Model of the Maxwell Compressible Fluid

Abstract

A model of viscoelastic barotropic Maxwell fluid is investigated. The unique solvability theorem is proved for the corresponding initial-boundary value problem. The associated spectral problem is studied. We prove statements on localization of the spectrum, on the essential and discrete spectra, and on asymptotics of the spectrum.

Full Text

ВВЕДЕНИЕ В работе изучается модель вязкоупругой баротропной жидкости Максвелла. Первые модели несжимаемых жидкостей, учитывающие предысторию течения и названные впоследствии линейными вязкоупругими жидкостями, были предложены в XIX в. Дж. Максвеллом [22, 23], В. Кельвином [21] и В. Фойгтом [27, 28]. Эти модели были развиты в середине XX в. в значительной степени благодаря работам Дж. Г. Олдройта [24, 25]. Впоследствии эти и более общие модели изучались многими авторами (см., например, [7, 16], а также указанную там литературу). В работах [3, 5, 13, 26] проводится спектральный анализ некоторых моделей вязкоупругих несжимаемых жидкостей (см. также указанную там литературу). В настоящей работе исследуется задача о малых движениях вязкоупругой сжимаемой жидкости Максвелла, заполняющей ограниченную равномерно вращающуюся область. В третьем разделе исследуется вопрос разрешимости соответствующей системы интегродифференциальных уравнений, граничных и начальных условий. При этом соответствующая задача Коши для системы интегродифференциальных уравнений сводится к задаче Коши dξ dt = -Aξ + F(t), ξ(0) = ξ0, Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (проект 14.Z50.31.0037). Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2017 247 в некотором гильбертовом пространстве H. Оператор A представляет из себя некоторую операторную блок-матрицу и является максимальным аккретивным оператором. Отсюда выводится утверждение о разрешимости исходной начально-краевой задачи. В четвертом разделе исследуется задача о спектре оператора A, которая ассоциируется со спектральной задачей для исходной системы интегродифференциальных уравнений. Установлено, что спектр оператора A расположен в правой открытой полуплоскости, а при отсутствии вращения - отделен от мнимой оси. Существенный спектр оператора A в общем случае состоит из конечного количества точек и отрезков на действительной положительной полуоси. Дискретный спектр расположен в некоторой вертикальной полосе, сгущается к бесконечности и имеет степенное асимптотическое распределение. Если система не вращается, то при некоторых условиях на физические параметры системы, дискретный спектр оператора A, лежащий в окрестности действительной оси, - вещественный. 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 1. Модель вязкоупругой сжимаемой жидкости Максвелла. Движение вязкой сжимаемой жидкости Максвелла в ограниченной области Ω ⊂ R3 описывается следующей системой уравнений (см. [6]): ρ ∂v l 1 ρF (в Ω), (2.1) · ∇ � + (v )v ∂t ρ = -∇P� + J1(t)(Δv + 3 ∇divv) + J2(t)∇divv + � ∂ � + div(ρv) = 0 (в Ω), v = 0 (на ∂Ω). (2.2) ∂t � Здесь v = v(t, x) (x := (x1, x2, x3) ∈ Ω) - поле скоростей жидкости, � = � t, x) - плотность жид- ρ ρ( кости, P� = P�(t, x) - давление в жидкости, F = F(t, x) - поле внешних сил, m rt J1(t)u(t, x) := ) l=1 0 m rt μle-bl(t-s)u(s, x) ds, J2(t)u(t, x) := ) l=1 0 ηle-bl(t-s)u(s, x) ds, μl > 0, ηl > 0 (l = 1, m), 0 =: b0 < b1 < b2 < ... < bm. 2. Уравнения малых движений баротропной жидкости Максвелла, заполняющей равномерно вращающуюся область. Пусть сжимаемая жидкость Максвелла занимает ограниченную область Ω ⊂ R3, равномерно вращающуюся вокруг оси, сонаправленной с действием силы тяжести. Обозначим через n единичный вектор, нормальный к границе ∂Ω и направленный вне области Ω. Введем систему координат Ox1x2x3, жестко связанную с областью, таким образом, что ось Ox3 совпадает с осью вращения и направлена против действия силы тяжести, а начало координат находится в области Ω. В этом случае равномерная скорость вращения области запишется в виде ω0e3, где e3 - орт оси вращения Ox3, а ω0 > 0 для определенности. Будем считать, что внешнее стационарное поле сил F0 является гравитационным и действует вдоль оси вращения, т. е. F0 = -ge3, g > 0. Далее будем считать, что сжимаемая жидкость удовлетворяет уравнению состояния баротроп- � ной жидкости: P = a2 ρ, ∞ � где a ∞= const - скорость звука в сжимаемой жидкости. Рассмотрим состояние относительного равновесия жидкости. Из уравнения (2.1) движения сжимаемой жидкости Максвелла, записанного в подвижной системе координат, найдем формулу для градиента стационарного давления: ∇P0 = ρ0( - ω2e3 × (e3 × r) - ge3) = ρ0∇(2-1ω2|e3 × r|2 - gx3), (2.4) 0 0 ∞ где r - радиус-вектор текущей точки области Ω, а ρ0 - стационарная плотность жидкости. Из (2.4) и соотношения P0 = a2 ρ0 заключаем, что стационарная плотность ρ0 является функцией параметра z := 2-1ω2(x2 + x2) - gx3. При этом ρ0 будет постоянной, только если в системе отсутству- 0 1 2 ют вращение и гравитационное поле. Для функции ρ0(z) выполнено также следующее свойство: 0 < α1 � ρ0(z) � α2 < +∞. Представим теперь полное давление и плотность жидкости в виде: P�(t, x) = P0(z) + p(t, x), ρ(t, x) = ρ0(z)+ � t, x), где p(t, x) и � t, x) - это динамическое давление и плотность соответ- � ρ( ρ( ственно, возникающие при малых движениях жидкости относительно стационарного состояния. Осуществим линеаризацию уравнений (2.1), (2.2), записанных в подвижной системе координат, относительно состояния относительного равновесия. Получим задачу о малых движениях баротропной жидкости Максвелла, заполняющей равномерно вращающееся твердое тело: ∂u(t, x) ( a2 ∞ ρ( ∂t - 2ω0(u(t, x) × e3) = -∇ ρ ) � t, x))+ t m + ) r e-bl(t-s) 1 ρ0(z) 0(z (μlΔu(s, x)+ (ηl ) μl + 3 )∇divu(s, x) ds + f (t, x) (в Ω), ∂ρ(t, x) � ∂t l=1 0 + div(ρ0(z)u(t, x)) = 0 (в Ω), u(t, x) = 0 (на ∂Ω), где u(t, x) - поле скоростей жидкости в подвижной системе координат, f (t, x) - малое поле внешних сил, наложенное на гравитационное поле. 0 Осуществим в полученной системе с целью ее симметризации замену a∞ρ- 1/2 ρ( (z)� t, x) = ρ(t, x). В результате получим основную задачу: ∂u(t, x) ( -1/2 ∂t - 2ω0(u(t, x) × e3) = -∇ a∞ρ0 (z)ρ(t, x))+ t m + ) r e-bl(t-s) 1 ρ0(z) (μlΔu(s, x)+ (ηl ) μl + 3 )∇divu(s, x) ds + f (t, x) (в Ω), (2.5) ∂ρ(t, x) ∂t l=1 0 ∞ 0 + a ρ-1/2 (z)div(ρ0(z)u(t, x)) = 0 (в Ω), u(t, x) = 0 (на ∂Ω). (2.6) Для полноты формулировки задачи зададим еще начальные условия: u(0, x) = u0(x), ρ(0, x) = ρ0(x). (2.7) 3. ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ В этом разделе начально-краевая задача (2.5)-(2.7), описывающая малые движения вращающейся сжимаемой вязкоупругой жидкости Максвелла, с помощью специальных операторов сводится к задаче Коши (3.6) для системы дифференциально-операторных уравнений в гильбертовом пространстве. Затем исследуется вопрос разрешимости задачи Коши (3.6). Основное утверждение раздела - теорема 3.1. 1. Операторная формулировка задачи. Введем векторное гильбертово пространство L2(Ω, ρ0) с весом ρ0(z) со скалярным произведением и нормой следующего вида: r (u, v)L2(Ω,ρ0) := Ω r L2(Ω,ρ0) ρ0(z)u(x) · v(x) dΩ, ∓u∓2 = Ω ρ0(z)|u(x)|2 dΩ. 0 0 L2(Ω) Введем скалярное гильбертово пространство L2(Ω) функций, суммируемых со своими квадратами по области Ω, а также его подпространство L2,ρ (Ω) := {f ∈ L2(Ω) | (f, ρ1/2) = 0}. Определим оператор Su(t, x) := i(u(t, x) × e3), D(S) = L2(Ω, ρ0). Верна лемма, доказательство которой подобно доказательству аналогичной леммы о свойствах кориолисова оператора из [9]. Лемма 3.1. Оператор S является самосопряженным и ограниченным в L2(Ω, ρ0): S = S∗, S ∈ L(L2(Ω, ρ0)); более того, ∓S∓L(L2(Ω,ρ0)) = 1. Будем считать далее, что граница ∂Ω области Ω - класса C2. Пусть α > 0, β � 0, γ � 0. Рассмотрим вспомогательную краевую задачу: 0 (z)(αΔu(x)+ β∇divu(x)) - γ∇1a∞ρ0 (z)div(ρ0(z)u(x))l = v(x) (в Ω), -ρ-1 2 -1 u(x) = 0 (на ∂Ω). (3.1) Эта задача, как известно (см. [18]), имеет единственное обобщенное решение u = A-1(α, β, γ)v для любого v ∈ L2(Ω, ρ0), где оператор A(α, β, γ) является самосопряженным и положительно определенным в L2(Ω, ρ0). Энергетическое пространство HA(α,β,γ) = D(A1/2(α, β, γ)) = {u ∈ W1 2(Ω)| u = 0 (на ∂Ω)} оператора A(α, β, γ) компактно вложено в пространство L2(Ω, ρ0), а значит, оператор A-1(α, β, γ) компактен и положителен в L2(Ω, ρ0). Для любых u, v ∈ HA(α,β,γ) (u, v)A(α,β,γ) = (A1/2(α, β, γ)u, A1/2(α, β, γ)v)L (Ω,ρ ) = αJ (u, v)+ βD(u, v)+ γF(u, v), 2 0 ) r 3 r J (u, v) : = Ω ∇ui(x) · ∇vi(x) dΩ, D(u, v) := i=1 Ω divu(x) divv(x) dΩ, (3.2) r F(u, v) := Ω a 2 ∞ div(ρ0(z)u(x)) div(ρ0(z)v(x)) dΩ. ρ0(z) Кроме того, можно проверить, что нормы в любых двух энергетических пространствах HA(α1,β1,γ1) и HA(α2,β2,γ2) эквивалентны между собой. Определим операторы Al := A(μl, ηl + 3-1μl, 0) (l = 1, m) (напомним, что μl, ηl > 0, l = 1, m), а m m m m также A0 := A(), μl, ),(ηl + 3-1μl), 1), Ab := A(), b-1μl, ), b-1(ηl + 3-1μl), 0). l=1 l=1 1/2 l l=1 l l=1 0 Определим оператор Bu(t, x) := a∞ρ- 1/2 (z)div(ρ0(z)u(t, x)), D(B) := {u ∈ L2(Ω, ρ0)| div(ρ0u) ∈ 1/2 L2(Ω), u · n = 0 (на ∂Ω)}⊃ D(A0 ) = D(Al ) (l = 1, m). Лемма 3.2 (см., например, [6]). Имеют место следующие формулы: -∇ 0 B∗ρ(x) = (a∞ρ- 1/2 (z)ρ(x)), D(B∗) = W 1 2,ρ0 2 (Ω) := W 1 (Ω) ∩ L2,ρ0 (Ω) 2,ρ0 (Ω) ∃ cl > 0 : ∓Bu∓W 1 � cl∓Alu∓L2(Ω,ρ0) ∀ u ∈ D(Al) (l = 0, m). Для l = 1,m определим следующие операторы: Ql := A1/2A-1/2 + -1/2 1/2 l 0 , Ql := A0 Al , QB := BA-1/2, Q+ := A-1/2B∗, QB,b := BA-1/2, Q+ := A-1/2B∗. (3.3) 0 B 0 b B,b b + + + Лемма 3.3. Ql ∈ L(L2(Ω, ρ0)), QB, QB,b ∈ L(L2(Ω, ρ0), L2,ρ0 (Ω)). Операторы Ql , QB, QB,b расширяются по непрерывности до ограниченных операторов Q∗, Q∗ , Q∗ соответственно, при l B B,b этом Q+ = Q∗ | ∗ , Q+ = Q∗ | ∗ , Q+ = Q∗| (l = 1, m). Кроме того, B Q∗ 0 B D(B ) 0 B,b B,b D(B ) ∗ 1/2 l l D(Al ) m ) ∗ m ) 1 ∗ l-1 ∗ ∗ l Ql � ql I (ql > 0, l = 1, m), QBQB + l=1 Ql Ql = I, QB l=1 b Ql Ql l QB = QB,bQB,b. l Доказательство. Доказательство проведем для оператора Ql. Ограниченность Ql следует из равенства D(Al) = D(A0) (l = 1, m). Следовательно, Q∗ ∈ L(L2(Ω, ρ0)). Далее, для любого 1/2 + u ∈ L2(Ω, ρ0) и v ∈ D(Al ) имеем (Qlu, v)L2(Ω,ρ0) = (u, Ql v)L2(Ω,ρ0) = (u, Q∗v)L (Ω,ρ ). Отсюда следует, что Q+ = Q∗| 1/2 , Q+ = Q∗ (l = 1, m). l 2 0 l l D(Al ) l l L2(Ω) Из неравенства Фридрихса ∓u∓2 � cJ (u, u), верного для всех u ∈ HA0 (см. [18, с. 186]), и (3.2) найдем, что (напомним, что z = 2-1ω2(x2 + x2) - gx3) 0 1 2 r F(u, u) � a2 ( min ρ0(z))-1 |∇ρ0(z) · u(x)+ ρ0(z)divu(x)|2 dΩ � ∞ x∈Ω Ω 0 � 2a2 ( min ρ0(z))-1 c max |∇ρ0(z)|2J (u, u)+ max ρ2(z)D(u, u)l =: d1J (u, u)+ d2D(u, u). ∞ x∈Ω x∈Ω x∈Ω Отсюда и из (3.2) для любого u ∈ L2(Ω, ρ0) имеем (Q∗ ) ( ) ( -1/2 -1/2 ) l Qlu, u L2(Ω,ρ0) = Qlu, Qlu L2(Ω,ρ0) = A0 u, A0 u μ Al = = μlJ (A-1/2u, A-1/2 ( l \ -1/2 -1/2 0 0 u)+ ηl + 3 D(A0 u, A0 u) � μl -1/2 -1/2 ( ηl μl \ -1/2 -1/2 � 2 J (A0 u, A0 u)+ 2 + 6 D(A0 u, A0 u)+ + min f μl , ηl μl l + F(A-1/2u, A-1/2u) � q0(A-1/2u, A-1/2u) = q0∓u∓2 , 2d1 2d2 6d2 0 0 l 0 0 A0 l L2(Ω,ρ0) где q0 > 0. Таким образом, оператор Q∗Ql положительно определен. l l Далее, для любых u, v ∈ L2(Ω, ρ0) имеем m ( BQB + ) Ql Ql - I u, v) = l L (Ω,ρ ) Q∗ ∗ 2 0 l=1 m 0 0 = (BA-1/2 -1/2 ) ( -1/2 -1/2 u, BA v) + L2,ρ0 (Ω) m l=1 l A0 u, A0 v)A - (u, v) L2(Ω,ρ0) = = F(A-1/2 -1/2 ) -1/2 -1/2 ( μl \ -1/2 -1/2 l 0 u, A0 v)+ μlJ (A0 u, A0 v)+ ηl + 3 D(A0 u, A0 v) - (u, v)L (Ω,ρ ) = l=1 = (A-1/2 2 0 -1/2 m а значит, Q∗ QB + ), Q∗Ql = I. A0 0 u, A0 v) - (u, v) L2(Ω,ρ0) = 0, B l l=1 1/2 Из плотности множества D(A0 ) в L2(Ω, ρ) и соотношений m ) 1 Q∗Q 1/2 = A A A 1/2 = (A A )∗(A A ) -1/2 -1/2 1/2 -1/2 1/2 -1/2 bl l=1 l l 0 D(A0 ) 1/2 b 0 b 0 D(A0 ) m b 0 D(A0 ) следует, что (A1/2A-1/2)∗(A1/2A-1/2) = ), b-1Q∗Ql » 0. Отсюда, из плотности множества D(B∗) b 0 b 0 l l l=1 в L2,ρ0 (Ω), [8, теорема 5.30, с. 214] и соотношений m 1 -1 Q∗ A A A QB ) bl l Q∗Qll B D(B∗) 0 = BA-1/2 b (A1/2 -1/2 0 b )-11(A1/2 -1/2 0 )∗l-1 -1/2 0 B∗ = D(B∗) l=1 = BA-1/21(A1/2 -1/2 1l∗A-1/2 = QB,bQ∗ m следует, что QB 1 ), b-1Q∗Qll-1Q∗ b = QB,bQ∗ 0 b A0 )- . B∗ D(B∗) B,b D(B∗) l l B l=1 B,b С использованием введенных операторов задачу (2.5)-(2.7) запишем в виде задачи Коши для системы интегродифференциальных уравнений первого порядка в гильбертовом пространстве H0 := L2(Ω, ρ0) ⊕ L2,ρ0 (Ω): t r ⎧ m ⎪⎪ ∗ du ) ⎨ dt + 2ω0iSu - B ρ + e-bl(t-s) Alu(s) ds = f (t), l=1 0 ⎪ (3.4) ⎪⎩ dρ + Bu = 0, (u(0); ρ(0))τ := (u0; ρ0)τ , dt где символ τ обозначает операцию транспонирования. С использованием (3.3) и леммы 3.3 перепишем систему (3.4) в обобщенной форме: ⎧ ⎪ du 1/2f t r m Q e ) bl(t-s) 1/2 l ⎪⎨ dt + 2ω0iSu + A0 ⎪ B - Q∗ ρ + ∗ - l l=1 0 Al u(s) ds = f (t), (3.5) ⎪⎩ dρ + Bu = 0, (u(0); ρ(0))τ := (u0; ρ0)τ . dt Определение 3.1. Решение задачи (3.5) назовем решением начально-краевой задачи (2.5)- (2.7). Элемент ζ(t) := (u(t); ρ(t))τ назовем решением задачи (3.5), если ζ(t) ∈ D(A1/2) ⊕ L2,ρ (Ω) 0 0 при каждом t ∈ R+ := [0, +∞), (u(t); ρ(t))τ ∈ C1(R+; H0), выражение в фигурных скобках при- 1/2 1/2 нимает значения в D(A0 ) и A0 {.. .}∈ C(R+; L2(Ω, ρ0)), (u(0); ρ(0))τ := (u0; ρ0)τ и выполнены уравнения из (3.5) для любого t ∈ R+. 2. Переход к дифференциально-операторному уравнению первого порядка. Теорема о разрешимости. Пусть u(t), ρ(t) - решение задачи (3.5). Тогда с использованием (3.3) получим, что u(t), ρ(t) удовлетворяют также следующей системе ⎧ ⎪ du 1/2f t r m Q ) bl(t-s) 1/2 l ⎪⎨ dt + 2ω0iSu + A0 A1/2 ⎪ B - Q∗ ρ + ∗ l l=1 0 τ e- 0 0 τ QlA0 u(s) ds = f (t), (3.6) B ⎪⎩ dρ + Q dt 0 u = 0, (u(0); ρ(0)) := (u ; ρ ) , Осуществим в системе (3.6) следующие замены: t r vl(t) := 0 0 e-bl(t-s)QlA1/2u(s) ds (l = 1, m). (3.7) Поля vl(t) (l = 1, m) непрерывно дифференцируемы на R+. Продифференцированные соотношения (3.7) и преобразованные уравнения системы (3.6) составляют следующую систему: du f l ⎧ m ⎪ + 2ω iSu + A1/2 - Q∗ ρ + ) Q∗v = f (t), ⎪⎪ ⎨ dt dρ 0 1/2 0 B dvl l l l=1 1/2 (3.8) ⎪ ⎪ dt + QBA0 u = 0, dt - QlA0 u + blvl = 0 (l = 1,m), ⎩⎪ u(0) = u0, ρ(0) = ρ0, vl(0) = 0 (l = 1, m). m Эту систему будем трактовать как задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка в гильбертовом пространстве H := H ⊕ H0, где H0 := L2,ρ0 (Ω) ⊕ ( ⊕l=1 H), H := L2(Ω, ρ0): dt dξ = -Aξ + F(t), ξ(0) = ξ0. (3.9) Здесь ξ := (u; w)τ , w := (ρ; v1; ... ; vm)τ , ξ0 := (u0; w0)τ , w0 := (ρ0; 0; ... ; 0)τ , F(t) := (f (t); 0)τ . Для операторного блока A справедливо следующее представление: ( 0 Q∗\ 0 0 A = diag(A1/2, I) -Q G diag(A1/2, I) + diag(2ω0iS, 0), (3.10) D(A) = {ξ = (u; w)τ ∈H | u ∈ D(A1/2), Q∗w ∈ D(A1/2)}, (3.11) 0 0 где I, I - единичные операторы в H = L2(Ω, ρ0) и H0 соответственно, Дадим следующее Q := ( - QB, Q1,..., Qm)τ , G := diag(0, b1I,..., bmI). Определение 3.2 (см. [10, с. 38]). Сильным решением задачи Коши (3.9) назовем функцию ξ(t) такую, что ξ(t) ∈ D(A) для любого t из R+, Aξ(t) ∈ C(R+; H), ξ(t) ∈ C1(R+; H), ξ(0) = ξ0 и выполнено уравнение из (3.9) для любого t ∈ R+. При доказательстве следующих утверждений используем такой известный факт. Пусть Akl ∈ L(H) (k, l = 1, 2), A-1 ∈ L(H), D1 := A11 - A12A-1A21. Если D-1 ∈ L(H), то существует ( A11 A12 22 \-1 A 22 Г( I A12 -1 22 \( D1 1 0 \( I 0 \ -1 A21 A22 = 0 I ( D-1 0 A22 -1 22 A-1A21 I -1 \ = 1 -D1 A12A22 22 A21D1 A22 1A22 + A21D1 A12lA22 . (3.12) -A-1 -1 -1 -1 -1 Пусть A-1 ∈ L(H), D2 := A22 - A21A-1A12. Если D-1 ∈ L(H), то существует 11 ( A11 A12 A21 A22 \-1 11 Г( I 0 11 I = A21A-1 2 \( A11 0 0 D2 11 A12 \( I A-1 0 I \ -1 ( A-11A11 + A12D-1A21lA-1 -A-1A12D-1 \ = 11 2 11 -D-1 -1 11 2 -1 . (3.13) 2 A21A11 D2 Лемма 3.4. Оператор A максимальный аккретивный. 0 l=1 Доказательство. 1. Прежде всего заметим, что D(A1/2) ⊕ D(B∗) ⊕m (A 1/2 D l 1/2 ) ⊂ D(A), а значит оператор A плотно определен. Действительно, пусть ξ = (u; w)τ ∈ D(A1/2) ⊕ 1D(B∗) ⊕m D(A )l, 1/2 1/2 0 l=1 l т. е. u ∈ D(A0 ), ρ ∈ D(B∗), vl ∈ D(Al ) (l = 1, m). Тогда с использованием леммы 3.3 найдем u ∈ D(A1/2), Q∗w = -Q∗ ρ + m ) Q∗vl = -Q∗ m ρ + ) Q∗ 1/2 vl = 0 B = -A-1/2 l=1 m ) l -1/2 1/2 B D(B∗) -1/2 l=1 l D(Al ) m ) 1/2 1/2 (3.14) 0 B∗ρ + т. е. ξ ∈ D(A) (см. (3.11)). l=1 A0 Al vl = A0 1 - B∗ρ + l=1 Al vll ∈ D(A0 ), 0 Покажем, что оператор A аккретивен. Пусть ξ = (u; w)τ ∈ D(A), тогда u ∈ D(A1/2) и из факторизации (3.10) оператора A симметричной формы и леммы 3.1 получим (( 0 Q∗\(A1/2 \ (A1/2 \\ 2 A Re( ξ, ξ) H = Re -Q G 0 u , w H0 w 0 u = ∓G1/2w∓ H � 0. 2. Докажем, что оператор A максимален и замкнут. Для этого достаточно показать (см. [10, теорема 4.3, с. 109]), что оператор A- λ непрерывно обратим при λ < 0. Положим ξ1 := (u1; w1)τ ∈ D(A), ξ2 := (u2; w2)τ ∈ H. Определим оператор SA := A-1/2SA-1/2. Из (3.10) 0 0 найдем, что уравнение (A- λ)ξ1 = ξ2 можно переписать в векторно-матричной форме: 0 diag(A1/2, I) 0 (2ω0iSA - λA-1 Q∗ \ 0 diag(A1/2 , I) (u1\ = (u2\ . (3.15) -Q G - λ w1 w2 Отсюда видно, что оператор A- λ будет иметь ограниченный обратный оператор, определенный на всем пространстве H, т. е. будет иметь резольвенту Rλ(A) := (A- λ)-1, если средний блок в (3.15) будет непрерывно обратим в H. 0 Введем оператор-функцию L(λ) := -λA-1 + 2ω0iSA + Q∗(G- λ)-1Q. Фиксируем λ < 0. Для любого 0 ◦= u ∈ L2(Ω, ρ0) с использованием леммы 3.3 найдем, что ∓L(λ)u∓ � ∓u∓-1 · |(L(λ)u, u)L (Ω,ρ )| � ∓u∓-1 · Re(L(λ)u, u)L (Ω,ρ ) = 2 0 2 0 = -λ∓u∓-1 · ∓A-1/2u∓ 0 2 + ∓u∓-1 · ((G- λ)-1 Qu, Qu)H0 � 1 2 m 2 l m 0 ∓QB u∓ � - + ) ∓Qlu∓ � ) ql · ∓u∓, (3.16) ∓u∓ λ m 0 l=1 bl - λ - bl λ l=1 ∓[L(λ)]∗u∓ � ... � ) l=1 ql bl - λ · ∓u∓. Следовательно, L-1(λ) ∈ L(L2(Ω, ρ0)) и из (3.12) получим, что -λA-1 + 2ω0iSA Q∗ ( \-1 0 = -Q G - λ Г(I Q∗Rλ(G)\ (L(λ) 0 \( I 0\ -1 = 0 I 0 G- λ = -Rλ(G)Q I ( I 0\ (L-1(λ) 0 = \ (I -Q∗Rλ(G)\ = Rλ(G)Q I 0 Rλ(G) 0 I = ( L-1(λ) -L-1(λ)Q∗Rλ(G) \ ∈ L(H), (3.17) Rλ(G)QL-1(λ) Rλ(G) - Rλ(G)QL-1(λ)Q∗Rλ(G) где Rλ(G) := (G- λ)-1. Отсюда следует, что оператор A замкнут и максимален. Из (3.15), (3.17) получим представление для резольвенты оператора A: / A-1/2 -1 -1/2 -1/2 -1 ∗ \ Rλ(A) = 0 L (λ)A0 -A0 L (λ)Q Rλ(G) (3.18) 0 Rλ(G)QL-1(λ)A-1/2 Rλ(G) - Rλ(G)QL-1(λ)Q∗Rλ(G) при всех λ ∈/ σ(G) ∪ σ(L(λ)), где σ(G), σ(L(λ)) - спектры оператора G и операторного пучка L(λ) соответственно. Следствием леммы 3.4 является следующая теорема о разрешимости задачи (2.5)-(2.7). 0 Теорема 3.1. Пусть u0 ∈ D(A1/2), ρ0 ∈ D(B∗), f (t, x) ∈ C1(R+; L2(Ω, ρ0)). Тогда решение задачи (2.5)-(2.7) (в смысле определения 3.1) существует и единственно. 0 Доказательство. Пусть u0 ∈ D(A1/2), ρ0 ∈ D(B∗), ξ0 := (u0; w0)τ , w0 := (ρ0; 0; ... ; 0)τ . Из (3.14) найдем, что ξ0 ∈ D(A). Из условий теоремы и (3.9) следует, что F(t) ∈ C1(R+; H). Из [10, теорема 4.5, с. 110] следует, что оператор -A порождает сильно непрерывную полугруппу сжимающих операторов. Из [10, теорема 6.5, с. 166] следует, что задача Коши (3.9) имеет единственное сильное (в смысле определения 3.2) решение. Пусть функция ξ(t) - единственное решение задачи Коши (3.9), то есть ξ(t) = (u(t); w(t))τ , где w(t) = (ρ(t); v1(t); ... ; vm(t))τ , причем Aξ(t) ∈ C(R+; H), ξ(t) ∈ C1(R+; H). Тогда u(t), ρ(t) - решение системы (3.6) (или (3.5)) в смысле определения 3.1. 4. ЗАДАЧА О СПЕКТРЕ ВЯЗКОУПРУГОЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В этом разделе исследуется спектр операторного блока A (см. (3.10)-(3.11)). Основным утверждением здесь является следующая теорема, доказываемая в леммах 4.1, 4.3-4.8. Теорема 4.1. 1. {0, b1,..., bm}⊂ ρ(A) (леммы 4.1, 4.3). 1. σess(A) = ΛE,1 ∪ ΛE,2 ∪ ΛL ⊂ (0, bm) (см. (4.9), (4.10)). Множество C\σess(A) состоит из регулярных точек и изолированных собственных значений конечной кратности оператора A. Спектр оператора A расположен симметрично относительно действительной оси (лемма 4.4). 2. σ(A) ⊂ λ ∈ C| 0 < Reλ < bm (лемма 4.6). Спектр оператора A имеет две ветви соб- (±i∞) k=1 ственных значений {λk }∞ со следующей асимптотикой (лемма 4.5): λ(±i∞) 1/2 k = ±iλk (A0)(1 + o(1)) (k → +∞), m 1 r μ -3/2 m 3η + 4μ -3/2 \-2/3 λk (A0) = ( 6π2 Ω 0 ρ3/2(z)f2 ) l l bl l=1 0 + a2 ρ (z)+ ) ∞ l=1 l l l 3bl l dΩ k2/3(1 + o(1)). 3. Пусть ω0 = 0, тогда существует β0 > 0 такое, что (лемма 4.7) σ(A) ∩ λ ∈ C| Imλ ◦= 0 ⊂ λ ∈ C| β0 � Reλ < bm/2 . m 4. Пусть ω0 = 0 и существует 0 < ε < b-2 такое, что (см. (3.2)) m (b - λ)2 J (u, u) ) ( 1 l l=1 \ - ε μl m (b - λ)2 + D(u, u) ) ( 1 l l=1 \( · ε ηl μl \ + + 3 + F(u, u) m ( 1 \ λ2 - ε � ∓u 2 ∓L2(Ω,ρ0) при всех u ∈ HA0 и λ ∈ ∪l=1(bl-1, bl) (b0 = 0). Тогда спектр оператора A, лежащий в области {λ ∈ C| Imλ ◦= 0}, сгущается только к бесконечности (лемма 4.8). 1. Вывод основных спектральных задач. Будем разыскивать решения однородного (при F(t) ≡ 0) уравнения (3.9) в виде ξ(t) = exp(-λt)ξ, где λ - спектральный параметр, а ξ - амплитудный элемент. В результате придем к следующей основной спектральной задаче: Aξ = λξ, ξ ∈ D(A) ⊂ H, (4.1) которую будем ассоциировать с задачей о спектре вязкоупругой сжимаемой жидкости Максвелла. Пусть ξ = (u; w)τ ∈ D(A). Осуществив с учетом факторизации (3.10) в спектральной зада- 0 че (4.1) замену искомого элемента diag(A1/2, I)ξ = η =: (z; w)τ , получим спектральную задачу ( -1 ∗ \( \ A(λ)η := где SA = A-1/2SA-1/2 -λA0 + 2ω0iSA Q -Q G - λ z w = 0, η ∈H = L2(Ω, ρ0) ⊕ H0, (4.2) 0 0 . Пусть λ ∈/ {0, b1,..., bm} = σ(G), тогда из (4.2), (3.10) найдем, что 0 L(λ)z : = 1 - λA-1 + 2ω0iSA + Q∗(G- λ)-1Qlz = = - λA-1 + 2ω0iSA - m 1 1 Q∗ QB + ) z Q∗Qll = 0, z ∈ H = L2(Ω, ρ0). (4.3) 0 λ B l=1 bl - λ l Из (3.16) следует, что спектр оператора A и спектр пучка L(λ) (спектры задач (4.1) и (4.3)) совпадают между собой при λ ∈/ σ(G). 2. О существенном и дискретном спектре задачи. Прежде всего установим следующую лемму о точках множества {0, b1,..., bm}. Лемма 4.1. {b1,..., bm}⊂ ρ(A). Точка λ = 0 не является собственным значением оператора A (спектральной задачи (4.1)). Доказательство. Запишем уравнение (A- λ)ξ = ξ0 в виде системы (см. (3.8), (3.10)): ⎧ m ⎪ 2ω iSu + A1/2f - Q∗ ρ + ) Q∗vll - λu = u0, ⎨⎪ 0 0 1/2 B l l=1 (4.4) ⎪ QBA0 u - λρ = ρ0, 1/2 ⎩⎪ -QlA0 u + blvl - λvl = vl0, l = 1, m. 1. Положим в системе (4.4) λ = 0, ξ0 = (u0; ρ0; v10; ... ; vm0)τ = 0 и выразим из третьего уравнения поле vl. С учетом (3.3) найдем, что vl = b-1QlA1/2u = b-1A1/2u (l = 1, m). Используем l 0 l l найденные элементы в первом уравнении системы (4.4); умножим первое уравнение системы скалярно на поле u, а второе - на функцию ρ. После простых преобразований получим систему ⎧ 1/2 m ) 1 1/2 2 B ⎨⎪ 2ω0i(Su, u)L2(Ω,ρ0) - (Q∗ ρ, A0 u)L2(Ω,ρ0) + l=1 b ∓Al u∓L2(Ω,ρ0) = 0, l ⎪ (QBA1/2 1/2 ⎩ 0 u, ρ)L2,ρ (Ω) = (Q∗ ρ, A u) = 0. 0 B 0 m L2(Ω,ρ0) Из этой системы следует, что 2 ), b-1∓A1/2u∓ = 0, а значит, u = 0 в HA = HA . Слеl l l=1 L2(Ω,ρ0) 0 l B довательно, vl = 0 (l = 1, m). Из системы (4.4) (при λ = 0, ξ0 = 0) найдем теперь, что Q∗ ρ = 0. B Отсюда следует, что ρ = 0, так как KerQ∗ = {0}. Таким образом, ξ = 0 и точка λ = 0 не является собственным значением оператора A. 2. Положим теперь в системе (4.4) λ = bq, ξ0 = 0: ⎧ m ⎪ 2ω iSu + A1/2f - Q∗ ρ + ) Q∗vll - bq u = 0, ⎨⎪ 0 0 1/2 B l=1 l 1/2 1/2 (4.5) ⎪ QBA0 u - bqρ = 0, -Qq A0 u = -Aq u = 0, 1/2 ⎩⎪ -QlA0 u + (bl - bq )vl = 0, l = 1, m, l ◦= q. 0 q Последовательно из третьего, второго и четвертого уравнений системы (4.5) найдем, что u = 0, ρ = 0, vl = 0 (l ◦= q). Теперь из первого уравнения (4.5) следует, что A1/2Q∗vq = 0, а значит, vq = 0. Таким образом, ξ = 0 и точка λ = bq не является собственным значением оператора A. 3. Покажем теперь, что bq ∈ ρ(A). Для этого в силу формулы (3.16) достаточно установить, что в некоторой проколотой окрестности точки λ = bq существует L-1(λ) ∈ L(L2(Ω, ρ0)). С использованием леммы 3.3 преобразуем пучок L(λ) в окрестности точки λ = bq следующим образом: m ) = L(λ 1 0 · λA-1 + 2ω0iSA - 1 B λ Q∗ QB + ) l=1,l/=q 1 bl - λ l Q∗Qll + 1 1 bq - λ q Q∗Qq = m 1 = Q∗Qq (I + (bq - λ)1Q∗Qq l-1 - λA-1 + 2ω0iSA - Q∗ QB + ) Q∗Qll\ = bq - λ q q 0 λ B 1 l=1,l/=q bl - λ l =: bq - λ q Q∗Qq (I + Gq (λ)), где Gq (λ) → 0 при λ → bq. Отсюда и из теоремы об обращении оператора, близкого к единичному, следует требуемое утверждение. Всюду далее будем считать, что граница ∂Ω - класса C∞. Приведем известное утверждение об эллиптичности двух специальных краевых задач. Лемма 4.2. 1. Пусть a(x), b(x), c(x) ∈ C(Ω), c(x) ◦=0 (x ∈ Ω). Тогда следующая краевая задача является эллиптической при a(x) ◦= 0 (x ∈ Ω): ( -a(x)Δu(x) - b(x)∇divu(x)+ c(x)∇p(x) = v(x) (в Ω), c(x) divu(x) = q(x) (в Ω), u(x) = g(x) (на ∂Ω). 2. Пусть a(x), b(x) ∈ C(Ω). Тогда следующая краевая задача является эллиптической, если a(x) ◦= 0, a(x)+ b(x) ◦= 0 (x ∈ Ω) и 2a(x)+ b(x) ◦= 0 (x ∈ ∂Ω): -a(x)Δu(x) - b(x)∇divu(x) = v(x) (в Ω), u(x) = g(x) (на ∂Ω). Основываясь на лемме 4.2, докажем следующие два утверждения. Лемма 4.3. 0 ∈ ρ(A). Доказательство. Доказательство A-1 ∈H проведем в несколько шагов. 1. Перепишем оператор A (см. (3.10)) относительно разложения H := L2(Ω, ρ0) ⊕ L2,ρ0 (Ω) ⊕ H�, l=1 где H� := ⊕m L2(Ω, ρ0), в следующем виде: ⎛2ω0iSA -Q∗ Q∗⎞ A = diag(A1/2,I, I� 0 ) ⎝ B � A1/2,I, I� , (4.6) QB 0 0 ⎠ diag( 0 ) -Q� 0 G� где I, I�- единичные операторы в L2(Ω, ρ0) и H� соответственно, Q� := (Q1,..., Qm)τ , Из (3.12) и (4.6) найдем, что G� := diag(b1I,..., bmI). ⎛I 0 B Q�∗G�-1⎞ ⎛Q�∗G�-1Q� + 2ω0iSA -Q∗ 0 ⎞ ) A = diag(A1/2,I, I� ⎝0 I 0 ⎠ ⎝ QB 0 0 ⎠ × 0 0 0 I� 0 0 G� (4.7) ⎛ I 0 0⎞ ) × ⎝ 0 I 0⎠ diag(A1/2,I, I� . -G�-1Q� 0 0 I� m l Из леммы 3.3 следует, что (Q�∗G�-1Q� + 2ω0iSA)-1 = (), b-1Q∗Ql + 2ω0iSA)-1 ∈ L(L2(Ω, ρ0)). l=1 Если существует 1QB (Q�∗G�-1Q� + 2ω0iSA)-1Q∗ l-1 ∈ L(L2,ρ (Ω)), то из (4.7) и (3.13) будет сле- B 0 довать, что A-1 ∈ L(H). m 2. Положим C := Q�∗G�-1Q� = ), b-1Q∗Ql. Из лемм 3.1, 3.3 для любого u ∈ L2(Ω, ρ0) имеем l l l=1 ∓(I + 2ω0iC-1/2SAC-1/2)u∓L (Ω,ρ ) = ∓(I + 2ω0iC-1/2A-1/2SA-1/2C-1/2)u∓L (Ω,ρ ) � 2 0 0 0 2 0 2 � (1 + 2ω0∓C-1/2A-1/2∓ 0 L(L2(Ω,ρ0)) )∓u∓L2(Ω,ρ0). Отсюда, если положить T := (I + 2ω0iC-1/2SAC-1/2)-1, следует, что для любого v ∈ L2(Ω, ρ0) ∓T v∓2 2 � (1 + 2ω0∓C-1/2A-1/2∓ )-2 2 ∓v∓ 2 =: γ∓v∓ . L2(Ω,ρ0) 0 L(L2(Ω,ρ0)) L2(Ω,ρ0) L2(Ω,ρ0) Теперь из соотношения T + T ∗ = 2T ∗T = 2TT ∗ для любого ρ ∈ L2,ρ0 (Ω) имеем ∓QB (Q�∗G�-1Q� + 2ω0iSA)-1Q∗ ρ∓ · ∓ρ∓ = B = ∓QBC-1/2TC-1/2Q∗ L2,ρ0 (Ω) L2,ρ0 (Ω) -1/2 -1/2 ∗ Bρ∓L2,ρ0 (Ω) · ∓ρ∓L2,ρ0 (Ω) � Re(QBC 1 0 (Ω) TC QBρ, ρ)L2,ρ = 2 = ((T + T ∗)C-1/2Q∗ ρ, C-1/2Q∗ ρ) = ∓TC-1/2Q∗ ρ∓L (Ω,ρ ) � 2 B � γ∓C-1/2Q∗ 2 B L2(Ω,ρ0) -1 ∗ B 2 0 Bρ∓L2(Ω,ρ0) = γ(QBC 1 l∗ 0 (Ω) QBρ, ρ)L2,ρ , B ∓ QB (Q�∗G�-1Q� + 2ω0iSA)-1Q∗ ρ∓L2,ρ0 (Ω) · ∓ρ∓L2,ρ0 (Ω) � ··· � γ(QB B C-1Q∗ ρ, ρ) L2,ρ0 (Ω). Отсюда следует, что для доказательства 1QB (Q�∗G�-1Q� + 2ω0iSA)-1Q∗ l-1 ∈ L(L2,ρ (Ω)) достаточно установить, что оператор QBC-1Q∗ m = QB (), blQ∗Ql)-1Q∗ B = QB,bQ∗ 0 (см. лемму 3.3) по- B l B l=1 1 B,b B,b ложительно определен в L2,ρ0 (Ω) или (QB,bQ∗ )- ∈ L(L2,ρ0 (Ω)). 3. Рассмотрим краевую задачу ⎧ m ⎪ ( μ 1 ) l ⎪ 0 ηl μl ) \ -ρ- (z) ⎨ l=1 Δu(x)+ ( bl bl + 3bl ∇divu(x) + -1/2 (4.8) ⎪ 0 ⎪ ⎩ a∞ρ- 1/2 +2ω0i(u(x) × e3)+ ∇(a∞ρ0 (z)ρ(x)) = v(x) (в Ω), (z)div(ρ0(z)u(x)) = q(x) (в Ω), u(x) = 0 (на ∂Ω). Система (4.8) - это система Дуглиса-Ниренберга. Краевая задача, отвечающая главной части системы (4.8), имеет вид (первое уравнение умножено на ρ0(z)) ⎧ m ⎪⎨- ) ( μl Δu(x)+ ( ηl + μl )∇divu(x)\ + a ρ1/2(z)∇ρ(x) = ρ (z)v(x) (в Ω), bl l=1 bl 3bl ∞ 0 0 ρ1/2 a ⎩⎪ ∞ 0 (z)divu(x) = q(x) (в Ω), u(x) = 0 (на ∂Ω) и является эллиптической в силу леммы 4.2. Из [20] следует, что максимальный оператор, являющийся L2-реализацией краевой задачи (4.8), фредгольмов. С использованием операторов Ab, QB,b, Q∗ , SA = A-1/2SA-1/2 краевую задачу (4.8) можно переписать в следующей операторной B,b b b b форме в гильбертовом пространстве H0 := L2(Ω, ρ0) ⊕ L2,ρ0 (Ω): B (u\ = ρ A ( 1/2 b 0\ (I + 2ω0iSAb -Q ∗ B,b A \ ( 1/2 b 0\ (u\ = ρ 0 I QB,b / 0 1/2 0 I 1/2 \ B,b = Ab ((I + 2ω0iSAb )Ab u - Q∗ ρ) QB,bA1/2u (v\ = q , b D(B) = {ζ = (u; ρ)τ ∈ H0 | u - A-1/2(I + 2ω0iSA )-1Q∗ ρ ∈ D(Ab)}. b b B,b Оператор B является максимальным аккретивным оператором, KerB = {0}. Эти факты доказываются по аналогии с соответствующими утверждениями в леммах 3.4 и 4.1. Оператор B∗ также является максимальным аккретивным оператором, KerB∗ = {0}. Отсюда и из фредгольмовости оператора B следует, что существует B-1 ∈ L(H0). B,b 4. Докажем теперь, что существует (QB,bQ∗ 0 )-1 ∈ L(L2,ρ (Ω)). Допустим, что это не верно. +∞ Тогда существует некомпактная последовательность {ρn}n=1 ⊂ L2,ρ0 (Ω) такая, что ∓ρn∓L2,ρ0 (Ω) = 1, 1/2 B,bρ → 0 (n → +∞) в L (Ω). Определим ζ := (A- (I + 2ω iS )-1Q∗ ρ ; ρ )τ , n ∈ N. QB,bQ∗ n +∞ 2,ρ0 1/2 n b 0 Ab -1/2 B,b n n 1 ∗ Тогда {ζn}n=1 ⊂ D(B), так как [A- (I + 2ω0iSA )-1Q∗ ρn] - A (I + 2ω0iSA )- QB,b [ρn ] = 0 ∈ D(Ab). Кроме того, имеем / b -1/2 b -1 ∗ B,b b b \ ( 0 \ ζn --0, Bζn = B Ab (I + 2ω0iSAb ) ρn QB,bρn ∗ = QB,bQB,bρn → 0 (n → +∞), B,b что противоречит B-1 ∈ L(H0). Таким образом, (QB,bQ∗ 0 )-1 ∈ L(L2,ρ (Ω)), и лемма доказана. Определение 4.1. Существенным спектром оператора A (спектральной задачи (4.1)) назовем множество σess(A) := {λ ∈ C | (A- λ) - нефредгольмов}. Для описания существенного спектра задачи определим функции m ϕ(λ) := ) m μl , ψ(λ, x) := ) η 1 ( l 2 μl \ 1 + - a ρ0(z). (4.9) l=1 bl - λ l=1 bl - λ 3 λ ∞ С помощью функций (4.9) определим множества в комплексной плоскости (точнее, на R+) ΛE,1 := λ ∈ C| ϕ(λ) = 0 , ΛE,2 := λ ∈ C| ϕ(λ)+ ψ(λ, x) = 0, x ∈ Ω , ΛL := λ ∈ C| 2ϕ(λ)+ ψ(λ, x) = 0, x ∈ ∂Ω . (4.10) Простые геометрические рассуждения показывают, что множество ΛE,1 состоит ровно из m - 1 различных точек, находящихся на интервале (b1, bm) и разделенных точками bl (l = 2,m - 1). Каждое из множеств ΛE,2, ΛL состоит ровно из m отрезков на интервале (0, bm). Для каждого множества отрезки разделены точками bl (l = 1,m - 1). Если рассматриваемая система не вращается и находится в невесомости (ω0 = 0, g = 0), то ρ0 = const и каждое из множеств ΛE,2, ΛL превращается в набор из m точек. Лемма 4.4. σess(A) = ΛE,1 ∪ ΛE,2 ∪ ΛL ⊂ (0, bm). Множество C\σess(A) состоит из регулярных точек и изолированных собственных значений конечной кратности оператора A. Спектр оператора A расположен симметрично относительно действительной оси. Доказательство. Пусть λ ∈/ ΛE,1 ∪ ΛE,2 ∪ ΛL, λ ∈/ σ(G). Рассмотрим краевую задачу 1 - ρ0(z) m ) l=1 μ l bl - λ 1 Δu(x)+ a2 1 ( bl - λ ηl + μl \ 3 l l ∇divu(x) + (4.11) + λ ∇ ∞ ρ0(z) div(ρ0(z)u(x)) - 2ω0(u(x) × e3) - λu(x) = v(x) (в Ω), u(x) = 0 (на ∂Ω). Из (4.9), (4.10) и леммы 4.2 найдем, что краевая задача (4.11) является эллиптической. Из [20] следует, что оператор, являющийся L2-реализацией краевой задачи (4.11), фредгольмов. С использованием введенных ранее операторов и пучка (4.3) можно проверить, что краевую задачу (4.11) можно переписать в виде A1/2L(λ)A1/2u = v. Таким образом, оператор A1/2L(λ)A1/2 фредгольмов 0 0 0 0 в L2(Ω, ρ0). Из [14, лемма 1, с. 52] следует, что оператор A1/2L(λ)A1/2 фредгольмов как оператор, дей- 0 0 A0 ствующий из HA0 в H∗ A (H∗ 0 - пространство, сопряженное к HA0 относительно скалярного произведения в L2(Ω, ρ0)). Следовательно, оператор L(λ) также фредгольмов в L2(Ω, ρ0). Из [19, теорема 3.1, с. 374] (теорема о произведении фредгольмовых операторов), (3.10) и факторизации (3.12) теперь найдем, что оператор (A1/2 \( -1 ∗ \( 1/2 \ A- λ = 0 0 -λA0 + 2ω0iSA Q 0 I -Q G - λ A0 0 = 0 I (A1/2 \ (I Q∗R (G)\ (L(λ) 0 \( I 0\( 1/2 \ 0 I 0 I 0 G- λ -Rλ(G)Q I 0 I )-1, SA = A-1/2S 0 A-1/2, фредгол 0 ьмов. Сл едовательно, для существе = 0 0 λ где Rλ(G) = (G- λ A0 0 , нного спектра оператора A получаем включение σess(A) ⊂ ΛE,1 ∪ ΛE,2 ∪ ΛL. Множество C\σess(A), очевидно, является связным, а оператор A имеет регулярные точки. Отсюда и из [8, теорема 5.17, с. 296] (теорема об устойчивости индекса и дефекта замкнутого оператора) следует, что множество C\σess(A) состоит из регулярных точек и изолированных собственных значений конечной кратности оператора A. Предположим теперь, что λ ∈/ σess(A), λ ∈ ΛE,1 ∪ ΛE,2 ∪ ΛL. В этом случае получим противоречие, так как регулярные точки (отличные от 0, b1, ··· , bm) и изолированные собственные значения конечной кратности оператора A являются регулярными и изолированными собственными значениями конечной кратности для пучка L(λ). Симметричность расположения спектра оператора A относительно действительной оси следует из самосопряженности пучка L(λ) (см. [11, с. 174]) или из J -самосопряженности оператора A (см. [2, с. 131]). 1. Локализация спектра и асимптотика спектра на бесконечности. Лемма 4.5. Для любого как угодно малого ε > 0 существует R = R(ε) > 0 такое, что весь спектр оператора A принадлежит множеству Λ± ∪ CR, где Λ± := { |argλ ∓ π/2| < ε}, o ε CR := { |λ| < R}. Более того, спектр оператора A имеет две ветви собственных значений i∞) k=1 ε {λk }∞ , расположенных в Λ± \CR, со следующей асимптотикой: λ(±i∞) 1/2 k = ±iλk (A0)(1 + o(1)) (k → +∞), m 1 r μ l-3/2 m 3η + 4μ l-3/2l \-2/3 λk (A0) = ( 6π2 Ω 0 ρ3/2(z)f2 ) l bl l=1 0 + a2 ρ (z)+ ) ∞ l=1 l l 3bl dΩ k2/3(1 + o(1)). Доказательство. 1. Из леммы 4.3 следует, что λ = 0 не является собственным значением оператора A. Преобразуем пучок -λL(λ) (см. (4.3)) при λ ◦= 0 с помощью леммы 3.3 к виду: λ m -λL(λ)z = λ2A-1 - 2ω0iλSA + Q∗ QB - ) z Q∗Qll = 0 B l=1 m b bl - λ l = I + λ2A-1 - 2ω0iλSA - ) z 1. Q∗Qll = 0, z ∈ H = L2(Ω, ρ0). (4.12) 0 l=1 bl - λ l Из оценок работы [17] и A-1 ∈ S (L (Ω,ρ )) найдем, что для π/2 > ε > 0 и R > 0 0 ∞ 2 0 ∓(I - iλA-1/2)-1SA(I + iλA-1/2)-1∓ � 0 0 � ∓(I - iλA-1/2)-1A-1/4(A-1/4 -1/2 -1/4 0 Отсюда и из представления - λL(λ) = (I - iλA-1/2) 0 0 S)∓· ∓(I + iλA0 )-1A0 ∓ = o(λ-1), (4.13) ε λ → ∞, λ ∈/ Λ± ∪ CR. - (I - iλA-1/2)-1f2ω0iλSA+ 0 I 0 m + ) bl ( Q∗Q l(I + iλA-1/2)-1l I + iλA-1/2) l=1 bl - λ l l 0 0 ε следует, что L(λ) непрерывно обратим в C\(Λ± ∪ CR) при достаточно большом R = R(ε) > 0, а ε значит, σ(A) ⊂ Λ± ∪ CR. 1. С помощью оценки, аналогичной (4.13), можно найти, что m ∓(I - λA-1/2)-1f2ω0iλSA + ) 0 l=1 bl Q∗Qll(I + λA-1/2)-1∓→ 0, λ → ∞, λ ∈ Λ±\CR. bl - λ l 0 ε Отсюда, из степенной асимптотики собственных значений λk (A0) оператора A0 и теоремы об асимптотике спектра пучка вида (4.12) (см. [1, 15]) следует, что пучок L(λ) (оператор A) имеет в Λ± (±i∞) 1/2 o \CR две ветви собственных значений λk = ±iλk (A0)(1 + o(1)) (k → +∞). A0 2. Асимптотика собственных значений оператора A0 следует из [4, с. 10]. Точнее, собственные значения оператора A0 имеют асимптотику λk (A0) = C-2/3k2/3(1 + o(1)) (k → +∞), где 1 r r CA0 := 24π3 dΩ 0 ρ3/2(z) Tr fg1|ξ|2I3 + g2(z)ξξ τ l-3/2 dS(ξ), Ω |ξ|=1 m μ m 1 ( μ \ (4.14) ξ := (ξ1; ξ2; ξ3)τ ∈ R3\{0}, g1 := ) l , g2(z) := a2 ρ0(z)+ ) ηl + l , bl l=1 ∞ bl 3 l=1 0 а I3 - единичная матрица в R3. Для вычисления CA введем матрицу Γξ := (|ξ|-1ξ, a⊥, b⊥), состоящую из вектор-столбцов |ξ |-1ξ, a⊥, b⊥. Здесь вектор-столбцы a⊥, b⊥ (|a⊥| = |b⊥| = 1) ортогональны и между собой. Используя формулы Γτ Γξ = I3, Γτ ξξτ Γξ = diag(|ξ|2, 0, 0) =: |ξ|2P1, найдем ξ ξ ξ собственные значения матрицы в фигурных скобках из (4.14): ξ detfg1|ξ|2I3 - λI3 + g2(z)ξξτ l = detΓτ fg1|ξ|2I3 - λI3 + g2(z)ξξτ lΓξ = = detfg1|ξ|2I3 - λI3 + g2(z)|ξ|2P1l = (1g1 + g2(z)l|ξ|2 - λ)(g1|ξ|2 - λ)2 = 0. Следовательно, λ1,2 = g1|ξ|2, λ3 = 1g1 + g2(z)l|ξ|2. Тогда имеем r |ξ|=1 Trfg1|ξ|2I3 + g2(z)ξξτ l -3/2 dS(ξ) = r = |ξ|=1 2g-3/2 f 1 + 1g1 + g2(z)l -3/2 l|ξ|-3 dS(ξ) = 4π 1 f2g-3/2 + 1g1 + g2(z)l -3/2l. Отсюда и из (4.14) следует формула асимптотики собственных значений оператора A0. Из леммы 3.4 следует, что σ(A) ⊂ {λ ∈ C| Reλ � 0}. В следующей лемме уточняется расположение найденных в лемме 4.5 ветвей собственных значений и всего спектра оператора A. Лемма 4.6. σ(A) ⊂ λ ∈ C| 0 < Reλ < bm . Доказательство. Пусть λ ∈ σ(A), λ ∈/ σess(A) ⊂ (0, bm), λ ∈/ σ(G) = {0, b1,..., bm}. Тогда λ, являющееся собственным значением оператора A (см. лемму 4.4), является также собственным значением пучка L(λ) (см. (4.3)), то есть существует 0 ◦= z ∈ L2(Ω, ρ0) такой, что L(λ)z = 0. Умножая последнее равенство скалярно на z, получим уравнение, которому удовлетворяет λ: 1 m q ) l (4.15) -1/2 2 - λp + 2ω0is - λ q0 + l=1 = 0, bl - λ 2 2 2 , s := p := ∓A0 z∓ ∓z∓ (SAz, z) 2 , q0 := ∓z∓ ∓QB z∓ 2 , ql := ∓z∓ ∓Qlz∓ 2 (l = 1, m). ∓z∓ Выделим действительную и мнимую части из (4.15): Reλ m q (b - Reλ) Imλ 2. q Imλ -pReλ - q0 |λ|2 + ) l=1 l l |bl - λ|2 = 0, -pImλ + 2ω0s + q0 |λ|2 + ) l=1 l |bl - λ|2 = 0. (4.16) l Учитывая, что p > 0, ql � q0 > 0 (l = 1, m) (см. лемму 3.3), из (4.16) и леммы 4.3 следует m 0 < Reλ ) m 2 2 ql < Reλ p + q0 + ) m = ql l ) 2 blql 2 � bm m ) ql |bl - λ|2 l=1 |bl - λ| и лемма доказана. |λ| l=1 |bl - λ| l=1 |bl - λ| , l=1 2. Локализация спектра в случае ω0 = 0. В следующих двух утверждениях установим локализацию спектра оператора A в случае, когда в системе отсутствует вращение. Лемма 4.7. Пусть ω0 = 0, тогда существует β0 > 0 такое, что σ(A) ∩ λ ∈ C| Imλ ◦= 0 ⊂ λ ∈ C| β0 � Reλ < bm/2 . Доказательство. Определим в Rm+2 множество параметров уравнения (4.15) (при ω0 = 0): T := (p; q0; q1; ... ; qm)τ ∈ Rm+2| 0 < p � ∓A-1/2∓ , 0 � q0 � ∓QB ∓ , q � ql � ∓Ql∓ (l = 1, m) , 2 2 0 2 0 l l где числа q0 > 0 определены в лемме 3.3. Уравнение (4.15) (при ω0 = 0) имеет m действительных положительных корней и еще два корня - пару комплексно сопряженных чисел либо пару действительных положительных чисел. Рассмотрим ситуацию, когда имеется пара комплексно сопряженных корней. В этом случае обозначим действительные корни уравнения (4.15) через λ(l) = λ(l)(p, q0,..., qm) (l = 1, m). Определим теперь число β0 по следующей формуле: β0 := inf m 1 ) (bl - λ(l)(p, q0, q1,..., qm)) > 0. (4.17) (p;q0;q1;...;qm)∈T 2 l=1 Пусть λ(+i) - комплексное собственное значение оператора A (см. лемму 4.4). Тогда λ(+i) - корень уравнения (4.15) (при ω0 = 0) при некотором z = z(+i). При этом число λ(-i) := λ(+i) также будет корнем уравнения (4.15). Обозначим через λ(l) (l = 1, m) оставшиеся действительные (положительные) корни уравнения (4.15) (при ω0 = 0) и запишем уравнение (4.15) в виде m (-1)mp (λ - λ(+i))(λ - λ(-i)) тт(λ - λ(l)) = 0. (4.18) l=1 С другой стороны, уравнение (4.15) (при ω0 = 0) можно переписать в следующем виде: m m m m λ2p тт(bl - λ)+ q0 тт(bl - λ) - λ ) ql тт (bk - λ) = 0. (4.19) l=1 l=1 l=1 k=1, k/=l Приравнивая коэффициенты при λm+1 в уравнениях (4.18) и (4.19) и учитывая (4.17), теперь найдем, что (b0 := 0) β0 � Reλ(±i) = m 1 2 )(bl - λ(l)) < l=1 m 1 2 )(bl - bl l=1 bm -1) = 2 . m Лемма 4.8. Пусть ω0 = 0 и существует 0 < ε < b-2 такое, что (см. (3.2)) m J (u, u) ) ( 1 (bl - λ)2 \ - ε μl m D + (u, u) ) ( 1 (bl - λ)2 \( - ε ηl μl \ + + 3 (4.20) l=1 m l=1 + F(u, u) ( 1 \ λ2 - ε � ∓u∓ 2 L2(Ω,ρ0) при всех u ∈ HA0 и λ ∈ ∪l=1(bl-1, bl) (b0 = 0). Тогда спектр оператора A, лежащий в области {λ ∈ C| Imλ ◦= 0}, сгущается только к бесконечности (см. лемму 4.5). k k=1 Доказательство. Предположим, что оператор A имеет ветвь собственных значений {λ(+i)}∞ , k стремящихся к положительному числу γ ∈ σess(A). Тогда числа λ(+i) суть корни уравнений (4.15) (при ω0 = 0) при некоторых z = z(+i). При этом числа λ(-i) := λ(+i) также будут собственными k k k (±i) значениями оператора A (см. лемму 4.4). Таким образом, λk будут корнями следующих функций (см. (4.15)): ) 1 m ql,k (4.21) fk (λ) := -λpk + - λ q0,k + l=1 = 0, bl - λ A-1/2z(+i) 2 QB z(+i) 2 Qlz(+i) 2 pk := ∓ 0 k ∓ , q0,k := ∓ k ∓ , ql,k := ∓ k ∓ (l = 1, m). (+i) 2 (+i) 2 (+i) 2 ∓zk ∓ ∓zk ∓ ∓zk ∓ Можно считать, что lim k→∞ p, pk =: � lim k→∞ q0,k =: � , lim q0 k→∞ ql,k ql =: � > 0 (l = 1, m). В противном случае мы ограничимся соответствующими подпоследовательностями. Определим функцию m l 1 q p - � + ) � . f (λ) := -λ� λ q0 l=1 bl - λ k=1 Таким образом, последовательность функций {fk (λ)}∞ сходится (равномерно) к функции f (λ) в каждой замкнутой ограниченной области, не содержащей точек {0, b1,..., bm}. По теореме Гурвица (см. [12, с. 426]) функция f (λ) имеет в точке λ = γ кратный нуль, т. е. f ⊕(γ) = 0. Из (3.3), (3.2) и (4.20) теперь найдем, что (+i) 2 m (+i) 2 l 2 0 = f ⊕(γ) = lim 1 f ⊕ (γ) = lim - ∓A-1/2z(+i)∓ + ∓QB zk ∓ + ) ∓Qlzk ∓ = k k→∞ 0 k k→∞ ∓z(+i) 2 γ2 (bl - γ)2 k ∓ 1 l=1 m μ = lim - ∓A-1/2z(+i) 2 -1/2 (+i) -1/2 (+i) ) l k→∞ ∓z(+i) 2 0 k ∓ + J (A0 zk , A0 zk ) + (bl - γ)2 k ∓ + D(A-1/2 (+i) -1/2 (+i) m ) 1 ( l=1 μl \ 0 zk , A0 zk ) l=1 (bl - γ)2 ηl + 3 + + F(A-1/2 (+i) -1/2 (+i) 1 -1/2 (+i) -1/2 (+i) l 0 0 zk , A0 zk ) γ2 ± ε(A0 zk , A0 zk )A Полученное противоречие доказывает лемму. Автор приносит благодарность проф. Н. Д. Копачевскому за обсуждение работы.