Dlina ekstremal'noy seti v normirovannom prostranstve: formula Maksvella

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

В настоящей работе рассматриваются локально минимальные и экстремальные сети в нормированных пространствах. Известно, что в случае евклидового пространства эти классы совпадают, и длина локально минимальной сети может быть найдена по координатам граничных вершин и направлениям граничных ребер (формула Максвелла). Более того, как показали Иванов и Тужилин [3], длина локально минимальной сети в евклидовом пространстве может быть найдена по координатам граничных вершин и структуре сети. В случае произвольной нормы не каждая локально минимальная сеть является экстремальной, и аналог упомянутой выше формулы имеет место только для экстремальных сетей, что является основным результатом настоящей работы. Кроме того, мы обобщаем формулу Максвелла на случай экстремальных сетей в нормированных пространствах и явно приводим нормирующие функционалы, фигурирующие в данной формуле, для некоторых классов нормированных пространств.

References

  1. Иванов А. О., Тужилин А. А. Разветвленные геодезические. Геометрическая теория локально минимальных сетей. - Эдвин-Меллен Пресс, 1999.
  2. Иванов А. О., Тужилин А. А. Теория экстремальных сетей. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.
  3. Иванов А. О., Тужилин А. А. Длина минимального дерева заданной топологии: обобщенная формула Максвелла// Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем. Мех. - 2010. - 3. - С. 7-14.
  4. Иванов А. О., Хонг В. Л., Тужилин А. А. Плоские сети, локально-минимальные и критические для манхэттенского функционала длины // Зап. научн. сем. ПОМИ. Геометрия и топология. - 2011. - 279, № 6. - С. 111-140.
  5. Ильютко Д. П. Локально минимальные сети в N -нормированных пространствах// Мат. заметки - 2003. - 74, № 5. - С. 656-668.
  6. Ильютко Д. П. Геометрия локально минимальных и экстремальных сетей в пространствах с нормами. - Дисс. на соискание степени кандидата физ.-мат. наук. - М.: МГУ, 2005.
  7. Ильютко Д. П. Геометрия экстремальных сетей на λ-нормированных плоскостях// Вестн. МГУ. Cер. 1. Матем. Мех. - 2005. - 4.- С. 52-54.
  8. Ильютко Д. П. Разветвленные экстремали функционала λ-нормированной длины// Мат. сб. - 2006. - 197, № 5. - С. 75-98.
  9. Brazil M., Thomas D. A., Weng J. F. Forbidden subpaths for Steiner minimum networks in uniform orientation metrics// Networks. - 2002. - 39. - С. 186-202.
  10. Brazil M., Thomas D. A., Weng J. F. Locally minimal uniformly oriented shortest networks// Disc. Appl. Math. J. - 2006. - 154. - С. 2545-2564.
  11. Du D.-Z., Gao B., Graham R. L., Liu Z.-G., Wan P.-J. Minimum Steiner trees in normed planes // Discrete Comput. Geom. - 1993. - 9. - С. 351-370.
  12. Gilbert E. N., Pollak H. O. Steiner minimal trees// SIAM J. Appl. Math. - 1968. - 16, № 1. - С. 1-29.
  13. Ivanov A. O., Hong V. L., Tuzhilin A. A. Planar Manhattan local minimal and critical networks // European J. of Combinatorics. - 2002. - 23, № 8. - С. 949-967.
  14. Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. Minimal networks. Steiner problem and its generalizations. - CRC-Press, 1994.
  15. Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. Branching solutions to one-dimensional variational problems. - World Scienti c, Singapore-New Jersey-London-Hong Kong, 2000.
  16. Lawlor G., Morgan F. Paired calibrations applied to soap lms, immisceble uids, and surfaces or networks minimizing other norms// Paci c J. Math. - 1994. - 166. - С. 55-83.
  17. Swanepoel K. J. The local Steiner problem in normed planes// Networks. - 2002. - 36. - С. 104-113.

Copyright (c) 2013 Bannikova A.G., Il'yutko D.P., Nikonov I.M.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies