Том 66, № 2 (2020): Труды Крымской осенней математической школы-симпозиума

В работе изучается скалярная задача сопряжения, моделирующая проблему малых колебаний двух вязкоупругих жидкостей, заполняющих неподвижный сосуд. Исследуется начальнокраевая задача и методами теории полугрупп доказывается теорема о ее однозначной разрешимости на положительной полуоси. Возникающая при этом спектральная проблема для нормальных колебаний системы исследуется методами спектральной теории оператор-функций (операторных пучков). Полученный операторный пучок обобщает как известный операторный пучок С. Г. Крейна (колебания вязкой жидкости в открытом сосуде), так и пучок, возникающий в задаче о малых движениях вязкоупругой жидкости в частично заполненном сосуде. Рассмотрен пример двумерной задачи, допускающей разделение переменных, найдены все точки существенного спектра и ветви собственных значений. На основе этой двумерной задачи сформулирована гипотеза о структуре существенного спектра в скалярной задаче сопряжения и доказана теорема о кратной базисности системы корневых элементов основного операторного пучка.

Статья представляет собой обширный обзор по теории симметричных пространств измеримых функций. Он содержит ряд новых (недавних) и старых (известных) результатов в этой области. Для большинства результатов мы приводим их доказательства или точные ссылки, где они могут быть найдены. Рассматриваемые симметричные пространства являются банаховыми (или квазибанаховыми) пространствами измеримых функций, снабженными симметричными (перестановочно инвариантными) нормами (или квазинормами). Мы рассматриваем симметричные пространства E = E(Ω, Fμ, μ) ⊂ L0 (Ω, Fμ, μ) на общих пространствах с мерой (Ω, Fμ, μ), причем меры μ предполагаются конечными или бесконечными σконечными неатомическими, в то же время не предполагается, что пространство с мерой (Ω, Fμ, μ) сепарабельно или является пространством Лебега. В первом разделе обзора мы описываем основные классы и основные свойства симметричных пространств, рассматриваем минимальные, максимальные, ассоциированные пространства, свойства (А), (B), (C) и свойство Фату (F). Список конкретных симметричных пространств, которые мы используем, включает в себя пространства Орлича LΦ(Ω, Fμ, μ), Лоренца ΛW (Ω, Fμ, μ), Марцинкевича MV (Ω, Fμ, μ), Орлича-Лоренца LW,Φ (Ω, Fμ, μ) и, в частности, пространства Lp(w), Mp(w), Lp,q и L∞(U ). Во втором разделе мы имеем дело с индексами растяжения (Бойда) симметричных пространств и некоторыми приложениями классического оператора H Харди-Литтлвуда. Одна изосновных проблем здесь заключается в следующем: когда H действует как ограниченный оператор на заданном симметричном пространстве E(Ω, Fμ, μ)? Особое внимание уделяется симметричным пространствам, которые обладают свойством Харди-Литтлвуда (HLP) или слабым свойством Харди-Литтлвуда (WHLP). В третьем разделе мы рассматриваем некоторые теоремы интерполяции для пары пространств (L1 , L∞), включая классическую теорему Кальдерона-Митягина. В качестве приложения общей теории в последнем разделе обзора мы доказываем эргодические теоремы для чезаровских средних положительных сжатий в симметричных пространствах. Изучая различные типы сходимости, мы делаем акцент на доминантной эргодической теореме (DET ), индивидуальной (поточечной) эргодической теореме (IET), порядковой эргодической теореме (OET ) и статистической (mean) эргодической теореме (MET).

Рассматривается нелинейное вырождающееся параболического уравнение второго порядка в случае, когда вектор потока и нестрого возрастающая функция диффузии лишь непрерывны. При нулевой диффузии это уравнение вырождается в квазилинейное уравнение первого порядка (закон сохранения). Известно, что в рассматриваемом общем случае энтропийное решение (в смысле Кружкова-Карильо) задачи Коши может быть неединственно. Поэтому актуально исследование специальных энтропийных решений задачи Коши и нахождение дополнительных условий на входные данные задачи, достаточных для единственности. В работе получен ряд новых результатов в этом направлении. Именно, доказано существование наибольшего и наименьшего энтропийного решения задачи Коши. С помощью этого результата установлена единственность энтропийного решения с периодическими начальными данными. Более обще, доказан принцип сравнения для энтропийных суби суперрешений в случае, когда хотя бы одна из начальных функций является периодической. Полученные результаты обобщают на параболический случай результаты, известные для законов сохранения.

На базе рассмотренных ранее краевых, спектральных и начально-краевых задач в случае одной области изучаются соответствующие задачи, порожденные полуторалинейной формой, для двух областей. Подробно изучены возникшие операторные пучки с соответствующими операторными коэффициентами, действующие в гильбертовом пространстве и зависящие от двух параметров. В возмущенном и в невозмущенном случаях рассматриваются оба возможных варианта, когда один из параметров спектральный, а другой фиксированный. В исследовании использован принцип суперпозиции, позволяющий представить решение исходной проблемы в виде суммы решений вспомогательных краевых задач, содержащих неоднородность либо в уравнении, либо в одном из краевых условий. Получены необходимые и достаточные условия корректной разрешимости краевых задач на произвольном промежутке времени. Доказаны теоремы о свойствах спектра, а также о полноте и базисности системы корневых элементов.