Spectral Analysis of Higher-Order Differential Operators with Discontinuity Conditions at an Interior Point

Abstract

Higher-order differential operators on a finite interval with jump conditions inside the interval are studied. Properties of spectral characteristics are obtained, and completeness and expansion theorems are proved for this class of operators.

Full Text

ВВЕДЕНИЕ Рассмотрим краевую задачу L для дифференциального уравнения n-2 fy(x) := y(n)(x)+ \ pj (x)y(j)(x) = λy(x), 0 < x < T, (1.1) j=0 с краевыми условиями y(ν-1)(0) = y(ν-1)(T ) = 0, ν = 1, m, (1.2) и условиями разрыва во внутренней точке a ∈ (0,T ): ν y(ν-1)(a + 0) = \ aνjy(j-1)(a - 0), ν = 1, n. (1.3) j=1 j Здесь n = 2m, pj (x) - комплекснозначные функции, p(ν)(x) абсолютно непрерывны при ν = 0,j - 1, x ∈ [0,T ], и aνj - комплексные числа, aνν /= 0. Таким образом, условия разрыва порождаются матрицей перехода A =[aνj ]ν,j=1,n, где aνj = 0 при ν < j и det A /= 0. Пусть функции ϕj (x, λ), j = 1, n, являются решениями уравнения (1.1), удовлетворяющими условиям разрыва (1.3) и начальным условиям ϕ(ν-1) j (0, λ) = δνj, ν = 1, n, (1.4) где δνj - символ Кронекера. Ясно, что det[ϕ(ν-1) j (x, λ)]ν,j=1,n = η(x), (1.5) где η(x) := 1 при x < a и η(x) := det A при x > a. Обозначим j Δ(λ) := det[ϕ(ν-1)(T, λ)] j=m+1,n; ν=1,m . (1.6) Работа выполнена при поддержке Минобрнауки РФ (проект 1.1660.2017/PCh) и Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 16-01-00015, 17-51-53180). Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2017 362 Функция Δ(λ) является целой по λ порядка 1/n; ее нули {λl}l?:0 (с учетом кратностей) совпадают с собственными значениями краевой задачи L вида (1.1)-(1.3). Функция Δ(λ) называется характеристической функцией краевой задачи L. Пусть {ϕl(x)}l?:0 - система собственных и присоединенных функций (корневых функций) задачи L. Краевые задачи с условиями разрыва внутри интервала часто встречаются в математике, механике, физике, геофизике и других областях естествознания. Как правило, такие задачи связаны с разрывными или негладкими свойствами среды. Например, разрывные задачи возникают в электронике при конструировании параметров неоднородных линий передач с желаемыми техническими характеристиками [2, 3]. Разрывные задачи возникают также при изучении проводимости одномерных разрывных сред [11, 13]. Краевые задачи с условиями разрыва внутри интервала возникают также в геофизических моделях структуры Земли [7, 12]. Прямые и обратные спектральные задачи для дифференциальных операторов без разрывов изучены достаточно подробно (см. [1, 4, 8, 9, 15] и библиографию в них). Наличие разрывов вносит существенные качественные изменения в исследование операторов. Разрывные краевые задачи для операторов Штурма-Лиувилля рассматривались в [5, 6, 10, 13, 14] и других работах. Краевые задачи для дифференциальных операторов высших порядков с условиями разрыва внутри интервала еще не изучались. В данной статье в разделе 2 изучаются свойства спектральных характеристик краевой задачи L. В разделе 3 доказываются теоремы о разложении и о полноте корневых функций задачи L. 2. СВОЙСТВА СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК Пусть λ = ρn. Обозначим Sk0 = {ρ : arg ρ ∈ k0π , n (k0 +1)π n }, k0 = -n, n - 1. n В каждом секторе Sk0 корни Rk, k = 1, n, уравнения R чтобы - 1 = 0 могут быть занумерованы так, Re (ρR1) < Re (ρR2) < ... < Re (ρRn), ρ ∈ Sk0 . Ясно, что Rk = exp(iπωk /m), где ωk - перестановка чисел 0, 1,...,n - 1. Известно [4, Ch. 1], что в каждом секторе Sk0 существует фундаментальная система решений (ФСР) B = {yk (x, ρ)}k=1,n уравнения (1.1) такая, что y(ν-1) k (x, ρ) = (ρRk ) ν-1 exp(ρRkx)[1], ρ ∈ Sk0 , |ρ|→ ∞, k, ν = 1, n, x ∈ [0,T ], (2.1) где [1] = 1 + O(ρ-1). Функции y(ν-1)(x, ρ) являются аналитическими по ρ ∈ Sk , |ρ| >ρ , при k 0 ∗ каждом x ∈ [0,T ] и непрерывными при x ∈ [0,T ], ρ ∈ Sk0 , |ρ| ?: ρ∗. При |ρ|→ ∞, ρ ∈ Sk0 , det[y(ν-1) k (x, ρ)]k,ν=1,n = ρ n(n-1)/2 k k,ν=1,n det[Rν-1] [1]. Изучим асимптотическое поведение функций ϕj (x, λ) при достаточно больших |ρ|. Обозначим J- := {x : x ∈ [0, a - 0]}, J+ := {x : x ∈ [a + 0,T ]}. Используя ФСР B, получаем n jk ϕj (x, λ) = \ A± (ρ)yk (x, ρ), x ∈ J±. (2.2) Согласно (1.4) имеем n \ A- k=1 (ν-1) k=1 jk (ρ)yk (0, ρ) = δνj, ν = 1, n. Решая эту линейную алгебраическую систему по правилу Крамера и используя (2.1), вычисляем A- jk (ρ) = αjkρ 1-j k 0 [1], αjk := R1-j/n, ρ ∈ Sk , |ρ|→ ∞. (2.3) Подставляя (2.3) в (2.2) и используя (2.1), выводим n ϕ(ν-1) 1 \ ν-j j (x, λ) = n k=1 (ρRk ) exp(ρRkx)[1], x ∈ [0, a - 0], ρ ∈ Sk0 , |ρ|→ ∞. (2.4) Обозначим n 1 γ0 \ Rs j-1 Учитывая (1.3), получаем ks := n A+ j=1 n \ R ajj . k + - где γ+ 0 -1 jk (ρ) = s=1 γks(ρ)Ajs(ρ), (2.5) + ks(ρ) = (γks + O(ρ )) exp(ρ(Rs - Rk )a), ρ ∈ Sk0 , |ρ|→ ∞, det[γks(ρ)]k,s=1,n ≡ det A. (2.6) Из (2.3), (2.5) и (2.6) вытекает, что 1 n A+ \ 1-j 0 -1 jk (ρ) = nρj-1 s=1 Rs (γks + O(ρ )) exp(ρ(Rs - Rk )a), ρ ∈ Sk0 , |ρ|→ ∞. (2.7) Подставляя (2.7) в (2.2) и используя (2.1), получаем при x ∈ [a + 0,T ], ρ ∈ Sk0 , |ρ|→ ∞: ϕ(ν-1) n 1 \ ν-1 n \ 1-j 0 -1 j (x, λ) = nρj-1 k=1 (ρRk ) exp(ρRk (x - a)) s=1 Rs (γks + O(ρ )) exp(ρRsa). (2.8) Отметим, что (2.8) следует также из (1.3) и (2.4). Обозначим Δkν (λ) := (-1)k+ν det[ϕ(μ-1)(T, λ)] , k = 1,n - 1, ν = k, n. (2.9) j ν=1,n-k, j=k,n\ν Функции Δkν (λ) являются целыми по λ порядка 1/n, и их нули {λlkν }l?:0 (с учетом кратностей) совпадают с собственными значениями краевых задач Lkν для уравнения (1.1) с условиями разрыва (1.3) и с краевыми условиями y(μ-1)(0) = y(ξ-1)(T ) = 0, μ = 1,k - 1, ν; ξ = 1,n - k. Функции Δkν (λ) называются характеристическими функциями для краевых задач Lkν. В частности, Lmm = L. Из (1.6) и (2.9) вытекает, что Δmm(λ) = Δ(λ), λlmm = λl. Ввиду (2.9) и (2.2) имеем Δkk (λ) = \ 1:(s1<...<sn-k :(n Из (2.7) следует, что n μ,sj det[A+ (ρ)] μ=k+1,n, j=1,n-k sj · det[y(ν-1)(T, ρ)] j,ν=1,n-k . A+ \ + + 1-j 0 -1 jk (ρ) = s=1 αjs(ρ)bsk (ρ), αjs(ρ) = αjsρ , bsk (ρ) = (γks + O(ρ )) exp(ρ(Rs - Rk )a). Учитывая (2.1), вычисляем при k = 1,n - 1, ρ ∈ Sk0 , |ρ|→ ∞: n 1 \ 0 -1 01 -1 Δkk (λ) = ρσk exp ρT Rj j=k+1 (Δk + O(ρ )) + (Δk + O(ρ )) exp(ρ(Rk - Rk+1)a) +(Δ10 + O(ρ-1)) exp(ρ(Rk - Rk+1)(T - a)) + (Δ1 + O(ρ-1)) exp(ρ(Rk - Rk+1)T ) , (2.10) k k где σk = n(n - 1)/2 - k(k - 1)/2 - (n - k)(n - k - 1)/2, Δ0 0 0 0 01 0 1 01 10 1 0 10 1 1 1 1 k = θkαk Γk, Δk = θkαk Γk , Δk = θkαk Γk , Δk = θkαk Γk, θ0 ν 1 ν k = det[Rj ]j=k+1,n, ν=0,n-k-1, θk = det[Rj ]j=k,n\k+1,ν=o,n-k-1, α0 1 k = det[αjν ]j,ν=k+1,n αk = det[αjν ]j=k+1,n, ν=k,n\k+1, Γ0 0 01 0 k = det[γjν ]j,ν=k+1,n, Γk = det[γjν ]j=k+1,n, ν=k,n\k+1, Γ10 0 1 0 k = det[γjν ]j=k,n\k+1,ν=k+1,n, Γk = det[γjν ]j,ν=k,n\k+1. Ясно, что θ0θ1 /= 0, α0 α1 /= 0. Будем предполагать, что Γ0 /= 0 при k = 1,n - 1. Это условие k k k k k называется условием регулярности склейки. Контрпример в конце статьи показывает важность условия регулярности для спектрального анализа дифференциальных операторов с условиями разрыва внутри интервала. Если A = E (E - единичная матрица), то условие регулярности всегда выполняется. Отметим, что (2.10) следует также из (2.8) и (2.9). Используя (2.10), известным методом (см., например, [4]) получены следующие свойства характеристических функций Δkk (λ): 1. При ρ ∈ Sk0 , |ρ|→ ∞: 1 Δkk (λ) = O ρσk exp ρT n \ j=k+1 Rj . lkk 1. Пусть λlkk = ρn . Обозначим Gδ,k := {ρ : |ρ - ρlkk | ?: δ, ∀l}. Тогда n |Δkk (λ)| ?: C |ρ|σk | exp ρT \ j=k+1 Rj |, ρ ∈ Sk0 ∩ Gδ,k . (2.11) 2. Существуют положительные числа rN → ∞ такие, что при достаточно малом δ > 0 окружности |ρ| = rN лежат в Gδ := n Gδ,k при всех N. k Аналогично, используя (2.9), получаем 1 Δkν (λ) = O exp ρT n \ Rj ρ ∈ Sk , |ρ|→ ∞, (2.12) где σkν := σk + k - ν. ρσkν , 0 j=k+1 Пусть Φk (x, λ), k = 1,n - решения уравнения (1.1), удовлетворяющие условиям разрыва (1.3) и краевым условиям Φ(ν-1) (ξ-1) k (0, λ) = δνk, ν = 1, k, Φk (T, λ) = 0, ξ = 1,n - k. (2.13) Функции Φk (x, λ) называются решениями типа Вейля. Обозначим k Mkν (λ) := Φ(ν-1)(0, λ). Функции Mkν (λ) называются функциями типа Вейля, а матрица M (λ) = [Mkν (λ)]k,ν=1,n называется матрицей типа Вейля. Очевидно, что Mkν (λ) ≡ δkν при k ?: ν и det M (λ) ≡ 1. Из (1.4), (1.5) и (2.13) вытекает, что n Φk (x, λ) = ϕk (x, λ)+ \ Mkν (λ)ϕν (x, λ), Mkν (λ) = Δkν (λ) , (2.14) ν=k+1 det[Φ(ν-1) Δkk (λ) В силу (2.11)-(2.12) вычисляем k (x, λ)]ν,k=1,n = η(x), (2.15) Используя ФСР B, имеем 0 |Mkν (λ)| :( C|ρ|ν-k, ρ ∈ Sk n ∩ Gδ. jk Φj (x, λ) = \ B± (ρ)yk (x, ρ), x ∈ J±. (2.16) Учитывая (1.3) и (2.13), получаем n \ B- k=1 (ν-1) k=1 n jk (ρ)yk (0, ρ) = δνj, ν = 1, j, \ B+ (ν-1) k=1 jk (ρ)yk (T, ρ) = 0, ν = 1,n - j, n B+ \ + - jk (ρ) = s=1 γks(ρ)Bjs(ρ). Эти соотношения образуют линейную алгебраическую систему с определителем Dj (ρ) = D0ρm(n-1)Δjj (λ), D0 /= 0. j j Решая эту систему по правилу Крамера и используя (2.1), (2.6) и (2.11), получаем при ρ ∈ Sk0 ∩Gδ : |B- (ρ)| :( C|ρ|1-j, k = 1, j, |B- (ρ)| :( C|ρ|1-j exp(ρ(Rj - Rk )a), k = j, n, jk jk |B+ (ρ)| :( C|ρ|1-j exp(ρ(Rj - Rk )a), k = 1, j, |B+ (ρ)| :( C|ρ|1-j exp(ρ(Rj - Rk )T ), k = j, n. jk jk Подставляя эти соотношения в (2.16) и используя (2.1), находим (ν-1) 0 |Φj (x, λ)| :( C|ρ|ν-j | exp(ρRjx)|, ρ ∈ Sk Рассмотрим дифференциальное уравнение ∩ Gδ, x ∈ [0,T ], j, ν = 1, n. (2.17) Тогда n-2 f∗z(x) := z(n)(x)+ \(-1)j (pj (x)z(x))(j) = λz(x). (2.18) j=0 n-2 j f∗z(x) = z(n)(x)+ \ p∗(x)z(j)(x), j=0 j где функции p∗(ν)(x), ν = 0,j - 1 являются абсолютно непрерывными при x ∈ [0,T ]. Используя интегрирование по частям, мы находим где T · r fy(x) z(x) dx = T 0 0 T r < y(x), z(x) > + 0 \ n-1 y(x) · f∗z(x) dx, < y(x), z(x) >:= n-ν-1 Lνj (x)y(ν)(x)z(j)(x), ν,j=0 s! Lνj (x) := \ Cjp(s-j) (x), ν + j :( n - 1, Cj := , s=j s s+ν+1 s j!(s - j!) νs и Lνj (x) := 0 при ν + j > n - 1. Обозначим Uνs(y) := y(ν-1)(sT ), s = 0,T, ν = 1, n. Определим линейные формы U ∗ (z) из соотношения < y(x), z(x) >|x=sT = n \(-1) ν=1 n-ν n-ν+1,s U ∗ (z)Uνs(y). kj k,j=1,n Введем матрицу A∗ = [a∗ ] из соотношения < y(x), z(x) >|x=a+0=< y(x), z(x) >|x=a-0, 1 kj kk где y(x) удовлетворяет (1.3). Тогда a∗ = 0 при k < j и a∗ = (an-k+1,n-k+1)- . Определим условия разрыва для f∗ следующим образом: ν νj z(ν-1)(a + 0) = \ a∗ z(j-1)(a - 0), ν = 1, n. (2.19) j=1 l Пусть {λ∗}l?:0 - собственные значения краевой задачи L∗ для уравнения (2.18) с условиями разрыва (2.19) и краевыми условиями νs(z) = 0, s = 0,T, ν = 1, m. Тогда λl = λl, l ?: 0. Обозначим U ∗ 1 ∗ (ν) ∗ ϕk (x, λ) := η(x) det[ϕj (x, λ)]ν=0,n-2; j=1,n\n-k+1, (2.20) 1 (ν) Φ∗ k (x, λ) = η(x) det[Φj (x, λ)]ν=0,n-2; j=1,n\n-k+1. (2.21) Учитывая (1.4), (1.5), (2.13) и (2.15), нетрудно проверить, что функции ϕ∗(x, λ) и Φ∗(x, λ) являk k ются решениями уравнения (2.18) и удовлетворяют условиям разрыва (2.19) и краевым условиям ν0(ϕk ) = δνk, ν = 1, n, Uν0(Φk ) = δνk, ν = 1, k, UξT (Φk ) = 0, ξ = 1,n - k. U ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Из (2.21) следует, что n \(-1)k-1Φ(n-1) ∗ n \ k-1 ∗(n-1) k=1 n-k+1(x, λ)Φk (x, λ) ≡ 1, k=1 (-1) Φn-k+1(x, λ)Φk (x, λ) ≡ 1. (2.22) Аналогично (2.17) имеем j |Φ∗(ν-1) 0 j (x, λ)| :( C|ρ|ν-j | exp(ρR∗x)|, ρ ∈ Sk j ∩ Gδ, x ∈ [0,T ], R∗ = -Rn -j+1. (2.23) 3. ТЕОРЕМЫ О РАЗЛОЖЕНИИ И О ПОЛНОТЕ 1. Теорема о разложении. Обозначим ⎧ n - n ⎪⎨ \( 1)k-1ϕ g(x, t, λ) = k=1 k -k+1(x, λ)ϕ∗(t, λ), x ?: t, (3.1) ⎪⎩ 0 x < t, и построим функцию G(x, t, λ) по формуле (-1)m G(x, t, λ) = ϕm+1(x, λ) ... ϕn(x, λ) g(x, t, λ) ϕm+1(T, λ) ... ϕn(T, λ) g(T, t, λ) ... ... ... ... . (3.2) Δ(λ) (m-1) (m-1) ∂m-1 ϕm+1 (T, λ) ... ϕn (T, λ) ∂xm-1 g(x, t, λ)|x=T Функция G(x, t, λ) называется функцией Грина для краевой задачи L. В силу (3.2) функция G(x, t, λ) является мероморфной по λ с полюсами в точках λ = λl, где {λl}l?:0 - нули функции Δ(λ). Для оценки функции Грина нам потребуется другое ее представление с помощью решений типа Вейля. Лемма 3.1. Справедливо соотношение ⎧ n - ⎪ ⎪ \ (-1)k-1Φn k+1 k (x, λ)Φ∗(t, λ), x ?: t, m G(x, t, λ) = ⎨ k=m+1 ⎪ ⎪ \(-1)k Φn k -k+1(x, λ)Φ∗(t, λ), x < t. (3.3) ⎩ k=1 Доказательство. Согласно (3.1) и (2.20) имеем 1 g(x, t, λ) = η(t) j det[ϕj (t, λ),..., ϕ(n-2)(t, λ), ϕj (x, λ)] j=1,n , x ?: t. Учитывая (2.14) и (1.6), получаем 1 g(x, t, λ) = η(t) j det[Φj (t, λ),..., Φ(n-2)(t, λ), Φj (x, λ)] j=1,n , x ?: t, (3.4) j Δ(λ) = det[Φ(ν-1)(T, λ)] j=m+1,n, ν=1,m , (3.5) (-1)m G(x, t, λ) = Φm+1(x, λ) ... Φn(x, λ) g(x, t, λ) Φm+1(T, λ) ... Φn(T, λ) g(T, t, λ) ... ... ... ... . (3.6) Δ(λ) (m-1) (m-1) ∂m-1 Φm+1 (T, λ) ... Φn (T, λ) Из (2.21) и (3.4) вытекает, что ∂xm-1 g(x, t, λ)|x=T n g(x, t, λ) = \(-1)k-1Φn k=1 k -k+1(x, λ)Φ∗(t, λ), x ?: t. (3.7) В (3.6) мы подставляем (3.7) и (3.5), если x ?: t, и (3.5) и соотношение g(x, t, λ) = 0, если x < t. Разлагая числитель в (3.6) по первой строке и учитывая (2.13), приходим к (3.3). Лемма 3.1 доказана. Теорема 3.1. Пусть функция f (x) является абсолютно непрерывной на [0, a] и [a, T ], f (0) = f (T ) = 0 и f (a + 0) = a11f (a - 0). Тогда lim 1 r max Y (x, λ) dλ f (x) = 0, (3.8) где N →∞ 0:(x:(T 2πi - N |λ|=rn T r Y (x, λ) = 0 G(x, t, λ)f (t) dt. (3.9) Отметим, что по теореме о вычетах интеграл в (3.8) равен частичной сумме ряда Фурье для f (x) по собственным и присоединенным функциям краевой задачи L, и следовательно, теорема 3.1 дает достаточные условия для разложения f (x) в равномерно сходящийся ряд по собственным и присоединенным функциям краевой задачи L (см. следствие 3.1). Доказательство. Подставляя (3.3) в (3.9), получаем n Y (x, λ) = \ (-1)k-1Φn x r -k+1(x, λ) k f (t)Φ∗(t, λ) dt k=m+1 m + \(-1)k Φn k=1 T r -k+1(x, λ) x 0 k f (t)Φ∗(t, λ) dt. Пусть для определенности x ?: a; для случая x < a рассуждения аналогичны. Так как функции ∗ Φk (x, λ) являются решениями уравнения (2.18), то 1 Y (x, λ) = n \ (-1)k-1Φn r a k+1(x, λ) r x n-2 + f (t) Φ∗(n)(t, λ)+ \ p∗(t)Φ∗(j)(t, λ) dt λ k=m+1 - k j k 0 a j=0 T m 1 + \(-1)k Φn r k+1(x, λ) n-2 f (t) Φ∗(n)(t, λ)+ \ p∗(t)Φ∗(j)(t, λ) dt. λ - k k=1 x j k j=0 Выполним здесь интегрирование по частям в главных слагаемых с n-ми производными. Используя (2.22) и условия f (0) = f (T ) = 0, получаем где Y (x, λ) = f (x) λ 4 1 + \ Fk (x, λ), (3.10) λ k=1 F1(x, λ) := f (a - 0)Φ∗(n-1)(a - 0, λ) - f (a + 0)Φ∗(n-1)(a + 0, λ), F2(x, λ) := k n \ (-1)k Φn r a - k+1(x, λ) k x k + r f t(t)Φ∗(n-1)(t, λ) dt, k=m+1 m F3(x, λ) := \(-1)k-1Φn k=1 n 0 T r -k+1(x, λ) x a x r r a k f t(t)Φ∗(n-1)(t, λ) dt, n-2 F4(x, λ) := \ (-1)k-1Φn k+1(x, λ) + f (t) \ p∗(t)Φ∗(j)(t, λ) dt k=m+1 - j k 0 a j=0 m + \(-1)k Φn T r k+1(x, λ) n-2 f (t) \ p∗(t)Φ∗(j)(t, λ) dt. - k=1 j k x j=0 Так как Φ∗(n-1)(a + 0, λ) = a∗ Φ∗(n-1)(a - 0, λ), f (a + 0) = a11f (a - 0), и a∗ = (a11)-1, то k nn k nn F1(x, λ) ≡ 0. (3.11) Учитывая (2.17) и (2.23), вычисляем |F4(x, λ)| :( C|ρ|-1, ρ ∈ Gδ, x ∈ [0,T ]. (3.12) Для F2(x, λ) и F3(x, λ) имеем в виду (2.17) и (2.23): T r |Fk (x, λ)| :( C0 0 |g(t)| dt, k = 2, 3, ρ ∈ Gδ, x ∈ [0,T ], где g(t) := f t(t) ∈ L(0,T ), C0 > 0. Если функция g(t) абсолютно непрерывна на [0,T ], то интегрирование по частям дает |Fk (x, λ)| :( C|ρ|-1 k = 2, 3, ρ ∈ Gδ, x ∈ [0,T ]. В общем случае, когда g(t) ∈ L(0,T ), зафиксируем ε > 0 и выберем абсолютно непрерывную функцию gε(x) такую, что T r ε 0 |gε(x) - g(x)| dx < 2C . 0 Представим Fk (x, λ) как сумму двух слагаемых Fk (x, λ) = Fk (x, λ; gε)+ Fk (x, λ; g - gε), относящихся к функциям gε и g - gε соответственно. Тогда o C |Fk (x, λ)| :( 2 + |ρ| , и следовательно, |Fk (x, λ)| < ε для достаточно больших |ρ|. Это дает max x∈[0,T ] |Fk (x, λ)| = o(1), |ρ|→ ∞, ρ ∈ Gδ, k = 2, 3. (3.13) Из (3.10)-(3.13) вытекает, что max Y (x, λ) - f (x) = o 1 , |ρ|→ ∞, ρ ∈ G , δ x∈[0,T ] λ λ и следовательно, верно (3.8). Теорема 3.1 доказана. l Пусть {ϕ∗(x)}l?:0 - корневые функции краевой задачи L∗ такие, что T r l ϕk (x)ϕ∗(x) dx = δkl. 0 Следствие 3.1. Пусть функция f (x) является абсолютно непрерывной на [0, a] и [a, T ], f (0) = f (T ) = 0 и f (a + 0) = a11f (a - 0). Тогда ∞ f (x) = \ alϕl(x), al = l=0 T r l f (t)ϕ∗(t) dt, 0 где ряд сходится «со скобками»: ∞ \ := lim l=0 N →∞ \ . N |λl|<rn 2. Теорема о полноте. Теорема 3.2. Система {ϕl(x)}l?:0 корневых функций краевой задачи L полна в L2(0,T ). Доказательство. Пусть f (x) ∈ L2(0,T ) и T r Рассмотрим функцию f (x)ϕl(x) dx = 0, l ?: 0. (3.14) 0 T r Z(x, λ) := 0 G∗(x, t, λ)f (t) dt, где G∗(x, t, λ) = G(t, x, λ). В силу (3.3) имеем f∗Z - λZ = f (x). (3.15) Используя (3.14), известным методом (см. [4, Ch. 1]) нетрудно проверить, что при каждом фиксированном x функция Z(x, λ) является целой по λ. С другой стороны, из (3.3), (2.17) и (2.23) вытекает, что |Z(x, λ)| :( C|ρ|1-n, ρ ∈ Gδ, x ∈ [0,T ], и следовательно, Z(x, λ) ≡ 0. Учитывая (3.15), получаем f (x) = 0 п.в. на (0,T ). Теорема 3.2 доказана. Рассмотрим контрпример, показывающий важность условия регулярности. Для этого рассмотрим следующую краевую задачу: -ytt = λy, 0 < x < π, λ = ρ2, y(0) = y(π) = 0, y(k)(a + 0) = (-1)k y(k)(a - 0), k = 0, 1, a = 3π/4. (3.16) Для этой задачи условие регулярности не выполняется, а характеристическая функция имеет вид Δ(λ) = ρ-1 sin ρ(2a - π). l Собственные значения λl = ρ2 краевой задачи (3.16) суть ρl = 2l, l ?: 1, а собственные функции имеют вид ( sin 2lx, x :( 3π/4, yl(x) = (-1)l-1 sin 2lx, x > 3π/4. Система функций {yl(x)}l?:1 не является полной в L2(0, π).