On Some Problems Generated by a Sesquilinear Form

Abstract

Based on the generalized Green formula for a sesquilinear nonsymmetric form for the Laplace operator, we consider spectral nonself-adjoint problems. Some of them are similar to classical problems while the other arise in problems of hydrodynamics, diffraction, and problems with surface dissipation of energy. Properties of solutions of such problems are considered. Also we study initial-boundary value problems generating considered spectral problems and prove theorems on correct solvability of such problems on any interval of time.

Full Text

ВВЕДЕНИЕ Данная работа является подробным изложением докладов авторов на международных конференциях в Абрау-Дюрсо и Ласпи-Батилимане (см. [22, 23], а также [17, гл. 6]). Исходным толчком, побудившим авторов заняться исследованиями спектральных и начально-краевых задач в липшицевых областях, стали работы М. С. Аграновича (см. [1, 2, 37, 38]) и его лекции в ежегодной Крымской осенней математической школе в Батилимане. Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2017 278 Общие подходы, которые применялись при исследовании этих задач, побуждали рассматривать их на базе абстрактной формулы Грина для тройки гильбертовых пространств или полуторалинейных форм, а также на базе соответствующих обобщенных формул Грина для конкретных пространств, возникающих в задачах математической физики (см. [10, 11, 14, 16, 17]). В данной работе рассматриваются несамосопряженные спектральные и начально-краевые задачи, порожденные обобщенной формулой Грина для оператора Лапласа. Общие построения, проведенные здесь, могут быть применены и к другим задачам, в частности, к задачам гидродинамики, теории упругости, дифракции и т. д., а также для аналогичных абстрактных задач, порожденных абстрактной формулой Грина для полуторалинейных форм. В первом разделе напоминаются общие положения, связанные с выводом абстрактной формулы Грина для ограниченных и равномерно аккретивных полуторалинейных форм. Во втором разделе формулируется постановка задачи на базе обобщенной формулы Грина для оператора Лапласа. Рассматриваются слабые решения полной краевой задачи Неймана-Ньютона, приводится общая формула для ее решения (см. (2.32)) с помощью операторов двух вспомогательных краевых задач. В третьем разделе рассматриваются несамосопряженные спектральные задачи, близкие к классическим задачам Дирихле, Неймана-Ньютона, Стеклова, Стефана. Для этих задач доказываются теоремы о структуре спектра, свойствах корневых (собственных и присоединенных) функций, о локализации спектра в комплексной области. Наконец, аналогичные вопросы исследуются для других классов возмущенных спектральных задач. Это задачи С. Крейна, Аграновича, Чуешова. В четвертом разделе изучаются начально-краевые задачи, порожденные полуторалинейной формой для оператора Лапласа и порождающие спектральные задачи третьего раздела. Для этих задач доказываются теоремы существования сильных по времени решений, указываются классы функций, в которых выполняются уравнения и граничные условия задачи. Данная работа написана при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 1421-00066, выполняемый в Воронежском университете). 52. ОБ АБСТРАКТНОЙ ФОРМУЛЕ ГРИНА ДЛЯ ТРОЙКИ ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ И ПОЛУТОРАЛИНЕЙНЫХ ФОРМ 1. Формула Грина для тройки гильбертовых пространств. Пусть F и E - гильбертовы пространства со скалярными произведениями (·, ·)F и (·, ·)E соответственно, причем F плотно вложено в E, т. е. F - плотное линейное подмножество в E и существует константа a > 0 такая, что u E � a u F ∀ u ∈ F. (1.1) Говорят, что пространства F и E с указанными свойствами образуют гильбертову пару (F ; E), и обозначают это символом F '→ E. По любой паре (F ; E) единственным образом определяется порождающий оператор A гильбертовой пары, который обладает следующими свойствами: (u, v)F = (A1/2u, A1/2v)E = ∓u, Av⊕E ∀ u, v ∈ F. (1.2) Здесь ∓u, Av⊕E - значение функционала Av ∈ F ∗ на элементе u ∈ F, D(A) = F, R(A) = F ∗. Пусть теперь {E, (·, ·)E }, {F, (·, ·)F }, {G, (·, ·)G} - сепарабельные гильбертовы пространства с введенными в них скалярными произведениями. Будем считать, что для этой тройки пространств выполнены следующие условия: 1◦. Плотность вложения: F '→ E, ||u||E � a||u||F ∀ u ∈ F. 2◦. На F задан оператор γ, называемый оператором следа и действующий из F в G, причем γ : F → R(γ) =: G+ '→ G, ||γu||G � b||u||F ∀ u ∈ F. 3◦. Ядро оператора γ ker γ =: N '→ E, u E � c u F ∀ u ∈ F. Типичным примером, когда выполнены условия 1◦-3◦, является тройка пространств E = L2(Ω), F = H1(Ω), G = L2(Γ), Γ := ∂Ω, где Ω ⊂ Rm - область с липшицевой границей. При этом 0 γu := u|Γ ∀ u ∈ H1(Ω), ker γ = H1(Ω). (1.3) Теорема 1.1 (см. [16]). Пусть для тройки пространств E, F и G (с введенными на них скалярными произведениями) и для оператора следа γ выполнены условия 1◦-3◦. Тогда существуют абстрактное дифференциальное выражение Lu ∈ F ∗ и абстрактная производная по внешней нормали ∂u ∈ (G+)∗ такие, что имеет место абстрактная формула Грина (аналог первой формулы Грина для оператора Лапласа) (η, u)F = ∓η, Lu⊕E + ∓γη, ∂u⊕G ∀ η, u ∈ F. (1.4) При этом ∂u по элементам u ∈ F и Lu ∈ F ∗ определяются однозначно. Замечание 1.1. В приложениях дифференциальное выражение Lu ∈ F ∗, как правило, определено из физического смысла задачи, а тогда и производная по внешней нормали ∂u ∈ (G+)∗ также определена однозначно. Обсуждение этой задачи см. в [42], а также в [16]. Замечание 1.2. Классическим примером, когда в качестве дифференциального выражения выбрано Lu := u - Δu, u ∈ H1(Ω), является обобщенная формула Грина для оператора Лапласа (Ω ⊂ Rm - область с липшицевой границей): r (η, u)H1(Ω) := Ω ∂u (ηu¯ + ∇η · ∇u¯) dΩ = ∓η, u - Δu⊕L2(Ω) + ∓γη, ∂n ⊕L2(Γ) ∀ η, u ∈ H1(Ω), (1.5) ∂n u - Δu ∈ (H1(Ω))∗, γη ∈ H1/2(Γ), ∂u = ∂u ∈ H-1/2(Γ). 2. Полуторалинейные ограниченные формы. Функцию Φ(η, u) : F × F → C, определенную на комплексном гильбертовом пространстве F, называют полуторалинейной формой, если она линейна по η и антилинейна по u: Φ(c1η1 + c2η2, u) = c1Φ(η1, u)+ c2Φ(η2, u), Φ(η, c1u1 + c2u2) = c¯1Φ(η, u1)+ c¯2Φ(η, u2). Простейшим примером полуторалинейной формы на F является скалярное произведение (η, u)F . Полуторалинейная форма называется ограниченной на F, если |Φ(η, u)| � c1 η F · u F ∀ η, u ∈ F, c1 > 0. (1.6) Будем далее считать, что имеется гильбертова пара пространств (F ; E), а потому имеет место и оснащение F '→ E '→ F ∗. Каждой ограниченной форме Φ(η, u) однозначно отвечает линейный ограниченный оператор A : F → F ∗, с помощью которого форма допускает представление Φ(η, u) = ∓η, Au⊕E ∀ η, u ∈ F, A F →F ∗ � c1. (1.7) Форма Φ∗(η, u) := Φ(u, η) (1.8) называется сопряженной к форме Φ(η, u). Если выполнено условие Φ∗(η, u) = Φ(η, u) ∀ η, u ∈ F, (1.9) то форма Φ(η, u) называется эрмитовой или симметрической. Сопряженной форме Φ∗(η, u) однозначно отвечает сопряженный ограниченный оператор A∗ : F → F ∗: Φ∗(η, u) = ∓η, A∗u⊕E. (1.10) Эрмитовой (симметрической) форме отвечает самосопряженный оператор, действующий из F на F ∗: Φ(η, u) = ∓η, Au⊕E = Φ∗(η, u) = Φ(u, η) = ∓u, Aη⊕E ∀ η, u ∈ F. (1.11) Для простейшего примера ограниченной полуторалинейной формы Φ0(η, u) = (η, u)F получаем, что оператором этой формы является оператор A гильбертовой пары (F ; E), который самосопряжен в смысле определения (1.11), причем норма этого оператора равна единице. Форма Φ(η, u) и отвечающий ей оператор A называются равномерно аккретивными (сильно коэрцитивными) в пространстве F, если F Re Φ(u, u) = Re ∓u, Au⊕E � c2 u 2 , c2 > 0 ∀ u ∈ F. (1.12) (Это соотношение иногда называют также усиленным неравенством Гординга.) Равномерно аккретивная форма является ограниченной снизу: F |Φ(u, u)| � c2 u 2 c2 > 0 ∀ u ∈ F. (1.13) Лемма 1.1 (Лакс, Мильграм, см., например, [42]). Ограниченный на F равномерно аккретивный оператор A : F → F ∗, отвечающий форме Φ(η, u), имеет ограниченный обратный оператор A-1 : F ∗ → F, →F A-1 F ∗ 2 � c-1. (1.14) Пусть ограниченная и равномерно аккретивная форма Φ(η, u) является несимметрической: Φ(η, u) = Φ∗(η, u). (1.15) Введем в рассмотрение симметрические формы: 1 ΦR(η, u) := 2 l Φ(η, u)+ Φ∗(η, u) R = Φ∗ (η, u), (1.16) 1 ΦI (η, u) := 2i l Φ(η, u) - Φ∗(η, u) I = Φ∗(η, u), называемые вещественной и мнимой частями формы Φ(η, u), так как Φ(η, u) = ΦR(η, u)+ iΦI (η, u). (1.17) Для ΦR(η, u) имеем неравенства F c2 u 2 F0 � ΦR(u, u) = Re Φ(u, u) =: u 2 F � c1 u 2 ∀ u ∈ F. (1.18) Отсюда следует, что в пространстве F можно ввести норму u F0 , эквивалентную норме u F , а также соответствующее скалярное произведение. Тогда возникает гильбертова пара пространств (F0; E). Обозначим через A0 оператор гильбертовой пары. Для него имеем тождество 1/2 1/2 (η, u)F0 = (A0 η, A0 u)E = ∓η, A0u⊕E ∀ η, u ∈ F0 = F. (1.19) Для ΦI (η, u) в силу предыдущего имеем оценку |ΦI (η, u)| � |Φ(η, u)| � c1 η F · u F � c1c-1 η F u F = 2 0 0 (1.20) = c1c-1 A1/2η E · A1/2u E ∀ η, u ∈ F0 = F. 2 0 0 Отсюда в силу симметричности ΦI (η, u) выводится (см. [16, 25]), что ΦI (η, u) = (QA1/2η, A1/2u)E = (A1/2η, QA1/2u)E , 0 0 0 0 (1.21) откуда следует представление ∀ η, u ∈ F, Q = Q∗ ∈ L(E), A = A1/2 1/2 а также 0 0 (I - iQ)A0 , A ∈ L(F0,F ∗), (1.22) A-1 = A-1/2 -1/2 0 0 (I - iQ)-1A0 , A-1 ∈ L(F ∗, F0). (1.23) 3. Абстрактная формула Грина для полуторалинейных форм. Представление (1.22) для оператора A формы Φ(η, u) позволяет получить обобщение обсуждавшегося в пункте 1.1 варианта, когда имелась тройка пространств E, F и G, а также оператор следа γ. Именно, теперь можно рассмотреть случай, когда вместо пространства F с введенным на нем скалярным произведением (η, u)E = Φ0(η, u) имеется форма Φ(η, u), удовлетворяющая в пространстве F общим условиям (1.6) и (1.12). Соответствующую формулу Грина назовем абстрактной формулой Грина для полуторалинейной формы Φ(η, u). Итак, пусть выполнены условия 1◦-3◦, а также условия (1.6) и (1.12). Тогда для пространства F0 = F с нормой (1.18) и соответствующим скалярным произведением Φ0(η, u) := (η, u)F0 = ΦR(η, u) (1.24) имеет место абстрактная формула Грина Φ0(η, u) = ∓η, L0u⊕E + ∓γη, ∂0u⊕G ∀ η, u ∈ F0. (1.25) При этом F0 = N0 ⊕ M0, N0 = ker γ, M0 := ker L0, (1.26) 0 а L0u и ∂0u - абстрактное дифференциальное выражение и производная по внешней нормали, причем ∂0u однозначно определяется по u ∈ F0 и выбранному L0u ∈ F ∗. Наша цель - получить такую формулу Грина для формы Φ(η, u), которая бы имела вид, близкий к (1.25), и при Q → 0 (см. (1.21), (1.22)), когда Φ(η, u) → Φ0(η, u) = ΦR(η, u), переходила бы в формулу (1.25). Иными словами, желательно получить формулу Грина с непрерывной зависимостью от Q = Q∗ ∈ L(E). При таком построении теперь вместо ортогонального разложения (1.26) для несимметрической формы Φ(η, u) следует воспользоваться прямым разложением F0 = N0 ⊕ M0 = N (+)M, N = N0 = ker γ, M := ker L, (1.27) где Lu - дифференциальное выражение, отвечающее форме Φ(η, u). Теорема 1.2 (см. [16]). Пусть выполнены условия 1◦-3◦ пункта 1.1, а также условия (1.6) и (1.12). Пусть, кроме того, подпространства N и M из (1.27) выбраны таким образом, чтобы Φ(η, u) = 0 ∀ η ∈ N = N0 = ker γ ∀ u ∈ M = ker L. (1.28) Тогда имеет место следующая формула Грина: Φ(η, u) = ∓η, Lu⊕E + ∓γη, ∂u⊕G ∀ η, u ∈ F0 = F, (1.29) 0 Lu ∈ F ∗, ∂u ∈ (G+)∗, 0 причем ∂u определяется по элементам u ∈ F0 и Lu ∈ F ∗ однозначно. Замечание 1.3. При доказательстве теоремы 1.2 в [16] установлено также, что при Q → 0 (см. (1.22)) дифференциальное выражение Lu переходит в L0u из (1.25), а потому и ∂u переходит в ∂0u. Кроме того, подпространство M из (1.27) переходит в M0 = ker L0, а прямая сумма из (1.27) переходит в ортогональную сумму подпространств N0 и M0. Заметим еще, что при условии (1.28) косые проекторы на подпространства (1.27) однозначно выражаются через ортопроекторы из (1.26) и при Q → 0 переходят в них. 53. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ, ПОРОЖДЕННЫЕ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНОЙ НЕСИММЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМОЙ НА ОСНОВЕ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА 1. Формула Грина для невозмущенной задачи. Рассмотрим тройку гильбертовых пространств E = L2(Ω), F = H1(Ω), G = L2(Γ), Γ := ∂Ω, и обычный оператор следа γu := u |Γ, где Ω ⊂ Rm - область с липшицевой границей. Тогда, как было установлено выше, в этом случае имеет место следующая обобщенная формула Грина, порожденная оператором Лапласа: r (η, u)H1(Ω) := Ω ∂u (ηu¯ + ∇η · ∇u¯) dΩ = ∓η, u - Δu⊕L2(Ω) + ∓γη, ∂n ⊕L2(Γ) ∀ η, u ∈ H1(Ω), (2.1) ∂n u - Δu ∈ (H1(Ω))∗, γη ∈ H1/2(Γ), ∂u ∈ H-1/2(Γ). (2.2) Здесь слева в (2.1) стоит скалярное произведение в H1(Ω), и оно является симметрической полуторалинейной формой в H1(Ω) : Φ0(η, u) := (η, u)H1(Ω). На основе этой формулы Грина можно исследовать слабые решения классических краевых задач для оператора Лапласа, т. е. задачи Дирихле, Неймана и другие, а также соответствующие спектральные и начально-краевые задачи. Целью дальнейших рассмотрений является исследование подобных задач в несимметрическом случае, когда вместо скалярного произведения (η, u)H1(Ω) = Φ0(η, u) имеется полуторалинейная несимметрическая форма Φε(η, u), определенная на пространстве H1(Ω), ограниченная на нем и являющаяся равномерно аккретивной. Параметр ε ∈ R будет введен для удобства дальнейших рассмотрений, причем все изучаемые задачи при ε → 0 будут переходить в задачи, отвечающие соответствующим невозмущенным задачам. Отметим еще, что в (2.1) дифференциальное выражение имеет вид L0u = u -Δu, а производная по внешней нормали ∂0u := (∂u/∂n)Γ. 2. О формуле Грина для возмущенной задачи. Рассмотрим дифференциальное выражение m Lεu := u - Δu + ε , ck k=1 ∂u ∂xk , ck ∈ R, k = 1, m, ε ∈ R, (2.3) а также соответствующую обобщенную формулу Грина для полуторалинейной формы. Как было видно из предыдущих рассмотрений, и дифференциальное выражение, и вид полуторалинейной формы можно выбирать неоднозначно, а краевые, спектральные и начально-краевые задачи затем формулировать на основе этой выбранной формулы Грина. При дальнейшем рассмотрении задач, основываясь на тождествах r ∂u¯ η ∂xk Ω r dΩ = - Ω ∂η ∂xk r u¯dΩ+ Γ cos(_n---, _ek )ηu¯ dΓ ∀ η, u ∈ H1(Ω) (2.4) и учитывая вид Lεu из (2.3), на основе формулы (2.1) приходим к выводу, что имеет место следующая обобщенная формула Грина для полуторалинейной формы: m Φε(η, u) := (η, u)H1(Ω) + 2ε , ck η, ∂u ∂η l - ,u = k=1 ∂xk L2(Ω) 1 ∂xk L2(Ω) (2.5) = ∓η, Lεu⊕L2(Ω) + ∓γη, ∂εu⊕L2(Γ) ∀ η, u ∈ H m (Ω), ∂εu := ∂0u - εσγu, σ := , ck cos(_n---, _ek ), ∂εu ∈ H-1/2(Γ), (2.6) k=1 где Lεu ∈ (H1(Ω))∗ - дифференциальное выражение (2.3), а ∂0u := (∂u/∂n)Γ. Все дальнейшие задачи будем формулировать на базе этой формулы Грина. Отметим еще, что Lεu = L0u + L1u, где L1u - дифференциальное выражение первого порядка, в то время как L0u = u - Δu - дифференциальное выражение второго порядка. Проверим, что полуторалинейная форма Φε(η, u) из (2.5) ограничена в H1(Ω) и равномерно аккретивна. Имеем ∂u ∂η ∂u η, ∂xk - L2(Ω) ,u ∂xk L2(Ω) k � η L2(Ω) · ∂x L2(Ω)+ (2.7) Поэтому ∂η k + ∂x L2(Ω) · u L2(Ω) � 2 η H1(Ω) · u H1(Ω). ( m \ , Φε(η, u) � c˜1 η H1(Ω) · u H1(Ω), c˜1 = 1+ 4|ε| k=1 |ck | , (2.8) т. е. Φε(η, u) ограничена в H1(Ω). Далее, сопряженная форма имеет вид m Φ∗(η, u) = Φ(u, η) = (η, u)H1(Ω) - 2ε , ck η, k=1 ∂u ∂xk L2(Ω) ∂η - ∂xk ,u L2(Ω) l . (2.9) Отсюда и из (2.5) получаем, что 1 l 2 ε Re Φε(u, u) = 2 Φε(u, u)+ Φ∗(u, u) = (u, u) H1(Ω) = u H1(Ω) , (2.10) т. е. Φε(u, u) равномерно аккретивна в H1(Ω) с константой c2 = 1. Тогда из общей теории таких полуторалинейных форм следует, во-первых, что форме Φε(η, u) однозначно отвечает оператор Aε : H1(Ω) → (H1(Ω))∗, связанный с формой соотношениями Φε(η, u) = ∓η, Aεu⊕L2(Ω) ∀ η, u ∈ H 1(Ω), Aεu ∈ (H 1(Ω))∗, (2.11) а во-вторых, этот оператор имеет ограниченный обратный A-1 o : (H 1(Ω))∗ 1 → H (Ω) (2.12) (теорема Лакса-Мильграма). Заметим еще, что пространство L2(Ω) имеет оснащение H1(Ω) '→'→ L2(Ω) '→'→ (H1(Ω))∗ (2.13) (с компактными вложениями левых пространств в правые). Отметим, наконец, что связь оператора Aε, отвечающего форме Φε(η, u), и оператора A0, отвечающего невозмущенной форме Φ0(η, u) = (η, u)H1(Ω), будет выяснена ниже. 3. Краевые задачи, порожденные несимметрической формой. Рассмотрим теперь краевые задачи, отвечающие формуле Грина (2.5), (2.6) и связанные с дифференциальным выражением Lεu из (2.3). 1◦. Первая краевая задача Неймана-Ньютона. Эта задача соответствует уравнению Пуассона для дифференциального выражения Lεu и однородному условию Неймана-Ньютона (аналог первой вспомогательной задачи С. Крейна): Lεv = f (в Ω), ∂εv = 0 (на Γ), (2.14) m Lεv := v - Δv + ε , ck k=1 ∂v ∂xk , ∂εv := ∂0v - εσγv. (2.15) Будем изучать слабые решения этой задачи, считая, что искомая функция v ∈ H1(Ω), и используя формулу Грина (2.5). Определение 2.1. Слабым решением задачи (2.14), (2.15) назовем такую функцию v = vε(x) ∈ H1(Ω), для которой выполнено тождество Φε(η, v) = ∓η, f ⊕L2(Ω) ∀ η ∈ H 1(Ω). (2.16) Теорема 2.1. Задача (2.14), (2.15) имеет слабое решение v = vε ∈ H1(Ω) тогда и только тогда, когда выполнено условие Это решение выражается формулой f ∈ (H1(Ω))∗. (2.17) ε vε = A-1f, Aε ∈L (H1(Ω); (H1(Ω))∗), (2.18) где Aε - оператор полуторалинейной формы Φε(η, u) (см. (2.11)). Доказательство. Заметим сначала, что правая часть в (2.16) является линейным ограниченным функционалом в H1(Ω) тогда и только тогда, когда выполнено условие (2.17). Далее, любой линейный ограниченный функционал относительно η ∈ H1(Ω) выражается не только в виде скалярного произведения (η, v∗)H1(Ω) (теорема Ф. Рисса), но также и в виде Φε(η, vε), т. е. существует единственный элемент vε ∈ H1(Ω), для которого выполнено тождество (2.16), если f ∈ (H1(Ω))∗. Однако в силу свойства (2.11) тогда будем иметь Φε(η, vε) = ∓η, Aεvε⊕L2(Ω) = ∓η, f ⊕L2(Ω) ∀ η ∈ H 1(Ω). (2.19) Отсюда получаем, что Aεvε = f, и так как Aε имеет ограниченный обратный (см. (2.12)), приходим к выводу, что имеет место формула (2.18), где Aε - оператор полуторалинейной формы Φε(η, u). 2◦. Вторая краевая задача Неймана-Ньютона. В этой задаче имеем однородное уравнение в Ω и неоднородное условие Неймана-Ньютона на Γ = ∂Ω: Lεw = 0 (в Ω), ∂εw = ψ (на Γ). (2.20) Определение 2.2. Слабым решением задачи (2.20) назовем такую функцию w = wε ∈ H1(Ω), для которой выполнено тождество Φε(η, w) = ∓γη, ψ⊕L2(Γ) ∀ η ∈ H 1(Ω). (2.21) Теорема 2.2. Задача (2.20) имеет слабое решение w ∈ H1(Ω) тогда и только тогда, когда выполнено условие Это решение дается формулой ψ ∈ H-1/2(Γ). (2.22) h,ε w = wε = Vεψ, Vε ∈L (H-1/2(Γ); H1 (Ω)), (2.23) H1 h,ε(Ω) := {w ∈ H 1(Ω) : Lεw = 0} = ker Lε. (2.24) Доказательство. Проверим, что правая часть в (2.21) является линейным ограниченным функционалом в H1(Ω) (относительно η) тогда и только тогда, когда выполнено условие (2.22). Действительно, из теоремы Гальярдо (см. [41]) имеем оценку γη H1/2(Γ) � c1 η H1(Ω) ∀ η ∈ H1(Ω). (2.25) Поэтому 1 . (2.26) 2 ∓γη, ψ⊕ L (Γ)� γη H1/2(Γ) · ψ H-1/2(Γ) � (c1 ψ H-1/2(Γ)) · η H (Ω) Здесь при выводе был использован также факт наличия оснащения H1/2(Γ) '→'→ L2(Γ) '→'→ H-1/2(Γ), (2.27) который имеет место для областей Ω ⊂ Rm с липшицевой границей Γ = ∂Ω. Итак, поскольку правая часть в (2.21) - линейный ограниченный функционал в H1(Ω), то найдется единственный элемент w = wε ∈ H1(Ω) такой, что этот функционал имеет вид Φε(η, wε), т. е. выполнено тождество (2.21). Решение wε находится однозначно по элементу ψ, поэтому wε = Vεψ, где Vε - линейный ограниченный оператор, действующий из H-1/2(Γ) в H1(Ω). h,ε Покажем, что область значений оператора Vε дает все пространство H1 (Ω) из (2.24). В самом 0 деле, из общей теории абстрактной формулы Грина для полуторалинейных форм, а также из (2.5) при η ∈ H1(Ω) = ker γ следует, что Φε(η, wε) = 0 тогда и только тогда, когда Lεwε = 0, т. е. h,ε wε ∈ H1 (Ω) = ker Lε. Иными словами, имеет место прямое разложение H1(Ω) = H1(Ω)(+)H1 (Ω). (2.28) 0 h,ε Однако при η ∈ H1(Ω) из (2.21) имеем Φε(η, wε) = 0, и тогда Lεwε = 0, т. е. wε ∈ H1 (Ω). 0 h,ε Значит, оператор Vε, wε = Vεψ, действует из H-1/2(Γ) на H1 h,ε (Ω) ограниченным образом, т. е. h,ε имеет место свойство Vε ∈L (H-1/2(Γ); H1 (Ω)). 3◦. Полная краевая задача Неймана-Ньютона. Эта задача отвечает неоднородному уравнению Пуассона в Ω и неоднородному условию Неймана-Ньютона на Γ = ∂Ω: Lεu = f (в Ω), ∂εu = ψ (на Γ), (2.29) Определение 2.3. Слабым решением задачи (2.29) назовем такую функцию u ∈ H1(Ω), для которой выполнено тождество Φε(η, u) = ∓η, f ⊕L2(Ω) + ∓γη, ψ⊕L2(Γ) ∀ η ∈ H следующее из формулы Грина (2.5) и уравнений (2.29). 1(Ω), (2.30) Опираясь на решения задачи (2.14), (2.15), а также задачи (2.20), приходим к следующему выводу. Теорема 2.3. Задача (2.29) имеет слабое решение u = uε ∈ H1(Ω) тогда и только тогда, когда выполнены условия (2.17) и (2.22): f ∈ (H1(Ω))∗, ψ ∈ H-1/2(Γ). (2.31) При этом оно представляется в виде ε uε = vε + wε = A-1f + Vεψ, (2.32) ε где A-1 и Vε - операторы, описанные в теоремах 2.1 и 2.2 соответственно. Доказательство. Введем функции vε и wε как слабые решения задач (2.14), (2.15) и (2.20). Опираясь на формулировки их слабых решений (см. (2.16), (2.21)), получим с учетом (2.30) для u˜ε := vε + wε тождество Φε(η, u˜ε) = ∓η, f ⊕L2(Ω) + ∓γη, ψ⊕L2(Γ) =: Φε(η, uε) ∀ η ∈ H Отсюда следует, что 1(Ω). (2.33) Φε(η, uε - u˜ε) = 0 ∀ η ∈ H1(Ω), и потому uε = u˜ε := vε + wε, т. е. имеет место формула (2.32). Таким образом, слабое решение полной краевой задачи Неймана-Ньютона есть сумма слабых решений задач пунктов 1◦ и 2◦, разобранных выше. 4◦. Однородная задача Дирихле для уравнения Пуассона. Рассмотрим теперь задачу m Lεu := u - Δu + ε , ck k=1 ∂u ∂xk = f (в Ω), γu := u|Γ = 0 (на Γ) (2.34) 0 Будем разыскивать ее слабое решение, считая, что искомая функция u = uε(x) ∈ H1(Ω), H1 0 (Ω) := {u ∈ H 1(Ω) : γu = 0 (на Γ)}. (2.35) 0 Для функций из H1(Ω) формула Грина (2.5) принимает вид 1 Φ0,ε(η, u) = ∓η, Lεu⊕L2(Ω) ∀ η, u ∈ H0 (Ω). (2.36) 0 0 При этом сужение Φ0,ε(η, u) полуторалинейной формы Φε(η, u) с H1(Ω) на H1(Ω) ⊂ H1(Ω) обладает теми же общими свойствами, которыми она обладала на всем H1(Ω): после такого сужения Φ0,ε(η, u) снова является ограниченной и равномерно аккретивной формой в H1(Ω). Отметим еще, что пространство L2(Ω) имеет оснащение H1 1 ∗ 0 (Ω) '→'→ L2(Ω) '→'→ (H0 (Ω)) . (2.37) Из этих свойств следует, что форме Φ0,ε(η, u) отвечает оператор A0,ε ∈ L(H1(Ω); (H1(Ω))∗), 0 0 который дает связь, аналогичную (2.11): 1 Φ0,ε(η, u) = ∓η, A0,εu⊕L2(Ω) ∀ η, u ∈ H0 (Ω). (2.38) 0 Определение 2.4. Слабым решением задачи (2.34) назовем такую функцию u = u0,ε ∈ H1(Ω), для которой выполнено тождество 1 следующее из (2.36) и (2.34). Φ0,ε(η, u) = ∓η, f ⊕L2(Ω) ∀ η ∈ H0 (Ω), (2.39) 0 Теорема 2.4. Задача (2.34) имеет слабое решение u = uε ∈ H1(Ω) тогда и только тогда, когда выполнено условие: В этом случае 0 f ∈ (H1(Ω))∗. (2.40) uε = A-1f, A-1 ∈L ((H1(Ω))∗; H1(Ω)). (2.41) 0,ε 0,ε 0 0 0 H1 Доказательство. Оно в точности повторяет доказательство теоремы 2.1 с заменами H1(Ω) 1→ 0 (Ω), Aε 1→ A0,ε и с учетом того факта, что правая часть в (2.39) является линейным ограниченным функционалом относительно η в H1(Ω) тогда и только тогда, когда выполнено условие (2.40). При этом вместо (2.11) используется формула (2.38). 54. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ, ПОРОЖДЕННЫЕ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНОЙ ФОРМОЙ В этом разделе изучаются несамосопряженные спектральные задачи, порожденные полуторалинейной формой Φε(η, u) из (2.5), а также разобранными в пункте 2.3 краевыми задачами и некоторыми новыми задачами. 0. Спектральная задача Дирихле. Если в краевой задаче Дирихле (2.34) положить f = λu, то придем к задаче m Lεu := u - Δu + ε , ck k=1 ∂u ∂xk = λu (в Ω), u = 0 (на Γ = ∂Ω). (3.1) Здесь снова ck ∈ R, k = 1, m, ε ∈ R, а λ ∈ C - спектральный параметр. Исследование этой задачи будем проводить методами теории самосопряженных и несамосопряженных операторов, действующих в гильбертовом пространстве, в данном случае - в комплексном пространстве L2(Ω). При этом для простоты изложения будем считать границу области Γ = ∂Ω принадлежащей классу C2, т. е. дважды непрерывно дифференцируемой. Введем в рассмотрение оператор A0, действующий в L2(Ω) по закону 0 A0u := u - Δu, u ∈ D(A0) := H1(Ω) ∩ H2(Ω). (3.2) Опираясь на известные методы (см. [12, 32, 33]), можно доказать, что оператор A0, заданный на области определения D(A0) из (3.2), является неограниченным самосопряженным положительно определенным оператором, действующим в L2(Ω). При этом его квадратичная форма 2 r 2 2 2 0 (Ω) (A0u, u)L2(Ω) = u H1 = Ω (|∇u| + |u| )dΩ � u L2(Ω) ∀ u ∈ D(A0). (3.3) 0 0 После замыкания по норме H1(Ω) из (3.3) получаем, что энергетическое пространство HA оператора A0 совпадает с H1(Ω) = D(A1/2), т.е 0 0 1/2 2 2 2 1 0 (Ω) A0 u L2(Ω) = u H1 � u L2(Ω) ∀ u ∈ H0 (Ω) = HA0 . (3.4) 0 Так как H1(Ω) компактно вложено в L2(Ω) (см. (2.37)), то по основной теореме о спектре (см. [33]) k=1 получаем, что оператор A0 имеет дискретный положительный спектр {λk (A0)}∞ , состоящий из положительных конечнократных собственных значений λk (A0) � 1, имеющих предельную точку k=1 λ = +∞. При этом система его собственных элементов {uk (A0)}∞ образует ортогональный базис 0 как в L2(Ω), так и в H1(Ω): 0 (Ω) (uk, ul)L2(Ω) = δk,l, (uk, ul)H1 = λk (A0)δk,l, k, l = 1, 2,.... (3.5) Отметим еще, что собственные значения λk (A0) имеют асимптотическое поведение λk (A0) = dmk2/m[1 + o(1)], dm > 0, k → ∞, Ω ⊂ Rm. (3.6) В частности, при m = 3 (трехмерное пространство) имеем известную классическую асимптотику Вейля (см. [1]): |Ω| -2/3 2/3 λk (A0) = 6π2 k [1 + o(1)] (k → ∞). (3.7) Опишем теперь в операторной форме свойства второго слагаемого слева в уравнении (3.1). Введем в рассмотрение оператор m B0u := i , ck k=1 J ∂u ∂xk , ck ∈ R, (3.8) u ∈ D(B0) := u ∈ H1(Ω) : u = 0 (на Γ) = H1(Ω) = D(A1/2) ⊃ D(A0). (3.9) 0 0 Можно убедиться, используя прием интегрирования по частям, что (B0u, v)L2(Ω) = i m r , ck ∂u r v¯ dΩ = ∂x ( m u i , ∂v ck ∂x \ dΩ = k=1 Ω k 1 Ω k=1 k (3.10) = (u, B0v)L2(Ω) ∀ u, v ∈ H0 (Ω) = D(B0). 0 Отсюда следует, что B0 - неограниченный самосопряженный оператор, действующий в L2(Ω) и заданный на области определения D(B0) = D(A1/2). После введения операторов A0 и B0 задачу (3.1) можно в операторной форме переписать в виде 0 0 (A0 - iεB0)u = λu, u ∈ D(A0) ⊂ D(A1/2) = H1(Ω) = D(B0) ⊂ L2(Ω), (3.11) где свойства операторов A0 и B0 уже описаны выше. Таким образом, возникла несамосопряженная спектральная задача на собственные значения для оператора A0 - iεB0. Преобразуем задачу (3.11) к виду, для которого можно использовать известные теоремы М. В. Келдыша (см. [9, п. 5.8]). Прежде всего отметим, что оператор A0 - iεB0 имеет нулевое ядро. В самом деле, если (A0 - iεB0)u0 = 0, u0 ∈ D(A0), то отсюда выводим, в силу свойств A0 и B0, что 0 2 H1(Ω) (A0u0, u0)L (Ω) = u0 2 = 0 ⇒ u0 = 0. Значит, оператор A0 - iB0 имеет обратный. Действительно, из определения (3.8), (3.9) оператора 0 B0 и определения нормы в H1(Ω) ⊂ H1(Ω) легко выводится неравенство 0 (Ω) B0u L2(Ω) � c0 u H1 0 = c0 A1/2 1 u L2(Ω) ∀u ∈ H0 (Ω). (3.12) После замены u = A-1/2v, v ∈ L2(Ω), отсюда получаем, что B0A-1/2 : L2(Ω) → L2(Ω) - ограни- 0 0 ченный оператор. Опираясь на эти факты, осуществим в (3.11) замену искомого элемента: A1/2 0 u = v, v ∈ L2(Ω). (3.13) Тогда вместо (3.11) возникает спектральная задача (I - iεC0)v = λA-1v, C0 := A-1/2(B0A-1/2) = C∗ ∈ S (L (Ω)). (3.14) 0 0 0 0 ∞ 2 Здесь оператор I - iεC0 в силу самосопряженности C0 имеет ограниченный обратный оператор, и потому задача (3.14) равносильна задаче на собственные значения (I + T (ε))A-1v = μv, μ = λ-1, 0 ∞ I + T (ε) := (I - iεC0)-1, T (ε) ∈ S (L2(Ω)). (3.15) Отметим, наконец, что в силу асимптотической формулы (3.6) имеем свойство A-1 0 ∈ Sp, p > m/2, (3.16) и потому к задаче (3.15) применимы теоремы М. В. Келдыша (см. [9, c. 314-320]). Отсюда получаем такой вывод. Теорема 3.1. Задача (3.11), а потому и исходная задача (3.1) имеют дискретный спектр, состоящий из конечнократных собственных значений λk, k = 1, 2,..., расположенных в правой полуплоскости и имеющих предельную точку λ = ∞. Для любого δ > 0 все собственные значения этой задачи, кроме, быть может, конечного их числа, лежат в секторе |arg λ| < δ. 1 Система корневых (собственных и присоединенных) элементов задачи (3.11) полна в энергетическом пространстве HA0 = H0 (Ω) оператора A0. Собственные значения λk задачи (3.11) имеют асимптотическое поведение λk = λk (A0)[1 + o(1)], k → ∞, (3.17) где λk (A0), в свою очередь, имеют асимптотическое поведение (3.6). Доказательство. В задаче (3.15) оператор Z := (I + T (ε))A-1 = (I - iεC0)-1A-1 полный, т. е. 0 0 0 ker Z = {0}, поскольку Z обратим и Z-1 = A0(I-iεC0). Далее, для A-1 выполнено свойство (3.16), A причем 0 -1 - положительный оператор. Поэтому к уравнению (3.15) применима первая теорема М. В. Келдыша. Согласно утверждениям этой теоремы приходим к следующим выводам. k=1 1◦. Система корневых (собственных и присоединенных) элементов {vk }∞ этой задачи полна в L2(Ω). 2◦. Все собственные значения μk этой задачи конечнократны и для любого δ > 0 расположены, кроме, быть может, конечного их числа, в угле |arg μ| < δ. Кроме того, все они находятся в правой комплексной полуплоскости и имеют предельную точку μ = 0. Отсюда для задачи (3.14), а потому и для задач (3.11), (3.1) получаем, что они имеют дискретk=1 ный спектр {λk }∞ , расположенный в правой комплексной полуплоскости и имеющий предельную точку λ = ∞. При этом из условия |arg μ| < δ следует условие |arg λ| < δ, так что при любом δ > 0 собственные значения λk, кроме, быть может, конечного числа, лежат в угле |arg λ| < δ. k=1 Наконец, из полноты системы корневых элементов {vk }∞ задачи (3.15) в силу замены (3.13) следует свойство полноты системы корневых элементов uk = A-1/2vk , k = 1, 2,..., uk ∈ D(A1/2) = 0 0 H1 0 (Ω) = HA0 , т. е. в энергетическом пространстве HA0 оператора A0. Вернемся теперь к задаче (3.14), переписанной в виде 0 L(λ)v := (I - iεC0 - λA-1)v = 0, v ∈ L2(Ω), (3.18) т. е. к задаче на собственные значения для линейного относительно λ операторного пучка L(λ). 1 Так как здесь C0 = C∗ ∈ S∞(L2(Ω)), A- - полный положительный компактный оператор, соб- 0 0 ственные значения которого в силу (3.6) имеют степенную асимптотику собственных значений λk (A-1) = d-1k-2/m[1 + o(1)], k → ∞, (3.19) 0 m то к пучку (3.18) применима теорема Маркуса-Мацаева (см., например, [29], а также [30]), из которой следует, что асимптотика собственных значений λk в задаче (3.18) такая же, как в задаче для укороченного пучка: 0 L0(λ)v := (I - λA-1)v = 0. (3.20) Отсюда и следует асимптотическая формула (3.17). Отметим, наконец, что расположение собственных значений λk в правой комплексной полуплоскости следует также из (3.18) при λ = λk, v = vk : 1 -1 (v, v)L2(Ω) - Re λ(A- v, v)L (Ω) = 0, A > 0, k = 1, 2,.... (3.21) 0 2 0 Наличие степенной асимптотики собственных значений оператора A0 (см. (3.6)), а также свой- 0 ство ограниченности оператора B0A-1/2 : L2(Ω) → L2(Ω) позволяет установить более сильные утверждения о свойствах решений спектральной задачи (3.14). Теорема 3.2. Спектр задачи (3.18) расположен в параболической области Λε 0 := J Re λ � λ1(A0) : |Im λ|2 � ε2 B0A-1/2 2 § Re λ , (3.22) 0 а корневые элементы этой задачи образуют базис Абеля-Лидского порядка α > m/2 в пространстве H1(Ω). Доказательство. Для любого собственного значения λ и отвечающего ему элемента v задачи (3.14) имеем соотношение (3.21), откуда следует, что 2 1/2 2 Re λ = v L2(Ω) = A0 u L2(Ω) � λ (A ), v = A1/2u. (3.23) A-1/2 0 v L2(Ω) Далее, из (3.14) следует также соотношение -1/2 u 2 1 0 L2(Ω) -1/2 0 -1/2 2 и потому -ε(Cv, v)L2(Ω) = -ε(A0 (B0A0 )v, v)L2(Ω) = (Imλ) A0 v L2(Ω), 2 | Imλ|· A-1/2v � |ε| B0A-1/2 · v · A-1/2v . (3.24) 0 L2(Ω) 0 L2(Ω) 0 L2(Ω) Отсюда и из (3.23) получаем связь: | Imλ| � ε B0A-1/2 · v / A-1/2v = |ε| B A-1/2 (Reλ)1/2. 0 L2(Ω) 0 L2(Ω) 0 0 Поэтому спектр задачи (3.18) расположен в параболической области (3.22). Осуществим теперь в задаче (3.14) замену искомого элемента по формуле (I - iεC0)v =: w. (3.25) Тогда это уравнение преобразуется к виду A-1 0 (I + T (ε))w = μw, μ = λ-1 . (3.26) 0 Здесь I + T (ε) - оператор из (3.15), T (ε) ∈ S∞(L2(Ω)), а асимптотика собственных значений компактного положительного оператора A-1, как следует из (3.19), такова: λk (A-1) ∼ d-1k-p, p = 2/m, k → ∞. (3.27) 0 m k=1 Поэтому согласно утверждению из [38, c. 292] корневые элементы {wk }∞ , wk = (I - iεC0)vk, задачи (3.26), отвечающие корневым элементам vk задачи (3.14), образуют базис Абеля-Лидского k=1 порядка α > p-1 = m/2. Однако при замене (3.25) базис {wk }∞ k=1 переходит в базис {vk }∞ , и k=1 потому корневые элементы {vk }∞ задачи (3.14) также образуют базис Абеля-Лидского порядка α > m/2 в пространстве L2(Ω). Отсюда с учетом замены (3.13) приходим к выводу, что в задаk=1 че (3.11) корневые элементы {uk }∞ 0 , uk = A-1/2vk , образуют базис Абеля-Лидского порядка 1 1/2 α > m/2 в энергетическом пространстве HA0 = H0 (Ω) = D(A0 ) оператора A0. 1. Спектральная задача Неймана-Ньютона. Так называют спектральную задачу вида Lεv = λv (в Ω), ∂εv = 0 (на Γ), (3.28) где Lεv и ∂εv - дифференциальное выражение и производная по нормали, определенные по формулам (2.3), (2.6): m Lεv := v - Δv + ε , ck k=1 ∂v ∂xk m , ck ∈ R, k = 1, m, ε ∈ R, (3.29) ∂εv := ∂0v - εσγv, σ = , ck cos(_n---, _ek ), ∂0v := (∂v/∂n)Γ. (3.30) k=1 В задаче (3.28) спектральный параметр λ ∈ C входит в уравнение. Наряду с (3.28)-(3.30) рассмотрим также невозмущенную спектральную задачу Неймана: ∂v L0v := v - Δv = λv (в Ω), ∂0v := ( ∂n )Γ = 0 (на Γ). (3.31) Как известно, эта задача равносильна уравнению Av = λv, (3.32) v ∈ D(A) = ∈ ∂v ( v H2(Ω) : = 0 (на Γ) ∂n ⊂ D(A1/2) = H1(Ω) '→'→ L2(Ω). (3.33) k=1 При этом оператор A имеет дискретный положительный спектр {λk (A)}∞ с предельной точкой ∞ λ = +∞ и систему собственных элементов {vk (A)}k=1, образующих ортогональный базис как в L2(Ω), так и в H1(Ω): (vk, vj )L2(Ω) = δkj, (vk, vj )H1(Ω) = λk (A)δkj, k, j = 1, 2,.... (3.34) Кроме того, известно, что собственные значения λk (A) невозмущенной задачи Неймана (3.31) имеют такое же асимптотическое поведение, как собственные значения невозмущенной задачи Дирихле (см. (3.6), (3.7)): λk (A) = dmk2/m[1 + o(1)], dm > 0, k → ∞, d3 = |Ω| -2/3 6π2 . (3.35) Прежде чем исследовать задачу (3.28)-(3.30), найдем операторную связь между решениями v = vε возмущенной задачи Lεv = f (в Ω), ∂εv = 0 (на Γ) (3.36) и решениями v = v0 невозмущенной задачи L0v = f (в Ω), ∂0v = 0 (на Γ) (3.37) с одной и той же заданной функцией f. Перепишем задачу (3.36) в виде m L0v = -ε , ck k=1 ∂v ∂xk + f =: -εBv + f (в Ω), ∂0v = εσγv (на Γ). (3.38) Воспользуемся теперь формулой для решения полной краевой задачи Неймана-Ньютона из пункта 2.3, т. е. формулой (2.32), рассмотренной, однако, при ε = 0: v = v1 + v2 = A-1f + V ψ, (3.39) где v1 = A-1f - решение задачи а v2 = Vψ - решение задачи L0v1 = f, ∂0v1 = 0 ⇔ Av1 = f, (3.40) L0v2 = 0, ∂0v2 = ψ. (3.41) Получение таких формул для слабых решений описаны в пункте 2.3 (см. задачи 1◦-3◦). Для задачи (3.38) тогда будем иметь связь v = A-1(-εBv + f )+ V (εσγv). (3.42) Здесь A - оператор гильбертовой пары (H1(Ω); L2(Ω)), свойства которого описаны выше, V : h H-1/2(Γ) → H1(Ω) - оператор задачи (3.41), а v = vε - решение задачи (3.36). Из (3.42) получаем соотношение [I + ε(A-1B - V σγ)]vε = A-1f = v0, (3.43) где v0 - решение невозмущенной задачи (3.37), vε ∈ H1(Ω) = D(A1/2). Поэтому в (3.43) можно сделать замену vε = A-1/2ηε, ηε ∈ L2(Ω). (3.44) Более того, из (3.43) видно, что в этом уравнении все слагаемые принадлежат D(A1/2). Поэтому после замены (3.44) и действия слева оператором A1/2 получаем соотношение для ηε: [I + ε(A-1/2BA-1/2 - (A1/2V )σ(γA-1/2))]ηε = η0 := A1/2v0 = A-1/2f. (3.45) Изучим теперь общие свойства операторных коэффициентов из (3.45). Лемма 3.1. Оператор B, определенный соотношением m Bv := , ck k=1 ∂v ∂xk , D(B) = H1(Ω), (3.46) является линейным ограниченным оператором, действующим из H1(Ω) в L2(Ω). Доказательство. Оно основано на элементарном неравенстве 1 ∂v 12 r ∂v 2 2 1 1 1 = dΩ � v H1(Ω) ∀ v ∈ H (Ω). (3.47) 1 ∂xk 1L2(Ω) ∂xk Ω В качестве следствия из этой леммы получаем такой вывод: оператор BA-1/2 ∈ L(L2(Ω)), (3.48) так как A-1/2 ∈ L(L2(Ω); H1(Ω)). Отсюда, в свою очередь, приходим к выводу, что A-1/2(BA-1/2) является компактным оператором, действующим в L2(Ω). Рассмотрим теперь свойства второго оператора из (3.45), т. е. оператора (A1/2V )σ(γA-1/2). Прежде всего заметим, что m σ = σ(x) := , ck cos(_n---, _ek ), x ∈ Γ (3.49) k=1 - это непрерывная вещественнозначная функция, заданная на гладкой (даже дважды непрерывно дифференцируемой) поверхности Γ. Далее, легко убедиться, что операторы γA-1/2 : L2(Ω) → H1/2(Γ) '→'→ L2(Γ), A1/2V : L2(Γ) → L2(Ω) (3.50) взаимно сопряжены и компактны. В самом деле, для слабого решения задачи (3.41) имеем тождество (w, v2)H1(Ω) = ∓γw, ψ⊕L2(Γ) ∀ w ∈ H откуда имеем при w = A-1/2η соотношение 1(Ω) ∀ ψ ∈ H -1/2 (Γ) ⊃ L2(Γ), (3.51) (A-1/2η, V ψ)H1(Ω) = (A1/2(A-1/2η), A1/2(V ψ))L (Ω) = (η, (A1/2V )ψ)L (Ω) = 2 2 = ((γA-1/2)η, ψ)L (Γ) ∀ η ∈ L2(Ω) ∀ ψ ∈ L2(Γ). Из полученных фактов приходим к следующему выводу. Лемма 3.2. Оператор 2 (3.52) Qσ := (A1/2V )σ(γA-1/2) : L2(Ω) → L2(Ω) (3.53) является компактным самосопряженным оператором. Следствием из лемм 3.1 и 3.2 является такое утверждение: оператор S := A-1/2(BA-1/2) - Qσ (3.54) является компактным оператором, действующим в L2(Ω). Таким образом, связь (3.43)-(3.45) между решениями возмущенной и невозмущенной задач (3.36) и (3.37) дается соотношением A-1/2(I + εS)A1/2vε = v0, (3.55) где S - компактный оператор из (3.54). В дальнейшем будем считать, что оператор I + εS обратим; так будет, по крайней мере, если выполнено условие Тогда будем иметь |ε|· S < 1. (3.56) ∞ (I + εS)-1 = I + T (ε), T (ε) ∈ S и потому решение задачи (3.36) дается формулой (L2(Ω)), (3.57) 0 vε = A-1/2(I + εS)-1A1/2v0 = A-1/2(I + εS)-1A-1/2f. (3.58) При ε = 0 из (3.58) получаем, очевидно, vε = v0 = A-1f. Вернемся теперь на основе связи (3.58) к рассмотрению исходной спектральной задачи (3.28). Сравнивая ее с (3.36), видим, что ее решение v = vε можно получить по формуле (3.58) при f = λvε. Отсюда приходим к уравнению vε = λA-1/2(I + εS)-1A-1/2vε. (3.59) Снова осуществляя замену (3.44), получаем спектральную задачу (I + εS)-1A-1ηε = μηε, μ = λ-1, ηε = A1/2vε, (3.60) ∞ (I + εS)-1 = I + T (ε), T (ε) ∈ S (L2(Ω)), (3.61) 0 которая имеет в точности такой же вид, как задача (3.15), возникшая в задаче Дирихле (3.1). Более того, оператор A в (3.60) и оператор A0 в (3.15) имеют идентичные свойства в пространствах H1(Ω) и H1(Ω) соответственно и одинаковую асимптотику собственных значений (см. (3.6), (3.7) и (3.35)). Поэтому для задачи (3.60), (3.61) имеют место те же общие выводы, которые были установлены в пункте 3.1 для решений спектральной задачи (3.1). Отличием в задаче (3.59) является лишь то обстоятельство, что оператор S не является кососамосопряженным, а лишь компактным оператором, действующим в L2(Ω) (см. (3.54) и леммы 3.1 и 3.2). Теорема 3.3. Задача (3.28) имеет дискретный спектр, состоящий из конечнократных собk=1 ственных значений {λk }∞ с предельной точкой λ = ∞. При любом δ > 0 все собственные значения этой задачи, кроме, быть может, конечного их числа, расположены в секторе |arg λ| < δ. Система корневых элементов задачи (3.28) полна в энергетическом пространстве HA = H1(Ω) оператора A. Собственные значения λk имеют асимптотическое поведение λk = λk (A)[1 + o(1)] = dmk2/m[1 + o(1)] (k → ∞). Корневые элементы задачи (3.28) образуют в пространстве H1(Ω) также базис Абеля- Лидского порядка α > m/2. Уточним теперь расположение спектра задачи (3.28). Теорема 3.4. Пусть в задаче (3.28) выполнено условие cε := 1 - |ε| ( BA-1/2 · A-1/2 + Qσ > 0, (3.62) где оператор BA-1/2введен в (3.46), (3.48), а Qσ -в (3.53). Тогда спектр этой задачи расположен в правой полуплоскости в параболической области J ( Λε := Re λ � cελ1(A) : |Imλ| � ε ε BA-1/2 · c-1/2 (Re λ)1/2 . (3.63) Доказательство. Перепишем уравнение (3.60) при ηε = η в виде λA-1η = (I + εS)η =r I + ε(A-1/2(BA-1/2) - Qσ ) l η. (3.64) Отсюда получаем соотношение 2 2 (Re λ + i Im λ) A-1/2η L (Ω) = η L (Ω)+ 2 2 (3.65) +ε r ((BA-1/2)η, A-1/2η)L (Ω) - (Qση, η)L (Ω) l . 2 2 σ Вычисляя вещественную и мнимую части, будем иметь (с учетом свойства Q∗ = Qσ ) 2 2 r -1/2 -1/2 l Re λ A-1/2η L (Ω) = η L (Ω) + ε Re ((BA )η, A η)L (Ω) - (Qση, η)L (Ω) , 2 2 2 2 2 ( 2 Im λ A-1/2η L (Ω) = ε Im (BA-1/2)η, A-1/2η . L2(Ω) Из первого равенства получаем 2 r ( 2 Re λ A-1/2η L (Ω) � 1 - |ε| BA-1/2 · A-1/2 + l 2 2 (3.66) откуда следует, что Re λ � cελ1(A) > 0 и + Qσ η L2(Ω) =: cε η L2(Ω), η L2(Ω) 2 A-1/2η L (Ω) Из второго равенства с учетом (3.67) имеем �( Re λ/cε 1/2 . (3.67) |Im λ| � |ε|· BA-1/2 · η L (Ω) / A-1/2η L (Ω) � |ε|· BA-1/2 · (Re λ/cε)1/2, 2 2 т. е. все собственные значения λ задачи (3.28) расположены в параболической области (3.63). 2. Спектральная задача Стеклова. Так называют спектральную задачу (возмущенная задача) Lεw = 0 (в Ω), ∂εw = λ γw (на Γ), (3.68) в которой спектральный параметр λ не входит в уравнение, но входит в краевое условие. Как и в пункте 3.2, рассмотрим наряду с (3.68) невозмущенную спектральную задачу ∂w L0w := w - Δw = 0 (в Ω), ∂0w := ∂n = λ γw (на Γ). (3.69) Эту задачу можно трактовать как невозмущенную вторую краевую задачу Неймана-Ньютона, т. е. в рассуждениях пункта 2.3, случай 2◦, считать, что ε = 0, ψ = λγw (см. (2.20)) Тогда согласно теореме 2.2 получаем, что ее решение дается формулой (2.23): h w = w0 = Vψ = λV γw0, V ∈L (H-1/2(Γ); H1(Ω)), (3.70) H1 J h (Ω) = = 0 w ∈ H1(Ω) : L0w . Осуществим в (3.70) замену вида (3.44): w0 = A-1/2η0, η0 ∈ L2(Ω) (3.71) и подействуем слева оператором A1/2. Тогда приходим к спектральной задаче вида η = λCη, C := (A1/2V )(γA-1/2) = C∗ � 0, (3.72) C ∈ S∞(L2(Ω)). В самом деле, согласно формулам (3.50)-(3.52) получаем, что A1/2V и γA-1/2 взаимно сопряжены и компактны. Отсюда приходим к следующим выводам 1◦. Задача (3.72), а вместе с ней и исходная невозмущенная задача (3.69) имеют дискретный положительный спектр {λ-1(C)}∞ , состоящий из конечнократных собственных значений с преk дельной точкой λ = +∞. k=1 k=1 2◦. Собственные элементы {ηk }∞ образуют ортогональный базис в подпространстве h L2,h(Ω) :=J η ∈ L2(Ω) : η = A1/2w, w ∈ H1(Ω) , (3.73) ортогональном подпространству 0 L2,0(Ω) :=J ξ ∈ L2(Ω) : ξ = A1/2v, v ∈ H1(Ω) = ker C. (3.74) k 3◦. Собственные значения λ-1(C) суть последовательные минимумы вариационного отношения 2 η L2(Ω) = w 2 H1(Ω) 2 , w ∈ h H1(Ω). (3.75) (Cη, η)L2(Ω) γw L2(Γ) 4◦. Асимптотическое поведение собственных значений λk (C) таково: λk (C) = d˜mk-1/(m-1)[1 + o(1)] k → ∞, Ω ⊂ Rm, ( |Γ| 1/2 1/2 (3.76) 3 λk (C) = 12π k- [1 + o(1)], k → ∞, Ω ⊂ R . Заметим, что асимптотические формулы (3.76) следуют из результатов работы [7]. Опираясь на установленные факты, рассмотрим теперь свойства решений возмущенной спектральной задачи Стеклова (3.68). Предварительно установим, как и в пункте 3.2, связь решений соответствующих возмущенной и невозмущенной краевых задач: Lεw = 0 (в Ω), ∂εw = ψ (на Γ), (3.77) L0w = 0 (в Ω), ∂0w = ψ (на Γ). (3.78) Решение задачи (3.78), как упомянуто выше, имеет вид (3.70). Переходя теперь к задаче (3.77), перепишем ее в виде L0w = -εBw (в Ω), ∂0w = εσγw + ψ. (3.79) Тогда, используя снова формулу (2.32) при ε = 0, будем иметь 0 w = A-1(-εBw)+ V (εσγw + ψ), (3.80) откуда получаем уравнение для w = wε: r I + ε(A-1B - V σγ) l wε = Vψ = w0. (3.81) Осуществляя здесь замену wε = A-1/2ηε, ηε ∈ L2(Ω), (3.82) и действуя слева оператором A1/2 (это можно сделать), приходим, как и в пункте 3.2, к связи вида (I + εS)ηε = (A1/2V )ψ = A1/2w0 =: η0, (3.83) где S - компактный оператор, введенный в (3.54). Будем далее предполагать, что выполнено условие (3.56). Тогда получаем связь (с учетом (3.81)) между решениями возмущенной и невозмущенной задач (3.68), (3.69): wε = A-1/2(I + εS)-1A1/2w0 = A-1/2(I + εS)-1(A1/2V )ψ. (3.84) Она имеет такой же вид, как и в пункте 3.2 (см. (3.58)). (При ε = 0 получаем из (3.84) wε = w0, как и должно быть.) Опираясь на представление (3.84), вернемся к спектральной возмущенной задаче (3.68). Из (3.77) и (3.68) видно, что в (3.84) следует взять ψ = λγwε. Тогда будем иметь спектральную задачу wε = λA-1/2(I + εS)-1(A1/2V )γwε, (3.85) которая при замене (3.82) переходит в задачу на собственные значения (I + εS)ηε = λCηε, (3.86) являющуюся возмущением самосопряженной спектральной задачи (3.72). Свойства оператора C и свойства решений задачи (3.72) описаны выше (см. 1◦-4◦). Очевидно, задача (3.86) равносильна задаче (I + εS)-1Cη = μη, μ = λ-1, η = ηε ∈ L2(Ω), (3.87) т. е. задаче на собственные значения слабо возмущенного компактного неотрицательного оператора. Поэтому к задаче (3.87), как и выше, можно применить теоремы М. В. Келдыша. Некоторым затруднением, однако, здесь является то обстоятельство, что оператор C в (3.87) и (3.86) не является полным: он имеет нетривиальное и притом бесконечномерное ядро (см. (3.73), (3.74)). Опираясь на ортогональное разложение L2(Ω) = L2,0(Ω) ⊕ L2,h(Ω) (3.88) (см. (3.73), (3.74)) и вводя ортопроекторы P0 и Ph на эти подпространства, представим искомый элемент ηε = η в виде η = P0η + Phη =: η0 + ηh. (3.89) Подставим это разложение в (3.86) и подействуем на обе части этого уравнения операторами P0 и Ph. Учитывая еще, что L2,0(Ω) = ker C, будем иметь η0 + εP0SP0η0 + εP0SPhηh = 0, (3.90) ηh + εPhSP0η0 + εPhSPhηh = λ(PhCPh)ηh. (3.91) Здесь для простоты записи символом PhSP0 обозначено сужение оператора PhS на подпространство L2,0(Ω) (с областью значений L2,h(Ω)); другие такие же символы понимаются аналогично. В уравнении (3.90) оператор I0 + εP0SP0 ограниченно обратим в силу условия (3.56). Тогда, находя η0 из (3.90) и подставляя его в (3.91), получим уравнение для ηh = Phη: h (Ih + Th(ε))ηh = λChηh, Ch := PhCPh = C∗ > 0 (в L2,h(Ω)), (3.92) ∞ Th(ε) := εPhSPh - ε2(PhSP0)(I0 + εP0SP0)-1(P0SPh) ∈ S (L2,h (Ω)). (3.93) Убедимся, что в уравнении (3.92) оператор Ih + Th(ε) ограниченно обратим. В самом деле, для доказательства этого факта достаточно проверить, что ker (Ih + Th(ε)) = {0}, т.е уравнение (Ih + Th(ε))ηh = 0 имеет лишь тривиальное решение. Однако из этого уравнения путем обратных замен приходим к системе уравнений (3.90), (3.91) с правыми частями, равными нулю, т. е. к соотношению (I + εS)η = 0. Поскольку I + εS обратим, то η = 0, а потому и ηh = Phη = 0. Отсюда следует, что задача (3.92), (3.93) равносильна спектральной задаче (Ih + Th(ε))-1Chηh = μηh, ηh ∈ L2,h(Ω), μ = λ-1, (3.94) т. е. задаче на собственные значения слабо возмущенного самосопряженного полного положительного компактного оператора. Заметим еще, что в силу (3.76) имеем асимптотическую формулу λk (Ch) = λk (C) = d˜mk-1/(m-1)[1 + o(1)] (k → ∞), Ω ∈ Rm, (3.95) для ненулевых собственных значений оператора C, т. е. для собственных значений λk (Ch) оператора Ch : L2,h(Ω) → L2,h(Ω). Поэтому Ch ∈ Sp(L2,h(Ω)), p > m - 1. (3.96) Следствием установленных фактов является такой результат. k=1 Теорема 3.5. Спектральная задача Стеклова (3.68) имеет дискретный спектр {λk }∞ , расположенный в правой полуплоскости и состоящий из конечнократных собственных значений λk с предельной точкой λ = ∞. При любом δ > 0 все собственные значения λk, кроме, быть может, конечного их числа, расположены в секторе |arg λ| < δ. Система корневых (собственных k=1 и присоединенных) элементов {ηε,k }∞ k=1 ство L2,h(Ω), т. е. система {ηε,h,k }∞ задачи (3.86) после проектирования на подпространкорневых элементов задачи (3.92), является полной в k=1 L2,h(Ω). Поэтому система корневых элементов {wε,h,k }∞ h , wε,h,k = A-1/2ηε,h,k , полна в H1(Ω). Собственные значения λk задачи (3.68) имеют асимптотическое поведение k -1 λk = λ-1(Ch)[1 + o(1)] = d˜m k1/(m-1)[1 + o(1)] (k → ∞), Ω ∈ Rm. (3.97) k=1 Кроме полноты, система корневых элементов {wε,h,k }∞ ∞ , отвечающая собственным значени- 1 ям {λk }k=1, образует базис Абеля-Лидского порядка α > m - 1 в пространстве Hh (Ω). Доказательство. Оно проводится точно так же, как и в теоремах 3.2 и 3.3. Проверим лишь, что все собственные значения λ задачи (3.68) расположены в открытой правой полуплоскости. В самом деле, для решений задачи (3.86) при ηε = η имеем соотношение Поэтому 2 2 L2(Ω) (Re λ)(Cη, η)L (Ω) = Re ((I + εS)η, η)L (Ω) � (1 - |ε| S ) η 2 . η 2 - | | · Re λ � (1 ε S ) L2(Ω) (Cη, η)L2(Ω) 1 � (1 - |ε| S ) · λ-1(C) > 0, (3.98) так как 1 - |ε| S > 0 (см. (3.56)). 3. Спектральная задача Стефана. Рассмотрим теперь возмущенную спектральную задачу в случае, когда спектральный параметр входит линейным образом и в уравнение, и в краевое условие: Lεu = λu (в Ω), ∂εu = λ γu (на Γ). (3.99) Эту задачу называют возмущенной спектральной задачей Стефана. Как и ранее, наряду с (3.99) рассмотрим сначала невозмущенную спектральную задачу Стефана: ∂u L0u := u - Δu = λu (в Ω), ∂0u := ∂n = λ γu (на Γ). (3.100) Эта задача равносильна уравнению, которое получается из общей формулы (2.32) при ε = 0 и f = λu, ψ = λ γu : u = A-1(λu)+ V (λ γu), u ∈ H1(Ω). (3.101) После замены вида (3.82), т. е. u = A-1/2η, η ∈ L2(Ω), приходим к невозмущенной спектральной задаче η = λ(A-1 + C)η, η ∈ L2(Ω), (3.102) где C = (A1/2V )(γA-1/2) = C∗ � 0 - оператор, свойства которого были описаны в пункте 3.3. Так как A-1 > 0 и компактен в L2(Ω), то оператор A-1 + C положителен и компактен в этом пространстве. Отсюда приходим к следующим выводам. 1◦. Задача (3.102), а вместе с ней и исходная невозмущенная задача Стефана (3.100) имеют k=1 дискретный положительный спектр {λk }∞ k , λk = λ-1(A-1 + C), с предельной точкой λ = +∞. k=1 2◦. Собственные элементы {ηk }∞ задачи (3.102) образуют ортогональный базис в пространстве L2(Ω) и базис по форме ((A-1 + C)η, η)L (Ω). Поэтому собственные элементы {uk }∞ зада- 2 k=1 2 L2(Ω) чи (3.100) образуют ортогональный базис в H1(Ω) и по квадратичной форме u 2 + γu L2(Γ): (uk, ul)L2(Ω) + (γuk, γul)L2(Γ) = δk,l, (uk, ul)H1(Ω) = λkδk,l. (3.103) 3◦. Собственные значения λk задачи (3.102) и (3.100) суть последовательные минимумы вариационного отношения " η 2 L2(Ω) 2 -1/2 2 2 u H 1(Ω) = 2 2 , A-1/2η = u ∈ H1(Ω). (3.104) A-1/2η L (Ω) + γA η L (Γ) u L (Ω) + γu L (Γ) 2 2 2 2 4◦. Собственные значения λk имеют асимптотическое поведение k -1 λk = λ-1(C)[1 + o(1)] = d˜m k1/(m-1)[1 + o(1)] (k → ∞), Ω ∈ Rm, m � 3, (3.105) где dm - константы из (3.76). Нетрудно установить свойства 1◦-3◦, здесь поясним лишь вывод асимптотической формулы (3.105). Из асимптотических формул (3.35) для λk (A) и (3.76) для λk (C) получаем, что m λk (A-1) ∼ d-1k-2/m, λk (C) ∼ d˜mk-1/(m-1),k → ∞. (3.106) Так как m - 1 � m/2 при m � 3, то согласно лемме Фань Цюй (см. [9, с. 52]) отсюда следует, что λk (A-1 + C) ∼ d˜mk-1/(m-1),k → ∞, m � 3, т. е. асимптотическое поведение собственных значений λk (A-1 + C) такое же, как и собственных значений λk (C), и потому имеет место формула (3.105). На основе установленных фактов перейдем к рассмотрению возмущенной задачи Стефана. Снова пользуясь общей формулой (2.32) уже при ε = 0, f = λu, ψ = λγu, будем иметь ε u = A-1(λu)+ Vε(λ γu), u ∈ H1(Ω). (3.107) Используя еще связь (3.58) между Aε и A, а также (3.84) для Vε и V, получим соотношение u = A-1/2(I + εS)-1A1/2(λu)+ A-1/2(I + εS)-1(A1/2V )(λ γu), (3.108) которое после замены u = A-1/2η, η ∈ L2(Ω), приводит к спектральной задаче (I + εS)η = λ(A-1 + C)η, η ∈ L2(Ω), (3.109) равносильной исходной возмущенной спектральной задаче (3.99). Эта задача, в свою очередь, равносильна задаче (I + εS)-1(A-1 + C)η = μη, μ = λ-1. (3.110) Таким образом, задача Стефана (3.99) так же, как и задача Стеклова (3.68) (см., в частности, (3.87)), приведена к задаче на собственные значения слабо возмущенного компактного положительного оператора. Так как A-1 + C > 0, то эта задача проще задачи (3.87), поскольку в (3.110) оператор A-1 + C полный, т. е. имеет тривиальное ядро, и потому здесь не требуется, как это было для задачи Стеклова, проводить дополнительное проектирование на ядро основного оператора задачи. k=1 Теорема 3.6. Спектральная задача Стефана (3.99) имеет дискретный спектр {λk }∞ , состоящий из конечнократных собственных значений с предельной точкой λ = ∞. При любом δ > 0 все собственные значения этой задачи, кроме, быть может, конечного их числа, расположены в секторе |arg λ| < δ. Система корневых элементов задачи (3.99) полна в H1(Ω), L2(Ω) + γu а также по форме u 2 2 L2(Γ) . Собственные значения λk имеют асимптотическое поведение λk = λ-1(A-1 + C)[1 + o(1)] = d-1k1/(m-1)[1 + o(1)] (k → ∞), Ω ∈ Rm. (3.111) k m Теорема 3.7. Корневые элементы задачи (3.99) образуют базис Абеля-Лидского порядка α > m - 1 в пространстве H1(Ω). Если выполнено условие (3.62), т. е. cε := 1 - |ε| ( BA-1/2 · A-1/2 + Qσ > 0, (3.112) то спектр задачи (3.99) расположен в правой полуплоскости, в параболической области Λε 1 := J Re λ � cελ-1(A-1 + C) : |Im λ| � (|ε| BA-1/2 )(Reλ/cε)1/2 . (3.113) Доказательство. Свойство базисности по Абелю-Лидскому следует из асимптотической формулы (3.105) и соответствующего утверждения из [38, с. 292]. Локализация спектра в комплексной плоскости доказывается так же, как аналогичное утверждение в теореме 3.4. Именно, из уравнения (3.109) имеем соотношения 2 Re λ((A-1+C)η, η)L (Ω) �r 1 - |ε| BA-1/2 · A-1/2 - l 2 2 - |ε|· Qσ · η L2(Ω) =: cε η L2(Ω), 2 |Im λ| � |ε| BA-1/2 · A-1/2η L (Ω) · η L (Ω) / ( A-1/2η + C 2 1/2η 2 2 2 1/2 2 L2(Ω) 1/2 L2(Ω) � � |ε| BA-1/2 · η L (Ω) / ( A-1/2 + C η . 2 Из первого соотношения имеем неравенства L2(Ω) L2(Ω) L2(Ω) Re λ � cε η 2 / ( A-1/2η 2 L2(Ω) + C 1/2 2 η L2(Ω) 1 � cελ-1 (A-1 + C), а отсюда и из второго неравенства получаем, что |Im λ| � |ε| BA-1/2 · (Re λ/cε)1/2, т. е. спектр задачи (3.99) расположен в области Λε из (3.113). 4. Другие классы возмущенных спектральных задач. Опираясь на построения, проведенные в пункте 3.4, рассмотрим еще три класса возмущенных спектральных задач, встречающихся в приложениях. 1◦. Спектральная задача С. Крейна. Она возникла при исследовании нормальных (собственных) колебаний тяжелой вязкой жидкости в открытом сосуде и состоит в нахождении нетривиальных решений следующей задачи: Lεu = λu (в Ω), λ ∂εu = γu (на Γ). (3.114) Здесь спектральный параметр λ линейно входит в уравнение и краевое условие, причем в краевом условии он стоит при ∂εu. Заметим сначала, что при λ = 0 задача (3.114) имеет лишь тривиальное решение. В самом деле, из формулы Грина (2.5) при η = u получаем, что при Lεu = 0 и γu = 0 будет H1(Ω) 0 = Φε(u, u) � c2 u 2 , c2 > 0, u ∈ H1(Ω), (3.115) и потому u = 0. Отметим теперь, что от спектральной задачи Стефана (3.99) задача С. Крейна (3.114) отличается лишь тем, что в граничном условии на Γ вместо λ (в задаче Стефана) следует писать λ-1 (в задаче С. Крейна). Учитывая этот факт и повторяя все выкладки, которые были проведены в пункте 3.4 для задачи Стефана, приходим к выводу, что задача С. Крейна равносильна уравнению (3.109) с заменой λ на λ-1 во втором слагаемом справа. Это дает спектральную задачу (I + εS)η = λA-1η + λ-1Cη, η ∈ L2(Ω), (3.116) равносильную возмущенной задаче С. Крейна (3.114). Задачи вида (3.116) достаточно подробно исследованы (см. [19, 24, 26]). Поэтому сейчас приведем лишь основной результат, относящийся к случаю, когда операторный пучок L(λ) := I - λ(I + εS)-1A-1 - λ-1(I + εS)-1C, (3.117) отвечающий задаче (3.116), допускает спектральную факторизацию. Достаточным условием для этого является условие 4 (I + εS)-1 2 · A-1 · C < 1. (3.118) Подробная процедура исследования описана, например, в [13, c. 82-86]. Именно, при выполнении условия (3.118) имеет место факторизация M (λ) := λL(λ) = λI - (I + εS)-1C - λ2(I + εS)-1A-1 = = Y -1(I - λY (I + εS)-1A-1)(λI - Y (I + εS)-1C), где оператор Y обратим и является решением уравнения (3.119) Y = I + (I + εS)-1A-1Y (I + εS)-1CY. (3.120) При этом оператор-функция I - λY (I + εS)-1A-1 обратима при 2 (1 ± /1 - 4 (I + εS)-1 · A-1 · C ) (3.121) |λ| < r+, r± := - + ∞ , 0 < r < r < , 2 (I + εS)-1 · A-1 а спектр оператора Z := Y (I + εS)-1C лежит в круге σ(Z) ⊂ {λ : |λ| � r-}. (3.122) Таким образом, при | λ |� r- задача (3.116) сводится к задаче (I + Φ)Cη = λη, η ∈ L2(Ω), (3.123) I +Φ := (I + (I + εS)-1A-1Y (I + εS)-1CY )(I + εS)-1, Φ ∈ S∞(L2(Ω)). (3.124) Здесь оператор I + Φ, очевидно, обратим, а оператор C � 0, как и в задаче (3.87), имеет ядро ker C = L2,0(Ω), т. е. подпространство из ортогонального разложения (3.88): L2(Ω) = L2,0 ⊕ L2,h(Ω). (3.125) Вводя, как и в пункте 3.3, ортопроекторы P0 и Ph на эти подпространства, представляя η в виде (3.89), т. е. η = P0η + Phη = η0 + ηh, и исключая η0, приходим к уравнению (Ih + PhΦPh)Chηh = ληh, Ch = PhCPh. (3.126) Здесь Ch - полный оператор в L2,h(Ω), он положителен, компактен и имеет степенную асимптотику (3.95). Отсюда, как и в пункте 3.3, получаем результат, аналогичный теореме 3.5. 0 ∞ Теорема 3.8. В области | λ |� r- задача (3.126) имеет дискретный спектр {λk }k=1, расположенный в правой полуплоскости и состоящий из конечнократных собственных значеk ний λ0 k с предельной точкой λ = 0. При любом δ > 0 все собственные значения λ0 , кроме, быть может, конечного их числа, расположены в секторе |arg λ| < δ. Система корневых элементов {η0}∞ задачи (3.123) после проектирования на подпространство L2,h(Ω), т. е. k k=1 k,h , η система {η0 } ∞ k=1 0 k,h k = Phη0, является полной в L2,h(Ω). Поэтому система корневых элементов {u0 }∞ , u0 = A-1/2η0 , полна в H1(Ω). Собственные значения λ0 задачи (3.126), k,h k=1 k,h k,h h k т. е. собственные значения задачи (3.116) при | λ |� r-, имеют асимптотическое поведение (см. (3.97)) 0 λk = λk (C)[1 + o(1)] = d˜mk -1/(m-1) 0 [1 + o(1)] (k → ∞). (3.127) ∞ Кроме полноты, система корневых элементов {uk,h}k=1, отвечающая собственным значениям {λ0 }∞ , образует базис Абеля-Лидского порядка α > m - 1 в пространстве H1(Ω). k k=1 h Аналогичный подход можно применить при исследовании спектральной задачи в окрестности бесконечно удаленной точки. Именно, в пучке L(λ) (см. (3.117)) осуществим замену λ = μ-1. Возникает пучок L�(μ) := I - μ(I + εS)-1C - μ-1(I + εS)-1A-1, который при условии (3.118) также допускает факторизацию в виде μL�(μ) = X-1(I - μX(I + εS)-1C)(μI - X(I + εS)-1A-1), (3.128) X = I + (I + εS)-1CX(I + εS)-1A-1X, (3.129) причем первая оператор-функция в (3.128) обратима при |μ| < r˜+ = 1/r-, оператор X также обратим, а спектр второй оператор-функции лежит в области |μ| � r˜- = 1/r+. Таким образом, возникает спектральная задача - Z�η := X(I + εS)-1)A-1η = μη, |μ| � r˜ . (3.130) Здесь упрощающим обстоятельством является тот факт, что A-1 - положительный и притом компактный оператор, и потому ker A-1 = {0}. Поэтому для задачи (3.130), в отличие от (3.123) не нужно проводить процедуру проектирования на подпространство L2,h(Ω). Теорема 3.9. В области | λ |� r+ задача (3.116) имеет дискретный спектр {λ∞}∞ , распоk k=1 ложенный в правой комплексной полуплоскости и состоящий из конечнократных собственных значений λ∞ с предельной точкой λ = ∞. При любом δ > 0 все собственные значения λ∞, кроk k ме, быть может, конечного их числа, расположены в секторе |arg λ| < δ. Система корневых элементов {η∞}∞ задачи (3.130) является полной в пространстве L2(Ω). Поэтому систеk k=1 ма корневых элементов {u∞}∞ , u∞ := A-1/2η∞, полна в H1(Ω). Собственные значения λ∞ k k=1 k k k задачи (3.114) при | λ |� r+ имеют асимптотическое поведение (3.35): λ∞ k = λk (A)[1 + o(1)] = dmk 2/m [1 + o(1)], dm > 0 (k → ∞). (3.131) Кроме полноты, система корневых элементов {u∞}∞ , отвечающая собственным значениk k=1 ∞ ∞ 1 ям {λk }k=1, образует базис Абеля-Лидского порядка α > m/2 в пространстве H (Ω). Таким образом, спектр задачи (3.114) при условии (3.118) имеет две ветви, он расположен в секторах комплексной плоскости C, описанных в теоремах 3.8 и 3.9, а корневые функции обладают приведенными выше свойствами. Отметим еще, что асимптотические формулы (3.127) и (3.131) сохраняются и в случае, когда условие (3.118) может быть не выполнено (см. [29]). 2◦. Спектральная задача Аграновича. Эта задача возникла в теории дифракции (см. [38]) и состоит в нахождении нетривиальных решений задачи Lεu + λu = 0 (в Ω), ∂εu = μ γu (на Γ), (3.132) где λ и μ - комплексные параметры. Здесь по отношению к задаче Стефана (3.99) следует сделать замены λ 1→ -λ в уравнении и λ 1→ μ в граничном условии. Поэтому, исходя из уравнения (3.109) и осуществляя указанные замены, приходим к выводу, что задача (3.132) равносильна спектральной задаче (I + εS)η = -λA-1η + μCη, η ∈ L2(Ω). (3.133) Отсюда получаем две разновидности спектральных задач: одна - при фиксированном λ ∈ C и спектральном параметре μ, а другая - при фиксированном μ ∈ C и спектральном параметре λ. Рассмотрим сначала второй вариант, т. е. будем считать, что λ - спектральный параметр, и перепишем уравнение (3.133) в виде (I + εS - μC)η = -λA-1η. (3.134) Будем далее полагать, что фиксированный параметр μ не совпадает с теми исключительными значениями μj, для которых оператор I + εS - μC необратим, т. е. задача (I + εS)η = μCη (3.135) имеет нетривиальное решение. Отсюда следует (см. пункт 3.3, уравнение (3.86)), что исклюj=1 чительные значения {μj }∞ образуют спектр задачи Стеклова (3.68) и имеют асимптотическое поведение (3.97) (см. теорему 3.5). Тогда (3.134) можно переписать в виде (I + εS - μC)-1A-1η = (-λ-1)η, η ∈ L2(Ω), (3.136) которое с точностью до обозначений совпадает с финальным уравнением (3.60) задачи Неймана- Ньютона (3.28), см. пункт 3.2. Поэтому аналогично утверждениям теоремы 3.3 приходим к следующему выводу. Теорема 3.10. Пусть фиксированный параметр μ в задаче (3.134) не совпадает с какойлибо точкой спектра задачи Стеклова (3.135). Тогда задача (3.134) имеет дискретный k=1 спектр, состоящий из конечнократных собственных значений {λk }∞ с предельной точкой λ = ∞. При любом δ > 0 все собственные значения этой задачи, кроме, быть может, конечного их числа, расположены в секторе |π-arg λ| < δ. Система корневых элементов задачи (3.132) полна в пространстве H1(Ω), а собственные значения имеют асимптотическое поведение λk = -λk (A)[1 + o(1)] = -dmk2/m[1 + o(1)] (k → ∞). (3.137) Корневые элементы задачи (3.132) образуют в пространстве H1(Ω) также базис Абеля- Лидского порядка α > m/2. Рассмотрим теперь другой вариант, когда в уравнении (3.133) μ является спектральным, а λ - фиксированным параметром, и перепишем это уравнение в виде (I + εS + λA-1)η = μCη, η ∈ L2(Ω). (3.138) Напомним (см. пункт 3.5), что здесь C - компактный неотрицательный оператор, причем ker C = L2,0(Ω). Уравнение (3.138) является обобщением задачи (3.86), возникшей в задаче Стеклова (пункт 3.3), и рассуждениями, проведенными для задачи Стеклова (теорема 3.5), а также при доказательстве теоремы 3.10, получаем такой вывод. Теорема 3.11. Пусть в задаче (3.138) фиксированный параметр λ не совпадает с какойj=1 либо точкой -λj, где {λj }∞ - спектр задачи Неймана-Ньютона (пункт 3.2, уравнение k=1 (3.64)). Тогда задача (3.138) имеет дискретный спектр {μk }∞ , состоящий из конечнократных собственных значений с предельной точкой μ = ∞. При любом δ > 0 все собственные значения этой задачи, кроме, быть может, конечного их числа, расположены в секторе |arg μ| < δ. Система корневых элементов задачи (3.132) после проектирования на подпространство H1(Ω) полна в H1(Ω), а собственные значения μk имеют асимптотическое h h поведение (см. (3.95)) μk = λ-1(C)[1 + o(1)] = d˜-1k1/(m-1)[1 + o(1)], k → ∞. k m Кроме того, указанные проекции корневых элементов (3.132) образуют в подпространстве H1 h (Ω) базис Абеля-Лидского порядка α > m - 1. 3◦. Спектральная задача Чуешова. Данная задача возникла при исследовании динамических систем с поверхностной диссипации энергии и восходит к И. Д. Чуешову, который изучал начальнокраевые нелинейные задачи (см. [39, 40]). Соответствующая спектральная задача приводит к задаче Lεu + λ2u = 0 (в Ω), ∂εu = λα γu (на Γ), (3.139) где α > 0 - параметр, характеризующий интенсивность поверхностной диссипации энергии. Снова сравнивая уравнения задач (3.139) и (3.99), видим, что в данной задаче следует сделать замены λ 1→ -λ2 в уравнении и λ 1→ αλ в краевом условии. Отсюда получаем, что задача (3.139) равносильна спектральной задаче (I + εS)η = -λ2A-1η + αλCη, η ∈ L2(Ω). (3.140) Эта задача, даже в невозмущенном случае, когда ε = 0, до сих пор недостаточно исследована. В частности, при ε = 0, α = 0 задача (3.140) имеет дискретный спектр, расположенный на мнимой 1/2 оси, при этом собственные значения λ± = ±iλ (A) определяются через спектр задачи Неймана. k k При возрастании параметра α, как показывают конкретные примеры (плоская задача), спектр {λ±(α)}∞ сдвигается с мнимой оси в правую полуплоскость и при некотором (или некоторых) k k=1 критическом значении α∗ > 0 уходит в бесконечно удаленную точку. При дальнейшем возрастании α спектр {λ±(α)}∞ начинает двигаться влево и при α = +∞ снова попадает на мнимую ось, k k=1 1/2 однако теперь в точки λ±(+∞) = ±iλ (A0), где A0 - оператор невозмущенной спектральной k k задачи Дирихле (пункт 3.1). Вопрос о свойствах спектра и системы корневых элементов задачи (3.140) как в невозмущенном случае, так и в возмущенном (ε = 0) до сих пор остается открытым. 1. О НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ, ПОРОЖДЕННЫХ ПОЛУТОРАЛИНЕЙНОЙ ФОРМОЙ И ПОРОЖДАЮЩИХ СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ Каждая из разобранных выше в разделе 3 спектральных задач порождается начально-краевой задачей, которая получается формальной заменой в спектральных задачах λ 1→ -d/dt и учитывает наличие заданных функций в уравнениях и краевых условиях. 1. Возмущенные классические начально-краевые задачи. 1◦. Начально-краевая задача Дирихле. Она состоит в решении уравнения (см. (3.1)) ∂u + Lεu = f (t) (в Ω), γu = 0 (на Γ), u(0) = u0. (4.1) ∂t Повторяя преобразования, проделанные в пункте 3.1, приходим к выводу, что задача (4.1) равносильна задаче Коши (см. (3.11)) du dt + (A0 - iεB0)u = f (t), u(0) = u0, (4.2) где u = u(t) - искомая функция переменной t со значениями в L2(Ω). Свойства оператора A0 -iεB0 описаны в пункте 3.1. Из этих свойств следует, что оператор B0 вполне подчинен оператору A0, уравнение (4.2) как в невозмущенном варианте (ε = 0), так и в возмущенном (ε = 0) является абстрактным параболическим уравнением, а полугруппа U(t), отвечающая ее генератору -(A0 - iεB0), является аналитической в секторе, содержащем положительную полуось. Отсюда получаем следующий результат (см. [25, теоремы 7.2, 6.7]). Теорема 4.1. Пусть в задаче (4.1) выполнены условия f (t, x) ∈ Cγ ([0,T ]; L2(Ω)), 0 <γ � 1, 0 u0(t, x) ∈ H1(Ω) ∩ H2(Ω) = D(A0), x ∈ Ω. (4.3) Тогда задача (4.2), а вместе с ней и задача (4.1) имеют сильное решение u(t, x) ∈ C1([0,T ]; L2(Ω)) ∩ C([0,T ]; D(A0)), (4.4) и для этого решения все слагаемые в (4.2) являются непрерывными функциями t ∈ [0,T ] со значениями в L2(Ω). 2◦. Начально-краевая задача Неймана-Ньютона. Эта задача порождена задачей (3.28) и имеет вид 0 ∂v ∂t + Lεv = f (в Ω), ∂εv = ψ (на Γ), v(0) = v . (4.5) Повторяя преобразования из пункта 3.2 и отправляясь от уравнения (I + εS)η = λA-1η, η = A1/2v, следующего из (3.60), приходим к выводу, что задача (4.5) равносильна задаче Коши A-1 dη + (I + εS)η = A-1/2f + A1/2V ψ, η(0) = η0 := A1/2v0, (4.6) dt в гильбертовом пространстве L2(Ω). Определения и свойства операторных коэффициентов из (4.5) описаны в пункте 3.2. Осуществим в (4.6) замену A-1η(t) =: w(t). (4.7) Тогда вместо (4.6) возникает задача Коши dw + (I + εS)Aw = A-1/2f (t)+ A1/2V ψ(t), w(0) = w0 = A-1/2v0. (4.8) dt Здесь снова в силу компактности S оператор -(I + εS)A является генератором аналитической полугруппы и так же, как в предыдущем варианте 1◦, приходим к следующему выводу. Теорема 4.2. Пусть в задаче Неймана-Ньютона (4.5) выполнены условия v0(x) ∈ H1(Ω), f (t, x) ∈ Cγ ([0,T ]; (H1(Ω))∗), ψ(t, x) ∈ Cγ ([0,T ]; H-1/2(Γ)), 0 <γ � 1. (4.9) Тогда задача (4.8) имеет сильное по переменной t решение w(t) ∈ C1([0,T ]; L2(Ω)) ∩ C([0,T ]; D(A)). Соответственно исходная задача (4.5) имеет сильное по переменной t решение, у которого ∈ ∈ v(t, x) C([0,T ]; H1(Ω)), ∂v C([0,T ]; (H1(Ω))∗). (4.10) ∂t При этом в уравнении в Ω все слагаемые являются непрерывными функциями переменной t ∈ [0,T ] со значениями в (H1(Ω))∗, а в граничном условии - со значениями в H-1/2(Γ). Доказательство. Если выполнены условия (4.9), то, как следует из рассмотрений пункта 2.3, правая часть в (4.8) принадлежит Cγ ([0,T ]; L2(Ω)), а w0 ∈ D(A). Поэтому (снова см. [25]) задача Коши (4.8) имеет сильное решение, у которого все слагаемые в уравнении (4.8) принадлежат C([0,T ]; L2(Ω)). Отсюда с учетом связей Aw(t) = η(t) = A1/2v(t) получаем, что v(t) ∈ C([0,T ]; D(A1/2)) = C([0,T ]; H1(Ω)). Далее, из свойства dw/dt ∈ C([0,T ]; L2(Ω)) следует, что dv/dt = A1/2dw/dt ∈ C([0,T ]; (H1(Ω))∗). Возвращаясь от (4.6) к уравнению для v(t) = A-1/2η(t), перепишем его в виде - - v = A-1( εBv + f dv )+ V (ψ + εσγv) =: v dt 1 откуда согласно общей формуле (2.32) приходим к выводу, что dv + v2, Отсюда следует, что L0v1 = -εBv + f - dt (в Ω), ∂0v1 = 0 (на Γ), L0v2 = 0 (в Ω), ∂0v2 = εσγv + ψ (на Γ). dv L0v = L0v1 + L0v2 = -εBv + f - dt (в Ω), ∂0v = ∂0v1 + ∂0v2 = εσγv + ψ (на Γ), и потому для v = v(t) выполнены уравнения (4.5). Так как по доказанному dv/dt ∈ C([0,T ]; (H1(Ω))∗), то в уравнении в Ω из (4.5) все слагаемые из C([0,T ]; (H1(Ω))∗). Далее, из свойства v(t) ∈ C([0,T ]; H1(Ω)) следует, что ∂0v ∈ C([0,T ]; H-1/2(Γ)), и потому в граничном условии на Γ все слагаемые из C([0,T ]; H-1/2(Γ)). 3◦. Начально-краевая задача Стеклова. Спектральная задача Стеклова (3.68) порождается начально-краевой задачей вида Lεw = 0 (в Ω), ∂ γw + ∂εw = ψ(t) (на Γ), w(0) = w0 ∂t . (4.11) Повторяя теперь преобразования из пункта 3.3, приходим к выводу, что задача (4.11) равносильна задаче Коши C dη + (I + εS)η = A1/2V ψ, η(0) = η0 := A1/2w0 (4.12) dt в гильбертовом пространстве L2(Ω). Воспользуемся далее тем фактом, что C - компактный неотрицательный оператор, причем L2(Ω) = L2,0(Ω) ⊕ L2,h(Ω), ker C = L2,0(Ω), (4.13) и снова, как и в пункте 3.3, проведем преобразования, связанные с проектированием в (4.12) на подпространства (4.13), считая, что η = η0 + ηh. Вводя еще новую искомую функцию vh(t) := Chηh(t), Ch = PhCPh, (4.14) приходим к задаче Коши в подпространстве L2,h(Ω) (см. (3.92)): dvh + (I dt h + Th h (ε)C-1vh = A1/2V ψ(t), vh h (0) = v0 = Ch PhA1/2w0. (4.15) Здесь Th(ε) - компактный оператор, действующий в L2,h(Ω) (см. (3.93)), причем Ih + Th(ε) обратим. Теорема 4.3. Пусть в задаче (4.11) выполнены условия ψ(t) ∈ Cγ ([0,T ]; H-1/2(Γ)), 0 <γ � 1, w(0) = w0 ∈ H1(Ω). (4.16) Тогда задача (4.15) имеет единственное сильное решение vh(t), для которого все слагаемые в (4.15) являются непрерывными функциями t ∈ [0,T ] со значениями в L2,h(Ω) и выполнено начальное условие. Далее, при условиях (4.16) задача (4.11) имеет единственное сильное реh,ε шение w(t) ∈ C([0,T ]; H1 (Ω)), для которого выполнено граничное условие на Γ, причем в этом 1/2 условии все слагаемые являются элементами из C([0,T ]; H- (Γ)). Доказательство. Уравнение (4.15) является абстрактным параболическим, а оператор -(Ih + h Th(ε))C-1 является генератором аналитической полугруппы операторов, действующей в L2,h(Ω). Кроме того, при условии (4.16) функция A1/2V ψ(t) ∈ Cγ ([0,T ]; L2,h(Ω)), так как V ∈ L(H-1/2(Γ); H1(Ω)), A1/2 ∈ L(H1(Ω); L2,h(Ω)). Наконец, если w0 ∈ H1(Ω), то A1/2w0 ∈ h h L2(Ω), PhA1/2w0 ∈ L2,h(Ω), v0 = ChPhA1/2w0 ∈ D(C-1), R(C-1) = L2,h(Ω). h h h Из этих свойств следует, что задача (4.15) имеет единственное сильное решение vh(t) на отрезке [0,T ], причем для этого решения все слагаемые в уравнении (4.15) являются элементами из h C([0,T ]; L2,h(Ω)) и выполнено начальное условие vh(0) = v0 . Вернемся теперь от задачи (4.15) к задаче (4.12) в пространстве L2(Ω), проведя преобразования, обратные тем, которые были выше проделаны при переходе от (4.12) к (4.15). Тогда приходим к выводу, что существует единственное решение η(t) задачи Коши (4.12), у которого все слагаемые в уравнении (4.12) являются элементами из C([0,T ]; L2(Ω)). Так как оператор (I + εS) обратим, то отсюда получаем (см. второе слагаемое), что η(t) ∈ C([0,T ]; L2(Ω)). Осуществляя еще переход от задачи (4.12) к исходной задаче (4.11), приходим к выводу, что h,ε функция w(t) ∈ C([0,T ]; H1(Ω)), Lεw = 0, т. е. w(t) ∈ C([0,T ]; H1 (Ω)). Отсюда следует, что ∂εw ∈ C([0,T ]; H-1/2(Γ)) и выполнено граничное условие на Γ в (4.11), причем в этом соотношении все слагаемые являются непрерывными функциями переменной t со значениями в H-1/2(Γ). 4◦. Начально-краевая задача Стефана. Задача (3.99) порождается следующей задачей: ∂u ∂t + Lεu = f (t) (в Ω), ∂ γu + ∂εu = ψ(t) (на Γ), u(0) = u0. (4.17) ∂t Она интересна тем, что здесь производная ∂/∂t входит не только в уравнение, но и в краевое условие. Осуществляя в задаче (4.17) те же преобразования, которые в пункте 3.4 были проделаны для задачи (3.99), получаем, что задача (4.17) равносильна задаче Коши (A-1 + C) dη + (I + εS)η = A-1/2f + A1/2V ψ, η(0) = η0 := A1/2u0 (4.18) dt в гильбертовом пространстве L2(Ω). Эта задача обобщает задачу Стеклова (4.12). Здесь, в отличие от (4.12), оператор A-1 + C компактный и положительный, и потому в (4.18) не требуется проводить дополнительное проектирование. Вводя новую искомую функцию по формуле (A-1 + C)η(t) =: v(t), (4.19) получаем из (4.18) задачу Коши dv + (I + εS)(A-1 + C)-1v = A-1/2f + A1/2V ψ(t), dt v(0) = (A-1 + C)η0 = (A-1 + C)A1/2u0. (4.20) Теорема 4.4. Пусть в задаче (4.17) выполнены условия u0 ∈ H1(Ω), f (t) ∈ Cγ ([0,T ]; (H1(Ω))∗), ψ(t) ∈ Cγ ([0,T ]; H-1/2(Γ)), 0 <γ � 1. (4.21) Тогда задача (4.20), а вместе с ней и задача (4.18) имеют единственное сильное решение v(t) ∈ C([0,T ]; D((A-1 +C)-1)) и соответственно η(t) ∈ C([0,T ]; L2(Ω)). При этом в (4.20) и (4.18) все слагаемые являются элементами из C([0,T ]; L2(Ω)). Далее, при сформулированных условиях исходная задача Стефана (4.17) имеет единственное сильное решение u(t) ∈ C([0,T ]; H1(Ω)), для которого все слагаемые в уравнении (4.17) являются элементами из C([0,T ]; (H1(Ω))∗), а в граничном условии - элементами из C([0,T ]; H-1/2(Γ)). Доказательство. Если выполнены условия (4.21), то в уравнении (4.20) правая часть принадлежит Cγ ([0,T ]; L2(Ω)), а v0 ∈ D((A-1 + C)-1). При этом оператор -(I + εS)(A-1 + C)-1 является генератором аналитической полугруппы операторов, действующей в L2(Ω). Отсюда следует, что задача (4.20) имеет единственное сильное решение из C([0,T ]; D((A-1 + C)-1)), а потому задача (4.18) - единственное сильное решение η(t) ∈ C([0,T ]; L2(Ω)) (см. замену (4.19)), причем в (4.20) и (4.18) все слагаемые являются элементами из C([0,T ]; L2(Ω)). Вернемся теперь в (4.18) к искомой функции u(t) = A-1/2η(t) ∈ C([0,T ]; H1(Ω)) (4.22) и подействуем слева оператором A-1/2. Учитывая еще формулы (3.54) и (3.53) для S, придем к соотношению u = A-1(-εBu - du - f (t)) + V (εσγu - d γu + ψ(t)) =: u + u . (4.23) Равенство dt dt 1 2 du u1 = A-1(-εBu - равносильно условиям (см. (3.31), (3.32)) du dt - f (t)) (4.24) L0u1 = -εBu - dt - f (t) (в Ω), ∂0u1 = 0 (на Γ). (4.25) Соответственно равенство равносильно условиям d u2 = V (εσγu - dt (γu)+ ψ(t)) (4.26) d L0u2 = 0 (в Ω), ∂0u2 = εσγu - dt (γu)+ ψ(t) (на Γ). (4.27) Отсюда приходим к связям du L0(u1 + u2) = L0u = -εBu - dt - f (t) (в Ω), d ∂0(u1 + u2) = ∂0u = -εσγu - dt (γu)+ ψ(t) (на Γ), откуда получаем соотношения (4.28) du dt + Lεu = f (t) (в Ω), d dt (γu)+ ∂εu = ψ(t) (на Γ), (4.29) т. е. уравнения (4.17) исходной задачи Стефана. Из (4.22) следует, что L0u ∈ C([0,T ]; (H1(Ω))∗); кроме того, из свойства B ∈ L(H1(Ω); L2(Ω)) (лемма 3.1) получаем, что -εBu ∈ C([0,T ]; L2(Ω)) ⊂ C([0,T ]; (H1(Ω))∗). Поэтому в (4.29) все слагаемые в первом уравнении являются элементами из C([0,T ]; (H1(Ω))∗). Аналогичным образом, опираясь на свойство ∂εu ∈ C([0,T ]; (H-1/2(Γ)), следующее из (4.22), устанавливаем, что все слагаемые во втором уравнении (4.29) являются элементами из C([0,T ]; (H-1/2(Γ))). 2. Некоторые неклассические начально-краевые задачи математической физики. Здесь будут рассмотрены начально-краевые задачи, порождающие спектральные задачи Крейна, Аграновича и Чуешова (см. пункт 3.5). 1◦. Начально-краевая задача С. Крейна. Эта задача порождает спектральную задачу (3.114), если считать, что u(t) отвечает полю скорости в вязкой жидкости, а w(t) - полю смещений частиц жидкости от состояния равновесия, причем u(t) = dw/dt. Тогда приходим к задаче d2w dw d ⎫ dt2 + Lε dt = f (t) (в Ω), o ⎬ ∂ w + γw = ψ(t) (на Γ),⎪ dt (4.30) w(0) = w0, dw (0) = u(0) = u0. ⎪⎭ dt 2 Снова повторяя преобразования из пункта 3.4, получаем, что задача (4.30) равносильна задаче Коши A-1 d η dη 1/2 1/2 ⎫ dt2 + (I + εS) dt + Cη = A- f (t)+ A V ψ(t),⎪⎬ (4.31) η := A1/2w, η(0) = A1/2w0, dη (0) = A1/2u0 ⎪⎭ dt в гильбертовом пространстве L2(Ω). Эту задачу, в свою очередь, можно преобразовать в задачу Коши для системы двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка в пространстве L2(Ω) ⊕ L2(Γ). С этой целью перепишем задачу (4.30) в виде (см. 3◦ из пункта 2.3) dw dw d2w ⎫ L0 dt = -εB dt + f - dt2 (в Ω), ⎪⎬ (4.32) dw dw ⎪⎭ ∂0 dt = εσγ dt - γw + ψ (на Γ) и воспользуемся формулой (2.32) при ε = 0: - dw = A-1( εB dw dt dt + f - d2w dt2 dw )+ V (εσγ dt - γw + ψ). (4.33) Возникает дифференциально-операторное уравнение второго порядка 2 A-1 d w 1 dw 1 которое после замены dt2 + [I + ε(A- B - V σγ)] dt + V γw = A- f + V ψ, (4.34) w(t) = A-1/2η(t) (4.35) и действия слева оператором A1/2 (это можно сделать) переходит в уравнение 2 A-1 d η dη 1/2 1/2 dt2 + (I + εS) dt + Cη = A- f + A V ψ, (4.36) C = (A1/2V )(γA-1/2) = (γA-1/2)∗(γA-1/2). Перейдем теперь от (4.36) к системе двух дифференциальных уравнений следующим образом. Осуществим в (4.36) замены Тогда, используя связь η(t) = Av(t), - dξ = i(γA-1/2)η(t), ξ(0) = 0. (4.37) dt d2ξ dt2 = -i(γA- 1/2) dη , dt dξ - (0) = i(γA- dt 1/2 )η(0), (4.38) приходим вместо (4.36) к следующей системе уравнений и начальных условий: d2v dv 1/2 dξ 1/2 1/2 dt2 + (I + εS)A dt + i(γA- )∗ = A- dt f + A V ψ, (4.39) d2ξ dt2 + i(γA- 1/2 dv )A = 0, dt dv (0) = A- dt 1/2 u0, 0 dξ - (0) = iγw , dt в которых присутствуют лишь производные от искомых функций. Осуществляя еще здесь замену d v t v1(t) , (4.40) dt ξ = e ξ1(t) получим задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка в пространстве L2(Ω) ⊕ L2(Γ): d v1 + I + εS + A- i(γA ) A 0 v1 1 i(γA-1/2 -1/2 ∗ 0 I ξ1 = dt ξ1 ) I (4.41) = e-t A-1/2f (t)+ A1/2V ψ(t) 0 , v1(0) = A-1/2u0, ξ1(0) = -iγw0. Теорема 4.5. Пусть в задаче (4.30) выполнены условия w0 ∈H1(Ω), u0 ∈ H1(Ω), f (t) ∈ Cγ ([0,T ]; (H1(Ω))∗), ψ(t) ∈ Cγ ([0,T ]; H-1/2(Γ)), 0 <γ � 1. (4.42) Тогда существует единственное решение этой задачи w(t) ∈ C1([0,T ]; H1(Ω)), для которого все слагаемые в уравнении (4.30) являются непрерывными функциями t ∈ [0,T ] со значениями в (H1(Ω))∗, а в граничном условии на Γ - непрерывными функциями t со значениями в H-1/2(Γ). Доказательство. Оно проводится по схеме, уже использованной при доказательстве теоремы 4.4. Заметим сначала, что уравнение (4.41) снова абстрактное параболическое, так как оператор diag(A; I) самосопряжен и положительно определен на области определения D(A) ⊕ L2(Γ), и этот оператор умножается на операторную матрицу, имеющую структуру единичного плюс компактного оператора, действующего в L2(Ω) ⊕ L2(Γ). Действительно, S и A-1 - компактные операторы в L2(Ω), а γA-1/2 ∈ L(L2(Ω); H1/2(Γ)), H1/2(Γ) '→'→ L2(Γ). Если выполнены условия (4.42), то в правой части A-1/2f (t)+ A1/2V ψ(t) ∈ Cγ ([0,T ]; L2(Ω)), 0 <γ � 1, v1(0) = A-1/2u0 ∈ D(A), ξ1(0) = -iγw0 ∈ H1/2(Γ) ⊂ L2(Γ). Поэтому при условиях (4.42) задача Коши (4.41) имеет единственное решение (v1(t); ξ1(t))τ на отрезке [0,T ], причем все слагаемые (4.41) являются непрерывными функциями t со значениями в L2(Ω) ⊕ L2(Γ). Отсюда, согласно замене (4.40), получаем, что для функции (v(t); ξ(t))τ справедливы уравнения задачи (4.39), где все слагаемые - элементы из C([0,T ]; L2(Ω)) либо C([0,T ]; L2(Γ)) соответственно. Далее, из (4.37)-(4.39) тогда следует, что для функции η(t) справедливо уравнение (4.36), где все слагаемые - элементы из C([0,T ]; L2(Ω)). Отсюда в силу замены (4.35) получаем, что справедливо уравнение (4.34), где все слагаемые - элементы из C([0,T ]; H1(Ω)). Переписывая это уравнение в виде (4.33), приходим к выводу, что функция dw/dt дает решение задачи (4.32), т. е. исходной задачи (4.30). При этом dw/dt = A-1/2dη/dt ∈ C([0,T ]; H1(Ω)), следовательно, -εBdw/dt ∈ C([0,T ]; L2(Ω)), L0dw/dt ∈ C([0,T ]; (H1(Ω))∗). Значит, все слагаемые в уравнении (4.30) в Ω - элементы из C([0,T ]; (H1(Ω))∗). Аналогично, опираясь на свойства σγdw/dt ∈ C([0,T ]; H-1/2(Γ)), γw ∈ C1([0,T ]; H1/2(Γ)), убеждаемся, что все слагаемые в граничном условии из (4.30) - элементы из C([0,T ]; H-1/2(Γ)). 2◦. Начально-краевые задачи Аграновича. Эти две задачи порождают спектральную задачу (3.116) в следующих вариантах. 1. Если параметр μ ∈ C фиксирован и задан, то начально-краевая задача, отвечающая задаче Аграновича (3.116), формулируется следующим образом: dv + Lεv = f (t) (в Ω), ∂εv = μ γv + ψ(t) (на Γ), v(0) = v0. (4.43) dt По постановке она близка к начально-краевой задаче Неймана-Ньютона (4.5). Снова отправляясь от преобразований пункта 3.2, приходим к выводу, что задача (4.43) равносильна задаче Коши - A-1 dη + (I + εS μC)η = A-1/2f + A1/2V ψ, η(0) = η0 := A1/2v0, (4.44) dt которая рассматривается в пространстве L2(Ω), обобщает задачу (4.5) и при μ = 0 совпадает с ней. Так как в (4.44) C - компактный оператор, то уравнение (4.44) - абстрактное параболическое. Поэтому для первой начально-краевой задачи (4.43) справедливы утверждения теоремы 4.2 при выполнении условий (4.9). 2. Второй вариант соответствует ситуации, когда в спектральной задаче (3.116) параметр λ фиксирован и задан. Тогда возникает начально-краевая задача Lεw + λw = 0 (в Ω), d γw + ∂εw = ψ(t) (на Γ), w(0) = w0 dt , (4.45) близкая к начально-краевой задаче Стеклова (3.125). Повторяя преобразования пункта 3.3, получаем, что задача (4.45) равносильна задаче Коши dη C + (I + εS + λA-1)η = A1/2V ψ(t), η(0) = η0 := A1/2w0, (4.46) dt обобщающей задачу (4.12) и при λ = 0 совпадающей с ней. От задачи (4.46), как и в пункте 3.3, можно перейти путем проектирования на подпространство L2,h(Ω) к задаче Коши вида (4.15) с компактным оператором Th(ε; λ), учитывающим дополнитель- ∞ ное слагаемое λA-1 ∈ S (L2(Ω)). Отсюда следует, что для исходной второй начально-краевой задачи Аграновича справедливы утверждения теоремы 4.3 при выполнении условий (4.16). 3◦. Начально-краевая задача Чуешова. Спектральная задача Чуешова (3.139) порождается начально-краевой задачей d2u d ⎫ dt2 + Lεu = f (t) (в Ω), αdtγu + ∂εu = ψ(t) (на Γ),⎪⎬ (4.47) u(0) = u0, du (0) = u1. ⎪⎭ dt Повторяя, как и в задаче (4.31), переход от (4.31) к задаче (4.43), приходим к выводу, что задача (4.47) равносильна задаче Коши 2 A-1 d η dη 1/2 1/2 ⎫ dt2 + αC dt + (I + εS)η = A- f (t)+ A V ψ(t),⎪⎬ (4.48) η(0) = η0 := A1/2u0, dη (0) = η1 := A1/2u1. ⎪⎭ dt Задачу (4.48) можно преобразовать в задачу Коши для системы двух интегродифференциальных уравнений первого порядка путем следующих преобразований. Перепишем (4.48) в виде 2 A-1/2 d -1/2 dη -1/2 dt dt2 (A η)+ αC + (I + ε(S2 - S1))η = A f (t), (4.49) учитывающем выражение для оператора S, см. пункт 3.2. Будем здесь считать, что выполнено условие 1 |ε|( S1 + S2 ) < 1, S1 = S∗ = (A1/2V )σ(γA-1/2), S2 := A-1/2(BA-1/2). (4.50) Тогда оператор I - εS1 » 0 и потому также Iε := (I - εS1)1/2 » 0. Введем далее новую искомую функцию w(t) соотношениями dw -iIεη(t) =: , w(0) = 0, (4.51) dt и будем считать, что η(t) и dw/dt дифференцируемы по t. Тогда вместо задачи Коши для уравнения (4.49) приходим к задаче A-1/2 0 d2 A-1/2 0 η l αC iIε d η A-1/2f (t) - εS2η(t) 0 I dt2 0 I w + iIε 0 dt w = 0 , (4.52) η A1/2u0 d η A1/2u1 w (0) = 0 , dt w , = t=0 -iIεA1/2u0 в которой слева стоят лишь производные от искомых функций. Осуществляя еще здесь замену d η(t) A1/2 0 η1(t) (4.53) dt w(t) = 0 I w1(t) и действуя слева оператором diag (A1/2; I), приходим к задаче Коши для интегродифференциального уравнения первого порядка в L2(Ω) ⊕ L2(Ω): d η1 + ( A1/2 0 αC iIε A1/2 0 η1 = dt w1 t 0 I iIε 0 0 I w1 (4.54) f (t)+ Bu0 r B 0 η1(s) η1(0) u1 = 0 - ε 0 0 0 w1(s) dS, w1(0) = -iIεA1/2u0. Изучим теперь свойства операторных матриц в этом уравнении. Лемма 4.1. Операторная матрица A в фигурных скобках в (4.54) является максимальным аккретивным оператором, действующим в L2(Ω) ⊕ L2(Ω) и заданным на области определения D(A) = {(η1; w1)τ : η1 ∈ D(A1/2), αCA1/2η1 + iIεw1 ∈ D(A1/2)}. (4.55) Доказательство. Свойство аккретивности этой операторной матрицы следует из неравенства 2 Re(A(η1; w1)τ , (η1; w1)τ )L (Ω) L (Ω) = α(CA1/2η1, A1/2η1)L Ω = α γη1 � 0, (4.56) 2 ⊕ 2 2 L2(Γ) так как C = (A1/2V )(γA-1/2) = (γA-1/2)∗(γA-1/2). Далее, эта операторная матрица обратима и A-1/2 0 0 -iI-1 A-1/2 0 A-1 = 0 I -Ii-1 ε αI-1CI-1 0 I . (4.57) o ε ε Так как здесь все операторные матрицы ограничены и потому A-1 задана на всем пространстве L2(Ω) ⊕ L2(Ω), то область значений A совпадает со всем пространством L2(Ω) ⊕ L2(Ω). Значит, аккретивный оператор A является максимальным аккретивным. То, что его область определения имеет вид (4.55), проверяется непосредственно. Следствием леммы 4.1 является такое утверждение: оператор (-A) является генератором сжимающей C0-полугруппы операторов, действующей в L2(Ω) ⊕ L2(Ω). Отметим еще одно обстоятельство в задаче (4.54): оператор B := diag (B; 0) задан на области определения D(B) = D(B) ⊕ L2(Ω) = H1(Ω) ⊕ L2(Ω) = D(A1/2) ⊕ L2(Ω) (4.58) и потому (см. (4.55)) D(B) ⊃ D(A). (4.59) Наконец, далее понадобится еще одно утверждение, которое является простейшим вариантом теоремы 1.3.2 из [15, с. 23]. Лемма 4.2. Пусть в задаче Коши для интегродифференциального уравнения t du r dt = A0u + 0 G(t, s)A1u(s)ds + f (t), u(0) = u0, (4.60) выполнены следующие условия: 1◦. Оператор A0 является генератором C0-полугруппы, действующей в гильбертовом пространстве H. 2◦. Выполнено включение D(A0) ⊂ D(A1). 3◦. Оператор-функции G(t, s), ∂G(t, s)/∂t непрерывны по своим переменным при 0 � s � t � T и принимают значения из L(H). 4◦. Выполнены условия f (t) ∈ C1([0,T ]; H), u0 ∈ D(A0). Тогда задача Коши (4.60) имеет единственное сильное решение u(t) на отрезке [0,T ], т. е. u(t) ∈ C1([0,T ]; H) ∩ C([0,T ]; D(A0)); (4.61) при этом все слагаемые в уравнении (4.60) являются непрерывными функциями t ∈ [0,T ] и u(0) = u0. Итогом рассмотрения задачи Чуешова (4.47) является следующее утверждение. Теорема 4.6. Пусть в задаче (4.47) выполнены следующие условия: f (t) ∈ C1([0,T ]; L2(Ω)), u0, u1 ∈ H1(Ω) = D(A1/2), (4.62) и условие согласования начальных данных αCA1/2u1 + (I - εS1)A1/2u0 ∈ D(A1/2). (4.63) Тогда существует единственное сильное решение задачи (4.47), т. е. такая функция u(t) ∈ C2([0,T ]; L2(Ω)), (4.64) для которой выполнено уравнение в Ω из (4.47), где все слагаемые являются элементами из C([0,T ]; L2(Ω)), и граничное условие на Γ, где все слагаемые - элементы из C([0,T ]; H1/2(Γ)). Доказательство. Если выполнены условие (4.50) и условия (4.62), (4.63) для u0 и u1, то в задаче (4.54) (η1(0); w1(0))τ ∈ D(A) (см. (4.55)). Кроме того, в этой задаче (f (t) + Bu0; 0)τ ∈ C1([0,T ]; L2(Ω) ⊕ L2(Ω)). Наконец, оператор (-A) является генератором сжимающей C0-полугруппы (лемма 4.1) и выполнено условие (4.59). Поэтому задача (4.47) является частным случаем задачи (4.60) при H = L2(Ω) ⊕ L2(Ω), A0 = -A, A1 = B, G(t, s) ≡ diag(I; I). Отсюда по лемме 4.2 приходим к выводу, что при выполнении условий (4.62), (4.63) задача (4.54) имеет единственное сильное решение (η1(t); w1(t))τ ∈ C1([0,T ]; L2(Ω) ⊕ L2(Ω)) ∩ C([0,T ]; H1(Ω) ⊕ L2(Ω)), (4.65) для которого все слагаемые в (4.54) - элементы из C([0,T ]; L2(Ω) ⊕ L2(Ω)). Осуществляя теперь обратную замену (4.53) и действуя оператором diag(A-1/2; I), получаем из (4.54), что справедливо уравнение (4.52), где η(t) ∈ C2([0,T ]; (H1(Ω))∗) ∩ C1([0,T ]; L2(Ω)), w(t) ∈ C2([0,T ]; L2(Ω)) ∩ C1([0,T ]; L2(Ω)) = C2([0,T ]; L2(Ω)). (4.66) Исключая переменную w(t) (см. (4.51)), приходим к уравнению (4.49) для функции η(t). Наконец, осуществляя еще исходную замену u(t) = A-1/2η(t), приходим к дифференциальному уравнению для функции u(t), которое удобно переписать в виде 2 u = A-1(f - d u - εBu)+ V (εσγu - α d (γu)). (4.67) dt2 dt Отсюда с помощью приема, который уже встречался при доказательстве теоремы 4.2, получаем, что для функции u(t) выполнены соотношения d2u d L0u = f - dt2 - εBu (в Ω), ∂0u = εσγu - αdt (γu) (на Γ), (4.68) откуда следует, что выполнены уравнение и краевое условие задачи (4.47). Из свойств (4.66) для η(t) после проведенной замены получаем, что u(t) ∈ C2([0,T ]; L2(Ω)) ∩ C1([0,T ]; H1(Ω)). (4.69) Отсюда следует, что правая часть в уравнении (4.68) является элементом из C([0,T ]; L2(Ω)), и тогда в уравнении (4.47) все слагаемые - элементы из C([0,T ]; L2(Ω)). В граничном условии на Γ из (4.47) соответственно имеем d а также свойство ∈ α (γu) C([0,T ]; H1/2(Γ)), dt εσγu ∈ C1([0,T ]; H-1/2(Γ)). Поэтому в граничном условии на Γ в (4.47) оба слагаемых - элементы из C([0,T ]; H1/2(Γ)).