Removal of Isolated Singularities of Generalized Quasiisometries on Riemannian Manifolds

Abstract

For mappings with unbounded characteristics we prove theorems on removal of isolated singularities on Riemannian manifolds. We prove that if a mapping satisfies certain inequality of absolute values and its quasiconformity characteristic has a majorant of finite average oscillation at a fixed singular point, then it has a limit at this point.

Full Text

1. ВВЕДЕНИЕ Хорошо известная из общего курса комплексного анализа теорема об устранении изолированной особенности утверждает, что ограниченная аналитическая функция ϕ : D \ {z0} → C области D \ {z0}⊂ C имеет предел в точке z0 (см. [12, теорема 1 ×, § 6, п. 24, гл. II]). Этот результат обобщен в n-мерном пространстве для отображений с ограниченным искажением (см. [18, следствие 4.5] и [20, теорема 2.9, гл. III], см. также [4, 5]). Несколько позднее были получены и другие обобщения, в частности, установленные вторым автором данной статьи [9, 10]. В последних работах речь идет об аналогах теоремы Сохоцкого-Вейерштрасса для так называемых кольцевых Q-отображений, т. е. отображений, в основе определения которых лежит свойство контролируемого искажения модуля семейств кривых. Здесь функция Q отвечает за «испорченность» искажения модуля и предполагается, вообще говоря, неограниченной. В то же время содержательность результатов для указанных отображений имеет место, как правило, в случае слабого роста функции Q в окрестности фиксированной изолированной точки, например, особенностей логарифмического типа, функций конечного среднего колебания и т.п. (см. там же). Стоит отметить, что аналитические функции отвечают Q ≡ 1, а отображения с ограниченным искажением- Q ≡ const. Большая часть известных ныне классов отображений также являются кольцевыми Q-отображениями при не очень сильных ограничениях на характеристику квазиконформности, гладкость отображений и меру их множества точек ветвления [8]. Чтобы подытожить упомянутые результаты, мы покажем в настоящей заметке, что аналог теоремы об устранении изолированной особенности для кольцевых Q-отображений справедлив также на римановых многообразиях при практически тех же ограничениях на функцию Q, а не только в евклидовом n-мерном пространстве. Здесь также участвуют некоторые ограничения на сами многообразия, которые будут оговорены ниже. Перейдем к определениям и формулировкам основных результатов. Следующие понятия могут быть найдены, например, в [12, 17]. Напомним, что n-мерным топологическим многообразием Mn называется хаусдорфово топологическое пространство со счетной базой, каждая точка которого имеет окрестность, гомеоморфную некоторому открытому множеству в Rn. Картой на многообразии Mn будем называть пару (U, ϕ), где U - открытое подмножество пространства Mn Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2017 266 и ϕ - соответствующий гомеоморфизм множества U на открытое множество в Rn. Если P ∈ U и ϕ(P ) = (x1,..., xn) ∈ Rn, то соответствующие числа x1,..., xn называются локальными координатами точки P. Гладким многообразием называется само множество Mn вместе с соответствующим набором карт (Uα, ϕα), так что объединение всех Uα по параметру α дает все Mn и, кроме того, отображение, осуществляющее переход от одной системы локальных координат к другой, принадлежит классу C∞. Напомним, что римановой метрикой на гладком многообразии Mn называется положительно определенное гладкое симметричное тензорное поле gij типа (0, 2). В частности, компоненты римановой метрики в различных локальных координатах (U, x) и (V, y), U ∩ V ⊕= ∅, взаимосвязаны посредством тензорного закона kl где g× × ∂xi ∂xj gkl(y) = gij (x(y)) ∂yk ∂yl , 1. - компоненты римановой метрики в системе координат (V, y), а gij (x) - в системе координат (U, x). Римановым многообразием будем называть гладкое многообразие вместе с римановой метрикой на нем. Длину гладкой кривой γ = γ(t), t ∈ [t1, t2], соединяющей точки γ(t1) = P1 ∈ Mn и γ(t2) = P2 ∈ Mn, и n-мерный объем (меру объема) v области A на римановом многообразии определим согласно соотношениям t2 / r dγi dγj r ; 1 n l(γ) := t1 gij (γ(t)) dt dt, v(A) = dt A det(gij ) dx ... dx . (1.1) Ввиду положительной определенности тензора G = (gij (x)) имеем det gij > 0. Геодезическим расстоянием между точками P1 и P2 ∈ Mn будем называть наименьшую длину всех кусочногладких кривых в Mn, соединяющих точки P1 и P2. Геодезическое расстояние между точками P1 и P2 будем обозначать символом d(P1, P2) (всюду далее d обозначает геодезическое расстояние, если не оговорено противное). В частности, (открытым) шаром B(P0, r) с центром в точке P0 ∈ Mn и радиусом r > 0 на римановом многообразии Mn мы будем называть следующее множество: B(P0, r) = {P ∈ Mn | d(P, P0) < r} . Так как риманово многообразие, вообще говоря, не предполагается связным, расстояние между любыми точками многообразия, вообще говоря, может быть не определено. Хорошо известно, что любая точка P риманова многообразия Mn имеет окрестность U э P (называемую далее нормальной окрестностью точки P ) и соответствующее координатное отображение ϕ : U → Rn, так что геодезические сферы с центром в точке P и радиусом r, лежащие в окрестности U, переходят при отображении ϕ в евклидовы сферы того же радиуса, а пучок геодезических кривых, исходящих из точки P, переходит в пучок радиальных отрезков в Rn (см. [17, леммы 5.9 и 6.11], см. также комментарии на с. 77 там же). Локальные координаты ϕ(P ) = (x1,..., xn) в этом случае называются нормальными координатами точки P. Стоит отметить, что в случае связного многообразия Mn открытые множества метрического пространства (Mn, d) порождают топологию исходного топологического пространства Mn (см. [17, лемма 6.2]). Заметим, что в нормальных координатах тензорная матрица G = (gij ) в точке P - всегда единичная (а в силу непрерывности функций gij в точках, близких к P, эта матрица сколь угодно близка к единичной; см. [17, пункт (c) предложения 5.11]). Пусть X и Y - два топологических пространства. Отображение f : X → Y называется открытым, если f (U ) открыто в Y для любого открытого множества U ⊂ X, и дискретным, если для каждой точки P ∈ Y все точки множества f -1(P ) имеют попарно непересекающиеся окрестности. Пусть (X, d, μ) - произвольное метрическое пространство, наделенное мерой μ и B(P0, r) = {P ∈ X | d(P, P0) < r}. Следующее определение может быть найдено, например, в [6, раздел 4]. Будем говорить, что интегрируемая в B(P0, r) функция ϕ : D → R, где D - область в X, имеет конечное среднее колебание в точке P0 ∈ D, пишем ϕ ∈ FMO(P0), если lim sup ε→0 1 μ(B(P0, ε)) r |ϕ(P ) - ϕε| dμ(P ) < ∞, B(P0, ε) 1 r 0 где ϕε = μ(B(P , ε)) B(P0, ε) ϕ(P ) dμ(P ). ∗ ∗ Всюду далее (если не оговорено противное) Mn и Mn - римановы многообразия с геодезическими расстояниями d и d∗, соответственно. Кривой γ мы называем непрерывное отображение отрезка [a, b] (открытого интервала (a, b), либо полуоткрытого интервала вида [a, b) или (a, b]) в Mn, γ : [a, b] → Mn. Под семейством кривых Γ подразумевается некоторый фиксированный набор кривых γ, а если f : Mn → Mn - произвольное отображение, то f (Γ) = {f ◦ γ|γ ∈ Γ} . Длину произвольной кривой γ : [a, b] → Mn, лежащей на многообразии Mn, можно определить как точную n-1 верхнюю грань сумм ), d(γ(ti), γ(ti+1)) по всевозможным разбиениям a � t1 � ... � tn � b. i=1 Следующие определения в случае пространства Rn могут быть найдены, например, в [21, разделы 1-6, гл. I], см. также [15, гл. I]. Борелева функция ρ : Mn → [0, ∞] называется допустимой для семейства Γ кривых γ в Mn, если линейный интеграл по натуральному параметру s каждой l(γ) (локально спрямляемой) кривой γ ∈ Γ от функции ρ удовлетворяет условию Г ρ(γ(s))ds � 1. 0 В этом случае мы пишем ρ ∈ adm Γ. Пусть p � 1 - фиксированное действительное число, тогда p-модулем семейства кривых Γ называется величина r Mp(Γ) = inf ρ∈adm Γ Mn ρp(x) dv(x). (Здесь и далее v означает меру объема, определенную в (1.1). При этом, если adm Γ = ∅, то полагаем Mp(Γ) = ∞, см. [21, раздел 6, с. 16] или [15, с. 176].) Свойства модуля в некоторой мере аналогичны свойствам меры Лебега m в Rn : 1. p-модуль пустого семейства кривых равен нулю, Mp(∅) = 0; 2. p-модуль обладает свойством монотонности относительно семейств кривых: Γ1 ⊂ Γ2 ⇒ Mp(Γ1) � Mp(Γ2); 3. p-модуль обладает свойством полуаддитивности: ∞ Mp 1 Γi i=1 ∞ � \ Mp(Γi) (1.2) i=1 (см. [21, теорема 6.2, гл. I] в Rn или [15, теорема 1] в случае более общих пространств с мерами). Говорят, что семейство кривых Γ1 минорируется семейством Γ2, пишем Γ1 > Γ2, если для каждой кривой γ ∈ Γ1 существует подкривая, которая принадлежит семейству Γ2. В этом случае Γ1 > Γ2 ⇒ Mp(Γ1) � Mp(Γ2) (1.3) (см. [21, теорема 6.4, гл. I] или [15, свойство (c)] в случае более общих пространств с мерами). Следующее определение для случая Rn может быть найдено, например, в монографии [19, ∗ раздел 7.1, гл. 7]. Пусть Mn и Mn - римановы многообразия, n � 2, D - область в Mn, x0 ∈ D, Q : D → [0, ∞] - измеримая относительно меры объема v функция и число r0 > 0 таково, что замкнутый шар B(x0, r0) лежит в некоторой нормальной окрестности U точки x0. Пусть также 0 < r1 < r2 < r0, A = A(r1, r2, x0) = {x ∈ Mn : r1 < d(x, x0) < r2}, Si = S(x0, ri), i = 1, 2, - геодезические сферы с центром в точке x0 и радиусов r1 и r2 соответственно, а Γ (S1, S2, A) обозначает семейство всех кривых, соединяющих S1 и S2 внутри области A. Зафиксируем p � 1 ∗ и условимся называть отображение f : D → Mn отображением в точке x0 ∈ D, если соотношение r ∗ (или f : D \ {x0} → Mn) кольцевым (p, Q)- Mp (f (Γ (S1, S2, A))) � A Q(x) · ηp(d(x, x0)) dv(x) (1.4) выполнено в кольце A для произвольных r1, r2, указанных выше, и для каждой измеримой функции η : (r1, r2) → [0, ∞] такой, что r2 r η(r)dr � 1. (1.5) r1 Отображения типа кольцевых (p, Q)-отображений были предложены к изучению О. Мартио и изучались им совместно с В. Рязановым, У. Сребро и Э. Якубовым, см. [19], а также [1, 14]. Пусть (X, d, μ) - метрическое пространство с метрикой d, наделенное локально конечной борелевской мерой μ. Следуя [16, раздел 7.22], будем говорить, что борелева функция ρ : X → [0, ∞] является верхним градиентом функции u : X → R, если для всех спрямляемых кривых γ, соединяющих точки P и Q из X, выполняется неравенство |u(P ) - u(Q)| � Г ρ ds, где, как обычно, γ Г ρ ds обозначает линейный интеграл от функции ρ по кривой γ. Будем также говорить, что в γ указанном пространстве X выполняется (1; p)-неравенство Пуанкаре, если найдутся постоянные C � 1 и τ > 0 такие, что для каждого шара B ⊂ X, произвольной ограниченной непрерывной функции u : X → R и любого ее верхнего градиента ρ выполняется следующее неравенство: ⎛ 1 r 1 r p ⎞1/p μ(B) B 1 r |u - uB |dμ(P ) � C · (diam B) ⎝ μ(τB) τB ρ dμ(P )⎠ , где uB := μ(B) B udμ(P ) и τB - шар полученный из B изменением радиуса в τ раз. Стоит заметить, что в пространстве Rn указанное неравенство выполнено для произвольного 1 � p < ∞ (см. комментарии на с. 610 в [13]). Метрическое пространство (X, d, μ) назовем Q�-регулярным по Альфорсу при некотором Q� � 1, если при каждом P0 ∈ X, некоторой постоянной C � 1 и произвольного R < diam X выполняется 1 RQ � μ(B(P0, R)) � CRQ . C Заметим, что локально римановы многообразия являются n-регулярными по Альфорсу (см. [1, лемма 5.1]). Следует также заметить, что если риманово многообразие Q�-регулярно по Альфорсу, то Q� = n (см. рассуждения на с. 61 в [16] о совпадении Q� с хаусдорфовой размерностью пространства X, а также [1, лемма 5.1] о совпадении топологической и хаусдорфовых размерностей областей риманова многообразия). Справедлива следующая ∗ Теорема 1.1. Пусть n � 2, p ∈ (n - 1, n], Mn - связно, является n-регулярным по Альфорсу, M кроме того, в n ∗ выполнено (1; p)-неравенство Пуанкаре. Пусть также D - область в Mn, BR ⊂ Mn - некоторый фиксированный шар радиуса R такой, что BR - компакт в Mn, K ⊂ ∗ ∗ ∗ M Mn - некоторый континуум, f : D \ {x0} → BR \ K - открытое дискретное кольцевое (p, Q)отображение в точке x0 ∈ D. Предположим, что Q ∈ FMO(x0). Тогда f имеет непрерывное продолжение f : D → BR (непрерывность понимается в смысле геодезического расстояния d∗ в n). ∗ Благодарности. Авторы выражают благодарность В. И. Рязанову и Р Р. Салимову за полезные советы и постоянное внимание к работе. Работа первого автора выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 16-01-00378) и Программы поддержки ведущих научных школ РФ (грант № НШ-7962.2016.1). Всюду далее 1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ЛЕММЫ S(x0, r) = {x ∈ Mn | d(x, x0) = r}, A(x0, r1, r2) = {x ∈ Mn | r1 < d(x, x0) < r2}, d(A) - геодезический диаметр множества A ⊂ Mn. Далее, если не оговорено противное, граница ∂D области D ⊂ Mn и замыкание D области D понимаются в смысле геодезического расстояния d. Перед тем, как мы приступим к изложению вспомогательных результатов и основной части данного раздела, дадим еще одно важное определение (см. [20, раздел 3, гл. II]). Пусть D - область риманова многообразия Mn, n � 2, f : D → Mn - отображение, β : [a, b) → Mn - некоторая ∗ ∗ кривая и x ∈ f -1 (β(a)) . Кривая α : [a, c) → D, c � b, называется максимальным поднятием кривой β при отображении f с началом в точке x0, если (1) α(a) = x0; (2) f ◦ α = β|[a, c); (3) если c < c× � b, то не существует кривой α× : [a, c×) → D, такой что α = α×|[a, c) и f ◦ α = β|[a, c∗). Имеет место следующее ∗ Предложение 2.1. Пусть Mn и Mn - римановы многообразия, n � 2, D - область в Mn, f : D → Mn - открытое дискретное отображение, β : [a, b) → Mn - кривая и точка x0 ∈ ∗ ∗ f -1 (β(a)) . Тогда кривая β имеет максимальное поднятие при отображении f с началом в точке x0. ∗ ∗ Доказательство. Зафиксируем точку x0 ∈ Mn и рассмотрим f (x0) ∈ Mn. Поскольку точка f (x0) принадлежит многообразию Mn, найдется окрестность V этой точки, гомеоморфная множеству ψ(V ) ⊂ Rn. В силу непрерывности отображения f найдется окрестность U точки x0 такая, что f (U ) ⊂ V. С другой стороны, не ограничивая общности, можно считать, что U гомеоморфна открытому множеству ϕ(U ) в Rn. Можно также считать, что ϕ(U ) и ψ(V ) являются областями в Rn, тогда f ∗ = ψ ◦ f ◦ ϕ -1 - открытое дискретное отображение между областями ϕ(U ) и ψ(V ) в Rn. Для таких отображений существование максимальных поднятий локально вытекает из соответствующего результата Рикмана в n-мерном евклидовом пространстве (см. [20, шаг 2 доказательства теоремы 3.2 гл. II]). Отсюда вытекает локальное существование максимальных поднятий и на многообразиях. Глобальное существование максимальных поднятий может быть установлено аналогично доказательству шага 1 указанной выше теоремы. ∗ Пусть Mn и Mn - римановы многообразия. Пусть A - открытое подмножество многообразия Mn, n � 2, а C - компактное подмножество A. Конденсатором будем называть пару множеств E = (A, C) . Пусть ΓE - семейство всех кривых вида γ : [a, b) → A таких, что γ(a) ∈ C и |γ|∩ (A \ F ) ⊕= ∅ для произвольного компакта F ⊂ A. При p � 1 p-емкостью конденсатора E называется следующая величина: capp E = Mp(ΓE ). Справедливо следующее утверждение (см. [13, предложение 4.7]). Предложение 2.2. Пусть X - Q�-регулярное по Альфорсу метрическое пространство с мерой, в котором выполняется (1; p)-неравенство Пуанкаре так, что Q� - 1 < p � Q�. Тогда для произвольных континуумов E и F, содержащихся в шаре B(x0, R), и некоторой постоянной C > 0 выполняется неравенство 1 min{diam E, diam F } Mp(Γ(E, F, X)) � C · R1+p . -Q Доказательство следующего утверждения для пространства Rn и p = n, сформулированного ранее даже в несколько более общей форме в терминах весового модуля, может быть найдено, например, в работе [9, лемма 5.1]. ∗ Лемма 2.1. Пусть n � 2,p � 1,D - область в Mn,f : D\{x0}→ Mn - кольцевое (p, Q)-отображение в точке x0 ∈ D. Предположим, что найдутся ε0 > 0 и измеримая по Лебегу функция ψ : (0, ε0) → [0, ∞] со следующим свойством. Для любого ε2 ∈ (0, ε0] найдется ε1 ∈ (0, ε2] такое, что 0 < I(ε, ε2) := ε2 r ψ(t)dt < ∞ (2.1) ε при всех ε ∈ (0, ε1) и, кроме того, при ε → 0 r ε<d(x,x0)<ε0 Q(x) · ψp(d(x, x0)) dv(x) = o (Ip(ε, ε0)) . (2.2) Если Γ - семейство всех кривых γ : (0, 1) → D \ {x0} таких, что γ(tk ) → x0 для некоторой последовательности tk → 0, γ(t) ⊕≡ x0, то Mp (f (Γ)) = 0. loc В частности, условие (2.1) автоматически выполнено, как только функция ψ ∈ L1 (0, ε0) удовлетворяет условию: ψ(t) > 0 при почти всех t ∈ (0, ε0). Доказательство. Можно считать, что шар B(x0, ε0) лежит в нормальной окрестности точки x0. Заметим, что ∞ Γ > 1 i=1 Γi, (2.3) где Γi - семейство таких кривых αi : (0, 1) → Mn, что αi(1) ∈ {0 < d(x, x0) = ri < ε0}, где ri - некоторая последовательность такая, что ri → 0 при i →∞ и αi(tk ) → x0 при k →∞ для той же самой последовательности tk → 0 при k → ∞. Зафиксируем i � 1. По соотношению (2.1) леммы найдется такое ε1 ∈ (0, ri], что I(ε, ri) > 0 при всех ε ∈ (0, ε1). Заметим, что при указанных ε > 0 функция η(t) = ( ψ(t)/I(ε, ri), t ∈ (ε, ri), 0, t ∈ R \ (ε, ri) удовлетворяет условию нормировки вида (1.5) в кольце A(x0, ε, ri) = {x ∈ Rn | ε< d(x, x0) < ri} и, следовательно, ввиду соотношения (1.4) (поскольку f является кольцевым (p, Q)-отображением в точке x0) Mp (f (Γ (S(x0, ε), S(x0, ri), A(x0, ε, ri)))) � r A(x0,ε,ri) Q(x) · ηp(d(x, x0)) dv(x) � Fi(ε), (2.4) где F (ε) = 1 i (I(ε, ri))p r ε<d(x,x0)<ε0 Q(x) ψp (d(x, x0)) dv(x). Принимая во внимание (2.2), получим, что Fi(ε) → 0 при ε → 0. Заметим, что при каждом ε ∈ (0, ε1) Γi > Γ (S(x0, ε), S(x0, ri), A(x0, ε, ri)) . (2.5) Таким образом, при каждом фиксированном i = 1, 2,... из (2.4) и (2.5) получаем, что Mp(f (Γi)) � Fi(ε) → 0 (2.6) при ε → 0 и каждом фиксированном i ∈ N. Однако, левая часть неравенства (2.6) не зависит от ε и, следовательно, Mp(f (Γi)) = 0. Наконец, из (2.3) и свойства полуаддитивности p-модуля (1.2) вытекает, что Mp(f (Γ)) = 0. Основным техническим утверждением, позволяющим получать результаты об устранимых особенностях открытых дискретных кольцевых (p, Q)-отображений в наиболее общей ситуации, является следующая лемма. ∗ Лемма 2.2. Пусть n � 2, n - 1 < p � n, Mn - связно, является n-регулярным по Альфор- M су, кроме того, в n ∗ выполнено (1; p)-неравенство Пуанкаре. Пусть также D - область в Mn, BR ⊂ Mn - некоторый фиксированный шар радиуса R такой, что BR - компакт в Mn, ∗ ∗ f : D \ {x0} → BR \ K - открытое дискретное кольцевое (p, Q)-отображение в точке x0 ∈ D n (K ⊂ BR - некоторый фиксированный континуум). Предположим, что существует ε0 > 0 и измеримая по Лебегу функция ψ : (0, ε0) → [0, ∞] со следующим свойством: для любого ε2 ∈ (0, ε0] найдется ε1 ∈ (0, ε2] такое, что при всех ε ∈ (0, ε1) выполнено соотношение (2.1) и, кроме того, при ε → 0 выполнено соотношение (2.2). Тогда f имеет непрерывное продолжение f : D → BR (непрерывность понимается в смысле геодезического расстояния d∗ в M∗ ). Доказательство. Можно считать, что B(x0, ε0) лежит в нормальной окрестности U точки x0. В частности, B(x0, ε0) - компакт в U. Предположим противное, а именно, что отображение f j не может быть продолжено по непрерывности в точку x0. Поскольку BR - компакт, то предельное множество C(f, x0) непусто. Тогда найдутся две последовательности xj и x ×, принадлежащие j B(x0, ε0)\{x0} , xj → x0, x × → x0, такие, что d∗ j (f (xj ), f (x ×) � a> 0 для всех j ∈ N. Не ограниj чивая общности рассуждений, можно считать, что xj и x × лежат внутри шара B(x0, ε0). Полагаем j rj = max Jd(xj, x0), d(x ×, x0) . Заметим, что при достаточно малых rj множество B(x0, rj ) \ {x0} является связным ввиду определения риманова многообразия Mn . В таком случае соединим точки j xj и x × замкнутой кривой, лежащей в B(x0, rj ) \ {x0} . Обозначим эту кривую символом Cj и рассмотрим конденсатор Ej = (B(x0, ε0) \ {x0} , Cj ) . В силу открытости и непрерывности отображения f пара f (Ej ) также является конденсатором. Рассмотрим семейства кривых ΓEj и Γf (Ej ). Пусть Γ ∗ - семейство всех максимальных поднятий семейства кривых Γf (E ) при отображении f j j с началом в Cj, лежащих в B(x0, ε0) \ {x0} . Заметим, что Γ ∗ ⊂ ΓE . Поскольку Γf (E ) > f (Γ ∗), мы получим: j j j j Mp (Γf (E ) � Mp f (Γ∗) � Mp f (ΓE ) . (2.7) j j j Заметим, что семейство ΓEj может быть разбито на два подсемейства: 1 ΓEj = ΓEj ∪ ΓEj2 , (2.8) 1 где ΓEj - семейство всех кривых α : [a, c) → B(x0, ε0) \ {x0} с началом в Cj таких, что найдется tk ∈ [a, c) : α(tk ) → x0 при tk → c - 0; ΓEj2 - семейство всех кривых α : [a, c) → B(x0, ε0) \ {x0} с началом в Cj таких, что найдется tk ∈ [a, c) : dist (α(tk ), ∂B(x0, ε0)) → 0 при tk → c - 0. В силу соотношений (2.7) и (2.8), j j1 Mp (Γf (E ) � Mp(f (ΓE 2 )) + Mp(f (ΓEj )). (2.9) 1 Заметим, что Mp(f (ΓEj )) = 0 ввиду леммы 2.1. Кроме того, заметим, что при достаточно больших ( ( 1 ( 1 J m ∈ N, ΓEj2 > Γ S(x0, rj ),S 1 x0, ε0 - m ,A x0, rj, ε0 - m . Рассмотрим теперь кольцо Aj = x ∈ m Mn | rj < d(x, x0) < ε0 - и семейство функций j 0 ( ψ(t)/I(r , ε - 1 , t ∈ (rj, ε0 - 1 ), Имеем: ηj (t) = m m m 0, t ∈ R \ (rj, ε0 - 1 ). m ε0- 1 r rj ηj (t)dt = 1 r , ε 1 I j 0 - m m ε0- 1 r rj ψ(t)dt = 1. Таким образом, по определению кольцевого (p, Q)-отображения в точке x0 и условию (2.9) мы получаем, что Mp(f (ΓEj )) � 1 m I(rj, ε0 - 1 )p r rj<d(x,x0)<ε0 Q(x) ψp (d(x, x0)) dv(x), откуда, переходя к пределу при m → ∞, получим соотношение 1 r Mp(f (ΓEj )) � S(rj ) := I(r ,ε )p Q(x) ψp (d(x, x0)) dv(x). j 0 rj<d(x,x0)<ε0 В силу условия (2.2), S(rj ) → 0 при j → ∞. Тогда ввиду (2.7) получаем, что j Mp (Γf (E ) → 0, j → ∞. (2.10) ∗ С другой стороны, рассмотрим семейство кривых Γf (Ej ) для конденсатора f (Ej ). Заметим, что подсемейство неспрямляемых кривых семейства Γf (Ej ) имеет нулевой модуль и что оставшееся подсемейство, состоящее из всех спрямляемых кривых семейства Γf (Ej ), состоит из кривых β : [a, b) → f (D \ {x0}), имеющих предел при t → b (здесь учтено, что BR - компакт в Mn). Заметим, что указанный предел принадлежит множеству ∂f (A), где A := B(x0, ε0) \ {x0} . Из сказанного следует, что Mp(Γf (Ej )) = Mp(Γ(f (Cj ), ∂f (A),f (A))). (2.11) M Поскольку многообразие n ∗ ∗ связно, семейство кривых Γ(K, f (Cj ), Mn) непусто. Кроме то- ∗ го, ввиду [2, теорема 1, § 46, п. I] произвольная кривая γ, соединяющая K и f (Cj ) в Mn, ∗ имеет подкривую, соединяющую ∂f (A) и f (Cj ) в f (A). Иными словами, Γ(K, f (Cj ), Mn) > Γ(∂f (A),f (Cj ),f (A)). Ввиду предложения 2.2 и того, что d∗ ния, мы получим: j (f (xj ), f (x ×) � a> 0 для всех j ∈ N ввиду предположе- ∗ Mp(Γ(f (Cj ), ∂f (A),f (A))) � Mp(Γ(f (Cj ), ∂f (A), Mn)) � ∗ 1 � Mp(Γ(f (Cj ), K, Mn)) � C min{diam f (Cj ), diam K} § R1+p-n � δ > 0. (2.12) ∗ Однако, неравенства (2.11) и (2.12) противоречат (2.10). Полученное противоречие опровергает предположение, что f не имеет предела при x → x0 в Mn. 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ Доказательство теоремы 1.1 сводится к утверждению леммы 2.2. Выберем в этой лемме 1 0 < ψ(t) = что t t ln 1 n/p . На основании [11, предложение 3] для указанной функции будем иметь, r r Q(x) · ψp(d(x, x0)) dv(x) = Q(x) dv(x) ( n = O d(x, x0) ln 1 ( 1 ln ln ε ε<d(x,x0)<ε0 ε<d(x,x0)<ε0 d(x,x0) 1 t при ε → 0. Заметим также, что при указанных выше ε выполнено ψ(t) � t ln 1 , поэтому I(ε, ε0) := ε0 r ψ(t) dt � ln ε ln 1 o . Тогда выполнено соотношение (2.2). Таким образом, все условия леммы 2.2 ε ln 1 0 выполнены и, значит, необходимое заключение вытекает из этой леммы. D Элементом площади гладкой поверхности H на римановом многообразии Mn будем называть выражение вида αβ dA = ;det g∗ du1 ... dun-1, αβ где g∗ - риманова метрика на H, порожденная исходной римановой метрикой gij согласно соотношению ∗ ∂xi ∂xj gαβ (u) = gij (x(u)) ∂uα ∂uβ . (3.1) Здесь индексы α и β меняются от 1 до n - 1, а x(u) обозначает параметризацию поверхности H такую, что ∇ux ⊕= 0. Справедливо следующее утверждение. ∗ Теорема 3.1. Пусть n � 2, p ∈ (n - 1, n], Mn - связно, является n-регулярным по Альфор- M су, кроме того, в n ∗ выполнено (1; p)-неравенство Пуанкаре. Пусть также D - область в Mn, BR ⊂ Mn - некоторый фиксированный шар радиуса R такой, что BR - компакт в Mn, ∗ ∗ ∗ K ⊂ Mn - некоторый континуум, f : D \ {x0} → BR \ K - открытое дискретное кольцевое (p, Q)-отображение в точке x0 ∈ D. Если при некотором δ(x0) > 0 выполняется равенство δ(x0) r dr n-1 1 = ∞, (3.2) x0 (r) o r p-1 q p-1 1 где qx0 (r) := rn-1 r S(x0,r) Q(x) dA, то f имеет непрерывное продолжение f : D → BR (непрерыв- n ность понимается в смысле геодезического расстояния d∗ в M∗ ). Доказательство. Достаточно показать, что условие (3.2) влечет выполнение условия (2.2) леммы 2.1. Можно считать, что B(x0, δ(x0)) лежит в нормальной окрестности точки x0. Рассмотрим функцию ⎧ 1 ⎨⎪ n-1 1 , t ∈ (r1, r2), x0 (t) ψ(t) = ⎪⎩ t p-1 q p-1 0, t ∈/ (r1, r2). Заметим теперь, что требование вида (2.1) выполняется при ε0 = δ(x0) и всех достаточно малых ε. Далее установим неравенство r ε<d(x,x0)<δ(x0) Q(x)ψp(d(x, x0)) dv(x) � C · δ(x0) r o t n-1 p-1 dt 1 x0 q p-1 (t) (3.3) при некоторой постоянной C > 0. Для этого покажем, что к левой части соотношения (3.3) применим аналог теоремы Фубини. Рассмотрим в окрестности точки x0 ∈ S(z0, r) ⊂ Rn локальную систему координат z1,..., zn, n - 1 базисных векторов которой взаимно ортогональны и лежат в плоскости, касательной к сфере в точке x0, а последний базисный вектор перпендикулярен этой плоскости. Пусть r, θ1,..., θn-1 - указанные координаты точки x = x(θ) в Rn. Заметим, что n - 1 приращений переменных z1,..., zn-1 вдоль сферы при фиксированном r равны dz1 = rdθ1,..., dzn-1 = rdθn-1, а приращение переменной zn по r равно dzn = dr. В таком случае det dv(x) = ; gij (x)rn-1 drdθ1 ... dθn-1. Рассмотрим параметризацию сферы S(0, r) x = x(θ), θ = (θ1,..., θn-1), θi ∈ (-π, π]. Заметим, что ∂xα/∂θβ = r при α = β и ∂xα/∂θβ = 0 при α ⊕= β, α, β = 1,...,n - 1. Тогда в обозначениях αβ соотношения (3.1) имеем: g∗ (θ) = gαβ (x(θ))r2, ; Заметим, что 1 r dA = p det gαβ (x(θ))rn-1dθ1 ... dθn-1. n-1 1 = Q(x)ψ (d(x, x0)) dA = x0 (r) r p-1 q p-1 S(x0,r) r = ψp(r)rn-1 · Π ; det gαβ (x(θ))Q(x(θ)) dθ1 ... dθn-1, (3.4) где Π = (-π, π]n-1 - прямоугольная область изменения параметров θ1,..., θn-1. Напомним, что в нормальной системе координат геодезические сферы переходят в обычные сферы того же радиуса с центром в нуле, а пучок геодезических, исходящих из точки многообразия, переходит в пучок радиальных отрезков в Rn (см. [17, леммы 5.9 и 6.11]), так что кольцу {x ∈ Mn | ε < d(x, x0) < δ(x0)} соответствует та часть Rn, в которой r ∈ (ε, δ(x0)). Согласно сказанному выше, применяя классическую теорему Фубини (см., например, [7, раздел 8.1, гл. III]), δ(x0) r ε<d(x,x0)<δ(x0) r Q(x)ψp(d(x, x0)) dv(x) = ε r ; det gij (x)Q(x)ψp(r)rn-1 dθ1 ... dθn-1dr. (3.5) Π Поскольку в нормальных координатах тензорная матрица gij сколь угодно близка к единичной в окрестности данной точки, то C2 det gαβ (x) � det gij (x) � C1 det gαβ (x). Учитывая сказанное и сравнивая (3.4) и (3.5), приходим к соотношению (3.3). Но тогда также r ε<d(x,x0)<δ(x0) Q(x)ψp(d(x, x0))dv(x) = o(Ip(ε, δ(x0))) ввиду соотношения (3.2). Утверждение теоремы следует теперь из леммы 2.2.