Том 63, № 4 (2017): Дифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения

В полуплоскости $\{-\infty <x<+\infty \}\times \{0<y<+\infty \}$ рассматривается задача Дирихле для дифференциально-разностных уравнений вида $u_{xx}+{{\sum }^m}_{k=1}{a}_k{u}_{xx}(x+h_k,y)+u_{yy}=0$, где количество нелокальных членов уравнения m произвольно, а на их коэффициенты a1,…,am и параметры h1,…,hm, определяющие сдвиги независимой переменной x, не накладывается никаких условий соизмеримости. Единственное условие, накладываемое на коэффициенты и параметры изучаемого уравнения – отрицательность вещественной части символа оператора, действующего по переменной x.
Ранее было доказано, что при выполнении указанного условия (т.е. условия сильной эллиптичности соответствующего дифференциально-разностного оператора) рассматриваемая задача разрешима в смысле обобщенных функций (по Гельфанду–Шилову), построено интегральное представление решения формулой пуассоновского типа, установлена гладкость этого решения вне граничной прямой.
В настоящей работе исследуется поведение указанного решения при y→+∞. Доказывается теорема об асимптотической близости исследуемого решения и решения классической задачи Дирихле для дифференциального эллиптического уравнения (с той же самой граничной функцией, что и в исходной нелокальной задаче), определяемого следующим образом: в исходном дифференциально-разностном эллиптическом уравнении все параметры h1,…,hm полагаются равными нулю. Как следствие, устанавливается, что для исследуемых решений справедлив классический критерий стабилизации Репникова–Эйдельмана: решение стабилизируется при y→+∞ тогда и только тогда, когда среднее значение граничной функции на интервале (−R,+R) имеет предел при R→+∞.