To geometric aspects of in nite-dimensional dynamical systems

Abstract

The main goal of the work is to construct analogues of Christoffel symbols for infinitedimensional systems and on this basis to obtain geodesic equations for such systems. These analogies are of particular interest in terms of identifying the relationship between the dynamics of systems with an infinite number of degrees of freedom and Riemannian geometry, as well as geometry defined by the pseudo-Riemannian metric.

Full Text

1. Введение Предмет настоящей статьи находится между аналитической механикой и римановой геометрией. Тензорные методы давно начали применять в динамике конечномерных систем [5]. Первоначально они были направлены на использование в динамике идей римановой геометрии. В свою очередь, задачи механики способствовали развитию геометрии. За более чем сто лет были получены значительные результаты (см., например, [2, 5, 8] и имеющиеся там ссылки). В частности, было показано, что кривизна многообразия - инвариант, различающий римановы метрики существенно влияет на вид геодезических на нем, т. е. на движение в соответствующей динамической системе [1]. Геодезическими называются линии являющиеся решениями уравнений где Γjki - символы Кристоффеля второго рода. Здесь и далее по повторяющимся индексам сомножителей, расположенным на разных уровнях, подразумевается суммирование. © В.М. Савчин, 2024 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 163 Если метрика невырождена (т. е. ), то , (1.1) где - матрица, обратная к (alk). Символы Кристоффеля первого рода находятся через компоненты метрического тензора по формулам . (1.2) Как отмечено в работе [3], в задачах механики в качестве римановой метрики естественно выбрать метрику, которая определяет кинетическую энергию системы. Наша основная цель - построить аналоги символов Кристоффеля (1.1), (1.2) для бесконечномерных систем и на этой основе получить уравнения геодезических для таких систем. 2. Постановка задачи. Уравнения геодезических Обозначим U = C2 ([t0,t1],U1), V = C ([t0,t1],U1), где U1, V1 - линейные нормированные пространства над полем действительных чисел R, U1 ⊆ V1. Пусть состояние бесконечномерной динамической системы определяется функцией u ∈ U, удовлетворяющей условиям u|t=t0 = u0, u|t=t1 = u1, где u0, u1 - заданные элементы из U1. Кривой u в U1 назовем отображение u : [t0,t1] → U1. Будем следовать обозначениям и терминологии работ [2, 7]. Пусть задана симметрическая невырожденная билинейная форма и кинетическая энергия системы, где Au - линейный дифференцируемый по Гато оператор, в общем случае, зависящий нелинейно от. Обозначим - плотность действующих на систему сил; ; дифференциал Гато δF[u,h] = . Построение в работе сопряженных операторов основано на тождестве Лагранжа [4]. Определение 2.1. Функция u ∈ D (F) называется стационарной для функционала F, если . Теорема 2.1. Стационарная функция функционала F[u] является решением операторного уравнения , (2.1) где (...)∗ -оператор, сопряжённый к оператору (...) относительно заданной билинейной формы,. Доказательство. Для дальнейшего использования отметим, что при существовании производной Гато оператора N имеет место равенство [9] , (2.2) где . Используя равенство (2.2), получаем Отсюда находим (2.3) Поскольку , то из (2.3) получаем (2.4) Принимая во внимание, что , из (2.4) находим Из условия получаем операторное уравнение (2.1). Теорема доказана. Следствие 2.1. Если A∗u = Au, то уравнение (2.1) принимает вид . (2.5) При отсутствии сил движение системы с кинетической энергией T [u,ut] можно интерпретировать как движение в U по инерции при метрике . (2.6) Заимствуя терминологию в механике, при таком движении траектории (кривые) называют геодезическими линиями относительно метрики (2.6). Таким образом, задача о движении по инерции сводится к нахождению геодезических линий. Операторное уравнение (2.5) выражает далеко идущее обобщение этого факта. Следствие 2.2. Если A∗u = Au и существует обратный оператор A-u 1, то уравнение (2.1) представимо в виде . (2.7) Рассмотрим конечномерную систему с координатами , и кинетической энергией , где - симметрическая матрица, . Теорема 2.2. Если, то уравнение (2.7) совпадает с уравнениями геодезических (2.8) где -символы Кристоффеля. Доказательство. В рассматриваемом частном случае Имеем Отсюда находим Интегрируя по частям, получаем Поскольку то поменяв индексы суммирования в слагаемых под знаком интеграла, находим Учитывая симметричность матрицы , приходим к равенству Из условия заключаем, что u является решением системы уравнений akju¨j + Γk,iju˙iu˙j = 0, (2.9) где Γk,ij - символы Кристоффеля первого рода (1.2). Поскольку , то систему уравнений (2.9) можно разрешить относительно u¨j . В результате приходим к системе уравнений (2.8). Таким образом, получены уравнения геодезических (2.8). Теорема доказана. Сопоставляя уравнения (2.7), (2.8), из изложенного выше заключаем, что справедливо Следствие 2.3. Уравнение (2.7) -операторный аналог уравнений геодезических (2.8), при этом оператор (2.10) определяет аналог символов Кристоффеля первого рода Γk,ij, а K2u[·] = A-u 1K1u[·] -аналог символов Кристоффеля второго рода Γkij. D Оператор , определённый формулой dt , является аналогом ковариантной производной ut по t. Указанные выше аналоги представляют особый интерес в плане взаимосвязи с геометрией Римана, а также геометрией, определяемой псевдоримановой метрикой. 3. Движение системы с потенциальными силами Рассмотрим теперь случай, когда на систему с кинетической энергией действуют силы с плотностью F(u) = Puut + Q(t,u). Здесь ∀t ∈ [t0,t1] и ∀u ∈ U1 оператор Pu : U1 → V1 является линейным и в общем случае нелинейно зависящим от t, u; Q : [t0,t1] × U1 → V1 - произвольный оператор, вообще говоря, нелинейный. Будем предполагать, что при каждых t ∈ [t0,t1] и g(t), u(t) ∈ U1 функция Pug(t) со значениями в V1 непрерывно дифференцируема. Тогда уравнения движения заданной динамической системы могут быть представлены в операторном виде . Определение 3.1. Силы с плотностью F(u) называются потенциальными на D (N) относительно билинейной формы если существует функционал Π[u] такой, что его дифференциал Гато t1 t1 gradΠ[. t0 t0 Если D(N) - выпуклое множество, то для этого необходимо и достаточно выполнения критерия потенциальности [7] . (3.1) При этом искомый потенциал Π[u] может быть найден по формуле const, где uˆ - произвольный фиксированный элемент из D(N). Теорема 3.1. Если Dt∗ = -Dt и силы с плотностью F(u) = Puut +Q(t,u) потенциальны, то существуют операторы R(t,u) и B[u] такие, что . Доказательство. Имеем Отсюда получаем Теперь условие (3.1) может быть представлено в виде Преобразуя, получаем B силу невырожденности рассматриваемый билинейной формы и произвольности отсюда получаем условия потенциальности сил с плотностью F(u) = Puut + Q(t,u) в виде . При их выполнении искомый потенциал Π[u] находится по формуле const. Определим искомые операторы R и B соответственно формулами const, const. Найденные так операторы R и B позволяют записать функционал . Отметим, что . Таким образом, для потенциальности сил с линейной по скорости ut плотностью F(u) = Puut+ Q(t,u) необходимо и достаточно, чтобы имело место представление . Теорема доказана. 4. Пример Обозначим U = C2 ([t0,t1],U1), V = C ([t0,t1],V1); Ω- ограниченная область в R3 с кусочногладкой границей - оператор Лапласа, . Положим Au = -Δ + αu + βu2, где α, β -постоянные. Будем считать, что область определения D (Au) оператора Au состоит из тех функций u ∈ U, которые удовлетворяют условиям , где Зададим билинейную форму Определим квадратичную форму по , которую будем трактовать как кинетическую энергию некоторой системы. Найдем вид уравнения (2.1) для этого случая. С этой целью получаем Найдем. Имеем . Таким образом, . Далее получаем Согласно формуле (2.10) находим . Таким образом, в рассматриваемом случае уравнение (2.1) принимает вид Если предположить, что на систему действуют силы с плотностью , то получаем уравнение . При α = β = 0 отсюда приходим к уравнению Соболева [6] , (4.1) связанному с исследованиями колебаний жидкости во вращающемся сосуде. Нетрудно проверить, что для уравнения (4.1) при соответствующих граничных условиях существует первый интеграл const. 5. Заключение Уравнения движения вида (2.1), (2.7) допускают содержательную интерпретацию в терминах римановой геометрии. При этом определяющими являются полученные операторные аналоги символов Кристоффеля первого и второго рода, а также обобщенная ковариантная производная. На их основе составляются уравнения геодезических для бесконечномерных систем. Изложенный операторный подход позволяет рассматривать задачи как с римановыми, так и псевдоримановыми метриками.