To the Problem on Small Oscillations of a System of Two Viscoelastic Fluids Filling Immovable Vessel: Model Problem

Cover Page

Cite item


In this paper, we study the scalar conjugation problem, which models the problem of small oscillations of two viscoelastic fluids filling a fixed vessel. An initial-boundary value problem is investigated and a theorem on its unique solvability on the positive semiaxis is proven with semigroup theory methods. The spectral problem that arises in this case for normal oscillations of the system is studied by the methods of the spectral theory of operator functions (operator pencils). The resulting operator pencil generalizes both the well-known S. G. Kreyn’s operator pencil (oscillations of a viscous fluid in an open vessel) and the pencil arising in the problem of small motions of a viscoelastic fluid in a partially filled vessel. An example of a two-dimensional problem allowing separation of variables is considered, all points of the essential spectrum and branches of eigenvalues are found. Based on this two-dimensional problem, a hypothesis on the structure of the essential spectrum in the scalar conjugation problem is formulated and a theorem on the multiple basis property of the system of root elements of the main operator pencil is proved.

About the authors

D. A. Zakora

V. I. Vernadsky Crimean Federal University

Author for correspondence.
Simferopol, Russia

N. D. Kopachevsky

V. I. Vernadsky Crimean Federal University

Simferopol, Russia


  1. Азизов Т. Я., Иохвидов И. С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. - М.: Наука, 1986.
  2. Голдстейн Дж. Полугруппы линейных операторов и их приложения. - Киев: Выща школа, 1989.
  3. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. - М.: Мир, 1972.
  4. Копачевский Н. Д. Абстрактная формула Грина и некоторые ее приложения. - Симферополь: ООО «Форма», 2016.
  5. Копачевский Н. Д. К проблеме малых движений системы из двух вязкоупругих жидкостей в неподвижном сосуде// Соврем. мат. Фундам. направл. - 2018. - 64, № 3. - С. 547-572.
  6. Копачевский Н. Д., Крейн С. Г., Нго Зуй Кан. Операторные методы в линейной гидродинамике. Эволюционные и спектральные задачи. - М.: Наука, 1989.
  7. Крейн C. Г. О колебаниях вязкой жидкости в сосуде// Докл. АН СССР. - 1964. - 159, № 2. - C. 262- 265.
  8. Крейн C. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. - М.: Наука, 1967.
  9. Крейн C. Г., Лаптев Г. И. К задаче о движении вязкой жидкости в открытом сосуде// Функц. анализ и его прилож. - 1968. - 2, № 1. - C. 40-50.
  10. Маркус А. С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков. - Кишинев: «Штиинца», 1986.
  11. Маркус А. С., Мацаев В. И. Теоремы о сравнении спектров линейных операторов и спектральные асимптотики// Тр. Моск. мат. об-ва. - 1982. - 45. - C. 133-181.
  12. Маркус А. С., Мацаев В. И. Теорема о сравнении спектров и спектральная асимптотика для пучка М. В. Келдыша// Мат. сб. - 1984. - 123, № 3. - C. 391-406.
  13. Милославский А. И. Спектральный анализ малых колебаний вязкоупругой жидкости в открытом контейнере. - Киев: Ин-т мат. НАН Украины, 1989. - Деп. рукопись № 1221.
  14. Милославский А. И. Спектр малых колебаний вязкоупругой жидкости в открытом сосуде// Усп. мат. наук. - 1989. - 44, № 4.
  15. Милославский А. И. Спектр малых колебаний вязкоупругой наследственной среды// Докл. АН СССР. - 1989. - 309, № 3. - С. 532-536.
  16. Azizov T. Ya., Kopachevskii N. D., Orlova L. D. Evolution and spectral problems related to small motions of viscoelastic fluid// Am. Math. Soc. Transl. - 2000. - 199.- С. 1-24.
  17. Birman M. Sh., Solomyak M. Z. Asymptotic behavior of the spectrum of differential equations// J. Soviet Math. - 1979. - 12, № 3. - С. 247-283.
  18. Engel K.-J., Nagel R. One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations. - New York: SpringerVerlag, 2000.
  19. Gagliardo E. Caratterizzazioni delle tracce sulla frontiera relative ad alcune classi di funzioni in n variabili// Rend. Semin. Mat. Univ. Padova. - 1957. - 27. - С. 284-305.
  20. Gohberg I., Goldberg S., Kaashoek M. A. Classes of Linear Operators. Vol. 1. - Basel-Boston-Berlin: Birkha¨user, 1990.
  21. Helton J. W. Unitary operators on a space with an indefinite inner product// J. Funct. Anal. - 1970. - 6, № 3. - С. 412-440.
  22. Kopachevsky N. D., Krein S. G. Operator Approach to Linear Problems of Hydrodynamics. Vol. 2: NonselfAdjoint Problems for Viscous Fluids. - Basel-Boston-Berlin: Birkha¨user, 2003.
  23. Miloslavsky A. I. Stability of certain classes of evolution equations// Sib. Math. J. - 1985. - 26, № 5. - С. 723-735.
  24. Miloslavskii A. I. Stability of a viscoelastic isotropic medium// Soviet Phys. Dokl. - 1988. - 33. - С. 300.

Copyright (c) 2020 Contemporary Mathematics. Fundamental Directions

License URL:

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies