Об отсутствии неотрицательных монотонных решений для некоторых коэрцитивных неравенств в полупространстве

Аннотация

В работе на основе метода нелинейной емкости проводится исследование вопроса об отсутствии неотрицательных монотонных решений для квазилинейного эллиптического неравенства вида Δpu≥uq в полупространстве в терминах параметров p и q.

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ Необходимые условия существования нетривиальных неотрицательных решений квазилинейных уравнений вида Au = uq и неравенств вида Au � uq, где A - некоторый эллиптический опера- + тор, в полупространстве RN представляют значительный интерес как сами по себе, так и в связи с априорными оценками решений краевых задач в ограниченных областях. Это связано с тем, что при масштабировании области последовательность решений соответствующих задач, вообще говоря, может сходиться к решению некоторой предельной задачи в полупространстве (см., например, [3]). При этом операторы A могут быть как коэрцитивными (оператор Лапласа Δ, оператор p-Лапласа Δp), так и антикоэрцитивными (противоположного знака). Целью исследования является нахождение диапазона значений q, при которых соответствующее + уравнение или неравенство в полупространстве RN не имеет нетривиальных неотрицательных решений. Первые результаты в этом направлении для дифференциальных неравенств с антикоэрцитивными операторами были получены А. Берестики, И. Капуццо Дольчетта и Л. Ниренбергом [4], N +1 доказавшими отсутствие решений неравенства -Δu � uq при 1 < q < N - 1 . Оптимальность этих результатов была показана И. Биринделли и Э. Митидиери [6]. Неравенства вида Au � uq с оператором Au = -Δpu, где Δpu := div(|Du|p-2Du), в полупространстве изучались М. Ф. БидоВерон и С. И. Похожаевым [5], а позднее - Л. Вероном и А. Порреттой [14]. Им принадлежат результаты об отсутствии решений в полупространстве с выколотой окрестностью нуля, а слеp довательно, и во всем полупространстве при p - 1 < q < qcr(p, n), где qcr(p, n)= p - 1+ β , а p,n βp,n - показатель роста сингулярных решений вблизи нуля, в явном виде полученный только при 3 - p + j(p - 1)2 +2 - p n = 2 (βp,2 = 3(p ). Следует отметить также работы Р. Филиппуччи [11] о - 1) критических показателях для полулинейных неравенств вида -div(uα|x|β Du) � |x|γuq во всем полупространстве, Э. Н. Дансера, И. Доу и М. Эфендиева [7] и Х. Зоу [15] об отсутствии решений Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2017 573 задачи Дирихле + + ( -Δpu = uq (x ∈ RN ), u(x)=0 (x ∈ RN ) (1.1) для нелинейного уравнения с оператором p-Лапласа в полупространстве, а также А. Фарины, Л. Монторо и Б. Шиунци [8-10] о монотонности существенно ограниченных решений той же задачи, из которой следуют утверждения об их отсутствии при значениях q, которые будут указаны ниже. Эллиптические задачи с сингулярными коэффициентами вблизи неограниченных множеств рассматривались, в частности, авторами настоящей работы в [12, 13]. Что касается неравенств с коэрцитивными операторами, нам известны лишь результаты во всем пространстве [1]. В настоящей работе исследуются необходимые условия существования нетривиальных неотрицательных решений эллиптического неравенства Δpu � uq в полупространстве. На основе метода нелинейной емкости [1, 2] такие условия получены в некотором подклассе монотонных функций. Отметим, что при p = 2 они совпадают с оптимальными условиями для оператора с противоположным знаком [6]. Буквой c в тексте обозначены различные положительные константы, зависящие от параметров задачи и, возможно, от условий роста, накладываемых на решение. Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки России (соглашение № 05.Y09.21.0013 от 19 мая 2017). Авторы благодарят рецензента за ценные замечания. 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНОГО РЕЗУЛЬТАТА + Обозначим RN = {x = (x1,..., xN ) ∈ RN : xN > 0}. Рассмотрим задачу + ( Δpu � uq (x ∈ RN ), + u(x) � 0 (x ∈ RN ). Будем понимать слабые решения задачи (2.1) в следующем смысле. (2.1) Определение 2.1. Слабым решением задачи (2.1) будем называть неотрицательную функцию u ∈ W 1,p loc (RN + ), удовлетворяющую интегральному неравенству r r - |Du|p-2(Du, Dϕ) dx � uqϕ dx R R N N + + для любой неотрицательной пробной функции ϕ ∈ C∞(RN ). 0 + Замечание 2.1. Методом аппроксимации можно показать, что класс слабых решений задачи (2.1) не изменится, если в качестве класса пробных функций рассматривать неотрицательные функции ϕ ∈ W 1,p(RN ). 0 + Замечание 2.2. Отметим, что на решения задачи (2.1) не накладываются граничные условия. Замечание 2.3. Слабые решения задач, рассматриваемых ниже, определяются аналогично. Далее будем рассматривать решения, удовлетворяющие условию u(x1,..., xN -1, xN ) � cu(x1,..., xN -1, xN + 2R) (2.2) + для любых (x1,..., xN ) ∈ RN и R > 0, где c > 0 - константа, не зависящая от (x1,..., xN -1, xN ) и от R. Замечание 2.4. В частности, для функций u(x1,..., xN -1, xN ), неубывающих по переменной xN , условие (2.2) выполняется с константой c = 1. Докажем следующую теорему. Теорема 2.1. Пусть p > 2N +2 и N +2 max{1,p - 1} < q � (N +1)(p - 1) . N - p +1 (2.3) loc Тогда задача (2.1) не имеет нетривиальных слабых решений u ∈ C1 + (RN ), удовлетворяющих условию (2.2) и монотонных по переменной xN , т. е. таких, что ∂u(x) ∂xN � 0 или ∂u(x) ∂xN + � 0 (x ∈ RN ). (2.4) Замечание 2.5. Частный случай условия (2.4), а именно требование монотонного неубывания решений, для некоторых квазилинейных антикоэрцитивных задач в полупространстве рассматривался А. Фариной, Л. Монторо и Б. Шиунци (см. [10]). В частности, ими было показано, что + если функция f : R1 + → R1 непрерывна по Липшицу, то условие (2.4) выполняется для решений задачи Дирихле + + ( -Δpu = f (u) (x ∈ RN ), u(x)=0 (x ∈ ∂RN ) (2.5) с |Du| ∈ L∞(RN ), откуда вытекает отсутствие решений частного случая этой задачи (1.1) c f (u)= uq при ⎧ p(p + 3) ⎪⎨ q > p - 1, если N � , p - 1 p( ) p +3 ⎪⎩ p - 1 < q < qcr(p, N ), если N > , p - 1 [(p - 1)N - p]2 + p2(p - 2) - p2(p - 1)N + 2p2j(p - 1)(N - 1) где qcr(p, N )= (N - p)[(p - 1)N . - p(p + 3)] Замечание 2.6. При p = 2 условие (2.3) совпадает с полученным в [4] условием отсутствия нетривиальных неотрицательных решений неравенства -Δu � uq, оптимальность которого была показана в [6]. loc Замечание 2.7. Условие u ∈ C1 + (RN ) вводится для упрощения формулировки и доказательства. Отсутствие решений может быть доказано и в более широком классе функций, удовлетворяющих некоторым условиям локальной интегрируемости. Результаты об отсутствии произвольных слабых решений задачи (2.1) нам неизвестны. 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2.1 Воспользуемся методом нелинейной емкости [1, 2]. Выберем семейство неотрицательных проб- N -1 ных функций ξλ ∈ C1(RN ) таких, что λ > 0 и ξR(x)= ТТ χR(xk ) · χR(xN - 3R) с R 0 причем χR(t)= k=1 ( 1 (|t| � R), (3.1) 0 (|t| � 2R), + |DξR(x)| � cR-1 (x ∈ RN ). (3.2) Умножим обе части (2.1) на uαξRxN , где α > 0, и проинтегрируем по частям. При этом будем использовать обозначение QkR = {(x1,..., xN -1): -kR � x1 � kR,..., -kR � xN -1 � kR}, k = 1, 2. Отметим, что в рассматриваемом случае пробная функция uαξRxN является допустимой даже для решений, обращающихся в 0, так как α > 0, в отличие от случая антикоэрцитивного неравенства. Используя монотонность подынтегральной функции uq+αxN по xN при любых фиксированных (x1,..., xN -1), после элементарных преобразований получим r r c uq+αxN dx � uq+αxN dx � Q2R×[0,4R] r Q2R×[2R,4R] r � uq+αξλ α-1 p λ RxN dx + α u R R N N + + |Du| ξRxN dx � (3.3) r r � uα|Du|p-1|Dξλ |xN dx - ∂u uα|Du|p-2 ξλ dx. R ∂xN R R R N N + + Применение параметрического неравенства Юнга с показателями p p - 1 и p к первому интегралу в правой части (3.3) дает r α r uq+αξλ α-1 p λ RxN dx + 2 u R R N N + + r |Du| ξRxN dx � r ∂u (3.4) � C(α) uα+p-1|Dξλ |pξ1-pxN dx - uα|Du|p-2 ξλ dx. R R ∂xN R R R N N + + Повторно применив параметрическое неравенство Юнга к первому интегралу в правой части (3.4) с показателями q + α и q + α , получим α + p - 1 1. r q - p +1 α r uq+αξλ 2. RxN dx + 2 u R R N N + + α-1|Du|pξλ xN dx � R r � C(α, λ) p(q+α) |DξR|- q-p+1 ξ λ - x dx r p(q+α) - q p+1 R N - uα|Du|p-2 ∂u ∂xN R ξλ dx := I1(R)+ I2(R). (3.5) R N + При λ > p(q + α) q - p +1 R N + интеграл I1(R) оценивается как Если ∂u(x) N +1 p(q+α) I1(R) � CR - q-p+1 → 0 при R → ∞. (3.6) ∂u(x) 0, то I (R) � 0. Если же � 0, то интеграл I (R) оценивается разными спосо- ∂xN � 2 ∂xN 2 бами в случаях 2N +2 < p < 2 и p > 2 (случай p =2 рассмотрен в [4]). N +2 Случай 2N +2 < p < 2. Первый способ. Используя неравенство Гельдера и интегрируя по частям, имее N +2 м r I2(R)= - ∂u r uα|Du|p-2 ξλ dx � ( uα - ∂u \p-1 ξλ dx = ∂xN R R R N N + + ∂xN R ⎛ ⎞p-1 r = c(α, p) 1+ \ / - α p 1 ∂u p-1 - ∂xN 1+ r R ⎝ ξλ dx � c(α, p) ⎜- α ∂u p-1 ∂xN ξλ dx⎟ R ⎠ RN (2-p) = R N + ⎛ r α λ ⎞p-1 R N + ⎛ r α λ ⎞p-1 = c(α, p) ⎜ u1+ p-1 ∂ξR dx⎟ RN (2-p) = c(α, p) ⎜ u1+ p-1 ∂ξR dx⎟ RN (2-p) � ⎝ ∂xN ⎠ R N + ⎝ ∂xN ⎠ R N + ⎛ r � c(α, p, q) ⎜ ⎝ R uq+αξλ xN ⎞ dx⎟ ⎠ α+p-1 q+α · RN (2-p)× R N + ⎛ (q+α)(p-1) r ∂ξλ (q+α-1)(p-1)-α α+p-1 ⎞ (q+α-1)(p-1)-α q+α × ⎜ R (ξλ xN )- (q+α-1)(p-1)-α dx⎟ � ⎝ ∂xN R ⎠ R N + 1 r � 4 u q+α R ξλ xN dx + c(α, p, q)R N [(2-p)(q+α)+(q+α-1)(p-1)-α]-(q+α+1)(p-1)-α q-p+1 , R N + где последнее слагаемое стремится к 0 при R → ∞ при α > 0 настолько малом, что показатель степени R в предыдущем неравенстве отрицателен (это имеет место при α = 0 в силу условия теоремы на параметры p, q и N ). Второй способ. Если в правой части (2.3) имеет место строгое неравенство, выберем β так, чтобы - - < β < 2q (N +1)(q 1) N - , (3.7) q(p - 2) и разобьем интеграл I2(R) на два интеграла: I2(R)= I1(R)+ I2(R)= p - 1 2 2 | | = r uα Du p-2 ∂u ξ - ∂xN R r dx - | | uα Du p-2 ∂u ξ ∂xN R dx � |D(u � - | β 1+ pα 1 )(x) <R r uα|Du|p-1 dx - |D(u r - |� 1+ pα 1 )(x) Rβ | | uα Du p-2 ∂u ξ ∂xN R dx. (3.8) |D(u - | β 1+ pα 1 )(x) <R |D(u - |� 1+ pα 1 )(x) Rβ 2 Оценка I1(R) следует непосредственно из (3.7): I1 2 (R) � cR N +β(p-1) → 0 при R → ∞. (3.9) Оценка I2(R). При ∂u ∂u � 0 это слагаемое неположительно. При 2N +2 � 0 и < p < 2 имеем 2 I2 2 (R) := |D(u ∂xN r - |� 1+ pα 1 )(x) Rβ ∂u r uα|Du| α p-2 ∂u ∂xN R ξλ dx � ∂xN r α N +2 � cRβ(p-2) up-1 ξλ dx � cRβ(p-2) λ ∂u up-1 ξ dx = |D(u r - |� α 1+ pα 1 )(x) Rβ ∂(u1+ p-1 ) ∂xN R r R N + α ∂ξR ∂xN R = cRβ(p-2) R N + r ∂xN α R ξλ dx = -cRβ(p-2) R N + ∂ξR u1+ p-1 r ∂xN α R ξλ-1 dx � ∂ξR � cRβ(p-2) u1+ p-1 ξλ-1 dx � cRβ(p-2)-1 u1+ p-1 xN ξλ-1 dx. ∂xN R R N + ∂xN R R N + Применяя к последнему интегралу из этой цепочки неравенство Юнга с показателями получим a = (q + α)(p - 1) , α + p - 1 1 1 + a a∗ = 1, I2 1 r q+α λ N +1+a∗(β(p-2)-2) 2 (R) � 4 u R N + ξRxN dx + cR . (3.10) В силу (3.7) при достаточно малых α имеем N +1+ a∗(β(p - 2) - 2) < 0. Комбинируя (3.5)-(3.10), приходим к 1 r 4 Q2R×[2R,4R] uq+αxN dx � cRN +1+a∗(β(p-2)-2) → 0 при R → ∞, (3.11) что с учетом (3.3) завершает доказательство теоремы в случае 1 < p < 2 при строгом неравенстве в правой части условия (2.3). Если же при 2N +2 < p < 2 в правой части (2.3) имеет место равенство, то, повторяя преды- N +2 дущие рассуждения с β = 2q - (N + 1)(q - 1) = - N , получаем в пределе откуда q(p - 2) r I := R N + p - 1 uq+αxN dx < +∞, r lim R→∞ r uq+αxN dx = lim R→∞ r uq+αxN dx - lim R→∞ uq+αxN dx = I - I = 0, QR×[2R,4R] и в силу условия (2.2) r uq+αxN dx = lim R→∞ QR×[0,4R] r uq+αxN dx � c lim R→∞ QR×[0,2R] r uq+αxN dx = 0, R + N QR×[0,2R] QR×[2R,4R] что влечет утверждение теоремы. Случай p > 2. В этом случае при ∂u ∂u � 0 имеем I (R) � 0, а при � 0 получим ∂xN 2 r ∂u r ∂u ∂xN I2(R)= - uα|Du|p-2 ξR dx = uα|Du|p-2 ξR dx = ∂xN ∂xN R N + p-2 R N + 1 r 1 r ∂u p-1 ∂u p-1 p-2 ∂u p-1 = uα|Du|p-2 R ξλ dx � R uα|Du|p-2+ p-1 ξλ dx, ∂xN R N + ∂xN R N + ∂xN и в силу неравенства Юнга c показателями p - 1 p - 2 и p - 1 α r α-1 p λ r α+p-2 ∂u 2-p λ I2(R) � 4 u |Du| ξRxN dx + c u ∂x x ξR dx = N N R R N N + + α r r ∂u = uα-1|Du|pξλ xN dx - c uα+p-2 x2-pξλ dx � 4 R ∂xN N R R R N N + + α r α-1 p λ 2-p r ∂ξ α+p-1 λ-1 � 4 u |Du| ξRxN dx + cR ξ u ∂x dx, R N R R N N + + откуда, вновь применяя неравенство Юнга с показателями q + α и q + α , будем иметь α + p - 1 q - p +1 α r α-1 p λ 1 r q+α λ I2(R) � 4 u R N + |Du| ξRxN dx + 4 u R N + q+α ξRxN dx+ (3.12) (2-p)(q+α) r α+p-1 ∂ξ q-p+1 λ- q+α +cR q-p+1 x- q-p+1 R ξ q-p+1 dx. N ∂xN R R N + Доказательство при q < (N + 1)(p - 1) N - p +1 завершается аналогично случаю 2N +2 < p < 2. При N +2 q = (N +1)(p - 1) N - p +1 получаем r uqξλ RxN dx < ∞ R N + и, следовательно, r supp DξR uqξλ RxN dx → 0 при R → ∞, (3.13) где supp DξR = ((Q2R \ QR) × [R, 5R]) ∪ (Q2R × ([R, 5R] \ [2R, 4R])). R Умножая первоe из неравенств (2.1) на ξλ xN , имеем r r uqξλ RxN dx � R R N N + + |Du| p-1 r λ |DξR|xN dx - R N + |Du| p-2 ∂u ∂xN ξλ dx. R (3.14) Применяя к первому интегралу в правой части (3.14) неравенство Гельдера, с учетом (3.12) получаем: r R |Du|p-1|Dξλ |xN dx = R N + ⎛ r r supp DξR ⎞ R |Du|p-1|Dξλ |xN dx � ⎛ 1 ⎞ p-1 p p r � ⎜ α-1 p λ ⎟ ⎜ (1-α)(p-1) λ p λ(1-p) ⎟ ⎝ u supp DξR |Du| ξRxN dx⎠ ⎝ u supp DξR |DξR| ξR xN dx⎠ � ⎛ � ⎜ r α-1 p λ ⎛ ⎞ p-1 p r ⎟ ⎜ q λ ⎞ (1-α)(p-1) pq ⎟ ⎝ u supp DξR |Du| ξRxN dx⎠ ⎝ u ξRxN dx⎠ × R N + q-(1-α)(p-1) ⎛ r pq × ⎜ λ q-(1-α)(p-1) ⎞ pq λ(1-p)(q+α-1) q-(1-α)(p-1) ⎟ ⎝ supp DξR |DξR| ξR dx⎠ � p-1 ⎛ ⎞ q (N +1)(q-p+1) r � cR q -p ⎜ ⎝ supp DξR R uqξλ xN dx⎟ , ⎠ т. е. ⎛ r (N +1)(q-p+1) r ⎞ p-1 q |Du|p-1|Dξλ |xN dx � cR q -p ⎜ uqξλ xN dx⎟ . (3.15) R ⎝ R ⎠ R R N supp Dξ + Второй интеграл в правой части (3.14) при ∂u ∂xN ∂u N � 0 неположителен, а при ∂x � 0, используя неравенство Гельдера и интегрируя по частям, имеем | | r Du p-2 ∂u ξ - ∂xN R r dx � ( ∂u - ∂xN \p-1 R ξλ dx � R N + ⎛ r ∂ξλ R N + ⎞p-1 ⎛ ⎞ p-1 q r � c(p) ⎜ u R dx⎟ RN (2-p) � c(p, q) ⎜ uqξλ x dx⎟ · RN (2-p)× ⎝ supp DξR ⎛ ∂xN ⎠ q ⎞ (q-1)(p-1) q ⎝ supp DξR R N ⎠ r ∂ξλ q-1 1 × ⎜ R (ξλ xN )- q-1 dx⎟ , ⎝ ∂xN R ⎠ откуда supp DξR r ⎛ (N +1)(q-p+1) r ⎞ p-1 q | | Du p-2 ∂u ξ ∂xN R R N + dx � cR q -p ⎜ ⎝ supp DξR R uqξλ xN dx⎟ ⎠ . (3.16) Комбинируя (3.14)-(3.16), получаем r ⎛ (N +1)(q-p+1) r ⎞ p-1 q uqξλ q -p ⎜ q λ ⎟ RxN dx � cR R N + ⎝ supp DξR u ξRxN dx⎠ , (3.17) где в силу (3.13) правая, а следовательно, и левая часть неравенства стремится к 0 при R →∞ и в случае q = (N + 1)(p - 1) , что завершает доказательство. N - p +1 Замечание 3.1. Пусть γ ∈ R. Рассмотрим задачу ( Δpu � (1 + xγ )uq (x ∈ RN ), N + (3.18) + u(x) � 0 (x ∈ RN ). Аналогично предыдущему результату доказывается Теорема 3.1. Пусть p > 2N + γ +2 и N + γ +2 max{p - 1, 1} < q � (N + γ +1)(p - 1) . N - p +1 (3.19) loc Тогда задача (3.18) не имеет неотрицательных нетривиальных слабых решений u ∈ C1 + (RN ), удовлетворяющих условию (2.2) и монотонных по переменной xN , т. е. таких, что выполняется неравенство (2.4). Рассмотрим задачу 4. ОБОБЩЕНИЕ НА СЛУЧАЙ СИСТЕМ НЕРАВЕНСТВ ⎧ Δpu � vq1 (x ∈ RN ), ⎪ ⎪⎨ Δqv � up1 + + (x ∈ RN ), N (4.1) Докажем следующую теорему. ⎪ u(x) � 0 (x ∈ R+ ), + ⎪⎩ v(x) � 0 (x ∈ RN ). Теорема 4.1. Пусть 2N +2 < p < 2, 2N +2 < q < 2, min{p ,q } > 1 и N +2 N +2 1 1 max{p1(q - 1)(q1 + 1), q1(p - 1)(p1 + 1)} > (N + 1)(p1q1 - (p - 1)(q - 1)). (4.2) Тогда задача (4.1) не имеет неотрицательных нетривиальных слабых решений (u, v) ∈ C1 N loc(R+ ), удовлетворяющих условию (2.2) для u, а также аналогичному условию для v и монотонных по переменной xN , т. е. таких, что выполняется неравенство (2.4) для u и соответствующее неравенство для v. R Доказательство. Умножая первоe из неравенств (4.1) на uαξλ xN , аналогично (3.5) получаем α r r vq1 uαξλ α-1 p λ RxN dx + 2 u R R N N + + r |Du| ξRxN dx � r ∂u (4.3) � C(α) uα+p-1|Dξλ |pξ1-pxN dx - uα|Du|p-2 ξλ dx. R R ∂xN R R R N N + + Применим к первому интегралу в правой части (4.3) неравенство Гельдера: r uα+p-1|Dξλ p 1-p R| ξR xN dx � R N + α+p-1 ⎛ ⎞ 1 p -α-p+1 ⎛ � ⎜r p1 λ ⎞ p1 r ⎟ ⎜ pp1 λ p1-α-p+1 p1 λ((1-p)(p1+1)-α) p1-α-p+1 ⎟ ⎝ u ξRxN dx⎠ R N + ⎝ |DξR| R N + ⎛ ξR xN ⎠ ⎞ α+p-1 p1 dx � (4.4) � cR 1 (N +1)(p1-(1-α)(p-1)) r pp1 - ⎜ ⎝ R up1 ξλ xN dx⎟ . ⎠ R N + Второй интеграл в правой части (4.3) при ∂u ∂xN ∂u N � 0 неположителен, а при ∂x � 0, используя неравенство Гельдера и интегрируя по частям, имеем | | r uα Du p-2 ∂u ξ - ∂xN R r dx � α ( ∂u u - ∂xN \p-1 R ξλ dx = R R N N + + 1+ \ r / - α p 1 ∂u p-1 λ ⎛ α 1+ r ∂u p-1 λ ⎞p-1 N (2 p) = c(α, p) R N + ⎛ - ∂xN ⎝ R ξR dx � c(α, p) ⎜- R N + ⎞p-1 ∂xN ⎛ ξ dx⎟ ⎠ R - � ⎞p-1 r α λ r α λ � c(α, p) ⎜ u1+ p-1 ∂ξR dx⎟ RN (2-p) � c(α, p) ⎜ u1+ p-1 ∂ξR dx⎟ RN (2-p) � ⎝ ∂xN ⎠ ⎝ ∂xN ⎠ R R N N + + ⎛ r � c(α, p, p1) ⎜ ⎝ R up1 ξλ xN ⎞ dx⎟ ⎠ α+p-1 p1 · RN (2-p)× R N + ⎛ p1(p-1) r ∂ξλ (p1-1)(p-1)-α α+p-1 ⎞ (p1-1)(p-1)-α p1 × ⎜ R (ξλ xN )- (p1-1)(p-1)-α dx⎟ , ⎝ ∂xN R ⎠ R N + откуда r ⎛ (N +1)(p1-(1-α)(p-1)) r ⎞ α+p-1 p1 | | uα Du p-2 ∂u ξ ∂xN R R N + dx � cR pp1 -1 ⎜ ⎝ R N + R up1 ξλ xN dx⎟ ⎠ . (4.5) Комбинируя (4.3)-(4.5), получаем r α r vq1 uαξλ RxN dx + 2 u R R N N + + α-1|Du|pξλ xN dx � R α+p-1 ⎛ (N +1)(p1-(1-α)(p-1)) r ⎞ p1 (4.6) Аналогично � cR pp1 -1 ⎜ ⎝ R N + R up1 ξλ xN dx⎟ . ⎠ α r r up1 uαξλ RxN dx + 2 v R R N N + + α-1|Dv|qξλ xN dx � R α+q-1 ⎛ (N +1)(q1-(1-α)(q-1)) r ⎞ q1 (4.7) � cR qq1 -1 ⎜ ⎝ R N + R vq1 ξλ xN dx⎟ . ⎠ R Далее, умножая первоe из неравенств (4.1) на ξλ xN , имеем r r vq1 ξλ RxN dx � R R N N + + |Du| p-1 r λ |DξR|xN dx - R N + |Du| p-2 ∂u ∂xN ξλ dx. R (4.8) Применяя к первому интегралу в правой части (4.8) неравенство Гельдера, с учетом (4.6) получаем: r R |Du|p-1|Dξλ |xN dx � R N + ⎛ r ⎛ 1 ⎞ ⎞ p-1 p p r � ⎜ α-1 p λ ⎟ ⎜ (1-α)(p-1) λ p λ(1-p) ⎟ ⎝ u |Du| ξRxN dx⎠ ⎝ u R R N N + + |DξR| ξR xN dx⎠ � ⎛ � ⎜r α-1 p λ ⎛ ⎞ p-1 p r ⎟ ⎜ p1 λ ⎞ (1-α)(p-1) pp1 ⎟ ⎝ u |Du| ξRxN dx⎠ R N + ⎝ u ξRxN dx⎠ × R N + p -(1-α)(p-1) ⎛ λ r pp1 ⎞ 1 λ(1-p)(p1+α-1) pp1 × ⎜ p1-(1-α)(p-1) p1-(1-α)(p-1) ⎟ ⎝ |DξR| ξR R N + ⎛ ⎠ � ⎞ p-1 p1 � cR p (N +1)(p1-p+1) r p1 - ⎜ ⎝ R up1 ξλ xN dx⎟ , ⎠ т. е. r R N + ⎛ (N +1)(p1-p+1) r ⎞ p-1 p1 |Du|p-1|Dξλ |xN dx � cR p1 -p ⎜ up1 ξλ xN dx⎟ . (4.9) R ⎝ R ⎠ R R N N + + Второй интеграл в правой части (4.8) при ∂u ∂xN ∂u N � 0 неположителен, а при ∂x � 0, используя неравенство Гельдера и интегрируя по частям, имеем | | r Du p-2 ∂u ξ - ∂xN R r dx � ( ∂u - ∂xN \p-1 R ξλ dx � R N + ⎛ r ∂ξλ R N + ⎞p-1 ⎞ ⎛ p-1 p1 r � c(p) ⎜ u R dx⎟ RN (2-p) � c(p, p ) ⎜ up1 ξλ x dx⎟ · RN (2-p)× ⎝ ∂xN ⎠ R N + 1 ⎝ R N ⎠ R N + ⎛ p1 r ∂ξλ p1-1 1 ⎞ (p1-1)(p-1) p1 × ⎜ R (ξλ xN )- p1-1 dx⎟ , ⎝ ∂xN R ⎠ R N + откуда r ⎛ (N +1)(p1-p+1) r ⎞ p-1 p1 | | Du p-2 ∂u ξ ∂xN R R N + dx � cR p1 -p ⎜ ⎝ R N + R up1 ξλ xN dx⎟ ⎠ . (4.10) Комбинируя (4.8)-(4.10), получаем r ⎛ (N +1)(p1-p+1)) r ⎞ p-1 p1 vq1 ξλ p1 -p ⎜ p1 λ ⎟ Аналогично, RxN dx � cR R N + r (N +1)(q1-q+1) ⎝ u ξRxN dx⎠ R N + ⎞ ⎛ q-1 q1 r . (4.11) up1 ξλ q1 -q ⎜ q1 λ ⎟ RxN dx � cR R N + ⎝ v ξRxN dx⎠ R N + . (4.12) Подставляя (4.11) в (4.12) и обратно, после упрощения получим r up1 ξλ RxN dx � cR R N + r - N +1 p1(q-1)(q1+1) p1q1-(p-1)(q-1) , q1(p-1)(p1+1) vq1 ξλ RxN dx � cR R N + N +1- p1q1-(p-1)(q-1) . Устремляя R → +∞, при условиях теоремы получаем противоречие, которое завершает доказательство. Замечание 4.1. Для системы неравенств ⎧ Δpu � (1 + xN )γvq1 (x ∈ RN ), ⎪ ⎪ Δqv � (1 + xN ) u + (x ∈ R+ ), ⎨ δ p1 N N (4.13) ⎪ u(x) � 0 (x ∈ R+ ), + ⎪⎩ v(x) � 0 (x ∈ RN ), где γ ∈ R, δ ∈ R, аналогичным образом доказывается Теорема 4.2. Пусть 2N + γ +2 < p < 2, 2N + δ +2 < q < 2, min{p ,q } > 1 и N + γ +2 N + δ +2 1 1 max{p1(q - 1)(q1 + γ + 1), q1(p - 1)(p1 + δ + 1)} > (N + 1)(p1q1 - (p - 1)(q - 1)). (4.14) Тогда задача (4.13) не имеет неотрицательных нетривиальных слабых решений (u, v) ∈ C1 N loc(R+ ), удовлетворяющих условию (2.2) для u, а также аналогичному условию для v и монотонных по переменной xN , т. е. таких, что выполняется неравенство (2.4) для u и соответствующее неравенство для v.