Resolvent Approximations in L2-Norm for Elliptic Operators Acting in a Perforated Space

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

We study homogenization of a second-order elliptic differential operator Aε = - div a(x/ε)∇ acting in an ε-periodically perforated space, where ε is a small parameter. Coefficients of the operator Aε are measurable ε-periodic functions. The simplest case where coefficients of the operator are constant is also interesting for us. We find an approximation for the resolvent (Aε + 1)-1 with remainder term of order ε2 as ε → 0 in operator L2-norm on the perforated space. This approximation turns to be the sum of the resolvent (A0 + 1)-1 of the homogenized operator A0 = - div a0 ∇, a0 > 0 being a constant matrix, and some correcting operator εCε. The proof of this result is given by the modified method of the first approximation with the usage of the Steklov smoothing operator.

About the authors

S. E. Pastukhova

Russian Technological University (MIREA)

Author for correspondence.
Email: pas-se@yandex.ru
Moscow, Russia

References

  1. Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. - М.: Наука, 1984.
  2. Беляев А. Ю. Усреднение в задачах фильтрации. - М.: Наука, 2004.
  3. Бирман М. Ш., Суслина Т. А. Периодические дифференциальные операторы второго порядка. Пороговые свойства усреднения// Алгебра и анализ. - 2003. - 15, № 5. - С. 1-108.
  4. Бирман М. Ш., Суслина Т. А. Усреднение периодических эллиптических дифференциальных операторов с учетом корректора// Алгебра и анализ. - 2005. - 17, № 6. - С. 1-104.
  5. Жиков В. В. Об операторных оценках в теории усреднения// Докл. РАН. - 2005. - 403, № 3. - С. 305-308.
  6. Жиков В. В. О спектральном методе в теории усреднения// Тр. МИАН. - 2005. - 250.- C. 95-104.
  7. Жиков В. В. О некоторых оценках из теории усреднения// Докл. РАН. - 2006. - 406, № 5. - С. 597- 601.
  8. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А. Усреднение дифференциальных операторов. - М.: Наука, 1993.
  9. Жиков В. В., Пастухова С. Е. Усреднение вырождающихся эллиптических уравнений// Сиб. мат. ж. - 2008. - 49, № 1. - С. 101-124.
  10. Жиков В. В., Пастухова С. Е., Тихомирова С. В. Об усреднении вырождающихся эллиптических уравнений// Докл. РАН. - 2006. - 410, № 5. - С. 587-591.
  11. Жиков В. В., Пастухова С. Е. Об операторных оценках в теории усреднения// Усп. мат. наук. - 2016. - 71, № 3. - С. 3-98.
  12. Олейник О. А., Иосифьян Г. А., Шамаев А. С. Математические основы сильно неоднородных упругих сред. - М.: МГУ, 1990.
  13. Пастухова С. Е. О некоторых оценках из усреднения задач теории упругости// Докл. РАН. - 2006. - 406, № 5. - С. 604-608.
  14. Пастухова С. Е., Тихомиров Р. Н. Операторные оценки повторного и локально периодического усреднения// Докл. РАН. - 2007. - 415, № 3. - С. 304-305.
  15. Пастухова С. Е., Тихомирова С. В. Эллиптическое уравнение с несимметрической матрицей. Усреднение «вариационных решений»// Мат. заметки. - 2007. - 81, № 4. - С. 631-635.
  16. Сеник Н. Н. Об усреднении несамосопряженных локально периодических эллиптических операторов// Функц. анализ и его прилож. - 2017. - 51, № 2. - С. 92-96.
  17. Acerbi E., Chiado Piat V., Dal Maso G., Percivale D. An extension theorem from connected sets, and homogenization in general periodic domains// Nonlinear Anal. - 1992. - 18, № 5. - С. 481-496.
  18. Bensoussan A., Lions J. L., Papanicolaou G. Asymptotic Analysis for Periodic Structures. - Amsterdam: North Holland, 1978.
  19. Cardone G., Pastukhova S. E., Zhikov V. V. Some estimates for nonlinear homogenization// Rend. Accad. Naz. Sci. XL Mem. Mat. Appl. - 2005. - 29. - С. 101-110.
  20. Pastukhova S. E. Operator estimates in nonlinear problems of reiterated homogenization// Proc. Steklov Inst. Math. - 2008. - 261. - С. 214-228.
  21. Pastukhova S. E. Estimates in homogenization of parabolic equations with locally periodic coefficients// Asymptot. Anal. - 2010. - 66. - С. 207-228.
  22. Pastukhova S. E. Approximations of the operator exponential in a periodic diffusion problem with drift// Sb. Math. - 2013. - 204, № 2. - С. 280-306.
  23. Pastukhova S. E. Approximations of the resolvent for a non-self-adjoint diffusion operator with rapidly oscillating coefficients// Math. Notes. - 2013. - 94. - С. 127-145.
  24. Pastukhova S. E. Approximation of the exponential of a diffusion operator with multiscale coefficients// Funct. Anal. Appl.- 2014.- 48, № 3. - С. 183-198.
  25. Pastukhova S. E. Estimates in homogenization of higher-order elliptic operators// Appl. Anal. - 2016. - 95. - С. 1449-1466.
  26. Pastukhova S. E. Operator error estimates for homogenization of fourth order elliptic equations// St. Petersburg Math. J. - 2017. - 28. - С. 273-289.
  27. Pastukhova S. E. Operator estimates in homogenization of elliptic systems of equations// J. Math. Sci. (N.Y.). - 2017. - 226, № 4. - С. 445-461.
  28. Pastukhova S. E. L2-estimates for homogenization of elliptic operators// J. Math. Sci. (N.Y.). - 2020. - 244, № 4. - С. 671-685.
  29. Pastukhova S. E. On resolvent approximations of elliptic differential operators with locally periodic coefficients// Lobachevskii J. Math. - 2020. - 41, № 5. - С. 814-834.
  30. Pastukhova S. E. On resolvent approximations of elliptic differential operators with periodic coefficients// ArXiv. - 2020. - 2001.01701 [math.AP].
  31. Pastukhova S. E., Tikhomirov R. N. Operator-type estimates in homogenization of elliptic equations with lower order terms// St. Petersburg. Math. J. - 2018. - 29. - С. 841-861.
  32. Senik N. N. Homogenization for non-self-adjoint periodic elliptic operators on an infinite cylinder// SIAM J. Math. Anal. - 2017. - 49. - С. 874-898.
  33. Senik N. N. Homogenization for non-self-adjoint locally periodic elliptic operators// ArXiv. - 2017. - 1703.02023v2 [math.AP].
  34. Zhikov V. V., Pastukhova S. E. On operator estimates for some problems in homogenization theory// Russ. J. Math. Phys. - 2005. - 12, № 4. - С. 515-524.
  35. Zhikov V. V., Pastukhova S. E. Estimates of homogenization for a parabolic equation with periodic coefficients// Russ. J. Math. Phys. - 2006. - 13, № 4. - С. 224-237.
  36. Zhikov V. V., Pastukhova S. E. Homogenization estimates of operator type for an elliptic equation with quasiperiodic coefficients// Russ. J. Math. Phys. - 2015. - 22, № 4. - С. 264-278.

Copyright (c) 2020 Contemporary Mathematics. Fundamental Directions

License URL: https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.en

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies