Том 60, № (2016)

Методом монотонных операторов в вещественных пространствах Лебега Lp(a, b) доказываются глобальные теоремы о существовании, единственности, оценках и способах нахождения решения для различных классов нелинейных уравнений, содержащих оператор типа потенциала (риссов потенциал). Приведены следствия, иллюстрирующие полученные результаты.

Изучаются локальные нарушения устойчивости дифференциально вращающегося потока электропроводящей несжимаемой жидкости, находящейся под воздействием внешнего азимутального магнитного поля. Гидродинамически устойчивый поток может быть дестабилизирован магнитным полем как в случае идеальной системы, так и в случае системы с вязкостью и сопротивлением; при этом возникает азимутальная магнитовращательная неустойчивость. Специальное решение уравнений идеальной магнитогидродинамики, для которого полное давление постоянно, скорость жидкости параллельна направлению магнитного поля, а магнитная и кинетическая энергии конечны и равны друг другу (такое решение называется чандрасекаровской эквипартицией), маргинально устойчиво при отсутствии вязкости и сопротивления. Локальный анализ устойчивости позволяет найти условия, при которых азимутальную магнитовращательную неустойчивость можно трактовать как нарушение устойчивости чандрасекаровской эквипартиции, вызванное диссипацией.

Для системы Ламе плоской анизотропной теории упругости введены обобщенные потенциалы двойного слоя, связанные с теоретико-функциональным подходом. Эти потенциалы построены как для вектора смещений - решения системы Ламе, так и для сопряженных вектор-функций, описывающих тензор напряжений. Получено интегральное представление этих решений через указанные потенциалы. Как следствие, первая и вторая краевые задачи в различных классах (Гельдера, Харди, класса только непрерывных в замкнутой области функций) редуцированы к эквивалентной системе граничных уравнений Фредгольма в соответствующих пространствах. Заметим, что подобный подход был развит [13, 14] для общих эллиптических систем второго порядка с постоянными (и только старшими) коэффициентами. Однако ввиду важного прикладного значения представляет интерес привести развернутое изложение непосредственно для системы Ламе. В качестве иллюстрации полученных результатов в последних двух разделах рассмотрена задача Дирихле с кусочно постоянными коэффициентами Ламе, когда на кривой раздела двух сред задаются контактные условия. Эта задача редуцирована к эквивалентной системе граничных уравнений Фредгольма. Подробно исследован характер гладкости ядер полученных интегральных операторов в зависимости от гладкости граничных контуров.