeωtl . Свойство 2.3. Если T = {T (t)}t 0 - сильно непрерывная полугруппа, то при любом t 0 ρ(T (t)) = eω0(T )t, где ρ - спектральный радиус. Определение 2.9. Полугруппа {T (t)}t 0 называется равномерно экспоненциально устойчивой, если ∃(ε> 0) lim eεt⊗T (t)⊗ . r = 0 t→∞ Свойство 2.4. Сильно непрерывная полугруппа {T (t)}t 0 равномерно экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда ее порядок роста ω0(T ) < 0. Определение 2.10. Пусть X - банахово пространство, а A : D(A) ⊂ A → X - замкнутый оператор. Тогда s(A) := sup{Re λ ∈ σ(A)} называется спектральной границей. Определение 2.11. Существенным порядком роста полугруппы T = {T (t)}t 0, порожденной производящим оператором A, называется число ωess(T ) = ωess(A) := inf 1 ln ⊗T (t)⊗ess, где t>0 t ⊗D⊗ess = inf{⊗D - K⊗ : K- компактный} для произвольного оператора D. 100 М. И. КАМЕНСКИЙ, И. М. ГУДОШНИКОВ Свойство 2.5. Пусть A является производящим оператором сильно непрерывной полугруппы T = {T (t)}t 0. Тогда ω0(T ) = max{ωess(T ), s(A)}. Свойство 2.6. Пусть A является производящим оператором сильно непрерывной полугруппы T = {T (t)}t 0. Тогда при любом t0 > 0 -∞ s(A) ω0(T ) = inf 1 ln ⊗T (t)⊗ = lim 1 ln ⊗T (t)⊗ = 1 ln ρ(T (t0)) < +∞. t>0 t t→∞ t t0 Свойство 2.7. Пусть A является производящим оператором сильно непрерывной полугруппы T = {T (t)}t 0. Если K - компактный оператор, то ωess(A) = ωess(A + K). Также нам потребуется понятие аналитической полугруппы и некоторые общеизвестные факты: Определение 2.12. Пусть Σδ = {z ∈ C : | arg(z)| < δ}\\ {0}. Семейство ограниченных линейных операторов {T (z)}z∈Σδ ∪{0}, действующих в банаховом пространстве X, называется аналитической полугруппой (угла δ ∈ (0, π/2]), если: 1. T (0) = I и для всех z1, z2 ∈ Σδ выполнено T (z1 + z2) = T (z1)T (z2). 2. Отображение z 1→ T (z) аналитично в Σδ. Σ∗ 3. Для всех x ∈ X и δ× ∈ (0, δ) выполнено lim δ →0 T (z)x = x. Лемма 2.1. Пусть A : D(A) ⊂ F → F - линейный оператор в комплексном банаховом пространстве F. Если ϑ ∈ R, то e-iϑσ(A) = σ(eiϑA). Лемма 2.2. Пусть A - производящий оператор аналитической полугруппы угла α. Возьмем iϑ ϑ ∈ (-α, α). Тогда eA(e совпадает с eiϑA. t) - сильно непрерывная полугруппа, и ее производящий оператор Aϑ 3. Комплексификация пространств и операторов. Нам понадобится понятие комплексификации пространства и оператора, описанное в [2, §II.XIII.2]. По произвольному линейному оператору A : F → F, где F - вещественное банахово пространство, может быть построен оператор AC : FC → FC, где FC = F × F - комплексное банахово пространство с нормой ⊗(x, y)⊗ = max θ∈[0,2π] AC : (x, y) 1→ (Ax, Ay). Легко проверить, что: ⊗x cos θ + y sin θ⊗, Свойство 2.8. ACBC = (AB)C , (A-1)C = (AC )-1. Свойство 2.9. Для вещественных α, β выполнено (αA + βB)C = αAC + βBC. Свойство 2.10. AC - компактный оператор тогда и только тогда, когда A - компактный оператор. Свойство 2.11. ⊗AC ⊗ = ⊗A⊗ благодаря формуле Гельфанда: ρ(AC ) = ρ(A). Свойство 2.12. eAt - сильно непрерывная полугруппа тогда и только тогда, когда (eAt)C - сильно непрерывная полугруппа, при этом производящий оператор (eAt)C совпадает с AC, т. е. Кроме того, благодаря свойству 2.11 eAC t = (eAt)C. ω(eAC t) = ω(eAt). Под спектром, спектральным радиусом и собственным значением оператора A, определенного над вещественным банаховым пространством, понимаются таковые оператора AC. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ВОЗМУЩЕННЫХ ПОЛУГРУПП В ПОЛУУПОРЯДОЧЕННЫХ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 101 1. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ УСТОЙЧИВОСТИ Теорема 3.1. Пусть F - вещественное банахово пространство, K ⊂ F - воспроизводящий конус и норма пространства F монотонна. Пусть заданы линейные операторы: § Γ : D(Γ) ⊂ F → F такой, что -Γ - производящий оператор сильно непрерывной полугруппы, причем e-Γt 0 в смысле K для всех t 0, § M : F → F, ограниченный и M 0 в смысле K, и композиция Γ-1M вполне непрерывна. Тогда при любом t> 0 ρ(e(-Γ+M )t) < 1 =⇒ ρ(Γ-1M ) < 1. Доказательство. В силу компактности спектр Γ-1M состоит из изолированных собственных значений конечной кратности [3, III.6.7]. Если Γ-1M не имеет собственных значений, отличных от нуля, то ρ(Γ-1M ) < 1 и на этом доказательство завершено. В случае, если Γ-1M имеет ненулевые собственные значения, предположим противное заключению теоремы, ρ(Γ-1M ) 1, и заметим, что Γ-1 = R(0, Γ) = -R(0, -Γ) = +∞ r e-Γtdt 0, 0 поэтому оператор Γ-1M положителен как композиция положительных операторов и компактен по условию. Поскольку конус K - воспроизводящий, в силу [8, Теорема 6.1, § 6] существует собственный вектор x0 ∈ K, отвечающий собственному значению λ = ρ(Γ-1M ), т. е. Γ-1Mx0 = λx0, иначе 1 1 x0 = λ Γ- Mx0, 1 1 1 Тогда Γx0 = Γ λ Γ-1Mx0 = ΓΓ-1Mx0 = λ λ Mx0 ∈ K. Рассмотрим задачу Коши (-Γ+ M )x0 = Mx0 - Γx0 = ΓΓ-1Mx0 - Γx0 = = Γλx0 - Γx0 = λΓx0 - Γx0 = (λ - 1)Γx0 ∈ K. ( y× = (-Γ+ M )y, y(0) = x0 (3.1) и ее решение y(t) = e(-Γ+M )tx0. Для t, ,6,t> 0 имеем y(t + ,6,t) - y(t) = e(-Γ+M )te(-Γ+M ) tx0 - e(-Γ+M )tx0 = t r = e(-Γ+M )t(e(-Γ+M ) tx0 - x0) = e(-Γ+M )t 0 e(-Γ+M )s(-Γ+ M )x0 ds = t r = e(-Γ+M )t 0 e(-Γ+M )s(λ - 1)Γx0 ds. (3.2) Заметим, что при любом t 0 оператор e(-Γ+M )t положителен, поскольку к нему сходится итеративная схема v0 = I; vi+1 = Qvi со следующим положительным оператором: t r (Qv)(t) = e-Γt + 0 e(-Γ)(t-s)Mv(s)ds. По предположению противного, λ = ρ(Γ-1M ) 1. Поэтому из (3.2) имеем y(t + ,6,t) - y(t) 0, 102 М. И. КАМЕНСКИЙ, И. М. ГУДОШНИКОВ т. е. y(t + ,6,t) y(t) в смысле K. В силу положительности y(t + ,6,t) и y(t) и монотонности нормы из этого следует ⊗y(t + ,6,t)⊗ ⊗y(t)⊗, что противоречит устойчивости полугруппы, следующей из посылки ρ(e(-Γ+M )t) < 1, а значит, наше предположение неверно и ρ(Γ-1M ) < 1. 1. ПОЗИТИВИРУЮЩЕЕ МНОГОЗНАЧНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ Пусть F - вещественное банахово пространство, а K ⊂ F - воспроизводящий конус. Тогда на F можно следующим образом задать многозначное отображение: P : F -→ 2K, P : x 1-→ {u + v|u, v ∈ K; u - v = x}, где 2K - множество всех подмножеств конуса K. Поскольку конус воспроизводящий, то P (x) содержит хотя бы один элемент для каждого x ∈ F. Выведем некоторые свойства отображения P. Свойство 4.1. ∀(x ∈ F )[P (x) ⊂ K]. Очевидно, так как каждый y ∈ P (x) является суммой двух элементов K. Свойство 4.2. ∀(x ∈ F )[P (x) = P (-x)]. Пусть y ∈ P (x). Значит, ∃(u, v ∈ K)[(u + v = y) ∧ (u - v = x)]. Тогда v - u = -x ⇒ y = u + v ∈ P (-x), т. е. P (x) ⊂ P (-x). Взяв в качестве x вектор -x, убедимся в верности обратного вложения. Свойство 4.3. ∀(x ∈ F, y ∈ P (x))[(y + x ∈ K) ∧ (y - x ∈ K)]. ⇔ y ∈ P (x) def ∃(u, v ∈ K)[(u + v = y) ∧ (u - v = x)]. Тогда y + x = u + v + u - v = 2u ∈ K и y - x = u + v - (u - v) = u + v - u + v = 2v ∈ K. Свойство 4.4. y x, y -x =⇒ y ∈ P (x). Требуемое разложение: u = 1 (y + x) ∈ K, v = 1 (y - x) ∈ K, u + v = y, u - v = x. 2 2 Свойство 4.5. P (0) = K. y По свойству 4.1 P (0) ⊂ K. Докажем обратное вложение. Пусть y ∈ K. Тогда u = v = 2 будет требуемым разложением вектора 0. Свойство 4.6. ∀(x ∈ F )[b ∈ P (x),a b =⇒ a ∈ P (x)] ⇔ b ∈ P (x) def ∃(u, v ∈ K)[(u + v = b) ∧ (u - v = x)], a b =⇒ a - b ∈ K. Пусть u1 = u+ a - b 2 ∈ K, v1 = v + a - b 2 ∈ K. Тогда u1 +v1 = u+ a - b +v + 2 - a - b = b+a b = a, 2 u1 - v1 = u + a - b 2 - (v + a - b \\ 2 = u - v = x. Следовательно, a ∈ P (x). Свойство 4.7. ∀(x ∈ F )[P (x)- замкнутое множество]. Пусть дана произвольная последовательность {yi} такая, что {yi} ⊂ P (x), yi → y. Тогда 1 2 (yi + x) → 1 1 (y + x), 2 1 2 (yi - x) → 1 1 2 (y - x). В силу замкнутости конуса и свойства 4.3 имеем: u = 2 (y + x) ∈ K, v = 2 (y - x) ∈ K, u + v = y, u - v = x, следовательно, y ∈ P (x) и P (x) замкнуто. Свойство 4.8. ∀(x ∈ F, α ∈ R)[|α|P (x) ⊂ P (αx)] ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ВОЗМУЩЕННЫХ ПОЛУГРУПП В ПОЛУУПОРЯДОЧЕННЫХ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 103 При α = 0: |α|P (x) = 0 ⊂ P (αx) = P (0) = K. При α > 0: |α|P (x) = αP (x). Пусть y ∈ P (x), т. е. ∃(u, v ∈ K)[(u + v = y) ∧ (u - v = x)]. Тогда αy = α(u + v) = αu + αv, αu ∈ K, αv ∈ K. αu - αv = α(u - v) = αx, следовательно, αy ∈ P (αx). При α < 0: |α|P (x) = -αP (x). Пусть y ∈ P (x), т. е. ∃(u, v ∈ K)[(u + v = y) ∧ (u - v = x)]. Тогда -αy = -α(u + v) = (-αu)+(-αv), -αu ∈ K, -αv ∈ K. Поскольку (-αv) -(-αu) = α(u - v) = αx, следовательно, -αy ∈ P (αx). Свойство 4.9. ∀(x1, x2 ∈ F )[P (x1)+ P (x2) ⊂ P (x1 + x2)]. Пусть y1 ∈ P (x1), y2 ∈ P (x2), т. е. ∃(u1, v1 ∈ K)[(u1 + v1 = y1) ∧ (u1 - v1 = x1)], ∃(u2, v2 ∈ K)[(u2 + v2 = y2) ∧ (u2 - v2 = x - 2)]. Тогда y1 + y2 = u1 + v1 + u2 + v2 = (u1 + u2)+ (v1 + v2) и (u1 + u2) - (v1 + v2) = u1 - v1 + u2 - v2 = x1 + x2, следовательно, y1 + y2 ∈ P (x1 + x2). Значит, P (x1)+ P (x2) ⊂ P (x1 + x2). Свойство 4.10. Пусть S : F → F - линейный положительный оператор. Тогда ∀(x ∈ F )[SPx ⊂ PSx] P (x) d=ef {u + v|u, v ∈ K; u - v = x}, SP (x) = S{u + v|u, v ∈ K; u - v = x} = = {Su + Sv|u, v ∈ K; u - v = x}⊂ P (Su - Sv) = PS(u - v) = PS(x). 2. ТЕОРЕМА О СОХРАНЕНИИ УСТОЙЧИВОСТИ Лемма 5.1. Пусть F - комплексное банахово пространство, и заданы линейные операторы: § Γ : D(Γ) ⊂ F → F такой, что Γ-1 компактен, § M : F → F - ограниченный оператор. Пусть также ρ(Γ-1M ) < 1. Тогда оператор -αΓ+ M при всех α : α× α < +∞, где 0 < α× < 1, является оператором с компактной резольвентой. Доказательство. Возьмем ε : 0 < ε < 1 - ρ(Γ-1M ). Мы можем ввести (см. [5, гл. 2, § 5, п. 2]) в F такую норму ⊗· ⊗ε, эквивалентную текущей, что норма операторов, построенная по ней, такова: ⊗Γ-1M ⊗ε ρ(Γ-1M )+ ε< ρ(Γ-1M )+1 - ρ(Γ-1M ) = 1. Теперь выберем α× : ⊗Γ-1M ⊗ε < α× < 1. Можно видеть, что для произвольного α : α× α < +∞ верна оценка 1 1 Γ-1M 1 < 1. Далее зафиксируем λ такое, что 1 1 1 α 1ε 0 <λ< α 1 - ⊗ 1 Γ-1 1 M ⊗ε . Тогда ⊗ α Γ-1M ⊗ε 1 1 λ 1 А это означает, что ( 1 ⊗ α Γ- M ⊗ε + ⊗ α Γ- ⊗ε < 1. 1 λ 1 λ λ \\ ρ Γ-1M + Γ-1 ⊗ Γ-1M + Γ-1⊗ ⊗ Γ-1M ⊗ + ⊗ Γ-1⊗ < 1. α α α α ε α o α ε Поэтому можно разложить в ряд Неймана резольвенту: ( ( 1 λ \\\\-1 - Rλ(-αΓ+ M ) = (-αΓ+ M - λI)-1 = -αΓ I Γ-1M α - Γ-1 = α ( 1 1 λ 1\\- 1 ( 1 \\ 1 ∞ ( 1 1 λ 1 \\k ( \\ 1 1 (5.1) = I - α Γ- M - α Γ- - α Γ- = k=0 Γ- M + Γ- α α - α Γ- . Из (5.1) видно, что Rλ(-αΓ + M ) компактна, т. е. оператор -αΓ + M является оператором с компактной резольвентой(см. [3, гл. III, § 6, п. 8]) при всех α : α× α < +∞, где α× < 1. Лемма 5.2. Пусть F - вещественное банахово пространство, а K ⊂ F - воспроизводящий конус. Пусть заданы линейные операторы: 104 М. И. КАМЕНСКИЙ, И. М. ГУДОШНИКОВ § Γ : D(Γ) ⊂ F → F, такой, что -Γ является производящим оператором сильно непрерывной полугруппы и эта полугруппа положительна в смысле K при каждом значении параметра, § M : F → F - ограничен и положителен в смысле K. Пусть ρ(Γ-1M ) < 1. Тогда операторы вида -αΓ+ M имеют собственное значение с нулевой вещественной частью только при α < 1. Доказательство. Предположим противное, что оператор α0Γ+ M имеет собственное значение iω, ω ∈ R, ему отвечает собственный вектор x0 + iy0 и при этом α0 1. Частным решением уравнения y× = (-α0Γ+ M )y при начальном условии y(0) = x0 + iy0 является функция y1(t) = (x0 + iy0)(cos ωt + i sin ωt) = (x0 cos ωt - y0 sin ωt)+ i(x0 sin ωt + y0 cos ωt), при начальном условии y(0) = x0 - iy0 - функция y2(t) = (x0 - iy0)(cos ωt - i sin ωt) = (x0 cos ωt - y0 sin ωt) - i(x0 sin ωt + y0 cos ωt), а значит и их сумма (при начальном условии y(0) = 2x0) y∗(t) = 2x0 cos ωt - 2y0 sin ωt. Решение y∗ - периодическое (с периодом T = 2π ) и невырожденное (так как собственный вектор ω x0 + iy0 /= 0 + i0). При этом данное решение лежит в вещественной компоненте FC, и мы можем в доказательстве этой леммы работать далее с операторами, действующими в F, а не в FC. Поскольку y∗ является решением неоднородной системы ( y× = -α0Γy + My∗, y(0) = 2x0, то t r y∗(t) = e-α0Γ(t-s)My∗(s)ds. -∞ Рассмотрим семейство линейных операторов Qt : F -→ F, t r Qt : x 1-→ -∞ e-α0Γ(t-s)Mxds. 1 α Покажем, что все Qt совпадают с одним оператором Q d=ef Γ-1M. Для любого x ∈ F верно: 0 t r Qtx = t r e-α0Γ(t-s)Mxds = e-α0Γ(t-s)(-α0Γ)(-α0Γ)-1Mxds = -∞ ⎛ 0 s=t-q 1 r -∞ ⎞ α0Γq -1 ⎛ +∞ 1 r ⎞ α0Γq -1 α = - 0 ⎝ (-1)(-α0)Γe- +∞ +∞ dq⎠ Γ α Mx = - ⎝ 0 0 -α0Γe- dq⎠ Γ Mx = т. е. 1 α = - e- 0 α0Γq q=0 Γ-1 1 α Mx = - 0 (0 - I)Γ-1 1 Mx = α0 Γ-1 Mx, 1 α Qt = 0 Γ-1M = Q. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ВОЗМУЩЕННЫХ ПОЛУГРУПП В ПОЛУУПОРЯДОЧЕННЫХ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 105 Заметим, что α0 1 по предположению, а ρ(Γ-1M ) < 1, значит, в F можно ввести (см. [5, гл. 2, § 5, п. 2]) такую норму ⊗· ⊗L, эквивалентную заданной в F, что Γ-1Mx⊗L Тогда ∀x, y ∈ F верно: ⊗Γ-1M ⊗L d=ef sup ⊗ x∈F,x/=0 ⊗x⊗L < 1. 1 1 1 1 α ⊗Qtx - Qty⊗L = ⊗Qt(x - y)⊗L = ⊗ 0 α Γ- M (x - y)⊗L 0 ⊗Γ- M ⊗L⊗x - y⊗L Значит, Qt - сжимающее отображение, имеющее единственную неподвижную точку в F. Поскольку Qt - линейный оператор, то этой неподвижной точкой является ноль. Поскольку K - воспроизводящий конус, то на F можно задать отображение P. Рассмотрим множество P d=ef (] P (y∗(s)). s∈R Каждое из множеств P (y∗(s)) замкнуто, поэтому P также замкнуто (пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто). Покажем, что множество P непусто. Обозначим a1 = 2x0 + 2y0, a2 = 2x0 - 2y0. Тогда 2x0 = 2y0 = a1 + a2 , 2 a1 - a2 . 2 Благодаря тому, что конус K воспроизводящий, существуют его элементы u1, v1, u2, v2 такие, что a1 = u1 - v1, a2 = u2 - v2. Обозначим ξ = u1 + v1 + u2 + v2. Очевидно, ξ ∈ K и при этом ξ - y∗(t) = u1 + v1 + u2 + v2 - 2x0 cos ωt + 2y0 sin ωt = = u1 + v1 + u2 + v2 - a1 + a2 cos ωt + 2 a1 - a2 sin ωt = 2 = u1 + v1 + u2 + v2 - u1 - v1 + u2 - v2 cos ωt + 2 u1 - v1 - u2 + v1 sin ωt = 2 ( = u1 1 - cos ωt + 2 sin ωt \\ 2 + v1 ( cos ωt 1+ 2 - ( cos ωt sin ωt \\ 2 sin ωt \\ ( + u2 1 - cos ωt 2 - sin ωt \\ + 2 +v2 1+ 2 + 2 . Можно видеть, что множитель перед каждым вектором не может быть меньше нуля, поэтому ω ξ - y∗(t) ∈ K, т. е. ξ y∗(t) при всех t. Так как -y∗(t) = y∗(t + π \\, то по свойству 4.4 имеем ξ ∈ P (y∗(t)), т. е. ξ ∈ P . y Продолжим исследование операторов Qt. Для всех t ∈ R и ∈ P имеем: t r t Q y = e-α0Γ(t-s) t r Myds = e-α0Γ(t-s)M ( y + y∗(s) + 2 y - y∗(s)\\ 2 ds = -∞ t t r y + y∗(s) r -∞ - y∗(s) = e-α0Γ(t-s)M 2 -∞ ds + -∞ e-α0Γ(t-s)M y 2 ds ∈ (так как интегралы неотрицательны) 106 М. И. КАМЕНСКИЙ, И. М. ГУДОШНИКОВ ⎛ rt ∈ P ⎝ -∞ t y + y (s) ∗ r - e-α0Γ(t-s)M ds 2 -∞ e-α0Γ(t-s) - y y ∗(s) M 2 ⎞ ds⎠ = ⎛ rt = P ⎝ -∞ e-α0Γ(t-s)M ( y + y ∗(s) 2 - - y y ∗(s)\\ 2 ⎞ ds⎠ = ⎛ rt = P ⎝ -∞ ⎞ e-α0Γ(t-s)My∗(s)ds⎠ = P (y∗(t)). Поскольку при любом t оператор Qt = Q, то ∀(t ∈ R)[Q ∈ P (y∗(t))], т. е. Q ∈ n P (y∗(t)) = P . Значит, отображение y Q : P -→ P , y t∈R Q : x 1-→ 1 Γ-1Mx α0 задано корректно. Поскольку множество P замкнуто, то его можно рассматривать как метрическое пространство с метрикой, порожденной нормой пространства F. Отображение Q является сжимающим, так же как и Q, поэтому оно имеет неподвижную точку yf ∈ P . Тогда yf также является неподвижной точкой отображения Q, имеющей единственную неподвижную точку - ноль. Следовательно, yf = 0 ∈ P . Заметим, что P ⊂ P (y∗(0)), поэтому 0 ∈ P (y∗(0)). То есть, ∃(ux, vx ∈ K : ux + vx = 0)[ux - vx = y∗(0)]. ux - vx = y∗(0) = 2x0 cos(ω0) - 2y0 sin(ω0) = 2x0. Но K - конус, поэтому (ux, vx ∈ K) ∧ (ux + vx = 0) =⇒ (ux = 0) ∧ (vx = 0), значит, ux - vx = 0 - 0 = 0 = 2x0 = x0. Аналогично, P ⊂ P (y∗( π \\\\ =⇒ 0 ∈ P (y∗( π \\\\ =⇒ ∃(u ,v ∈ K : u + v = 0)[u - v = 2ω 2ω y y y y y y y∗( π \\ = -2y ] =⇒ (u = 0) ∧ (v = 0) =⇒ u - v = 0 = -2y = y . 2ω 0 y y y y 0 0 То есть x0 и y0 одновременно равны нулю. Но такого не может быть, так как x0 + iy0 - собственный вектор, который не может быть нулевым. Имеем противоречие, значит, наше предположение неверно и α0 < 1. Теорема 5.1. Пусть F - вещественное банахово пространство, а K ⊂ F - воспроизводящий конус. Пусть заданы линейные операторы: § Γ : D(Γ) ⊂ F → F, такой, что Γ-1 вполне непрерывен, -ΓC является производящим оператором аналитической и равномерно экспоненциально устойчивой полугруппы, а e-Γt положительны в смысле K для всех t 0. § M : F → F - ограничен и M 0 в смысле K. Тогда для любого t> 0 ρ(Γ-1M ) < 1 =⇒ ρ(e(-Γ+M )t) < 1. Доказательство. Поскольку полугруппа e-Γt является сильно непрерывной, то найдутся такие c и ω1, что ⊗e-Γt⊗ ceω1t, и, в силу ее устойчивости, ω1 < 0. Пусть α 0. Тогда D(-αΓ) = D(-Γ) и e(-αΓ)t = e-Γ(αt) - сильно непрерывная полугруппа, причем ⊗e(-αΓ)t⊗ ceω1αt. Из леммы 5.1 следует, что существует такое α× : 0 < α× < 1, что -αΓC + MC, а значит, и -αΓ+ M является оператором с компактной резольвентой при всех α α×. Рассмотрим подробнее семейство операторов {-αΓ+ M }α α∗ . (5.2) ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ВОЗМУЩЕННЫХ ПОЛУГРУПП В ПОЛУУПОРЯДОЧЕННЫХ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 107 Сразу можно сказать, что, поскольку M - ограниченный оператор, то согласно [12, теорема III.1.3, с. 158] e(-αΓ+M )t - сильно непрерывная полугруппа и ⊗e(-αΓ+M )t⊗ ce(αω1+c M )t. ω1 Так как ω1 < 0, то при α > - c M мы получим, что αω1 + c⊗M ⊗ < 0, т. е. весь спектр σ(-αΓ+ M ) лежит в левой полуплоскости. Поскольку -ΓC - производящий оператор аналитической полугруппы, то существует такое ϑ ∈ (0, π/2), что сужения e-ΓC z на {eiϑt | t 0} и {e-iϑt | t 0} являются сильно непрерывными полугруппами. По лемме 2.2 их производящими операторами являются соответственно -eiϑΓC и -e-iϑΓC. Тогда существуют такие Mi,M ,ω ,ω , что -i i -i iϑ M e , ⊗e(-e iϑ ΓC )t ωit " i Тогда ⊗e(-e- iϑ M ΓC )t " -i eω-it. ⊗e(e iϑ (-αΓC +M ))t⊗ Mie(αωi+Mi M )t, значит, ⊗e(e- -i (-αΓC +MC ))t⊗ M e(αω-i+M-i M )t, Re σ(eiϑ(-αΓC + MC )) αωi + Mi⊗M ⊗, и по лемме 2.1 -i Re σ(e-iϑ(-αΓC + MC )) αω + M-i ⊗M ⊗, Re e-iϑσ(-αΓ+ M ) αωi + Mi⊗M ⊗, -i Re eiϑσ(-αΓ+ M ) αω + M-i ⊗M ⊗, т. е. если λ ∈ σ(-αΓ+ M ), то Re λ cos ϑ + Im λ sin ϑ αωi + Mi⊗M ⊗, Re λ cos ϑ - Im λ sin ϑ αω-i + M-i⊗M ⊗, и наконец Im λ - ctg ϑ Re λ + αωi + Mi⊗M ⊗ , (5.3) sin ϑ Im λ ctg ϑ Re λ - αω-i + M-i⊗M ⊗ . (5.4) sin ϑ Таким образом, спектр -αΓ+ M находится внутри сектора комплексной плоскости, обращенного расширяющейся частью в сторону убывания вещественной оси. С другой стороны, как было сказано выше, при α α× оператор -αΓ+ M - оператор с компактной резольвентой, поэтому его спектр при каждом фиксированном α состоит из изолированных собственных значений конечной кратности, а при изменении α собственные значения образуют непрерывные, возможно пересекающиеся, ветви μ(α). При этом возможна ситуация, когда |μ(α)|→∞ при α, стремящемся к конечной величине. (Детальное обоснование см. в [3], в частности, теорема IV.3.16. Можно даже заметить, что семейство (5.2) является голоморфным типа (А) и ветви его собственных значений аналитичны.) Пусть функция μ(α), действующая из (a, b) или [a, b) в C - любая ветвь собственного значения такая, что α× a< 1, а 1 <b +∞. Рассмотрим несколько возможных случаев. c⊗M ⊗ ω Если b = +∞, то при α > - 1 , как было показано выше, Re μ(α) < 0. Поэтому, если ветвь μ(α) не пересекает мнимую ось, то она целиком лежит в левой полуплоскости, если же она пересекает ее, то в силу леммы 5.2 - только при значениях α < 1, поэтому при α = 1 Re μ(α) < 0. Если b< ∞, а при α b функция μ(α) не определена, то |μ(α)|→∞ при α → b слева. Однако, из оценок (5.3), (5.4) видно, что неограниченный рост |μ(α)| при ограниченных α возможен, только если Re μ(α) → -∞. Очевидно, что тогда существует такое α ∈ (1, b), что Re μ(α) < 0. Поэтому, как и в предыдущем случае, μ(1) лежит в левой полуплоскости. Таким образом, мы показали, что весь спектр оператора -Γ+ M лежит в левой полуплоскости, т. е. s(-Γ+ M ) 0. 108 М. И. КАМЕНСКИЙ, И. М. ГУДОШНИКОВ Так как -Γ + M - оператор с компактной резольвентой, то единственной предельной точкой его спектра может быть ∞. С другой стороны, весь его спектр находится в секторе, определяемом (5.3), (5.3) при α = 1. Поэтому ситуация, когда ∃{λi}⊂ σ(-Γ+ M ) : Re λi → 0 невозможна, а это значит, что s(-Γ+ M ) < 0. Поскольку e(-ΓC +MC )t - аналитическая полугруппа, то она непрерывна по норме при t > 0, а поскольку ее производящий оператор имеет компактную резольвенту, то данная полугруппа компактна при t> 0 (см. теорему 2.4.29 и последующую диаграмму в [12]). Существенный спектр отсутствует при t> 0, поэтому ω0(e(-Γ+M )t) = s(-Γ+ M ) < 0, т. е. e(-Γ+M )t равномерно экспоненциально устойчива. 3. ПРИМЕР: БЕСКОНЕЧНЫЕ МАТРИЦЫ Рассмотрим пространство последовательностей l1 с конусом K = {{xk }k∈N ∈ l1 : ∀(k ∈ N)[xk 0]}. Пусть {γk } - последовательность положительных чисел такая, что lim k→∞ γk = +∞. Тогда согласно [15, теорема 2] следующие операторы корректно определены, область определения D(Γ) плотна в l1, и Γ-1 компактен: Γ : D(Γ) ⊂ l1 → l1, ⎛ ⎞ 1 ⎛ ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛γ1 0 ... 0 .. .⎞⎛x1⎞ ⎛γ1x1⎞ γ1 0 ... 0 .. . x1 γ1 1 x2 ⎟ ⎜ 0 γ2 ... 0 ... ⎜x2⎟ ⎜γ2x2⎟ ⎜ 0 γ2 ... 0 .. .⎟⎜x2⎟ ⎜ γ2 ⎟ Γx = ⎜ .. .. . . . .. ⎟⎜ .. ⎟ ⎜ .. ⎟ 1 ⎜ .. . . . .. ⎟⎜ .. ⎟ ⎜ .. ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ . ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ . . . ⎟⎜ . ⎟ = ⎜ . ⎟ , Γ- x = ⎜ . . . . ⎟⎜ . ⎟ = ⎜ . ⎟ . ⎜ 0 0 ... γ .. .⎟⎜x ⎟ ⎜γ x ⎟ ⎜ 1 ⎟⎜x ⎟ ⎜ xk ⎟ ⎝ . . ⎠ ⎝ k . ⎠⎝ k ⎠ i. k ⎜ 0 0 ... γk .. .⎟⎝ k ⎠ ⎜ γk ⎟ .. .. .. . .. . ⎝ .. .. ⎠ . .. . ⎝ .. ⎠ . . . . . . .. . . . . Оператор -Γ порождает сильно непрерывную, устойчивую, положительную в смысле конуса K полугруппу сжатий ⎛e-γ1t 0 ... 0 .. .⎞ 0 e-γ2t ... 0 ... ⎜ ⎟ ⎜ e-Γt = ⎜ ⎜ ... ... ⎟ . . . ... ⎟ ⎟ ⎝ ⎜ 0 0 ... e-γkt .. .⎟ Пусть r > 0,s /= 0, тогда ... ... 1⎛ 1 ... . . .⎠ ⎞1 1 -γ1-r-is 0 ... 0 ... 1 1 1 1⎜ 0 1 ⎟1 1⎜ -γ2-r-is ... 0 ... 1 1⎜ . . . ⎟1 . = ⊗R(r + is, -Γ)⊗ = ⊗(-Γ - (r + is)I⊗ = 1⎜ . 1⎜ ⎟1 .. . . . .. ⎟ ⎟1 1⎜ 0 0 ... 1 .. .⎟1 1⎝ -γk -r-is ⎠1 . . . . . . . . 1 1 1 .. . . 1 1⎛ |s| ⎞1 1 1 1 γ1+r+is 0 ... 0 ... 1 0 1⎜ 1 1⎜ |s| γ2+r+is ⎟1 ... 0 .. .⎟1 1 ( 1⎜ = 1⎜ |s| 1⎜ ... ... . . . ... ⎟1 ⎟1 ⎟1 sup |s| < 1 , 1⎜ 1⎜ 0 0 ... |s| ⎟1 .. .⎟1 |s| k∈N |γk + r + is| |s| 1⎝ . . γk +r+is ⎠1 . 1 1 1 . .. ... . . . 1 что в силу [12, теорема II.4.6.d] влечет аналитичность полугруппы e-Γt. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ВОЗМУЩЕННЫХ ПОЛУГРУПП В ПОЛУУПОРЯДОЧЕННЫХ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 109 Таким образом, оператор Γ удовлетворяет всем условиям теоремы 5.1 и для любого M - положительного ограниченного линейного оператора такого, что ρ(Γ-1M ) < 1, сильно непрерывная полугруппа e(-Γ+M )t устойчива. Заметим, что ⎛ m11 m12 m1q ⎞ γ1 m21 γ1 ... m22 γ1 ... m2q ⎜ ⎜ γ2 γ2 ... γ2 .. .⎟ ⎟ ⎜ Γ-1M = ⎜ ... ... . . . . .. ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ mp1 ⎝ γ.p .. и для операторной l1-нормы верно следующее: mp2 γp ... ... mpq γp ... ∞ ⎟ .. .⎟ . . .⎠ ρ(Γ-1M ) ⊗Γ-1M ⊗ = sup mpq . q∈N p=1 γp Таким образом, используя теорему 5.1, можно получить следующий факт: Теорема 6.1. Для определенного выше оператора Γ и оператора M : l1 → l1, определенного как M = {mpq }p,q∈N, K-положительного (т. е. mpq 0) и ограниченного (т. е. sup ), mpq < q∈N p∈N +∞) условие ∞ sup mpq < 1 (6.1) q∈N p=1 γp влечет устойчивость полугруппы e(-Γ+M )t. Заметим, что, используя локализацию собственных значений кругами Гершгорина (для случая бесконечных матриц см., например, [15]), можно получить следующие неравенства в качестве различных достаточных условий устойчивости e(-Γ+M )t: ), mpq q∈N ∀p ∈ N < 1, (6.2) γp Но, к примеру, для матриц ∀q ∈ N ⎛10 0 0 .. .⎞ ), mpq p∈N γq < 1. (6.3) ⎛5 ⎜5 1 1 1 .. .⎞ 1 1 1 .. .⎟ ⎜5 ⎜ 1 1 1 .. .⎟ ⎟ Γ = ⎜ 0 20 0 .. .⎟ , M = ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 30 .. .⎟ ⎜ ⎟ ⎝ .. .. .. . . ⎠ ⎜0 0 0 0 .. .⎟ . . . . ⎝ ... ... ... ... . . .⎠ выполнено только (6.1), но не (6.2) и (6.3). Также отметим, что для случая операторов, действующих в пространстве l∞, из теоремы 5.1 аналогичным образом можно получить условие на возмущение, однако в этом случае оно не дает преимуществ по сравнению с методом кругов Гершгорина. 4. ПРИМЕР: ВОЗМУЩЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ОПЕРАТОРАМИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 1. Исходный оператор. Пусть пространство F =C[0, 1], а оператор L задан дифференциальным выражением и краевыми условиями l(f ) = f ×× f ×(0) = 0, f ×(1) = 0, (7.1) 110 М. И. КАМЕНСКИЙ, И. М. ГУДОШНИКОВ т. е. L : D(L) = {f ∈ C2[0, 1] : f ×(0) = f ×(1) = 0}⊂ F → F, L : f 1→ f ××. Оператор L имеет собственное значение λ0 = 0 с собственными векторами f0(t) ≡ c и собственные значения λk = -π2k2,k ∈ N с собственными векторами fk (t) = c cos πkt. Этим его спектр исчерпывается. 2. Функция Грина и резольвента. Найдем резольвенту оператора L для регулярных λ, т. е. оператор (L - λI)-1. Для этого построим функцию Грина краевой задачи ⎧ ⎨ f ×× - λf = g, U1(f ) := f ×(0) = 0, ⎩ U2(f ) := f ×(1) = 0. Нам известна фундаментальная система решений однородного уравнения: √ (7.2) и производные ее членов: f1(t) = e f2(t) = e- λt, √λt f × √ √λt 1(t) = f × 2(t) = - λe √λe- , √λt. Построим функцию Грина, следуя доказательству теоремы 1 из [9, I.§3.3]. Известно, что ( 0 x<ξ 1 : a1(ξ)f1(x)+ a2(ξ)f2(x), Gλ(x, ξ) = где a и b удовлетворяют условиям 0 ξ < x 1 : b1(ξ)f1(x)+ b2(ξ)f2(x). (7.3) ( a1(ξ)f1(ξ)+ a2(ξ)f2(ξ) - (b1(ξ)f1(ξ)+ b2(ξ)f2(ξ)) = 0, a1(ξ)f × (ξ)+ a2(ξ)f × (ξ) - (b× (ξ)f1(ξ)+ b× (ξ)f2(ξ)) = -1. 1 Обозначив получим систему: 2 1 2 c1 = b1 - a1, c2 = b2 - a2, (7.4) ( c1(ξ)e √ λξ + c2(ξ)e √ -λξ = 0, √ √ Решаем: λe c1(ξ)√λe λξ √ - - λξ = 1. √ √ e λξ e -λξ √ √ √ √ √ √ √ λξ W (ξ) = √ √ √ √ = - λe( λξ- λξ) - λe( λξ- λξ) = -2 λ, λe - λe -λξ √ 0 e- λξ √ - √ W1(ξ) = 1 - √ λe- λ √λξ = e- λξ, e 0 √λξ 1 W2(ξ) = √ √ λe = e , λ √ √ c (ξ) = W1(ξ) = 1. W (ξ) -e- λξ √ e- λξ = √ , -2 λ 2 λ c (ξ) = W2(ξ) = 2. W (ξ) √ e λξ √ = - √ e λξ √ . Краевые условия дают систему -2 λ 2 λ ( U1(Gλ) = 0, U2(Gλ) = 0, ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ВОЗМУЩЕННЫХ ПОЛУГРУПП В ПОЛУУПОРЯДОЧЕННЫХ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 111 из которой с учетом (7.3) и (7.4) (см. [9, I.§3.3]) получаем систему √ √ √ √ √ √ √ ( b1(ξ)√λe λ·0 - b2(ξ)√λe- λ·0 = e- λξ √ √λe λξ λ·0 + e √ λe- λ·0, √ √ 2 λ 2 λ b1(ξ)√λe λ·1 - b2(ξ)√λe- λ·1 = 0; √ λξ e √ λξ ( b1(ξ)√λ - b2(ξ)√λ = e- + , √ b1(ξ)e √ 2 2 λ = b2(ξ)e- λ; ( √λ(b1(ξ) - b2(ξ)) = e- λξ , √λξ +e√ √ 2 b1(ξ) = b2(ξ)e-2 λ; √ ( √λb2(ξ)(e-2 λ 1) = e- λξ , √λξ +e√ √ -√ 2 b1(ξ) = b2(ξ)e-2 λ. λ 2 2 Заметим, что √λ(e-2 - 1) = 0 ⇒ {-π k : k ∈ {0}∪ N}. Продолжим: ⎧ √ √ - λξ λξ √ , ⎨ b2(ξ) = e +e √ - 2 λ(e-2 √ λ 1) √ √ - ⎩ b1(ξ) = (e λξ +e √ . λξ )e-2 λ √ Тогда 2 λ(e-2 √ λ-1) √ √ √ (e- λξ + e λξ )e-2 λ e- λξ a1(ξ) = b1(ξ) - c1(ξ) = √λ(e √ - √ , 2 -2 λ - 1) 2 λ √ √ √ e- λξ + e λξ e λξ √ a2(ξ) = b2(ξ) - c2(ξ) = 2 √ λ(e + √ . Итого: -2 λ - 1) 2 λ ( 0 x<ξ 1 : G1,λ(x, ξ), Gλ(x, ξ) = 0 ξ < x 1 : G2,λ(x, ξ); √ √ \\ ( e √ √ e√ \\ ((e-√λξ + e√λξ )e-2 λ e- λξ √ - λξ + e λξ λξ √ G1,λ(x, ξ) = √ √ - √ e λx + √ √ + √ e- λx, 2 λ(e-2 λ - 1) √ 2 λ √ √ 2 λ(e-2 √ λ - 1) 2 λ √ G2,λ(x, ξ) = (e- λξ + e √ λξ )e-2 √ e + λ √λx e- λξ + e λξ √ √ √ e- λx. Упростим: 2 λ(e-2 λ - 1) 2 λ(e-2 λ - 1) 1 ( √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ G1,λ(x, ξ) = √ √ e- λξ-2 λ+ λx + e λξ-2 λ+ e λx -2 - λ- λξ+ λx + e- λξ+ λx+ 2 λ(e-2 λ - 1) √ √ √ √ √ √ √ √ √ \\ = +e- λξ- λx + e λξ- λx + e-2 e λ+ λξ- λx - λξ- λx 1 = √ √ √ (e√λξ-2 λ+ √λx + e- λx √λξ+√ + e- λx √λξ-√ √ + e-2 λ+√ λx λξ-√ \\ = 2 λ(e-2 λ - 1) √ √ √ √ √ (e-2 λe = λξ + e- √ λξ )(e √ λx + e- λx) 2 λ(e-2 √ √ λ - 1) √ √ √ (e- λξ + e λξ )(e-2 λe λx + e- λx) G2,λ(x, ξ) = √ √ . 2 λ(e-2 λ - 1) Получив функцию Грина, мы можем выписать резольвенту оператора L: 1 r где f ∈ C[0, 1]. R(λ, L)(f ) = 0 Gλ(x, ξ)f (ξ)dξ, 112 М. И. КАМЕНСКИЙ, И. М. ГУДОШНИКОВ ∈ ( π 3. Секториальность оператора. Покажем теперь, что L - секториальный оператор (см. [12, \\ II.4.a]). Для этого достаточно, чтобы для некоторого θ ,π 2 сектор Σθ = {λ ∈ C : |arg λ| < θ}\\ {0} состоял из одних только регулярных точек и найдется такое M, что для всех этих точек M ||R(λ, L)|| |λ| . (7.5) \\ Зафиксируем θ ∈ ( π ,π . Весь спектр L лежит на мнимой оси в левой полуплоскости, так что он 2 не лежит в Σθ. Докажем теперь оценку (7.5). 1 ||R(λ, L)|| = sup ||R(λ, L)f || = sup r max Gλ(x, ξ)f (ξ)dξ f ∈C[0, 1],||f ||=1 f ∈C[0, 1],||f ||=1 x∈[0, 1] 0 sup max 1 r |Gλ(x, ξ)f (ξ)|dξ sup max 1 r |Gλ(x, ξ)| max |f (y)|dξ = f ∈C[0, 1],||f ||=1 x∈[0, 1] 0 f ∈C[0, 1],||f ||=1 x∈[0, 1] 0 ⎛ 1 ⎞ 1 y∈[0, 1] = sup r max ⎝ r |Gλ(x, ξ)|dξ ||f ||⎠ = max |Gλ(x, ξ)|dξ = f ∈C[0, 1],||f ||=1 x∈[0, 1] 0 ⎛ x x∈[0, 1] 0 1 ⎞ r = max ⎝ x∈[0, 1] r |G2,λ(x, ξ)|dξ + |G1,λ(x, ξ)|dξ⎠ = 0 ⎛ x √ √ x √ √ √ r (e- λξ + e λξ )(e-2 λe λx + e- λx) = max ⎝ √ √ dξ+ x∈[0, 1] 0 2 λ(e-2 λ - 1) 1 √ √ √ √ √ ⎞ r (e-2 + λe λξ + e- λξ )(e λx λx + e- ⎠ ) dξ 2 √λ(e ⎛ √ 2 λ - 1) x 1 √ √ √ r ( √ √λξ \\ √ √ max ⎝ e-2 λe λx + e- λx e- λξ + e dξ+ 2| λ||e-2 0 λ - 1| x∈[0, 1] - λx r 1 ⎞ + - λξ √λx √ ( √ √ λ -2 √λξ \\ e + e e + e x e dξ⎠ 1 √ √ max ( ( e-2Re √ λeRe √ λx + e-Re \\ e 1 √ ( -Re √λx λx - + √ eRe λx - 1 \\ + 2| λ||e-2 λ - 1| x∈[0, 1] ( e-Re √λ -Re √λx √ Re √λ -Re √λ Re √λx \\\\ Re √λ + (eRe √λx + e-Re √λx\\ - e + e-2Re λ e - e = 1 -Re √λ Re √λ λ 2|√ √ ||e-2 λ - 1| × × max x∈[0, 1] ( 1 -Re √λ ( e-2Re √ λeRe √ λxe-Re √ e λx -2Re - √ λeRe √ λx + e-Re √ λxe-Re \\ √ √ e + λx -Re λx - 1 ( + √ e-2Re √ λeRe √ λxeRe √ e λx -2Re - √ λeRe √ λx + e-Re √ λxeRe \\ + √ √ e λx -Re λx - Re λ 1 ( + √ eRe √ λxe-Re √ e λ Re - √ λxe-Re √ λx + e-Re √ λxe-Re √ e λ -Re - \\ + √ √ λxe-Re λx -Re λ 1 ( √ √ √ √ √ √ √ √ √ + √ Re λ eRe e λxe-2Re λeRe λ Re - λxe-2Re λe-Re λx + e-Re λxe-2Re λeRe λ- -e-Re √ λxe-2Re √ λeRe λx √ \\\\ = 1 max (-e-2Re √ λ + e-2Re √ λeRe √ λx+ √ 2|√λ||e-2 λ - 1||Re √λ| x∈[0, 1] -e-2Re √ λx + e-Re √ λx + e-2Re √ λe2Re e √λx -2Re - √ λeRe √ λx +1 - e-Re e √λx -Re - √ λeRe √ λx + 1- ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ВОЗМУЩЕННЫХ ПОЛУГРУПП В ПОЛУУПОРЯДОЧЕННЫХ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 113 -e-Re √ λe-Re √ λx + e-2Re √ λx + e-Re √ λeRe √ e λx -2Re - 2Re √λ √ λe2Re √ λx + e-Re √ λe-Re √ e λx -2Re - λ √ \\ = = |e- - 1| √ |√λ||Re √ λ||e-2 λ - 1| . (7.6) Здесь следует сделать два замечания. Во-первых, поскольку |arg λ| <θ < π, то можно выбирать в качестве √λ тот из корней, который лежит в правой полуплоскости, и без ограничения общности λ можно считать, что 0 |arg√λ| < θ < π . Тогда |Re √λ| = |√ λ | cos |arg √λ| > |√ θ | cos . 2 2 π 2 Во-вторых, для произвольных a, b > 0, |ϕ| < 2 , будет верно: / |a(cos ϕ + i sin ϕ) - b| = / (a cos ϕ - b)2 + a2 sin2 ϕ = / = a2 cos2 ϕ - 2a cos ϕ · b + b2 + a2 sin2 ϕ = a2(cos2 ϕ + sin2 ϕ) - 2ab cos ϕ + b2 = = /a2 - 2ab cos ϕ + b2 /a2 - 2ab + b2 = /(a - b)2 = a - b. √ В нашем случае a = e-2Re λ,b = 1,ϕ = arg √λ. Поэтому из (7.6) следует, что 1 R(λ, L) Мы доказали, что L - секториальный оператор. . 2 |λ| cos θ 1. Обратимый оператор и полугруппа. В [12, II.2.12] показано, что оператор L порождает сильно непрерывную полугруппу на пространстве F = C[0, 1], заданную формулой 1 r (eLtf )(s) = 0 kt(s, r)f (r)dr, kt(s, r) = 1 + 2 e-π n t cos(πns) cos(πnr), 2 2 n∈N причем kt - положительные функции, определенные на [0, 1] × [0, 1]. Поскольку 0 ∈ σ(L), то оператор L необратим. Построим масштабированную полугруппу, выбрав число a ∈ (0, ∞) и обозначив Тогда согласно [12, II.2.2] Γ = -L + aI. σ(-Γ) = σ(L - aI) = {-π2k2 - a : k ∈ {0}∪ N}, e-Γ = e-ateLt. (7.7) Поскольку L является секториальным оператором, он порождает аналитическую полугруппу [12, Theorem II.4.6], а значит и -Γ = L - aI порождает аналитическую полугруппу, так как -aI - ограниченный оператор (см. [12, Proposition III.1.12]). Так как R(λ, Γ) = (Γ - λI)-1 = (-(-Γ - (-λ)I))-1 = -(-Γ - (-λ)I)-1 = -R(-Γ, -λ), то σ(Γ) = -σ(-Γ) = {π2k2 + a : k ∈ {0}∪ N} при тех же собственных подпространствах, отвечающих соответствующим собственным значениям. Как можно видеть, 0 является регулярной точкой оператора Γ, поэтому он обратим. Согласно [3, теорема 6.15, III.6.3] имеем расширенный спектр (который может отличаться от спектра оператора только точками 0 и ∞): σ(Γ-1) = {0}∪ и получаем спектральный радиус ( 1 π2k2 + a : k ∈ {0}∪ N , э σ(Γ-1) 1 = ρ(Γ-1). a 114 М. И. КАМЕНСКИЙ, И. М. ГУДОШНИКОВ Заметим, что 1 r (Γ-1f )(x) = ((-L + aI)-1f )(x) = ((-(L - aI))-1f )(x) = (-(L - aI)-1f )(x) = - 0 Ga(x, ξ)f (ξ)dξ. (7.8) Как показано в [4, IV.§6.1.4], в этом случае оператор Γ-1 компактен, а значит, компактна и резольвента Γ и -Γ. Поскольку полугруппа e-Γt аналитична, то она непрерывна по норме при t > 0, и благодаря компактности резольвенты генератора мы имеем компактность полугруппы (см. [12, Theorem II.4.29]). Значит, у нее отсутствует существенный спектр и ω0(e-Γt) = s(-Γ) = sup Re σ(-Γ) = -a< 0, т. е. полугруппа устойчива. Рассмотрим конус K = {f ∈ C[0, 1] : ∀(x ∈ [0, 1])[f (x) 0]}. Если рассматривать операторы только над вещественнозначными функциями, мы получаем, что полугруппа e-Γt положительна в смысле K благодаря положительности ядер kt (что дает положительность eLt) и соотношению (7.7). 2. Примеры возмущений с запаздыванием. Таким образом, для оператора -Γ выполнены все условия теоремы 5.1. В качестве ее следствия мы можем сформулировать следующую теорему: Теорема 7.1. Пусть M : F → F - ограниченный линейный оператор, положительный относительно конуса K и такой, что ρ(Γ-1M ) < 1. Тогда полугруппа e(-Γ+M )t равномерно экспоненциально устойчива. Пример 7.1. Зафиксируем 0 <p< 1. Рассмотрим функцию q1 ∈ K и оператор ( t ∈ [0, p] : q1(t)f (0), (M1f )(t) = t ∈ [p, 1] : q1(t)f (t - p). M1 положителен и ограничен. Выясним, когда полугруппа e(-Γ+M1)t равномерно экспоненциально устойчива. Заметим, что ρ(Γ-1M1) ⊗Γ-1M1⊗ = sup max |(Γ-1M1f )(x)| = f ∈C[0, 1], f =1 x∈[0, 1] = sup 1 r max - Ga(x, ξ)M1f (ξ)dξ f ∈C[0, 1], f =1 x∈[0, 1] 0 sup ⎛ p r max ⎝ 1 r |Ga(x, ξ)| |q1(ξ)| |f (0)|dξ + ⎞ |Ga(x, ξ)| |q1(ξ)| |f (ξ - p)|dξ⎠ f ∈C[0, 1], f =1 x∈[0, 1] sup 0 max p 1 r |Ga(x, ξ)| |q1(ξ)|dξ⊗f ⊗ = max 1 r |Ga(x, ξ)|q1(ξ)dξ. f ∈C[0, 1], f =1 x∈[0, 1] 0 x∈[0, 1] 0 Таким образом, e(-Γ+M1)t устойчива, если 1 r max x∈[0, 1] |Ga(x, ξ)|q1(ξ)dξ < 1. 0 Если для всех x ∈ [1 - p, 1] ⎡ p 1 r r ⎣ |Ga(x, ξ)|q1(ξ)dξ 0 p ⎤ |Ga(x, ξ)|q1(ξ)dξ /= 0⎦ , (7.9) то мы можем несколько улучшить оценку. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ВОЗМУЩЕННЫХ ПОЛУГРУПП В ПОЛУУПОРЯДОЧЕННЫХ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 115 Выберем непрерывную на [0, 1] функцию ν(t) : ∀(t ∈ [0, 1])[ν(t) /= 0]. Введем норму на C[0, 1]: ⊗x⊗ν = ⊗νx⊗. Она эквивалентна стандартной: 1 ν 1 ν(t) 1 1 1 1 ⊗x⊗ = 1 x1 = max x(t) max max |ν(t)x(t)| = 1 1 ⊗x⊗ν, 1 ν 1 t∈[0, 1] ν(t) t∈[0, 1] ν(t) t∈[0, 1] 1 ν 1 1 1 ⊗x⊗ν = ⊗xν⊗ = max |x(t)ν(t)| max |x(t)| max |ν(t)| = ⊗x⊗⊗ν⊗. t∈[0, 1] Тогда, подобно случаю со стандартной нормой, t∈[0, 1] t∈[0, 1] 1 r ρ(Γ-1M1) ⊗Γ-1M1⊗ν = sup max - Ga(x, ξ)M1f (ξ)dξν(x) f ∈C[0, 1], f ν =1 x∈[0, 1] 0 ⎛ p sup r max ⎝ |Ga(x, ξ)|q1(ξ) f (0) dξ|ν(x)|+ ν(0) f ∈C[0, 1], f ν =1 x∈[0, 1] 0 1 r ν(ξ - p) ν(0) ⎞ ν(ξ p) dξ|ν(x)| ⎠ + |Ga(x, ξ)|q1(ξ) f (ξ - p) - p ⎛ p r ν(x) + sup max ⎝ |Ga(x, ξ)|q1(ξ)dξ⊗f ⊗ν f ∈C[0, 1], f ν =1 x∈[0, 1] 0 1 r ν(x) ν(0) ⎞ + |Ga(x, ξ)|q1(ξ)dξ⊗f ⊗ν max = ξ∈[p,1] ν(ξ - p) ⎠ p ⎛ p 1 ⎞ r ν(x) r ν(x) = max ⎝ |Ga(x, ξ)|q1(ξ)dξ + |Ga(x, ξ)|q1(ξ)dξ max . (7.10) x∈[0, 1] ν(0) ξ∈[p,1] ν(ξ - p) ⎠ 0 p Выберем ν(x) следующим образом: ⎧ 1, x 1 - p, ⎪ p ⎨⎪ ⎛ Г Ga(1-p,ξ)|q1(ξ)dξ ⎞ ⎛ 1 ⎞ Г |Ga(1-p,ξ)|q1(ξ)dξ ν(x) = min | 1, 0 ⎜1, p ⎟ ⎝ p ⎪ ⎩ ⎪ Г |Ga(x,ξ)|q1(ξ)dξ 0 ⎠ min ⎝ 1 Г |Ga(x,ξ)|q1(ξ)dξ p ⎠ , 1 - p< x. Функция ν(x) определена, непрерывна и положительна на [0, 1] благодаря (7.9). Далее для x> 1-p p 1 r ν(x) r ν(x) + |Ga(x, ξ)|q1(ξ)dξ |Ga(x, ξ)|q1(ξ)dξ max ν(0) 0 p ξ∈[p,1] ν(ξ - p) p 1 r r |Ga(1 - p, ξ)|q1(ξ)dξν(1 - p)+ 0 p |Ga(1 - p, ξ)|q1(ξ)dξν(1 - p). Значит, максимум по x в (7.10) достигается при x ∈ [0, 1 - p], и при выполненном (7.9) условием устойчивости будет неравенство 1 r max x∈[0, 1-p] 0 |Ga(x, ξ)|q1(ξ)dξ < 1. 116 М. И. КАМЕНСКИЙ, И. М. ГУДОШНИКОВ Пример 7.2. Пусть q2 : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] - непрерывная функция такая, что ∀x, s ∈ [0, 1] q2(x, s) 0. Рассмотрим оператор Аналогично: p r (M2f )(s) = 0 1 r q2(t, s)f (0)ds + p q2(t, s)f (s - p)ds. ρ(Γ-1M1) sup 1 r max - ⎛ p r Ga(x, ξ) ⎝ 1 r q2(ξ, s)f (0)ds + ⎞ q2(ξ, s)f (s - p)ds⎠ dξ p f ∈C[0, 1], f =1 x∈[0, 1] 0 0 1 1 r r max x∈[0, 1] 0 |Ga(x, ξ)| 0 q2(ξ, s)ds dξ имеем условие устойчивости полугруппы e(-Γ+M2)t: 1 r max x∈[0, 1] 0 1 r |Ga(x, ξ)| 0 q2(ξ, s)ds dξ < 1. Аналогично примеру 7.1, если для всех x ∈ [1 - p, 1] то верна оценка 1 p 1 r r r |Ga(x, ξ)|q2(ξ, s)ds dξ 0 0 0 1 r |Ga(x, ξ)|q2(ξ, s)ds dξ /= 0, p ρ(Γ-1M2) ⊗Γ-1M2⊗ν ⎛ 1 p 1 1 ⎞ r r ν(x) r r ν(x) max ⎝ |Ga(x, ξ)|q2(ξ, s)ds dξ + |Ga(x, ξ)|q2(ξ, s)ds dξ max x∈[0, 1] ν(0) s∈[p,1] ν(s - p) ⎠ 0 0 0 p и, выбрав ⎧ 1, x 1 - p, ⎪ ⎪ ⎛ 1 p ⎨ Г Г ⎞ Ga(1-p,ξ)|q2(ξ,s)ds dξ ⎛ 1 1 ⎞ Г Г |Ga(1-p,ξ)|q2(ξ,s)ds dξ ν(x) = | min ⎜1, 0 0 ⎟ min ⎜1, 0 p ⎟ , 1 p< x, ⎝ 1 p ⎪ ⎩ ⎪ Г Г |Ga(x,ξ)|q2(ξ,s)ds dξ 0 0 ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 - Г Г |Ga(x,ξ)|q2(ξ,s)ds dξ 0 p получаем улучшенное условие устойчивости 1 1 r r max x∈[0, 1-p] 0 |Ga(x, ξ)| 0 q2(ξ, s)ds dξ < 1.