To the Problem on Small Oscillations of a System of Two Viscoelastic Fluids Filling Immovable Vessel: Model Problem

Full Text

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Постановка скалярной модельной задачи 182 2. Операторный подход к начально-краевой задаче 187 3. Плоская задача, допускающая разделение переменных 192 4. Операторный подход к спектральной задаче 197 Список литературы 205 1. ПОСТАНОВКА СКАЛЯРНОЙ МОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ 1. Введение. Одними из первых работ, связанных с применением методов функционального анализа к исследованию проблемы малых движений и нормальных колебаний вязкоупругой жидкости в частично заполненном сосуде, являются работы А. И. Милославского (см. [13, 23, 24]). В них для обобщенной модели Олдройта (m > 1) применен операторный подход, развивающий построения, проведенные ранее С. Г. Крейном и его учениками (см. [7, 9], а также [6, 22]), применительно к задаче о малых колебаниях вязкой жидкости в частично заполненном сосуде либо системы из несмешивающихся жидкостей. Случай полного заполнения полости вязкоупругой жидкостью рассмотрен в [16], а также в [5]. Вариант начально-краевой задачи для сосуда, заполненного двумя несмешивающимися вязкоупругими жидкостями, изучен в [19]. Там же сформирована спектральная проблема в задаче о нормальных колебаниях гидросистемы, которая приведена к исследованию операторного пучка, обобщающего известный пучок С. Г. Крейна. В данной работе изучается модельная спектральная задача, обладающая всеми особенностями векторной проблемы о нормальных колебаниях системы из двух вязкоупругих жидкостей, заполняющих произвольный сосуд, а также ее частный случай (двумерная проблема в прямоугольной области). Для произвольного сосуда изучена начально-краевая задача и получена спектральная проблема для операторного пучка, обобщающая пучок С. Г. Крейна. Далее изучается соответствующая спектральная задача в упомянутом частном случае, допускающем разделение переменных. Характеристическое уравнение задачи позволяет проводить ее исследование графически с использованием асимптотических методов. В итоге двумерная задача позволяет выдвинуть гипотезу, позволяющую исследовать структуру спектра в модельной спектральной задаче. Модельная задача, в свою очередь, позволяет сделать качественные выводы относительно свойств векторной гидродинамической задачи в случае, когда сосуд заполнен двумя или более несмешивающимися жидкостями. 2. Предварительная постановка проблемы. Будем считать, что две вязкоупругих жидкости модели Олдройта заполняют сосуд Ω ⊂ R3 и в состоянии равновесия под действием гравитационного поля занимают области Ω1 и Ω2 соответственно с горизонтальной границей раздела Γ. Обозначим через S1 и S2 те части границы ∂Ω, которые примыкают к первой и второй жидкостям соответственно. Введем декартову систему координат Ox1x2x3 таким образом, чтобы ось Ox3 была направлена вверх, т. е. против действия однородного гравитационного поля, а начало координат O находилось на Γ. Тогда ускорение гравитационного поля _g = -g_e3, g > 0, а в состоянии покоя поле давлений в жидкостях выражаются по законам Архимеда: P0,k (x3) = p0 - ρkgx3, k = 1, 2, (1.1) где ρk > 0 - постоянные плотности жидкостей, а p0 - давление на границе раздела Γ. Приведем теперь постановку задачи о малых движениях системы из двух вязкоупругих жидкостей модели Олдройта (см. [19]). Пусть _uk (t, x) - поля малых скоростей, а pk(t, x) - отклонения полей давлений от их равновесных значений (1.1). Полагаем, что на гидросистему дополнительно к гравитационному действует малое поле внешних сил f_(t, x), x ∈ Ω. Тогда линеаризованные уравнения движения жидкостей имеют следующий вид: ∂_uk (t, x) ∂t ρk = -∇pk(t, x)+ μkΔ_vk (t, x)+ ρk f_k(t, x), div_uk (t, x) = 0, x ∈ Ωk, t r (1.2) _vk(t, x) = _uk (t, x)+ αk 0 e-βk (t-s)_uk (s, x) ds =: I0,k (t)_uk (t, x), k = 1, 2, где μk > 0 - динамические вязкости жидкостей, αk ;;? 0, βk ;;? 0 - коэффициенты, характеризую- 1Ω щие свойства вязкоупругости жидкостей модели Олдройта, f_k (t, x) := f_(t, x)1 k , k = 1, 2, а Δ - трехмерный оператор Лапласа. Для вязких жидкостей, как известно, на твердых стенках Sk сосуда должны выполняться условия прилипания, т. е. _uk(t, x) = _0, x ∈ Sk, k = 1, 2, (1.3) а на границе Γ - условия непрерывности полей скоростей: _u1(t, x) = _u2(t, x), x ∈ Γ. (1.4) Пусть x3 = ζ(t, x), x ∈ Γ, (1.5) - вертикальное отклонение границы раздела между жидкостями в процессе малых движений системы. Тогда на Γ должно выполняться кинематическое условие ∂ζ(t, x) ∂t = _u1(t, x) · _n =: γn,1_u1(t, x) = _u2(t, x) · _n =: γn,2_u2(t, x), _n = _e3, (1.6) Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ 184 Д. А. ЗАКОРА, где символом γn,k обозначена операция взятия нормальной компоненты поля скорости. Заметим также, что из условия сохранения объема каждой из жидкости имеем связь r ζ(t, x) dΓ = 0. (1.7) Γ Сформулируем теперь динамические условия на Γ. Они состоят в том, что на движущейся границе раздела жидкостей векторное поле напряжений при переходе из одной жидкости к другой изменяется непрерывно. Линеаризация этого условия и его снос на Γ приводят к следующим соотношениям: на Γ касательные напряжения изменяются непрерывно, а нормальное напряжение (т. е. вдоль оси Ox3) компенсируется гравитационным скачком давлений. Имеем μ1τj3(_v1(t, x)) = μ2τj3(_v2(t, x)), _vk (t, x) = I0,k (t)_uk (t, x), j, k = 1, 2; 1 - p1(t, x)+ μ1τ33(_v1(t, x))l - 1 - p2(t, x)+ μ2τ33(_v2(t, x))l = -g(ρ1 - ρ2)ζ(t, x), x ∈ Γ. (1.8) Здесь τjl(_u) := ∂uj ∂xl + ∂ul ∂xj , j, l = 1, 2, 3 - удвоенный тензор скоростей деформаций в жидкости с полем скоростей _u(t, x), а I0,k(t) - закон действия памяти в модели Олдройта (см. (1.2)). Наконец, для искомых функций _uk(t, x), pk (t, x), k = 1, 2, и ζ(t, x) необходимо еще задать начальные условия: k _uk(0, x) = _u0 (x), x ∈ Ωk, k = 1, 2; ζ(0, x) = ζ0(x), x ∈ Γ. (1.9) 3. Формулировка модельной начально-краевой и спектральной задачи. Опираясь на постановку задачи (1.2)-(1.9), сформулируем модельную начально-краевую задачу о малых движениях системы из двух вязкоупругих жидкостей, заполняющих область Ω ⊂ R3, разбитую на две части Ω1 и Ω2, как это было описано выше в пункте 1.2. При этом воспользуемся следующими упрощающими предположениями. 1. Векторные поля скоростей _uk(t, x) заменяем скалярными полями uk(t, x), x ∈ Ωk, k = 1, 2, поля давлений pk(t, x) считаем тождественно равными нулю, а условия соленоидальности отбрасываем. 2. Кинематические условия (1.6) заменяем соотношениями с u1(t, x) = u2(t, x), x ∈ Γ. 3. В динамических условиях (1.8) условие равенства касательных напряжений нулю отбрасываем, а нормальные напряжения на Γ заменяем производными от uk (t, x) по внешней нормали к границе области Ωk. Тогда при тех же обозначениях для остальных параметров и функций приходим к следующей начально-краевой задаче: ∂uk (t, x) ∂t ρk = μkΔvk (t, x)+ ρkfk (t, x), x ∈ Ωk, k = 1, 2, (1.10) t r vk (t, x) := uk (t, x)+ αk 0 e-βk (t-s)uk(s, x) ds =: I0,k(t)uk (t, x), k = 1, 2, (1.11) ∂ζ(t, x) ∂t uk(t, x) = 0, x ∈ Sk, k = 1, 2, (1.12) = u1(t, x) =: γ1u1(t, x) = u2(t, x) =: γ2u2(t, x), x ∈ Γ, (1.13) r ζ(t, x) dΓ = 0, (1.14) ∂v1(t, x) μ1 ∂n - μ2 Γ - 1 - 2 ∈ 3 ∂v2(t, x) = g(ρ ρ )ζ(t, x), x Γ, _n = _e , (1.15) ∂n k uk(0, x) = u0 (x), x ∈ Ωk, k = 1, 2; ζ(0, x) = ζ0(x), x ∈ Γ. (1.16) Далее будем рассматривать также задачу о нормальных движениях, т. е. о решениях однородной начально-краевой проблемы (1.10)-(1.16), зависящих от t по экспоненциальному закону: uk(t, x) = exp(-λt)uk (x), x ∈ Ωk, k = 1, 2, ζ(t, x) = exp(-λt)ζ(x), x ∈ Γ, λ ∈ C. К ПРОБЛЕМЕ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ 185 При этом воспользуемся следствиями из соотношений (1.11) для модели вязкоупругой жидкости Олдройта: ∂wk (t, x) = α1/2 ∂t k uk (t, x) - βkwk (t, x), wk (0, x) = 0, t r (1.17) k wk(t, x) := α1/2 0 e-βk (t-s)uk (s, x) ds, k = 1, 2. Тогда для амплитудных функций uk(x), k = 1, 2, ζ(x), а также амплитудных функций wk(x), k = 1, 2, отвечающих связям (1.17), возникает следующая спектральная задача: k - λρkuk(x) = μk Δ(uk (x)+ α1/2wk (x)), x ∈ Ωk, k = 1, 2, 1/2 - λwk (x) = αk uk (x) - βkwk(x), x ∈ Ωk, k = 1, 2, uk(x) = wk (x) = 0, x ∈ Sk, k = 1, 2, r (1.18) - λζ(x) = u1(x) = u2(x), x ∈ Γ, ζ(x) dΓ = 0, Γ ∂ 1/2 ∂ 1/2 μ1 ∂n (u1(x)+α1 w1(x)) - μ2 ∂n (u2(x)+ α2 w2(x)) = -g(ρ1 - ρ2)ζ(x), x ∈ Γ, _n = _e3. Далее задачу (1.10)-(1.16), а также задачу (1.18), будемисследовать методами функционального анализа и спектральной теории операторных пучков с использованиемобобщенной формулы Грина для оператора Лапласа, приспособленной к изучению краевых задач в областях с липшицевой границей. 4. О формуле Грина для оператора Лапласа. Пусть Ω ⊂ Rm - область с границей ∂Ω, разбитой на два куска S и Γ. Введем пространство функций H1(Ω) с нормой, эквивалентной стан- 2 2 1 12 дартной: u H1 (Ω) := Г |∇u| dΩ+ 1 Г u dΓ1 . Ω 1 Γ 1 Γ Для подпространства H1(Ω) функций из H1(Ω), у которых выполнено условие Г u dΓ = 0, имеем u H1 2 Γ (Ω) Γ 2 := Г |∇u| dΩ, т. е. квадрат нормы совпадает с интегралом Дирихле. Ω 0,S Введем далее подпространство H1 (Ω) функций, обращающихся в нуль на S: 0,S (Ω) := u ∈ HΓ(Ω) : u1S = 0 . (1.19) H1 1 1 Будемсчитать, что граница ∂Ω области Ω липшицева, причемее куски S и Γ, на которые она разбита, также липшицевы. Тогда, как известно (см. [19]), след функций из H1(Ω), вычисленный на ∂Ω, принадлежит пространству H1/2(∂Ω) ⊂ L2(∂Ω). Более того, функции на его кусках, заданные на Γ и S, также принадлежат соответствующим пространствам H1/2(Γ) и H1/2(S) соответственно (см. [4]). Γ Введем в H1(Ω) множество функций, которые обладают следующим свойством: их следы γΓu ∈ H1/2(Γ) ∩ L2,Γ продолжимы нулем на кусок S в классе H1/2(∂Ω). Обозначим соответствующее множество из H1(Ω) символом H� 1(Ω), а совокупность следов на Γ - через H� 1/2. Тогда ока- Γ Γ Γ зывается, что имеет место оснащение пространства L2,Γ = L2(Γ) ∓ {1Γ} в виде H� 1/2 ⊂⊂ L ⊂⊂ ( 1/2\∗ = H-1/2 1/2 -1/2 Γ →→ 2,Γ →→ H�Γ Γ ; при этом для элементов ϕ ∈ H�Γ и ψ ∈ HΓ выражение ⊕ϕ, ψ)L2,Γ является 1 полуторалинейной формой в L2,Γ: 1 ϕ, ψ)L2,Γ 1 � ϕ § ψ H . Здесь ⊕ϕ, ψ)L2,Γ - замыкание H 1⊕ 1/2 �Γ -1/2 Γ формы (ϕ, ψ) L2,Γ := Г ϕψ dΓ, заданное на гладких функциях, по соответствующим нормам. Γ Оказывается, для функций из Лапласа (см. [4]): Γ H� 1(Ω) имеет место следующая формула Грина для оператора H1 (η, u) = η, -Δu + γΓ ∂u η, , (1.20) 0,S (Ω) ∂u1 L2(Ω) ∂n L2 (Γ) где -Δu ∈ (H1(Ω))∗, γΓη ∈ H� 1/2, 1 ∈ H-1/2. Γ Γ ∂n 1Γ Γ Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ 186 Д. А. ЗАКОРА, Перейдем теперь к соответствующим формулам Грина для задачи (1.10)-(1.16). Считаем, что области Ωk ⊂ Rm, k = 1, 2, имеют липшицевы границы ∂Ωk, состоящие из липшицевых кусков 0,Sk Sk и Γ соответственно, k = 1, 2. Введем множества H� 1 0,Sk (Ωk) ⊂ H1 (Ωk ), а также наборы пар 0,Sk функций η = (η1; η2) и u = (u1; u2), ηk, uk ∈ H� 1 (Ωk), k = 1, 2. Для таких наборов определим скалярные произведения (η, u) L2 (Ω) 2 L2 (Ω ) := ρk(ηk, uk ) k k=1 2 , (1.21) (η, u) H� 1 := μk (ηk , uk ) 1 . (1.22) Γ (Ω) k=1 H0,Sk (Ωk ) Тогда оказывается (см. [4]), что для таких наборов имеет место следующая обобщенная формула Грина: (η, u) H� 1 Γ(Ω) 2 = ηk k=1 , -μk Δuk L2(Ωk ) 2 + γk k=1 k ∂uk ηk, μk ∂n L2,Γ , (1.23) 0,S где η, u ∈ H� 1 1Γ (Ω), γkηk := ηk1 1/2 H , ∈ �Γ ∂uk ∂nk H -1/2 ∈ Γ , k = 1, 2, которая далее будет использоваться. 5. Закон баланса полной энергии. Будем считать, что начально-краевая задача (1.10)-(1.16) имеет классическое решение, т. е. все заданные и искомые функции, а также их производные, входящие в уравнения и краевые условия, являются непрерывными функциями своих переменных. Тогда, используя обобщенные формулы Грина для оператора Лапласа в областях Ωk, k = 1, 2, можно установить, что для классического решения задачи имеет место следующее тождество: ρ k 1 d ( 2 r 2 dt r 2 |uk (t, x)| dΩk + g(ρ1 - ρ2) 2 |ζ(t, x)| dΓ = k=1 Ωk Γ 2 r 2 r = - μk k=1 Ωk ∇vk(t, x) · ∇uk(t, x) dΩk + ρk k=1 Ωk fk (t, x) uk (t, x) dΩk. (1.24) Это тождество - закон баланса полной энергии системы в дифференциальной форме. Оно показывает, что изменение полной энергии исследуемой системы обусловлено мощностью диссипативных и внешних сил, действующих на систему. Тождество (1.24) показывает также, что для искомых объектов следует выбирать пары функций 0,S,Γ u = (u1; u2) из пространства H� 1 0,S (Ω) ⊂ H� 1 (Ω), которое определяется следующим образом: H� 1 0,S,Γ(Ω) := f 1 u = (u1; u2) ∈ H�0,S 1 (Ω) : γ1u1 := u11Γ 1 = u21Γ =: γ2u2 . (1.25) 0,S,Γ Пространство H� 1 (Ω) плотно в пространстве L2(Ω) (см. (1.21)), так как оно в качестве подпространства содержит множество H1(Ω) := H1(Ω1) ⊕ H1(Ω2) := {u = (u1; u2) ∈ H� 1 (Ω) : uk = 0 Γ), k = 1, 2}. 0 0 0 0,S Лемма 1.1. Имеет место следующее ортогональное разложение: H� 1 1 1 H� 1 h (Ω) := f 1 u = (u1; u2) ∈ H�0,S 0,S (Ω) = H�0,S,Γ(Ω) ⊕ H�h (Ω), (1.26) (Ω) : -μkΔuk = 0 (x ∈ Ωk), uk = 0 (x ∈ Sk ), k = 1, 2, ∂u ∂u1 2 μ1 ∂n - μ2 ∂n = 0 (x ∈ Γ), _n = _e3 . (1.27) Доказательство. Оно основано на формуле Грина (1.23) для областей Ω1 и Ω2, а также на определении (1.25). К ПРОБЛЕМЕ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ 187 Лемма 1.2. Ортопроектор P1 : f H� 1 0,S 0,S,Γ (Ω) → H� 1 (Ω) действует по закону P1(u1; u2) = u1-μ-1V1(μ-1C1+μ-1C2)-1(γ1u1-γ2u2); u2+μ-1V2(μ-1C1+μ-1C2)-1(γ1u1-γ2u2) , 1 1 2 2 1 2 (1.28) где Ck := γk Vk (k = 1, 2), а V1 и V2 - операторы вспомогательных задач ∂vk k -μkΔvk = 0 (x ∈ Ωk ), vk = 0 (x ∈ Sk), μk ∂n = ±ψ (x ∈ Γ), _nk = _e3, k = 1, 2. (1.29) Доказательство. Опираясь на (1.25)-(1.27), получим закон действия ортопроектора P1. Пусть 0,S (u1; u2) ∈ H� 1 (Ω). Тогда P1(u1; u2) = (u1; u2) - (v1; v2), (1.30) h где (v1; v2) ∈ H� 1(Ω) - такой элемент, который в силу (1.25) удовлетворяет условию γ1u1 - γ1v1 = γ2u2 - γ2v2, x ∈ Γ. (1.31) Рассмотрим слабые решения вспомогательных задач (1.29). При k = 1 определим на основе формулы Грина вида (1.20) для области Ω1 слабое решение задачи (1.29) тождеством μ1(η1, v1) = γ η , ψ ∀η ∈ H� 1 (Ω ). H� 1 0,S1 (Ω1 ) 1 1 L2,Γ 1 0,S1 1 Необходимым и достаточным условием разрешимости задачи (1.29) при k = 1 является условие ψ ∈ H-1/2 1/2 ∗. Если это условие выполнено, то задача (1.29) при k = 1 имеет единственное Γ = (H�Γ ) слабое решение ( μ1v1 = V1ψ, V1 ∈ L H-1/2; H� 1 (Ω1)) . (1.32) Γ 0,S1 Аналогичным образом получаем, что слабое решение второй вспомогательной задачи (1.29) 2 2 2 H1 определяется из тождества μ (η , v ) 0,S2 (Ω2 ) = γ2η2, -ψ L2,Γ 1 ∀η2 ∈ H�0,S2 (Ω2), и поэтому ( μ2v2 = V2(-ψ), V2 ∈ L H-1/2; H� 1 (Ω2)) . (1.33) Теперь из (1.31)-(1.33) получим связь Γ 0,S2 γ1v1 - γ2v2 = (μ-1γ1V1 + μ-1γ2V2)ψ = γ1u1 - γ2u2. (1.34) Можно проверить, что оператор μ-1 1 2 -1 -1 -1 1 γ1V1 + μ2 γ2V2 =: μ1 C1 + μ2 C2 (1.35) ∗ ограниченно действует из H-1/2 = (H� 1/2\ на все пространство H1/2. Поэтому по теореме Ба- Γ Γ �Γ ( � наха существует ограниченный обратный оператор (μ-1C1 + μ-1C2)-1 ∈ L H1/2; H-1/2 ). Отсюда, 1 2 Γ Γ из (1.34), (1.32), (1.33) и (1.30) получим (1.28). В дальнейшемнам понадобятся также ортопроекторы Pjl (l = 1, 2), действующие в гильбертовом пространстве L2(Ω). А именно, если u = (u1; u2) ∈ L2(Ω), то Pj1u := (u1; 0), Pj2u := (0; u2). 2. ОПЕРАТОРНЫЙ ПОДХОД К НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ 1. Вспомогательные краевые задачи. Система интегродифференциальных операторных уравнений. Будем считать, что начально-краевая задача (1.10)-(1.16) имеет решение u = (u1; u2), 0,S,Γ являющееся функцией переменной t со значениями в пространстве H� 1 (Ω), и получимуравнение, которому должно удовлетворять это решение. С этой целью перепишем уравнение в областях Ω1 и Ω2 в виде пар соотношений: ( ∂uk 2 ρk ∂t k=1 k=1 = μkΔvk 2 k=1 + ρkfk 2 . (2.1) Представим функцию v = (v1; v2) в виде суммы решений двух вспомогательных проблем: v = (v1; v2) = w1 + w2 =: (w11; w12)+ (w21; w22). (2.2) Первая проблема соответствует неоднородным уравнениям в областях Ωk (k = 1, 2), а вторая - неоднородным краевым условиям. Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ 188 Д. А. ЗАКОРА, Для первой проблемы имеем: - μkΔw1k 2 ( = - ρk ∂uk 2 + ρkfk 2 , w111 k=1 1 12 ∂t k=1 1 11 2 12 k=1 (2.3) 1S1 = 0, w ∂w11 1S2 = 0, γ w ∂w12 = γ w , x ∈ Γ, μ1 ∂n - μ2 ∈ 3 = 0, x Γ, _n = _e . ∂n Для второй проблемы соответственно получаем: k=1 - μk Δw2k 2 = 0, w211 1 22 1 21 2 22 1S1 = 0, w 1S2 = 0, γ w = γ w =: ϕ, x ∈ Γ, (2.4) ∂w21 μ1 ∂n - μ2 ∂n 1 2 3 ∂w22 = -g(ρ - ρ )ζ, x ∈ Γ, _n = _e . 0,S,Γ Лемма 2.1. Задача (2.4) имеет единственное слабое решение w2 = (w21; w22) ∈ H� 1 (Ω) то- Γ гда и только тогда, когда выполнено условие ζ ∈ H-1/2. Это решение имеет вид w2 = (w21; w22) = -g(ρ1 - ρ2)Vζ := := -g(ρ1 - ρ2) (�1 (μ1C1 + μ2C2 ) ζ; �2 (μ1C1 + μ2C2 ) ζ) , (2.5) γ-1 -1 -1 -1 γ-1 -1 -1 -1 Γ ; H1 V ∈ L H-1/2 � ( 0,S,Γ (Ω)) . (2.6) Доказательство. Если функция ϕ известна, то задача (2.4) распадается на две независимые 0,S1 задачи Дирихле для уравнения Лапласа. При этом для элементов w2k ∈ H� 1 (Ω1) следы функций Γ Γ на Γ, т. е. элементы γkw2k, должны принадлежать пространству H� 1/2, и тогда должно выполняться необходимое условие разрешимости ϕ = γ1w21 = γ2w22 ∈ H� 1/2, которое является и достаточным 0,Sk для каждой из распадающихся задач. Так как между следами гармонических функций из H� 1 и самими функциями имеется взаимно однозначное соответствие, то (см. [4]) имеем связи (Ωk ) γ-1 γ-1 ( � 1/2 1 w2k = �k ϕ, �k ∈ L HΓ ; H�0,Sk (Ωk)), k = 1, 2. (2.7) Учитывая еще соотношения (1.32), (1.33) (см. также (1.29)), из динамического условия на Γ в (2.4) приходим к соотношению ( (μ1C-1 + μ2C-1)ϕ = -g(ρ1 - ρ2)ζ, Ck = γk Vk ∈ L H-1/2; H� 1/2 ), k = 1, 2. (2.8) 1 2 Γ Γ Здесь оператор μ1C-1 + μ2C-1 осуществляет взаимно однозначное соответствие между и 1/2 H � 1 2 Γ H-1/2 Γ и является ограниченным оператором. Поэтому по теореме Банаха существует ограничен- ( ный обратный оператор: (μ1C-1 + μ2C-1)-1 ∈ L H-1/2; H� 1/2 ), k = 1, 2. Отсюда, из (2.7), (2.8) 1 2 Γ Γ получим (2.5), (2.6). Рассмотрим теперь вопрос о существовании слабого решения первой вспомогательной задачи, т. е. задачи (2.3), с учетом леммы 2.1. При этом понадобится формула Грина (1.23), приспособленная к определению обобщенного решения задачи (2.3). 0,S,Γ Определение 2.1. Функцию w1(t) = (w11(t); w12(t)) со значениями в пространстве H� 1 (Ω) назовемобобщенным решением задачи (2.3), если для нее выполнено тождество, следующее из (1.23), а также из уравнений и краевых условий задачи (2.3): (η, w1(t)) H� 1 0,S,Γ (Ω) = ( du η, - dt ) + f (t \ L2 (Ω) ∀ η ∈ H� 1 0,S,Γ (Ω). (2.9) Здесь выражение f�(t) := -du/dt + f (t) считается функцией переменной t со значениями в L2(Ω) (и потому ∂/∂t заменено на d/dt). Если, в частности, выполнено условие f� ∈ C(R+; L2(Ω)) (R+ := [0, +∞)), то, как известно из теории слабых и обобщенных решений краевых задач, обобщенное решение w1(t) задачи (2.3) существует, единственно и является непрерывной функцией 0,S,Γ переменной t со значениями в H� 1 (Ω). К ПРОБЛЕМЕ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ 189 0,S,Γ Более того, так как (H� 1 (Ω); L2(Ω)) - гильбертова пара пространств, то в сформированных условиях w1(t) - непрерывная функция t со значениями в D(A�), где A� - оператор гильбертовой пары. Напомним здесь, что оператор A� самосопряжен и положительно определен в L2(Ω). Из 0,S,Γ компактности вложения H� 1 (Ω) в пространство L2(Ω) следует компактность оператора A�-1. Опираясь на тождество (2.9), получиминтегродифференциальное соотношение, которому должно удовлетворять сильное по переменной t решение проблемы (1.10)-(1.16). Предварительно отме- 0,S,Γ тимследующий факт: так как в (2.9) η ∈ H� 1 (Ω), то P1η = η, где P1 - ортопроектор из леммы 1.2. Кроме того, упомянутые выше доводы влекут следующие соотношения: (η, w1(t)) = (P η, w (t)) = (η, P w (t)) = 0,S,Γ (Ω) H1 1 1 1 ,Γ (Ω) H� 1 1 = (A 1/2 � 1 1/2 η, A� �0,S,Γ (Ω) P1w1(t))L 2 (Ω) H�0,S = (η, A�P1w1(t)) L2 (Ω) 1 ∀ η ∈ H�0,S,Γ(Ω). (2.10) Отсюда следует, что тождество (2.9) равносильно связи du A�P1w1(t) = - dt + f (t), (2.11) которая имеет место в гильбертовом пространстве L2(Ω). Здесь A� - оператор гильбертовой пары (H� 1 0,S,Γ (Ω); L2(Ω)), P1 - упомянутый выше ортопроектор (см. лемму 1.2), w1(t) - обобщенное решение первой вспомогательной задачи (см. (2.3)), а вспомогательной задачи (см. (2.4)). w2(t) - обобщенное решение второй краевой Таким образом, если начально-краевая задача (1.10)-(1.16) имеет сильное решение, то функции u(t), ζ(t) со значениями в следующей задачи Коши: du H� 1 0,S,Γ (Ω) и в L2,Γ соответственно являются сильным решением dζ = -A�P1(I0(t)u + g(ρ1 - ρ2)V ζ) + f (t), = γ1u1 = γ2u2 =: � , dt dt t ( r γu 2 (2.12) u(0) = u0, ζ(0) = ζ0, I0(t)u := uk (t)+ αk 0 exp(-βk (t - s))uk (s) ds . k=1 2. Переход к задаче Коши для дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве. Преобразуем систему (2.12) к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений в гильбертовых пространствах L2(Ω) и L2,Γ. k=1 Введем оператор A := Ak 2 0,Sk , где Ak - операторы гильбертовых пар (H� 1 (Ωk ); L2(Ωk)) 0,S (см. (1.19)). Очевидно, что A - оператор гильбертовой пары (H� 1 (Ω); L2(Ω)). По предположению 1/2 1 1 1/2 u(t) является функцией переменной t со значениями в D(A� В связи с этим обстоятельством введем искомую функцию t ) = H�0,S,Γ(Ω) ⊂ H�0,S (Ω) = D(A ). ψ(t) := Тогда будем иметь связь dψ α ( 1/2 r k 0 1/2 exp(-βk (t - s))Ak uk (s) ds 2 2 k=1 , ψ(0) = 0. (2.13) k α1/2 - = A1/2α1/2u βψ, α1/2 := f dt k=1 k=1 , β := βk 2 . (2.14) Осуществим в задаче (2.12), с целью ее симметризации, также следующую замену: η(t) = (g(ρ1 - ρ2))1/2ζ(t). (2.15) Уравнение из (2.14), начальные условия и преобразованные уравнения из (2.12) составляют следующую систему уравнений и начальных условий: ⎧ du ⎪ ⎪ dt � = -A1/2 A 1/2 � � u + A1/2 P1α1/2 A-1/2 ψ + (g(ρ1 - ρ2)) 1/2 A Vη 1/2 � + f (t), ⎨ dψ dt ⎪ A α P1A A = - 1/2 1/2 1/2( 1/2 - - � � βψ u) + , (2.16) ⎩ - ⎪ dη = dt - (g(ρ1 - ρ2)) �A- 1/2γ � 1 1/2(A� /2 u) , Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ 190 Д. А. ЗАКОРА, u(0) = u0, ψ(0) = 0, η(0) = (g(ρ1 - ρ2))1/2ζ0. (2.17) Докажем две леммы о свойствах операторов из системы (2.16). Лемма 2.2. Имеют место свойства 1/2 1/2 -1/2 ( ) ( 1/2 1/2 -1/2)∗ 1/2 1/2 -1/2 A1/2α1/2P1A�-1/2, A� P1α A ∈ L L2(Ω) , A α P1A� = A� P1α A . (2.18) Доказательство. Ограниченность рассматриваемых операторов проверяется непосредственно, если заметить, что в этих произведениях операторов каждый сомножитель ограничен из одно- 0,S го пространства в другое. В частности, A-1/2 ∈ L(L2(Ω); H� 1 0,S (Ω)), α1/2 ∈ L(H� 1 0,S (Ω); H� 1 (Ω)), 0,S P1 ∈ L(H� 1 0,S,Γ (Ω); H� 1 � (Ω)), A1/2 ∈ L(H� 1 0,S,Γ (Ω); L2(Ω)), и отсюда следует ограниченность второго из операторов в (2.18). Для первого оператора проверка аналогична. H� 1 Проверимвзаимную сопряженность этих операторов. С использованиемсвойства (u, v) = 0,S (Ω) (A1/2u, A1/2v)L (Ω), (u, v) � = (A1/2 � u, A1/2v) , а также того факта, что α1/2 самосопряжен H� 1 2 0,S,Γ (Ω) L2 (Ω) в H� 1 0,S (Ω), для любых u, v ∈ L2(Ω) имеем (A� P1α A u, v) = (A� P1α A u, A� A L (Ω) = 1/2 1/2 L (Ω) -1/2 2 1/2 1/2 -1/2 v) 1/2 -1/2 � 2 = (P1α1/2A-1/2u, A�-1/2v) 1 H�0,S,Γ (Ω) = (α1/2 A-1/2 u, P1A�-1/2 1 ) v H�0,S (Ω) = = (A-1/2u, α1/2P1A�-1/2v) ( 1/2 1/2 -1/2 ) Лемма доказана. Лемма 2.3. Имеют место свойства 1 H�0,S (Ω) = u, A α P1A� v L2 (Ω). γ � �A- 1/2 ∈ S∞(L2(Ω), L2,Γ), A 1/2 � γ � 1/2)∗ V ∈ S∞(L2,Γ, L2(Ω)), (�A- = A 1/2 � V. (2.19) ( ) γ ∈ L H1 (Ω); H1/2) следует, 0,S,Γ Доказательство. Из включений 1/2 A�-1/2 ∈ L L2(Ω); H� 1 (Ω) , � ( � 1/2 0,S,Γ �Γ γ � ( Γ ) ( 1 ) Γ 0,S,Γ что �A-1/2 ∈ L L2(Ω); H� . Аналогично из включений V ∈ L H- ; H� (Ω) (см. (2.6)), A ( � 1 ) 1/2 � ∈ L H0,S,Γ(Ω); L2(Ω) следует, что A 1/2 � V H ( - ∈ L Γ 1/2 ; L2(Ω)). Отсюда в силу компактности 1/2 -1/2 вложений H�Γ ⊂→⊂→ L2,Γ ⊂→⊂→ HΓ (см. теорему Гальярдо в [19]) следуют свойства (2.19). 0,S,Γ Докажем теперь свойство взаимной сопряженности операторов из (2.19). Пусть u ∈ H� 1 (Ω) - Γ решение вспомогательной задачи (2.4) при ψ = ζ ∈ H- 1/2 0,S,Γ . Тогда u = Vζ ∈ H� 1 (Ω) (см. (2.5) 0,S,Γ и (2.6)), и если η ∈ H� 1 (η, u) (Ω), то r = μ η r u dΩ + μ η u dΩ = H� 1 0,S,Γ (Ω) 1 ∇ 1 · ∇ 1 1 Ω1 2 ∇ 2 ·∇ 2 2 Ω2 ∂u1 ∂u2 γ η ,μ = γη, ζ . = γ1η1, μ1 ∂n1 + 2 2 L2,Γ 2 ∂n2 L2,Γ � L2,Γ Вспоминая, что (η, u) ство H� 1 0,S,Γ (Ω) = (A 1/2 � 1/2 η, A� u ) L2 (Ω) , получаем при η = A�-1/2 ψ, ψ ∈ L2(Ω), тожде- 1/2 (ψ, A� V ζ ) L2(Ω) � = γA-1/2 � ψ, ζ L2,Γ Γ ∀ ψ ∈ L2(Ω), ζ ∈ H-1/2, (2.20) а значит, операторы �A-1/2 и A1/2V взаимно сопряжены. γ � � Задачу (2.16)-(2.17) перепишем в виде следующей основной задачи Коши в гильбертовом пространстве H := L2(Ω) ⊕ (L2(Ω) ⊕ L2,Γ): dξ Здесь dt = -Aξ + F(t), ξ(0) = ξ0. (2.21) ξ(t) := (u(t); w(t))τ , w(t) := (ψ(t); η(t))τ , F(t) := (f (t); 0)τ , ξ0 := (u0; w0)τ , w0 := (0; (g(ρ1 - ρ2))1/2ζ0)τ . (2.22) К ПРОБЛЕМЕ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ 191 Оператор A определен по формулам: 1/2 I Q∗ 1/2 A : = diag(A� , I) -Q G diag(A� , I) ≡ (2.23) I 0 ( ∗) I A�-1/2Q∗ ≡ -QA�-1/2 I f diag 1 A�, G + QQ 0 I , (2.24) D(A) = ξ = (u; w)τ ∈ H1 u + A�-1/2Q∗w ∈ D(A�) , (2.25) где I, I - единичные операторы в L2(Ω) и L2(Ω) ⊕ L2,Γ, ( \τ ( ) � Q := A1/2α1/2P1A�-1/2, (g(ρ1 - ρ2))1/2γA�-1/2 , G := diag β, 0 . (2.26) Определение 2.2. Сильным решением задачи Коши (2.21) назовем такую функцию ξ(t), что ξ ∈ C1(R+; H) ∩ C(R+; D(A)), выполнены начальное условие и уравнение из (2.21) для любого t ∈ R+ := [0, +∞). 3. Исследование эволюционного уравнения. Перейдем к рассмотрению задачи (2.21), предварительно изучив свойства операторной матрицы A. Лемма 2.4. Оператор A - максимальный секториальный. Более того, W(A) ⊂ λ ∈ C : |Imλ| � 2 Q∗ (Reλ)1/2 , где W(A) - числовая область значений оператора A. Доказательство. Докажем, что оператор A плотно определен и замкнут. Из (2.23) найдем, что оператор A - λ представим в виде 1/2 A- λ = diag(A� , I) I - λA�-1 Q∗ � diag(A1/2 , I) = 1/2 -Q G - λ I Q∗Rλ(G) L(λ) 0 I 0 1/2 = diag(A� , I) 0 0 λ ( ) diag(A� , I), (2.27) I G - -Rλ G Q I где Rλ(G) := (G - λ)-1, L(λ) := I - λA�-1 + Q∗(G - λ)-1Q. Из положительной определенности оператора L(λ) при λ< 0 следует, что L-1(λ) ∈ L(L2(Ω)). Отсюда и из (2.27) следует, что при λ < 0 существует (A - λ)-1 ∈ L(H), а значит оператор A замкнут на своей естественной области определения D(A) (см. (2.25)). Легко видеть также, что Ker((A - λ)-1)∗ = {0}, а значит, оператор A плотно определен. � Докажем, что оператор A секториален. Пусть ξ = (u; w)τ ∈ D(A), тогда u ∈ D(A1/2 торизации (2.23) оператора A в симметричной форме получим, что ) и из фак- Re(Aξ, ξ) = Re 1/2 I Q∗ A� u A 1/2 , � u A u + G = 1/2 2 L (Ω) 1/2 w 2, H -Q G w w � 2 H 1 ( ) 1 1 1 ∗ 1/2 1/2 l1 1 ∗ 1/2 1 1/2 ∗ 1Im Aξ, ξ H1 = 1Im (Q w, A� u) - (QA� u, w) 1 = 12 Im(Q w, A� u)1 � 2 A� u L2 (Ω) Q w . Из этих оценок при любом δ > 0 получим, что )2 2 1/2 2 2 ∗ 2 2 Re( ξ, ξ) § δ1Im(Aξ, ξ) 1 ;;? ( A1/2u L (Ω) - δ Q∗w - δ2 Q∗w + G w - δ Q · ξ . A H 1 H1 � 2 H Следовательно, Re(1A + γ(δ)lξ, ξ) § δ1Im(1 + γ(δ)lξ, ξ) 2 1 ;;? 0, где γ(δ) := δ2 Q∗ . Таким H 1 A H1 образом, 1Im(1 + γ(δ)lξ, ξ) 1 � δ-1Re(1 + γ(δ)lξ, ξ) ∀ ξ ∈ D(A), δ > 0. Отсюда следует, 1 A H1 A H что W(A) ⊂ λ ∈ C : | arg (λ + γ(δ))| � arctg δ-1 при любом δ > 0, т. е. оператор A секториален. Максимальность оператора A следует из (A - λ)-1 ∈ L(H) при λ< 0. Формула из утверждения леммы получается построениемогибающих соответствующих семейств прямых. Замечание 2.1. Из (2.27) получим представление для резольвенты оператора A: Rλ(A) = A�-1/2 0 L-1(λ) 0 A�-1/2 -Q∗Rλ(G) = Rλ(G)Q I 0 Rλ(G) 0 I = A�-1/2L-1(λ)A�-1/2 -A�-1/2L-1(λ)Q∗Rλ(G) , (2.28) Rλ(G)QL-1(λ)A�-1/2 Rλ(G) - Rλ(G)QL-1(λ)Q∗Rλ(G) Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ 192 Д. А. ЗАКОРА, L(λ) := I - λA�-1 + Q∗(G - λ)-1Q при всех λ ∈/ σ(G) ∪ σ(L(λ)), где σ(G) = {0, β1, β2}, σ(L(λ)) - спектры оператора G и операторного пучка L(λ) соответственно. Из (2.24) можно найти также, что при λ< 0 оператор A - λ представим в виде A - λ = I 0 A� - λ 0 I (I - λA�-1)-1A�-1/2Q∗ , (2.29) -QA�-1/2(I - λA�-1)-1 I 0 D(λ) 0 I D(λ) := G - λ + Q(I - λA�-1)-1Q∗. Теорема 2.1. Пусть в начально-краевой задаче (2.21) u0 + g(ρ1 - ρ2)V ζ0 ∈ D(A�), а функция f (t) удовлетворяет локальному условию Гельдера, т. е. для любого τ ∈ R+ существуют такие k K(τ ) > 0, k(τ ) ∈ (0, 1], что при всех 0 � s, t � τ выполнено f (t) - f (s) L2(Ω) � K|t - s| . Тогда задача (2.21) имеет единственное сильное решение. Доказательство. Пусть u0 + g(ρ1 - ρ2)V ζ0 ∈ D(A�), тогда ξ0 ∈ D(A) (см. (2.22), (2.25), (2.26)). Из условия на функцию f (t) следует, что функция F(t) из (2.21) также локально гельдерова. По теореме [2, гл. 1, § 5, теорема 5.9] оператор -A порождает сильно непрерывную полугруппу операторов, голоморфную в некотором секторе, содержащем положительную полуось. По теореме [2, гл. 2, § 1, теорема 1.4] задача Коши (2.21) имеет единственное сильное (в смысле определения 2.2) решение ξ(t). Замечание 2.2. Из теоремы 2.1 получаем достаточное условие существования и единственности решения задач (2.21), отвечающее в модельной проблеме (1.10)-(1.16) нулевому отклонению 0,S,Γ границы раздела жидкостей: ζ0 ≡ 0, u0 ∈ D(A�) ⊂ H� 1 (Ω). Теорема 2.2. Для сильного решения ξ(t) задачи (2.21) выполнен закон баланса полной энергии в следующей дифференциальной форме (ср. с (1.24)): 1 d f 2 2 ( ) ( ) 2 dt H� 1 u(t) L2 (Ω)+g(ρ1-ρ2) ζ(t) L2,Γ = -Re I0(t)u(t), u(t) 0,S,Γ (Ω) +Re f (t), u(t) L2 (Ω) ∀t ∈ R+. (2.30) Доказательство. Пусть ξ(t) = (u(t); ψ(t); η(t))τ - сильное решение задачи (2.21), т. е. выполнены все уравнения системы (2.16) и каждое слагаемое является непрерывной функцией t со значениями в соответствующем пространстве. Вернемся от задачи (2.21) к проблеме (2.12) используя промежуточные формулы (2.13)-(2.15). Умножим скалярно обе части первого уравнения в (2.12) справа на функцию u(t) в пространстве � L2(Ω). С учетом того, что u(t) ∈ D(A1/2 0,S,Γ ) = H� 1 (Ω), будем иметь соотношение \ ( du ,u 1 0 + (P I (t)u, u) + g(ρ 1/2 - ρ )(A� 1/2 V ζ, A� u) = (f, u) . dt L2(Ω) H� 1 0,S,Γ (Ω) 1 2 L2 (Ω) L2 (Ω) 1/2 Учитывая свойства оператора P1 (см. лемму 1.2), взаимную сопряженность операторов A� V и γ � �A-1/2 (см. лемму 2.3) и второе уравнение в (2.12), последнее соотношение можно преобразовать к следующему виду: \ ( du ,u dt (Ω) + (I0(t)u, u) H� 1 ,Γ (Ω) + g(ρ1 ( dζ \ - ρ2) ζ, dt L = (f, u)L2 (Ω). L2 0,S 2,Γ Умножение первого уравнения в (2.12) слева на u(t) в пространстве L2(Ω) дает комплексно сопряженное выражение, и из этих двух соотношений следует закон баланса (2.30). 3. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА, ДОПУСКАЮЩАЯ РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Модельная спектральная проблема в прямоугольной области. Для уточнения характера спектра в исследуемой проблеме исследуем спектральную задачу (1.18) в случае, когда область Ω ⊂ R2 является прямоугольной, а граница раздела Γ - отрезок вещественной оси: Γ = {(x; 0) : 0 < x < π}, нижняя жидкость занимает область Ω1 := {(x, y) : 0 <x< π, -a1 <y < 0}, а верхняя - область Ω2 := {(x, y) : 0 <x< π, 0 <y < a2}, см. рис. 1. К ПРОБЛЕМЕ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ 193 РИС. 1 В этом случае спектральная проблема (1.18) формулируется следующим образом. Для искомых амплитудных функций uk, wk (k = 1, 2) и ζ должны быть выполнены следующие уравнения и краевые условия: 1/2 -ρ1λu1 = μ1�(u1 + α1 w1) ((x, y) ∈ Ω1), u1(0, y) = u1(π, y) = u1(x, -a1) = 0, 1/2 -ρ2λu2 = μ2�(u2 + α2 w2) ((x, y) ∈ Ω2), u2(0, y) = u2(π, y) = u2(x, a2) = 0, 1/2 1/2 -λw1 = α1 u1 - β1w1 ((x, y) ∈ Ω1), -λw2 = α2 u2 - β2w2 ((x, y) ∈ Ω2), (3.1) ∂2 ∂2 - λζ = u1 = u2 ((x, y) ∈ Γ), � := ∂x2 + ∂y2 , λ ∈ C, ∂ 1/2 ∂ 1/2 μ1 ∂y (u1 + α1 w1) - μ2 ∂y (u2 + α2 w2) = -g(ρ1 - ρ2)ζ ((x, y) ∈ Γ). Исключая в (3.1) переменные ζ(x) и wl(x, y) (l = 1, 2) при λ ∈/ {0, β1 , β2}, приходим к проблеме λρ1 ( α1 \ 1 -�u1 = m (λ) u1 ((x, y) ∈ Ω1), m1(λ) := μ1 1+ , β1 - λ λρ2 ( α2 \ 2 -�u2 = m (λ) u2 ((x, y) ∈ Ω2), m2(λ) := μ2 1+ , β2 - λ (3.2) u1 = 0 ((x, y) ∈ S1), u2 = 0 ((x, y) ∈ S2), u1 = u2 ((x, y) ∈ Γ), ∂u1 ∂u2 g(ρ1 - ρ2) m1(λ) ∂y - m2(λ) ∂y = λ u1 ((x, y) ∈ Γ). 2. Вывод характеристических уравнений задачи. Задача (3.2) допускает разделение переk=1 менных с использованием разложения искомых функций в ряды Фурье по системе sin kx ∞ . Итак, будем разыскивать функции u1(x, y) и u2(x, y) в виде рядов u1(x, y) = ∞ ∞ k=1 u1k (y) sin kx, u2(x, y) = k=1 u2k (y) sin kx. Используя это представление для решения в уравнениях и граничных условиях в (3.2), получим, что для функций u1k (y) и u2k (y) (k ∈ N) выполнены следующие соотношения: d2u1k k ( 2 λρ1 \ dy2 - - m1(λ) u1k = 0, -a1 <y < 0, u1k (-a1) = 0, d2u2k k ( 2 λρ2 \ dy2 - - m2(λ) u2k = 0, 0 <y < a2, u2k (a2) = 0. 1 Отсюда получим: u1k (y) = c1k sh ((y + a1) k2 - λρ1 m1(λ) \ , u2k (y) = c2k sh ((y - a2) 1 k2 - λρ2 \ , m2(λ) где cnk (n = 1, 2, k ∈ N) - набор постоянных. Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ 194 Д. А. ЗАКОРА, Для получения связей между функциями u1k (y) и u2k (y) используемкинематическое и динамическое условия на Γ из (3.2). Из кинематического условия получаем связь a1 c1k sh ( k2 - λρ1 m1(λ) a2 \ + c2k sh ( k2 - λρ2 m2(λ) \ = 0, (3.3) а динамическое условие дает соотношение c1k г m1(λ) k2 - ch λρ1 ( a1 m1(λ) k2 - λρ1 \ m1(λ) - sh a 1 g(ρ1 - ρ2) ( λ λρ2 k2 - λρ1 \l m1(λ) - λρ2 - c2km2(λ) ch k2 - ( a2 m2(λ) k2 - m2(λ) \ = 0. (3.4) Приравнивая к нулю определитель системы линейных однородных уравнений (3.3)-(3.4), приходим к характеристическим уравнениям для нахождения собственных значений λ спектральной задачи (3.1). После простых преобразований эти уравнения принимают следующий вид: g(ρ1 - ρ2) 2 λρ1 ( k 2 λρ1 \ λ - m1(λ) k 1 - m (λ) cth a1 λρ2 - m1(λ) - λρ2 - m2(λ) a2 k2 - m2(λ) cth ( k2 - m2(λ) \ = 0, k ∈ N. (3.5) 3. Исследование характеристических уравнений. Из общих соображений, которые будут приведены далее (см. п. 1 теоремы 4.2), следует, что корни всей последовательности уравнений (3.5), за исключением не более, чем конечного количества комплексно сопряженных пар, лежат на положительной действительной полуоси. Поэтому, поскольку в первую очередь нас интересуют точки сгущения корней уравнений (3.5), мы ограничимся рассмотрением уравнений (3.5) на положительной полуоси. Рассмотрим следующую зону для параметра λ: λρ1 m1(λ) < k2, λρ2 m2(λ) < k2, k ∈ N. (3.6) Предположим, что λ ∈/ {0} ∪ {α1 + β1} ∪ {α2 + β2} ∪ {+∞} - точка сгущения корней характеристических уравнений (3.5) (ml(αl + βl) = 0, l = 1, 2). Тогда из (3.5) найдем, что g(ρ1 - ρ2) λρ1 ( k 2 λρ1 \ λk - m1(λ) - m2(λ) 1 1 - m (λ)k cth a1 a2 1 λρ2 cth ( - m2(λ)k - m1(λ) k2 λρ2 \ - m2(λ) - = -(m1(λ)+ m2(λ)) + o(1) при k → +∞, откуда следует уравнение для определения точек сгущения в зоне (3.6): m1(λ)+ m2(λ) = 0. (3.7) Обозначим через λl > 0 (l = 1, 2) корни уравнения (3.7) в случае, когда α1 + β1 ≡= α2 + β2. При α1 + β1 = α2 + β2 корни уравнения (3.7) имеют вид λ1 := α1 + β1, λ2 = (μ1β2 + μ2β1)(μ1 + μ2)-1. Исследуем точки λ = λl (l = 1, 2) в зоне (3.6). Из представления (см. (3.5)) g(ρ1 - ρ2) λρ1 ( k 2 λρ1 \ k - λm1(λ) 1 1 - m (λ)k2 cth a1 - m1(λ) - - λm2(λ) 1 λρ2 cth - m2(λ)k2 (a2 k2 λρ2 \ = - m2(λ) = g(ρ1 - ρ2) k - λl μ1α1 + (β1 - λl)2 μ2α2 ( (β2 - λl)2 λ - λl) + o( (λ - λl)) + O( 1 \ k2 при λ → λl, k → +∞ (l = 1, 2) К ПРОБЛЕМЕ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ 195 следует, что точка λ = λl является предельной для последовательности корней характеристических +∞ уравнений (3.5) из рассматриваемой зоны. Для этих последовательностей корней {λ(l)} (l = 1, 2) имеют место асимптотические формулы: k k=1 λ(l) ( ) g(ρ1 - ρ2) 1 k = λl + μ α μ α · k 1+ o(1) , k → +∞ (l = 1, 2). (3.8) λl 1 1 + 2 2 (β1 - λl)2 (β2 - λl)2 Исследуем точку λ = +∞ в зоне (3.6). Из соотношения (см. (3.5)) lim k→+∞, λ→+∞ г g(ρ1 - ρ2) λ - m1(λ) - m2(λ) k2 - k2 - λρ1 m1(λ) λρ2 m2(λ) a1 a2 cth ( cth ( k2 - k2 - λρ1 \ m1(λ) - λρ2 \l ( μ1 m2(λ) � - a1 + μ2 a2 \ < 0 следует, что точка λ = +∞ не является предельной для последовательности корней характеристических уравнений (3.5) из рассматриваемой зоны. Исследуем точку λ = 0 в зоне (3.6). Из представления (см. (3.5)) g(ρ1 - ρ2) λρ1 ( k 2 λρ1 \ λk - m1(λ) 1 1 - m (λ)k2 cth a1 - m1(λ) - - m2(λ) a2 1 λρ2 cth ( - m2(λ)k2 k2 λρ2 \ = - m2(λ) = g(ρ1 - ρ2) λk - m1(0) - m2(0) + O(λ)+ o ( 1 \ k2 при λ → 0, k → +∞ следует, что точка λ = 0 является предельной для последовательности корней характеристических +∞ уравнений (3.5) из рассматриваемой зоны. Для этой последовательности корней {λ(0)} имеет место асимптотическая формула: k k=1 λ(0) ( ) g(ρ1 - ρ2) 1 k = ( α1 \ ( α2 \ · k 1+ o(1) , k → +∞. (3.9) μ1 1+ β1 β + μ2 1+ 2 Исследуем точку λ = α1 + β1 в зоне (3.6) при условии, что α1 + β1 ≡= α2 + β2 (случай α1 + β1 = α2 + β2 укладывается в формулу (3.8)). Из соотношения (см. (3.5)) lim k→+∞, λ→α1 +β1 г g(ρ1 - ρ2) λk - m1(λ) k k2 - λρ1 m1(λ) a1 cth ( k2 - λρ1 \ m1(λ) - - m2(λ) k 2 a2 1 λρ2 cth ( - m2(λ)k2 λρ2 \l - m2(λ) = -m2(α1 + β1) ≡= 0 следует, что точка λ = α1 + β1 не является предельной для последовательности корней характеристических уравнений (3.5) из рассматриваемой зоны. Аналогичный вывод справедлив и для точки λ = α2 + β2. Рассмотрим теперь зону для параметра λ (правая полуокрестность точки λ = α1 + β1): k2 < λρ1 m1(λ) λρ2 , m2(λ) < k2, k ∈ N. (3.10) Характеристические уравнения (3.5) в зоне (3.10) примут вид g(ρ1 - ρ2) sin (a λρ1 k2\ m (λ) λρ1 a1 k2 cos ( λρ1 - - k2\ λ 1 m1(λ) - - 1 m1(λ) - m1(λ) - m2(λ) k2 - λρ2 m2(λ) sin (a1 λρ1 m1(λ) a2 - k2\ cth ( k2 - λρ2 m2(λ) \ = 0, k ∈ N. Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ 196 Д. А. ЗАКОРА, Отсюда получим, что a1 g(ρ1 - ρ2) sin ( λk λρ1 m1(λ) - k2\ - \ m1(λ) k λρ1 m1(λ) - k2 cos (a1 λρ1 m1(λ) - k2 - - m2(λ) 1 λρ2 sin - m2(λ)k2 2\ ( λρ1 1 a1 m (λ) - k k 2 a2 cth ( λρ2 \ = - m2(λ) = -m2(α1 + β1) sin ( λρ1 1 a1 m (λ) - k 2\(1+ o(1)) + o(1) при λ → α1 + β1, k → +∞. Из этого соотношения следует, что точка λ = α1 + β1 является предельной для последовательно- +∞ сти корней {λ(1)} характеристических уравнений (3.5) из рассматриваемой зоны. Аналогично, nk n,k=1 рассматривая характеристические уравнения (3.5) в зоне, связанной с правой полуокрестностью точки λ = α2 + β2, также найдем, что точка λ = α2 + β2 является предельной для последовательно- +∞ сти корней {λ(2)} характеристических уравнений (3.5). Для этих последовательностей корней (l) +∞ nk n,k=1 {λnk }n,k=1 (l = 1, 2) имеют место асимптотические формулы: 2 λ(l) al ρlαl(αl + βl) ( ) nk = αl + βl + μ (π2n2 + a2 ) · 1+ o(1) , n, k → +∞ (l = 1, 2). (3.11) l l k2 Рассмотрим теперь зону, связанную окрестностью точки λ = +∞: k2 < λρ1 m1(λ) , k2 < λρ2 m2(λ) , k ∈ N. (3.12) Характеристические уравнения (3.5) в зоне (3.12) примут вид ( g(ρ1 - ρ2) sin a λ 1 λρ1 m1(λ) - ( k2\ sin a2 λρ2 m2(λ) - k2\- λρ1 2 ( λρ1 2\ ( 2\ λρ2 -m1(λ) 1 m (λ) - k cos a1 1 m (λ) - k sin a2 2 m (λ) - k - λρ2 2 ( λρ2 2\ ( 2\ λρ1 -m2(λ) 2 m (λ) - k cos a2 2 m (λ) - k sin a1 1 m (λ) - k = 0, k ∈ N. (3.13) Можно показать, что точка λ = +∞ является предельной для некоторой подпоследовательности корней уравнений (3.13). Таким образом, спектр задачи (1.18) в случае, когда область Ω ⊂ R2 является прямоугольной, а граница раздела Γ - отрезок вещественной оси, т. е. спектр задачи (3.2), дискретен и имеет конеч- +∞ ное количество точек сгущения. А именно, спектр можно разбить на шесть ветвей собственных значений. Предельной точке λ = +∞ отвечает ветвь {λ(+∞)} конечнократных собственных знаk k=1 чений задачи, которые являются последовательными минимумами вариационного отношения ( 2 μk Г 2 |∇uk| dΩk \( 2 ρk Г 2 |uk | dΩk \-1 0, S, Γ , u = (u1; u2) ∈ H� 1 (Ω). Отсюда видно, что силы k=1 Ωk k=1 Ωk вязкоупругости не влияют на асимптотику собственных значений. Соответствующие нормальные колебания отвечают внутренним диссипативным волнам, как и в задаче о колебаниях двух обычных вязких жидкостей. +∞ Предельной точке λ = 0 отвечает ветвь {λ(0)} конечнократных собственных значений, коk k=1 торые имеют асимптотическое распределение (3.9) и являются последовательными максимумами 2 k 2 α g 1+ μ -1 |∇u | dΩ , вариационного отношения задачи Стеклова: ( (ρ1 - ρ2)Г |u1| Γ dΓ\( ( k=1 \ k Г k 2 k\ βk Ωk 0, S, Γ u = (u1; u2) ∈ H� 1 (Ω). Отсюда следует, что вязкоупругие силы в жидкостях вносят существенный вклад в асимптотику собственных значений, связанных с колебаниями границы раздела между К ПРОБЛЕМЕ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ 197 жидкостями. Отметим, что аналогичные волновые движения возникают и в задаче о колебаниях двух обычных вязких жидкостей с общей границей раздела. +∞ Предельным точкам λ = α1 + β1, λ = α2 + β2 отвечают ветви {λ(l) } (l = 1, 2) конечнократnk n,k=1 ных собственных значений, которые имеют асимптотическое распределение (3.11). Волновые движения, отвечающие этимсобственнымзначениям, носят преимущественно внутренний характер и возникают исключительно от действия сил вязкоупругости. Этот тип волновых движений в жидкостях останется и в случае, если границу раздела Γ между жидкостями заменить на твердую стенку. Предельным точкам λ = λ1, λ = λ2, где λl (l = 1, 2) корни уравнения (3.7), отвечают ветви (l) +∞ {λk }k=1 (l = 1, 2) конечнократных собственных значений, которые имеют асимптотическое распределение (3.8) и связаны с последовательными максимумами вариационного отношения задачи Сте- 2 2 фана: ( g(ρ1 - ρ2) Г u | dΓ\( μkαk k Г |∇u | 2 dΩ k \-1 , u = (u ; u ) ∈ H� 1 (Ω) (l = 1, 2). Γ λl | 1 k k=1 (βk - λl)2 Ω 1 2 0, S, Γ Волновые движения, отвечающие этим собственным значениям, происходят преимущественно в окрестности границы раздела Γ и возникают исключительно от действия сил вязкоупругости. Этот тип волновых движений в жидкостях пропадет в случае, если границу раздела Γ между жидкостями заменить на твердую стенку. Отметим здесь, что все сказанное относится исключительно к спектру задачи (3.2), а относящиеся к векторным задачам гидродинамики термины использованы лишь для удобства. 4. ОПЕРАТОРНЫЙ ПОДХОД К СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ 1. Основная спектральная задача. Пересчет корневых элементов оператора A и пучка L(λ). Будем разыскивать решения однородного уравнения (F(t) ≡ 0) из (2.21) в форме ξ(t) = exp(-λt)ξ, где λ - спектральный параметр, а ξ - амплитудный элемент. В результате придем к следующей основной спектральной задаче: Aξ = λξ, ξ ∈ D(A) ⊂ H, (4.1) которую будем ассоциировать с задачей о спектре скалярной задачи сопряжения, которая моделирует систему из двух вязкоупругих жидкостей, заполняющих неподвижный сосуд. При λ ∈/ {0, β1 , β2} = σ(G) с задачей (4.1) свяжем также следующую спектральную задачу для операторного пучка (см. замечание 2.1): Q L(λ)z := 1I - λA�-1 + Q∗(G - λ)-1 lz = = I - λA�-1 - g(ρ1 - ρ2) (A� V )(γA� )+ A� P α(β - λ) A z = 0, z ∈ L (Ω). (4.2) 1/2 λ -1/2 � 1/2 1 -1 �-1/2 2 Для выяснения связи между корневыми элементами задач (4.1) и (4.2) нам понадобятся вспомогательные леммы о связи цепочки из собственного и присоединенного к нему элементов пучка A(λ) с некоторой функцией из H и о связи цепочек элементов некоторых специальных операторфункций. Определение 4.1 (см. [10, гл. 2, § 11, с. 61]). Пусть λ0 собственное значение, а η0 отвечающий ему собственный элемент (с.э.) оператор-функции A(λ) ∈ L(H), т. е. A(λ0)η0 = 0. Элеj менты η1, η2,... , ηn-1 называют присоединенными к с.э. η0, если (k!)-1A (k) (λ0)ηj-k = 0 n-1 k=0 (j = 1, 2,... ,n - 1). Число n называют длиной цепочки {ηk }k=0 из собственного и присоединенных элементов. Лемма 4.1 (см. [10, гл. 2, § 11, лемма 11.3]). Элементы η0, η1,... , ηn-1 образуют цепочку из собственного и присоединенных элементов A(λ), отвечающую числу λ0, тогда и только тогда, когда существует функция η(λ), голоморфная в некоторой окрестности точки λ0, такая, что η(λ0) ≡= 0, η(k)(λ0) = k!ηk (k = 0, 1,... ,n - 1) и что функция A(λ)η(λ) в точке λ0 имеет нуль кратности, большей или равной n. Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ 198 Д. А. ЗАКОРА, Определение 4.2 (см. [10, гл. 2, § 11, с. 62]). Пусть η(λ) - функция из H, причем η(λ0) ≡= 0 и A(λ0)η(λ0) = 0. Если порядок нуля функции A(λ)η(λ) в точке λ0 равен n, то η(λ) называется производящей функцией для цепочки из собственного и присоединенных элементов }k=0 {(k!)-1η(k)(λ0) n-1 оператор-функции A(λ). Число n будемназывать рангом производящей функции η(λ). Рассмотрим операторный пучок A(λ), действующий в пространстве H = L2(Ω) ⊕ H0, и соответствующую спектральную задачу: A(λ)η := A11(λ) A12(λ) A21(λ) A22(λ) z 0 w = 0 , (z; w)τ ∈ H = L2(Ω) ⊕ H0. (4.3) С задачей (4.3) при λ ∈/ σ(A22(λ)) свяжем спектральную задачу: 22 L(λ)z = 1A11(λ) - A12(λ)A-1(λ)A21(λ)lz = 0, z ∈ L2(Ω). (4.4) Замечание 4.1. В области λ ∈ C\σ(A22(λ)) спектральную задачу (4.3) можно переписать следующим образом: I A12(λ)A-1(λ) L(λ) 0 I 0 z 0 0 A(λ)η = 22 I 0 A22 (λ) A 22 -1(λ)A21 (λ) I w = 0 . 22 Отсюда после замены (z; A-1(λ)A21(λ)z + w)τ =: (z; wz )τ найдем, что в области λ ∈ C\σ(A22(λ)) спектральные задачи (4.3) и (4.4) эквивалентны. Лемма 4.2. Пусть λ ∈/ σ(A22(λ)). Функция η(λ) := (z(λ); w(λ))τ из H является производящей функцией ранга n пучка A(λ) в точке λ0 ∈/ σ(A22(λ)) тогда и только тогда, когда z(λ) является производящей функцией ранга n пучка L(λ) в точке λ0 и w(λ) = -A-1(λ)A21(λ)z(λ)+ (λ - λ0)nA-1(λ)p(λ), (4.5) 22 22 где p(λ) - функция, голоморфная в некоторой окрестности точки λ0. Доказательство. Доказательство этой леммы следует рассуждениям [10, гл. 2, § 12, лемма 12.3]. Начнем с достаточности. Пусть z(λ) является производящей функцией ранга n пучка L(λ) в точке λ0 ∈/ σ(A22(λ)) и выполнено соотношение (4.5). Поскольку L(λ)z(λ) имеет в точке λ0 нуль кратности ;;? n, то из вида L(λ) получим: 22 L(λ)z(λ) = 1A11(λ) - A12(λ)A-1(λ)A21(λ)lz(λ) = (λ - λ0)nq(λ), (4.6) где q(λ) - некоторая функция, голоморфная в окрестности точки λ0. Подставим (4.5) в (4.6) и запишем полученное соотношение вместе с (4.5) в виде одного векторно-матричного выражения в H. После простых преобразований получим, что A(λ)(z(λ); w(λ))τ = (λ - λ0)n(q(λ) + 22 A12(λ)A-1(λ)p(λ); p(λ))τ . Отсюда следует, что η(λ) = (z(λ); w(λ))τ есть производящая функция ранга n пучка A(λ) в точке λ0. Достаточность доказана. Пусть теперь функция η(λ) = (z(λ); w(λ))τ является производящей функцией ранга n пучка A(λ) в точке λ0. По условию теоремы A(λ)η(λ) имеет в точке λ0 нуль кратности ;;? n, следовательно: A11(λ)z(λ)+ A12(λ)w(λ) = (λ - λ0)nr(λ), (4.7) A21(λ)z(λ)+ A22(λ)w(λ) = (λ - λ0)np(λ), (4.8) 22 где r(λ), p(λ) - некоторые функции, голоморфные в окрестности точки λ0. Из (4.8) следует (4.5). Подставив (4.5) в (4.7), получим, что L(λ)z(λ) = (λ - λ0)n(r(λ) - A12(λ)A-1(λ)p(λ)). Отсюда следует, что L(λ)z(λ) имеет в точке λ0 нуль порядка не ниже n. В качестве следствия из леммы 4.2 получим следующую лемму о пересчете корневых элементов спектральных задач (4.3) и (4.4). n-1 n-1 Лемма 4.3. Пусть набор элементов {ηk = (zk ; wk )τ }k=0 является цепочкой из собственного и присоединенных элементов задачи (4.3), отвечающей собственному значению λ0 (λ0 ∈/ σ(A22(λ))), тогда {zk }k=0 - цепочка из собственного и присоединенных элементов задачи (4.4), отвечающая собственному значению λ0. К ПРОБЛЕМЕ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ 199 }k=0 Обратно, пусть набор элементов {zk n-1 - цепочка из собственного и присоединенных элементов спектральной задачи (4.4), отвечающая собственному значению λ0, тогда }k=0 {ηk = (zk ; wk )τ n-1, где 1 k wk = - dk-l 1 A-1(λ)A21(λ)1 zl, k = 0,n - 1, (4.9) l=0 (k - l)! dλk-l 22 1λ=λ0 - цепочка из собственного и присоединенных элементов спектральной задачи (4.3). Доказательство. По лемме 4.2, если функция η(λ) = = (z(λ); w(λ))τ из H является производящей функцией ранга n пучка A(λ) в точке λ0 ∈/ σ(A22(λ)), то функция z(λ) является производящей функцией ранга n пучка L(λ) в точке λ0. Отсюда и из леммы 4.1 следует прямое утверждение. Обратно, пусть функция z(λ) является производящей функцией из H ранга n пучка L(λ) в точке λ0. Определимфункцию w(λ) по формуле (4.5). Тогда по лемме 4.2 функция η(λ) = (z(λ); w(λ))τ из H является производящей функцией ранга n пучка A(λ) в точке λ0. При этом (см. определение 4.2) A- 1 dk 1 n 1 1 wk = - k! dλk 22 22 (λ)A21(λ)z(λ)+ (λ - λ0) A- (λ)p(λ) 1 = 1λ=λ0 1 k k! d k-l -1 1 dlz(λ) 1 1 1 = - k! l!(k - l)! dλk-l A22 (λ)A21(λ) λ=λ dλl = λ=λ l=0 1 0 1 0 k 1 dk-l 1 = - A-1(λ)A21(λ)1 zl (k = 0,n - 1). Лемма доказана. l=0 (k - l)! dλk-l 22 1λ=λ0 В качестве следствия из леммы 4.3 получим следующую теорему о связи собственных и присоединенных элементов оператора A и пучка L(λ). }k=0 Теорема 4.1. Пусть набор элементов {ξk = (uk ; wk )τ n-1 является цепочкой из собственного и присоединенных элементов оператора A, отвечающей собственному значению λ0 n-1 1/2 n-1 (λ0 ∈/ σ(G) = {0, β1, β2}), тогда набор элементов {zk }k=0 := {A� uk}k=0 - цепочка из собственного и присоединенных элементов пучка L(λ), отвечающая собственному значению λ0. }k=0 }k=0 Обратно, пусть набор элементов {zk n-1 - цепочка из собственного и присоединенных элементов пучка L(λ), отвечающая собственному значению λ0, тогда {ξk = (A�-1/2zk ; wk )τ n-1, k где wk = (G - λ0)-(k-l+1)Qzl - цепочка из собственного и присоединенных элементов операl=0 тора A. }k=0 Доказательство. Пусть λ0 (λ0 ∈/ {0, β1 , β2}) - собственное значение оператора A и ξ(λ) производящая функция для цепочки из собственного и присоединенных элементов {ξk := (k!)-1ξ(k)(λ0) n-1 (см. определение 4.2). Запишем спектральную задачу для оператора A в виде (A - λ)ξ = BA(λ)Bξ = 0, ξ ∈ D(A), где 1/2 B := diag(A� , I), а оператор-функция A(λ) ∈ L(H) имеет вид: -1 ∗ A(λ) = A11(λ) A12(λ) := I - λA� Q . (4.10) A21(λ) A22(λ) -Q G - λ � Отсюда следует, что Bξ(λ) = (A1/2 u(λ); w(λ))τ 1/2 - производящая функция для оператор-функции A(λ). Согласно лемме 4.2, z(λ) := A� u(λ) - производящая функция для оператор-функции L(λ), и первое утверждение в теореме доказано. }k=0 Пусть теперь λ0 - собственное значение операторного пучка L(λ), а z(λ) - производящая функция для цепочки из собственного и присоединенных элементов {zk := (k!)-1z(k)(λ0) n-1 (см. определение 4.2) оператор-функции L(λ). Тогда в соответствии с леммой 4.3 получим, что (zk ; wk )τ := ( k ; - 1 dk-l 1 A-1(λ)A21(λ)1 0,n - 1 z \τ , k = (4.11) zk l=0 (k - l)! dλk-l 22 l 1λ=λ0 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ 200 Д. А. ЗАКОРА, - цепочка из собственного и присоединенных элементов оператор-функции A(λ), отвечающая собственному значению λ0. Для вторых компонент из (4.11) имеем, с учетом вида A22(λ) и A21(λ) (см. (4.10) и определение 4.2): 1 k wk = - dk-l 1 A-1(λ)A21(λ)1 zl = l=0 (k - l)! dλk-l 22 1λ=λ0 k k-l 1 k = 1 d (G - λ)-1Q1 z = (G - λ )-(k-l+1)Qz . l=0 l (k - l)! dλk-l 1λ=λ0 0 l l=0 }k=0 }k=0 Таким образом, набор элементов {ηk = (zk ; wk )τ n-1 является цепочкой из собственного и присоединенных элементов оператор-функции A(λ), отвечающей собственному значению λ0. Отсюда следует, что набор элементов {ξk = (A�-1/2zk ; wk )τ n-1 - цепочка из собственного и присоединенных элементов оператора A. 2. Структура и локализация спектра. Часть рассуждений в следующей теореме будет основана на применении методов индефинитной метрики, которые можно найти в [1] (см. также [16]). В связи с этим обстоятельством будем считать, что H = H+ ⊕ H-, где H+ := L2(Ω), H- := L2(Ω) ⊕ L2,Γ. Определим оператор J := diag(I, -I) и введем в H индефинитное скалярное произведение по формуле [ξ1, ξ2] := (J ζ1, ζ2)H = (u1, u2)H+ - (w1, w2)H- . Введем ортопроекторы P+ и P-: P+H = H+, P-H = H-. Приведем необходимые понятия и факты из теории пространств с индефинитной метрикой. Подпространство L+ пространства Крейна H называется неотрицательным, если [ξ, ξ] ;;? 0 для любого ξ ∈ L+, и максимальным неотрицательным (L+ ∈ M+), если оно не является частью другого неотрицательного подпространства. Аналогично определяется неположительное подпространство L-. Подпространство L0 пространства Крейна H называется изотропным, если [ξ, η] = 0 для любых ξ, η ∈ L0. - Известно [1, гл. 1, § 8, п. 3], что L+ ∈ M+ тогда и только тогда, когда существует K+ : H+ → H ( K+ � 1) такой, что L+ = {ξ = ξ+ + K+ξ+ : ξ+ ∈ H+}. Подпространство L+ называется равномерно положительным, если оно является гильбертовым пространством по отношению к скалярному произведению, порождаемому индефинитной метрикой. Будемговорить, что пространство L+ принадлежит классу h+, если оно допускает разложение в прямую J -ортогональную сумму конечномерного изотропного подпространства и равномерно ∞ положительного подпространства. В частности, L+ ∈ h+, если K+ ∈ S (см. [1, гл. 1, § 9, задача 18], [21]). Если L± ∈ M± и L+ J -ортогонально L-, то будем говорить, что они образуют дуальную пару {L+, L-}. Будем писать {L+, L-} ∈ h, если L± ∈ h±. Будем говорить, что непрерывный J -самосопряженный оператор A принадлежит классу (H) (A ∈ (H)), если у него есть хотя бы одна дуальная пара {L+, L-} инвариантных подпространств и каждая A-инвариантная дуальная пара принадлежит классу h. Определение 4.3 (см. [18, гл. 4, § 1, п. 20]). Существенным спектром оператора A называется множество σess(A) := λ ∈ C | оператор A - λ нефредгольмов . Теорема 4.2. Справедливы утверждения: 2l 1. Спектр оператора A действительный, за исключением, быть может, конечного количества собственных значений, расположенных симметрично относительно действительной оси. 2. Имеет место включение σess(A) ⊂ σess(L(λ)) ⊂ 10, max{β1, β2} + A1/2α1/2P1A�-1/2 . Множество C\σess(A) состоит из регулярных точек и изолированных собственных значений конечной кратности оператора A. К ПРОБЛЕМЕ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ 201 3. Если λ - невещественное собственное значение оператора A, то γ1 := 12 A�-1/2 2l-1 < Reλ < �b + q + q1/2(b + q) 1/2 =: γ2, � � � � 2 1/2( )1/2)( ) |λ| < (b + 2q + 2q �b + � 2�b + � , (4.12) � � � q γ � 1/2 2 q 1/2 1/2 -1/2 2 q := g(ρ1 - ρ2) �A- + A α P1A� . Спектр оператора A действительный, если выполнено условие 2 A�-1/2 2 � (b + q + q 1/2( b + q )1/2)-1 . (4.13) � � � � � Доказательство. Доказательство проведем в несколько шагов. ∞ 1. Из факторизации (2.29) при λ = -a, где a> 0, и из A�-1 ∈ S (L2(Ω)) найдем (A + a)-1 = I -(I + aA�-1)-1A�-1/2Q∗ (A� + a)-1 0 I 0 = 0 I 0 D-1(a) QA�-1/2(I + aA�-1)-1 I = = (A� + a)-1 - (I + aA�-1)-1A�-1/2Q∗D-1QA�-1/2(I + aA�-1)-1 -(I + aA�-1)-1A�-1/2Q∗D-1 D-1QA�-1/2(I + aA�-1)-1 D-1(a) A11 A12 , A , A , A S . (4.14) =: A21 D-1(a) 11 12 21 ∈ ∞ Оператор (A + a)-1 - J -самосопряженный и ограниченный, следовательно, спектр оператора A + a симметричен относительно действительной оси (этот же факт следует и из самосопряженности пучка L(λ)). Теорема будет доказана полностью, если оператор (A + a)-1 имеет не более конечного количества невещественных собственных значений. Последнее, в свою очередь, будет верно, если (A + a)-1 ∈ (H) (см. в [1, гл. 3, § 5, следствие 5.21] условия принадлежности оператора (A + a)-1 классу Хелтона). В самом деле, из компактности оператора A�-1/2 следует, что - P+(A + a)-1P компактен, а значит (см. [1, гл. 4, § 3, теорема 3.7]) оператор (A + a)-1 имеет - дуальную инвариантную пару {L+((A + a)-1),L ((A + a)-1)}. Пусть K+ - угловой оператор инвариантного неотрицательного подпространства L+((A + a)-1), тогда K+ : H+ → H , K � 1 и L+((A + a)-1) = (u; w)τ ∈ H+ ⊕ H : (u; w)τ = (u; K - + u)τ , u ∈ H . - + + Пусть (u1; w1)τ = (u1; K+u1)τ ∈ L+((A + a)-1), тогда (A + a)-1(u1; K+u1)τ = (u2; K+u2)τ . Отсюда и из (4.14) следует уравнение для определения углового оператора K+: D-1K+ = -A21 + K+A11 + K+A12K+. (4.15) Отсюда и из A11, A12, A21 ∈ S∞ следует, что K+ ∈ S∞. 2. Покажем, что σess(A) ⊂ σess(L(λ)). Пусть λ ∈/ σess(L(λ)). Тогда из теоремы о произведении фредгольмовых операторов (см. [20, гл. 17, § 3, теорема 3.1]) и (2.27) найдем, что оператор A - λ = A 1/2 � 0 -λ�A-1 A 0 1/2 ∗ Q � = 0 I -Q G - λ 0 I A 1/2 = � 0 I Q∗Rλ(G) L(λ) 0 1/2 I 0 A� 0 0 I 0 I 0 G - λ -Rλ(G)Q I 0 I фредгольмов. Следовательно, λ ∈/ σess(A), и для существенного спектра оператора A получаем включение σess(A) ⊂ σess(L(λ)). Выясним расположение множества σess(L(λ)) на R+. Из ∞ A�-1 ∈ S (L2(Ω)), леммы 2.3 и из теоремы о сохранении существенного спектра при относительно компактных возмущениях (см. [3, гл. 4, § 5, п. 6, теорема 5.35]) следует, что σess(L(λ)) = σess(L0(λ)), 1/2 -1 �-1/2 1/2 1/2 -1/2 ∗ -1 1/2 1/2 -1/2 где L0(λ) := I + A� P1α(β - λ) A = I + (A α P1A� ) (β - λ) (A α P1A� ) (см. лемму 2.2). Очевидно, что оператор L0(λ) непрерывно обратимпри λ< 0. Из теоремы Неймана об обращении оператора, близкого к единичному, и оценки (A1/2α1/2P1A�-1/2)∗(β - λ)-1(A1/2α1/2P1A�-1/2) � A1/2α1/2P1A�-1/2 2 , λ > max{β1, β2}, L(L2 (Ω)) λ - max{β1, β2} 2 следует также, что оператор L0(λ) непрерывно обратимпри λ> max{β1, β2}+ A1/2α1/2P1A�-1/2 . Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ 202 Д. А. ЗАКОРА, 2l Таким образом, σess(A) ⊂ σess(L(λ)) ⊂ 10, max{β1, β2} + A1/2α1/2P1A�-1/2 . Множество C\σess(A) является связным, а оператор A имеет регулярные точки (см. лемму 2.4). Отсюда и из теоремы об устойчивости индекса и дефекта замкнутого оператора (см. [20, гл. 17, § 2, теорема 2.1], а также [3, гл. 4, § 5, п. 2, теорема 5.17]) следует, что множество C\σess(A) состоит из регулярных точек и изолированных собственных значений конечной кратности оператора A. 3. Пусть λ0 - невещественное собственное значение оператора A, тогда λ0 - собственное значение оператора L(λ0) (см. теорему 4.1), отвечающее некоторому собственному элементу z0 ∈ L2(Ω). Очевидно, что λ0 будет корнем уравнения z0 -2(L(λ)z0, z0) = 0, которое после ряда простых преобразований записывается следующим образом: 2 1 ( ql \ (4.16) 1 - λp - λ 2 q - l=1 βl - λ = 0, -1/2 2 1/2 1/2 -1/2 2 1/2z0 g(ρ1 - ρ2) �A z0 + A α P1A z0 2 p := A�- > 0, q := γ � � 2 ;;? 0, z0 Pjl A1/2α1/2P1A�-1/2z0 2 z0 ql := βl z0 2 ;;? 0 (l = 1, 2). Напомним, что здесь Pjl (l = 1, 2) - ортопроекторы, действующие в гильбертовом пространстве L2(Ω). Точнее, если z = (z1; z2) ∈ L2(Ω), то Pj1z := (z1; 0), Pj2z := (0; z2). В последующих вычислениях будем считать для определенности, что β1 < β2. Случай β1 = β2 также укладывается в последующие вычисления после введения соответствующих обозначений. Перепишем уравнение (4.16) в следующей форме: 2 2 2 г 2 l г 2 l 0 = (λ - λ2p - q) тт(βl - λ)+ ql тт(βk - λ) = -pλ4 + λ3 1+ p βl - λ2 q + βl + pβ1β2 + ... l=1 l=1 k1=l l=1 l=1 (4.17) Уравнение (4.16) имеет два действительных корня, которые мы обозначим через λl (l = 1, 2) (λ1 ∈ (0, β1), λ2 ∈ (β1, β2)), и еще два корня: λ0 и λ0. Обозначим ξ0 := Reλ0, η0 := Imλ0, тогда 2 0 = -p тт(λl - λ)((λ - ξ0)2 + η2) = -pλ4 + λ3p г 2 l 2ξ0 + λl - λ2p г 2 l (ξ2 + η2)+ 2ξ0 λl + λ1λ2 + ... 0 l=1 l=1 0 0 l=1 (4.18) Приравнивая коэффициенты при λ3 и λ2 из (4.17) и (4.18), получим 2 2ξ0 + λl = 1 2 + βl, (4.19) p 2 l=1 l=1 2 q 1 (ξ2 + η2)+ 2ξ0 λl + λ1λ2 = + βl + β1β2. (4.20) 0 0 l=1 p p l=1 2 Из (4.19) следует оценка снизу 2Reλ0 = 2ξ0 = p-1 + (βl - λl) > p-1 ;;? A�-1/2 -2. l=1 2 Далее мы следуемидеямиз [22, гл. 11, § 5, п. 11.5.2(2)]. Введемобозначения δ := 2-1 (βl -λl), l=1 2 ω := (2p)-1, тогда ξ0 = ω + δ (см. (4.19)). Выразим из (4.19) λl и подставим его в (4.20). После l=1 ряда преобразований получим η2 0 + 2δ 2 l=1 λl - (β1β2 - λ1λ2) = -ω2 + 2ω(δ + q) - δ2. (4.21) К ПРОБЛЕМЕ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ 203 Из условий λ1 ∈ (0, β1), λ2 ∈ (β1, β2) можно вывести следующую оценку (см. [22, гл. 11, §5, п. 11.5.2, формула (5.24)]): 2 2 2 (β1β2 - λ1λ2) < (βl - λl) l=1 λl l=1 = 2δ λl. (4.22) l=1 Из (4.22) следует положительность правой части в (4.21), следовательно, ω < δ +q +(2δq +q2)1/2. q + q1/21 ql1/2, и оценка сверху на Reλ0 получена. Отсюда Reλ0 = ξ0 < 2δ + q + (2δq + q2)1/2 � �b + � � �b + � Из оценки на Reλ0 выводится условие (4.13), достаточное для отсутствия невещественного собственного значения λ0. | Далее, выразимиз (4.20) (ξ2 +η2) = |λ0 2 и преобразуемего с помощью (4.19). С использованием 0 0 2 оценки (4.22) получим, что |λ0| | для |λ0 2. < 2ω(q + 4δ). После простых оценок отсюда следует неравенство Замечание 4.2. Из (4.14)-(4.15) следует, что K+ ∈ Sp при p> 2q, если A�-1 ∈ Sq (L2(Ω)). Следствиемобщих теорем А. С. Маркуса и В. И. Мацаева из [11, 12] является следующее условное утверждение. Теорема 4.3. Справедливы утверждения: 4. Если собственные значения оператора A� имеет степенную асимптотику, то спектр (+∞) +∞ λ(+∞) оператора A имеет ветвь собственных значений {λk (A)}k=1 со следующей асимптотикой: k (A) = λk (A�)(1 + o(1)), k → +∞. (4.23) 1/2 5. Если оператор B := g(ρ1 - ρ2)(I + T ∗αβ-1T )-1/2(A� � V )(γA-1/2 � )(I + T ∗αβ-1 T )-1/2, где T := A1/2 P1A�-1/2 ∈ L(L2(Ω)) (см. лемму 2.2), имеет степенную асимптотику собствен- (0) +∞ ных значений, то спектр оператора A имеет ветвь собственных значений {λk (A)}k=1 со следующей асимптотикой: λ(0) k (A) = λk(B)(1 + o(1)), k → +∞. (4.24) Доказательство. Пучок L(λ) (см. (4.2)) может быть записан в виде L(λ) = I - λA�-1 + F1(λ), где F1(λ) → 0 при λ → ∞. Отсюда и из условий на оператор A� следует формула (4.23). Осуществим в спектральной задаче (4.2) замену спектрального параметра μ := λ-1. Получим L(μ-1)z := I - μg(ρ1 - ρ2)(A� V )(γA� ) - μ A + A� P1α(β - μ ) A z = 1/2 1/2 � -1/2 -1/2 � -1 �-1 -1 �-1 1/2 1/2 -1 -1 -1 �-1/2 -1 -1l �-1/2 = I - μg(ρ1 - ρ2)(A� V )(γA � ) - μ 1/2 A + A� � -1/2 P11αβ -1 �-1 + αβ 1/2 (μβ - 1) -1 A z = -1 �-1/2 = (I + T ∗αβ-1T ) - μg(ρ1 - ρ2)(A� V )(γA � ) - μ A + A� P1αβ (μβ - 1) ( A z = )1/2 = (I + T ∗αβ-1T )1/2 I - μB + F2(μ) I + T ∗αβ-1T z = 0, где F2(μ) → 0 при μ → ∞. Отсюда и из условий на оператор A� следует формула (4.24). Замечание 4.3. Как следует из доказательства п. 2 в теореме 4.2, имеет место равенство 1/2 -1 �-1/2 1/2 -1) �-1/2 σess(L(λ)) = σess(L0(λ)), где L0(λ) := I + A� P1α(β - λ) A = A� P1(I + α(β - λ) A . По теореме о произведении фредгольмовых операторов (см. [20, гл. 17, § 3, теорема 3.1]), оператор L0(λ) фредгольмов в L2(Ω) тогда и только тогда, когда оператор P1(I + α(β - λ)-1) фредгольмов H� в 1 0, S, Γ (Ω). Из леммы 1.2, с использованием обозначений из (2.14) и (3.2), получим, что для 0, S, Γ любого (u1; u2) ∈ H� 1 (Ω) имеет место представление f( m1(λ) μ-1m1(λ) - μ-1m2(λ) u1 P1(I + α(β - λ)-1)(u1; u2) = - 1 2 V1(μ-1C1 + μ-1C2)-1γ1\ ; μ1 μ1 1 2 1 -1 \ 1 ( m2(λ) + μ- m1(λ) - μ2 m2(λ) V (μ-1C + μ-1 C )-1γ u . μ2 μ2 2 1 1 2 2 2 2 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ 204 Д. А. ЗАКОРА, 0 Из этого представления видно, что если λ = α1 + β1, т. е. m1(λ) = 0, то рассматриваемый оператор не является фредгольмовым. Действительно, в этом случае ядро оператора содержит элементы вида (u1; 0), где u1 ∈ Ker γ1 = H1(Ω1), а значит, бесконечномерно. Аналогично с точкой λ = α2 + β2. Таким образом, {αl + βl, l = 1, 2} ⊂ σess(L(λ)). Опираясь на последнее представление, можно предположить также, что рассматриваемый оператор не является фредгольмовым в точках, в которых m1(λ)+ m2(λ) = 0. Причиной этого является то обстоятельство, что, вероятно, оператор C1 - C2 нефредгольмов как действующий из H-1/2 в H� 1/2. Γ Γ 3. Теорема о базисности системы корневых элементов оператора A. В этом пункте будем предполагать, основываясь на результатах для спектральной задачи в прямоугольной области, что спектр оператора A имеет не более, чем счетное множество точек сгущения. k=1 Определение 4.4. Назовем систему {ξk }∞ базисом Рисса пространства H, если ξk = T ζk, k=1 где T , T -1 ∈ L(H), а {ζk }∞ - ортонормированный базис пространства H. Если T = I + K, где k=1 K ∈ Sp, то система {ξk }∞ называется p-базисом H. Определение 4.5. Назовем базис J -пространства H почти J -ортонормированным, если его можно представить как объединение конечного подмножества элементов и J -ортонормированного подмножества, причем эти подмножества J -ортогональны друг другу. Обозначим через Lλ(A) корневой линеал оператора A, отвечающий собственному значению λ (λ ∈ σp(A)). Введем также следующие обозначения: F(A) := sp{Lλ(A)| λ ∈ σp(A)}, F0(A) := sp{Ker(A - λ)| λ ∈ σp(A)}. Будем писать λ ∈ s(A) ⊂ R, если Ker(A - λ) вырождено, т. е. если существует ξ0 ∈ Ker(A - λ) такое, что [ξ0, ξ] = 0 для любого ξ ∈ Ker(A - λ). Основываясь на теореме Азизова-Лангера (см. [1, гл. 4, § 2, теорема 2.12]), установим следующую теорему в предположении, что спектр оператора A не более, чем счетен. Теорема 4.4. Имеют место следующие утверждения: 1. codim F(A) � codim F0(A) < ∞. 2. F(A) = H ⇐⇒ sp{Lλ(A)|λ ∈ σess(A) ∩ (γ1, γ2)} - невырожденное подпространство, где γ1, γ2 - числа, определенные в п. 3 теоремы 4.2 (см. (4.12)). 3. F0(A) = H ⇐⇒ Lλ(A) = Ker(A - λ) при λ ≡= λ и s(A) = ∅. Если γ2 � γ1, то F0(A) = H. 4. Если F0(A) = H (соответственно, F(A) = H), то в H существует почти J -ортонормированный базис Рисса, составленный из собственных (соответственно, корневых) элементов оператора A. Если A�-1 ∈ Sq (L2(Ω)), то эти базисы будут p-базисами при p> 2q. Если γ2 � γ1, то данный базис из собственных элементов будет J -ортонормированным. Доказательство. В теореме 4.2 установлено, что (A + a)-1 ∈ (H). По предположению спектр оператора (A + a)-1 имеет не более, чем счетное множество точек сгущения. Таким образом, оператор (A + a)-1 удовлетворяет всем требованиям теоремы Азизова-Лангера. Применим эту теорему к оператору (A + a)-1. 1.Из равенств F(A+a) = F((A+a)-1), F0(A+a) = F0((A+a)-1) следует первое утверждение. 2.F((A + a)-1) = H ⇐⇒ sp{Lλ-1 ((A + a)-1)|λ-1 ∈ s((A + a)-1)} - невырожденное подпространство. Из [1, гл. 4, § 3, замечание 3.8] следует, что при доказательстве равенства F((A + a)-1) = H невырожденность Lλ-1 ((A + a)-1) нужно проверять только для тех λ-1 ∈ s((A+a)-1), которые являются точками сгущения спектра оператора (A+ a)-1. Из равенства Lλ-1 ((A + a)-1) = Lλ(A + a) следует, что нужно проверять невырожденность Lλ(A) для λ ∈ σess(A) ∩ s(A). Выясним расположение множества s(A). Пусть λ0 = λ0 ∈ σp(A), λ0 ∈/ σ(G) = {0, β1, β2} и Ker(A - λ0) вырождено. В силу теоремы 4.1 это эквивалентно тому, что в KerL(λ0) существует такой z0, что элемент ξ0 = (A�-1/2z0; (G - λ0)-1Qz0)τ J -ортогонален всем элементам вида ξ = (A�-1/2z; (G - λ0)-1Qz)τ , где z ∈ KerL(λ0), т. е. [ξ0, ξ] = 0. Используя введенные ранее обозначения, последнее уравнение можно привести к виду (L±(λ0)z0, z) = 0. В частности, имеем два соотношения: (L(λ0)z0, z0) = 0, (L±(λ0)z0, z0) = 0. Из этих соотношений следует, что λ0 есть кратный корень уравнения (4.16). Уравнение (4.16) имеет два действительных корня, которые мы обозначимчерез λl (l = 1, 2) (λ1 ∈ (0, β1), λ2 ∈ (β1, β2) - здесь мы снова считаем для определенности, что β1 < β2), и действительный двукратный корень λ0. Положим ξ0 := λ0, η0 := 0 и повторим рассуждения п. 3 теоремы 4.2. В результате получим, что λ0 ∈ (γ1, γ2) (см. (4.12)). К ПРОБЛЕМЕ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ 205 Положим λ0 = 0 и предположим, что Ker A вырождено, т. е. существует такое ξ0 ∈ Ker A, что [ξ0, ξ] = 0 для любого ξ ∈ Ker A. В частности, [ξ0, ξ0] = 0. Тогда (см. (2.16)) ⎧ A1/2 ⎪⎨ � A 1/2 � 1/2 u0 + A� P1α1/2 1/2 A-1/2 ψ0 + (g(ρ1 - ρ2)) 1/2 A�-1/2 V η0 = 0, -A1/2α1/2P1A�-1/2(A� ⎪ u0) + βψ0 = 0, 1/2 � ⎩-(g(ρ1 - ρ2))1/2γA�-1/2(A� u0) = 0, 2 2 2 [ξ0, ξ0] = u0 - ψ0 - η0 = 0. Умножим первое уравнение системы скалярно на u0 и преобразуем его с помощью оставшихся соотношений. Получим A 1/2 � 2 u0 2 + (βψ0, ψ0) = 0, u0 2 - ψ0 2 = η0 . Отсюда следует, что ξ0 = 0 и, значит, 0 ∈/ s(A). Пусть βq ∈/ (γ1, γ2), тогда βq � γ1, поскольку βq � max{β1, β2} < γ2. Допустим, что βq � γ1 и Ker(A - βq ) вырождено, т. е. существует такое ξ0 ∈ Ker(A - βq ), что [ξ0, ξ] = 0 для любого ξ ∈ Ker(A - βq ). В частности, [ξ0, ξ0] = 0. Тогда ⎧ 1/2 1/2 1/2 1/2 -1/2 1/2 �-1/2 ⎪⎨A� A� u0 + A� P1α A 1/2 ψ0 + (g(ρ1 - ρ2)) A V η0 = βqu0, -A1/2α1/2P1A�-1/2(A� ⎪ u0) + βψ0 = βqψ0, 1/2 � ⎩-(g(ρ1 - ρ2))1/2γA�-1/2(A� u0) = βqη0, [ξ0, ξ0] = u0 2 2 - ψ0 2 - η0 = 0. Умножим здесь первое уравнение скалярно на u0 и преобразуем его с помощью оставшихся соотношений. Получим A 1/2 � 2 u0 2 + (βψ0, ψ0) - 2βq u0 = 0. 2 -1/2 2 1/2 -1/2 -2 Отсюда следует, что z0 < 2βq A� z0 , где z0 := A� u0, а значит βq > (2 A� ) = γ1 (см. (2.16)), что противоречит предположению βq � γ1. Таким образом, s(A) ⊂ (γ1, γ2), и второе утверждение доказано. 3. Первая часть третьего утверждения - это переформулировка соответствующего утверждения используемой теоремы Азизова-Лангера. Если γ2 � γ1, то s(A) = ∅, и оператор A не имеет невещественных собственных значений (см. (4.12)). Следовательно, F0(A) = H. 4. Первая часть четвертого утверждения - это переформулировка соответствующего утверждения используемой теоремы. Если A�-1 ∈ Sq (L2(Ω)), то K+ ∈ Sp при p> 2q (см. замечание 4.2), и указанные базисы будут p-базисами при p> 2q. Наконец, если γ2 � γ1, то, как отмечено выше, оператор A не имеет невещественных собственных значений, и соответствующий p-базис при p> 2q в H, составленный из собственных элементов оператора A, будет J -ортонормированным.

About the authors

D. A. Zakora

V. I. Vernadsky Crimean Federal University

Author for correspondence.
Email: dmitry.zkr@gmail.com
Simferopol, Russia

N. D. Kopachevsky

V. I. Vernadsky Crimean Federal University

Email: kopachevsky@list.ru
Simferopol, Russia

References

Supplementary files