Deficiency Indices of Block Jacobi Matrices: Survey

Abstract

The paper is a survey and concerns with infinite symmetric block Jacobi matrices J with m×m-matrix entries. We discuss several results on general block Jacobi matrices to be either self-adjoint or have maximal as well as intermediate deficiency indices. We also discuss several conditions for J to have discrete spectrum.

Full Text

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение 237 2. Условия самосопряженности блочных матриц Якоби 240 3. Блочные матрицы Якоби с максимальными индексами дефекта 243 4. Матрицы Якоби с промежуточными индексами дефекта 244 5. Дискретность спектра блочных матриц Якоби 244 6. Индексы дефекта и дискретность спектра некоторых классов матриц Якоби 246 Список литературы 251 Посвящается памяти нашего друга, коллеги и блестящего математика Н. Д. Копачевского. 1. ВВЕДЕНИЕ Пусть Σ(·) = Σ(·)∗ - неубывающая, непрерывная слева m × m матричная функция на прямой R, имеющая бесконечное число точек роста. Предположим, что функция Σ(·) нормирована следующим образом: Σ(t - 0) = Σ(t) и lim t→-∞ Σ(t) = 0. Стандартным образом эта функция порождает m × m матричную меру на прямой. Следуя М. Г. Крейну [2, 3] (см. также [4, 5]), предполагаем, что эта мера конечна и порождает матричную проблему моментов на прямой, т. е. существуют следующие матричные интегралы Римана-Стилтьеса: Sn := r ∞ tndΣ(t), n ∈ N0 := N ∪ {0}. (1.1) -∞ 0 Отсюда следует, что последовательность матриц {Sn}∞(⊂ Cm×m) положительна в следующем смысле: для любой последовательности векторов ξj = col(ξj,1, ξj,2,... , ξj,m) ∈ Cm, j ∈ N0, и n любого многочлена R(t) = ), ξj tj с векторными коэффициентами R(t)(∈ C[t] ⊗ Cm) имеем j=0 ξ∗ n k Sj+kξj = n r ∞ ±Sj+kξj , ξk ∓ = / d Σ(t) ( n \ n ξj tj , \ r ∞ tkξk = R∗(t)dΣ(t)R(t) � 0, j,k=0 j,k=0 -∞ 0 0 -∞ (1.2) где ±x, y∓ обозначает скалярное произведение в пространстве Cm. Это неравенство доказывает достаточность в следующем классическом результате. © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2021 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 237 238 В. С. БУДЫКА, М. М. МАЛАМУД, К. А. МИРЗОЕВ Теорема 1.1 (см. [3, 5]). Необходимым и достаточным условием разрешимости матричной проблемы моментов (1.1) является условие положительности ξ∗ n k Sj+kξj � 0, ξj ∈ Cm , n ∈ N0. (1.3) j,k=0 Схема доказательства. Кратко наметим идею доказательства достаточности. С этой целью для n n каждой пары векторных многочленов R(t) = ), ξj tj , Q(t) = ), ηk tk(∈ C[t] ⊗ Cm), где ξj , ηk ∈ Cm, положим 0 0 / n n \ n n ±R(t), Q(t)∓S = ξj tj , ηk tk k := η∗Sj+kξj = ±Sj+kξj , ηk ∓ , n ∈ N0. (1.4) 0 0 S j,k=0 j,k=0 Более того, для простоты положим, что неравенство в (1.3) является строгим, т. е. ±R(t), R(t)∓S > 0 для любых R ∈ C[t] ⊗ Cm \ {O}. Тогда из (1.4) и (1.3) следует, что билинейная форма ±·, ·∓S S определяет скалярное произведение в C[t] ⊗ Cm. Таким образом, векторное пространство Ht := C[t] ⊗ Cm становится предгильбертовым пространством. Пополняя его, приходим к гильбертову пространству HS . Далее определим оператор умножения At на C[t] ⊗ Cm, полагая n n At : R(t) = ξj tj → tR(t) = ξj tj+1. (1.5) 0 0 Легко видеть, что оператор At является симметричным: ±AtR, Q∓S = ±R, AtQ∓S , ипотому допускает замыкание A = At в HS . Можно легко доказать, что индексы дефекта оператора A конечны и выполнено n+(A), n-(A) � m. Если n+(A) = n-(A), то оператор A допускает самосопряженное расширение A� = A�∗ в HS . Иначе такое расширение может быть найдено среди расширений оператора A в более широком пространстве H�S ⊃ HS . Пусть EA�(t) - (ортогональная) спектральная функция (разложение едини- � цы) оператора A�, т. е. A� = ГR t dEA (t). Пусть PH § ортопроектор в HS на подпространство H := Cm постоянных векторных многочленов, и пусть Σ (t) := P E (t) 1. Тогда из (1.4) и (1.5) следует, A� что для любой пары постоянных векторов ξ, η ∈ H(= C H A� полнено 1. вы / \ / j k \ / j+k \ ±Sj+kξ, η∓ = ξtj , ηtk = S r S A� ξ, A� η = A� r ξ, η = S = tj+k d(E R A� (t)ξ, η) = tj+k d(Σ A� R (t)ξ, η), j, k ∈ N0. (1.6) Тогда m × m мера Σ(t) = ΣA�(t) является решением матричной проблемы моментов (1.1). Можно доказать, что любое матричное решение Σ(t) задачи (1.1) допускает единственное представление Σ(t) = ΣA� (t) с некоторым самосопряженным расширением A� = A�∗ оператора A и справедлива эквивалентность Σ A�1 � (t) = ΣA2 (t) ⇐⇒ A�1 = A�2. mat Ассоциируем с мерой Σ гильбертовы пространства L2(Σ; H) и L2 (Σ; H) вектор-функций и матричных функций, соответственно (см. [5, 28]). В дальнейшем будем полагать, что меmat (Σ;H) ра Σ такая, что (R, R)L2 R := Г R(t) dΣ(t)R∗(t) > 0 для любого матричного многочлена n R(t) = ), Cj tj ∈ C[t] ⊗ Cm×m, где Cn обратимы. Используя это условие и применяя ортогонализа- 0 цию (см. [5]), можно определить последовательность «ортонормальных» матричных многочленов {Pj (t)}∞(⊂ L2 (Σ; H)), где P0(t) = Im и выполнено 0 mat mat (Σ;H) (Pj , Pk )L2 r k := Pj (t) dΣ(t)P ∗(t) = δjk Im, deg Pj (t) = j, j, k ∈ N0. (1.7) R 0 Система {Pj (t)}∞ mat не обязательно полна в L2 (Σ; H). Обозначим через L�2(Σ; H) и L� 2 mat (Σ; H) mat подпространства в L2(Σ; H) и L2 (Σ; H), порожденные векторными и матричными многочленами, соответственно. Видно, что последовательность {Pj 0 (t)}∞ образует «ортонормальный базис» ИНДЕКСЫ ДЕФЕКТА БЛОЧНЫХ МАТРИЦ ЯКОБИ: ОБЗОР 239 в L� 2 mat (Σ; H). Следовательно, полагая P-1 = 0 и используя «ортогональные» соотношения (1.7), получаем, что tPj (t) = Cj,kPk (t) = Cj,j-1Pj-1(t)+ Cj,j Pj (t)+ Cj,j+1Pj+1(t), Cj,k ∈ C k где матричные коэффициенты Cj,k при |j - k| � 1 даются формулами m×m , (1.8) Aj := Cj,j = r j tPj (t) dΣ(t)P ∗(t), Bj := Cj,j+1 = R r r j+1 t Pj (t)dΣ(t)P ∗ R (t), Cj,j-1 = j-1 t Pj (t)dΣ(t)P ∗ R j-1 (t) = B∗ , mat (Σ;H) и Cj,k = (tPj , Pk )L2 = 0 при |j - k| > 1. Следовательно, матричное представление оператора A (1.5) в базисе {Pj (t)}∞ в L�2 (Σ; H) дается блочной матрицей Якоби 0 mat ⎛ A0 B0 Om Om Om ... ⎞ ⎜ ∗ J = ⎜ B0 A1 B1 Om Om ... ⎟ ⎟ , (1.9) 1 ⎜ Om B∗ A2 B2 Om ... ⎟ ⎝ ... ... ... ... ... . . . ⎠ j где Aj = A∗ ∈ Cm×m - m × m-матричные элементы, а элементы Bj ∈ Cm×m обратимы, j ∈ N0. Согласно М. Г. Крейну (см. [2, 3]), матрица J также называется матрицей Якоби с матричными элементами. 0 l2 Пусть l2(N; Cp) - линеал конечных последовательностей в пространстве l2(N; Cm). Отображение 0 (N; Cm ) Э f → Jf определяет линейный симметричный, но не замкнутый оператор J0. Замыкание оператора J0 определяет минимальный замкнутый симметричный оператор Jmin в l2(N; Cp). В дальнейшем будем отождествлять минимальный оператор Jmin с матрицей J вида (1.9) и писать Jmin = J. Также полагаем Jmax = J∗. Наконец, введем преобразование Фурье ∞ F : l2(N; Cm) → L�2(Σ; H), ξ = {ξj }∞ → F[ξ](t) := ξ�(t) = P ∗(t)ξj (1.10) 0 0 j 0 и заметим, что в силу (1.7) формулы ξj = ГR Pj (t) dΣ(t)ξ�(t), j ∈ N0, позволяют восстановить векторные коэффициенты ξj (∈ Cm) из ξ�(t). Используя (1.10), (1.5) и (1.8), приходим к тождеству ∞ ∞ AF[ξ](t) = tPj (t)∗ξj = [P ∗ (t)Bj-1 + P ∗(t)Aj + P ∗ (t)B∗]ξj = F[Jξ](t), j-1 0 0 j j+1 j означающему, что оператор J унитарно эквивалентен оператору A = At (1.5), следовательно, n±(J) = n±(A). Оператор J = Jmin симметричен, J ⊂ J∗, хотя не обязательно самосопряжен, т. е. индексы дефекта n±(J) := dim N±i(J) := dim ker(J∗ ∓ iI) могут быть нетривиальными. Вообще говоря, 0 � n±(J) � m (см. [2, 3, 5]). Кроме того, есть еще одно ограничение: индексы достигают максимального значения только одновременно, т. е. n+(J) = m ⇐⇒ n-(J) = m (см. [1]). В работах [16, 17] показано, что также справедливо обратное утверждение: для любой пары чисел {n-, n+}, удовлетворяющих неравенству 0 � n-, n+ < m либо n± = m, существует блочная матрица Якоби J с n±(J) = n±. Согласно М. Крейну [2, 3] ассоциируем с матрицей J разностное матричное выражение m×m n-1 (LV )n = B∗ Vn-1 + AnVn + BnVn+1, V0 = Im, V-1 = Om, Vn ∈ C , n ∈ N0. (1.11) 0 Известно (см. [2, 3, 5]), что решение задачи Коши (LV )n = zVn при начальных условиях (1.11) является последовательностью матричных многочленов {Pn(z)}∞. Последовательно находим P0(z) = Im, P1(z) = B-1(zIm - A0), P2(z) = B-1((zIm - A1)P1(z)B0), ... . (1.12) 0 1 0 Из (1.11) и (1.12) следует, что последовательность {Pn(z)}∞, будучи матричным решением систеmat мы (1.8), образует ортогональную систему в L2 (Σ; H) (см. (1.7)) с мерой Σ(t) := PHEJ (t) H, 240 В. С. БУДЫКА, М. М. МАЛАМУД, К. А. МИРЗОЕВ являющейся сужением любой спектральной (не обязательно ортогональной) меры EJ(t) блочной матрицы Якоби J. М. Крейном [2] (см. также [5]) было показано, что для любых z ∈ C± существует матричный k '-1 предел H(z) = lim n ( ), P ∗(z)Pn(z) , где rank(H(z)) = n± (J). Также им было установлено, k→∞ n=0 что с каждой матрицей Якоби J ассоциирована некоторая матричная проблема моментов, и эта проблема имеет единственное (нормализованное) решение, если n-(J) · n+(J) = 0. Более того, этот случай известен как определенный случай матричной проблемы моментов. Если n±(J) = m (см. [2]), то ряд P ∗ ∞ n (z)Pn(z) =: H -1(z), z ∈ C, (1.13) n=0 0 равномерно сходится на компактных подмножествах в C. Заметим, что в этом случае дефектное подпространство есть Nz := ker(J∗ - zI) = {{Pn(z)h}∞ : h ∈ Cp}. Тогда говорят, что для матрицы J (и соответствующей матричной проблемы моментов) имеет место вполне неопределенный случай (см. [2, 3] и [5, гл. VII, §2]). В этом случае для каждого матричного решения Σ соответствующей проблемы моментов (1.1) ряд (1.13) определяет воспроизmat водящее ядро подпространства L�2 (Σ; H) целых матричных функций, порожденных матричными многочленами {Pn 0 (z)}∞ в L2(R; Σ). Известно (см. [2, 3] и [4] при m = 1), что подпространство L� 2 mat (Σ; H) состоит из целых матричных функций минимального экспоненциального типа: 1 lim |z|→∞ ln ±H- (z)± = 0. |z| Задача вычисления индексов дефекта матриц Якоби является первой главной проблемой, естественным образом возникающей в спектральной теории как таких матриц, так и соответствующих проблем моментов. М. Г. Крейном (см. [2, 3]) было установлено, что матричная проблема моментов, ассоциированная с матрицей Якоби J, имеет единственное решение (нормализованное в определенном смысле) тогда и только тогда, когда одно из чисел n- или n+ равно нулю. Этот вопрос привлекает существенное внимание, в частности, в течение последних двадцати лет (см., например, [2, 3, 6-12, 16-18, 20-26, 30]). Особенно выделим недавние работы [31] (m = 1) и [7-10] (m � 1), где были найдены новые различные условия самосопряженности блочных матриц Якоби. В недавних работах [8-11] были установлены некоторые условия дискретности блочных матриц Якоби. Они покрывают ряд предыдущих результатов в скалярном случае (m = 1) (см. [13, 14, 19]). Мы посвящаем эту работу нашему другу, коллеге и замечательному математику Николаю Дмитриевичу Копачевскому, который ушел из жизни 18 мая 2020 г. Он был создателем и душой Крымской осенней математической школы-симпозиума с 1990 г. Эта школа была замечательным математическим явлением с исключительно теплой и неповторимой атмосферой. Каждый из нас провел в ней много незабываемых минут. 2. УСЛОВИЯ САМОСОПРЯЖЕННОСТИ БЛОЧНЫХ МАТРИЦ ЯКОБИ В скалярном случае (m = 1) первое условие самосопряженности матрицы Якоби J получено Карлеманом (см. [4, 5]) и в настоящее время широко известно. Этот результат был обобщен на матричный случай Березанским [5, теорема VII.2.9] и выглядит так. Теорема 2.1 (см. [5], тест Карлемана). Предположим, что ∞ j=0 ◦Bj ◦-1 = +∞. (2.1) Тогда (минимальный) оператор Якоби J самосопряжен, т. е. J = Jmin = Jmax = J∗. Условие (2.1) не является необходимым для самосопряженности оператора J даже в скалярном случае (m = 1). Для демонстрации этого факта рассмотрим блочную матрицу Якоби: ИНДЕКСЫ ДЕФЕКТА БЛОЧНЫХ МАТРИЦ ЯКОБИ: ОБЗОР 241 ⎛ 0 b0 0 0 0 ... ⎞ ⎜ b0 0 b0 0 0 ... ⎟ ⎜ ⎜ Jt = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 0 0 b 0 b ... ⎟ . (2.2) 0 b0 0 b1 0 ... ⎟ ⎟ 1 1 ⎟ ⎟ 0 0 0 b1 0 ... ⎟ ⎝ ... ... ... ... ... . . . ⎠ Утверждение 2.1. Пусть Jt - матрица Якоби вида (2.2) с произвольной последовательностью {bn}n∈N0 ∈ R \ {0}. Тогда матрица Jt является самосопряженной, т. е. n±(Jt) = 0. Доказательство. Из уравнений (1.11) при An = 0 и Bn = bn или из выражений (1.12) j -1 -1 -1 следует, что P2j-1(0) = Q2j (0) = 0, P2j (0) = (-1) b2j-1b2j-2b2j-3 ... b1 b0, Q2j+1(0) = 2j 1b (-1)j b-1b2j -1 - 2j-2 0 ... b1b-1. Учитывая эти соотношения и вид матрицы (2.2), получаем P2j (0) = (-1)j , Q2j+1(0) = (-1)j и, следовательно, ),∞ (P 2(0) + Q2 (0)) = ∞. Согласно [4, с. 108], это n n n=0 соотношение эквивалентно самосопряженности матрицы Jt (см. также [27, утверждение 10] для доказательства этого результата методами теории расширений). Однако условие (2.1) является точным для некоторых классов матриц Якоби. Более точно, Березанским было показано (см. [5, теорема VII.1.5] и [4, гл. I, с. 39]), что если m = 1 и условие (2.1) нарушено, то при определенных дополнительных предположениях об элементах An и Bn оператор J удовлетворяет n±(J) = 1. Матричный вариант этого результата, а также его обобщения будут рассмотрены в разделе 3. Следующий результат о самосопряженности был впервые получен Петропулу и Веласкесом [31] в скалярном случае. Далее он был обобщен на матричный случай Бройтигам и Мирзоевым [7, теоремы 12-16]. Теорема 2.2 (см. [7]). Оператор Якоби J, индуцированный матрицей Якоби (1.9), самосопряжен, если элементы An обратимы и выполнено хотя бы одно из следующих условий: ),∞ 1 -1 -1 ∗ (i) n=2 ±Bn ±F1,n = ∞, F1,n = ◦An Bn◦ + ◦An Bn-1◦; ),∞ 1 -1 ∗ ( -1 ∗ -1 ) -1 ( -1 ∗ (ii) n=2 ±Bn ±F2,n ◦A-1 = ∞, где F2,n = ◦An Bn-1◦ ◦A ) n-1 Bn-2 ◦ + ◦An Bn-1◦ + ◦An Bn◦ ◦A n+1 Bn◦ + n+1Bn+1◦ ; n-1 0. если существует N ∈ N такое, что при n � N - 1 имеем ◦A-1 2 Bn-1◦ + ◦A -1 n+1 ∗ 2 , 2 Bn◦ < 1 n � N ; 2( 2 1. если существует N ∈ N такое, что при n � N - 2 имеем ◦A-1 n-1 ◦A Bn-1◦ -1 n-2 Bn-2◦ + ◦A-1 ∗ 2) -1 ∗ 2( -1 2 -1 ∗ 2) 1 n Bn-1◦ + ◦An+1Bn◦ ◦An Bn◦ + ◦An+2Bn+1◦ < 4 , n � N. 1 0 Доказательство этого результата в [7] существенно опирается на технику матричных ортогональных многочленов второго рода. Последние определяются как последовательность {Qn(·)}∞, образующая второе матричное решение разностной системы (1.11), удовлетворяющее начальным условиям Q0(·) := Om, Q1(·) := B-1. Следующий результат о самосопряженности был получен недавно первыми двумя авторами в [9, 10]. Он расширяет и усиливает теорему 2.2. Теорема 2.3 (см. [9, 10]). Пусть J - блочная матрица Якоби вида (1.9), и пусть A := diag{A0,... , An,.. .} - ее блочно-диагональная часть с ker A = {0}. Положим также, что при некотором N ∈ N0 a1(N ) := sup ◦A-1 ( n n Bn◦ + ◦A-1 ' ∗ Bn-1◦ < ∞, (2.3) n�N a2(N ) := sup(◦A-1Bn◦ + ◦A-1 B∗ ◦ ' < ∞. (2.4) n n�N n+2 n+1 Если a1(N )a2(N ) � 1, то оператор J существенно самосопряжен в dom A(⊂ l2(N0; Cm)). При этом J самосопряжен в dom J = dom A, если неравенство строгое: a1(N )a2(N ) < 1. 242 В. С. БУДЫКА, М. М. МАЛАМУД, К. А. МИРЗОЕВ Доказательство этой теоремы основано на тесте Шура и теореме Като-Реллиха. Следствие 2.1 (см. [9, 10]). Пусть выполнены условия теоремы 2.3. Пусть также выполнено хотя бы одно из следующих условий: (i) a1(N ) � 1 и a2(N ) � 1, (ii) a1(N ) � 1 и a2(N ) < 1 (a1(N ) < 1 и a2(N ) � 1). Тогда (минимальный) блочный оператор Якоби J самосопряжен. Следствие 2.2 (см. [9, 10]). Пусть J - блочная матрица Якоби вида (1.9), пусть A := diag{A0,... , An,.. .}, ker A = {0}, и пусть s ∈ [1; +∞). Положим также, что для некоторого N ∈ N0 выполнено хотя бы одно из следующих условий: (i) b1(N, s) := sup ◦A-1 ( s n Bn◦ n + ◦A-1 ∗ s' Bn-1◦ � 1 2s-1 ; (2.5) n�N ◦A-1 s -1 ∗ s' 1 1. b2(N, s) := sup( n�N 1 n Bn◦ + ◦A n+2 Bn+1◦ 1 � 2s-1 ; (2.6) 2. sup ◦A-1Bn◦ � , sup ◦A-1B∗ ◦ � . (2.7) n n�N 2 n�N n n-1 2 Тогда оператор J существенно самосопряжен в dom A. При этом J самосопряжен в dom J = dom A, если неравенства (2.5) и (2.6) строгие. Замечание 2.1. 2. Заметим, что в соответствии с неравенством о степенных средних функции b1(N, s) и b2(N, s) монотонно возрастают по s, т. е. s1 < s2 =⇒ bj (N, s1) < bj (N, s2), j ∈ {1, 2}, следовательно, условия (2.5) и (2.6) становятся более ограничительными при возрастании s. В частности, условия (2.5) и (2.6) более ограничительны, чем условия (2.3) и (2.4), соответственно. 3. Следствие 2.2 (ii) при s = 2 в случае строгого неравенства в (2.6) было доказано другим методом в [7] (теорема 2.2 (iii)). Наконец, перейдем к недавним результатам по самосопряженности оператора J, полученным недавно Свидерским [33]. Теорема 2.4 (см. [33, теорема 1]). Положим lim ◦B-1◦ = 0, lim ◦B-1An◦ = 0, а также1 n→∞ n n→∞ n ),∞ ◦[Bn+1B∗ - B∗ Bn]-◦ ),∞ ◦B A -A B ◦ ),∞ 1 n+1 n n n+1 n n n=1 2 < ∞; ◦Bn◦ n=1 2 < ∞; ◦Bn◦ 2 = ∞. Тогда оператор n=0 ◦Bn◦ Якоби J самосопряжен. Далее при m = 1 рассмотрим оператор Якоби J, ассоциированный с последовательностями вида B BkN +i = βi ˜k , AkN +i B = αi ˜k , (i = 0, 1,... ,N - 1; k � 0), (2.8) B где α и β - N -периодические последовательности и ˜ - положительная последовательность. Последовательности α и β называются модулирующими последовательностями. Оказывается, что спектральные свойства оператора J зависят от следа такой матрицы: N ( 0 1 \ F (0) := тт βn-1 αi . (2.9) i=1 - βn - βi B Следующая теорема показывает, что в такой постановке оператор J всегда будет самосопряженным, независимо от последовательности ˜. Теорема 2.5 (см. [32, теорема A]). Пусть m = 1, и пусть число N положительно. Положим F (0) = γI для некоторого |γ| = 1, где матрица F (0) определена в (2.9). Тогда оператор J, ассоциированный с последовательностями (2.8), всегда самосопряжен и 0 ∈/ σp(J). 1 Для любого оператора X = X∗ ∈ B(H) положим X- = XEX (-∞, 0) где EX (-∞, 0) - спектральная проекция. ИНДЕКСЫ ДЕФЕКТА БЛОЧНЫХ МАТРИЦ ЯКОБИ: ОБЗОР 243 3. БЛОЧНЫЕ МАТРИЦЫ ЯКОБИ С МАКСИМАЛЬНЫМИ ИНДЕКСАМИ ДЕФЕКТА В этой главе будут даны некоторые недавние результаты о матрицах J с максимальными индексами дефекта n±(J) = m. Первый результат в этом направлении был получен Березанским (см. [5, гл. VII, теорема 1.5]) и гласит следующее. - n+1 n Теорема 3.1 (см. [5]). Пусть m = 1 и пусть J - скалярная матрица Якоби (1.9) с элементами an = An ∈ R и bn = Bn ∈ R, bn > 0. Положим |an| � C и bn 1 · b � b2 , n ∈ N. Тогда n±(J) = 1 при нарушении условия Карлемана (2.1), т. е. b ),∞ -1 n n=1 < +∞. Следующий результат получен Костюченко и Мирзоевым под влиянием теоремы 3.1 и может считаться ее далеко идущим обобщением. Теорема 3.2 (см. [24, теорема 4]). Положим, что ◦An◦ � C, n ∈ N0 и ∞ ∞ ◦B∗-1Bj+1B∗ -1 ... Bj+2s 1B∗ -1◦ < +∞. j j=0 s=0 j+2 - j+2s Тогда индексы дефекта оператора Якоби J максимальны, т. е. n±(J) = m. k ji Положим, что обобщенная симметричная матрица Якоби J(0) имеет только две ненулевых диагонали. А именно, пусть элементы Cij этой матрицы удовлетворяют следующим условиям: Cij = 0, если |i - j| /= k, Ci,i+k = Bi, и Cij = C∗ , i, j ∈ N0, где k - известное положительное целое число и Bi - последовательность обратимых m × m матриц. k Теорема 3.3 (см. [25, теорема 1.1]). Матрица Якоби J(0) имеет максимальные индексы дефекта тогда и только тогда, когда матричные элементы Bi удовлетворяют условиям ),∞ ◦B-1 ∗ -1 ∗ 2 j=1 (2j-1)k+sB(2j-2)k+s ... Bk+sBs ◦ < +∞ при s = 0, 1,... , 2k - 1. Следующий результат является прямым обобщением теоремы Березанского 3.1 на случай блочных матриц и совпадает с ней при m = 1 и k = 1. 1 -2 j Следствие 3.1 (см. [25, следствие 1.3]). Положим, что неравенства ◦Bj-k◦·◦Bj+k◦ � ◦B- ◦ и ),∞ j=1 k ◦Bj ◦-1 < +∞ выполнены, начиная с некоторого j > k. Тогда матрица Якоби J(0) имеет максимальные индексы дефекта. 1 -1 Согласно [26], введем матрицы Cn, полагая C0 := B∗ , C1 := Im, и ( (-1)j B-1 B∗ ... B∗B-1, если n = 2j, Cn = 2j-1 2j 2 1 (-1)j B-1B∗ ... B-1B∗, если n = 2j + 1, j ∈ N. (3.1) 2j 2j-1 2 1 0 Теорема 3.4 (см. [26]). Пусть последовательность {Cn}∞ задана выражением (3.1). Если выполнены условия +∞ n=1 2 ◦Cn◦ < +∞ и +∞ n=1 n ◦C∗ AnCn◦ < +∞, (3.2) то для матрицы J вида (1.9) имеет место вполне неопределенный случай, т. е. n±(J) = m. Следствие 3.2 (см. [26, следствие 1]). Пусть элементы матрицы J удовлетворяют условиям 1 -2 ),∞ -1 ),∞ -1 n ◦Bn-1◦·◦Bn+1◦ � ◦B- ◦ , n=1 ◦Bn◦ < +∞, n=1 ◦An◦·◦Bn◦ < +∞, n ∈ N. Тогда n±(J) = m. Следствие 3.2 является обобщением теоремы, полученной Березанским (см. [5, гл. VIII, §1, п. 2, теорема 1.5]) о вполне неопределенности матриц Якоби со скалярными элементами. Теорема 3.5 (см. [26, теорема 1]). Пусть элементы матрицы J удовлетворяют условиям ),∞ n 2 ∗ 1 n=1 ∞ ◦Cn◦ < + и lim n→∞ n◦C2n+iA2n+iC2n+i◦ < 2 (i = 0, 1). Тогда для блочной матрицы Якоби J имеет место вполне неопределенный случай, т. е. n±(J) = m. 244 В. С. БУДЫКА, М. М. МАЛАМУД, К. А. МИРЗОЕВ 4. МАТРИЦЫ ЯКОБИ С ПРОМЕЖУТОЧНЫМИ ИНДЕКСАМИ ДЕФЕКТА В этом разделе представлены некоторые результаты о промежуточных индексах дефекта блочных матриц Якоби J. Сначала отметим, что в соответствии с результатом, полученным Дюкаревым [16], для любой допустимой пары неотрицательных целых чисел n± � m существует блочная матрица Якоби J, где n±(J) = n±. Следующий результат принадлежит Костюченко и Мирзоеву [24, теорема 3] (см. также недавнюю работу [7]). Теорема 4.1 (см. [7, 24]). Пусть выполнено одно из условий: (i) ),∞ n=1 ),∞ n ◦B-1◦ = +∞; (ii) ),∞ n=1 ◦B -1 n+1 n An+1B-1◦ = +∞; (iii) n=1 ◦B -1 n+1 n+1 (An+2B-1 n+1 An+1 - B∗ n )B-1◦ = +∞. Тогда индексы дефекта оператора Якоби J не являются максимальными. В случае m = 1 условие (i) теоремы 4.1 совпадает с условием Карлемана (2.1), а условие (ii) совпадает с условием Денниса-Уолла (см. [4, гл. I, Дополнения и задачи, 2, с. 37]). В работе [7] можно найти другие более громоздкие формулы, обеспечивающие то же утверждение. Следующий результат был получен Дюкаревым в [17]. Теорема 4.2 (см. [17, теорема 2]). Пусть целые числа m � 1 и m1 � 0 удовлетворяют условию 0 � m1 � m, а диагональные элементы матриц B�n и Rn определяются формулами ( 1 ,... , 1 , 1,... , 1 \ , n � 0 и R0 = Im, Rn = / n-1 Im + B�2 , n � 1. B�n = diag n +1 m m n +1 '"',. _ m 1 '"',. _ - 1 Далее, пусть блоки An и Bn матриц Якоби JDyuk(1.9) имеют вид An = Om, n � 0, B0 = B�0, n-1 Bn = B�-1 n ± RnB�-1, n � 1. Тогда n (JDyuk ) = m1. 5. ДИСКРЕТНОСТЬ СПЕКТРА БЛОЧНЫХ МАТРИЦ ЯКОБИ В этом разделе представлены недавние результаты о дискретности спектра блочных матриц Якоби. Теорема 5.1 (см. [32, теорема B]). Пусть m = 1, и пусть выполнены предположения теоремы 2.5. Если lim k = 0, то σess(J) = ∅. Bk k→∞ ˜ Заключение теоремы 5.1 было известно только при αn ≡ 0 и βn ≡ 1. В частности, это доказали Домбровски и Педерсен [15]. Как обычно, через Sp(H) обозначим идеал Неймана-Шатена в H. Теорема 5.2 (см. [9, 10]). Пусть J - минимальный оператор Якоби, ассоциированный с блочной матрицей Якоби (1.9) в l2(N0; Cm), и пусть A := diag{A0, A1,... , An,.. .}, ker A = {0}. Предположим, что A-1 ∈ Sp(l2(N0; Cm)) и p ∈ (0, ∞]. Пусть также a1(N ) и a2(N ) определены в (2.3) и (2.4), соответственно, и пусть выполнено хотя бы одно из следующих условий: (i) ../a1(N )a2(N ) < 1; (ii) a1(N ) � 1 и a2(N ) < 1 (a1(N ) < 1 и a2(N ) � 1); 0. для некоторых N ∈ N0 и s ∈ [1; +∞) n ◦ sup(◦A-1Bn s n + ◦A-1 ∗ s' Bn-1◦ < 1 2s-1 ; (5.1) n�N 1. для некоторых N ∈ N0 и s ∈ [1; +∞) sup ◦A-1 ( n n�N s Bn◦ + ◦A -1 n+2 ∗ s' Bn+1◦ < 1 2s-1 ; (5.2) ИНДЕКСЫ ДЕФЕКТА БЛОЧНЫХ МАТРИЦ ЯКОБИ: ОБЗОР 245 2. для некоторого N ∈ N0 sup ◦A-1Bn◦ < 1 , sup ◦A-1B∗ ◦ < 1 . (5.3) n n�N 2 n�N n n-1 2 Тогда оператор J самосопряжен и J-1 ∈ Sp(l2(N0; Cm)). n Как обычно, обозначим модуль матрицы An через |An| := ../A2 . Теорема 5.3 (см. [10]). Пусть J - минимальный оператор Якоби, ассоциированный с блочной матрицей Якоби вида (1.9) в l2(N0; Cm), и пусть A := diag{A0, A1,... , An,.. .}(= A∗). 3. Положим 0 ∈ ρ(A), s ∈ [1; +∞), и пусть выполнено хотя бы одно из следующих условий: (i) lim sup (1|An|-1/2 · Bn · |An+1|-1/21 + 1 |-1/2 · B∗ · |An+1|-1/21' < 1; (5.4) 1 n→∞ 1 1|An+2 n+1 1 1 (ii) lim sup (1|An|-1/2 · Bn · |An+1|-1/21s + 1|An|-1/2 · B∗ § |An 1|-1/21s' < ; (5.5) 1 n→∞ 1 1 n-1 - 1 1 2s-1 (iii) lim sup 1|An+1|-1/2 · B∗ · |An|-1/21 < . (5.6) 1 n→∞ n 1 2 Тогда оператор J является симметричным в l2(N0; Cm) с равными индексами дефекта и допускает самосопряженное расширение J� = J�∗ с 0 ∈ ρ(J�). 4. Если, кроме того, A-1 ∈ Sp(l2(N0; Cm)) для некоторого p ∈ (0; ∞], то резольвента любого самосопряженного расширения лежит в классе Sp(l2(N0; Cm)), в частности, J�-1 ∈ Sp(l2(N0; Cm)). Более того, если J = J∗, то J-1 ∈ Sp(l2(N0; Cm)). 5. Если оператор A имеет дискретный спектр, то любое самосопряженное расширение оператора J, включая J�, также имеет дискретный спектр. В частности, если J = J∗, то его спектр дискретен. В скалярном случае пункт (iii) теоремы 5.3 представляет собой результат Кожухарии Янаса [14] (см. также [13]). Следствие 5.1 (см. [13, 14]). Пусть m = 1, и пусть J - скалярная матрица Якоби вида (1.9) с элементами an = An ∈ R и bn = Bn ∈ C. Положим также, что 2 lim n→∞ |an| = ∞ и lim sup n→∞ |bn| < |anan+1| 1 . (5.7) 4 Если J = J∗, то его спектр дискретен. Замечание 5.1. 0. Следствие 5.1 было получено Кожухари и Янасом [14] другим способом. Иначе говоря, условие дискретности в скалярном случае можно найти в [13]. Если J /= J∗, то n±(J) = 1 и каждое самосопряженное расширение J дискретно. В этом случае условия (5.7) теряют силу для дискретности. 1. В скалярном случае (m = 1) дискретность спектра матрицы Якоби J = J∗ была доказана Янасом и Набоко в [19] с использованием другого метода при условиях lim n→∞ an = ∞, b2 2 lim n +bn-1 < 1 , a ∈ R, b > 0, n ∈ N. Отметим, что первое условие означает дискретность a 2 n→∞ n 2 n n матрицы J, а второе условие совпадает с условием (5.1) для s = 2. диагональной части A 2. В скалярном случае (m = 1) другое условие дискретности матрицы Якоби J было установлено Свидерски в недавней работе [32, теорема B (c)]. 3. Следует отметить, что условия (5.4)-(5.6) не гарантируют самосопряженности матрицы J в общем случае. Более того, для любых значений k � m существуют матрицы Якоби J с нетривиальными индексами n+(J) = n-(J) = k, удовлетворяющие (5.6). Простые примеры таких матриц J естественным образом возникают в связи с операторами Дирака с точечными взаимодействиями (см. утверждение 6.4 ниже). 246 В. С. БУДЫКА, М. М. МАЛАМУД, К. А. МИРЗОЕВ 6. ИНДЕКСЫ ДЕФЕКТА И ДИСКРЕТНОСТЬ СПЕКТРА НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ МАТРИЦ ЯКОБИ В этом разделе, следуя недавним работам [9-11], рассмотрим самосопряженность и дискретность некоторых классов блочных матриц Якоби. В [9-11, 20, 21, 23] показано, что определенные спектральные свойства матриц Якоби этих классов строго коррелируют со свойствами операторов Шредингера и Дирака с точечными взаимодействиями. 1. Матрицы Якоби классов J (1) (H, m) и J (2) (H, m). Обозначим через J (1) (H, m) класс блочных матриц Якоби вида 1 α 1 ⎞ r1 � r1 r2d2 Im Om Om Om ... 2 1 1 r2 d2 Im Om Om 1 α 1 I r2 2 r2 r3d3 m 2 � 1 Im 1 α3 r2 r3d3 r2 � 3 Om - 1 Im r3r4d4 Om 1 Im r3 r4d4 1 α4 r2 � Om Om 1 Im r4r5d5 ... ⎟ ⎟ ... ⎟ ⎟ ⎟ ... ⎟ ⎠ ... ... ... ... ... ... ⎛ ⎜ ⎜ r1 X,α X,α X,α J(1) ⎜ . X,α(H)= ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 4 Здесь {dn}n∈N(⊂ R+), rn := ../dn + dn+1, и αn := αn + ( 1 + 1 ' , α = α∗ ⊂ Cm×m, n ∈ N. (6.1) � dn dn+1 Im n n X,α Применяя теоремы 5.2 и 5.3 к матрицам J(1) (H), получаем следующие два результата. α1 Теорема 6.1 (см. [9, 10]). Пусть A := diag { � � , α2 ,... �, где α определено в (6.1) и ker A = r r � 2 2 n 1 2 {0}. Положим также, что выполнено хотя бы одно из следующих условий: rn 1α-11 1 n 1 1 2 1. lim sup n→∞ k 1�n 1 < , kn := min{rn-1dn; rn+1dn+1}; (6.2) 2. lim sup rs ( 1 + 1 '1 1s < 1 , s [1; + ); (6.3) n n 1α-11 ∈ ∞ n→∞ rs s rs s 1� 1 2s-1 n-1dn n+1dn+1 1 ( rs 1 1s s 1 1s\ 3. lim sup + α n 1α-11 rn+2 1 -1 1 1 < , s [1; + ). (6.4) n→∞ r d s n+1 s n+1 1�n 1 d s n+2 1�n+21 2s-1 ∈ ∞ X,α Тогда матрица Якоби J(1) (H) является самосопряженной, а ее спектр дискретен. X,α Кроме того, если какое-либо из условий (6.2), (6.3), (6.4) выполняется при замене знака неравенства на знак равенства, то матрица J(1) (H) будет самосопряженной. α1 Теорема 6.2 (см. [10]). Пусть диагональ A(1) := diag { � � , α2 ,... � матрицы Якоби J(1) (H) r r 2 2 X,α 1 2 имеет дискретный спектр, ker A(1) = {0}, и пусть lim sup 1 1|αn|-1/2 · |αn+1|-1/21 < 1 . Тогда: n→∞ dn+1 1 � � 1 2 X,α - (1) n+(J(1) (H)) = n цы J(1) X,α (J(1) (H)) � m, и спектр любого самосопряженного расширения матри- (1) X,α(H) дискретен. В частности, матрица JX,α(H) имеет дискретный спектр, когда она самосопряжена. (2) Если, кроме того, {dn}∞ /∈ l2(N), то матрица J(1) (H) самосопряжена и дискретна. 1 X,α X,α Обозначим через J (2) (H, m) множество, состоящее из блочных матриц Якоби вида ⎛ Op 1 I O O O ... ⎞ ⎜ 1 d 2 p p p p 1 1 1 ⎟ ⎜ d2 Ip - d2 Ip 3/2 1/2 Ip Op Op ... ⎟ ⎜ 1 1 d1 d2 ⎟ ⎜ Op 1 I α1 1 I O ... ⎟ J(2) ⎜ d3/2 1/2 p d2 d2 p p ⎟ X,α(H) = ⎜ ⎜ O 1 d2 O 2 1 1 I - I ⎟ 1 I ... ⎟ . ⎜ p p d2 p d2 p 3/2 1/2 p ⎟ 2 2 ⎜ ⎜ Op Op Op 1 I d2 d3 α2 ⎟ ... ⎟ 3/2 1/2 p d3 ⎠ ⎝ d2 d3 ... ... ... ... ... ... X,α Применяя снова теоремы 5.2 и 5.3 к матрицам J(2) (H), приходим к следующим результатам. ИНДЕКСЫ ДЕФЕКТА БЛОЧНЫХ МАТРИЦ ЯКОБИ: ОБЗОР 247 Теорема 6.3 (см. [10, 11]). Пусть диагональная матрица At := diag { α1 , α2 ,... � (часть диа- (2) d2 d3 гонали A(2) матрицы J(2) (H)(∈J ∗ (H, m)) имеет дискретный спектр, ker A = {0}, и пусть X,α X,α 1 1/21 1 1/21 lim sup 1|αn|- 1 < 1 , lim sup 1|αn|- 1 < 1 . (6.5) Тогда: d n→∞ d 2 1/2 n n→∞ 1/2 2 n+1 X,α - (1) n+(J(2) (H)) = n цы J(2) X,α (J(2) (H)) � m, и спектр любого самосопряженного расширения матри- (2) X,α(H) дискретен. В частности, матрица JX,α(H) имеет дискретный спектр, когда она самосопряжена. 1 (2) Если, кроме того, {dn}∞ X,α /∈ l2(N), тогда матрица J(2) (H) самосопряжена и ее спектр дискретен. Утверждение 6.1 (см. [10]). Пусть {dn}∞ ∈ l2p(N) при p ∈ ( 1 , ∞], At := diag { α1 , α2 ,... �, и n=1 2 d2 d3 пусть выполнены условия (6.5). Если также (At)-1 ∈ Sp(l2(N0; Cm)), то справедливы следующие утверждения: X,α - (i) n+(J(2) (H)) = n X,α (J(2) (H)) � m; (ii) (J�(2) (H) - iI)-1 ∈ Sp(l2(N0; Cm)) для любого самосопряженного расширения J�(2) (H) мат- X,α (2) X,α рицы JX,α(H). Более того, если J(2) (H) = (J(2) (H))∗, то (J(2) (H) - iI)-1 ∈ Sp(l2(N0; Cm)). X,α X,α X,α 2. Матрицы Якоби классов JX,α(D, m) и JX,β (D, m). Обозначим через JX,α(D, m) класс блочных матриц Якоби вида ⎛ Om ν(d1 ) I O O O ... ⎞ ⎜ ν(d1 ) d 2 m 1 ν(d1 ) m m m ν(d1 ) ⎟ ⎜ d1 I - d1 I d3/2 1/2 Im Om Om ... ⎟ ⎜ 2 m 2 m 1 d2 ⎟ ⎜ ν(d1 ) α1 ν(d2 ) ⎟ ) = ⎜ ⎜ Om JX,α(D d d d 3/2 1/2 Im d2 1 2 2 Im Om ... ⎟ 2 ⎟ . (6.6) ⎜ O O ⎜ m m ⎜ I ν(d2 ) d2 m ν(d2 ) I - d2 m I ν(d2 ) 3/2 1/2 m ⎟ ... ⎟ ⎟ ⎜ O O ⎜ m m ⎝ 2 2 O I ν(d2 ) 2 d3 m d3/2 1/2 m d2 d3 α2 d3 ⎟ ... ⎟ ⎠ ... ... ... ... ... ... 1 Здесь {dn}n∈N(⊂ R+), α = {αn}∞ ⊂ C m×m n , αn = α∗ √ 2 2 1 и ν(x) := 1 1+(c x )- = . cx √1+c2x2 Далее, обозначим через JX,β (D, m) класс блочных матриц Якоби вида ⎛ Om ν(d1 ) I O O ... ⎞ d ⎜ ν(d1 ) 2 m 1 ν2 (d1 ) m m ν(d1 ) ⎟ d d ⎜ 2 Im - 3 ⎜ 1 1 ⎜ (β1 + d1Im) 1 d3/2 d21/2 Im Om ... ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ Om ν(d1 ) ν(d2 ) I ... ⎟ d ⎜ d3/2 d21/2 Im Om JX,β (D) := 1 ⎜ ⎜ ν(d2 ) 2 2 ν2 (d2 ) (β m + d I ) ... ⎟ ⎟ . (6.7) ⎟ ⎜ Om Om d2 Im - d3 2 2 m ⎟ ⎜ O O ⎜ m m ⎜ 2 2 O I ν(d2 ) m d3/2 d1/2 m ⎟ ... ⎟ ⎟ ⎜ 2 3 ⎟ ⎝ Om Om Om Om ... ⎠ ... ... ... ... ... 1. Матрицы из классов JX,α(D, m) и JX,β (D, m) с максимальными индексами дефекта. Сначала обсудим условия на матрицы из класса JX,α(D, m), при которых они имеют максимальные индексы дефекта. 1 Теорема 6.4 (см. [8, 10, 12]). Пусть JX,α(D) - минимальный оператор Якоби, ассоциированный с матрицей Якоби вида (6.6). Также пусть последовательность α := {αn}∞(⊂ Cm×m) 248 В. С. БУДЫКА, М. М. МАЛАМУД, К. А. МИРЗОЕВ самосопряженных матриц удовлетворяет условию ∞ n-1 ( 1 \2 dn тт 1+ c ◦αk ◦Cm×m < +∞. (6.8) n=2 k=1 Тогда оператор JX,α(D) имеет максимальные индексы дефекта, n±(JX,α(D)) = m. 1 Следствие 6.1 (см. [10]). Пусть JX,0 - минимальный оператор Якоби, ассоциированный с матрицей Якоби (6.6) с нулевой последовательностью {αn}∞ ≡ O. Тогда оператор JX,0 имеет максимальные индексы дефекта тогда и только тогда, когда {dn }n∈N ∈ l1(N). Аналогичные результаты справедливы для матриц из класса JX,β (D, m). 1 Теорема 6.5 (см. [8, 10]). Пусть JX,β (D) - минимальный оператор Якоби, ассоциированный в l2(N0; Cm) с матрицей (6.7). Предположим, что последовательность β := {βn}∞(⊂ Cm×m) удовлетворяет условию ∞ n-1 2 dn тт (1 + c ◦βk ◦Cm×m ) < +∞. (6.9) n=2 k=1 Тогда индексы дефекта матрицы Якоби JX,β (D) максимальны, т. е. n±(JX,β (D)) = m. 1 Следствие 6.2 (см. [10]). Индексы дефекта матрицы JX,β (D) максимальны при {dn}∞ ∈ 1 l1(N) и {βn}∞ ∈ l1 (N; C m×m). Следствие 6.3 (см. [10]). Индексы дефекта матрицы Якоби JX,β (D) максимальны, если lim sup dn+1 (1 + c◦βn◦ m m )2 < 1. В частности, n (J (D)) = m, когда выполнено хотя бы dn C × n→∞ ± X,β одно из следующих условий: 1. lim supn→∞(dn+1/dn) = 0 и supn∈N ◦βn◦Cm×m < ∞; √ 2. lim supn→∞(dn+1/dn) =: (1/d) при d> 1 и supn∈N ◦βn◦Cm×m < c( d - 1). Замечание 6.1. При β = Om следствие 6.1 справедливо, если матрицу Якоби JX,α(D) заменить на JX,β (D). Считая, что lim n→∞ dn = 0, естественно заменить последовательность {ν(dn)} в (6.7) на эквивалентную последовательность {cdn} и получить следующую матрицу: Op c ⎛ ⎞ 2 d1 Ip Op Op ... ⎜ c c c ⎟ ⎜ d1 Ip - d1 (β1 + d1Ip) (d1 d2 )1/2 Ip Op ... ⎟ ⎜ Op c c ⎟ ⎜ X,β (D) = ⎜ (d1 d2 )1/2 Ip Op c d2 Ip ... ⎟ c2 ⎟ . (6.10) Jt ⎜ ⎜ Op Op ⎟ d2 Ip - d2 (β2 + d2Ip) ... ⎟ ⎜ c ⎟ ⎜ Op Op Op ⎜ (d2 d3 )1/2 Ip ... ⎟ ⎟ ⎝ Op Op Op Op ... ⎠ ... ... ... ... ... X,β Утверждение 6.2 (см. [8, 10]). Пусть матрицы Якоби JX,β (D) и Jt 3. заданы формулами (6.7) и (6.10), соответственно. Пусть также lim n→∞ d2 d n-1 = 0. Тогда: n X,β 0. n±(JX,β (D)) = n±(Jt (D)); 1 1. в частности, если последовательность β := {βn}∞(⊂ Cm×m) удовлетворяет усло- X,β вию (6.9), то n±(Jt (D)) = m. 2. Самосопряженность и дискретность спектра матриц из класса JX,α(D, m). n=1 Теорема 6.6 (см. [10, 11]). Пусть {dn}∞ /∈ l1(N). Пусть также спектр диагональной матd2 рицы At := diag { α1 d , α2 ,... � дискретен и выполнено условие 3 lim sup ◦|αn|-1/2◦ < 1 √ . (6.11) n→∞ 2 c Тогда оператор Якоби JX,α(D) самосопряжен в l2(N, Cm) и его спектр дискретен. ИНДЕКСЫ ДЕФЕКТА БЛОЧНЫХ МАТРИЦ ЯКОБИ: ОБЗОР 249 Отметим, что теперь условие (5.6) превращается в условие (6.11). Теорема 6.7 (см. [10]). Пусть диагональная часть At := diag { α1 , α2 ,... � дискретна, и d2 d3 n=1 пусть {dn}∞ - ∈ l1(N). Если условие (6.11) выполнено, то n+(JX,α(D)) = n (JX,α (D)) � m, и спектр каждого самосопряженного расширения оператора JX,α(D) дискретен. В частности, если JX,α(D) = JX,α(D)∗, то спектр этого оператора дискретен. Утверждение 6.3 (см. [10]). Пусть {dn}∞ ∈ l1(N), и пусть At := diag { α1 , α2 ,... �. Предn=1 d2 d3 положим, что (At)-1 ∈ Sp(l2(N0; Cm)). Кроме того, если выполнено условие (6.11), то резоль вента любого самосопряженного расширения J�X,α оператора JX,α(D) принадлежит классу Sp(l2(N0; Cm)). Более того, если JX,α(D) = (JX,α(D))∗, то (JX,α(D) - iI)-1 ∈ Sp(l2(N0; Cm)). Теорема 6.4 позволяет построить симметричный, но не самосопряженный оператор Якоби JX,α(D), который в то же время удовлетворяет условию (5.6) (см. замечание 5.1 (iv)). Утверждение 6.4 (см. [10]). Пусть JX,α(D) - минимальный оператор Якоби, ассоциирован- (1+r)2(n-1) n2 ный с матрицей (6.6), и пусть dn = C1 и αn = rcIm, где r> 4. Тогда n± (JX,α (D)) = m и каждое самосопряженное расширения оператора JX,α(D) имеет дискретный спектр. В то же время матрица JX,α(D) удовлетворяет условию (6.11). Замечание 6.2. В утверждении 6.4 условия (5.4)-(5.6) трансформируются в условие (6.11). При этом теорема 5.3 не гарантирует самосопряженности матрицы Якоби JX,α(D) даже в скалярном случае (m = 1). 3. Сравнение различных результатов о вполне неопределенности. Сначала покажем, что матрицы JX,α(D) никогда не удовлетворяют условиям теоремы 3.4, тем самым предоставляя новый класс матриц Якоби с максимальными индексами дефекта n±(JX,α(D)) = m. Утверждение 6.5 (см. [8, 10]). Пусть JX,α(D) - матрица Якоби вида (6.6), и пусть Cn - матрицы вида (3.1), составленные из элементов матрицы JX,α(D). Тогда второй ряд в (3.2) расходится, следовательно, матрица JX,α(D) не удовлетворяет условиям теоремы 3.4. В то же время теорема 6.4 описывает широкий подкласс класса JX,α(D, m) с максимальными индексами дефекта n±(JX,α(D)) = m. n=1 Замечание 6.3. Очевидно, утверждение 6.5 представляет интерес только в случае {dn}∞ ∈ n=1 l1(N). Действительно, если {dn}∞ /∈ l1(N ), то в силу теста Карлемана (2.1) n± (JX,α (D)) = 0. Далее опишем область применимости теоремы 3.4 к матрицам JX,β (D). n=1 Утверждение 6.6 (см. [8, 10]). Пусть {dn}∞ ∈ l1(N). Пусть JX,β (D) - матрица Якоби ви- 1 да (6.7), а Cn - матрицы вида (3.1), составленные из элементов матрицы JX,β (D). Тогда второй ряд в (3.2) сходится тогда и только тогда, когда {βn}∞ ∈ l1(N; Cm×m). Замечание 6.4. Утверждение 6.6 показывает, что условия теоремы 3.4 в сравнении с условиями теоремы 6.5 являются слишком ограничительными для того, чтобы их можно было применить к матрицам Якоби JX,β (D), удовлетворяющим условию (6.9). Условия утверждения 6.6 совпадают с условиями следствия 6.2. Однако условия следствия 6.3, а следовательно, и теоремы 6.5, значительно слабее, чем условия утверждения 6.6. Для демонстрации этого факта рассмотрим простые примеры: 2 1. Пусть dn = 2-n и ◦βn◦Cm×m = 1. Очевидно, условия следствия 6.3 (i) выполнены и 1 n±(JX,β (D)) = m. В то же время {βn}∞ ∈/ l1(N; C m×m ), и условия следствия 6.2 (утверждения 6.6) нарушены. √ 2. Пусть dn = 2-n и ◦βn◦Cm×m = 2-1c( 2 - 1). Тогда матрица JX,β (D) удовлетворяет условиям 1 следствия 6.3 (ii) при d = 2, следовательно, n±(JX,β (D)) = m. В то же время {βn}∞ ∈/ l1(N; C m×m ), и условия следствия 6.2 (утверждения 6.6) нарушены. Таким образом, следствие 6.3 гарантирует равенства n±(JX,β (D)) = m для матриц JX,β (D), описанных выше, в то время как эти матрицы не удовлетворяют условиям теоремы 3.4. 250 В. С. БУДЫКА, М. М. МАЛАМУД, К. А. МИРЗОЕВ Далее, сравним результаты о матрицах JX,α(D) и JX,β (D) с теоремой 3.1 при m = 1 и следствием 3.1 при m> 1. Утверждение 6.7 (см. [10]). Пусть JX,α(D) и JX,β (D) - блочные матрицы Якоби, удовлетворяющие условиям теорем 6.4 и 6.5, соответственно. Положим также, что βn = -dn, т. е. матрица JX,β (D) имеет нулевую диагональ. Тогда n±(JX,α(D)) = n±(JX,β (D)) = m, а матрицы JX,α(D) и JX,β (D) никогда не удовлетворяют условиям следствия 3.1. Замечание 6.5. Отметим, что теоремы 6.4 и 6.5 описывают новые классы блочных матриц Якоби JX,α(D, m) и JX,β (D, m) с максимальными индексами дефекта. Эти матрицы не удовлетворяют условиям Костюченко-Мирзоева и Березанского (см. теорему 3.4 и следствие 3.1). 4. Матрицы с промежуточными индексами дефекта. Вместе с условием (2.1) естественно рассмотреть следующий вариант условия Карлемана: ∞ ◦B-1 j=0 j ◦ = ∞. (6.12) В скалярном случае оба условия совпадают. Покажем, что при выполнении условия (6.12) для каждого p < m существуют блочные матрицы Якоби JX,α(D) ∈ JX,α(D, m), удовлетворяющие условию (6.12) с индексами n±(JX,α(D)) = p. Утверждение 6.8 (см. [10]). Пусть {d(1) }∞ ∈ l1(N), {d(2)}∞ /∈ l1(N) и d(1) � 0, d(2) � 0, n ∈ N. (d(1) 2 n 1 n 1 n n Пусть также lim n-1 ) = 0, m = m + m , m ,m ∈ N, и пусть внедиагональные блочные n→∞ d (1) n 1 2 1 2 (1) (2) элементы матрицы JX,α(D) допускают представления Bn = Bn ⊕ Bn , где ⎧ c ⎧ c (1) ⎨ d ⎪ (1) Im1 , n = 2j, j+1 (2) ⎨ d ⎪ (2) j+1 Im2 , n = 2j, Bn = c Im Bn = c d(1) (1) ⎪⎩ / 1 , n = 2j + 1, ⎪⎩ / (2) (2) Im2 , n = 2j + 1, j+1 dj+2 ) ⎧ αj , n = 2j, dj+1 dj+2 An = ⎨ d (1) j+1 d I , n = 2j + 1. c ⎩- (1) m j+1 Положим также, что αn := α(1) ⊕α(2), где последовательность {α(1)}⊂ Cm1 ×m1 и удовлетворяn n n n ют условию (6.8), в то время как последовательность {α(2)}⊂ Cm2 ×m2 является произвольной. Тогда: 1. матрица JX,α(D) удовлетворяет условию (6.12); 2. n±(JX,α(D)) = m1; n 3. кроме того, если d(2) n � d(1) при достаточно больших n и выполнено условие (6.11), то каждое самосопряженное расширение оператора JX,α(D) имеет дискретный спектр. Доказательство извлекается из теоремы 6.4, теста Карлемана (2.1) и теоремы 5.3. Наконец, следуя [8, 10], рассмотрим еще одно приложение теоремы 6.5 (и утверждения 6.2). X,β Утверждение 6.9 (см. [8, 10]). Пусть Jt c (D)(∈ JX,β (D, m1)) - блочная матрица Якоби с t элементами βn = -dnIm1 и dn = √ (n+1) n2 +1 , n � 1. Пусть m = m1 + m2, и пусть J�X,β (D) - (1) (2) блочная матрица Якоби с m × m-элементами Bn = Bn ⊕ Bn , ⎧ c = (1) Bn ⎨ dj+1 Im1 , n = 2j, c ⎩√dj+1 dj+2 Im1 , n = 2j + 1, = (2) Bn √ 2Im2 , An = Om. X,β Тогда n±(J�t X,β (D)) = n±(Jt (D)) = m1. Интересно отметить, что блочная матрица Якоби J� t X,β (D), построенная в утверждении 6.9, незначительно отличается от матрицы Якоби JDyuk, построенной в теореме 4.2 Дюкаревым [17] в X,β рамках совершенно другого подхода. В частности, имеем n±(JDyuk) = n±(J�t (D)) = m1. ИНДЕКСЫ ДЕФЕКТА БЛОЧНЫХ МАТРИЦ ЯКОБИ: ОБЗОР 251 Замечание 6.6. Еще одно утверждение о промежуточных индексах дефекта блочных матриц Якоби может быть найдено в [8, утверждение 2] и [10, раздел 8]. Приложения матриц Якоби J(1) (H) и J(2) (H) к операторам Шредингера с δ-взаимодействиями X,α X,α можно найтив работах [20-22] (скалярный случай, m = 1) и работах [7, 9, 10, 23] (случай m> 1). Приложения матриц Якоби JX,α(D) и JX,β (D) к операторам Дирака с δ-взаимодействиями содержатся в работах [12] (m = 1) и [8-11] (матричный случай, m> 1). Отметим также, что в работе [29] матрицы Якоби применяются к исследованию индексов дефекта дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами.