Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsContemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направления2413-36392949-0618Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)32654ArticlesСтатьиResearch ArticleGrubye diffeomorfizmy s bazisnymi mnozhestvami korazmernosti odinГрубые диффеоморфизмы с базисными множествами коразмерности одинGrinesV. Z.ГринесВ. З.vgrines@yandex.ruZhuzhomaE. V.ЖужомаЕ. В.zhuzhoma.ev@mail.ruPochinkaO. V.ПочинкаО. В.olga-pochinka@yandex.ruНИУ ВШЭННГУНИУ ВШЭ1512201557VOL 57, NO (2015)ТОМ 57, № (2015)53020112022Copyright ©; 2022, Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsCopyright ©; 2022, Современная математика. Фундаментальные направления2022Contemporary Mathematics. Fundamental DirectionsСовременная математика. Фундаментальные направленияhttps://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0https://journals.rudn.ru/CMFD/article/view/32654Обзор посвящен изложению результатов (в том числе и авторов обзора), полученных начиная с 2000-х годов по настоящее время, по топологической классификации структурно устойчивых каскадов, заданных на гладком замкнутом многообразии Mn (n>3) в предположении, что их неблуждающие множества либо содержат ориентируемый растягивающийся (сжимающийся) аттрактор (репеллер) коразмерности один, либо целиком состоят из базисных множеств коразмерности один. Представленные результаты являются естественным продолжением топологической классификации диффеоморфизмов Аносова коразмерности один. В обзоре также отражен прогресс, связанный с построением глобальной функции Ляпунова и энергетической функции для динамических систем на многообразиях (в частности, описана конструкция энергетической функции для структурно устойчивых 3-каскадов, неблуждающее множество которых содержит двумерный растягивающийся аттрактор).1.Андpонов А. А., Понтpягин Л. С. Гpубые системы// Докл. АН СССP. - 1937. - 14, № 5. - C. 247-250.2.Аносов Д. В. Грубость геодезических потоков на компактных римановых многообразиях отрицательной кривизны// Докл. АН СССР. - 1962. - 145, № 4. - С. 707-709.3.Аносов Д. В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны// Тр. МИАН. - 1967. - 90.4.Аносов Д. В. Об одном классе инваpиантных множеств гладких динамических систем// В сб.: «Тpуды пятой междунаpодной конфеpенции по нелинейным колебаниям», Т. 2, «Качественные методы». - Ин-т математики АН УССP, 1970. - C. 39-45.5.Аносов Д. В. Грубые системы// Тр. МИАН. - 1985. - 169. - C. 59-93.6.Гринес В. З. О топологической сопpяженности диффеомоpфизмов двумеpного многообpазия на одномеpных базисных множествах// Усп. мат. наук. - 1974. - 29, № 6(180). - C. 163-164.7.Гринес В. З. О топологической сопряженности диффеоморфизмов двумерного многообразия на одномерных ориентируемых базисных множествах. 1// Тр. Моск. Мат. об-ва. - 1975. - 32. - C. 35-60.8.Гринес В. З. О топологической сопряженности диффеоморфизмов двумерного многообразия на одномерных ориентируемых базисных множествах. 2// Тр. Моск. Мат. об-ва. - 1977. - 34. - C. 243-252.9.Гринес В. З. О топологической классификации структурно устойчивых диффеомоpфизмов поверхностей с одномерными аттракторами и репеллерами// Мат. сб. - 1997. - 188. - C. 57-94.10.Гринес В. З., Жужома Е. В. О топологической классификации ориентируемых аттракторов на n-мерном торе// Усп. мат. наук. - 1979. - 34, № 4. - C. 185-186.11.Гринес В. З., Жужома Е. В. О грубых диффеоморфизмах с растягивающимися аттракторами и сжимающимися репеллерами коразмерности один// Докл. РАН. - 2000. - 374. - C. 274-276.12.Гринес В. З., Жужома Е. В. Структурно устойчивые диффеоморфизмы с базисными множествами коразмерности один// Изв. РАН. Сер. Мат. - 2002. - 66, № 2. - C. 3-66.13.Гринес В. З., Жужома Е. В., Медведев В. С. О поверхностных аттракторах и репеллерах на 3многообразиях// Мат. заметки. - 2005. - 78, № 6. - C. 813-826.14.Гринес В. З., Лауденбах Ф., Починка О. В. Квази-энергетическая функция для диффеоморфизмов с дикими сепаратрисами// Мат. заметки. - 2009. - 86, № 2. - C. 175-183.15.Гринес В., Левченко Ю., Починка О. О топологической классификации диффеоморфизмов на 3многообразиях с поверхностными двумерными аттракторами и репеллерами// Нелин. динам. - 2014. - 10, № 1. - С. 17-33.16.Гринес В. З., Носкова М. К., Починка О. В. Построение энергетической функции для трехмерных каскадов с двумерным растягивающимся аттрактором// Принято в печать.17.Гринес В. З., Починка О. В. Введение в топологическую классификацию диффеоморфизмов на многообразиях размерности два и три. - Москва-Ижевск, 2011.18.Жужома Е. В., Исаенкова Н. В. О классификации одномерных растягивающихся аттракторов// Мат. заметки. - 2009. - 86, № 3. - C. 360-370.19.Жужома Е. В., Медведев В. С. О неориентируемых двумерных базисных множествах на 3-многообразиях// Мат. сб. - 2002. - 193, № 6. - C. 83-104.20.Майер А. Г. Грубое преобразование окружности в окружность// Уч. зап. Горьк. гос. ун-та. - 1939. - 12. - C. 215-229.21.Милнор Дж. Теория Морса. - Платон, 1996.22.Плыкин Р. В. О топологии базисных множеств диффеомоpфизмов С. Смейла// Мат. сб. - 1971. - 84, № 2. - С. 301-312.23.Плыкин Р. В. Источники и стоки А-диффеоморфизмов поверхностей// Мат. сб. - 1974. - 94. - C. 243- 264.24.Плыкин Р. В. О структуре централизаторов аносовских диффеоморфизмов тора// Усп. мат. наук. - 1998. - 53, № 6. - С. 259-260.25.Смейл C. Стpуктуpно устойчивый диффеpенциpуемый гомеомоpфизм с бесконечным числом пеpиодических точек. Тезисы доклада на симпозиуме по нелинейным колебаниям// Киев. Институт математики АН УССP. - 1961.- С. 1-3; Тpуды междунаpодного симпозиума по нелинейным колебаниям. Киев. Изд-во АН УССP. - 1963. - II. - С. 365-366.26.Шильников Л. П. Об одной задаче Пуанкаре-Биркгофа// Мат. сб. - 1967. - 74 (116), № 3. - С. 378- 397.27.Шильников Л. П. О существовании счетного множества периодических движений в окрестности гомоклинической кривой// Докл. АН СССР. - 1967. - 172, № 2. - С. 298-301.28.Birkhoff G. On the periodic motions of dynamics// Acta Math. - 1927. - 50. - С. 359-379.29.Bonatti Ch., Grines V. Knots as topological invariant for gradient-like diffeomorphisms of the sphere S3//j. Dyn. Control Syst. - 2000. - 6, № 4. - С. 579-602.30.Bonatti Ch., Guelemmaan N. Axiom A diffeomorphisms which are derived from Anosov flows//j. Mod. Dyn. - 2010. - 4, № 1. - С. 1-63.31.Bothe H. The ambient structure of expanding attractors, I. Local triviality, tubular neighdorhoods II// Math. Nachr. - 1982. - 107. - С. 327-348.32.Bothe H. The ambient structure of expanding attractors, II. Solenoids in 3-manifolds// Math. Nachr. - 1983. - 112. - С. 69-102.33.Bowen R. Periodic points and measures for axiom A diffeomorphisms// Trans. Am. Math. Soc. - 1971. - 154. - С. 337-397.34.Brown A. Nonexpanding attractors: conjugacy to algebraic models and classification in 3-manifolds//j. Mod. Dyn. - 2010. - 3, № 4. - С. 517-548.35.Conley C. Isolated invariant sets and Morse index. - Providence: Am. Math. Soc., 1978.36.Franks J. Anosov diffeomorphisms// В сб.: «Global Analisys». Proc. Symp. in Pure Math. - 1970. - 14. - С. 61-93. Рус. перевод: в сб. «Гладкие динамические системы». - М., 1977. - C. 32-86.37.Grines V., Laudenbach F., Pochinka O. Self-indexing function for Morse-Smale diffeomorphisms on 3manifolds// Mosc. Math. J. - 2009. - 4. - С. 801-821.38.Grines V. Z., Laudenbach F., Pochinka O. V. Dynamically ordered energy function for Morse-Smale diffeomorphisms on 3-manifolds// Proc. Steklov Inst. Math. - 2012. - 278, № 1. - С. 27-40.39.Grines V., Levchenko Y., Medvedev V., Pochinka O. On the dynamical coherence of structurally stable 3-diffeomorphisms// Regul. Chaotic Dyn. - 2014. - 19, № 4. - С. 506-512.40.Grines V., Zhuzhoma E. On structurally stable diffeomorphisms with codimension one expanding attractors// Trans. Am. Math. Soc. - 2005. - 357, № 2. - С. 617-667.41.Gu¨ nter B. Attractors which are homeomorphic to compact abelian groups// Manuscripta Math. - 1994. - 82. - С. 31-40.42.Hertz F., Herts M., Ures R. Tori with hyperbolic dynamics in 3-manifolds//j. Mod. Dyn. - 2011. - 5, № 1. - С. 185-202.43.Hirsch M., Palis J., Pugh C., Shub M. Neighborhoods of hyperbolic sets.// Invent. Math. - 1970. - 9. - С. 121-134.44.Hirsch M., Pugh C., Shub M. Invariant manifolds. - Springer-Verlag, 1977.45.Jiang B., Wang S., Zheng H. No embeddings of solenoids into surfaces// Proc. Am. Math. Soc. - 2008. - 136. - С. 3697-3700.46.Kaplan J., Mallet-Paret J., Yorke J. The Lyapunov dimension of nowhere differentiable attracting torus// Ergodic Theory Dynam. Systems. - 1984. - 2. - С. 261-281.47.Kollemmaer H. On hyperbolic attractors of codimension one// Lecture Notes in Math. - 1976. - 597. - C. 330-334.48.Ma J., Yu B. Genus two Smale-Williams solenoid attractors in 3-manifolds//j. Knot Theory Ramifications. - 2011. - 20, № 6. - С. 909-926.49.Man˜ e´ R. A proof of C1 stability conjecture// Publ. Math. Inst. Hautes E´ tudes Sci. - 1988. - 66. - С. 161-210.50.Medvedev V., Zhuzhoma E. On the existence of codimension one non-orientable expanding attractors//j. Dyn. Control Syst. - 2005. - 11, № 3. - С. 405-411.51.Meyer K R. Energy functions for Morse-Smale systems// Am. J. Math. - 1968. - 90. - C. 1031-1040.52.Moise E. Geometric topology in dimensions 2 and 3. - Springer-Verlag, 1977.53.Newhouse S. On codimension one Anosov diffeomorphisms// Am. J. Math. - 1970. - 92, № 3. - C. 761- 770. Рус. перевод: в сб. «Гладкие динамические системы». - М.: Мир, 1977. - C. 87-98.54.Pixton D. Wild unstable manifolds// Topology. - 1977. - 16, № 2. - C. 167-172.55.Plante J. The homology class of an expanded invariant manifolds// Lecture Notes in Math. - 1975. - 468. - С. 251-256.56.Pоincare H. Les me´thodes nouvelles de la me´canique celeste, III. - Paris, 1899.57.Robinson C. Structural stability of C1 diffeomorphisms//j. Differ. Equ. - 1976. - 22, № 1. - C. 28-73.58.Robinson C. Dynamical systems: stability, symbolic dynamics, and chaos. - CRC Press, 1999.59.Smale S. On gradient dynamical systems// Ann. Math. - 1961. - С. 199-206.60.Smale S. Stable manifolds for differential equations and diffeomorphisms// Ann. Sc. Norm. Super. Pisa. - 1963. - 18. - С. 97-116.61.Smale S. Differentiable dynamical systems// Bull. Am. Math. Soc. - 1967. - 73, № 1. - С. 741-817. Рус. перевод: Усп. мат. наук. - 1970. - 25. - С. 113-185.62.Smale S. Stability and isotopy in discrete dynamical systems// В сб.: Dynamical Systems. - New York: Academic Press, 1973. - С. 527-530.63.Williams R. Expanding attractors// Publ. Math. Inst. Hautes E´ tudes Sci. - 1974. - 43. - С. 169-203.64.Wilson W., Yorke J. Lyapunov functions and isolating blocks//j. Differ. Equ. - 1973. - 13. - С. 106-123.