Theoretical aspects of the method of teaching higher mathematics using the computer program Maple for students of technical universities

Full Text

Постановка проблемы. Современное научное сообщество все больше признает важность математики в решении широкого спектра проблем. Бурное развитие компьютерной техники играет ключевую роль в формировании такого отношения к математике, предоставляя все более новые и широкие возможности для применения математического аппарата в различных областях науки и техники. Решение прикладных задач из многих областей деятельности человека сводится к решению задач в математической форме. Соответствующие операции включают в себя описание задачи на математическом языке, что требует четкого понимания сути проблемы и особых математических знаний. За счет этого в процессе исследований и решения научно-технических задач математика играет ключевую роль. Современные вычислительные методы часто приносят удивительные результаты. То, что когда-то казалось чрезмерно трудоемким при ручном вычислении, теперь становится вполне осуществимым благодаря использованию компьютерной техники. На первый план выступают методы, которые легко реализуемы на компьютере. В связи с этим для обеспечения эффективности и точности вычислений целесообразно использовать методы, удобные для компьютерного моделирования. Применение вычислительных средств обработки учебного материала для изучения возможностей математических методов в рамках учебного процесса технических вузов в настоящее время считается целеcообразным, поскольку сводится к решению прикладных задач в инженерной практике. За последние два десятилетия появилось и активно развивается новое фундаментальное научное направление - компьютерная математика [1]. Это направление появилось в связи с интеграцией наук, то есть с пересечением классической математики и информационных технологий. По мнению Л.К. Астафьевой и Л.Д. Емелиной, в образовательных целях системы компьютерной математики широко применяются в науке и технике. Заметно возрастает интерес к аналитическим (алгебраическим и символьным) вычислениям, обладающим более широким спектром применения, чем численные методы. Названными авторами рассмотрены такие компьютерные программы, как Maple и Mathematica, которые относятся к области компьютерной алгебры [2, с. 21]. В исследованиях различных авторов уделено внимание разнообразным аспектам преподавания высшей математики с использованием современных компьютерных технологий. Л.К. Астафьева и И.Д. Емелина описывают инновационные методы преподавания математики [2], а Ж.Б. Эргашев исследует пути оптимизации подходов к обучению математике с использованием информационных технологий [1]. В своей работе Р.С.-А. Гацаев анализирует преимущества современных методов преподавания математики в технических вузах [3]. В рамках развития подходов к обучению высшей математике А.А. Умаров, Ф. Джалилов и А.А. Рахимов [4] обращают внимание на эффективность компьютерного моделирования в обучении студентов технических специальностей. В их работах описывается методика использования математического пакета компьютерной системы Maple 17 при обучении теме «Производная и ее применение» [5]. По нашему мнению, внедрение в обучение студентов большинства информационных технологий, в том числе и компьютерной системы Maple, предоставляет преподавателям дополнительные средства, которые формируют у студентов технических вузов необходимую творческую самостоятельность в условиях кредитной технологии обучения [6]. Применение компьютерной математики в рамках реализации современного математического образования является важным направлением развития систем обучения высшей математике, включая соответствующую подготовку студентов в технических вузах. Неслучайно использование программного продукта Maple 18 становится все более актуальным при проведении учебных занятий в условиях расширяющейся информатизации. В работе Ю.Б. Мельникова рассматриваются вопросы необходимого для применения компьютерной техники математического моделирования, включая анализ структуры и алгебру моделей, а также методику обучения построению математических моделей [7]. В свою очередь, исследование В.П. Дьяконова посвящено компьютерной математике как теоретическому направлению в аспекте его последующего практического применения [8]. В рамках настоящей статьи необходимо описать и саму программу Maple. Она представляет собой компьютерную математическую систему, предназначенную для опытных пользователей. Ранее эта программа была известна как система компьютерной алгебры, что подчеркивало значимость символьных вычислений и преобразований, которые она автоматизирует и визуализирует. Однако такое определение ограничивает область ее применения. Фактически, Maple способна быстро и эффективно проводить не только символьные, но и численные расчеты, а также обладает достаточно качественными средствами визуализации и подготовки электронных документов. В своей публикации В.П. Дьяконов описывает обстоятельства появления системы компьютерной алгебры Maple [9]. Она была разработана учеными К. Геддом и Г. Гонэ в 1980 г. в университете Waterloo (Канада, штат Онтарио). Их коллектив совместно с сотрудниками Высшей технической школы занимался реализацией и математической проработкой созданного продукта. С этого момента компьютерная программа Maple стала приобретать известность в профессиональной математической среде. При этом до сих пор существенной проблемой является определение значимых теоретических и практических аспектов обучения математике студентов технических направлений подготовки в вузах с использованием компьютерной системы Maple. Важно исследовать методы обучения, при которых применение этой системы может на практике привести к повышению эффективности подготовки будущих инженеров. Методология. Исследование опиралось на использование системы Maple в качестве объекта и средства обучения. В.П. Дьяконов также считает, что Maple является одним из самых эффективных компьютерных средств, обеспечивающих многоаспектную поддержку существующих курсов обучения математике. Преимуществом этой системы является эффективная обработка как простых, так и сложных вычислений. Maple - популярная компьютерная программа, которая применяется при подготовке студентов в более чем 300 ведущих университетах мира. Численность пользователей, зарегистрированных для работы с этим продуктом, превзошла один миллион человек. Следует принимать во внимание, что ядро системы Maple включается во многие другие популярные математические системы, такие как MatLab и MathCad, которые базируются на обработке символьных вычислений [9, с. 27]. Программа Maple занимает ведущие позиции среди универсальных систем символьных вычислений благодаря своему интуитивно понятному интерфейсу, программированию, ориентированному на математическую логику, и выдающимся графическим возможностям. Она предоставляет пользователям среду для проведения математических исследований на разных уровнях сложности, позволяя привлекать различные методы решения задач и анализировать частные случаи. В результате она пользуется большой популярностью в научной среде[9] [10-12]. С помощью программы Maple можно проводить разнообразные математические, статистические и механические расчеты, а также работать с комплексными числами. Возможности и перспективы применения этого компьютерного средства достаточно широки. В его арсенале представлены произведение чисел и вычисление сумм конечных и бесконечных значений. Программа дает возможность находить пределы, производные и интегралы функций от одной и нескольких переменных, определять корни алгебраических уравнений, решать системы неравенств. Она позволяет эффективно решать линейные и нелинейные алгебраические уравнения, аналитически и численно находить корни дифференциальных уравнений и их систем, а также результативно решать уравнения с частными производными. В научных публикациях Г.А. Султановой, Ю.С. Руслаевой и С.В. Кабина показана доступность специальных пакетов, процедур для решения задач линейной алгебры, аналитической геометрии, векторной алгебры, тензорной алгебры, комбинаторики, дискретной математики, теории чисел, теории вероятностей, математической статистики. Описываемая система предоставляет возможности для реализации эффективных методов вычислений, интерполяции и экстраполяции функций, решения задач оптимизации, финансовой математики, интегрирования функций. Ее можно задействовать при подготовке студентов в рамках вышеуказанных и многих других разделов курса математического анализа [13]. Компьютерная программа Maple 18, выступающая в качестве средства в рамках проведения описываемого исследования, представляет собой интегрированную систему, объединяющую в себе разнообразные подсистемы и функции, как показано на рис. 1. Рис. 1. Компоненты компьютерной программы Maple Источник: создано А.А. Рахимовым. Figure 1. Sections of the Maple software package Source: created by Amon A. Rakhimov. Имеются различные версии системы Maple. Одной из них является Maple 18, благодаря которой появилась возможность работать с многими компьютерными пакетами, в том числе - Finance, Linear Algebra, Statistic and Probability, Optimization, Programming, Connectivity, Curve Fitting, Differential Equations, Discrete Mathematics и многими другими. «Основным достижением программы Maple 18 и ее преимуществом является ускоренное вычисление с большими матрицами, числами, а также доступность алгоритмов матричных вычислений групп NAG (Numbering Algoritms Group)» [9, с. 28]. На наш взгляд, в рамках обучения студентов технических специальностей (в первую очередь, связанных с информационными технологиями и высшей математикой), применение компьютерной системы Maple 18 может позволить обеспечить более высокую эффективность освоения учебного материала большинства математических дисциплин. К примеру, для будущих программистов актуальным и своевременным станет изучение высшей математики на основе применения новейших компьютерных систем. Параллельно с этим важно использование компьютерных средств в обучении узкоспециальным дисциплинам, что даст возможность освоить теоретические основы информатизации в области практической профессиональной деятельности. В рамках такого подхода изучение высшей математики приобретает дополнительные взаимосвязи с изучением программирования. Важно учитывать, что у студентов технических специальностей вузов с течением времени повышается интерес к изучению высшей математики. Такая тенденция особенно характерна для студентов, которые выбирают компьютерные направления подготовки. В политехническом институте города Худжанда преподавательский состав кафедры высшей математики и физики активно внедряет компьютерные программы на занятиях по высшей математике. Эта инициатива с 2012 г. принадлежит доцентам С.Г. Гуломнабиеву, А.А. Рахимову и Р.М. Исомаддиновой. В дальнейшем такая инициатива была поддержана старшими преподавателями Д.М. Мирзоевой и М.М. Рахматуллаевой. Для соответствующей подготовки студентов разработаны методические пособия и практикумы для проведения практических занятий по высшей математике с применением компьютерных программ, в том числе с программой Maple 18 [14]. Предлагаемые подходы к применению названной компьютерной программы в рамках проведения практических занятий, самостоятельной работы студентов, а также для освоения учебных материалов на лекциях схематично показаны на рис. 2. Таким образом, процесс освоения учебных материалов с использованием исследуемой компьютерной программы состоит из изучения теоретических материалов (основная математическая база) на лекционных занятиях, анализа примеров и решения задач на практических занятиях, выполнения заданий по вариантам в рамках самостоятельной работы с применением компьютерной системы Maple 18. При изучении раздела «Линейная алгебра» все материалы, касающиеся этого раздела (теории матриц, определителей, системы линейных алгебраических уравнений, основ матричного анализа) изучаются с помощью программы Maple 18, Рис. 2. Схема освоения учебных материалов на занятиях и в рамках самостоятельной работы Источник: создано А.А. Рахимовым. Figure 2. Mastering educational materials in the classroom and in the framework of independent work Source: created by Amon A. Rakhimov. пакета Linear Algebra (Determinant, Matrix, Inverse Matrix, Minor, Rank) и некоторых других средств. Преподаватели применяют специальные методы обучения, основанные на связях математической подготовки с изучением и применением компьютерной техники. При этом интерес студентов к обоим видам обучения заметно возрастает. На практических занятиях по высшей математике студентами закрепляется основной материал по определенным книгам или практикумам. По завершении обучения решенные ими задачи обрабатываются с помощью компьютерной программы Maple 18. Пример. Вычислить определитель четвертого порядка с использованием метода приведения его к диагональному виду или понижением до второго порядка: 1 1 1 1 2 1 8 3 . 3 2 1 2 4 2 4 1 Решение. Этот определитель можно вычислить путем его преобразований на основании свойств: 1 1 1 1 1 0 0 0 -1 6 1 2 1 8 3 2 -1 6 1 = = - - - =1 2 1 3 2 1 2 3 - - -1 2 1 -2 0 -3 4 2 4 1 4 -2 0 -3 -1 6 1 -8 -2 = 0 -8 - = -2 ( 1)=-16. -12 -5 0 -12 -5 Ответ: -16 Применим компьютерную программу Maple 18 для решения этой задачи. Порядок взаимодействия с этой программой показан на рис. 3. Далее в рамках формирования нового документа вводятся необходимые числовые данные, происходит выбор библиотеки линейной алгебры (при помощи компьютерного пакета Linear Algebra вводятся элементы матрицы) (рис. 4). После того, как введены все необходимые данные определителя матрицы в среде программы Maple 18, появляется возможность для фиксации с ее помощью основных правил и функций. Например, для вычисления детерминанта квадратной матрицы используется функция Determinant (Matrix). Последовательность выполнения описываемого задания показана на рис. 5. Рис. 3. Применение программы Maple 18 Источник: подготовлено А.А. Рахимовым. Figure 3. Launching the Maple 18 program Source: prepared by Amon A. Rakhimov. Рис. 4. Ввод элементов определителя матрицы четвертого порядка в компьютерной программе Maple 18 Источник: подготовлено А.А. Рахимовым. Figure 4. Entering elements of the 4th-order matrix determinant in the Maple 18 program environment Source: prepared by Amon A. Rakhimov. Кроме вышеуказанного способа, в компьютерной программе Maple 18 предусмотрена и другая возможность вычисления детерминанта матрицы, что продемонстрировано на рис. 6. Рис. 5. Вычисление определителя матрицы в компьютерной программе Maple 18 Источник: подготовлено А.А. Рахимовым. Figure 5. Calculations of the matrix determinant in the Maple 18 program environment Source: prepared by Amon A. Rakhimov. Рис. 6. Дополнительный способ вычисления детерминанта матрицы в компьютерной программе Maple 18 Источник: подготовлено А.А. Рахимовым. Figure 6. An additional way to calculate the determinant of matrix in the Maple 18 program environment Source: prepared by Amon A. Rakhimov. Подобными способами можно провести многие практические занятия по высшей математике. По окончании таких занятий студенты получают задания для самостоятельной работы, которые выполнятся без непосредственного участия преподавателя. Результаты и обсуждение. Для подтверждения эффективности предлагаемых подходов и получения результатов для обсуждения был проведен педагогический эксперимент. В нем приняли участие студенты двух групп: 1-25.01.07 (р) А - «Экономика и управление предприятиями» (экспериментальная группа) и 1-25.01.04 (р) А - «Финансы и кредит» (контрольная группа). Эти студенты обучались высшей математике с применением и без применения компьютерной программы Maple 18. Полученные результаты представляют интерес для настоящего исследования. Было выявлено, что внедрение технологии обучения высшей математике с применением системы Maple 18 положительно изменило эффективность освоения материала. На итоговом экзамене большая часть (97,14 %) студентов группы 1-25.01.07 получила высокие баллы, в то время как лишь малая часть (2,86 %) с заданиями не справилась (рис. 7). Рис. 7. Результаты итогового экзамена по высшей математике, показанные группой 1-25.01.07 (р) А Источник: составлено А.А. Рахимовым. Figure 7. Results of the final exam in higher mathematics of group 1-25.01.07 (r) A Source: compiled by Amon A. Rakhimov. Достаточно высокие результаты обучения обусловлены тем, что в этой студенческой группе занятия проводились с использованием компьютерной программы Maple 18. Нижеприведенная диаграмма отражает результаты сравнительного анализа успеваемости студентов контрольной и экспериментальной групп за первый семестр учебного года по предмету «Высшая математика». Показаны баллы по данной дисциплине на итоговом экзамене в условиях активного применения компьютерной программы Maple 18 (рис. 8). Рис. 8. Результаты сравнительного анализа успеваемости студентов по итогам обучения высшей математике Источник: составлено А.А. Рахимовым. Figure 8. Comparative analysis of students’ academic performance in higher mathematics Source: compiled by Amon A. Rakhimov. В таблице отображено количество студентов из групп, которые участвовали в экспериментальном исследовании и получили в результате соответствующие баллы. Результаты итогового экзамена студентов контрольной и экспериментальной групп Баллы Численность студентов контрольной группы Численность студентов экспериментальной группы 0 4 1 1 2 0 2 3 1 3 7 2 4 3 2 5 4 5 6 3 7 7 1 6 8 1 3 9 0 4 10 2 6 Всего 30 37 Источник: составлено А.А. Рахимовым. Results of the final exam of students of the control and experimental groups Score The number of students in control group The number of students in experimental group 0 4 1 1 2 0 2 3 1 3 7 2 4 3 2 5 4 5 6 3 7 7 1 6 8 1 3 9 0 4 10 2 6 Total 30 37 Source: compiled by Amon A. Rakhimov. Следует обратить внимание на то, что численность студентов, которые получили высший балл по десятибалльной системе оценок на итоговом экзамене по окончании первого семестра, существенно превысила количество студентов, обучавшихся без внедрения обсуждаемой компьютерной системы в рамках проведения практических занятий. Данный эксперимент является доказательством получения студентами нужных при обучении в технических вузах знаний, умений и навыков, которые значимы в том числе и для дальнейшей профессиональной подготовки. Описанное в статье исследование было нацелено на изучение теоретических и прикладных аспектов реализации методики обучения высшей математике с применением компьютерной программы Maple 18 студентов технических вузов. Параллельно изучались возможности для развития необходимых для профессиональной деятельности способностей студентов в рамках обучения соответствующим курсам. Проведенное исследование подтвердило эффективность преподавания высшей математики с использованием систем компьютерного моделирования. Эксперимент доказал, что поставленная цель была достигнута. Индивидуализация работы студентов в рамках обучения математике с использованием систем компьютерного моделирования существенно повысила эффективность овладения знаниями и умениями, необходимыми для решения технических задач и выполнения заданий, характерных для последующей работы в технической сфере. Кроме того, учет полученных результатов в рамках подготовки студентов в техническом вузе способствует повышению общего уровня знаний, умений и навыков будущих специалистов, что значимо для формирования у них общепрофессиональной и профессиональной компетент ностей. Заключение. Внедрение современных образовательных технологий, в том числе компьютерных, в процесс обучения высшей математике в технических вузах может существенно повысить эффективность и структурно изменить роль преподавателя на учебных занятиях. Применение компьютерной программы Maple 18 в рамках учебного процесса расширяет представление студентов о цифровых источниках информации как средстве повышения эффективности собственной подготовки. Использование таких программ способствует более качественному изучению всего курса высшей математики в соответствии с учебной программой без каких-либо ограничений. В ходе исследования, описанного в настоящей статье, применение компьютерных программ осуществлялось на лабораторно-практических занятиях со студентами технического вуза. Благодаря проведенным педагогическим измерениям была определена степень усвоения теоретического материала дисциплины. Теоретические знания были значимы для студентов при решении математических задач различного уровня, при ответах на вопросы преподавателя, а также при составлении информационных и математических моделей в ходе решения задач. Исследование позволило сделать следующие основные выводы. 1. Предложенные усовершенствованные методы использования компьютерного моделирования в рамках обучения высшей математике в техническом вузе в сочетании с разработанной системой заданий способствуют повышению уровня математических знаний и умений студентов. 2. Целесообразность применения программы для компьютерного моделирования при обучении высшей математике в техническом вузе обуславливается необходимостью создания условий для вовлечения студентов в активное обучение и творчество, что является крайне важным для специалистов технического профиля. 3. В результате применения компьютерной программы Maple 18 в системе подготовки по математике студентов технического вуза у них формируются значимые умения в области уместного применения компьютерного моделирования в профессиональной практической деятельности. 4. Компьютерное моделирование становится одним из основных источников приобретения знаний современными специалистами в технических вузах, а результаты соответствующего обучения широко используются в дальнейшем в ходе исследований в профессиональной сфере. Внедрение компьютерной программы Maple 18 в учебно-исследовательскую деятельность студентов вузов при обучении высшей математике в рамках лекционных, практических и самостоятельных занятий положительно влияет на освоение большинства компетенций, значимых для профессиональной деятельности специалистов технической сферы.

About the authors

Amon A. Rakhimov

Polytechnic Institute of Tajik Technical University named after academician M.S. Osimi

Author for correspondence.
Email: amon_rahimov@mail.ru
Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor at the Department of Higher Mathematics and Physics, Faculty of Computer Science and Energy 226 Ismail Somoni Avenue, Khujand, 735700, Republic of Tajikistan

References

Supplementary files