Том 51, № (2013)

В настоящей работе рассматриваются локально минимальные и экстремальные сети в нормированных пространствах. Известно, что в случае евклидового пространства эти классы совпадают, и длина локально минимальной сети может быть найдена по координатам граничных вершин и направлениям граничных ребер (формула Максвелла). Более того, как показали Иванов и Тужилин [3], длина локально минимальной сети в евклидовом пространстве может быть найдена по координатам граничных вершин и структуре сети. В случае произвольной нормы не каждая локально минимальная сеть является экстремальной, и аналог упомянутой выше формулы имеет место только для экстремальных сетей, что является основным результатом настоящей работы. Кроме того, мы обобщаем формулу Максвелла на случай экстремальных сетей в нормированных пространствах и явно приводим нормирующие функционалы, фигурирующие в данной формуле, для некоторых классов нормированных пространств.

Данная работа посвящена граф-зацеплениям с многими компонентами и состоит из двух частей. В первой части работы мы классифицируем вершины меченого графа по их принадлежности компонентам граф-зацепления. На основе этой классификации мы строим инвариант графзацеплений. Этот инвариант показывает, что меченый второй граф Буше порождает нереализуемое граф-зацепление. Во второй части работы мы вводим понятие ориентированного граф-зацепления. Для ориентированного граф-зацепления мы определяем число закрученности и, нормируя с его помощью скобку Кауфмана, получаем инвариант ориентированных граф-зацеплений - полином Джонса.

В настоящей статье с помощью формулы Деревнина-Медных объема гиперболического тетраэдра получены явные интегральные формулы объема произвольных гиперболических октаэдров, обладающих mmmи 2|m-симметриями, в терминах определяющих их двугранных углов.

В настоящей работе мы приводим новые верхние оценки для хроматических чисел целочисленных, рациональных и некоторых других решеток. В частности, в работе доказано, что для каждого конкретного целого числа $d$ хроматическое число для $Z^n$ с критическим расстоянием $\sqrt{2d}$ имеет полиномиальный рост с ростом $n,$ причем показатель не превосходит $d$ (иногда эта оценка является точной). То же самое верно не только для случая евклидовых норм, но также и для любых $l_p$-норм. Кроме того, мы приводим конкретные оценки для малых размерностей, а также некоторые верхние оценки для хроматических чисел для пространств $Q_p^n,$ где через $Q_p$ мы обозначаем кольцо всех рациональных чисел, знаменатели которых не делятся на некоторое простое число.

В работе изучается относительно недавно построенное обобщение алгебраической Kтеории, в котором в качестве дополнительного параметра используется сбалансированный многогранник. Для четырехугольной пирамиды изучается соответствующая группа Стейнберга и вычисляются K-группы.