Том 67, № 2 (2021): Посвящается памяти профессора Н. Д. Копачевского

В работе приведен обзор исследований правосторонней обратимости двучленных функциональных операторов. Известно, что обратимость двучленных функциональных операторов равносильна существованию дихотомии решений однородного уравнения. Основной результат заключается во введении нового свойства решений однородного уравнения, названного градуированной дихотомией, и доказательстве того, что существование градуированной дихотомии равносильно правосторонней обратимости рассматриваемых операторов.

В работе приводится обзор результатов, посвященных исследованию интегродифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве. Указанные уравнения являются операторными моделями интегродифференциальных уравнений с частными производными, возникающих в многочисленных приложениях: в теории вязкоупругости, в теории распространения тепла в средах с памятью (уравнения Гуртина-Пипкина), теории усреднения. Наиболее интересные и глубокие результаты обзора посвящены спектральному анализу операторфункций, являющихся символами изучаемых интегродифференциальных уравнений.

Работа содержит обзор имеющихся результатов о структуре J-симметричных алгебр операторов в пространствах Понтрягина и Крейна, а также о представлениях групп и *-алгебр в этих пространствах.

Работа посвящена интегродифференциальным уравнениям, связанным со случайными процессами. Изучается связь между дифференциальными уравнениями со случайными возмущениями - стохастическими дифференциальными уравнениями (СДУ) - и детерминированными уравнениями для вероятностных характеристик процессов, определяемых случайными возмущениями. Полученные детерминированные псевдодифференциальные уравнения исследуются полугрупповыми методами и методами преобразования Фурье.

Работа представляет собой обзор результатов по асимптотике спектра вариационных задач, возникающих в теории малых колебаний жидкости в сосуде вблизи положения равновесия. Задачи были поставлены Н. Д. Копачевским в конце 1970-х годов и охватывают различные модели жидкости. Постановки даются как в виде краевых задач на собственные значения в области Ω⊂R³, которую занимает жидкость в положении равновесия, так и в виде вариационных задач о спектре отношения квадратичных форм. Общими чертами всех рассматриваемых задач является наличие «эллиптической» связи (уравнение Лапласа для идеальной жидкости или однородная система Стокса для вязкой жидкости), а также вхождение спектрального параметра в граничное условие на свободной (равновесной) поверхности Γ. Спектр в рассматриваемых задачах дискретен; функции распределения спектра имеют степенную асимптотику.