On the Boyarsky-Meyers estimate for the solution of the Dirichlet problem for a second-order linear elliptic equation with drift

Abstract

We establish the increased integrability of the gradient of the solution to the Dirichlet problem for the Laplace operator with lower terms and prove the unique solvability of this problem.

Full Text

Введение В настоящей работе рассматривается однородная задача Дирихле для неоднородного уравне- ния Пуассона со сносом. Основной целью является доказательство повышенной суммируемости градиента решения этой задачи в предположении, что правая часть тоже обладает повышенной суммируемостью. Повышенная суммируемость градиента решений эллиптических уравнений привлекает вни- мание учёных-математиков на протяжении нескольких десятилетий. В пионерской работе [1] рассмотрен случай линейных дивергентных равномерно эллиптических уравнений второго по- рядка с измеримыми коэффициентами в плоской ограниченной области. Позже в многомерном случае для уравнений такого же вида повышенная суммируемость градиента решения задачи Дирихле в области с достаточно регулярной границей была установлена в [17]. После этой ра- боты оценки повышенной суммируемости градиента решений общепринято называть оценками типа Мейерса, хотя справедливее было бы их называть оценками Боярского-Мейерса. Оценка Боярского-Мейрса решения задачи Дирихле в области с липшицевой границей для уравнения p-Лапласа с переменным показателем p, обладающим логарифмическим модулем непрерывности, впервые получена в [19]. Позже в работах [6, 12] этот результат был усилен и распространен на системы эллиптических уравнений с переменным показателем суммируемости. Отметим, что в статье [19] стимулом изучения оценок Мейерса явилась задача о термисторе, дающей совмест- ное описание потенциала электрического поля и температуры (см. [11, 15, 19]). Такого же рода системы возникают и в гидромеханике квазиньютоновых жидкостей. Также рассматривался вопрос об оценках повышенной суммируемости градиента решения за- дачи Зарембы - см. работы [4, 7-9], в которых для линейного эллиптического уравнения в дивер- гентной форме получена оценка повышенной суммируемости градиента решения задачи Зарем- бы в областях с липшицевой границей и быстрой сменой краевых условий Дирихле и Неймана с повышенным показателем суммируемости, не зависящим от частоты смены краевых условий. Такого рода оценки важны в теории усреднения задач с быстрой сменой краевых условий, они позволяют улучшить скорость сходимости допредельных решений к решению усредненной зада- чи (см. аналогичную задачу в области, перфорированной вдоль границы, в [10]). Аналогичные оценки для p-лапласиана получены в [5]. 2 Введем соболевское пространство функций W˚ 1(D) как пополнение финитных бесконечно диф- ференцируемых в ограниченной области D функций по норме 1/2 fr 2 (D) × v ×W˚ 1 = D \ 2 |∇v| dx . Данное выражение является нормой в силу хорошо известного неравенства Фридрихса ×u×L2 (D) C(n, D)×∇u×L2 (D). Настоящая работа посвящена оценкам решений задачи Дирихле для уравнения Пуассона с млад- шими членами вида 2 Lu := Δu + b · ∇u = div f, f = (f1,... fn), fj ∈ L2(D), u ∈ W˚ 1(D), (1.1) заданного в ограниченной липшицевой области D ⊂ Rn, где n > 1. Здесь вектор-функция b = (b1,... , bn) такова, что bj ∈ Lp(D), p > n, j = 1,... , n. (1.2) При наличии младших слагаемых оценки повышенной суммируемости градиента решений задачи нам не известны. 2 Под решением задачи (1.1) понимается функция u ∈ W˚ 1(D), для которой выполнено инте- гральное тождество r r ∇u · ∇ϕ dx - D D r (b · ∇u)ϕ dx = D (f · ∇ϕ) dx (1.3) 2 для всех пробных функций ϕ ∈ W˚ 1(D) (см., например, [3, гл. 3, § 4]). Основной результат настоящей работы состоит в следующем утверждении. n Теорема 1.1. Если выполнено условие (1.2) и f ∈ L2+δ0 (D) , где δ0 > 0, то существуют положительные постоянные δ(n, p, δ0 ) < δ0 и C такие, что для решения задачи (1.3) справед- лива оценка u r 2+δ |∇ | D r dx C D f 2+δ | | dx, (1.4) где C зависит только от δ0, размерности пространства n, а также от области D и ×b×Lp (D). Замечание 1.1. Теорема остаётся в силе, если вместо оператора Лапласа рассмотреть линей- ный равномерно эллиптический оператор второго порядка вида div(a(x)∇u). ОБ ОЦЕНКЕ БОЯРСКОГО-МЕЙЕРСА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 3 Здесь a(x) = {aij (x)} - равномерно эллиптическая измеримая и симметрическая матрица, т. е. aij = aji и | α|ξ 2 n i,j=1 | aij (x)ξiξj α-1|ξ 2 для почти всех x ∈ D и для всех ξ ∈ Rn . (1.5) Работа организована следующим образом. В разделе 2 мы для полноты изложения приводим простое доказательство однозначной разрешимости задачи (1.3), основанное на рассуждениях из [2]. В разделе 3 мы выводим оценку Боярского-Мейерса. Однозначная разрешимость поставленной задачи В этом разделе однозначная разрешимость задачи Дирихле в произвольной ограниченной об- ласти доказывается для уравнения вида 2 Lu := div(a∇u)+ b · ∇u = divf, f = (f1,... fn), fj ∈ L2(D), u ∈ W˚ 1(D), (2.1) где a(x) = {aij (x)} - равномерно эллиптическая измеримая и симметрическая матрица, т. е. aij = aji, удовлетворяющая (1.5), а b удовлетворяет (1.2). Имеет место следующее утверждение. Теорема 2.1. Если выполнены условия (1.2) и (1.5), то задача (1.1) однозначно разрешима в W˚ 1 2 (D), и для её решения справедлива оценка × ∇u ×L2 (D) C×f ×L2(D) (2.2) с постоянной C, зависящей только от коэффициентов оператора L, области D и размерности пространства n. Доказательство основано на вспомогательных утверждениях, которые устанавливаются ниже. Сначала нам потребуются оценки билинейной формы, связанной с оператором L, имеющей вид r L(u, v)= D r a∇u · ∇v dx - D b · ∇uv dx (2.3) 2 и определённой на функциях u, v ∈ W˚ 1(D). Лемма 2.1. Если коэффициенты оператора L из (2.1) удовлетворяют условиям (1.2) и (1.5), то α r L(u, u) ;;? 2 D 2 |∇u| r dx - C(α, b, n, p) D u2 dx. (2.4) Доказательство. В силу условия (1.5) имеем r 2 r L(u, u) ;;? α D |∇u| dx - D b · ∇uu dx . (2.5) Оценим второе слагаемое в правой части (2.5). По неравенству Гёльдера r fr r \1/2f 2 \1/2 2 2 b · ∇uu dx D D 1/2 |∇u| dx D 2/p |b| u dx 1/p˜ (2.6) fr \ 2 |∇u| dx D 2p fr \ p |b| dx D fr \ p˜ |u| dx , D где p˜ = p - 2 , p > n. Ясно, что p˜ > 2. Сначала предположим, что n > 2. Для q˜ ∈ (0, 2) из представления r p r q p˜-q˜ |u|˜ dx = D D | |u|˜ u| dx 4 Ю. А. АЛХУТОВ, Г. А. ЧЕЧКИН по неравенству Гёльдера будем иметь q˜/2 (2-q˜)/2 r fr p˜ |u| dx D D \ u2 dx fr \ | |u 2(p˜-q˜)/(2-q˜) dx . D Выберем константу q˜ из соотношения 2(p˜ - q˜) = 2n , (2.7) согласно которому 2 - q˜ n - 2 q˜ = 2n - (n - 2)p˜ 2 . (2.8) Проверим, что q˜ ∈ (0, 2). Нетрудно видеть, что q˜ < 2, поскольку n > 2. Осталось проверить, что q˜ > 0. Для этого (см. (2.8)) достаточно показать неравенство 2n - (n - 2)p˜ > 0. Имея в виду, что p˜ = 2p p - 2 , заключаем, что p p - 2 n < n - 2 и, так как изначально p > n, требуемое неравенство также выполнено. Таким образом, q˜ ∈ (0, 2) и из (2.6), (2.7) имеем r fr b · ∇uu dx D D p |b| \2/pfr dx D 2 |∇u| \1/2fr dx D 2n |u| n-2 dx \ fr 2-q˜ 2p˜ D u2 dx q˜ \ 2p˜ . (2.9) Далее, по неравенству Коши 2/p 1/2 2-q˜ q˜ f r \ p |b| dx D fr \ 2 |∇u| dx D fr 2n |u| n-2 dx D \ 2p˜ fr D u2 dx \ 2p˜ (2.10) 4/p 2-q˜ fr \ q˜ r 2 ε |∇u| D 1 fr dx + 2ε D \ p |b| dx fr 2n \ |u| n-2 dx D p˜ D 4p˜ p˜ u2 dx . 4 В силу неравенства Юнга с учётом равенства (2.7) и равенства = pq˜ p - n выводим 4/p 2-q˜ fr \ q˜ fr \ p |b| dx D fr 2n \ p˜ |u| n-2 dx D p˜ u2 dx D fr ε1 D 2n \ |u| n-2 dx n-2 n fr + C(ε1) D p |b| 4 \ p-n r dx D u2 dx, а поскольку по теореме вложения Соболева n-2 r то имеем 2 fr 2n \ n |u| n-2 dx D C0 D |∇u| dx, 4/p 2-q˜ fr \ q˜ fr \ p |b| dx D 2 fr 2n \ p˜ |u| n-2 dx D u2 dx D p˜ r ε1C0 D |∇u| r dx + C(ε1, b, n, p) D u2 dx. (2.11) Теперь из (2.9)-(2.11) после соответствующего выбора ε1 получим r r b · ∇uu dx 2ε D D 2 |∇u| r dx + C(ε, b, n, p) D u2 dx. (2.12) ОБ ОЦЕНКЕ БОЯРСКОГО-МЕЙЕРСА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 5 Выбирая теперь ε = α , получаем из (2.12) и (2.5) требуемую оценку. 4 Покажем теперь неравенство (2.12) при n = 2. В этом случае, исходя из (2.6), будем иметь r fr b · ∇uu dx D D 2p 2 |∇u| \1/2fr dx D p |b| \2/pfr dx D u | | p˜ dx \1/p˜ , (2.13) где, как и ранее, p˜ = p - 2 , p > 2 и p˜ > 2. Исходя из тождества по неравенству Гёльдера найдём r r p˜ |u| dx = D D | |u||u p˜-1 dx, r fr p˜ |u| dx D D u2 dx \1/2fr D | |u 2(p˜-1) \1/2 dx . Таким образом, из (2.13) вытекает, что r fr b · ∇uu dx D D p |b| \2/pfr dx D 2 |∇u| \1/2fr dx D | |u 2(p˜-1) 1 \ 2p˜ fr dx D u2 dx 1 \ 2p˜ . (2.14) Далее, по неравенству Коши 2/p 1/2 1 1 fr \ r \ p |b| dx D fr \ 2 |∇u| dx D fr D 4/p | |u 2(p˜-1) \ 2p˜ dx u2 dx D 1 2p˜ 1 (2.15) r 2 ε |∇u| D 1 fr dx + 2ε D \ p |b| dx fr D 4p˜ | |u 2(p˜-1) 8 \ p˜ fr dx D u2 dx \ p˜ , и согласно неравенству Юнга с учётом формулы 4/p = p p - 2 1 выводим 1 fr \ p |b| dx D fr | |u 2(p˜-1) D \ p˜ fr dx D u2 dx \ p˜ fr ε1 D | |u 2(p˜-1) 1 \ p˜-1 dx fr + C(ε1) D p |b| 8 \ p-2 r dx D u2 dx. Поскольку по теореме вложения Соболева 1 то имеем 4/p fr | |u 2(p˜-1) D 1 \ p˜-1 dx 1 r C1 D 2 |∇u| dx, fr \ p |b| dx D fr | |u 2(p˜-1) D \ p˜ fr dx D u2 dx \ p˜ r ε1C1 D 2 |∇u| r dx + C(ε1, b, p) D u2 dx. (2.16) Из (2.14)-(2.16) после соответствующего выбора ε1 придём к неравенству (2.12). Выбирая теперь ε = α/4 в (2.12), из (2.5) придём к требуемой оценке (2.4). Лемма доказана. Лемма 2.2. Если коэффициенты оператора L из (2.1) удовлетворяют условиям (1.2) и (1.5), то для фиксированного u ∈ 2 W˚ 1(D) отображение v ±→ L(u, v), где форма L(u, v) определена 2 в (2.3), является ограниченным линейным функционалом на W˚ 1(D) и справедлива оценка 2 (D) |L(u, v)| C(α, b, n, p) ×u×W˚ 1 2 ×v×W˚ 1 (D) . (2.17) 6 Ю. А. АЛХУТОВ, Г. А. ЧЕЧКИН Доказательство. В силу условия равномерной эллиптичности (1.5) имеем r a∇u · ∇v dx α-1×u× ˚ 1 ×v× ˚ 1 . (2.18) W2 (D) D W2 (D) Второе слагаемое формы (2.3) оценим по неравенству Гёльдера: p-2 r b · ∇uv dx ×u× ˚ 1 fr 2 |b| v2 \1/2 dx ×u× ˚ 1 fr p |b| \2/pfr dx |v| 2p p-2 \ 2p dx , (2.19) W2 (D) D D 2p 2n W2 (D) D D где p > n. Поскольку p - 2 < n - 2 , то по теореме вложения Соболева p-2 fr 2p |v| p-2 dx D \ 2p 2 (D) C2×v×W˚ 1 , и из (2.19), (2.18) приходим к (2.17). Лемма доказана. W˚ 1 Докажем теперь принцип максимума для решений однородной задачи (2.1). Функция u ∈ 2 (D) называется субрешением однородной задачи (2.1) в области D, если r r a∇u · ∇ϕ dx - D D b · ∇uϕ dx 0 (2.20) 2 W˚ 1 для любой неотрицательной функции ϕ ∈ W˚ 1(D). Аналогично определяется суперрешение u ∈ 2 (D) в области D, для которого выполнено неравенство r r a∇u · ∇ϕ dx - D D b · ∇uϕ dx ;;? 0 2 для всех неотрицательных функций ϕ ∈ W˚ 1(D). 2 Лемма 2.3. Если выполнены условия (1.2), (1.5) и функция u ∈ W˚ 1(D) является субрешением в области D, то ess sup u 0. (2.21) D 2 Если же u ∈ W˚ 1(D) является суперрешением в области D, то ess inf u ;;? 0. (2.22) D Доказательство. Сначала покажем (2.21). Доказательство проводим от противного. Предполо- жим, что ess sup u > 0. Тогда существует такое число k, что 0 < k < ess sup u. Рассмотрим функ- D D 2 цию v = max (u - k, 0) = (u - k)+, которая принадлежит пространству W˚ 1(D) и неотрицательна. В силу (2.20) имеем Перепишем эту оценку в виде r r r a∇v · ∇v dx D D a∇u · ∇u dx b · ∇vv dx. r b · ∇uv dx. (2.23) D∩{u>k} D∩{u>k} Сначала предположим, что n > 2. Пользуясь в правой части (2.23) условием эллиптично- сти (1.5) и применяя неравенство Гёльдера в правой части, получим r 2 α |∇u| f r dx n |b| \1/nf r dx 2 |∇u| \1/2fr dx 2n |v| n-2 dx \ 2n n-2 . (2.24) D∩{u>k} D∩{u>k} D∩{u>k} D ОБ ОЦЕНКЕ БОЯРСКОГО-МЕЙЕРСА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 7 2 Поскольку v ∈ W˚ 1(D), по теореме вложения Соболева fr 2n |v| n-2 dx D 2n \ f n-2 r C D 2 |∇v| \1/2 dx f r = C D∩{u>k} 2 |∇u| \1/2 dx , и из (2.24) будем иметь r α D∩{u>k} 2 |∇u| dx C f r D∩{u>k} n |b| \1/n dx r D∩{u>k} 2 |∇u| dx. (2.25) Если M = ess sup u = ∞, то первый множитель в правой части (2.25) стремится к нулю при D k → ∞, что приводит к противоречию. Если же M < ∞, то ∇u =0 почти всюду на множестве D∩{u = M } и оценка (2.25) приобретает вид где fr α C Mk n |b| \1/n dx , Mk = {x ∈ D : k < u(x) < M }, ∇u(x) ⊗= 0}. Ясно, что n-мерная мера Лебега множества Mk стремится к нулю при k → M, в силу чего 1/n fr \ n |b| dx Mk -→ 0 при k → M, и мы вновь приходим к противоречию, что и доказывает (2.21). Рассмотрим оставшийся случай, когда n = 2. Исходя из (2.23), пользуясь условием эллиптич- ности и применяя в правой части (2.23) неравенство Гёльдера с другими показателями, придём к оценке r 2 α |∇u| f r dx p |b| \1/pf r dx 2 |∇u| \1/2fr dx 2p |v| p-2 dx 2p \ p-2 , (2.26) D∩{u>k} D∩{u>k} D∩{u>k} D где p > 2. При n =2 по теореме вложения Соболева fr 2p |v| p-2 dx D 2p \ p-2 fr C D 2 |∇v| \1/2 dx f r = C D∩{u>k} 2 |∇u| \1/2 dx , и из (2.26) приходим к оценке r 2 f r p r \1/p 2 α D∩{u>k} |∇u| dx C D∩{u>k} |b| dx D∩{u>k} |∇u| dx. (2.27) Дальнейшие рассуждения, основанные на (2.27), ничем не отличаются от приведенных выше в случае n > 2, что вновь влечёт (2.21). Оценка (2.22) доказывается аналогично. Нужно только заметить, что если функция u явля- ется суперрешением уравнения, то эта же функция со знаком минус будет субрешением. Лемма доказана. Следствие 2.1. При выполнении условий (1.2) и (1.5) задача Дирихле (2.1) имеет един- ственное решение. Доказательство теоремы 2.1. Определим для σ > 0 оператор Lσ формулой Lσu = Lu - σu. Из оценки (2.4) леммы 2.1 следует, что соответствующая оператору Lσ форма r Lσ (u, u)= D r a∇u · ∇u dx - D r b · ∇uu dx + σ D u2 dx 8 Ю. А. АЛХУТОВ, Г. А. ЧЕЧКИН при достаточно большом σ = σ0(α, b, n, p) будет коэрцитивной, т. е. r Lσ (u, u) ;;? α/2 D 2 |∇u| dx. Отметим, что таком выборе σ = σ0 билинейная форма r Lσ0 (u, v)= D r a∇u · ∇v dx - D r b · ∇uv dx + σ0 D uv dx (2.28) является ограниченной. Это следует из оценки (2.17), применённой к первым двум слагаемым в правой части (2.28), и оценки r 2 (D) uv dx ×u×L2 (D)×v×L2 (D) C×u×W˚ 1 D 2 ×v×W˚ 1 (D), 2 вытекающей из неравенства Фридрихса. Таким образом, оператор Lσ0 является ограниченным и коэрцитивным в гильбертовом пространстве H = W˚ 1(D). Пусть H-1 - сопряженное пространство к H. Определим оператор Iu : H → H-1 равенством r I = Iuv = D uv dx, v ∈ H. (2.29) Покажем, что отображение Iu является компактным. Для этого заметим, что отображение Iu можно представить в виде композиции Iu = I1 ◦ I2. (2.30) Здесь I2 : H → L2(D) - естественное вложение. По теореме о компактности вложения Кондрашова-Соболева [2, теорема 7.22] оператор I2 является компактным, а отображение I1 : L2(D) → H-1 определено формулами (2.29) и (2.30). Из того, что оператор I1 непреры- вен и оператор I2 компактен, следует компактность оператора I. Уравнение Lu = l для u ∈ H, где l-функционал в пространстве H-1, сопряженном к H = W˚ 1(D), эквивалентно уравнению Lσ u + σ0Iuu = l. По лемме Лакса-Мильграма (см. [16]) 2 0 σ0 -1 обратный оператор L-1 задает непрерывное взаимно однозначное отображение H на H. По- этому, применяя этот оператор к предыдущему уравнению, получаем эквивалентное уравнение u + σ0L-1Iuu = L-1l. (2.31) σ0 σ0 σ0 Отображение T = -σ0L-1Iu в силу компактности I также компактно. Следовательно, по альтернативе Фредгольма (см., например, [2, теорема 5.3, § 5.3]) существование функции u ∈ H, удовлетворяющей уравнению (2.31), является следствием единственности в H тривиального ре- шения уравнения Lu = 0. Теперь однозначная разрешимость задачи Зарембы (1.1) вытекает из следствия 2.1 к лемме 2.3. Перейдём к доказательству оценки (2.2). Для этого определим формально сопряженный для * L оператор L* формулой L u := div(a(x)∇u) - div(b(x)u). 2 Поскольку для соответствующих билинейных форм L*(u, v) = L(v, u) при u, v ∈ W˚ 1(D), опе- ратор L* сопряжен оператору L в гильбертовом пространстве H. Заменяя в предыдущем рас- суждении L на L*, мы видим, что уравнение Lσu = l эквивалентно уравнению u + (σ0 - σ)L-1Iuu = L-1l, o σ0 σ0 и сопряженный оператор T* компактного отображения Tσ = (σ0 - σ)L-1I (см. (2.29)) даётся формулой T* * -1 σ = (σ0 - σ)(Lσ0 ) I. Используя теперь теорему о сжимающих отображениях в банаховом пространстве (см., напри- мер, [2, теорема 5.1, § 5.1]), мы приходим к следующему утверждению, аналогичному [2, теоре- ма 8.6, § 8.2]. ОБ ОЦЕНКЕ БОЯРСКОГО-МЕЙЕРСА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 9 Лемма 2.4. Если выполнены условия (1.2) и (1.5), то существует не более чем счётное дискретное множество Σ ∈ (-∞, 0) такое, что если σ ∈/ Σ, то задачи Дирихле для уравнений Lσu = l и L* u = l однозначно разрешимы в W˚ 1(D) для произвольного линейного функционала l σ 1 в пространстве, сопряженном к W˚2 2 (D). σ Для доказательства оценки (2.2) рассмотрим оператор Gσ : H* → H, определяемый равенством Gσ = L-1 при σ ∈/ Σ. Этот оператор естественно назвать оператором Грина задачи Дирихле (2.1). Используя альтернативу Фредгольма (см., например, [2, теорема 5.3, § 5.3]), заключаем, что этот оператор является ограниченным, и, следовательно, справедлива оценка (2.2). Теорема 2.1 дока- зана. Доказательство основного результата Доказательство теоремы 1.1 основано на получении обратного неравенства Гёльдера для гра- диента решения задачи Дирихле (1.1) с последующим применением обобщённой леммы Геринга. R Доказательство теоремы 1.1. Обозначим через Qx0 открытый куб с центром в точке x0 и рёб- рами длиной 2R, которые параллельны координатным осям. Ниже полагается r - f dx = 1 | Qx0 r | f dx, x R Q Q 0 x0 R R где |E| обозначает n-мерную меру множества E ⊂ Rn. Далее продолжим функцию u нулём вне области D. 3R/2 Сначала рассмотрим случай, когда Qx0 ⊂ D, и выберем в интегральном тождестве (1.3) пробную функцию ϕ = (u - λ)η2, где r λ = - Q x0 3R/2 u, dx, а срезающая функция η ∈ C∞(Qx0 ) такова, что 0 η 1, η = 1 в Qx0 и |∇η| CR-1. 0 Тогда (1.3) преобразуется к виду 3R/2 R r 2 |∇u| η2 r dx = (b · ∇u)(u - λ)η2 r dx - 2 η(u - λ)∇u · ∇η dx + Q x0 3R/2 Q x0 3R/2 r +2 Q x0 3R/2 r f (u - λ)η · ∇η dx + η2f · ∇u dx. (3.1) Q x0 3R/2 Q x0 3R/2 Оценим сначала первое слагаемое в правой части тождества (3.1). По неравенству Гёльдера имеем r f r (b · ∇u)(u - λ)η2 dx R 2 |∇u| η2 \1/2f r dx 2 |b| η2 f u - λ \2 R \1/2 dx Q Q x0 3R/2 f r 2 2 \ 1/2 x0 3R/2 f r p p \ 2/p Q x0 3R/2 f r 2p u - λ p-2 \ p-2 2p (3.2) R Q x0 3R/2 |∇u| η dx Q x0 3R/2 |b| η dx R Q y0 3R/2 dx . Далее, по неравенству Пуанкаре-Соболева 2p p-2 f r \1/q f r u - λ p-2 dx\ 2p q 2np R Q x0 3R/2 C(n, p) Q x0 3R/2 |∇u| dx , q = n(p - 2) + 2p ∈ (1, 2). (3.3) 10 Ю. А. АЛХУТОВ, Г. А. ЧЕЧКИН Из (3.3) и (3.2), учитывая, что 0 η 1, найдём r f r (b · ∇u)(u - λ)η2 dx C(n, p)R 2 |∇u| η2 \1/2f r dx p |b| \2/pf r dx q |∇u| \1/q dx , Q Q x0 3R/2 и по неравенству Коши с ε > 0 x0 3R/2 Q x0 3R/2 Q x0 3R/2 r r (b · ∇u)(u - λ)η2 dx ε 2 |∇u| η2 2 C(n, p) f r dx + R 4ε p |b| \4/pf r dx q |∇u| \2/q dx . Q Q x0 3R/2 x0 3R/2 Q x0 3R/2 Q x0 3R/2 (3.4) Оценим теперь оставшиеся интегралы в правой части интегрального равенства (3.1). Для вто- рого слагаемого получаем r r 2 2 C(ε) r 2 2 Q x0 3R/2 η(u - λ)∇u · ∇η dx ε Q x0 3R/2 |∇u| η dx + R2 Q x0 3R/2 (u - λ) |∇η| dx. (3.5) Третье слагаемое оценивается следующим образом: r r 2 C r 2 Q x0 3R/2 f (u - λ)η · ∇η dx Q x0 3R/2 |f | dx + R2 Q x0 3R/2 (u - λ) dx. (3.6) Для четвертого слагаемого выводим r r η2f · ∇u dx ε 2 |∇u| r dx + C(ε) 2 |f | dx. (3.7) Q Q x0 3R/2 x0 3R/2 Q x0 3R/2 В результате, пользуясь (3.1), учитывая последние оценки после соответствующего выбора ε, придём к неравенству r 2 ! 1 r 2 r 2 2f r \2/q q |∇u| Q x0 R dx C(n, b, p) 2n R2 Q x0 3R/2 (u - λ) dx + Q x0 3R/2 |f | dx + R Q x0 3R/2 |∇u| dx , или, поскольку q +2 - n ;;? 0, выводим r 2 ! 1 r 2 r 2 f r \2/q q - |∇u| Q x0 R dx C(n, b, p) R2 - Q x0 3R/2 (u - λ) dx + - Q x0 3R/2 |f | dx + - Q x0 3R/2 |∇u| dx . (3.8) Далее из неравенства Пуанкаре-Соболева f r - (u - λ)2 dx \1/2 f C(n, p)R r q - |∇u| \1/q dx 2np , q = ∈ (1, 2), Q x0 3R/2 и из (3.8) найдём Q x0 3R/2 n(p - 2) + 2p f r 2 \1/2 f f r r \1/q f q \1/2\ 2 - |∇u| dx Q x0 R C(n, b, p) - |∇u| dx Q x0 2R + - |f | dx Q x0 2R . (3.9) 3R/2 Рассмотрим теперь случай, когда Qx0 ∩ ∂D ⊗= ∅. В этом случае функция u равна нулю в Q x0 3R/2 \ D. Выбирая в интегральном тождестве (1.3) пробную функцию ϕ = uη2 с той же ОБ ОЦЕНКЕ БОЯРСКОГО-МЕЙЕРСА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 11 срезающей функцией η, получим r 2 |∇u| η2 r dx = r b · ∇u uη2 dx - 2 (ηu∇u · ∇η) dx - Q x0 3R/2 Q x0 3R/2 r r - 2 fuη · ∇η dx - Q x0 3R/2 (η2f · ∇u) dx. (3.10) Q x0 3R/2 Q x0 3R/2 Перейдём к оценке первого интеграла в правой части (3.10). Имеем 1/2 1/2 r Q x0 3R/2 b · ∇u uη2 dx f r Q x0 3R/2 1/2 \ 2 |∇u| η2 dx f r Q x0 3R/2 2/p 2 |b| η2 \ u2 dx p-2 (3.11) f r Q x0 3R/2 \ 2 |∇u| η2 dx f r Q x0 3R/2 \ p |b| ηp dx f r Q x0 3R/2 2p |u| p-2 dx x0 \ 2p . 3R/2 Далее заметим, что поскольку Qx0 ∩ ∂D ⊗= ∅, имеем |(Rn \ D) ∩ Q2R| ;;? c(D)Rn для достаточно малого R. Поэтому по неравенству Соболева f r 2p - |u| p-2 dx Q x0 2R f r \ p-2 2p 1 \ 2 f r CR - Q x0 2R f r q |∇u| q 1 \ q dx , 1 \ q (3.12) Теперь из (3.11) получим - |u|2 dx Q x0 2R CR - Q x0 2R 1/2 |∇u| dx . 1/2 r Q x0 3R/2 b · ∇u uη2 dx f r Q x0 3R/2 \ 2 |∇u| η2 dx f r Q x0 3R/2 2 |b| η2 \ u2 dx C(n, p)R n(p-2)+2p f r 2p Q x0 3R/2 2 |∇u| η2 \1/2 dx f r Q x0 3R/2 p |b| ηp \2/pf r dx - Q x0 2R q 1 \ q |∇u| dx (3.13) и по неравенству Коши с ε > 0 с учётом свойств η выводим 4/p 2/q r r b · ∇u uη2 dx ε 2 |∇u| η 2 dx + C(n, p) R 4ε n(p-2)+2p f r p \ p |b| dx f r \ q - |∇u| dx . Q x0 3R/2 Q x0 3R/2 Q Q x0 x0 3R/2 2R Или, поскольку p ;;? n, имеем 4/p 2/q r r b · ∇u uη2 dx ε 2 |∇u| η 2 dx + C(n, p) f r 4ε \ p |b| dx f r \ q - |∇u| dx . (3.14) Q x0 3R/2 Q x0 3R/2 Q Q y0 x0 3R/2 2R Оценки оставшихся слагаемых проводим аналогично (3.5), (3.6) и (3.7). В результате, пользу- ясь (3.10), учитывая последние оценки, после соответствующего выбора ε получаем оценку (3.8) с λ =0 вида r 2 ! 1 r 2 r 2 f r \2/q q - |∇u| Q x0 R dx C(n, b, p, D) R2 - u Q x0 2R dx + - Q x0 2R |f | dx + - |∇u| dx Q x0 2R . (3.15) Далее, пользуясь вторым неравенством из (3.12) и неравенством (3.15), вновь приходим к (3.9). Ясно, что оценка (3.9) выполнена и для кубов с центрами, лежащими вне области D. Таким образом, оценка (3.9) справедлива во всех рассматриваемых случаях. 12 Ю. А. АЛХУТОВ, Г. А. ЧЕЧКИН R Из оценки (3.9), справедливой для всех рассматриваемых кубов Qy0 , и обобщённой леммы Геринга (см. [13, 14], а также [18, гл. VII]) вытекает, что в предположении f ∈ L2+δ0 (D), где δ0 > 0, имеет место оценка ×∇u×L2+δ (D) C(n, p, b, δ0, D)(×∇u×L2 (D) + ×f ×L2+δ (D)). (3.16) Оценим первое слагаемое в правой части (3.16) с помощью оценки (2.2) теоремы 2.1. Теорема доказана.