Asymptotic Properties of Solutions of Two-Dimensional Differential-Difference Elliptic Problems

Full Text

ВВЕДЕНИЕ Теория дифференциально-разностных (и, более широко - функционально-дифференциальных) эллиптических уравнений в частных производных в настоящее время активно развивается как в теоретическом плане, так и в плане многочисленных приложений. Для задач в ограниченных областях глубокое и полное изложение указанной теории (а также тесной связанной с ней теории нелокальных задач для эллиптических дифференциальных уравнений) можно найти, например, в [3, 14, 16-18, 23] (см. также имеющуюся там библиографию). Задачи в неограниченных областях к настоящему времени изучены в меньшей степени. В настоящей работе рассматривается следующая задаче Дирихле для модельного дифференциально-разностного сильно эллиптического уравнения в полуплоскости: m uxx + '\; akuxx(x + hk, y)+ uyy = 0, x ∈ (-∞, +∞), y ∈ (0, +∞), (1) k=1 u y=0 = u0(x), x ∈ (-∞, +∞), (2) Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ по Программе повышения конкурентоспособности РУДН «5-100» среди ведущих мировых научно-образовательных центров на 2016-2020 гг., а также при поддержке гранта Президента Российской Федерации НШ-4479.2014.1 и гранта РФФИ 17-01-00401. Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2017 678 где коэффициенты ak и hk, k = 1, m, - вещественные параметры, а начальная функция u0 непрерывна и ограничена. Отметим, что в классическом случае эллиптических дифференциальных уравнений такие задачи корректно разрешимы в естественных (и достаточно широких) классах краевых функций (см., например, [2, 7]). В то же время для качественных свойств их решений имеет место принципиальная (сравнительно с задачами в ограниченных областях) новизна: возникают эффекты, характерные, вообще говоря, для параболического случая (см. [5, 19]). Из [22] известно, что, если существует такая положительная постоянная C, что на всей вещественной оси выполняется неравенство m 1+ '\; ak cos hkξ ) C (3) k=1 (ср. с условием сильной эллиптичности уравнения (1) в [23, §9]), то задача (1)-(2) разрешима в смысле обобщенных функций (согласно определению [1, §10]), а ее решение является классическим в полуплоскости R1 ×(0, +∞) и представляется следующим образом: где u(x, y)= r∞ +∞ 1 r π E(x - ξ, y)u0(ξ)dξ, (4) -∞ E(x, y)= 0 e-yG1(ξ) cos [xξ - yG2(ξ)] dξ, (5) G1(ξ)= ξ ϕ(ξ)+a(ξ)+1 , G2(ξ)= ξ 2 , ϕ(ξ) - a(ξ) - 1 2 1 m m ϕ(ξ)= r 2 (ξ)+ b (ξ)+ 2a(ξ)+1 , a(ξ)= '\; a cos h ξ, b(ξ)= '\; a sin h ξ. a2 2 k k k=1 k k k=1 В настоящей работе исследуется поведение найденного решения при неограниченном возрастании y. Доказывается теорема о его (асимптотической) близости к решению аналогичной задачи для некоторого эллиптического дифференциального уравнения и устанавливается необходимое и достаточное условие его стабилизации, заключающееся в существовании предела среднего значения краевой функции задачи. Отметим, что сходство с качественными свойствами решений параболических уравнений, характерное для классической теории, имеет место и в изучаемом неклассическом (а именно, нелокальном) случае: теоремы о близости и стабилизации решений, полученные в настоящей работе, аналогичны соответствующим результатам для дифференциально-разностных параболических уравнений (см. [8-10, 21]). Отметим также, что никаких условий соизмеримости сдвигов, содержащихся в нелокальных членах исследуемого уравнения, не накладывается. Как известно (см., например, [6, 15, 18, 20] и имеющуюся там библиографию), для теории нелокальных задач и функционально-дифференциальных уравнений разница между случаем, когда имеют место только целочисленные или соизмеримые сдвиги, и случаем, когда сдвиги несоизмеримы, принципиальная: даже в ограниченных областях во втором случае возникают качественно новые трудности (связанные, в частности, с нарушением гладкости решений, проверкой условий сильной эллиптичности дифференциальноразностных операторов, неустойчивостью этих условий относительно возмущений сдвигов), не имеющие места в первом случае. Таким образом, в настоящей работе задача рассматривается в максимально общей постановке. 69. ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЯ ПРИ y → +∞ Зафиксируем произвольное вещественное x0 и применим в (4) замену переменной η = Получим, что x0 - ξ . y y u(x0, y)= π +∞ r E(yη, y)u0(x0 - yη)dη. -∞ Функцию yE(yη, y) можно представить в виде r∞ y e-yG1(ξ) cos [yξη - yG2(ξ)] dξ = y 0 ∞ r e-yξ 0 / ϕ(ξ)+a(ξ)+1 2 cos г yξη - yξ ϕ(ξ) § a(ξ) 2 § 1 l dξ, что после замены переменных yξ = z дает следующее равенство: ∞ r z z г 1 ( \ ( \ l - ϕ √ y yE(yη, y)= e 2 0 y z +a +1 cos z - zη √ 2 z z ϕ y - a y - 1 dz. Если в правой части последнего равенства перейти (формально) к пределу при y → +∞ под знаком интеграла, то получим r∞ √ z√a0+1 z=+∞ √ e-z a0+1 cos zηdz = e- = a0 +1 , 0 η2 + a + 1 0 z=0 m η2 + a0 +1 где через a0 обозначена постоянная '\; ak ; отметим, что a0 +1 ) C (для доказательства этого k=1 факта достаточно положить ξ =0 в (3)). Таким образом, формальный переход к пределу под знаком интеграла приводит к (поточечному) предельному соотношению ⎡ √a +∞ ⎤ 0 +1 u (x yz) lim ⎣u(x, y) - r 0 - dz⎦ = 0. (1.6) y→+∞ π z2 + a0 +1 -∞ Перейдем к обоснованию указанного предельного перехода. Докажем следующее утверждение: Теорема 1.1. Предельное соотношение (1.6) выполняется для любого вещественного x. Доказательство. При произвольном фиксированном вещественном x0 рассмотрим разность +∞ √a0 +1 r u0(x0 - yz) dz = (1.7) u(x0, y) - π z2 + a0 +1 -∞ +∞ y r = E(yη, y)u0(x0 - yη)dη - √ ∞ + a0 +1 r u0(x0 - yη) dη. π π -∞ -∞ η2 + a0 +1 Используя определение функции E , приводим эту разность к виду +∞ ∞ z z г 1 l - √ 2 1 r r z π u0(x0 - yη) e -∞ 0 ϕ y +a y +1 cos z - zη √ 2 ( z \ ϕ y ( z \ - a y - 1 dzdη- √ ∞ + a0 +1 r u0(x0 - yη) dη = - π η2 + a0 +1 -∞ +∞ ⎡ ∞ z z г 1 √ l ⎤ 3. r r = u0(x0 - yη) ⎣ z e- √2 ϕ y +a y +1 cos z zη - √ ( z \ ϕ ( z \ - a - 1 dz - a0 +1 ⎦dη. π -∞ 0 4. y y η2 + a0 +1 Второй сомножитель подынтегральной функции (в интеграле по переменной η) равен r∞ 0 z 2 e- √ ϕ y z +a z y +1 г cos zη z 1 - √2 ϕ ( z \ y ( z \ - a y l e 1 -z√a0+1 - - \ cos zη dz = r∞ z z z г z 1 √ \ ( z \ l \ = e- √2 0 ϕ y +a y +1 cos zη cos √ 2 ( z ϕ y - a y - 1 - e-z a0+1 cos zη dz+ r∞ z z z г z 1 \ ( z \ l 2 + e- √ 0 ϕ y +a y +1 sin zη sin √ 2 ( z ϕ y - a y - 1 dz. (1.8) Докажем, что он стремится к нулю при y → +∞ равномерно по η. Абсолютная величина второго интеграла в последнем выражении не превосходит ∞ r z 2 e- √ 0 ϕ y z +a z y +1 sin г z 1 √2 ϕ ( z \ y ( z \ - a y l - 1 dz (1.9) в силу условия сильной эллиптичности 1 + a(ξ) ) C для любого вещественного ξ. С другой стороны, функция ϕ(ξ) может быть представлена в виде r 2 1+ a(ξ) + b2(ξ), а значит, она тоже ограничена снизу постоянной C. Отсюда вытекает, что выражение (1.9) ограничено сверху выражением r∞ √ г z 1 ( z \ ( z \ l √ 1 r∞ 1 ( z \ ( z \ e- Cz - Cz sin √2 0 ϕ y - a y 2 - 1 dz � √ e 0 z ϕ y - a y - 1 dz. Чтобы оценить последнее подкоренное выражение, представим разность ϕ (ξ) - a(ξ) - 1 в виде 1 (r 1 \ (r \ a2(ξ)+ b2(ξ)+ 2a(ξ)+1 2 - a(ξ) - 1 r a2(ξ)+ b2(ξ)+ 2a(ξ)+1 2 + a(ξ)+1 1 = 2 a2(ξ)+ b2(ξ)+ 2a(ξ)+1 b2(ξ) = r + a(ξ)+1 1 . 2 a2(ξ)+ b2(ξ)+ 2a(ξ)+1 + a(ξ)+1 Знаменатель последней дроби равен ϕ (ξ)+a(ξ)+1, что, как мы только что выяснили, ограничено снизу постоянной 2C. Таким образом, последний интеграл не превосходит 1 r∞ √ ( z \ ⎛ r 1 A r∞⎞ √ e- Czz b dz = √ + d=ef I1,A(y)+ I2,A(y), (1.10) 2 C y 0 2 C ⎝ ⎠ 0 A где A - положительный параметр. Пусть ε > 0. Тогда в силу сходимости интеграла m r∞ ze- 0 √ Cdz и ограниченности функции b ε 2 (например, постоянной '\; |ak |) существует такое положительное A, что |I2,A(y)| < k=1 для любого положительного y. Зафиксируем найденное A и найдем такое положительное y0, что неравенство 1 ( z \ ⎛r∞ √ ⎞- √ b � 2ε C ⎝ y 0 ze- Czdz⎠ ∞ выполняется для любого y из интервала (y0, + ) и любого z из интервала (0, A). Таким образом, ε |I1,A(y)| < 2 для любого y из интервала (y0, +∞). Тем самым, в силу произвольности выбора положительного ε, доказана равномерная (относительно η ∈ R1) сходимость к нулю второго слагаемого выражения (1.8) при y → +∞. Теперь оценим его первое слагаемое r∞ 0 z 2 e- √ ϕ y z +a z y +1 cos г z 1 √2 ϕ ( z \ y ( z \ - a y l \ e 1 -z√a0+1 - - cos zηdz. Разобьем этот интеграл на два слагаемых аналогично (1.10). Оценка второго из этих слагаемых (т. е., интеграла по бесконечному промежутку) ничем не отличается от случая (1.10), поскольку имеем два интеграла, в каждом из которых один из сомножителей подынтегральной функции ограничен, а интеграл от другого сомножителя сходится. Чтобы оценить первое слагаемое (т. е., интеграл по конечному промежутку), отметим, что для любого вещественного η абсолютная величина этого слагаемого не превосходит r∞ 1 z z √ l г z z 1 ( \ ( z \ l √ - 2 z √ ϕ y e 0 +a y +1- a0+1 cos √2 ϕ y - a y - 1 - 1 e-z a0+1dz, (1.11) и используем полученное выше представление разности ϕ (ξ) - a(ξ) - 1. Получим, что модуль аргумента косинуса не превосходит A ( z \ m m A ), |akhk | z √ b = A '\; a hkz y sin � k=1 . 2 C y C √ k 2 k=1 C y √ 2 г z 1 ( z \ ( z \ l Значит, найдется такое положительное y1, что, если y ) y1, то cos √2 ϕ y - a y - 1 принадлежит интервалу (1 - /ε/2A, 1+ /ε/2A ) для любого z из промежутка интегрирования (напомним, что в данном случае промежуток интегрирования конечен). Далее, чтобы оценить (первую) подынтегральную экспоненту, представим ее показатель в виде ⎡г ϕ z + a z +1 ⎤ -z√a0 +1 ⎢ ⎥ y y - 1 ⎣ 2(a0 + 1) ⎦ и рассмотрим числитель последней дроби. Он равен 1 ra2 ( z \ + b2 ( z \ + 2a ( z \ +1 2 + a ( z \ +1 = г y y y m y h z \2 m h z \2 m h z ( z \ = '\; ak cos k y k=1 + '\; ak sin k y k=1 +2 '\; ak cos k y k=1 +1 + a y + 1. Выбрав y достаточно большим, можно сделать величину 1 A max |h | настолько малой, чтобы y k=1,m k каждая величина cos hkz y была сколь угодно близка к единице (а каждая величина sin hkz - y к нулю) на всем промежутке интегрирования. Тогда для указанных y и вся рассматриваемая дробь сколь угодно близка к единице на всем промежутке интегрирования. Теперь выберем такое положительное y2, что, если y ) y2, то ⎡/ ϕ( z +a z +1 ⎤ -A√a0+1⎣ y ) ( y ) -1⎦ 2(a0+1) e ∈ (1 - /ε/2A, 1+ /ε/2A) для любого z из промежутка интегрирования. Тогда тому же интервалу и для тех же значений z принадлежит и величина ⎡/ ϕ( z +a z +1 ⎤ -z√a0+1⎣ y ) ( y ) -1⎦ 2(a0+1) e , а значит, интеграл (1.11) оценивается точно так же, как первое слагаемое из (1.10). Таким образом, равномерная (относительно η ∈ R1) сходимость к нулю выражения (1.8) при y → +∞ доказана. Осталось показать, что внутренний интеграл в представлении разности (1.7), т. е. функция r∞ e-yG1 0 z y cos zη - yG2 ( z \ y dz = r∞ = e-yG1 0 z y cos yG2 ( z \ y cos zηdz + r∞ e-yG1 0 z y sin yG2 ( z \ y sin zηdz (1.12) вещественной переменной η, зависящая от положительного параметра y, оценивается сверху (по абсолютной величине) функцией вида M1 M2 + η2 , начиная с некоторого положительного y0. Сделав замену переменных z y = ξ, получаем, что первое и второе слагаемые выражения (1.12) равны yE1(yη, y) и yE2(yη, y) соответственно, где функции E1 и E2 введены в [22]. Далее, из [22] r∞ известно, что x2E2(x, y)= y 0 ψ(ξ) sin xξdξ, где ψ ∈ L1(0, +∞). Следовательно, r∞ y2η2E2(yη, y)= y 0 ψ(ξ) sin yηξdξ, т. е. η2|yE2(yη, y)| � ψ 1. При η ) 1 из этого неравенства вытекает оценка ψ 1 |yE2(yη, y)| � η2 = 2 ψ 1 2η2 = 2 ψ 1 η2 + η2 2 , � 2 ψ 1 1+ η т. е. требуемое неравенство выполняется с M1 = 2 ψ 1 и M2 = 1. При η < 1 вернемся к представлению второго слагаемого выражения (1.12), т. е. yE2(yη, y), в виде r∞ z z z г 1 ( \ ( \ l 2 e- √ 0 ϕ y +a y +1 sin z √2 z z ϕ y - a y - 1 sin zη dz и учтем полученную выше оценку ϕ (ξ)+ a(ξ)+1 ) 2C. Получим, что √ = |yE2(yη, y)| � e- Cz 1 √ 2 e- Cz 1 √ Cz � 2 e- 1 , 1+1 1+ η2 т. е. требуемая оценка для второго слагаемого выражения (1.12) верна и при η < 1. Теперь исследуем первое слагаемое выражения (1.12). Из [22] известно, что x2E1(x, y)= y г m ∞ r ψ1(ξ) cos xξdξ + y '\; ak + 1, 0 k=1 где ψ1 ∈ L1(0, +∞). Следовательно, m r∞ г ⎛ г ⎞ m y2η2E1(yη, y)= y ψ1(ξ) cos yηξdξ + y '\; ak + 1, т. е. η2|yE2(yη, y)| � ψ 1 + '\; ak +1 . 0 k=1 ⎝ ⎠ k=1 Далее вывод требуемой оценки для второго слагаемого выражения (1.12) полностью аналогичен выводу для первого слагаемого. 70. ТЕОРЕМА О БЛИЗОСТИ РЕШЕНИЙ Наряду с исследуемым дифференциально-разностным уравнением (1) рассмотрим дифференциальное уравнение (a0 + 1) uxx + uyy = 0. (2.1) Оно является эллиптическим в силу условия (3), поэтому существует (и притом единственное) классическое ограниченное решение задачи (2.1), (2) (см., например, [2, 7]). Справедливо следующее утверждение: Теорема 2.1. Если условие (3) выполнено, u(x, y) - решение задачи (1)-(2), представленное формулой (4), а v(x, y) - классическое ограниченное решение задачи (2.1), (2), то lim [u(x, y) - v(x, y)] = 0 для любого вещественного x. y→+∞ Доказательство. Применяя замену переменной yz = ξ, представим функцию +∞ в виде +∞ √a0 +1 r π -∞ u0(x - yz) dz z2 + a0 +1 √ +∞ √a0 +1 1 r u0(x - ξ) dξ = a +1 r y u0(x - ξ) dξ. y 0 π y ξ 2 + a +1 -∞ π ξ2 + (a0 + 1)y2 -∞ Последняя функция совпадает c v(x, y) (см., например, [2, 7]). Теперь для завершения доказательства остается применить теорему 1.1. Из [4] (см. также [5]) известен следующий критерий стабилизации решений задачи (2.1), (2): если x, l ∈ (-∞, +∞), а v(x, y) - классическое ограниченное решение задачи (2.1), (2), то lim y→+∞ v(x, y)= l тогда и только тогда, когда R lim 1 r u0(x)dx = l. y→+∞ 2R -R Отсюда и из теоремы 2.1 вытекает следующее утверждение: Следствие 2.1. Если условие (3) выполнено, u(x, y) - решение задачи (1)-(2), представленное ∈ формулой (4), а x, l R1, то lim y→+∞ u(x, y)= l тогда и только тогда, когда R lim 1 r u0(x)dx = l. R→+∞ 2R -R Отметим, что следствие 2.1 представляет классическую стабилизационную альтернативу: при y → +∞ решение либо имеет предел (причем один и тот же) для каждого вещественного x (иными словами, поточечно стабилизируется к постоянной), либо не имеет предела ни для какого вещественного x. А какой из этих двух альтернативных вариантов имеет место, определяется классическим критерием стабилизации Репникова-Эйдельмана (см. [13]), заключающимся в существовании предельного среднего граничной функции задачи. Отметим также, что теорема 2.1, будучи теоремой о близости решений, является более сильным утверждением, чем следствие 2.1: в отличие от последнего, являющегося теоремой о стабилизации решения, она предоставляет определенную информацию о поведении решения даже в том случае, когда последнее не имеет предела. Замечание 2.1. Эллиптичность «предельного» дифференциального уравнения (2.1) гарантируется тем же условием (3), которое обеспечивает разрешимость исходной нелокальной задачи и представление ее решения формулой пуассоновского типа. В модельном случае, когда нелокальный член - единственный (см. [11, 12]), ситуация такая же, однако природа этого условия менее очевидна: оно заключается в том, что коэффициент при единственном нелокальном члене по модулю меньше единицы, т. е. выглядит, как некое условие малости нелокального члена уравнения сравнительно с остальными его членами. В действительности это - условие положительной определенности оператора, что и подтверждается его формой (3) для общего случая. 71. СВОЙСТВА ЯДРА ПУАССОНА В классическом случае дифференциальных эллиптических уравнений некоторые важные свойства ядра Пуассона (такие, как положительность и величина его интеграла по всей оси x) вытекают непосредственно из явного вида указанного ядра. В рассматриваемом нами нелокальном случае это не так, и, в частности, вопрос о знакопостоянстве функции (5) остается открытым. Однако результаты о стабилизации, полученные в предыдущем разделе, позволяют вывести некоторые ее свойства. А именно, справедливо следующее утверждение. Следствие 3.1. Для любых векторов (a1,..., am) и (h1,..., hm), удовлетворяющих условию (3), справедливо тождество +∞ r E(x, y)dx = 1. -∞ Доказательство. Из доказательства [22, теорема 1] ясно, что функция (5) настолько быстро убывает при x →∞ (при каждом фиксированном положительном y), что функция +∞ r E0(y) d=ef -∞ E(x, y)dx (3.1) корректно определена на положительной полуоси. Функцию (3.1) можно представить в виде +∞ r E(ξ, y)dξ = -∞ +∞ r E(ξ, y)ψ(x - ξ)dξ = -∞ +∞ r E(x - ξ, y)ψ(ξ)dξ, -∞ 0 где ψ(ξ) ≡ 1 - непрерывная и ограниченная на (-∞, +∞) функция. Тогда в силу [22, теорема 1] функция E0(y) удовлетворяет (в классическом смысле) уравнению (1) в полуплоскости {y > 0}. Отсюда, поскольку E0 - функция только одной переменной y, вытекает, что все ее производные по x (любого порядка) тождественно равны нулю, а значит, на положительной полуоси она удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению E 11 = 0. Поэтому E0(y)= py + q, где p и q - вещественные постоянные. Кроме того, из [22, теорема 1] известно, что функция E0(y) удовлетворяет задаче (1)-(2) в смысле обобщенных функций (по Гельфанду-Шилову). Поскольку эта функция - гладкая, она удовлетворяет этой задаче и в классическом смысле, а значит, E0(0) = 1, т. е. q = 1. Таким образом, на [0, +∞) справедливо тождество +∞ r -∞ где p - вещественная постоянная. Тогда E(x, y)dx = py + 1, (3.2) +∞ lim E0(y) = lim 1 r (x, y)dx = lim ( 1 \ p + = p. y→+∞ y y→+∞ y E -∞ y→+∞ y С другой стороны, функция E0(y) является решением задачи (1)-(2) с граничной функцией ψ(ξ) ≡ 1, для которого, по построению, справедлив критерий стабилизации, установленный след- R ствием 2.1. Отсюда, поскольку lim 1 r ψ(x)dx = 1, вытекает, что lim (y) = 1, из чего y→+∞ 2R -R y→+∞ E0 следует, что постоянная p в тождестве (3.2) равна нулю. Автор глубоко признателен А. Л. Скубачевскому за постоянное внимание к работе, а также В. Н. Денисову и А. И. Назарову за ценные обсуждения.

About the authors

A B Muravnik

Author for correspondence.
Email: amuravnik@yandex.ru
14 Plekhanovskaya, 394018 Voronezh, Russia; 6 Miklukho-Maklaya st., 117198 Moscow, Russia

References

Supplementary files