Современная математика. Фундаментальные направления

Известные нелинейные кинетические уравнения, в частности, волновое кинетическое уравнение и квантовые уравнения Нордхейма—Улингa—Уленбека, рассматриваются как естественное обобщение классического пространственно-однородного уравнения Больцмана. С этой целью введем общее кинетическое уравнение типа Больцмана, зависящее от функции четырех действительных переменных \(F(x,y; v,w).\) Предполагается, что функция \(F\) удовлетворяет некоторым простым соотношениям. Изучены основные свойства этого кинетического уравнения. Показано, что упомянутым выше частным кинетическим уравнениям соответствуют различные полиномиальные формы функции \(F.\) Далее рассматривается задача дискретизации общего кинетического уравнения типа Больцмана на основе идей, аналогичных тем, что используются для построения дискретных скоростных моделей уравнения Больцмана. Основное внимание уделено дискретным моделям волнового кинетического уравнения. Показано, что такие модели имеют монотонный функционал, аналогичный \(H\)-функции Больцмана. Сформулирована и исследована теорема существования, единственности и сходимости к равновесию решений задачи Коши с произвольными положительными начальными условиями. Также кратко обсуждаются различия в долговременном поведении решений волнового кинетического уравнения и решений его дискретных моделей.

В статье построено решение задачи Римана для неоднородной нестрого гиперболической системы двух уравнений, являющейся следствием уравнений Эйлера-Пуассона без давления [9]. Эти уравнения могут быть рассмотрены для случаев притягивающей и отталкивающей силы, и для случаев нулевого и ненулевого основного фона плотности. Решение задачи Римана для каждого случая является нестандартным и содержит дельтаобразную сингулярность в компоненте плотности. В [16] построено решение для комбинации, соответствующей модели холодной плазмы (отталкивающая сила и ненулевой фон плотности). В настоящей работе рассмотрены три оставшихся случая.

Рассматривается задача о существовании предельных циклов у автономных систем дифференциальных уравнений. Излагаются вполне элементарные соображения, которые могут быть полезны при обсуждении качественных вопросов, возникающих в курсе обыкновенных дифференциальных уравнений. Установлено, что любая простая замкнутая кривая, заданная уравнением \(F(x,y)=1\) с достаточно общей функцией \(F,\) является предельным циклом для соответствующей автономной системы на плоскости (и даже для бесконечного множества систем, зависящих от вещественного параметра). Эти системы выписываются явно. Подробно разобрано несколько конкретных примеров. Приведены графические иллюстрации.

В работе приводится обзор результатов об априорных оценках для систем минимальных дифференциальных операторов в шкале пространств \(L^p(\Omega),\) где \(p\in[1,\infty].\) Приведены результаты о характеризации эллиптических и \(l\)-квазиэллиптических систем при помощи априорных оценок в изотропных и анизотропных пространствах Соболева \(W_{p,0}^l(\mathbb R^n),\) \(p\in[1,\infty].\) При заданном наборе \(l=(l_1,\dots,l_n)\in\mathbb N^n\) доказаны критерии существования \(l\)-квазиэллиптических и слабо коэрцитивных систем, а также указаны широкие классы слабо коэрцитивных в \(W_{p,0}^l(\mathbb R^n),\) \(p\in[1,\infty],\) неэллиптических и неквазиэллиптических систем. Кроме того, описаны линейные пространства операторов, подчиненных в \(L^\infty(\mathbb R^n)\)-норме тензорному произведению двух эллиптических дифференциальных полиномов.

Основная цель работы - построить аналоги символов Кристоффеля для бесконечномерных систем и на этой основе получить уравнения геодезических для таких систем. Указанные аналоги представляют особый интерес в плане выявления взаимосвязи между динамикой систем с бесконечным числом степеней свободы и геометрией Римана, а также геометрией, определяемой псевдоримановой метрикой.