Di erential Equations with Degenerate, Depending on the Unknown Function Operator at the Derivative
- Authors: Loginov B.V.1, Rousak Y.B.2, Kim-Tyan L.R.3
-
Affiliations:
- Ul’yanovsk State Technical University
- Department of Social Service
- National University of Science and Technology «MISIS»
- Issue: Vol 59, No (2016)
- Pages: 119-147
- Section: Articles
- URL: https://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/32579
Cite item
Full Text
Abstract
We develop the theory of generalized Jordan chains of multiparameter operator functions A(λ) : E1 → E2, λ ∈ Λ, dimΛ = k, dimE1 = dimE2 = n, where A0 = A(0) is a noninvertible operator. To simplify the notation, in Secs. 1-3 the geometric multiplicity λ0 is set to 1, i. e. dimN(A0) = 1, N(A0) = span{ϕ}, dimN∗(A∗0) = 1, N∗(A∗0) = span{ψ}, and the operator function A(λ) is supposed to be linear with respect to λ. For the polynomial dependence of A(λ), in Sec. 4 we consider a linearization. However, the bifurcation existence theorems hold in the case of several Jordan chains as well. We consider applications to degenerate differential equations of the form [A0 + R(·, x)]x*= Bx.
About the authors
B. V. Loginov
Ul’yanovsk State Technical University
Email: panbobl@yandex.ru
Ul’yanovsk, Russia
Yu. B. Rousak
Department of Social Service
Email: irousak@gmail.com
Canberra, Australia
L. R. Kim-Tyan
National University of Science and Technology «MISIS»
Email: kim-tyan@yandex.ru
Moscow, Russia
References
- Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: МЦНМО, 2002.
- Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. - М.: Наука, 1969.
- Голубицкий М., Гийемен В. Устойчивые отображения и их особенности. - М.: Мир, 1977.
- Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. - М.: ГИТТЛ, 1956.
- Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа и его приложения. - М.: Наука, 1975.
- Красносельский М. А., Перов А. И., Поволоцкий А. И., Забрейко П. П. Векторные поля на плоскости. - М.: Физматлит, 1963.
- Логинов Б. В., Русак Ю. Б. Обобщенная жорданова структура в теории ветвления// В сб.: Прямые и обратные задачи для уравнений с частными производными и их приложения. - Ташкент: ФАН, 1978. - C. 113-148.
- Логинов Б. В., Русак Ю. Б., Ким-Тян Л. Р. Нормальные формы дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей при производной при существовании жордановой цепочки максимальной длины// В сб.: Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Материалы научной конференции «Герценовские чтения», СПб., 15-20 апреля 2013. - LXVI. - C. 93-109.
- Логинов Б. В., Русак Ю. Б., Ким-Тян Л. Р. Дифференциальные уравнения с вырожденным, линейно зависящим от неизвестного, оператором при производной// В сб.: Международная конференция (DIFF2014) по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль 2014. Тезисы докладов. - М.: МИАН, 2014. - C. 106-107.
- Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. - М.: Мир, 1977.
- Постников М. М. Введение в теорию Морса. - М.: Наука, 1971.
- Русак Ю. Б. Обобщенная жорданова структура в теории ветвления// Дисс. к.ф.-м.н. - Ин-т мат. им. В. И. Романовского АН УзССР, 1979.
- Сидоров Н. А. Общие вопросы регуляризации в задачах теории ветвления. - Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1982.
- Треногин В. А. Функциональный анализ. - М.: Физматлит, 2002.
- Треногин В. А., Сидоров Н. А. Исследование точек бифуркации и непрерывных ветвей решений нелинейных уравнений// В сб.: Дифференциальные и интегральные уравнения. - Иркутск, 1972. - 1.- C. 216-248.
- Треногин В. А., Филиппов А. Ф. (ред.) Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения. - М.: Физматлит, 2003.
- Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Мир, 1970.
- Carr J. Application of centra manifold theory// Appl. Math. Sci. - 1981. - 35.
- Loginov B. V. Branching equation in the root subspaces// Nonlinear Anal. - 1998. - 32, № 3. - С. 439- 448.
- Loginov B. V., Rousak Yu. B. Generalized Jordan structure in the problem of stability of bifurcation equations// Nonlinear Anal. - 1991. - 17, № 3. - С. 219-231.
- Loginov B. V., Rousak Yu. B., Kim-Tyan L. R. Di erential equations with degenerated variable operator at the derivative// В сб.: Current Trends in Analysis and Its Applications. Proceedings of the 9th ISAAC Congress, Krako´w 2013. - Basel: Birkha¨user, 2015. - С. 101-108.
- Ma T., Wang Sh. Bifurcation theory and applications. - Hackensack: World Scienti c, 2005.
- Magnus R. J. A generalization of multiplicity and the problem of bifurcation// Proc. Lond. Math. Soc. (3). - 1976. - 32. - С. 251-278.
- Marszalek W. Fold points and singularity induced bifurcation in inviscid transonic ow// Phys. Lett. A. - 2012. - 376, № 28-29. - С. 2032-2037 (doi: 10.1016/j.physleta.2012.05.003).
- Sidorov N., Loginov B., Synitsin Н. V., Falaleev M. V. Lyapunov-Schmidt methods in nonlinear analysis and applications. - Dordrecht: Kluwer Academic Publ., 2012.
