Том 57, № (2015)

В работе исследована задача о малых движениях вязкоупругого тела параболического типа. Доказана теорема об однозначной сильной разрешимости соответствующей начально-краевой задачи. Исследован спектр и свойства корневых элементов возникающего операторного блока. Точнее, доказана теорема о существенном и дискретном спектре главного операторного блока. Найдена асимптотическая формула для серии собственных значений, сгущающихся в бесконечности. Доказаны утверждения о полноте и базисности системы корневых элементов главного оператора. Найдены представления решения исходного интегродифференциального уравнения второго порядка в виде контурных интегралов и в виде разложения по системе собственных элементов некоторого операторного пучка. Доказано одно утверждение о стабилизации решения эволюционной задачи. В последнем параграфе исследован частный случай рассматриваемой модели - случай синхронно-изотропной среды параболического типа.

В работе при некоторых общих предположениях выводится абстрактная формула Грина для тройки гильбертовых пространств и (абстрактного) оператора следа, а также аналогичная формула, отвечающая полуторалинейной форме. Установлены условия существования абстрактной формулы Грина для смешанных краевых задач. В качестве основного приложения выводятся обобщенные формулы Грина для оператора Лапласа применительно к краевым задачам в липшицевых областях.

В работе развиваются исследования теории антикомпактных множеств (антикомпактов), введенных нами ранее. Описан класс пространств Фреше, в которых существуют антикомпакты - это те и только те пространства, которые имеют счетное тотальное множество линейных непрерывных функционалов. В таких пространствах доказан аналог теоремы Хана-Банаха о продолжении всякого линейного непрерывного функционала, заданного на исходном пространстве, на пространство, порожденное некоторым антикомпактом. Получен аналог теоремы А. А. Ляпунова о выпуклости и компактности образа векторных мер, который утверждает выпуклость и относительную слабую компактность специального типа замыкания образа безатомной векторной меры со значениями в пространстве Фреше, имеющем антикомпакт. С использованием полученного аналога теоремы А. А. Ляпунова доказана разрешимость бесконечномерного аналога задачи о справедливом разделе ресурсов, а также получен аналог теоремы А. А. Ляпунова для неаддитивных аналогов мер - векторных квазимер со значениями во всяком бесконечномерном пространстве Фреше, имеющем антикомпакт. В классе пространств Фреше, имеющих антикомпакт, получены аналоги теоремы Крейна-Мильмана о крайних точках для необязательно компактных выпуклых ограниченных множеств. Особое место занимают аналоги теоремы Крейна-Мильмана в терминах введенных в работе крайних последовательностей (или секвенциальные аналоги теоремы Крейна-Мильмана).