Future mathematics teachers’ implementation of research activities based on dynamic mathematics software GeoGebra

Full Text

Постановка проблемы. В последнее время все чаще говорят о цифровой трансформации высшего образования [1]. Развитие информационных технологий существенным образом влияет и на организацию научно-исследовательской работы студентов. Существует много форм научно-исследовательской деятельности студентов: написание исследовательских проектов, научных статей, дипломных работ, участие в научных конференциях. В последние два десятка лет практически в любом научном исследовании студентов все больше и больше используются средства информационных технологий. Например, обучающиеся педагогических университетов часто создают электронные пособия для изучения каких-либо разделов учебных дисциплин, предлагают использование электронных квестов, игр, разнообразных специализированных программ для изучения того или иного предмета и т. д. Знания, умения и навыки, необходимые для таких методических разработок, а также опыт использования компьютера в обучении будущие учителя приобретают при изучении основ информатики и спецпредметов, иллюстрирующих применение программных средств в процессе преподавания дисциплин предметной подготовки. С другой стороны, информационные технологии можно с успехом использовать в научно-исследовательской деятельности студентов педагогических университетов для получения некоторых мини-открытий в различных науках, и эти новые результаты, как правило, не связаны с методикой обучения тому или иному предмету. Например, существует множество программ, позволяющих решать специализированные математические задачи, но чаще всего решение таких научных задач требует от студентов специальной подготовки. Как правило, студенты-математики педагогических университетов на первом курсе изучают базовые математические дисциплины и основы информатики, поэтому не готовы к применению таких программ. Тем не менее организация научно-исследовательской деятельности будущих педагогов важна на любом этапе их обучения. Таким образом, существует проблема выявления средств информационных технологий и направлений их использования для реализации научно-исследовательской работы будущих учителей математики, обучающихся на 1-2-м курсах. Более того, достаточно сложным является и поиск математической задачи, решение которой с помощью цифровых технологий привело бы к некоторым интересным результатам, обладающим элементами новизны. Выводы, полученные при исследовании перечисленных проблем, могут иметь существенное значение для организации научно-исследовательской работы студентов-математиков младших курсов. Различные подходы к решению проблемы создания организационно-методического обеспечения и реализации исследовательской деятельности обучающихся рассмотрены в работах А.В. Ястребова [2; 3], А.В. Ефанова, В.А. Федорова, Л.С. Приходько, A.C. Зуевой, К.В. Комаровой[38], Г.Н. Лобовой [4], А.Ю. Горчаковой [5], М.В. Арсентьевой [6], О.С. Маметьевой, Н.Г. Супрун, Д.А. Халиковой [7] и других ученых. Применению цифровых технологий в формировании умений исследовательской деятельности при изучении математики посвящены публикации М.В. Шабановой [8], С.В. Ларина, В.Р. Майер, Т.О. Кочетковой, О.А. Карнауховой [9], И.С. Сафуанова, Э.Х. Галямовой [10], А.В. Букушевой [11], Р. Тхапа, Н. Дахал, Б. Пант [12] и многих других авторов. Большая часть этих ученых предлагает использовать при изучении математики в школе и вузе среду динамической математики GeoGebra. В этой программе можно строить геометрические фигуры на плоскости и в пространстве, перемещать их, делать анимационные рисунки, что позволяет замечать закономерности в наблюдаемых геометрических явлениях, формулировать теоремы для последующего доказательства, подтверждать уже доказанные утверждения. За счет перемещения геометрических объектов в данной среде легко строить проекции изучаемых фигур на различные плоскости. Именно это простейшее свойство программ динамической математики можно с успехом использовать для исследовательской деятельности студентов. Цель данного исследования состоит в выявлении направления исследований математического характера, реализация которых значительным образом опирается на особенности среды динамической математики GeoGebra. Методология. Для достижения указанной цели необходимо осуществить анализ отечественной и зарубежной научной литературы, в которой отражаются теоретические основы организации научно-исследовательской работы студентов, изучается практический опыт реализации такой деятельности в различных вузах России, а также рассматриваются вопросы о применении цифровых технологий в формировании умений исследовательской деятельности обучающихся. В процессе исследования применяются различные общенаучные методы, такие как обзор научной и методической литературы в области организации научно-исследовательской деятельности с применением информационных технологий, анализ некоторых особенностей сред динамической математики и их применения в геометрических исследованиях, методы визуализации математических объектов, методы экспериментальной математики, формулирование выводов и рекомендаций по итогам аналитический работы. Результаты и обсуждение. Одной из форм всестороннего развития учащихся средней школы является их учебно-исследовательская или научно-исследовательская деятельность. Различие этих форм работы в том, что при выполнении учебно-исследовательской работы (УИР) учащиеся, применяя навыки исследовательской деятельности, открывают что-то новое для себя, но не для науки в целом, поскольку поставленная им задача, как правило, уже решена. Реализация научно-исследовательской работы (НИР) предполагает получение некоторых новых для науки фактов. На самом деле это деление на УИР и НИР достаточно условно. Например, некоторая научная проблема может быть уже решена учеными в целом с использованием сложного аппарата, недоступного пониманию учащихся, а школьник рассматривает частный случай решения этой общей задачи, опираясь на более доступные ему методы исследования. Ясно, что в такой ситуации можно говорить о выполнении учащимся как учебно-исследовательской, так и научно-исследовательской работы. Ключевую роль в реализации учащимися УИР и НИР играет руководитель, который должен не только поставить задачу проводимого исследования, но и предвидеть пути ее решения. Очевидно, что для этого учитель, осуществляющий руководство НИР школьников, сам должен обладать соответствующей подготовкой. В связи с этим освоение методов и получение навыков УИР и НИР, способствующих формированию умений, позволяющих педагогам руководить УИР и НИР школьников, играет важнейшую роль в обучении будущих учителей. Структура учебно-исследовательской работы и научно-исследовательской работы студентов подробно рассмотрена в работе Г.Н. Лобовой [4]. В своем исследовании автор выделяет два этапа в овладении учебно-исследовательской работой студентов (УИРС): УИРС-1 и УИРС-2. На первом этапе студенты овладевают основными элементами исследовательской деятельности при изучении фундаментальных дисциплин. На втором - используется более широкий круг элементов исследовательской деятельности, и такая деятельность осуществляется при изучении дисциплин общепрофессионального цикла. В ходе выполнения учебно-исследовательской работы часто решается стандартная задача с использованием выбранных преподавателем средств и технологий, под его непосредственным контролем. Научно-исследовательская работа заключается в том, что студент рассматривает реальную научную задачу, получая в итоге новый результат исследования. Для решения научно-исследовательских задач необходимо применять знания и умения из различных учебных дисциплин, что обеспечивает их глубокое усвоение. Научно-исследовательская работа дает возможность студентам творчески решать научные задачи, развивает аналитическое мышление, является средством их профессионального становления. Следует отметить, что деление исследовательской работы студентов на НИР и УИР условно. Научная работа может быть выполнена студентом на любом этапе обучения [5]. Для будущих педагогов такая работа важна тем, что они учатся видеть проблемную ситуацию, формулировать задачу, ставить цели исследования, приобретают соответствующие навыки. Цифровая трансформация образования значительным образом изменила организацию научно-исследовательской работы как в среднем, так и высшем образовании. В проведении математических исследований многие ученые [8-12] предлагают использовать богатые возможности систем динамической математики, такие как наглядность, поддержка экспериментального подхода в математике, тренировка геометрической интуиции, умения замечать закономерности, выдвигать гипотезы, самостоятельно формулировать задачи [13]. В данной работе основная роль этих программных продуктов заключается в визуализации рассматриваемого явления, на основе которой студент формулирует некоторое утверждение, а затем, используя доступный математический аппарат, обосновывает его истинность. Воспринимаемое нами на экране монитора изображение является проекцией видимой части пространства на плоскость экрана. Различные перемещения изображенной совокупности пространственных фигур позволяют рассматривать сколь угодно много плоских проекций этих фигур на экран, зрительное восприятие которых способствует возникновению правильного пространственного образа изучаемых линий, поверхностей и тел. Наличие прямоугольной системы координат, например в программе GeoGebra, допускает задание геометрических объектов с помощью уравнений, что, в свою очередь, дает возможность получить уравнения их проекций на координатные плоскости. Благодаря этому становится актуальным использование в проводимых студентами исследованиях методов аналитической геометрии, математического анализа, а на старших курсах - и методов дифференциальной геометрии. Отмеченные выше особенности систем динамической математики оправдывают выбор в качестве направления научно-исследовательской деятельности студентов 1-2-х курсов темы «Конструирование плоских кривых с помощью проектирования пространственных кривых на различные плоскости и исследование взаимосвязи свойств пространственных кривых и их проекций с использованием аппарата аналитической геометрии и математического анализа». Пример одного из таких исследований представлен в [14], где проектирование сечений линейчатых поверхностей рассматривается как средство построения известных плоских кривых. Другим исследованием в этом направлении является пространственное изучение элементов тригонометрии. Так, в [15] с помощью числового винта определяются понятия косинуса и синуса любого действительного числа, а также рассматривается построение графиков функций синус и косинус как ортогональных проекций числового винта на координатные плоскости его канонической системы координат. Поскольку винтовая линия, проектируемая в [15], лежит на круговой цилиндрической поверхности, то естественным направлением движения в развитии озвученной выше идеи является «наматывание» плоской кривой на цилиндр и проектирование полученных таким образом кривых цилиндрической поверхности на координатные плоскости. Ясно, что для использования аналитических методов исследования конструируемых кривых необходимо уметь записывать уравнения этих линий. С этой целью удобно рассматривать круговой цилиндр F радиуса 1 с параметрическими уравнениями x = cost, y = sint (рис. 1). Рис. 1. Визуализация «наматывания» плоской кривой γ на круговую цилиндрическую поверхность F, выполненная с помощью программы GeoGebra Figure 1. Visualization of the “winding” of a plane curve γ on a circular cylindrical surface F, made using the GeoGebra program Источник: выполнен авторами. Source: made by the authors. Пусть дана плоскость σ с прямоугольной системой координат Ptu, касающаяся цилиндра F по оси Pu, причем точка P лежит на оси Ох. При «наматывании» плоскости σ на цилиндр F кривая γ, лежащая в плоскости σ и заданная уравнением u = f(t) в системе координат Ptu, образует кривую γ1 на цилиндрической поверхности. Легко увидеть, что параметрические уравнения линии γ1 имеют вид . Очевидно, что ортогональные проекции кривой γ1 на координатные плоскости Oxz и Oyz определяются уравнениями и соответственно. Рассмотренный алгоритм действий позволяет строить и исследовать различные кривые цилиндрической поверхности и их плоские проекции. Примеры реализации этого алгоритма представлены в [16]. Описанный подход к построению кривых позволяет предложить достаточно широкий спектр вопросов, которые можно рекомендовать к изучению в рамках научно-исследовательских работ как студентов 1-2-х курсов, так и учащихся старших классов. Например, интерес для исследования представляют следующие темы: 1. Конструирование функций с заданными свойствами. 2. Конструирование замощений цилиндрической поверхности и плоских бордюров. 3. Конструирование замкнутых кривых цилиндрической поверхности и плоских замкнутых кривых. 4. Конструирование и исследование плоских кривых, имеющих асимптотические синусоиды. Раскроем для примера основную идею последней темы. Если γ - это плоская кривая, имеющая наклонную асимптоту l, то при «наматывании» на цилиндр они образуют кривую γ1 и винтовую линию l1. Проекциями этих линий цилиндрической поверхности на координатные плоскости Oxz и Oyz являются кривые γy и γx, а также синусоиды ly и lx соответственно. Синусоиды ly и lx можно назвать асимптотическими для кривых γy и γx соответственно. Например, график функции u = t - 2arctgt имеет две наклонные асимптоты с уравнениями u = t ± π (рис. 2). После «наматывания» этих линий на круговой цилиндр и проектирования на координатные плоскости Oxz и Oyz получаем кривые и а также их асимптотические синусоиды ly: x = -cosz и lx: y = -sinz соответственно (рис. 3 и 4). Можно заметить, что при «наматывании» на круговой цилиндр две асимптоты с уравнениями u = t ± π отображаются на одну и ту же винтовую линию. Ясно, что помимо непосредственного конструирования кривых, имеющих асимптотические синусоиды, требуется поставить ряд вопросов, необходимых для дальнейшего исследования, например о применении рассматриваемых кривых, об их классификации и т. д. Рис. 2. График функции u = t - 2arctgt и его асимптоты Figure 2. Graph of a function u = t - 2arctgt and its asymptotes Источник: выполнен авторами. Source: made by the authors. Рис. 3. Проекция на координатную плоскость Oxz линии цилиндрической поверхности, полученной «наматыванием» на цилиндр графика функции u = t - 2arctgt, и ее асимптотическая синусоида Figure 3. Projection onto the coordinate plane Oxz of the line of the cylindrical surface obtained by “winding” the graph of the function u = t - 2arctgt on the cylinder, and projection’s asymptotic sinusoid Источник: выполнен авторами. Source: made by the authors. Рис. 4. Проекция на координатную плоскость Oyz линии цилиндрической поверхности, полученной «наматыванием» на цилиндр графика функции u = t - 2arctgt, и ее асимптотическая синусоида Figure 4. Projection onto the coordinate plane Oyz of the line of the cylindrical surface obtained by “winding” the graph of the function u = t - 2arctgt on the cylinder, and projection’s asymptotic sinusoid Источник: выполнен авторами. Source: made by the authors. Дальнейшее развитие идеи применения проектирования в качестве инструмента конструирования плоских кривых возможно за счет увеличения размерности пространства, в которое вложены проектируемые фигуры. В этом случае уникальным для использования системы GeoGebra является четырехмерное евклидово пространство, геометрические объекты которого можно проектировать на трехмерные координатные гиперплоскости, а фигуры трехмерного пространства уже легко визуализировать с помощью систем динамической математики. Такой подход позволяет строить не только пространственные кривые, но и поверхности. Рассмотрим пример конструирования поверхностей описанным выше способом. Уравнение x2 + y2 + z2 = 1 задает в четырехмерном евклидовом пространстве с прямоугольной системой координат Oxyzv трехмерный цилиндр F, образующими которого являются прямые, параллельные оси Ov. Параметрические уравнения такого цилиндра: x = costsinu; y = sintsinu; z = cost; v = v. Ясно, что любая поверхность, заданная параметрическими уравнениями x = costsinu; y = sintsinu; z = cost; v = v (t, u), лежит на данном трехмерном цилиндре. Рис. 5. Визуализация проекции Fz поверхности F на координатную гиперплоскость Oxyv, выполненная с помощью программы GeoGebra Figure 5. Visualization of the projection Fz of the surface F onto the coordinate hyperplane Oxyv, performed using the GeoGebra program Источник: выполнен авторами. Source: made by the authors. Например, рассмотрим поверхность F: x = costsinu; y = sintsinu; z = cost; v = t + u и ее проекцию Fz на координатную гиперплоскость Oxyv. Эта проекция Fz задается уравнениями x = costsinu; y = sintsinu; v = t + u. Визуализация проекции Fz поверхности F на координатную гиперплоскость Oxyv, выполненная с помощью программы GeoGebra (рис. 5), позволяет выдвинуть гипотезу о том, что поверхность Fz образована движением окружности, которая вращается вокруг оси Ov в плоскости, параллельной координатной плоскости Oxy, и одновременно с этим равномерно поступательно перемещается вдоль оси Ov. Это утверждение действительно является справедливым. Его доказательство является составной частью исследовательской деятельности студента, занимающегося конструированием поверхностей описанным выше способом. Очевидно, что такое исследование должно включать в себя математический эксперимент, вариативность в котором достигается как за счет изменения функции v = v (t, u), так и за счет выбора координатной гиперплоскости, на которую осуществляется проектирование фигуры F. Важнейшую роль в этом эксперименте играет применение системы динамической математики GeoGebra. Заключение. Результаты, полученные в работе, имеют практическое значение для реализации научно-исследовательской работы будущих учителей математики. По представленному направлению исследования студенты Самарского филиала Московского городского педагогического университета ежегодно выступают с докладами на различных студенческих научных конференциях, проводимых как внутри университета, так и вне его стен, например на Областной студенческой научной конференции Самарской области. В ходе подобной практической деятельности подтверждено повышение эффективности подготовки студентов в области математики в условиях внедрения описанного подхода к использованию средств информатизации образования. В работе описаны особенности конструирования и изучения геометрических объектов с использованием среды динамической математики GeoGebra, что легло в основу нескольких научно-исследовательских работ студентов младших курсов. При проведении всех исследований существенное значение имеет применение среды GeoGebra для визуализации кривых и поверхностей. Исследуемое средство информатизации обучения студентов позволяет построить изучаемые геометрические фигуры и выявить их предполагаемые свойства, которые, разумеется, должны быть обоснованы путем логических рассуждений. Указанный подход способствует существенному повышению подготовки студентов в области высшей математики.

About the authors

Elena A. Bogdanova

Samara National Research University

Email: bogdanovaea2014@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-0274-2695

Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor, Associate Professor of the Department of Higher Mathematics

34 Moskovskoye Shosse, Samara, 443086, Russian Federation

Pavel S. Bogdanov

Samara National Research University

Email: poulsmb@rambler.ru
ORCID iD: 0000-0002-8139-1386

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Associate Professor of the Department of Applied Mathematics and Physics

34 Moskovskoye Shosse, Samara, 443086, Russian Federation

Sergey N. Bogdanov

Moscow City University

Author for correspondence.
Email: bogdanovsan@rambler.ru
ORCID iD: 0000-0001-6119-3529

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Head of the Department of Higher Mathematics and Informatics

76 Stara Zagora St, Samara, 443081, Russian Federation

References

Supplementary files