Том 63, № 2 (2017): Труды Крымской осенней математической школы-симпозиума

Рассматривается уравнение диффузии в бесконечной 1-периодической среде. Для фундаментального решения находятся аппроксимации при больших значениях времени t. Погрешность аппроксимаций имеет поточечную и интегральную оценки порядка O(t(-d+j+1)/2) и O(t(-j+1)/2), j=0,1,…, соответственно. Аппроксимации строятся из известного фундаментального решения усредненного уравнения, имеющего постоянные коэффициенты, и его производных, а также решений серии вспомогательных задач на ячейке периодичности. Серия задач на ячейке выписывается рекуррентным образом. Эти результаты используются для построения аппроксимаций операторной экспоненты исходного уравнения диффузии с оценками погрешности по операторным нормам в Lp-пространствах, 1≤p≤∞. Для аналогичного уравнения в ε-периодической среде (ε - малый параметр) получаются аппроксимации операторной экспоненты в Lp-операторных нормах при фиксированном времени с погрешностью порядка O(εn), n=1,2,….

Для отображений с неограниченной характеристикой получены теоремы об устранении изолированных особенностей на римановых многообразиях. Установлено, что отображение, удовлетворяющее определенному модульному неравенству, характеристика квазиконформности которого имеет мажоранту конечного среднего колебания в заданной изолированной особой точке, имеет предел в этой точке.

На базе уже рассмотренного ранее подхода (см. [18]) к абстрактным краевым задачам сопряжения разобраны спектральные задачи сопряжения для одной и двух областей. Подробно изучен возникший операторный пучок с самосопряженными операторными коэффициентами, действующий в гильбертовом пространстве и зависящий от двух параметров. Рассматривается оба возможных случая, когда один из параметров спектральный, а другой является фиксированным, в зависимости от этого выведены свойства решений. Также изучены начально-краевые задачи математической физики, порождающие задачи сопряжения. Получены теоремы о существовании и единственности сильного решения со значениями в соответствующем гильбертовом пространстве.

Исследуются дифференциальные операторы высших порядков на конечном интервале с условиями разрыва внутри интервала. Установлены свойства спектральных характеристик и доказаны теоремы о разложении и о полноте корневых функций для этого класса операторов.