On Representations of Groups and Algebras in Spaces with Indefinite Metric

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

The paper contains a survey of known results on the structure of J-symmetric operator algebras in Pontryagin and Krein spaces, as well as on representations of groups and *-algebras in these spaces.

About the authors

E. V. Kissin

London Metropolitan University

Author for correspondence.
Email: e.kissin@londonmet.ac.uk
London, UK

V. S. Shulman

Vologda State University

Email: victor.shulman80@gmail.com
Vologda, Russia

References

  1. Азизов Т. Я., Копачевский Н. Д. Введение в теорию пространств Понтрягина. Приложения индефинитной метрики. Специальный курс лекций. - Симферополь: ООО «Форма», 2008.
  2. Азизов Т. Я., Копачевский Н. Д. Введение в теорию пространств Крейна. Приложения индефинитной метрики. Специальный курс лекций. - Симферополь: ООО «Форма», 2010.
  3. Азизов Т. Я., Копачевский Н. Д. Приложения индефинитной метрики. - Симферополь: ДИАЙПИ, 2014.
  4. Дадашян К. Ю., Хоружий С. С. О полевых алгебрах в квантовой теории с индефинитной метрикой, I// Теор. мат. физ. - 1983. - 54, № 1. - С. 57-77.
  5. Дадашян К. Ю., Хоружий С. С. О полевых алгебрах в квантовой теории с индефинитной метрикой, II// Теор. мат. физ. - 1985. - 2, № 1. - С. 30-44.
  6. Дадашян К. Ю., Хоружий С. С. О полевых алгебрах в квантовой теории с индефинитной метрикой, III// Теор. мат. физ. - 1987. - 70, № 2. - С. 181-191.
  7. Дадашян К. Ю., Хоружий С. С. О полевых алгебрах в квантовой теории с индефинитной метрикой, IV// Теор. мат. физ. - 1987. - 72, № 3. - С. 340-351.
  8. Гельфанд И. М., Наймарк М. А. Унитарные представления классических групп// Тр. МИАН. - 1950. - 36. - С. 3-288.
  9. Желобенко Д. П. Описание одного класса представлений группы Лоренца// Докл. АН СССР. - 1958. - 121, № 4. - С. 586-590.
  10. Иохвидов И. С. Унитарные операторы в пространствах с индефинитной метрикой// Заметки НИИ мат. и мех. Харьков. ун-та. - 1949. - 21.- С. 79-86.
  11. Исмагилов Р. С. Описание унитарных представлений группы Лоренца в пространстве с индефинитной метрикой// Докл. АН СССР. - 1964. - 158, № 2. - С. 268-270.
  12. Исмагилов Р. С. Кольца операторов в пространствах с индефинитной метрикой// Докл. АН СССР. - 1966. - 171, № 2. - С. 269-271.
  13. Исмагилов Р. С. Унитарные представления группы Лоренца в пространствах с индефинитной метрикой// Изв. АН СССР. - 1966. - 30, № 3. - С. 497-522.
  14. Исмагилов Р. С. О задаче расширения представлений// Мат. заметки. - 1984. - 35, № 1. - С. 99-106.
  15. Исмагилов Р. С. О неприводимости представлений группы токов// Функц. анализ и его прилож. - 1994. - 28.- С. 21-30.
  16. Крейн М. Г. Об одном применении принципа неподвижной точки в теории линейных преобразований пространств с индефинитной метрикой// Усп. мат. наук. - 1950. - 5, № 2. - С. 180-190.
  17. Крейн М. Г. Об интегральном представлении непрерывной эрмитово-индефинитной функции с конечным числом отрицательных квадратов// Докл. АН СССР. - 1959. - 125, № 1. - С. 31-34.
  18. Либерзон В. И., Шульман В. С. Операторно-неприводимые алгебры операторов в пространстве Понтрягина Π1// Изв. АН СССР. - 1971. - 35, № 5. - С. 1159-1170.
  19. Либерзон В. И., Шульман В. С. Невырожденные операторные алгебры в пространствах с индефинитной метрикой// Изв. АН СССР. - 1973. - 37, № 3. - С. 533-538.
  20. Литвинов С. Н. Бициклические WJ*-алгебры в пространстве Понтрягина типа Π1// Функц. анализ и его прилож. - 1992. - 26, № 3. - С. 46-54.
  21. Логинов А. И. О коммутативных симметричных алгебрах операторов в пространствах Понтрягина// Изв. АН СССР. - 1969. - 33, № 3. - С. 559-569.
  22. Логинов А. И. Полные коммутативные симметричные операторные алгебры в пространстве Понтрягина Π1// Мат. сб.- 1971.- 84, № 4. - С. 575-582.
  23. Логинов А. И. Одно обобщение теоремы Маркова-Какутани о неподвижной точке// Функц. анализ и его прилож. - 1980. - 14, № 2. - С. 65-66.
  24. Логинов А. И., Шульман В. С. Неприводимые J -симметричные алгебры операторов в пространствах с индефинитной метрикой// Докл. АН СССР. - 1978. - 240, № 1. - С. 21-23.
  25. Логинов А. И., Шульман В. С. Векторнозначная двойственность для модулей над банаховыми алгебрами// Изв. АН СССР. - 1993. - 57, № 4. - С. 3-35.
  26. Ломоносов В. И. Об инвариантных подпространствах семейства операторов, коммутирующих с вполне непрерывным// Функц. анализ и его прилож. - 1973. - 7, № 3. - С. 55-56.
  27. Машарипова С. Ш., Чилин В. И. Функциональное исчисление в симметричных операторных алгебрах в пространстве Понтрягина Π1// Докл. АН Узбек. ССР. - 1994. - 14.- С. 10-12.
  28. Машарипова С. Ш., Чилин В. И. Теорема плотности Капланского для симметричных операторных алгебр в Π1// Узбек. мат. ж. - 1996. - 2.- С. 68-75.
  29. Наймарк М. А. О перестановочных унитарных операторах в пространстве Πk // Докл АН СССР. - 1963. - 149.- С. 1261-1263.
  30. Наймарк М. А. О коммутативных алгебрах операторов в пространстве Πk // Докл АН СССР. - 1965. - 161, № 4. - С. 767-770.
  31. Наймарк М. А. Об унитарных представлениях разрешимых групп в пространствах с индефинитной метрикой// Изв. АН СССР. - 1963. - 27. - С. 1181-1185.
  32. Наймарк М. А. О структуре унитарных представлений локально компактных групп в пространствах Понтрягина Π1// Изв. АН СССР. - 1965. - 29, № 4. - С. 689-770.
  33. Наймарк М. А. О структуре унитарных представлений локально компактных групп и симметричных представлений в пространствах Понтрягина Πk // Изв. АН СССР. - 1966. - 30, № 5. - С. 1111-1132.
  34. Наймарк М. А., Исмагилов Р. С. Представления групп и алгебр в пространствах с индефинитной метрикой// Итоги науки и техн. Сер. Мат. Мат. анализ. - 1969. - 1968.- С. 73-105.
  35. Понтрягин Л. С. Эрмитовы операторы в пространствах с индефинитной метрикой// Изв. АН СССР. - 1944. - 8. - С. 243-280.
  36. Соболев С. Л. О движении симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью// Журн. прикл. мех. и техн. физ. - 1949. - № 1. - С. 55-60.
  37. Филлипс Р. С. Расширение дуальных подпространств, инвариантных относительно алгебры// Математика. - 1964. - 8, № 6. - С. 81-108.
  38. Филлипс Р. С. Диссипативные операторы и гиперболические системы операторов в частных производных// Математика. - 1962. - 6, № 4. - С. 11-70.
  39. Шкаликов А. А. О существовании инвариантных подпространств у диссипативных операторов в пространствах с индефинитной метрикой// Тр. МИАН. - 2005. - 248. - С. 294-303.
  40. Штраус В. А. Функциональное представление алгебры, порожденной самосопряженным оператором в пространстве Понтрягина// Функц. анализ и его прилож. - 1986. - 20, № 1. - С. 91-92.
  41. Шульман В. С. Банаховы симметричные алгебры операторов в пространстве типа Π1// Мат. сб. - 1972. - 89, № 2. - С. 264-279.
  42. Шульман В. С. О представлениях C*-алгебр в пространствах с индефинитной метрикой// Мат. заметки. - 1977. - 22. - С. 583-592.
  43. Шульман В. С. Одна теорема о неподвижной точке// Функц. анализ и его прилож. - 1979. - 13, № 1. - С. 88-89.
  44. Шульман В. С. О неподвижных точках дробно-линейных отображений// Функц. анализ и его прилож. - 1980. - 14, № 2. - С. 93-94.
  45. Шульман В. С. О модулях над операторными алгебрами// Функц. анализ и его прилож. - 1983. - 17, № 2. - С. 94-95.
  46. Шульман В. С. Факторизация вполне положительных коциклов и ГНС-конструкция представлений в пространствах Понтрягина// Функц. анализ и его прилож. - 1997. - 31, № 3. - С. 91-94.
  47. Benderskii O. Ya., Litvinov S. N., Chilin V. I. Description of commutative symmetric algebras of operators on Pontryagin space Π1// J. Operator Theory. - 1997. - 37. - С. 201-222.
  48. Blackadar B., Cuntz J. Differential Banach algebra norms and smooth subalgebras of C*-algebras// J. Operator Theory. - 1991. - 26. - С. 255-282.
  49. Bratteli O., Robinson D. Unbounded derivations of C*-algebras, I// Commun. Math. Phys. - 1975. - 42. - С. 253-268.
  50. Bratteli O., Robinson D. Unbounded derivations of C*-algebras, II// Commun. Math. Phys. - 1976. - 46. - С. 11-30.
  51. Chilin V. I., Masharipova S. Sh. Functional calculus for the algebra of operators generated by a self-adjoint operator in Pontryagin’s space Π1// Proc. 8th Int. Conf. «Topological Algebras and Their Applications», 2014. - Berlin-Boston: Walter de Gruyter, 2018. - С. 55-72.
  52. Chilin V. I., Masharipova S. Sh. Functional calculus for the algebra of operators generated by a selfadjoint operator in Pontryagin’s space Π1. II. Exceptional case in the model of type 1// Indian J. Math. - 2016. - 58.- С. 18-37.
  53. Cuntz J. Locally C*-equivalent algebras// J. Funct. Anal. - 1976. - 23.- С. 95-106.
  54. Gohberg I., Lancaster P., Rodman L. Indefinite linear algebra and applications. - Basel: Birkha¨user, 2005.
  55. Guichardet A. Sur la cohomologie des groupes topologiques// Bull. Sci. Math. - 1971. - 95. - С. 161-176.
  56. Helton J. W. Unitary operators on a space with an indefinite inner product// J. Funct. Anal. - 1970. - 6. - С. 412-440.
  57. Helton J. W. Operators unitary in an indefinite metric and linear fractional transformations// Acta Sci. Math. - 1971. - 32. - С. 261-266.
  58. Jorgensen P. E. T., Muhly P. S. Selfadjoint extensions satisfying the Weyl operator commutation relations// J. D’Anal. Math. - 1980. - 37. - С. 46-99.
  59. Kissin E. Symmetric operator extensions of unbounded derivations of C*-algebras// J. Funct. Anal. - 1988. - 81. - С. 38-53.
  60. Kissin E. Dissipative implementations of *-derivationa of C*-algebras and representations in indefinite metric spaces// J. London. Math. Soc. (2). - 1991. - 43. - С. 451-464.
  61. Kissin E. Representational indices of derivations of C*-algebras and representations of *-algebras on Krein spaces// J. Reine Angew Math. - 1993. - 439. - С. 71-92.
  62. Kissin E. Semigroups of representational indices of derivations of C*-algebras// J. Funct. Anal. - 1994. - 126. - С. 139-168.
  63. Kissin E. Derivations of C*-algebras which contain all compact operators and representations of Qsubalgebras of these algebras on Πk -spaces// J. London. Math. Soc. (2). - 1995. - 51. - С. 161-174.
  64. Kissin E. Derivations of C*-algebras and representations on deficiency spaces of skew-symmetric operators// Proc. London Math. Soc. (3). - 1998. - 76, № 2. - С. 476-496.
  65. Kissin E., Loginov A. I., Shulman V. S. Derivations of C*-algebras and almost Hermitian representations on Πk -spaces// Pacific J. Math. - 1996. - 174. - С. 411-430.
  66. Kissin E., Shulman V. S. Differential properties of some dense subalgebras of C*-algebras// Proc. Edinb. Math. Soc.- 1994.- 37. - С. 399-422.
  67. Kissin E., Shulman V. S. Representations on Krein spaces and derivations of C*-algebras. - Harlow: Longman, 1997.
  68. Kissin E., Shulman V. S. Non-unitary representations of nilpotent groups, I: Cohomologies, extensions and neutral cocycles// J. Funct. Anal. - 2015. - 269. - С. 2564-2610.
  69. Kissin E., Shulman V. S. Representations of nilpotent groups on spaces with indefinite metric// Integral Equ. Operator Theory.- 2017.- 87. - С. 81-116.
  70. Kissin E., Shulman V. S., Turovskii V. S. Pontryagin-Krein theorem: Lomonosov’s proof and relared results// В сб.: «The Mathematical legacy of Victor Lomonosov. Operator theory». - Berlin: De Gruyter, 2020. - С. 231-250.
  71. Lomonosov V. I. On stability of non-negative invariant subspaces// В сб.: «New Results in Operator Theory and Its Applications: the Israel M. Glazman Memorial Volume». - Basel: Birkha¨user, 1997. - С. 186-189.
  72. Naimark M. A. Kommutative algebren von operatoren im raume Π1// Rev. Roumaine Math. Pures Appl. - 1964. - 9, № 6. - С. 499-528.
  73. Nakazato H. Indefinite inner product spaces and derivations// Math. Japonica. - 1990. - 35. - С. 1119- 1124.
  74. Ostrovskii M., Shulman V. S., Turowska L. Unitarizable representations and fixed points of groups of holomorphic transformations of operator balls// J. Funct. Anal. - 2009. - 257. - С. 2476-2496.
  75. Ostrovskii M., Shulman V. S., Turowska L. Fixed points of holomorphic transformations of operator balls// Q. J. Math. - 2011. - 62. - С. 173-187.
  76. Ota S. Certain operator algebras induced by *-derivations in C*-algebras on an indefinite product space// J. Funct. Anal. - 1978. - 30. - С. 238-244.
  77. Pisier G. Similarity problems and completely bounded maps. Includes the solution to «The Halmos Problem». - Berlin: Springer, 2001.
  78. Sakai K. On J -unitary representations of amenable groups// Rep. Fac. Sci. Kagoshima Univ. - 1977. - 26. - С. 33-41.
  79. Sakai K. On indecomposable unitary representations of Locally compact abelian groups in Πn-spaces// Rep. Fac. Sci. Kagoshima Univ. - 1978. - 27.- С. 1-20.
  80. Sakai K. On quasi-positive definite functions and unitary representations of groups in Pontryagin spaces// J. Math. Kyoto Univ. - 1979. - 19.- С. 71-90.
  81. Sakai K. Some remarks on unitary representations of the Euclidean motion group in Πn-spaces// Sci. Rep. Kagoshima Univ. - 1980. - 29.- С. 13-26.
  82. Sakai K. On indecomposable unitary representations of the 2-dimensional Euclidean motion group in fnite-dimensional indefinite inner product spaces// Sci. Rep. Kagoshima Univ. - 1980. - 29. - С. 27-51.
  83. Samei E., Wiersma M. Quasi-Hermitian locally compact groups are amenable// Adv. Math. - 2020. - 359. - 106897.
  84. Sasvari Z. On bounded functions with a finite number of negative squares// Monatsh. Math. - 1985. - 99. - С. 223-234.
  85. Schwartz J. T. Subdiagonalization of operators in Hilbert space with compact imaginary part// Commun. Pure Appl. Math. - 1962. - 15. - С. 159-172.
  86. Shafrir I. Operators in hyperbolic spaces// PhD Thesis. - Haifa: Technion - Israel Institute of Technology, 1990.
  87. Shulman V. S. Quasivectors and Tomita-Takesaki theory for operator algebras on P1-spaces// Rev. Math. Phys.- 1997.- 9, № 6. - С. 749-783.
  88. Strauss V. On the weakly closed algebra generated by a unitary operator in a Pontryagin space// Oper. Matrices. - 2018. - 12, № 3. - С. 837-853.
  89. Strauss V. On a functional calculus for unitary operators in Pontryagin spaces// Oper. Matrices. - 2020. - 14, № 3. - С. 971-999.
  90. Takahashi W. A convexity in metric spaces and non-expansive mappings. I// Kodai Math. Sem. Rep. - 1970. - 22. - С. 142-149.
  91. Tong Y. Commutative J -von Neumann algebras on Pontryagin spaces// Chinese Ann. Math. Ser. A. - 1993. - 14. - С. 429-436.
  92. Tong Y. Two density theorems for sets of operators on Pontryagin spaces// Acta Math. Sinica. - 1994. - 37, № 1. - С. 1-11.
  93. Tong Y. Uniformly closed symmetric operator algebras on Pontryagin spaces// Chinese Ann. Math. Ser. A. - 1994. - 15. - С. 603-611.
  94. Tong Y. A density theorem on the operator algebras in Pontryagin spaces// J. Math. Anal. Appl. - 2002. - 268. - С. 143-156.
  95. Van Daele A. A framework to study commutational problems// Bull. Soc. Math. France. - 1978. - 106.- С. 289-309.
  96. Yang H. On the symmetry of ideal in operator algebras on Pontryagin spaces// Acta Math. Sinica. - 2004. - 47. - С. 915-920.
  97. Yang H. Structure of ideals of operator algbras on Pontryagin spaces// Chinese Ann. Math. Ser. A. - 2007. - 28, № 1. - С. 103-110.
  98. Yang H. The operator algebras of class I on the Pontryagin spaces// J. Systems Sci. Math. Sci. - 2013. - 33, № 2. - С. 993-1006.
  99. Yang H. Classification and general forms of operator algebras on Pontryagin space// Acta Math. Sinica. - 2015. - 58, № 3. - С. 401-408.
  100. Yang H., Fang Y., Liu S. General form of operator algebras on Pontryagin spaces with neutral invariant subspaces// Linear Algebra Appl.- 2007.- 425.- С. 184-209.
  101. Yang H., Fang Y., Liu S. Invariant subspaces of JC*-algebras on Π1-spaces// J. Systems Sci. Math. Sci. - 2008. - 28, № 10. - С. 1268-1274.

Copyright (c) 2021 Contemporary Mathematics. Fundamental Directions

License URL: https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.en

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies