Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)32655ArticlesСтатьиResearch ArticleOperatornyy podkhod k modeli Il'yushina vyazkouprugogo tela parabolicheskogo tipaОператорный подход к модели Ильюшина вязкоупругого тела параболического типаZakoraD. A.ЗакораД. А.dmitry.zkr@gmail.comТаврический национальный университет им. В. И. ВернадскогоВоронежский государственный университет1512201557VOL 57, NO (2015)ТОМ 57, № (2015)316420112022Copyright ©; 2022, Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsCopyright ©; 2022, Современная математика. Фундаментальные направления2022Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направленияhttps://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0https://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/32655В работе исследована задача о малых движениях вязкоупругого тела параболического типа. Доказана теорема об однозначной сильной разрешимости соответствующей начально-краевой задачи. Исследован спектр и свойства корневых элементов возникающего операторного блока. Точнее, доказана теорема о существенном и дискретном спектре главного операторного блока. Найдена асимптотическая формула для серии собственных значений, сгущающихся в бесконечности. Доказаны утверждения о полноте и базисности системы корневых элементов главного оператора. Найдены представления решения исходного интегродифференциального уравнения второго порядка в виде контурных интегралов и в виде разложения по системе собственных элементов некоторого операторного пучка. Доказано одно утверждение о стабилизации решения эволюционной задачи. В последнем параграфе исследован частный случай рассматриваемой модели - случай синхронно-изотропной среды параболического типа.1.Азизов Т. Я., Иохвидов И. С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. - М.: Наука, 1986.2.Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Асимптотика спектра дифференциальных уравнений// Итоги науки и техн. Мат. анализ. - 1977. - 14.- C. 5-58.3.Власов В. В., Медведев Д. А. Функционально-дифференциальные уравнения в пространствах Соболева и связанные с ними вопросы спектральной теории// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2008. - 30.- C. 3-173.4.Власов В. В., Раутиан Н. А., Шамаев А. С. Спектральный анализ и корректная разрешимость абстрактных интегродифференциальных уравнений, возникающих в теплофизике и акустике// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2011. - 39.- C. 36-65.5.Волевич Л. Р. Разрешимость краевых задач для общих эллиптических систем// Мат. сб. - 1965. - 68 (110), № 3. - C. 373-416.6.Голдстейн Дж. Полугруппы линейных операторов и их приложения. - Киев: Вища школа, 1989.7.Гринштейн В. А. Базисность части системы собственных векторов голоморфной оператор-функции// Мат. заметки. - 1991. - 50, Вып. 1. - C. 142-144.8.Закора Д. А. Операторный подход к моделям Ильюшина вязкоупругих сред при изотермических процессах деформирования// Укр. мат. вестн. - 2013. - 10, № 3. - C. 412-432.9.Ильюшин А. А., Победря Б. Е. Основы математической теории термовязко-упругости. - М.: Наука, 1970.10.Като Т. Теория возмущений линейных операторов. - М.: Мир, 1972.11.Кожевников А. Н. Функциональные методы математической физики. Учебное пособие. - М.: МАИ, 1991.12.Космодемьянский Д. А., Шамаев А. С. О некоторых спектральных задачах в пористых средах, насыщенных жидкостью// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2006. - 17. - C. 88-109.13.Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. - М.: Наука, 1967.14.Ларионов Г. С. Исследование колебаний релаксирующих систем методом усреднения// Механика полимеров. - 1969. - № 4.15.Маркус А. С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков. - Кишинев: Штиинца, 1986.16.Маркус А. С., Мацаев В. И. Теорема о сравнении спектров и спектральная асимптотика для пучка М. В. Келдыша// Мат. сб. - 1984. - 123 (165), № 3. - C. 391-406.17.Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. - М.: Мир, 1985.18.Солонников В. А. Об общих краевых задачах для систем, эллиптических в смысле А. Дуглиса и Л. Ниренберга. II// Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. - 1966. - C. 233-297.19.Grubb G., Geymonat G. The essential spectrum of elliptic systems of mixed order// Math. Ann. - 1977. - 227. - С. 247-276.20.Kopachevsky N. D., Krein S. G. Operator Approach to Linear Problems of Hydrodynamics. Vol. 1: Selfadjoint Problems of an Ideal Fluid. Vol. 2: Nonself-adjoint Problems for Viscous Fluids. - Basel-Boston- Berlin: Birkha¨user, 2003.21.Kozhevnikov A., Skubachevskaya T. Some applications of pseudo-di erential operators to elasticity// Hokkaido Math. J. - 1997. - 26. - С. 297-322.22.Pazy A. Semigroups of linear operators and applications to partial di erential equations. - N. Y.: Springer, 1983.23.Pruss J. Evolutionary integral equations and applications. - Switzerland: Birkha¨user, 1993.