РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНТУИЦИИ СТУДЕНТОВ ПРИ ОБУЧЕНИИ ОБРАТНЫМ ЗАДАЧАМ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Полный текст

В настоящее время успешно развивается теория обратных задач для диффе- ренциальных уравнений, являющаяся одной из научных областей современной прикладной математики. Большой вклад в ее развитие вносят работы А.В. Баева, П.Н. Вабишевича, А.О. Ватульяна, В.В. Васина, А.М. Денисова, С.И. Кабанихина, М.М. Лаврентьева, Г.И. Марчука, Д.Г. Орловского, А.И. Прилепко, В.Г. Романова, А.Н.Тихонова, В.А. Чеверды, В.Г. Чередниченко, В.А. Юрко, А.Г. Яголы, В.Г. Яхно и других авторов. С использованием методов теории обратных задач для диффе- ренциальных уравнений успешно исследуются разнообразные процессы и явле- ния, в том числе труднодоступные или недоступные для человека объекты и про-цессы различной природы, выявляются их причинно-следственные связи (см., например, [1-3; 5-7; 12; 20-22]).В связи с широким применением теории обратных задач для исследования прикладных задач в некоторых российских вузах для студентов физико-матема- тических и естественно-научных направлений подготовки преподаются специ- альные курсы, посвященные обратным задачам для дифференциальных уравне- ний. Среди таких вузов - Московский государственный университет им. М.В. Ло- моносова, Санкт-Петербургский государственный университет, Новосибирский национальный исследовательский государственный университет, Сибирский федеральный университет, Уральский государственный университет, Ростовский государственный университет и др. В зависимости от профессиональной направ- ленности подготовки студентов формируется содержание таких курсов по выбору.В процессе обучения студентов высших учебных заведений реализуются идеи развития их творческих способностей. Определенный вклад в развитие матема- тических творческих способностей студентов высших учебных заведений физи- ко-математических и естественно-научных направлений подготовки вносит пре- подавание обратных и некорректных задач (см., например, [1-4; 8; 10; 13-19]). В процессе такого обучения на семинарских и лабораторных занятиях студенты исследуют различные обратные задачи. От студентов требуется умение применять знания разнообразных методов прикладной и вычислительной математики, ко- торые им преподавались в учебных курсах математического анализа, функцио- нального анализа, векторного анализа, аналитической геометрии, алгебры, ин- тегральных уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений математической физики, оптимизационных методов, численных методов и в других учебных курсах.Учитывая прикладные аспекты и математические особенности обратных и некорректных задач, студенты должны самостоятельно реализовать на практике разнообразные творческие решения и подходы для того, чтобы решить конкрет- ную обратную задачу для дифференциальных уравнений. В процессе исследова- ния обратных задач для дифференциальных уравнений студентам приходится оперировать такими фундаментальными понятиями прикладной математики и вычислительной математики, как условная корректность математической моде- ли, причинно-следственные связи физических процессов и явлений, импульсные источники, инициирующие физические процессы, дискретизация математиче- ской модели, сходимость и устойчивость решения разностной обратной задачи и др.Самостоятельное исследование студентами разнообразных учебных обратных задач для дифференциальных уравнений на основе знаний в области теории и методологии обратных и некорректных задач, реализации не только известных методов прикладной и вычислительной математики, но и собственных подходов и идей способствует их творческому развитию и, в частности, развитию их мате- матической интуиции.В процессе преподавания теории обратных задач рассматриваются различные учебные обратные задачи, среди которых обратные задачи определения коэффи-циентов, правых частей линейных и нелинейных обыкновенных дифференци- альных уравнений; коэффициентные, граничные и эволюционные обратные за- дачи для дифференциальных уравнений в частных производных (одномерные и многомерные обратные задачи для гиперболических, параболических, эллипти- ческих, интегро-дифференциальных уравнений и других типов дифференциаль- ных уравнений в частных производных, рассматриваемые в различных функци- ональных пространствах); рассматриваются приближенные методы решения об- ратных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.В процессе обучения обратным задачам студенты используют разнообразные методы математической физики, с помощью которых могут быть исследованы как обратные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и обратные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных. В ре- зультате студенты осознают широту использования методов математической фи- зики в исследованиях прикладных математических задач. Доказывая сложные теоремы существования, единственности и условной устойчивости решения раз- нообразных обратных задач, они демонстрируют фундаментальные знания как в области теории и методологии обратных задач, так и в области методов мате- матической физики.В процессе обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений обращается внимание на нахождение их приближенных решений. При помощи методов вычислительной математики студенты учатся находить приближенные решения обратных задач как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для дифференциальных уравнений в частных производных. Студенты при- обретают умения и навыки применения сведений из теории разностных схем, разнообразных методов вычислительной математики, осознают широту их ис- пользования в исследованиях прикладных математических задач.Эффективность обучения обратным задачам для дифференциальных уравне- ний достигается в том числе реализацией междисциплинарных связей, которая обуславливается необходимостью интеграции как естественнонаучных, так и гу- манитарных знаний и позволяет сформировать у студентов систему фундамен- тальных знаний в области обратных задач, осмыслить их научно-познавательный и научно-образовательный потенциал, осмыслить гносеологические процессы в прикладной математике, развить математическую интуицию.На практических занятиях в качестве учебных заданий студентам можно пред- ложить, например, построить интегральное (интегро-дифференциальное) урав- нение для решения прямой задачи; доказать локальную теорему существования и единственности или теорему условной устойчивости решения обратной задачи; изложить идею нахождения приближенного решения обратной задачи; построить разностный аналог обратной задачи для дифференциального уравнения; постро- ить вычислительный алгоритм нахождения приближенного решения обратной задачи и проанализировать его свойства, доказать сходимость приближенного решения обратной задачи к точному решению и другие учебные задания; изло- жить идею доказательства корректности (условной корректности) решения об- ратной задачи для дифференциальных уравнений, а также другие учебные заданияили, например, по найденному решению обратной задачи сформулировать ло- гические выводы прикладного или гуманитарного характера (см., например, [8; 9; 11; 12; 23]).В процессе такого обучения студенты осмысливают корректность решения обратной задачи, анализируют целесообразность реализации математического метода решения обратной задачи, применяют математические знания для на- хождения решения обратной задачи, обнаруживают знания в области теории и практики исследования математических моделей, анализируют полученное ре- шение и формулируют логические выводы прикладного и гуманитарного харак- тера. При этом у студентов развивается научное мировоззрение, логическое, ал- горитмическое, информационное мышление, творческая активность, самостоя- тельность и сообразительность. Студенты приобретают умения и навыки применения знаний по многим физико-математическим дисциплинам, прове- дения анализа полученного решения обратной задачи и формулирования логи- ческих выводов прикладного характера. Решая обратные задачи для дифферен- циальных уравнений, студенты не только осваивают теорию и практику обратных задач, методологию исследования прикладных задач, приобретают новые знания в области прикладной и вычислительной математики, но и развивают математи- ческую интуицию.Наличие математической интуиции, базирующейся на фундаментальных зна- ниях в области прикладной и вычислительной математики, теории обратных и некорректных задач, опыте успешного исследования прикладных задач, дает воз- можность студентам реализовывать рациональные идеи, позволяющие успешно исследовать и находить решения разнообразных обратных задач. Раскроем смысл и содержание некоторых из таких рациональных идей.Гипотезы при решении обратной задачи для дифференциальных уравнений. При нахождении решения обратных задач для дифференциальных уравнений большую роль могут сыграть предположения о свойствах решения прямой задачи. Напри- мер, в постановке обратной задачи (в неоднородной части уравнения, в начальных или граничных условиях) имеются обобщенные функции, которые являются пе- риодическими функциями или четными функциями и т.д. Тогда на основе ана- лиза прикладной задачи может быть выписана структура решения прямой задачи, состоящая из сингулярной и регулярной частей. В дальнейшем, выделив сингу- лярную часть, формулируют обратную задачу для регулярной части решения, решение которой может быть успешно найдено.Полезные уточнения при исследовании обратной задачи для дифференциальных уравнений. Математическая модель обратной задачи определяется исследуемым объектом неоднозначно. Данный объект, очевидно, может моделироваться с раз- ной точностью, что дает возможность изменять и соответствующую постановку обратной задачи при дальнейшем исследовании. В математической постановке на основе логического анализа и математической интуиции прикладных аспектов исследуемого процесса могут быть полезные уточнения и допущения, например предположение о четности искомой функции, входящей в дифференциальное уравнение. Это допущение позволит в дальнейшем успешно исследовать обрат- ную задачу.Разумные аналогии при решении обратной задачи для дифференциальных урав- нений. В области обратных задач для дифференциальных уравнений, где утверж- дения часто имеют не столь однозначный характер, а достаточно высокая степень достоверности равносильна полной, разумная аналогия, подкрепленная другими рациональными соображениями, может служить доказательством. Таким путем часто удается распространять утверждения, справедливые для одномерных об- ратных задач, на двумерные, трехмерные и многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. При проведении таких аналогий важно отчетли- во представлять себе особенности, отличающие рассматриваемый случай от из- вестных аналогий; эта специфика может быть понятна на основе анализа модель- ных обратных задач.Контроль замкнутости полученной системы обратной задачи для дифференциаль- ных уравнений в ходе ее решения. Обратные задачи в большинстве своем являют- ся нелинейными, так как искомые функции или неизвестные параметры при- сутствуют в самих дифференциальных уравнениях нелинейным образом. В свя- зи с этим для исследования обратной задачи, как правило, строится замкнутая относительно искомых функций система уравнений обратной задачи. В дальней- шем эта система уравнений, чаще всего система интегральных или интегро-диф- ференциальных уравнений Вольтерра или Фредгольма исследуется методами математической физики.Анализ физических аспектов исследуемого процесса при численном решении об- ратной задачи для дифференциальных уравнений. В прикладном исследовании ма- тематическая модель обратной задачи представляет собой модель реального объ- екта. В свою очередь, при численном решении эта обратная задача заменяется разностной обратной задачей. Поэтому детальное исследование точной матема- тической обратной задачи дает сравнительно малую информацию о реальной картине. Здравый смысл и реальное истолкование результатов, разумный контроль позволяет избежать ошибочных последствий, а анализ ошибок окажется чрезвы- чайно поучительным для накопления интуиции в исследованиях обратных задач для дифференциальных уравнений. Необходимо формулировать корректную по- становку обратной задачи для дифференциальных уравнений, отчетливо различать гипотезы и доказательства, размытые и четкие понятия и т.д. Ослабление требо- ваний к строгости дедуктивных формулировок, рассуждений и доказательств по- зволяет в теории обратных задач для дифференциальных уравнений получать результаты, недостижимые средствами чистой математики, и дает возможность добывать полезную информацию о неизвестных свойствах объектов различной природы, опираясь на рациональные рассуждения.Роль прикидок в решении обратных задач для дифференциальных уравнений. Во многих случаях важные сведения можно извлечь из предварительного прикидоч- ного исследования математических соотношений обратной задачи. Это важная составляющая часть предстоящего исследования включает в себя упрощение ис- ходной математической модели обратной задачи в связи с предполагаемым ме- тодом исследования, получение предварительных сведений о самом решении обратной задачи. Прикидка решений может быть в ряде случаев получена с по- мощью рассмотрения наиболее грубых аппроксимаций уравнений обратной за- дачи или даже непосредственно из постановки обратной задачи.Знание, даже грубое, качественных и количественных характеристик искомо- го решения обратной задачи может помочь при выборе более точного метода, а также дать дополнительное средство контроля. Поэтому такие прикидки могут оказаться полезными не только на начальной стадии, но и на дальнейших стади- ях исследования обратной задачи. В ряде случаев исследований обратных задач в обобщенных постановках удается выделить сингулярную часть решения прямой задачи и переформулировать исходную обратную задачу для регулярной части решения прямой задачи, что приводит к существенному упрощению дальнейше- го исследования обратной задачи.Поиск неожиданностей при решении обратной задачи. При нахождении решения обратной задачи, очевидно, должно быть четкое представление о последователь- ности действий. Вначале необходимо исследовать свойства решения прямой за- дачи, а в дальнейшем - найти решение обратной задачи, доказать теоремы су- ществования, единственности и устойчивости. Это бесспорно облегчает иссле- дование обратной задачи и помогает организовать поиск ее решения. Но на практике лишь в редких случаях можно с самого начала точно предвидеть, какие из результатов полученного решения обратной задачи окажутся наиболее полез- ными в прикладном отношении. Некоторые из результатов исследования обрат- ной задачи неожиданно обнаруживаются лишь в процессе, иногда - в конце ис- следования, схему самого исследования в связи с этим приходится по ходу дела перестраивать. Более того, обычно в начале исследования обратной задачи име- ется лишь незначительное представление об исследуемом объекте. Поэтому раз- ностороннее обсуждение промежуточных и окончательных результатов может оказаться полезным, хотя и придает исследованию некоторую аморфность, раз- умная степень которой определяется на основании математической интуиции, аналогии и опыта.Таким образом, математическая интуиция помогает студентам осмыслить фи- зический смысл исследуемой прикладной задачи, выбрать удачный математиче- ский аппарат, наметить рациональный путь исследования математической моде- ли обратной задачи и в конечном счете успешно найти ее решение.

Об авторах

Виктор Семенович Корнилов

Московский городской педагогический университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: vs_kornilov@mail.ru

доктор педагогических наук, кандидат физико-математических наук, профессор, заместитель заведующего кафедрой информатизации образования

Шереметьевская ул., 29, Москва, Россия, 127521

Список литературы