Resolvent Approximations in L2-Norm for Elliptic Operators Acting in a Perforated Space

Full Text

1. Введение 314 2. Усреднение в перфорированном пространстве 315 3. Оператор сглаживания и его свойства 318 4. Доказательство L2-оценок с корректором 319 5. Некоторые обсуждения 325 6. Случай несамосопряженного оператора 327 7. Доказательство лемм о сглаживании 329 Список литературы 331 1. ВВЕДЕНИЕ Усреднение дифференциальных уравнений в перфорированных областях было предметом интенсивного исследования в теории усреднения с самого начала. Например, в широко известных монографиях по усреднению [1, 2, 8, 12, 18] этой задаче в различных постановках уделено много внимания. Данная статья продолжает линию работ [5, 7, 9-11, 13-15, 19-21, 24-27, 31, 34-36] (см. также указанную в обзоре [11] библиографию), в которых с позиций, очень близких к классическому методу двухмасштабных разложений, изложенному во всех монографиях [1, 2, 8, 12, 18] в том или ином виде, изучается усреднение периодического эллиптического дифференциального оператора Aε = - div a(x/ε)∇, действующего в Rd с периодическими быстро осциллирующими коэффициентами, зависящими от x/ε, ε - малый параметр, при минимальных условиях регулярности. А именно, исходная 1-периодическая матрица коэффициентов a(·) измерима, ограничена и равномерно положительно определена, т. е. a(·) удовлетворяет условию эллиптичности. В указанных статьях основной предмет рассмотрения - это операторные оценки усреднения для эллиптических и параболических уравнений. Более точно, это оценки в операторных нормах, например, для разности резольвенты исходного эллиптического оператора (Aε + 1)-1 и ее соответствующих аппроксимаций. В операторной L2-норме © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2020 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 314 L2 -АППРОКСИМАЦИИ РЕЗОЛЬВЕНТЫ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА В ПЕРФОРИРОВАННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 315 подходящей аппроксимацией порядка ε будет резольвента (A0 + 1)-1 усредненного оператора с постоянными коэффициентами A0 = - div a0∇, хорошо известного в усреднении. При этом выполнена оценка → ∗(Aε + 1)-1 - (A0 + 1)-1∗L2 (Rd) L2 (Rd) � cε, где константа в правой части зависит лишь от размерности d и константы эллиптичности для матрицы коэффициентов a. Интерес к подобного сорта оценкам возник с появлением статьи [3], где приведенная выше операторная L2-оценка впервые была доказана в рамках более общего результата. При этом в [3] применялся спектральный подход, основанный на преобразовании Флоке- Блоха и некоторых полученных авторами результатах из теории возмущения самосопряженных операторов. В последние годы усилиями многих математиков установлены различные результаты по операторным оценкам усреднения, причем с использованием различных подходов. Что касается работ [5, 7, 9-11, 13-15, 19-21, 24-27, 31, 34-36], операторные оценки усреднения доказываются в них с помощью иного, по сравнению с [3], метода. Для этой цели В. В. Жиковым был предложен модифицированный метод первого приближения, впервые изложенный в [5]. Метод получил дальнейшее развитие в [34, 35]. Уже в работе [34] изучались эллиптические уравнения в ε-периодическом перфорированном пространстве, в том числе система уравнений теории упругости, и для резольвенты исходного оператора Aε были получены аппроксимации порядка ε в операторных нормах ∗ · ∗L2 (Rd)→L2 (Rd) и ∗ · ∗L2 (Rd)→H1 (Rd). В данной работе нас интересуют аналогичные аппроксимации резольвенты в операторной норме 2 ∗ · ∗L2 (Rd)→L2 (Rd), но порядка ε . Назовем кратко основные особенности модифицированного метода первого приближения, согласно которому решение исходного уравнения аппроксимируется специально построенной функцией, по структуре напоминающей первое приближение из классической теории (отсюда и название метода). Во-первых, это - специальный анализ невязки первого приближения в эллиптическом уравнении. Во-вторых, это - введение дополнительного параметра интегрирования за счет непосредственного сдвига в коэффициентах или за счет сглаживания, например, по Стеклову, в нулевом приближении и корректоре, из-за чего метод часто именуется как метод сдвига. (Отметим, что сглаживание по Стеклову называют нередко обобщенным сдвигом.) Именно дополнительный параметр интегрирования позволяет обойти технические трудности, связанные с минимальными предположениями о регулярности данных задачи. Основные результаты этой работы сформулированы в теоремах 2.1 и 2.2, касающихся самосопряженного случая, а также в теореме 6.1, относящейся к несамосопряженному случаю. Доказательство теорем приведено в разделах 4 и 6. Отдельный интерес представляют (по-видимому, замеченные лишь в последнее время) свойства сглаживания из лемм 3.3, 3.4, 3.5, которые играют важную роль в получении L2-оценок порядка ε2. Для полноты изложения приведено их доказательство в разделе 7. 2. УСРЕДНЕНИЕ В ПЕРФОРИРОВАННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 1. Основная задача и ее усреднение. Пусть Q есть периодическая область в Rd, d ;;: 2, ячейка периодичности - единичный куб D = [-1/2, 1/2)d . Считаем, что Q - липшицева область, связная в Rd. Множество Rd \Q есть объединение «дыр» в перфорированном пространстве; в общем случае оно не обязательно дисперсно. Введем нормированную характеристическую функцию ρQ(y) = ρ(y), такую что ρ(y) = 1/|D∩ Q|, если y ∈ Q, и ρ(y) = 0 вне Q; и пусть ρε(x) = ρ(ε-1x). Очевидно, r ±ρ∓ := D ρ dy = 1 и r ρε dx = εd, (2.1) εD где εD = [-ε/2, ε/2)d . Как следствие (2.1)2, имеет место слабая сходимость мер ρε dx --dx при ε → 0. (2.2) 316 С. Е. ПАСТУХОВА 0 Обозначим через H1(Rd, ρεdx) замыкание C∞(Rd) по норме ∗ · ∗1,ε, определенной равенством ∗ϕ∗1,ε = Г |ϕ| +|∇ϕ| )ρεdx. Это - гильбертово пространство, аналогичное во многом классиче- 2 ( 2 2 Rd скому пространству Соболева H1(Rd, dx) = H1(Rd). Пусть aε(x) = a(ε-1x) и a(y) - измеримая симметрическая периодическая матрица, ячейка периодичности - куб D = [-1/2, 1/2)d . Предполагаем условия эллиптичности и ограниченности: | λ|ξ 2 для некоторой константы λ ∈ (0, 1). � aξ · ξ � λ-1 2 |ξ| ∀ξ ∈ Rd (2.3) Рассмотрим эллиптическое уравнение в ε-периодическом перфорированном пространстве с характеристической функцией ρε: uε ∈ H1(Rd, ρεdx), Aεuε + ρεuε = ρεf, f ∈ L2(Rd), Aε = - div(ρεaε∇). (2.4) Решение понимается в смысле интегрального тождества r r (aε∇uε · ∇ϕ + uεϕ) ρεdx = Rd Rd 0 fϕ ρεdx, ϕ ∈ C∞(Rd), т. е. в смысле распределений на Rd. По замыканию в качестве пробной можно брать любую функцию из H1(Rd, ρεdx). Разрешимость уравнения (2.4) устанавливается по лемме Лакса-Мильграма. Из интегрального тождества легко выводится энергетическая оценка для решения задачи (2.4) ∗uε∗H1 (Rd,ρ dx) � c∗f ∗L2 (Rd,ρ dx), c = const(λ). o ε Усредненным будем называть следующее уравнение с постоянными коэффициентами во всем пространстве Rd: u ∈ H1(Rd, dx), (A0 + 1)u = ρεf, A0 = - div a0∇, (2.5) решение которого понимается в смысле распределений на Rd, т. е. в смысле интегрального тождества r r (a0∇u · ∇ϕ + uϕ) dx = Rd Rd 0 ρεfϕ dx, ϕ ∈ C∞(Rd). (2.6) Решение уравнения (2.5) зависит от ε через правую часть, но для простоты этот момент в обозначениях не отражается. Ниже (см. (2.10)) сформулирован один из результатов [34], показывающих, в каком смысле можно понимать близость решения uε исходного уравнения к решению u усредненного уравнения (2.6). Согласно классическим канонам, матрица коэффициентов a0 в усредненном уравнении (2.5) находится через решения задачи на ячейке N ∈ H j 1 per (D,ρ dy), divy [ρ(y)a(y)(ej + ∇y Nj )] = 0, ±ρNj ∓ = 0, j = 1,... , d, (2.7) по формуле a0ej = ±ρa(ej + ∇y Nj )∓, j = 1,... , d, (2.8) где e1,... , ed - векторы канонического базиса в Rd, а через ±·∓ обозначено среднее по ячейке периодичности D = [-1/2, 1/2)d (см. (2.1)). 2 2 1/2 per per В (2.7) использовано пространство H1 (D,ρ dy): замыкание C∞ (D) по норме ±ρ(|ϕ| +|∇ϕ| )∓ . per На множестве функций ϕ ∈ H1 (D,ρ dy), таких что ±ρϕ∓ = 0, эквивалентной нормой будет 2 1/2 2 2 ±ρ|∇ϕ| )∓ , что является следствием неравенства Пуанкаре ±ρ|ϕ| ∓ � cP ±ρ|∇ϕ| ∓, если ±ρϕ∓ = 0, per ϕ ∈ C∞ (D). Это неравенство имеет место, поскольку в наших предположениях есть так называемая связность Q на торе (т. е. связность области Q на ячейке периодичности - кубе D, у которого отождествлены противоположные грани). Решение задачи на ячейке понимается в смысле интегрального тождества per ±ρa(ej + ∇Nj ) · ∇ϕ∓ = 0, ϕ ∈ C∞ (D), (2.9) per где по замыканию в качестве пробной можно брать любую функцию из H1 (D,ρ dy). Существование решения устанавливается по лемме Лакса-Мильграма. Решение единственно в силу условия ±ρNj ∓ = 0. L2 -АППРОКСИМАЦИИ РЕЗОЛЬВЕНТЫ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА В ПЕРФОРИРОВАННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 317 0 С другой стороны, уравнение (2.7) можно рассматривать в смысле распределений на Rd, что является известным фактом в усреднении. Таким образом, решение этого уравнения удовлетворяет интегральному тождеству на пробных функциях из C∞(Rd), т. е. r 0 ρa(ej + ∇Nj ) · ∇ϕdx, ϕ ∈ C∞(Rd), Rd где фактически интегрирование идет по области Q. Из связности периодической области Q в Rd вытекает свойство a0 > 0. Последнее свойство заведомо имеет место для перфорированной среды с дисперсным распределением «дыр» в пространстве Rd (по определению дисперсности). Простейший пример такой среды наблюдается, если в качестве множества «дыр» Rd \ Q взять объединение всех шаров радиуса r ∈ (0, 1/4) с центрами в целочисленных точках. В силу эллиптичности матрицы a0 усредненная задача имеет единственное решение. Усредненное уравнение намного проще исходного уравнения (2.4), несмотря на то, что мы не избавляемся окончательно в (2.5) от ε-периодической осцилляции, которая остается в правой части уравнения. Уравнение (2.6) имеет постоянные коэффициенты, ставится во всем пространстве Rd без перфорации, и лишь правая часть ρεf сохраняет память об исходной ε-периодической перфорации пространства. В [34] (см. также [11]) доказан следующий факт: если uε, u - решения задач (2.4) и (2.5), то для их разности справедлива оценка ∗uε - u∗L2 (Rd,ρ dx) � Cε∗f ∗L2 (Rd,ρ dx), (2.10) o ε где константа C зависит от размерности d, постоянной эллиптичности λ и перфорированной области Q. Здесь задействовано L2-пространство с меняющейся мерой ρεdx. Нетрудно понять, что оценка (2.10) допускает формулировку в терминах фиксированного (не зависящего от ε) пространства L2(Rd) с мерой Лебега dx, а именно, → ∗ρε(Aε + ρε)-1ρε - ρε(A0 + 1)-1ρε∗L2 (Rd) L2 (Rd ) � cε, c = const(d, λ, Q). (2.11) Наша цель- найти такой корректирующий оператор Cε : L2(Rd) → L2(Rd), чтобы выполнялась оценка → ∗ρε(Aε + ρε)-1ρε - ρε(A0 + 1)-1ρε - εCε∗L2 (Rd ) L2 (Rd ) � cε2, c = const(d, λ, Q). (2.12) Точный результат о корректирующем операторе Cε предъявлен ниже в теореме 2.1. 2. Техника продолжения. Усреднение в перфорированных областях можно изучать без техники продолжения. Однако для наших целей полезно вспомнить известные факты об операторах продолжения функций, заданных в перфорированном пространстве (см., например, [12, гл. I], [8, гл. III], а также [17]). per Как элемент пространства H1 (D,ρ dy), решение Nj задачи на ячейке (2.7) определено на множестве D ∩ Q. Часто удобно считать, что Nj продолжено с D ∩ Q на D до функции N˜ j, при этом ∗∇N˜ j ∗L2 (D) � c0∗∇N j ∗L2 (D Q), ∗N˜ j ∗ 2 � c ∗Nj ∗ 2 , (2.13) ∩ где константа зависит лишь от Q. L (D) 0 L (D∩Q) Аналогично будем считать, если это необходимо, функции ϕ ∈ H1(Rd, ρεdx) продолженными до функций ϕ˜ ∈ H1(Rd, dx) так, что выполнены равномерные по ε оценки ∗ϕ˜∗H1 (Rd,dx) � c0∗ϕ∗H1 (Rd,ρεdx), ∗∇ϕ˜∗L2 (Rd,dx) � c0∗∇ϕ∗L2 (Rd,ρεdx), (2.14) где константа зависит лишь от Q. Далее для заданной 1-периодической перфорированной области Q берутся линейные операторы per продолжения на ячейке периодичности и в ε-периодическом пространстве P : H1 (D,ρ dy) → per H1 (D, dy) и Pε : H1 (Rd, ρεdx) → H 1(Rd, dx) с контролем норм в виде оценок типа (2.13) и (2.14). Например, если ϕ ∈ H1(Rd, ρεdx) и Pεϕ = ϕ˜, то выполнены оценки (2.14). Области, для которых существуют подобные операторы продолжения, описаны в [12, гл. I, § 4] и [8, гл. III, § 1]. Например, это области с так называемой дисперсной перфорацией. Наиболее 318 С. Е. ПАСТУХОВА общие результаты о существовании операторов продолжения с оценками (2.13) и (2.14) получены в [17]. От перфорированной области Q достаточно требовать связность и липшицевость. 3. L2-оценка с корректором. Зададим оператор Kε : L2(Rd) → H1(Rd) формулой Kεf = Nε · ∇Sε(A0 + 1)-1f, Nε(x) = N (ε-1x), (2.15) где N = (N 1,... ,Nd) - вектор, составленный из решений задачи на ячейках, продолженных на всю ячейку D; Sε - оператор сглаживания по Стеклову, определенный в (3.1). Тогда ∗εKε∗L2 (Rd )→H1 (Rd) � c, c = const(d, λ, Q) (2.16) в силу свойств сглаживания (см. лемму 3.1) и эллиптической оценки (4.12). С другой стороны, → заданный в (2.15) оператор Kε ограниченно действует в L2(Rd), при этом ∗Kε∗L2 (Rd ) L2 (Rd) � c (константа того же типа, что в (2.16)) и имеет сопряженный (Kε)∗ : L2(Rd) → L2(Rd), такой что (Kε)∗f := (A0 + 1)-1Sε div(Nε f ). Оператор εCε = ερε(Kε + (Kε)∗)ρε ограниченно действует в L2(Rd), имеет норму порядка ε и является правильным корректирующим оператором к ρε(A0 + 1)-1ρε в аппроксимации с остатком порядка ε2 для резольвенты ρε(Aε + ρε)-1ρε, так что выполнена искомая оценка (2.12). Это показывает следующая теорема. Теорема 2.1. Справедлива оценка → ∗ρε(Aε + ρε)-1ρε - ρε(A0 + 1)-1ρε - ερεKερε - ερε(Kε)∗ρε∗L2 (Rd) L2 (Rd) � Cε2, (2.17) Kε = Nε · Sε∇(A0 + 1)-1 с константой C, зависящей лишь от размерности d, постоянной эллиптичности λ из условия (2.3) и 1-периодической перфорированной области Q. Поскольку в скалярном случае в предположении (2.3) решение Nj задачи на ячейке (2.7) принадлежит L∞(D) в силу обобщенного принципа максимума, то в оценке (2.17) оператор Kε можно заменить на более простой оператор Kε = Nε · ∇(A0 + 1)-1, не содержащий сглаживания. Теорема 2.2. Справедлива оценка с константой C того же типа, что в (2.17): → ∗ρε(Aε + ρε)-1ρε - ρε(A0 + 1)-1ρε - ερεKερε - ερε(Kε)∗ρε∗L2 (Rd ) L2 (Rd ) � Cε2, (2.18) Kε = Nε · ∇(A0 + 1)-1. Теоремы 2.1 и 2.2 доказаны в разделе 4. Используем обозначение 3. ОПЕРАТОР СГЛАЖИВАНИЯ И ЕГО СВОЙСТВА r Sεϕ(x) = D ϕ(x - εω) dω (3.1) для среднего по Стеклову, называемого также сглаживанием по Стеклову. Сначала перечислим наиболее простые и известные свойства среднего по Стеклову: ∗Sεϕ∗L2 (Rd) � ∗ϕ∗L2 (Rd ), (3.2) √ ∗Sεϕ - ϕ∗L2 (Rd) � ( d/2)ε∗∇ϕ∗L2 (Rd), (3.3) √ ∗Sεϕ - ϕ∗H -1 (Rd ) � ( d/2)ε∗ϕ∗L2 (Rd ). (3.4) Отметим также очевидное свойство Sε(∇ϕ) = ∇(Sεϕ), которое далее систематически используется. Это свойство позволяет коммутировать оператор сглаживания с дифференциальными операторами, имеющими постоянные коэффициенты. Во взаимодействии с ε-периодическими множителями проявляются следующие свойства сглаживания по Стеклову. per Лемма 3.1. Если ϕ ∈ L2(Rd), b ∈ L2 (D) и bε(x) = b(ε-1x), то bεSεϕ ∈ L2(Rd) и 2 2 2 ∗bεSεϕ∗ � ±b ∓∗ϕ∗ . (3.5) L2 -АППРОКСИМАЦИИ РЕЗОЛЬВЕНТЫ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА В ПЕРФОРИРОВАННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 319 per Лемма 3.2. Если b ∈ L2 (D), ±b∓ = 0, bε(x) = b(ε-1x), ϕ ∈ L2(Rd) и ψ ∈ H1(Rd), то 1/2 (bεSεϕ, ψ) � Cε±b2∓ ∗ϕ∗∗∇ψ∗, C = const(d). (3.6) Выше и в дальнейшем изложении используем упрощенное обозначение для нормы и скалярного произведения в L2(Rd) ∗· ∗ = ∗· ∗L2 (Rd), (·, · ) = (·, · )L2 (Rd ). (3.7) Доказательство свойств (3.2)-(3.6) можно найти, например, в [11, 34, 35]; в этой работе оно не приводится. Оценки (3.3) и (3.6) можно уточнить в условиях большей регулярности. Например, для функции ϕ ∈ H2(Rd) выполнена оценка ∗Sεϕ - ϕ∗ � Cε2∗∇2ϕ∗, C = const(d). (3.8) 1 В самом деле, из равенства ϕ(x + h) - ϕ(x) - ∇ϕ(x) · h = Г (1 - t)∇(∇ϕ(x + th) · h) · h dt, по- 0 лагая h = -εω, интегрированием по ω ∈ D = [-1/2, 1/2)d получаем интегральное представление разности Sεϕ - ϕ через матрицу вторых производных ∇2ϕ. Следовательно, по неравенству Коши- Буняковского имеем o 2 |S ϕ(x) - ϕ(x)| откуда легко вывести (3.8). � ε4 r D 1 r 2 |∇(∇ϕ(x - tεω) · ω) · ω| 0 dt dω, Что касается леммы 3.2, следующие утверждения обобщают или уточняют ее. per Лемма 3.3. Пусть b ∈ L2 (D), ±b∓ = 0, bε(x) = b(x/ε) и ϕ, ψ ∈ H1(Rd). Тогда 1/2 (bεSεϕ, Sεψ) � Cε2±b2∓ ∗∇ϕ∗ ∗∇ψ∗, C = const(d). (3.9) per Лемма 3.4. Пусть α, β ∈ L2 (D), ±αβ∓ = 0, αε(x) = α(x/ε), βε(x) = β(x/ε) и ϕ, ψ ∈ H1(Rd). Тогда ∓ (αεSεϕ, βεSεψ) � Cε2±α2 1/2 β 2 1/2 ± ∓ ∗∇ϕ∗ ∗∇ψ∗, C = const(d). (3.10) per Лемма 3.5. Пусть α, β ∈ L2 (D), αε(x) = α(x/ε), βε(x) = β(x/ε), ϕ ∈ L2(Rd), ψ ∈ H1(Rd). Тогда ε ε 2 1/2 |(αεS ϕ, βεS ψ) - ±αβ∓(ϕ, ψ)| � Cε±α ∓ β 2 1/2 ± ∓ ∗ϕ∗ ∗∇ψ∗, C = const(d). (3.11) Заметим, что рассматриваемая в (3.10) и (3.11) форма (αεSεϕ, βε Sεψ) корректно определена, так как функции αεSεϕ и βεSεψ лежат в L2(Rd) по лемме 3.1. Доказательство трех последних лемм вынесено в раздел 7. 4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО L2-ОЦЕНОК С КОРРЕКТОРОМ В этом разделе дан вывод основных результатов для самосопряженного случая. 1. H1-оценка порядка ε. Чтобы избежать громоздких формул, используем обозначения u,ε(x) := Sεu(x), Uε(x) := Nε(x) · ∇u,ε(x), Nε(x) = N (ε-1x). (4.1) }j=1 Здесь u - решение усредненного уравнения (2.5), Sε - оператор сглаживания по Стеклову (см. (3.1)), N (y) = {Nj (y) d - периодический вектор, составленный из решений задачи на ячейке (2.7). Справедливы оценки ∗uε - u,ε - εU ε∗H1 (Rd,ρ dx) � cε∗f ∗L2 (Rd,ρ dx), c = const(d, λ, Q), (4.2) o ε ∗uε - u - εU ε∗H1 (Rd,ρ dx) � cε∗f ∗L2 (Rd,ρ dx), c = const(d, λ, Q). (4.3) o ε Эти оценки доказаны в [34], но мы воспроизведем сейчас доказательство оценки (4.2), поскольку далее систематически будут использованы элементы этого доказательства, а также и сама оценка (4.2). Оценка (4.3) следует из (4.2) по свойствам сглаживания. В свою очередь, из (4.3) по свойствам сглаживания вытекает L2-оценка (2.10). 320 С. Е. ПАСТУХОВА Согласно простым вычислениям: ∇(u,ε + εU ε) = ∇(u,ε + εNε · ∇u,ε) = ( ∂u,ε Nj + ej ) + εN j ∇ ∂u,ε , ∇ ε ∂xj o ∂xj ∂u,ε ρεaε∇(u,ε + εU ε) - a0∇u,ε = gj + ερεaεN j ∇ ∂u,ε (4.4) o ∂xj o ∂xj ε (как обычно, по повторяющимся индексам подразумеваем суммирование от 1 до d), где ∇Nj (x) = j x j j x (∇y N )( ), gε (x) = g ( ), а 1-периодический вектор o ε gj (y) := ρ(y)a(y) (∇Nj (y)+ ej ) - a0ej, j = 1,... , d, (4.5) соленоидален и имеет нулевое среднее, т. е. div gj (y) = 0, ±gj ∓ = 0, (4.6) согласно (2.7) и (2.8), соответственно. Отсюда div (ρεaε∇(u,ε + εU ε) - a0∇u,ε) = rε + div Rε, ∂u,ε rε = gj · ∇ , Rε = ερεaεN j ∇ ∂u,ε , (4.7) o ∂xj o ∂xj и можно оценить невязку приближения v˜ε := u,ε + εU ε в уравнении (2.4). А именно, - div[(ρεaε∇(v˜ε - uε)] + ρε(v˜ε - uε) = - div ρεaε∇v˜ε + ρεv˜ε - ρεf = (4.7) = - div ρεaε∇v˜ε + ρεv˜ε + div a0∇u,ε - u,ε + (ρεf ),ε - ρεf ∂u,ε = (4.8) 5 o ∂x = (ρε - 1)u,ε + ερεN j - rε - div Rε + ((ρεf ),ε - ρεf ) =: \ Ti. j i=1 Здесь использовано соотношение - div a0∇u,ε + u,ε = (ρεf ),ε, в котором (ρεf ),ε обозначает сглаживание по Стеклову функции ρεf. Равенство (4.8) означает, что r 5 r ρε[aε∇(v˜ε - uε)∇ϕ + (v˜ε - uε)ϕ] dx = \ Tiϕ dx (4.9) Rd 0 для любой ϕ ∈ C∞(Rd). i=1 Rd Далее используем оператор продолжения Pε, введенный в разделе 2.2. Оператор Pε продолжает функции, заданные в связной ε-периодической области Qε = εQ (что получена из Q гомотетическим сжатием, характеристической функцией для Qε является ρε) до функций, заданных во всем пространстве Rd, с указанным в (2.14) контролем H1-нормы. По замыканию в (4.9) в качестве пробной функции можно взять ε ϕ = zε := Pε[(v˜ε - uε)|Q ]. (4.10) Далее левую часть (4.9) оценим снизу по эллиптичности. Правую часть (4.9) оценим сверху следующим образом: интегралы с T1 и T3 - по лемме 3.2, интегралы с T2 и T4 - по лемме 3.1, а интеграл с T5 - по свойству (3.4). В итоге получаем или r 2 ∗zε∗1,ε = Rd | (|zε 2 | + |∇zε 2)ρε dx � Cε∗Φ∗L2 (Rd )∗zε∗1,ε, 2 ,ε 2 ∗zε∗1,ε � Cε∗Φ∗L2 (Rd ), (4.11) 2 ,ε 2 где положили |Φ| ции (4.10). = |∇u | + |∇ u | и использовали оценку ∗zε∗H1 (Rd) � c∗zε∗1,ε для функ- Для решения задачи (2.5) верна эллиптическая оценка ∗u∗H2 (Rd ) � c∗ρεf ∗L2 (Rd), c = const(λ). (4.12) Следовательно, ∗Φ∗L2 (Rd ) � c∗f ∗L2 (Rd,ρεdx), что вместе с (4.11) приводит к неравенству (4.2). L2 -АППРОКСИМАЦИИ РЕЗОЛЬВЕНТЫ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА В ПЕРФОРИРОВАННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 321 2. L2-оценки порядка ε2. Из (4.3) следует L2-оценка ∗uε - u - εU ε∗L2 (Rd,ρ dx) � cε∗f ∗L2 (Rd,ρ dx), c = const(d, λ). o ε Далее, изучая L2-форму (uε - u - εU ε, ρεh), h ∈ L2(Rd), (4.13) найдем дополнительные корректоры к εU ε для того, чтобы получить аппроксимацию решения uε с остаточным членом порядка ε2. Форма (4.13) участвует в интегральном тождестве для решения уравнения vε ∈ H1(Rd, ρεdx), - div(ρεaε∇vε)+ ρεvε = ρεh, h ∈ L2(Rd), (4.14) если тождество взять на пробной функции uε - u - εU ε. Воспользуемся этим в дальнейшем. Предварительно заметим, что соответствующее (4.14) усредненное уравнение имеет вид v ∈ H1(Rd), (A0 + 1)v = ρεh; (4.15) H1-приближением к vε будет функция v,ε(x)+ εV ε(x), где V ε(x) = Nε(x) · ∇v,ε(x), v,ε(x) = Sεv(x), (4.16) с оценкой ∗vε - v,ε - εV ε∗H1 (Rd,ρ dx) � cε∗h∗L2 (Rd,ρ dx), c = const(d, λ, Q), (4.17) o ε которая есть аналог оценки (4.2). Отметим также энергетическую оценку для решения задачи (4.14) ∗vε∗H1 (Rd,ρ dx) � c∗h∗L2 (Rd,ρ dx), c = const(λ), (4.18) o ε и эллиптическую оценку для решения усредненной задачи (4.15) ∗v∗H2 (Rd ) � c∗h∗L2 (Rd,ρεdx), c = const(λ). (4.19) Поскольку Aε = - div ρεaε∇ и уравнения в (2.4) и (4.14) записываются коротко как (Aε + ρε)uε = ρεf, (Aε + ρε)vε = ρεh, форма (4.13) преобразуется следующим образом: (4.14) (uε - u - εU ε, ρεh) = (uε - u - εU ε, (Aε + ρε)vε) = = ((Aε + ρε)uε - (Aε + ρε)(u + εU ε), vε) = ((A0 + 1)u - (Aε + ρε)(u + εU ε), vε) = = (A0u,ε - Aε(u,ε + εU ε), vε)+ (A0(u - u,ε), vε) - (Aε(u - u,ε), vε)+ (u(1 - ρε), vε) - ε(ρεUε, vε) =: := T1 + T2 - T3 + T4 - T5, (4.20) где на третьем шаге преобразований учтено равенство (Aε + ρε)uε = ρεf = (A0 + 1)u в смысле распределений на Rd. Заметим, что в (4.20) формально не все слагаемые Ti представляют собой L2-формы: T1 есть значение функционала A0u,ε-Aε(u,ε+εU ε) из H-1(Rd) на функции vε ∈ H1(Rd), а T3 естьзначение функционала Aε(u - u,ε) ∈ H-1(Rd) на функции vε ∈ H1(Rd). Правильнее было бы использовать здесь специальное обозначение, например, ±·, ·∓H-1 ,H1 , для подобных значений функционала из H-1(Rd) на элементе из H1(Rd). Но мы этого не делаем, чтобы не усложнять обозначения, тем более что такие формы возникают мимолетно и преобразуются тут же в L2-формы (см., например, ниже в (4.22) преобразование T3 к L2-форме). Исходная форма (4.13) фактически есть интеграл по перфорированной области Qε, но в процессе преобразований в (4.20) в ее представлении возникли формы по всему пространству, в которых участвует vε. Поэтому изначально считаем, что решение vε ∈ H1(Rd, ρεdx) продолжено с помощью оператора Pε, введенного в разделе 2.2, до функции из H1(Rd, dx) с указанным в (2.14) контролем H1-нормы. Договоримся не делать различия в обозначениях между функцией vε и ее продолжением, чтобы не загромождать формулы. Оценим слагаемые Ti в (4.20). Начнем с последнего слагаемого: (4.1) 2 1/2 ε T5 := ε(ρεUε, vε) = ε(ρεNε · ∇u,ε, vε) � ε2C±|ρN | ∓ ∗∇u∗ ∗∇v ∗, 322 С. Е. ПАСТУХОВА где неравенство записано по лемме 3.2 (напомним, что ±ρN ∓ = 0, см. задачу (2.7)). Отсюда с учетом (4.12) и (4.18) получаем T5 ∼= 0. (4.21) В (4.21) и далее через ∼= обозначаем равенство по модулю слагаемых T, имеющих оценку |T | � cε2∗f ∗ ∗h∗, c = const(d, λ), и такие слагаемые T будем называть несущественными. Следующим рассмотрим слагаемое T3 := (Aε(u - u,ε), vε) = (u - u,ε, Aεvε) ,ε ε (4.14) = (u - u , ρεh - ρεv ) ∼= 0, (4.22) где последнее «равенство» записано в силу неравенства Гельдера (u - u,ε, ρεh - ρεvε) � ∗u - u,ε∗ ∗ρεh - ρεvε∗, свойства сглаживания (3.8) и оценок (4.12) и (4.18). Аналогичные соображения, как при выводе (4.22), дают (2.5) T2 := (A0(u - u,ε), vε) = (ρεf - (ρεf ),ε, vε) - (u - u,ε, vε) ∼= (ρεf - (ρεf ),ε, vε). Далее преобразуем T2, привлекая H1-приближение (4.16). Это приближение определено на всем Rd, если считать 1-периодический множитель N (·) продолженным с самого начала на всю ячейку D с помощью оператора P с контролем H1-нормы (см. раздел 2.2). В результате получаем T2 ∼= (ρεf - (ρεf ),ε, vε - v,ε - εV ε)+ (ρεf - (ρεf ),ε, v,ε + εV ε) ∼= (ρεf - (ρεf ),ε, v,ε + εV ε), где на последнем шаге отброшено одно слагаемое как несущественное, потому что ∗f - f ,ε∗H -1 (Rd) (3.4) � Cε∗f ∗, ∗vε - v,ε - εV ε∗H1 (Rd) (4.17) � cε∗h∗, а кроме того, неявно задействованный здесь оператор продолжения P удовлетворяет оценкам (2.13). Полученное представление для T2 упрощаем за счет того, что (ρεf - (ρεf ),ε, v,ε) В итоге (2.5) = ((A0 + 1)(u - u,ε), v,ε) = (u - u,ε, (A0 + 1)v,ε) ,ε ,ε (4.15) = (u - u , (ρεh) ) (3.8) ∼= 0. где T2 ∼= (ρεf - (ρεf ),ε, εV ε) = (ρεf, εV ε) - ((ρεf ),ε, εV ε), (4.16) ((ρεf ),ε, εV ε) = ε((ρεf ),ε, Nε · ∇v,ε) ∼= ε±N ∓ · (ρεf, ∇v) по лемме 3.5. Здесь ±N ∓ - среднее по ячейке D от продолжения на D решения задачи (2.7) (см. раздел 2.2). В итоге T2 ∼= (ρεf, εV ε) - ε±N ∓ · (ρεf, ∇v). (4.23) Слагаемое T4 в (4.20) преобразуем, используя похожие соображения, как выше: (3.8) T4 := (u(1 - ρε), vε) = (u,ε(1 - ρε), vε)+ ((u - u,ε)(1 - ρε), vε) Далее, привлекая H1-приближение (4.16), получаем ∼= (u,ε(1 - ρε), vε). T4 ∼= (u,ε(1 - ρε), vε - v,ε - εV ε)+ (u,ε(1 - ρε), v,ε + εV ε) ∼= (u,ε(1 - ρε), v,ε + εV ε), где несущественность отброшенного слагаемого показываем, используя лемму 3.2 (имеем ±1 - ρ∓ = 0), оценки (4.12) и (4.17), а также свойства подразумеваемого здесь продолжения. Учтем также, что (u,ε(1 - ρε), v,ε) ∼= 0 по лемме 3.3; кроме того, ε(u,ε(1 - ρε),V ε) ∼= ε(u,ε,V ε), так как (4.16) (u,ερε,V ε) = (u,ερε, Nε · ∇v,ε) = (u,ε, ρεNε · ∇v,ε) ∼= 0 по лемме 3.3 (имеем здесь ±ρN ∓ = 0, см. задачу (2.7)). В итоге заключаем, что T4 ∼= ε(u,ε,V ε) = ε(u,ε, Nε · ∇v,ε) ∼= ε(u, ±N ∓ · ∇v), (4.24) где последнее «равенство» записано по лемме 3.5 и ±N ∓ обозначает среднее по ячейке периодичности от продолженного на ячейку решения задачи (2.7) (ранее договорились не различать в обозначениях определенные на перфорированном пространстве функции и их продолжения на все Rd). L2 -АППРОКСИМАЦИИ РЕЗОЛЬВЕНТЫ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА В ПЕРФОРИРОВАННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 323 Наконец, изучим слагаемое T1 в (4.20): (4.7) ∂u,ε ∂u,ε T1 := (A0u,ε - Aε(u,ε + εU ε), vε) ε = (gj ∇ ∂xj ε , vε) - ε(ρεaεNj ∇ ∂xj , ∇vε) =: I + II. (4.25) Привлекая приближение (4.16), имеем ,ε ,ε I = (gj ∇ ∂u , vε - v,ε - εV ε)+ (gj ∇ ∂u , v,ε + εV ε), o ∂xj o ∂xj ε где первое слагаемое несущественно по лемме 3.2 в силу соотношений (4.6)2,(4.12) и (4.17). Поэтому, учитывая соленоидальность вектора gj, запишем ∂u,ε I ∼= -(gj , ∇(v,ε + εV ε)) = - ( ∂u,ε gj , (∇Nk + ek \ ∂v,ε ∂v ,ε \ + εN k ∇ = o ∂xj (( \ ∂u,ε § ∂xj ε ,ε \ ( ∂xk ∂u,ε ε ,ε \ ∂xk = - ∇Nk + ek § gj ∂v , - ε Nkgj ∂v , ∇ , o ε ∂xj ∂xk o ε ∂xj ∂xk где градиент ∇(v,ε + εV ε) вычислен аналогичным образом, как в (4.4). Периодический вектор (∇Nk + ek ) · gj имеет нулевое среднее: ±gj · (∇Nk + ek )∓ = ±gj · ∇Nk ∓ + ±gj ∓· ek = 0 в силу соотношений (4.6). Тогда по лемме 3.4 и в силу эллиптических оценок для решений u и v ( ( ) ∂u ,ε получаем ∇Nk + ek · gj ∂v,ε \ , ∼= 0 и, значит, o ε ∂xj ( ∂xk ∂u,ε ,ε \ I ∼= -ε Nkgj , ∇ ∂v ∼= -ε(±Nkgj ∓ ∂u , ∇ ∂v ), (4.26) o ε ∂xj ∂xk ∂xj ∂xk где последнее «равенство» записано в силу леммы 3.5 и эллиптических оценок для u и v. Для слагаемого II из (4.25) запишем представление, привлекая приближение (4.16): ε II = -ε(ρεaεNj ∇ ∂u,ε ∂xj ε , ∇(vε - v,ε - εV ε)) - ε(ρεaεNj ∇ ∂u,ε ∂xj , ∇(v,ε + εV ε)). Нетрудно показать, что здесь первое слагаемое несущественное. В самом деле, надо применить неравенство Гельдера, лемму 3.1 и оценки (4.12), (4.17). Далее, производя вычисления типа (4.4) для градиента ∇(v,ε + εV ε), запишем II ∼= -ε ( ε ρεaεNj ∇ ∂u,ε , ∂xj ∇Nk + ek ( \ ∂v,ε o ∂xk ε + εN k ∇ ∂v,ε \ = ∂xk = -ε ( ε ρεaεNj ∇ ∂u,ε , ∂xj ∇Nk + ek ( \ ∂v,ε \ o ∂xk § ε2 ( ε ρεaεNj ∇ ∂u,ε ∂xj ε ,Nk ∇ ∂v,ε \ , ∂xk где последнее слагаемое несущественное. Это легко показать, снова используя неравенство Гельдера, лемму 3.1 и эллиптические оценки для u и v. Тогда II ∼= -ε ( ε ρεaεNj ∇ ∂u,ε , ∂xj ε (∇Nk + ek \ ∂v,ε \ ∂xk = -ε ( ε Nj ∇ ∂u,ε ∂xj , ρεaε ∇Nk + ek = ( \ ∂v,ε \ o ∂xk = -ε ,ε ( Nj ∇ ∂u ∂v,ε , gk \ + a0∇v,ε , o ∂xj § ∂xk где ввели определенный в (4.5) вектор gk через равенство ρa(∇Nk + ek ) = gk + a0ek. Заме- ( ,ε ∂v,ε \ ( \ ( ,ε \ тим, что по лемме 3.5 ε Nj ∇ ∂u , gk ∼= ε±gk Nj ∓ · ∂u ∂v ∇ , и ε Nj ∇ ∂u , a0∇v,ε ∼= o ∂xj § ∂xk ∂xj ∂xk o ∂xj ( ∂u . Следовательно, подводя итоги, имеем ε±Nj ∓ ∇ ∂xj , a0∇v\ II ∼= -ε±gk Nj ∓· ( ∂u ∂v ∇ , \ - ε±Nj ∓ 0 ( ∂u \ ∇ , a ∇v . (4.27) ∂xj ∂xk ∂xj 324 С. Е. ПАСТУХОВА Из (4.25)-(4.27) выводим ( ∂u ∂x T1 ∼= -ε±Nkgj ∓· j ∂v \ ∇ , ∂xk ( - ε±gk Nj ∓· ∇ ∂u , ∂xj ∂v \ ∂xk - ε±Nj ∓ ( ∂u ∇ ∂xj \ , a0∇v . Покажем, что в этой сумме первые два члена взаимно уничтожаются. В самом деле, преобразуя слагаемые J1 := ( ±Nkgj ∓ ∂u ∂xj ∂v \ ∇ , = ∂xk ( ±Njgk ∓ ∂u ∂xk ∂v \ ∇ , ∂xj i = ±Njgk ∓ ( ∂u , ∂xk ∂2v \ , ∂xi∂xj J2 := ( ±gk Nj ∓ · ∇ ∂u , ∂xj ∂v \ ∂xk i = ±gk Nj ∓ ( ∂2u , ∂xi∂xj ∂v \ , ∂xk 1 2 ∂x видим, что J = -J за счет равенства ( ∂ϕ , k ∂2ψ ∂xi∂xj \ ( ∂2ϕ i j = - ∂x ∂x , ∂ψ ∂xk \ ∀ϕ, ψ ∈ H2(Rd). ∓ Таким образом, T1 ∼= -ε±Nj (∇ ∂u ∂xj \ , a0∇v , а в силу уравнения (4.15) T1 ∼= -ε±Nj ∓( ∂u ∂xj , ρεh - v) = -ε±N ∓ · (∇u, ρεh - v). (4.28) Итак, изучены все слагаемые Ti в (4.20). Опуская несущественные слагаемые T3, T5 и учитывая «равенства» (4.23), (4.24), (4.28) для остальных, запишем представление (uε -u-εU ε, h) ∼= (ρεf, εV ε)-ε±N ∓·(ρεf, ∇v)+ε(u, ±N ∓·∇v)-ε±N ∓·(∇u, ρε h)+ε±N ∓·(∇u, v). (4.29) Здесь попарно взаимно уничтожаются слагаемые третье и пятое, а также второе и четвертое за счет того, что (u, ±N ∓ · ∇v)+ ±N ∓ · (∇u, v) = 0 и ±N ∓ · (ρεf, ∇v)+ ±N ∓ · (∇u, ρεh) = 0. Последнее равенство нулю становится очевидным, если учесть равенства ( ∂v \ j ρεf, ∂x = ( ∂v \ j (A0 + 1)u, ∂x , ( ∂u ∂xj \ , ρεh ( ∂u = ∂xj \ , (A0 + 1)v ( ∂v \ j = - (A0 + 1)u, ∂x . Таким образом, (4.29) существенно упрощается: (uε - u - εU ε, h) ∼= (ρεf, εV ε), (4.30) где, согласно (4.1) и (4.16), Uε(x) = Nε(x) · Sε∇u(x). Перейдем к записи равенства (4.30) в операторной форме. Поскольку uε = (Aε + ρε)-1ρεf, u = (A0 + 1)-1ρεf, εU ε = εNε · Sε∇(A0 + 1)-1ρεf =: εKε(ρεf ), εV ε = εNε · Sε∇(A0 + 1)-1ρεh =: εKε(ρεh), то (4.30) переписываем в виде ((Aε + ρε)-1ρεf - (A0 + 1)-1ρεf - εKερεf - ε(Kε)∗ρεf, ρεh) ∼= 0. Вспоминая соглашение о равенстве ∼= (см. абзац после (4.21)), выводим отсюда оценку ∗ρε(Aε + 1)-1ρεf - ρε(A0 + 1)-1ρεf - ερεKερεf - ερε(Kε)∗ρεf ∗ � Cε2∗f ∗, Kε = Nε · Sε∇(A0 + 1)-1 с константой C = const(d, λ, Q). Из (4.31) следует (2.17). Теорема 2.1 доказана. (4.31) Теперь вспомним, что решение Nj задачи на ячейке (2.7) принадлежит L∞(D). В таком случае корректно определены как элементы пространства L2(Rd) функции Nε · ∇u и Nε · ∇v, которые получаются из определенных в (4.1) и (4.16) функций Uε и V ε, если опускаем сглаживание. В «приближенном» равенстве (4.30) заменяем Uε и V ε на Nε · ∇u и Nε · ∇v соответственно, что приводит к допустимой погрешности в силу свойства (3.3) для сглаживания Sε, а также в силу эллиптических оценок для u и v. Отсюда выводятся последующие оценки с оператором Kε вместо Kε, в том числе (2.18). Теорема 2.2 доказана. L2 -АППРОКСИМАЦИИ РЕЗОЛЬВЕНТЫ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА В ПЕРФОРИРОВАННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 325 5. НЕКОТОРЫЕ ОБСУЖДЕНИЯ Сделаем ряд замечаний о постановке исходной и усредненной задач; о нашем методе доказательства и возможности обобщений; о родственных результатах, а также публикациях, которые подвигли написать данную статью. Замечание 5.1. В классических результатах (см. [1, 8, 12]) усреднения исходной задачи (2.4) характерно выписывать предельное (усредненное) уравнение без какой-либо осцилляции в правой части, т. е. в виде u0 ∈ H1(Rd, dx), - div(a0∇u0)+ u0 = f. (5.1) Такой принцип усреднения является отражением слабой сходимости мер (2.2): мера ρε dx, сосредоточенная на ε-периодическом перфорированном пространстве, имеет пределом меру Лебега dx при ε → 0. До работы [34] обычно, если предполагалась минимальная регулярность матрицы коэффициентов a(·) и правой части f в исходном уравнении, близость решений уравнений (2.4) и (5.1) доказывалась в виде сходимости lim ∗uε - u0∗L2 (Rd,ρ dx) = 0 (5.2) ε→0 ε без оценки скорости сходимости, которая имеется в (2.10). Доказательство сходимости (5.2) можно провести различными методами, например, используя компенсированную компактность, или двухмасштабную сходимость, или вариационный метод, близкий к методу Γ-сходимости. С другой стороны, среди классических результатов можно найти оценку погрешности усреднения вида ε ∗uε - u0∗L2 (Rd,ρ dx) � Cε, доказанную при повышенных предположениях о регулярности матрицы a(·), где константа C зависит от высоких соболевских норм ∗u0∗Hk , k ;;: 3. Эту оценку нельзя переписать в операторном виде. Замечание 5.2. Решения уравнений (2.5) и (5.1) близки друг другу при малых ε, например, они связаны слабой сходимостью в H1(Rd). В самом деле, вспомним, что решение уравнения (2.5) зависит (через правую часть уравнения) от ε, т. е. u = uε; при этом семейство uε равномерно ограниченно в H1(Rd). Действительно, по замыканию в интегральное тождество (2.6), где имеем в виду u = uε, можно подставить в качестве пробной функции само решение uε и получить энергетическое равенство. Тогда r | (a0∇uε · ∇uε + |uε 2) dx = (ρεf, uε) � ∗ρεf ∗∗uε∗ Rd (см. обозначения (3.7)), откуда ∗uε∗H1 (Rd) � c∗f ∗, c = const(λ, Q). Более того, uε --0 в H1(Rd), что легко установить предельным переходом в интегральном тождестве (2.6), где u = uε. При этом для правой части (2.6) будет наблюдаться сходимость Г Rd ρεfϕ dx → Г Rd 0 fϕ dx, ϕ ∈ C∞(Rd), loc поскольку ρε --±ρ∓ = 1 в L2 (Rd) по свойству среднего значения периодической функции (см., например, [8, гл. I, § 1]) и условию нормировки в (2.1). Замечание 5.3. В том случае, когда коэффициенты и правая часть в уравнении достаточно гладки, классический вариант задачи (2.4) формулируется как краевая задача в перфорированной области Qε = {x : ρε(x) = 1} с условием Неймана на границе «дыр», т. е. на границе ∂Qε, причем эта граница имеет ε-периодическую структуру, а задаваемое на ней условие Неймана содержит вектор конормали, естественно, тоже ε-периодический. А именно, классическая формулировка задачи (2.4) имеет вид - div(aε∇uε)+ uε = f в Qε, aε∇uε · νε = 0 на ∂Qε, (5.3) где νε - внешняя единичная нормаль к границе ∂Qε. Принятая в (2.4) обобщенная постановка краевой задачи в перфорированной области (в смысле соответствующего интегрального тождества) позволяет избежать рассмотрения сложного по структуре краевого условия из (5.3) и не упоминать вообще множество Qε. 326 С. Е. ПАСТУХОВА Замечание 5.4. Наша цель в данной работе - показать, что результаты работы [28] и их доказательство, соответствующим образом адаптированные, переносятся на случай уравнения в периодически перфорированной области. В [28] модифицированным методом первого приближения в версии из [34] доказана операторная L2-оценка погрешности усреднения с учетом корректора, имеющая порядок ε2, для эллиптического уравнения во всем пространстве. Такого сорта оценки получены eще в 2005 году в рамках более общих результатов независимо В. В. Жиковым [6], а также М. Ш. Бирманом и Т. А. Суслиной [4]. Авторы обеих работ использовали спектральный подход применительно к самосопряженным операторам, основанный на преобразовании Флоке-Блоха, которое ограничивает предложенные методы сугубо для периодических постановок. В последующие годы появились аналогичные оценки для несамосопряженных операторов (см. [22, 23, 32], где также в основе исследования лежит преобразование Флоке-Блоха, позволяющее сводить задачу во всем пространстве к задаче на ячейке). Долгое время оставался открытым вопрос, можно ли L2-оценки порядка ε2 получить методом из работ [5, 34]. Написание работы [28] мотивировано публикациями [16, 33], в которых изучается операторная L2-оценка с учетом корректора для эллиптических операторов с локально периодическими коэффициентами, при этом явно или неявно используется модифицированный метод первого приближения. Наша задача - в серии работ продемонстрировать возможности модифицированного метода первого приближения в версиях [5, 34] для доказательства операторных L2-оценок порядка ε2 в самых разных ситуациях. Помимо [28], см. к настоящему моменту публикации [29, 30], где охвачены несамосопряженные операторы, соответственно, с локально периодическими или периодическими неограниченными коэффициентами. При этом модифицированный метод первого приближения применялся в [29] в версии [5], а в [30] - в версии [34]. Замечание 5.5. Чтобы доказательство получилось нагляднее и проще для восприятия, мы ограничились в подробном изложении скалярным случаем. При этом рассмотрели уравнение диффузии в классической постановке с симметрической ε-периодической матрицей диффузии в перфорированном пространстве произвольной размерности d ;;: 2 с условием непроницаемости на границе «дыр». Возможны обобщения в разных направлениях, например, на операторы несамосопряженные или матричные. Особенно интересна для приложений задача теории упругости в перфорированном трехмерном пространстве со свободной от напряжений границей полостей. Эта задача изучена в [34] с точки зрения операторных оценок усреднения, имеющих порядок ε. Для указанных выше обобщений надо подключать к изложенным здесь идеям конструкции и соображения из опубликованных ранее работ, например, [11, 27, 34] и других. Кроме того, в [12, гл. I, § 4] показано существование необходимых для задачи теории упругости операторов продолжения, которые удовлетворяют оценкам типа (2.13)-(2.14), где в роли обычного градиента вектор-функции выступает симметрический градиент. Особенности скалярной несамосопряженной задачи разбираются в разделе 6. Замечание 5.6. Изучая классическое уравнение диффузии, в основном доказательстве мы не опирались на справедливый в скалярном случае принцип максимума и его следствия. Лишь в самом конце (при выводе теоремы 2.2) указаны упрощения, которые можно сделать в аппроксимациях на основе этого принципа. Таким образом, упомянутая в замечании 5.5 задача трехмерной теории упругости может быть исследована аналогично, как задача диффузии, и для нее справедлив аналог теоремы 2.1 с более сложным по структуре корректором. Хотя эта задача теории упругости самосопряженная, при анализе слагаемых, аналогичных Ti (см. доказательство в разделе 4), отбрасываемых по модулю равенства ∼= членов будет меньше. Как следствие, вклад в корректор от слагаемого, аналогичного T1, будет более существенным, чем в скалярном случае, изученном подробно в разделе 4. Здесь наблюдается тот же эффект, что и в несамосопряженном случае (см. раздел 6), а именно, «появление третьего члена в корректоре». В этой связи интересен приведенный в [3] конкретный пример плоской задачи теории упругости в слоистой среде, где просчитываются усредненный тензор и все корректоры. Для системы теории упругости принцип максимума не имеет места; как следствие, решение соответствующей задачи на ячейке (типа задачи (2.7)) не является, вообще говоря, ограниченной L2 -АППРОКСИМАЦИИ РЕЗОЛЬВЕНТЫ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА В ПЕРФОРИРОВАННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 327 функцией. Однако для аналогичной задачи теории упругости в размерности d = 2 ограниченность решения все-таки будет наблюдаться, но не по принципу максимума, а по свойству повышенной суммируемости градиента с показателем p > 2. Отметим, что это свойство - особенность задачи на ячейке, как в скалярном случае, так и в векторном, в любой размерности. Но только при d = 2 свойство повышенной суммируемости градиента дает ограниченность решения задачи на ячейке через теорему вложения Соболева (W 1,p(D) ⊂ C0,α(D) для некоторого α > 0, если p > d = 2). Таким образом, для двумерной системы теории упругости верны аналоги обеих теорем 2.1 и 2.2 со сглаживанием в корректоре и без него. 6. СЛУЧАЙ НЕСАМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА 0. Атрибуты усреднения в несамосопряженном случае. Рассмотрим задачу (2.4), когда 1периодическая измеримая вещественнозначная матрица a(·) не симметрична и удовлетворяет условию | λ|ξ 2 � aξ · ξ, aξ · η � λ-1 |ξ| |η| ∀ξ, η ∈ Rd (6.1) для некоторой константы λ > 0. Тогда оператор Aε в уравнении (2.4) несамосопряженный. Но по прежнему принципу определяются усредненная задача (2.6), задача на ячейке (2.7), усредненная матрица (2.9), и верны без какого-либо изменения L2-оценки (2.10) или (2.11). Отличия несамосопряженного случая от самосопряженного начинают проявляться на этапе L2-оценок с корректором: в (2.17) и (2.18) корректор строится с учетом несамосопряженности, вовлекает при своем построении большее число объектов, становясь более сложным по структуре. В данном разделе мы укажем, какие изменения возникают в формулировке основного результата и его доказательстве в несамосопряженном случае по сравнению с тем, что изложено для самосопряженного случая. Для этого необходимо ввести некоторые новые объекты, связанные с усреднением несамосопряженного уравнения. ε Пусть оператор A∗ - сопряженный к Aε. Сопряженным к (2.4) будет уравнение ε vε ∈ H1(Rd), A∗vε + ρεvε = ρεh, h ∈ L2(Rd), 1 (6.2) ε = - div(ρε aε (x)∇), aε (x) = a (ε x), A∗ ∗ ∗ ∗ - где a∗ - транспонированная к a матрица. В качестве усредненного для (6.2) берется уравнение 0 0 v ∈ H1(Rd), A∗v + v = - div (a0)∗∇v + v = ρεh, (6.3) где участвует сопряженный к A0 оператор A∗, имеющий матрицу (a0)∗, транспонированную к a0. Таким образом, (a∗)0 = (a0)∗, (6.4) т. е. коммутируют операции усреднения и перехода к сопряженной задаче. Подробное объяснение этого правила коммутирования в случае классической задачи усреднения (когда нет перфорации и ρ ≡ 1) можно найти в [8]. Тем не менее, введем прямой аналог задачи на ячейке (2.7) для сопряженного уравнения (6.2): N ∈ H ˜ j 1 per (D), divy ρ(y)a∗(y)(ej + ∇y N˜ j ) = 0, ±ρN˜ j ∓ = 0, j = 1,... , d. (6.5) Через решения задачи (6.5) формально находится усредненная матрица (a∗)0 для сопряженного уравнения (6.2), и для нее можно выписать формулы, аналогичные (2.9). Таким образом, в силу (6.4) имеем равенство Положим (a0)∗ej = ±ρa∗(ej + ∇N˜ j )∓, j = 1,... , d. (6.6) g˜j (y) := ρ(y)a∗(y) ( Nj (y)+ ej \ - (a0)∗ej, j = 1,... , d. (6.7) ∇ ˜ Благодаря (6.5) и (6.6) выполнены соотношения div g˜j (y) = 0, ±g˜j ∓ = 0. В дальнейшем используются энергетическая и эллиптическая оценки для решений уравнений (6.2) и (6.3): ∗vε∗H1 (Rd ) � c∗ρεf ∗, c = const(λ), (6.8) ∗v∗H2 (Rd) � c∗ρεf ∗, c = const(λ). (6.9) 328 С. Е. ПАСТУХОВА 1. Коррективы в L2-оценке порядка ε2. Повторим рассуждения раздела 4.2 с учетом того, что форма (4.13) участвует в интегральном тождестве для решения сопряженного уравнения (6.2), а именно, ε vε ∈ H1(Rd, ρεdx), (A∗ + ρε)vε = ρεh, h ∈ L2(Rd), (6.10) если это интегральное тождество, взять на пробной функции uε - u - εU ε. Соответствующее усредненное уравнение имеет вид 0 v ∈ H1(Rd), (A∗ + 1)v = ρεh, (6.11) и через его решение определяется H1-приближение к vε. Это будет функция v,ε(x)+ εV ε(x), где V ε(x) = N˜ε(x) · ∇v,ε(x), v,ε(x) = Sεv(x), (6.12) а вектор N˜ составлен из решений сопряженной задачи на ячейке (6.5). Выполнена оценка ∗vε - v,ε - εV ε∗H1 (Rd,ρ dx) � cε∗h∗L2 (Rd,ρ dx), c = const(d, λ, Q), (6.13) o ε которая есть аналог оценки (4.2). Цепочка равенств (4.20) начинается с равенства (6.10) (uε - u - εU ε, ρεh) ε = ((A∗ + ρε)vε, uε - u - εU ε) и далее продолжается без изменения. В итоге получаем ту же сумму из Ti, что стоит в конце цепочки (4.20). Слагаемые Ti изучаются аналогично, как раньше, но с использованием сопряженных операторов A∗, A∗, а также введенных выше функций N˜ j , g˜j , v, V ε (см. (6.5), (6.7)), (6.11), (6.12) o 0 и оценок (6.8), (6.9). Отдельного рассмотрения заслуживает лишь слагаемое T1, для которого представление (4.28) должно быть пересмотрено. С учетом несамосопряженного случая в качестве промежуточного представления получим (см. абзац после (4.27)): T1 ∼= -ε±N˜ kgj ∓·( ∂u ∂xj ∂v ∇ , ∂xk \ ( k j -ε±g˜ N ∓· ∇ ∂u , ∂xj ∂v ∂xk \ ( j -ε±N ∓ ∇ ∂u ∂xj \ , (a0)∗∇v . В этой сумме первые два слагаемые не компенсируют друг друга, как раньше. Здесь участвуют пары функций g˜k и gk, а также N˜ k и Nk, k = 1,... , d, в которых элементы, вообще говоря, не совпадают. Введем постоянные векторы и запишем ckj = ±Nj g˜k ∓, c˜jk = ±N˜ kgj ∓ (6.14) T1 ∼= -ε ( jk ∂u c˜ , ∇ ∂v \ ( § ε ckj ·∇ ∂u , ∂v \ ( § ε±Nj ∓ ∇ \ ∂u , (a0)∗∇v = ∂xj ( ∂3v ∂xk \ ( ∂xj ∂3u ∂xk \ ∂xj ( \ = ε u, c˜jk + ε ckj ,v 0 - ε±Nj ∓ ∂u ∇ , (a )∗∇v , i ∂xj∂xi∂xk i ( ∂u ∂xj∂xi∂xk ∂xj т. е. T1 ∼= ε(u, L˜v)+ ε(Lu, v) - ε±Nj ∓ ∇ ∂xj , (a0)∗∇v\, где введены дифференциальные операторы третьего порядка с постоянными коэффициентами 3 3 i L := ckj ∂ , ∂xj∂xi∂xk i L˜ := c˜jk ∂ ∂xj∂xi∂xk . (6.15) Собрав все существенные составляющие из представления (4.20), получим вместо (4.30), «равенство» (uε - u - εU ε, h) ∼= (ρεf, εV ε)+ ε (Lu, v)+ ε (u, L˜v\ , (6.16) которое перепишем в операторной форме. Вспомним, что 0 uε = (Aε + 1)-1ρεf, u = (A0 + 1)-1ρεf, v = (A∗ + 1)-1ρεh, Uε = Nε · Sε∇(A0 + 1)-1ρεf =: Kερεf, V ε = N˜ε · Sε∇(A∗ + 1)-1ρεh =: ˜ ρ h, и введем оператор 0 Kε ε L L := (A0 + 1)-1 ( + L˜∗\ (A0 + 1)-1, (6.17) L2 -АППРОКСИМАЦИИ РЕЗОЛЬВЕНТЫ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА В ПЕРФОРИРОВАННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 329 где = (ckj L + L˜∗ (6.15) jk \ ∂3 (6.18) i - c˜i ∂x ∂x ∂x j i k - дифференциальный оператор третьего порядка с постоянными коэффициентами. Тогда (6.16) дает ( \ ∼ (Aε + 1)-1ρεf - (A0 + 1)-1ρεf - εKερεf - ε( ˜ )∗ρ f - εLρ f, ρ h = 0. (6.19) Kε ε ε ε Вспоминая соглашение о равенстве ∼= (см. абзац после (4.21)), выводим из (6.19) оценку Kε ∗ρε(Aε + 1)-1ρεf - ρε(A0 + 1)-1ρεf - ερε(Kε +( ˜ )∗ + L)ρεf ∗ � Cε2∗f ∗, Kε Kε = Nε · Sε∇(A0 + 1)-1, ˜ = N˜ε 0 · Sε∇(A∗ + 1)-1 с константой C = const(d, λ, Q). Итогом наших рассмотрений в несамосопряженном случае является следующая теорема. Теорема 6.1. Справедлива оценка ∗ρε(Aε + ρε)-1ρε - ρε(A0 + 1)-1ρε - ερε(Kε +( ˜ )∗ + L)ρ ∗L2 (Rd) L2 d � Cε2, (6.20) Kε ε → (R ) Kε где Kε = Nε · Sε∇(A0 + 1)-1, ˜ = N˜ε 0 · Sε∇(A∗ + 1)-1, оператор L определен в (6.17), (6.18), (6.15); константа C зависит только от размерности d, постоянной эллиптичности λ из условия (6.1) и 1-периодической перфорированной области Q. Заметим, что коэффициенты операторов (6.15) вычисляются по формулам (6.14), а значит, определяются лишь решениями задач на ячейке (2.7) и (6.5). В скалярном случае решения Nj и N˜ j задач на ячейке (2.7) и (6.5) принадлежат L∞(D) в Kε силу обобщенного принципа максимума. Как следствие, в операторах Kε и ˜ можно опустить сглаживание, так что оценка (6.20) верна, если оператор Kε заменить на Kε = Nε · ∇(A0 + 1)-1, а Kε оператор ˜ заменить на K˜ε = N˜ε 0 · ∇(A∗ + 1)-1. 7. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММ О СГЛАЖИВАНИИ Доказательство леммы 3.3. Пусть для простоты обозначений r ϕ˜(x) := Sεϕ(x) = D ϕ(x - εω) dω, r ψ˜(x) := Sεψ(x) = D ψ(x - εσ) dσ. (7.1) Тогда надо оценить сверху форму I := (bεϕ˜, ψ˜). Стандартные преобразования дают r r I = Rd D - b( x )ϕ(x εω)ψ˜(x) dω dx = ε r r x r r \ = Rd D b( + ω)ϕ(x)ψ˜(x + εω) dω dx = ε Rd D 1 ( ˜ - ˜ x b( + ω)ϕ(x) ψ(x + εω) ψ(x) ε dω dx = r r = Rd D 1 x r b( + ω)ϕ(x) ε 0 ∇ψ˜(x + tεω) · εω dt dω dx = r r r = 0 Rd D ε b( x + ω)ϕ(x)∇ψ˜(x + tεω) · εω dω dx dt. Здесь использовали, во-первых, условие ±b∓ = 0 и свойство стационарности периодической функb ции: Г ( x + ω\ dω = ±b∓ для любого x и ε, следовательно, D ε r r x b( ε ⎛ ⎝ + ω)ϕ(x)ψ˜(x) dω dx = r r x ⎞ r b( ε + ω) dω⎠ ϕ(x)ψ˜(x) dx = ±b∓ϕ(x)ψ˜(x) dx = 0; Rd D Rd D Rd 330 С. Е. ПАСТУХОВА а во-вторых, представление 1 r ψ˜(x + h) - ψ˜(x) = 0 ∇ψ˜(x + th) · h dt. (7.2) Теперь вспомним определение ψ˜(x) в (7.1) и продолжим стандартные преобразования: 1 r r r I = 0 Rd D 1 r r r r r x b( ε + ω)ϕ(x)∇ψ(x - εσ + tεω) · εω dω dσ dx dt = D x = 0 Rd D D 1 r r r r x b( ε + ω + σ)ϕ(x + εσ)∇ψ(x + tεω) · εω dω dσ dx dt = = 0 Rd D D b( ε + ω + σ) (ϕ(x + εσ) - ϕ(x)) ∇ψ(x + tεω) · εω dω dσ dx dt = 1 r r r = 0 Rd D 1 r r x ⎛ 1 b( ε + ω + σ) ⎝ D 0 1 ⎞ ∇ϕ(x + sεσ) · εσ ds⎠ ∇ψ(x + tεω) · εω dω dσ dx dt = r = ε2 0 r r r r 0 Rd D D x b( ε + ω + σ) (∇ϕ(x + sεσ) · σ) ∇ψ(x + tεω) · ω dω dσ dx dt ds, где снова использовали свойство ±b∓ = 0 и интегральное представление для ϕ(x + εσ) - ϕ(x), аналогичное (7.2). Применяя к последнему многомерному интегралу неравенство Гельдера, получаем 1 1 r r r r r I2 � ε4 0 0 Rd D D 1 1 2 2 x |b( ε + ω + σ)| |∇ϕ(x + sεσ) · σ| dω dσ dx dt ds × (7.3) r r r r r × 0 0 Rd D D 2 |∇ψ(x + tεω) · ω| dω dσ dx dt ds, где оба интегральных множителя легко оцениваются, так что 2 2 2 L2 (Rd) I2 � ε4C±|b| ∓∗∇ϕ∗ Отсюда следует оценка (3.9). Лемма доказана. ∗∇ψ∗L2 (Rd) , C = const(d). (7.4) 0 Доказательство леммы 3.4. При выводе оценки (3.10) можно считать, что ϕ, ψ ∈ C∞(Rd), и, рассматривая осциллирующий множитель b = αβ, повторим стандартные преобразования формы I из предыдущего доказательства до этапа (7.3). Прежде чем применить неравенство Гельдера, вспомним, что b = αβ и распределим функции α и β в разные интегральные множители. Таким образом, получим вместо (7.3) неравенство 1 1 r r r r r I2 � ε4 0 1 0 Rd D D 1 2 2 x |α( ε + ω + σ)| |∇ϕ(x + sεσ) · σ| dω dσ dx dt ds × r r r r r x 2 2 × 0 0 Rd D D |β( ε + ω + σ)| |∇ψ(x + tεω) · ω| dω dσ dx dt ds, где оба интегральных множителя легко оценивается. В итоге вместо (7.4) доказываем неравенство 2 2 2 2 L2 (Rd ) I2 � ε4C±|α| ∓∗∇ϕ∗ ±|β| ∓∗∇ψ∗L2 (Rd ) , C = const(d), эквивалентное (3.10). L2 -АППРОКСИМАЦИИ РЕЗОЛЬВЕНТЫ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА В ПЕРФОРИРОВАННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 331 Доказательство леммы 3.5. Поступая аналогично, как при доказательстве леммы 3.3, записываем следующее представление, полагая b = αβ: r r r I := (αεSεϕ, βεSεψ) = Rd D D x b( ε )ϕ(x - εω)ψ(x - εσ) dω dσ dx = r r = Rd D r x b( + ω + σ)ϕ(x + εσ)ψ(x + εω) dω dσ dx. ε D Поскольку ψ(x + εω) = ψ(x)+ (ψ(x + εω) - ψ(x)), имеем I = I1 + I2, где r r I1 := r x r ε b( + ω + σ)ϕ(x + εσ)ψ(x) dω dσ dx = ±b∓ r ϕ(x + εσ)ψ(x) dσ dx = Rd D D r r Rd D = ±b∓ Rd D ϕ(x)ψ(x - εσ) dσ dx = ±b∓(ϕ, Sεψ) в силу стационарности периодической функции и по определению оператора сглаживания Sε (см. (3.1)), r r r I2 := Rd D D x - b( + ω + σ)ϕ(x + εσ)(ψ(x + εω) ψ(x)) dω dσ dx = ε 1 r r r = Rd D D x r b( + ω + σ)ϕ(x + εσ) ε 0 ∇ψ(x + tεω) · εω dt dω dσ dx в силу интегральной формулы (7.2). Используя те же соображения, что и при доказательстве ∓ леммы 3.4, можно утверждать, что I2 � Cε±α2 1/2 β 2 1/2 ± ∓ ∗ϕ∗L2 (Rd )∗∇ψ∗L2 (Rd ). Что касается I1, очевидна его запись в виде суммы I1 = ±b∓(ϕ, ψ) + ±b∓(ϕ, Sεψ - ψ), где второе ∓ β слагаемое имеет оценку ±b∓(ϕ, Sεψ - ψ) � Cε±α2 1/2 2 1/2 ± ∓ ∗ϕ∗ ∗∇ψ∗, C = const(d), по свойству сглаживания. Из полученных оценок следует (3.11). Лемма доказана.

About the authors

S. E. Pastukhova

Russian Technological University (MIREA)

Author for correspondence.
Email: pas-se@yandex.ru
Moscow, Russia

References

Supplementary files