Possibilities of using immersive learning based on abstract highly formalized mathematical models for training future mathematics teachers

Full Text

Постановка проблемы. Под иммерсивным обучением мы чаще всего понимаем применение иммерсивных технологий - в первую очередь, технологий виртуальной и дополненной реальности (AR и VR технологии). При обучении математике ключевым аспектом является изучение математической модели. Однако, оцифровка математической модели не является весомым дидактическим материалом, способствующим формированию абстрактного представления реального или идеализированного явления [1]. Применение иммерсивных технологий в обучении математике на сегодняшний день описано авторами только в контексте школьного образования (Хураленко Ю.С., Бажина П.С., Земцов Д.И., Аксюхин А.А., Андрюшечкина Н.А. и др.). Оцифровка, например, геометрической фигуры не обеспечивает более эффективного и интерактивного обучения. А вот если появляется возможность поработать и повзаимодействовать с оцифрованной моделью (повернуть, посмотреть различные развертки, рассмотреть под разными углами), тогда возникает тот самый образовательный эффективный симбиоз технологий и дидактики. Наблюдение объемной математической модели, осознание типа движения объекта «со стороны» часто оказывается более действенным приемом, нежели простое рассматривание процесса, объекта или явления. Наблюдать со стороны развертку многогранника в динамике легче, чем с позиции объекта, находящегося в многограннике [2]. «Исказить» обучение с помощью технологий также возможно. Моментов в обучении любой дисциплины, где технологии неуместны и даже вредны, достаточно. Таким образом, наша цель заключается в грамотном и адекватном применении цифровых технологий в обучении. Что же касается разделов высшей математики, прежде всего, разделов алгебры, то применение иммерсивных технологий в обучении в вузе не имеет развернутого описания в современной научной литературе. Cледует отметить, что современная математика достигла колоссального уровня абстракций, и показать студентам высоко формализованные, абстрактные математические модели, которые не имеют прямой связи с физическим миром, становится сложной задачей. Прежде всего, это касается разделов алгебры [3]. Столкнувшись с определенными проблемами в процессе обучения темам некоторых разделов алгебры, связанными, прежде всего, с мотивацией, персонализацией, интерактивностью, мы разработали технологию обучения, основанную на конвергенции математики и информационных технологий. Методология. Метод моделирования на основе системы компьютерной алгебры Maxima позволил создать математическую модель асимметричного шифрования RSA, что обеспечило студентам возможность наблюдать и изучать ее свойства, изменяя различные параметры. В исследовании применялись методы наблюдения и эксперимента, в ходе которых студенты, выполняя пошаговое решение задач демонстрации алгоритмических процессов на примерах, проводили исследование свойств чисел и выявляли закономерности в реальном времени. Использование методов иммерсивного обучения позволило разработать систему интерактивных учебных материалов. Обучая теории чисел студентов педагогического направления, профиля «математика и физика», приходится сталкиваться с необходимостью демонстрации математической модели и способов ее практического применения. Доказательство теорем является неотъемлемой частью математического образования, поскольку именно математические доказательства являются теми самыми строго формализованными абстрактными математическими моделями, которые позволяют устанавливать истинность утверждений на основе логических выводов и определенных законов и правил. Однако, доказательство теорем Эйлера и Ферма не дает представления о применении этих математических моделей в современных реалиях. Остановимся на рассмотрении такого понятия, как факторизация больших чисел, т. е. разложение чисел на простые множители. Представим себе 100-значное число. На сегодняшний день не известно рационального алгоритма разложения больших чисел на простые множители, что является основой надежности асимметричной системы шифрования RSA[5]. Данная криптосистема позволяет добавлять к сообщению цифровую подпись, которая позволяет удостовериться, что сообщение не фальсифицировано. Проверить подлинность подписи легко, а вот подделать ее крайне трудно[6] [4; 5]. Таким образом, криптосистема RSA как нельзя лучше демонстрирует эффективность применения математических моделей из раздела «Теория чисел» в современной теории защиты информации. Результаты и обсуждение. Модель асимметричного шифрования RSA с применением системы компьютерной алгебры Maxima[7] дает возможность смоделировать для студентов педагогическую ситуацию, направленную на работу с «большими» числами. Система компьютерной алгебры позволяет генерировать простые числа, находить их сравнения. Студенты могут исследовать свойства чисел, проводить эксперименты, изменяя параметры, и наблюдать закономерности в реальном времени, поскольку подобные вычисления без применения цифровых технологий являются очень трудоемкими или невозможными. Таким образом, студенты включены в работу не только с самой математической моделью, но и имеют возможность самостоятельно наблюдать и исследовать ее работу. Рассмотрим задачу. Послать сообщение «АЛГЕБРА» пользователю, применяя приведенный алфавит кодирования (метод простой замены, табл. 1), используя алгоритм RSA, отображенный в виде пошагового решения предложенной задачи (табл. 2). Выполняя решение поставленной задачи с применением системы компьютерной алгебры Maxima и технологий иммерсивного обучения на основе абстрактных высоко формализованных математических моделей, студент демонстрирует теоретические знания из раздела «Теория чисел», наблюдает применение этой теории в современной науке и практике [6; 7]. Также следует отметить, что решение подобных задач сопровождается соблюдением некоторых правил, определяющих организацию и содержание образовательного процесса, т. е. педагогический процесс сопровождается рядом принципов: погружение в контекст, интерактивность, персонализация, мотивация, оценка, доступность [8; 9]. Принцип погружения в контекст обеспечен созданием компьютерной модели - модели криптосистемы. У студента появляется возможность «наблюдать» математическую модель, наблюдать и изучать свойства математических объектов, изменяя их параметры. Компьютерная модель позволяет приблизить модель криптосистемы к реальным условиям. В данном случае «наблюдение» алгоритма возможно только при условии определенной математической подготовки, что обеспечивает реализацию принципа мотивации в ходе обучения студентов - будущих учителей математики. Изуче ние теоретических основ математики, в частности теории чисел, становит ся наглядным. Знакомство с подобными моделями выступает качествен ным дополнением в обучении теории чисел. Взаимодействие с компьютерной моделью обеспечивает интерактивность и персонализацию учебной деятельности. У студентов появляется возможность оценить полученные результаты, изменив разрядность простых чисел и выполнив проверку. Принцип доступности обеспечивается знаниями теории, а также доступностью средства реализации компьютерной модели [10; 11]. Таблица 1 Алфавит для кодирования «Метод простой замены» Alphabet for coding “Simple replacement method” А 1 Т 18 Б 2 Ф 19 В 3 Х 20 Г 4 Ц 21 Д 5 Ч 22 Е 6 Ш 23 Ж 7 Щ 24 З 8 Ъ 25 И 9 Ы 26 К 10 Ь 27 Л 11 Э 28 М 12 Ю 29 Н 13 Я 30 О 14 , 31 П 15 . 32 Р 16 - 33 С 17 Источник: ГОСТ 28147-89. Системы обработки информации. Защита криптографическая. Алгоритм криптографического преобразования. М.: ИПК Издательство стандартов, 1989. Source: GOST 28147-89. Systems of information processing. Cryptographic protection. Algorithm of cryptographic transformation. Moscow: Standards Publ.; 1989. (In Russ.) Алгоритм RSA рассмотрим в виде пошагового решения предложенной задачи. Применение системы компьютерной алгебры Maxima отвечает всем принципам иммерсивного обучения, поскольку рассматриваемые модели описывают «скрытые» процессы. Так как стандартные и традиционные способы обучения не позволяют достичь ощущения присутствия [12-14], то данную технологию можно назвать слабым иммерсивным обучением. Обучение с применением иммерсивных технологий на основе абстрактных высоко формализованных математических моделей было апробировано в ходе подготовки будущих учителей математики в Сахалинском государственном университете по направлению подготовки «Педагогическое образование», профиль «Математика и физика». Работа была проведена в рамках исследовательской практики студентов. В итоге с помощью анкетирования было выяснено, что применение слабого иммерсивного обучения существенно (более чем на 18 %) способствовало повышению навыков решения математических задач, а также на 23 % повысило интерес учащихся к предмету. Таблица 2 Алгоритм RSA в виде пошагового решения задачи Математическая модель алгоритма RSA Модель в системе компьютерной алгебры Maxima Определим числовой эквивалент слова «АЛГЕБРА». Запишем последовательность букв матрицей-строкой A, а компоненты разложения в 33-ричной системе счисления - матрицей-столбцом B. Произведением матриц определим числовой эквивалент. В системе компьютерной математики Maxima переменной a присвоим значение числового эквивалента. Приступим к шифрованию. Выберем произвольные простые числа p и q с применением функций prev_prime (k) и next_prime (k). Вычислим n = p ⋅ q и значение функции Эйлера j(n). Определим ключ шифрования. Для этого выберем число e, удовлетворяющее условию НОД (e, j(n)) = 1. Таким образом, ключ шифрования - (n, e), а ключ дешифрования - (n, d), где d ≡ e-1 - число обратное к e по модулю j(n). Окончание табл. 2 Математическая модель алгоритма RSA Модель в системе компьютерной алгебры Maxima С помощью шифрующего преобразования f(a) ≡ ae (mod n) вычислим числовой эквивалент шифротекста. В системе Maxima это можно сделать с помощь функции power_mod (a, e, n). Посмотрим, какое слово получили в результате. Используем функцию divide (s, t), которая возвращает неполное частное и остаток от деления числа s на число t. После определенного количества шагов получаем последовательность для зашифрованного слова: [24, 30, 10, 2, 30, 28, 19, 11, 8, 10, 8, 8]. Таким образом, шифротекст - это комбинация букв Источник: составлено В.А. Матвеевой, О.Ю. Заславской. Table 2 RSA algorithm as a step-by-step problem solution Mathematical model of the algorithm RSA Model in a computer algebra system Maxima Let’s define the numerical equivalent of the word “ALGEBRA”. Let us write the sequence of letters as a row matrix A, and the components of the expansion in the 33-ary number system as a column matrix B. Using the product of matrices, we determine the numerical equivalent. In the Maxima computer mathematics system, we assign the variable a the value of a numerical equivalent. Table 2, ending Mathematical model of the algorithm RSA Model in a computer algebra system Maxima Let’s start with encryption. Let’s choose arbitrary prime numbers p and q using the functions prev_prime (k) and next_ prime (k). Let’s calculate n = p ⋅ q and the value of the Euler function j(n). Let’s determine the encryption key. To do this, choose a number e that satisfies the condition (e, j(n)) = 1. So the encryption key (n, e) and the decryption key (n, d), where d ≡ e-1 (mod j(n)) - the reciprocal of e modulo j(n). Using encryption transformation f(a) ≡ ae (mod n) let’s calculate the numerical equivalent of the ciphertext. In the Maxima system this can be done using the function power_mod (a, e, n). Let’s see what word we got as a result. Using the function divide (s, t) which returns the partial quotient and the remainder when s is divided by t. After a certain number of steps, we get the sequence for the encrypted word: [24, 30, 10, 2, 30, 28, 19, 11, 8, 10, 8, 8]. So the ciphertext is a combination of letters “ЩЯКБЯЭФЛЗКЗЗ”. Source: compiled by Valentina A. Matveeva, Olga Yu. Zaslavskaya. Заключение. Следует отметить, что речь не идет о погружении студентов в визуальную модель изучаемого явления. Многие процессы окружающей нас действительности мы не можем наблюдать из-за ограниченных возможностей физического тела. Абстрактную математическую модель «наблюдать» можно, но это, как правило, особая смысловая конструкция, мысленная модель. Математические формулы, теоремы и их доказательства зачастую имеют ценность только для узких специалистов, поскольку не относятся к естественнонаучной области знаний. С применением технологии слабого иммерсивного обучения такая подготовка по математике обретает очертания исследования и изучения естественных явлений окружающей действительности. Включение моделей криптосистем в теорию чисел наглядно демонстрирует возможность изучать математические модели с частичным «погружением» в изучаемую среду. Однако необходимо отметить, что будущим педагогам требуется знать математическую модель изучаемой криптосистемы, в соответствии с которой требуется указать определенные функции, после чего происходит наблюдение результатов. Конечно, это помогает не только изучить математическую модель, но и наблюдать ее свойства, что, безусловно, является положительным моментом в обучении и подтверждает эффективность и адекватность применения цифровых технологий для подготовки по математике будущих педагогов. Представленный подход в обучении можно определить как слабое иммерсивное обучение, позволяющее создавать визуальные эффекты и демонстрировать математические модели путем взаимодействия с учебным материалом.

About the authors

Valentina A. Matveeva

Sakhalin State University

Author for correspondence.
Email: matveeva89.ru@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-8184-2028
SPIN-code: 5042-5102

Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor at the Department of Mathematics, Institute of Natural Sciences and Technosphere Safety

33 Kommunistichesky Prospect, Yuzhno-Sakhalinsk, 693008, Russian Federation

Olga Yu. Zaslavskaya

Moscow City University; RUDN University

Email: zaslavskaya@mgpu.ru
ORCID iD: 0000-0002-6119-8271
SPIN-code: 9496-6568

Doctor of Pedagogical Sciences, Professor, Professor at the Department of Informatization of Education, Institute of Digital Education, Moscow City University ; Professor at the Department of Comparative Education Policy, Educational-Scientific Institute of Comparative Educational Policy, RUDN University

4 2nd Selskokhozyaystvenny Proezd, Moscow, 129226, Russian Federation; 6 Mikluho-Maklaya St, Moscow, 117198, Russian Federation

References

Supplementary files