Stochastic Lagrange Approach to Viscous Hydrodynamics

Abstract

The work is a survey of the author’s results with modifications and preliminary information on the use of stochastic analysis on Sobolev groups of diffeomorphisms of a flat n-dimensional torus to describe the motion of viscous fluids (nonrandom ones). The main idea is to replace the covariant derivatives on the groups of diffeomorphisms in the equations introduced by D. Ebin and J. Marsden to describe ideal fluids by the so-called mean derivatives of random processes.

Full Text

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Введение 285 2. Производные в среднем 286 3. Группы диффеоморфизмов 288 4. Вязкая гидродинамика 290 5. Возможные обобщения на неньютоновские жидкости 292 Список литературы 293 1. ВВЕДЕНИЕ Эта статья посвящена памяти Н. Д. Копачевского, в творчестве которого очень заметную роль играла гидродинамика. Эта работа является обзором лагранжева подхода к гидродинамике, инициированного известными работами В. И. Арнольда [2] и затем Д. Эбина и Дж. Марсдена [5]. В [5] на языке бесконечномерной геометрии групп соболевских диффеоморфизмов компактных многообразий была очень красиво описана гидродинамика идеальных несжимаемых жидкостей. В частности, было показано, что поток идеальной несжимаемой жидкости с нулевой внешней силой описывается уравнением геодезической слабой римановой метрики на группе сохраняющих объем диффеоморфизмов. В работах автора было показано, что потоки вязкой несжимаемой жидкости описываются стохастическими аналогами уравнений Эбина и Марсдена, в которых обычная ковариантная производная на группе диффеоморфизмов заменяется так называемыми производными в среднем случайных процессов, введенными в 60-х годах XX века Э. Нельсоном (см. [10-12]) для нужд созданной им стохастической механики (вариант квантовой механики). Хотя конструкция основана на применении стохастического анализа, результаты удается получить для детерминированных (не случайных) вязких жидкостей. Обзор этих результатов (см. [6-9]) вместе со всеми предварительными сведениями и существенными модификациями и является основной целью настоящей работы. В работе также содержатся новые результаты. В отличие от Эбина и Марсдена, мы рассматриваем гидродинамику только на плоском n-мерном торе. Напомним, что плоский тор получается факторизацией n-мерного евклидова пространства по целочисленной решетке, при которой риманова метрика на торе наследуется из евклидовой метрики пространства. Работа поддержана грантом РФФИ № 18-01-00048. © РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2021 Эта работа доступна по лицензии Creative Commons 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.ru 285 286 Ю. Е. ГЛИКЛИХ 2. ПРОИЗВОДНЫЕ В СРЕДНЕМ Для простоты изложения мы опишем теорию производных в среднем для процессов в Rn. Однако из-за того, что геометрия на торе наследуется из Rn, это изложение без изменений применяется на торе. Рассмотрим случайный процесс ξ(t) в Rn (где мы фиксируем σ-алгебру борелевских множеств), t ∈ [0,T ], заданный на некотором вероятностном пространстве (Ω, F , P) и такой, что ξ(t) принадлежит пространству L1(Ω, Rn) при всех t. Такой процесс определяет три семейства σ-подалгебр σ-алгебры F : t 1. «прошлое» Pξ, порожденное прообразами борелевских множеств из Rn при всех отображениях ξ(s) : Ω → Rn для 0 ::: s ::: t; t 2. «будущее» F ξ, порожденное прообразами борелевских множеств из Rn при всех отображениях ξ(s) : Ω → Rn для t ::: s ::: T ; t 3. «настоящее» N ξ, порожденное прообразами борелевских множеств из Rn при отображении ξ(t) : Ω → Rn. Все перечисленные семейства предполагаются полными, т. е. содержащими все множества вероятности нуль. Для удобства мы обозначаем через Eξ условное математическое содержание E(·|N ξ ) t t t относительно «настоящего» N ξ для ξ(t). Следуя Э. Нельсону, введем следующие понятия производных в среднем: Определение 2.1. 4. Производная в среднем справа Dξ(t) процесса ξ(t) в момент времени t есть L1-случайный элемент вида E Dξ(t) = lim ξ ×t→+0 t ( ξ(t + U.t) - ξ(t)\ U.t , (2.1) где предел предполагается существующим в L1(Ω, F , P), а символ U.t → +0 означает, что U.t стремится к нулю 0 и U.t> 0. 5. Производная в среднем слева D∗ξ(t) процесса ξ(t) в момент времени t есть L1-случайный элемент D∗ξ(t) = lim Δt→+0 Eξ ( ξ(t) - ξ(t - Δt)\ t Δt , (2.2) где (как и в пункте 1) предел предполагается существующим в L1(Ω, F , P), а символ Δt → +0 означает, что Δt → 0 и Δt> 0. t Замечание 2.1. Если ξ(t) - марковский процесс, то очевидным образом Eξ можно заменить на E(·|Pξ ) в (2.1) и E(·|F ξ ) в (2.2). В первых работах Нельсона предлагались два варианта определеt t ния производных в среднем: как в определении 2.1 и с условными математическими ожиданиями относительно «прошлого» и «будущего», как выше, которые совпадают для марковских процессов. Мы не предполагаем, что ξ(t) - марковский процесс, и даем определения с условными математическими ожиданиями относительно «настоящего», принимая во внимание физический принцип локальности: производная должна определяться состоянием системы в «настоящий» момент времени, а не в прошлом и в будущем. Тем не менее, производные относительно прошлого и будущего также возникают во многих задачах для немарковских процессов. Мы называем их P-производной F в среднем и -производной в среднем и обозначаем символами DP и DF , соответственно. Изу- ∗ чению уравнений и включений с подобными производными в среднем посвящена работа [4]. Мы также используем следующие обобщения понятий производных в среднем справа и слева: Определение 2.2. Производная справа Dξη(t) процесса η(t) относительно процесса ξ(t) в момент времени t есть L1-случайный элемент вида Dξη(t) = lim Eξ ( η(t+×t)-η(t) ), а производная ×t→+0 t ×t слева Dξη(t) процесса η(t) относительно ξ(t) имеет вид Dξη(t) = lim Eξ ( η(t)-η(t-Δt) ), где пре- ∗ ∗ Δt→+0 t Δt делы полагаются существующими в L1(Ω, F , P), а U.t → +0 означает, что U.t стремится к 0 и 6. t> 0. СТОХАСТИЧЕСКИЙ ЛАГРАНЖЕВ ПОДХОД К ВЯЗКОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ 287 Следующая производная в среднем строится как небольшая модификация одной идеи Нельсона. Введем дифференциальный оператор D2, который действует на L1-случайный процесс ξ(t), t ∈ [0,T ], по правилу D2ξ(t) = lim ×t→+0 E ξ /(ξ(t+×t)-ξ(t))(ξ(t+×t)-ξ(t))∗ t t \ , где (ξ(t + U.t) § ξ(t)) рас- × сматривается как вектор-столбец (вектор в Rn), а (ξ(t + U.t) - ξ(t))∗ - это вектор строка (транспонированный или сопряженный вектор), а предел предполагается существующим в L1(Ω, F , P). Подчеркнем, что матричное произведение столбца слева и строки справа - это матрица, так что D2ξ(t) является симметрической неотрицательно определенной матричной функцией на [0,T ]× Rn. Определение 2.3. D2 называется квадратичной производной в среднем. Замечание 2.2. Из свойств условного математического ожидания следует, что существуют изn меримые по Борелю отображения a(t, x), a∗(t, x) и α(t, x) из R×R в Rn , Rn ив S¯+, соответственно, такие, что Dξ(t) = a(t, ξ(t)), D∗ξ(t) = a∗(t, ξ(t)) и D2ξ(t) = α(t, ξ(t)). Следуя [1], мы называем a(t, x), a∗(t, x) и α(t, x) регрессиями. Напомним стандартное обозначение регрессии: a(t, x) = lim E ×t→+0 ( ξ(t + U.t) - ξ(t) U.t \ | ξ(t) = x . Для a∗(t, x) и α(t, x) обозначения аналогичны. Подобные обозначения мы будем использовать ниже. Напомним, что процесс Ито - это процесс ξ(t) вида ξ(t) = ξ0 +( t a(s)ds +( t A(s)dw(s), где пер- 0 0 вый интеграл - интеграл Лебега, а второй - интеграл Ито, A(t) : Rk → Rn - линейный оператор, зависящий от t, а w(t) - винеровский процесс в Rk. Определение 2.4. Процесс Ито ξ(t) называется процессом диффузионного типа, если a(t) и A(t) не упреждают относительно Pξ и винеровский процесс w(t) подчинен Pξ. Если a(t) = a(t, ξ(t)) t t и A(t) = A(t, ξ(t)), где a(t, x) и A(t, x) - измеримые по Борелю отображения из [0,T ] × Rn в Rn и в L(Rk, Rn), соответственно, то процесс Ито называется диффузионным процессом. t Принимая во внимание свойства условного математического ожидания и тот факт, что N ξ является σ-подалгеброй в Pξ, легко видеть, что для любого мартингала η(t) относительно Pξ t t выполняется равенство Dξη(t) = 0. Поскольку для процесса диффузионного типа интеграл Ито ( t ξ 0 A(s)dw(s) является мартингалом относительно Pt , имеет место следующее утверждение. t Теорема 2.1 (см. [3]). Для процесса Ито диффузионного типа ξ(t) производная в среднем справа Dξ(t) существует и равна Eξ (a(t)). В частности, если ξ(t) - диффузионный процесс, Dξ(t) = a(t, ξ(t)). t Теорема 2.2 (см. [3]). Пусть ξ(t) - процесс диффузионного типа. Тогда D2ξ(t) = Eξ [α(t)], где α(t) = A(t)A∗(t). В частности, если ξ(t) - диффузионный процесс, то D2ξ(t) = α(t, ξ(t)), где α(t, x) = A(t, x)A∗(t, x) - коэффициент диффузии. Теорема 2.3. Для процесса диффузионного типа ξ(t) равенство D2ξ(t) = 0 выполняется тогда и только тогда, когда A = 0, и, таким образом, ξ(t) является неслучайным (детерминированным) процессом. Определение 2.5. Производная DS = 1 (D + D ) называется симметрической производной в 2 ∗ среднем. Производная DA = 1 (D - D ) называется антисимметрической производной в среднем. 2 ∗ Рассмотрим векторы vξ (t, x) = 1 (a(t, x)+ a (t, x)) и uξ (t, x) = 1 (a(t, x) - a (t, x)). 2 ∗ 2 ∗ Определение 2.6. vξ (t) = vξ (t, ξ(t)) = DSξ(t) называется текущей скоростью процесса ξ(t); uξ (t) = uξ (t, ξ(t)) = DAξ(t) называется осмотической скоростью процесса ξ(t). Физический смысл текущей и осмотической скоростей состоит в следующем. Пусть ξ(t) описывает движение физического процесса, скажем, движение частицы (кредо автора состоит в том, что все физические процессы - случайные с малой дисперсией, так что обычно можно исключить из рассмотрения их стохастичность). Тогда текущая скорость vξ - это как раз та характеристика, 288 Ю. Е. ГЛИКЛИХ которую мы обычно рассматриваем какфизическую скорость, а осмотическая скорость uξ показывает насколько быстро частица «диффундирует» в окружающий континуум, т. е. насколько быстро нарастает «случайность». Пусть Y (t, m), t ∈ [0, l] - гладкое зависящее от времени векторное поле на Rn. Определим производные в среднем справа DY и слева D∗Y поля Y вдоль ξ(t) следующим образом: DY (t, ξ(t)) = lim Eξ Y (t +Δt, ξ(t +Δt)) - Y (t, ξ(t)) , Δt→+0 t Δt ∗ Δ D Y (t, ξ(t)) = lim t→+0 t . Eξ Y (t, ξ(t)) - Y (t - Δt, ξ(t - Δt)) Δt Предположим, что ξ имеет коэффициент диффузии σ2I. Тогда соответствующие регрессии DY и D∗Y выражаются формулами DY = / σ2 Δ+ X + ∂ \ Y и D Y = / -σ2 Δ+ X + ∂ \ Y, (2.3) 2 ·∇ ∂t ∗ 2 ∗ ·∇ ∂t ∂x1 где Δ - оператор Лапласа, ∇ = ( ∂ ∂xn ,... , ∂ ) ((x1,... , xn) - координаты в Rn), и точка обозначает скалярное произведение Rn. Производные второго порядка DDξ(t) и D∗D∗ξ(t) мы описываем как первые производные D от регрессии (т. е. векторного поля) Dξ и, соответственно, D∗ от регрессии (векторного поля) D∗ξ. Замечание 2.3. . В случае, когда ξ имеет коэффициент диффузии σ2I, обозначим регрессию D∗ξ символом Y. Тогда по второй формуле (2.3) мы получаем ( -σ2 ∂ \ ·∇ D∗D∗ξ = Δ+ Y + 2 ∂t Y, (2.4) где правая часть формулы (2.4) совпадает с левой частью уравнения Бюргерса. 3. ГРУППЫ ДИФФЕОМОРФИЗМОВ Здесь мы опишем некоторые свойства групп соболевских диффеоморфизмов на плоском nмерном торе (см. подробности в [5] а также их развитие в [7]). Пусть T n - плоский n-мерный тор и Ds(T n) - его группа соболевских диффеоморфизмов класса Hs(s> n/2+ 1). Напомним, что для s> n/2+1 отображения из Hs имеют гладкость C1. s D (T 1. является гильбертовым многообразием и группой относительно суперпозиции с единицей e = id. Касательное пространство TeDs(T n) - это пространство всех Hs-векторных полей на T n. Мы обозначаем через β подпространство в TeDs(T n), состоящее из бездивергентных Hsвекторных полей на T n. Касательное расслоение T Ds(T n) - это множество Hs-отображений из T n в T T n такое, что проекции на T n дают отображения из Ds(T n). В любом Tf Ds(T n) можно определить L2-скалярное произведение по формуле r (X, Y ) = ±X(m),Y (m)∓f (m) μ(dm). (3.1) T n s Семейство этих скалярных произведений образует так называемую слабую риманову метрику на D (T n). В частности, в TeDs(T n) скалярное произведение (3.1) принимает вид r (X, Y )e = ±X(m),Y (m)∓mμ(dm). (3.2) T n →D Правый сдвиг Rf : Ds(Tn) s(T ∈D n), где Rf (Θ) = Θ ◦ f при Θ,f s(T n), является C ∞-гладким отображением. Касательное отображение к правому сдвигу имеет вид TRf (X) = X ◦ f при 2. ∈ T Ds(Tn). → D С другой стороны, левый сдвиг Lf : Ds(Tn) s(T ∈ D n), где Lf (Θ) = f ◦ Θ при Θ,f s(T n), только непрерывен. Зафиксируем вектор x ∈ Rn и обозначим через lx : Tn → Tn отображение lx(m) = m + x по модулю факторизации по целочисленной решетке пространства Rn. Отметим, что левый сдвиг Llx C∞-гладок. Напомним, что T T n = T n × Rn. Введем операторы B : T T n → Rn - проекции на второй сомноm житель в T n × Rn, и A(m) : Rn → T n - обратный к B линейный изоморфизм Rn n на касательное пространство к T n в m ∈T . СТОХАСТИЧЕСКИЙ ЛАГРАНЖЕВ ПОДХОД К ВЯЗКОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ 289 ∈D Введем Qg(m) = A(g(m))◦B, где g s(T ∈T n), m n . Для каждого Y ∈ Tf Ds(T n) мы получаем, ∈D что Qg Y = A(g(m)) ◦ B(Y (m)) ∈ Tg Ds(T n) при всех f s(T n). Лемма 3.1. Верны соотношения TRg-1 (Qg X) = Qe(T Rg-1 X), TRg (Qg-1 X) = Qe(T Rg X). Лемма 3.2. Qg является параллельным переносом в Ds(T n) относительно связности ЛевиЧивиты метрики (3.1) Доказательства лемм 3.1 и 3.2 можно найти, например, в [7]. Таким образом, для гладкого векторного поля Y (t) вдоль гладкой кривой g(t) в Ds(T n) ковариантная производная в момент времени t∗ определяется как D¯ Y (t)| = d (Q Y (t))| . dt t=t∗ dt g(t∗) t=t∗ Напомним, что (см. [7]) геодезическая - это гладкая кривая g(t) в Ds(T n) такая, что D¯ g˙(t) = 0. (3.3) dt Для такой кривой g(t) построим вектор v(t) ∈ TeDs(T n) по формуле v(t) = g˙ (t) ◦ g-1(t). Лемма 3.3. Если g(t) - геодезическая, то кривая Rf g(t) - также геодезическая. Лемма 3.4. Пусть g(t) - геодезическая и x ∈ Rn - некоторый вектор. Тогда lxg(t) - геодезическая. Рассмотрим оператор A¯ : Ds(T n) × Rn → T Ds(T n) такой, что A¯e совпадает с введенным выше s A, и для каждого g ∈D (T n) отображение A¯g : Rn → Tg Ds(T n) получается из A¯e правым сдвигом, т. е. для X ¯ ∈ Rn: A¯g (X) = T Rg ◦ Ae(X) = (A ◦ g)(X). Каждое правоинвариантное векторное поле A(X) является C∞-гладким на Ds(T n) для каждого X ∈ Rn. Для любой точки m ∈ Tn обозначим через expm : TmTn → Tn отображение, которое переводит вектор X ∈ TmTn в точку m + X по модулю факторизации по целочисленной решетке → D на Tn. Семейство таких отображений порождает отображение exp : TeDs(Tn) s(T n), кото- ∈ D рое переводит вектор X ∈ TeDs(Tn) в e + X s(T (e + X)(m) = m + X(m). n), где e + X - диффеоморфизм Tn вида: s Рассмотрим суперпозицию exp ◦ A¯e : Rn →D (T n). По построению для произвольного X ∈ Rn мы получаем, что exp ◦ A¯e(X)(m) = m + X, т. е. тот же самый вектор X добавляется к каждой точке m. Пусть w(t) - винеровский процесс в Rn, заданный на некотором вероятностном пространстве (Ω, F , P). Построим случайный процесс W (σ)(t) = exp ◦ A¯e(σw(t)) (3.4) ω в Ds(T n). По построению, для ω ∈ Ω соответствующая выборочная траектория W (σ)(t) - это диффеоморфизм вида W (σ)(t)(m) = m + σw (t). Отметим, что для заданного ω ∈ Ω и заданного ω ω t ∈ R мы получаем, что w(t)ω - постоянный вектор в Rn. Это означает, что для заданного ω и t действие W (σ)(t) совпадает с l . ω w(s)ω μ Пусть Ds (T n) - группа соболевских сохраняющих объем Hs-диффеоморфизмов на T n (s > n/2+ 1), подгруппа и гильбертово подмногообразие Ds(T n) (см. [5, 7]). Так же как для Ds(T n), можно ввести правый сдвиг и левый сдвиг. Первый - C∞-гладкий, а второй - непрерывен. Касательное пространство к Ds (T n) в единице e = id обозначается через TeDs (T n). Это μ пространство всех бездивергентных Hs-векторных полей на T μ n. Касательное пространство в μ η ∈ Ds (T μ n) состоит из суперпозиций X ◦ η, где X ∈ TeDs (T n). Отметим, что касательное отоб- μ ражение к правому сдвигу имеет ту же форму, как просто для правого сдвига: TRg X = X ◦ g, X ∈ TeDs (T n). n Правоинвариантное векторное поле X¯ μ на Ds (T ) порождено единственным вектором X ∈ s TeDμ(T n) по формуле X¯g = T RgX = X ◦ g. Отметим, что X¯ является C k-гладким тогда и только тогда, когда X как вектор на T n принадлежит соболевскому классу Hs+k. В частности, X¯ C∞-гладко тогда и только тогда, когда X C∞-гладко. μ n Отметим, что поле операторов A можно рассматривать как отображение A : Rn → TeDs (T n). μ Но Ds s (T ) мы используем слабую риманову метрику, которая является сужением (3.1) на ка- μ сательное расслоение Ds (T n). Рассмотрим ортогональную проекцию P : Hs → TeDμ(T n) относительно скалярного произведения (3.2). Из разложения Ходжа (см., например, [5, 7]) вытекает, 290 Ю. Е. ГЛИКЛИХ что эта проекция существует и ядро P является пространством всех градиентов. Так что для произвольного Y ∈ Hs имеет место представление P (Y ) = Y - grad p, (3.5) где p - некоторая Hs+1-функция на T n (единственная с точностью до аддитивной константы). μ Ковариантная производная на Ds (T n) вводится формулой dt dt D˜ = P D¯ . Рассмотрим уравнение D˜ g˙(t) = F¯(t, g(t), g˙(t)) (3.6) dt μ n на Ds (T n). Если F достаточно гладко, для любого начального данного g(0) = e и g˙ (0) = u0 ∈ μ TeDs (T ) уравнение (3.6) имеет решение, корректно определенное на некотором интервале t ∈ [0,T ]. Это решение описывает поток идеальной несжимаемой жидкости на T n под действием внешней силы F. Если F = 0, это геодезическая связности Леви-Чивиты метрики (3.2) и она описывает поток в отсутствие внешних сил. Ниже, если не сказано противное, мы имеем дело с g(t) в случае F = 0. Замечание 3.1. Используя оператор P и формулу (3.5), мы получаем следующую модификацию формулы (2.4). Как и в замечании 2.3, в случае, когда ξ имеет коэффициент диффузии σ2I, / -σ2 ∂ \ обозначим регрессию D∗ξ символом Y. Тогда P D∗D∗ξ = 2 Δ+ Y ·∇ + ∂t 3. - grad p, где правая часть совпадает с левой частью уравнения Навье-Стокса. 4. ВЯЗКАЯ ГИДРОДИНАМИКА Основная идея предлагаемого описания вязкой гидродинамики состоит в использовании на группах диффеоморфизмов стохастических уравнений - аналогов (3.3) и (3.6) - в которых для сжимаемых жидкостей D¯ заменяется на D D , а для несжимаемых - D˜ на PD D . Осуществляется dt ∗ ∗ dt ∗ ∗ переход к эйлерову описанию, т. е. соответствующие объекты правыми сдвигами переносятся в касательные пространства в единицах групп, и при этом условное математическое ожидание превращается в обычное (безусловное) математическое ожидание. Затем показывается, что полученные детерминированные векторные поля на торе удовлетворяют различным вариантам уравнения Бюргерса или Навье-Стокса, соответственно. Отметим, что мы строим указанные процессы (решения уравнений) на группах диффеоморфизмов с помощью случайных возмущений потоков пылевидной материи или идеальной несжимаемой жидкости. Здесь мы предполагаем, что s> n/2+ 2. Так что диффеоморфизмы из Ds(T n) имеют гладкость C2, также как и векторные поля из TeDs(T n) на торе. Везде ниже мы используем один и тот же стохастический процесс W (σ)(t), построенный из выбранного нами винеровского процесса w(t) в Rn по формуле (3.4). Пусть g(t) - решение уравнения (3.3) на Ds(T n) с начальным условием g(0) = e и g˙(0) = v0 ∈ TeDs(T n). Это решение существует на некотором интервале t ∈ [0,T ]. Рассмотрим v(t) = g˙(t) ◦ g-1(t) ∈ TeDs(T n). Этот бесконечномерный вектор может быть также описан как векторное поле на T n, которое мы обозначим v(t, m). Рассмотрим случайный процесс η(t) = W (σ)(t) ◦ g(t) на Ds(T n). В конечномерном представлении η(t) является случайным диффеоморфизмом на T n вида η(t, m) = g(t, m) + σw(t). Построим дополнительный случайный процесс ξ(t) = η(T - t), или, в конечномерном описании, ξ(t, m) = g(T - t, m) + σw(T - t). Поскольку w(t) - мартингал относительно его собственного «прошлого», из свойств относительного математического ожидания мы выводим, что D¯ s n D∗ξ(t) = g˙(T - t, m) = v(T - t, g(T - t, m)) и поэтому D∗D∗ξ(t) = ds g˙(s)|s=T -t = 0 на D (T ). Рассмотрим случайный процесс ξt(s) = ξ(s)◦ξ-1(t) = W (σ)(T -s)◦g(T -s)◦g-1(T -t)◦(W (σ)(T - t))-1. Отметим, что случайный диффеоморфизм (W (σ)(T - t))-1 действует по правилу (W (σ)(T - t))-1(m) = m-σw(T -t). При s = t мы получаем ξt(t) = ξ(t)◦ξ-1(t) = W (σ)(T -t)◦g(T -t)◦g-1(T - t) ◦ (W (σ)(T - t))-1 = e. По построению, m = ξ(t, ξ-1(t, m)) = g(T - t, ξ-1(t, m)) + σw(T - t). Тогда g(T - t, ξ-1(t, m)) = m - σw(T - t), так что ξ-1(t, m) = g-1(T - t, m - σw(T - t)). Следовательно, ξt(s, m) = ξ(s, g-1(T - t, m - σw(T - t)) = g(T - s, g-1(T - t, m - σw(T - T )) + σw(T - t). ∈D Отметим, что ξt(t, m) = m - σw(T - t)+ σw(T - t) = m, т. е. ξt(t) = e s(T n). Тогда σ-алгебра t «настоящее» N ξ тривиальна, и это означает, что условное математическое ожидание относительно СТОХАСТИЧЕСКИЙ ЛАГРАНЖЕВ ПОДХОД К ВЯЗКОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ 291 этой σ-алгебры совпадает с обычным математическим ожиданием. Таким образом, принимая во внимание соотношения между v(t) и g(t) и определение D∗, мы получаем, что D∗ξt(s) = E(v(T - - - e R t, m σw(T t))) = E(Q T -1 W (σ)(T -t) v(T - t)). Введем на T n векторное поле V (t, m) = E(v(t, m - σw(t))) (в бесконечномерном описании W (σ)(t) V (t) = E(QeT R-1 v(t))). Теорема 4.1. V (T - t, m) удовлетворяет уравнению Бюргерса d dt V (T - t, m)+ (V (T - t, m) · ∇)V (T - t, m) - 2 σ2 2 ∇ V (T - t, m) = 0, (4.1) где ∇2 - оператор Лапласа-Бельтрами, который на плоском торе совпадает с обычным лапласианом. Доказательство. Выберем t ∈ [0,T ] и ω ∈ Ω и рассмотрим кривую ζt,ω (s), s ∈ [0,T ], зависящую от параметра ω, вида W (σ) ζt,ω (s) = R-1 ω (T -t) g(T - s, g-1(T - t)) = g(T - s, g-1(T - t, m - σw(T ))). (4.2) Отметим, что ζt,ω (s) задана по аналогии с ξt,ω (s), введенной выше, но в формуле для ξt,ω (s) имеется дополнительный стохастический член σw(T - s). Таким образом, мы можем рассматривать ζt,ω (s) W (σ) как гладкую кривую с начальным условием ζt,ω (t) = R-1 ω (T -t) ω e = (W (σ)(T - t))-1. Отметим, что d d -1 ds l(σwω (T -t))ζt,ω (s)|s=t = Qe ds ζt,ω (s)|s=t = -QeTR (σ) v(T - t). Wω (T -t) Поскольку g(T -s) - геодезическая, по лемме 3.4 кривая ζt,ω (s) - тоже геодезическая при почти всех ω ∈ Ω. Напомним, что действие W (σ)(t) совпадает с действием lσw(t) . Значит, W (σ)(t)ζ (s) = ω D¯ d ω ω t,ω lσw(T -t)ω ζt,ω (s) тоже геодезическая. Итак, ds ds lσw(s)ω ζt,ω (s) = 0. Напомним, что EQeT R-1 v(T - t) = V (T - t) и D ξ (s) = V (T - t). Из этого мы выво- Wω (T -t) ∗ t D¯ d дим, что D∗D∗ξt(s)|s=t = D∗V (T - t, ξt(s))|s=t = -E( ds ds l(σwω (t))ζt,ω (s)|s=t) = 0. Но поскольку D∗ξt(s)|s=t = V (T - t), по формуле (2.4) мы получаем, что D∗D∗ξt(s)|s=t совпадает с левой частью уравнения (4.1). Теперь перейдем к случаю несжимаемых жидкостей. μ ∂t ∂t Пусть g(t) - решение уравнения (3.6) с F = 0. Рассмотрим u(t) = g˙ (t) ◦ g-1(t) ∈ TeDs (T n). Этот бесконечномерный вектор можно также представить как бездивергентное векторное поле на T n, которое мы обозначим u(t, m). Напомним (см., например, [5]), что u(t, m) удовлетворяет уравнению Эйлера без внешней силы: ∂u = -P ((u · ∇)u), которое после применения формулы (3.5) принимает обычный вид ∂u + (u · ∇)u - grad p = 0. Рассмотрим введенный выше процесс W (σ)(t). o построению он принимает значения в Ds (T n). П μ μ Таким образом, на Ds (T n) мы можем повторить приведенную выше конструкцию для Ds(T n), т. е. (σ) определить η(t) = W (t) ◦ g(t), где t ∈ [0,T ] и ξ(t) = η(T - t) (т. е.в конечномерных обозначениях ξ(t, m) = g(T - t, m)+ σw(T - t)). Легко видеть, что D∗ξ(t) = g˙(T - t, m) = u(T - t, g(T - t, m)), и, таким образом, P¯D∗D∗ξ(t) = � g˙(s)|s=T -t = 0 на Dμ(T ). D s n ds Так же, как выше, процесс ξt(s) = ξ(s) ◦ ξ-1(t) обладает свойством ξt(t) = e. Его конечномерное описание в точности аналогично случаю Ds(T n). Введем на T n векторное поле U (t, m) = E(u(t, m - σw(t))) (прямой аналог V (t, m)). Мы также W (σ)(t) обозначим это поле как бесконечномерный вектор U (t) = E(QeTR-1 u(t)). Лемма 4.1. Векторное поле U (t, m) бездивергентно. Доказательство. По построению, для элементарного события ω ∈ Ω диффеоморфизм (W (t)ω )-1 представляет собой сдвиг тора целиком на постоянный вектор. Следовательно, Qe, примененное к TR -1 W (t)ω u(t), означает параллельный перенос на торе бездивергентного векторного поля u(t) W (t) целиком на тот же самый постоянный вектор назад. Так что QeTR-1 u(t) - случайное бездивергентное векторное поле на торе. Следовательно его математическое ожидание бездивергентно. 292 Ю. Е. ГЛИКЛИХ Итак, U (t) ∈ TeDs (T n). Легко показать, что D ξ (s) = U (T - t). μ ∗ t |s=t μ Введем ζt,ω (s) аналогично формуле (4.2). Отметим, что на Ds (T n) оператор lx не переводит геодезические в геодезические. Так что мы имеем D¯ d P D∗D∗ξt(s)|s=t = P D∗U (T - t, ξt(s))|s=t = -PE( ds ds l(σwω (t))ζt,ω (s)|s=t) /= 0. Следовательно, нет аналога теоремы 4.1. Принимая во внимание формулу (3.5), мы можем доказать только следующее утверждение. Теорема 4.2. Поле U (T - t) удовлетворяет уравнению Навье-Стокса d σ2 U (T -t, m)+(U (T -t, m)·∇)U (T -t, m)- 2 D¯ ∇ U (T -t, m)-grad p = -PE( d l(σw (t))ζt,ω (s) ) dt 2 D¯ d ds ds ω |s=t с внешней силой -PE( ds ds l(σwω (t))ζt,ω (s)|s=t). D¯ d Отметим, что сила -PE( ds ds l(σwω (t))ζt,ω (s)|s=t) однозначно восстанавливается по каждому потоку g(t) идеальной несжимаемой жидкости с использованием формулы (4.2) и ковариантной производной. Таким образом, если рассмотреть в TeDs (T n) уравнение PD D ξ (s) = μ ∗ ∗ t |s=t PE( D¯ d l ζ (s) ), оно предыдущими рассуждениями преобразуется в уравнение Навье- ds ds (σwω (t)) t,ω |s=t Стокса с нулевой внешней силой d dt U (T - t, m)+ (U (T - t, m) · ∇)U (T - t, m) - 2 σ2 2 ∇ U (T - t, m) - grad p = 0. 5. ВОЗМОЖНЫЕ ОБОБЩЕНИЯ НА НЕНЬЮТОНОВСКИЕ ЖИДКОСТИ Здесь мы рассмотрим жидкости, у которых в уравнениях Бюргерса и Навье-Стокса вязкий член описывается не оператором Лапласа с коэффициентом вязкости, а другим оператором чисто второго порядка B(t) c симметрической положительно определенной матрицей, не зависящей от пространственных переменных, но, возможно, зависящей от времени. В этот класс операторов входит, например, случай с оператором Лапласа, но с коэффициентом диффузии, зависящим от времени, а также случай, когда вязкий член описывается суммой оператора Лапласа и еще какогото оператора. Из того, что матрица оператора B(t) симметрична и положительно определена, нетрудно увидеть, что существует оператор B(t), также не зависящий от пространственных переменных, но, возможно, зависящий от времени, такой, что B(t) = B(t)B∗(t). Используя оператор B(t), мы заменим винеровский процесс W (σ) на группах диффеоморфизмов, использованный в предыдущем разделе, на процесс W (t) = exp ◦ A¯e (r t 0 \ B(s)dw(s) . (5.1) 0 По построению, для ω ∈ Ω соответствующая выборочная траектория Wω (t) - это диффеоморфизм вида Wω (t)(m) = m + ( t B(s)dw(s)ω . Отметим, что для заданного ω ∈ Ω и заданного t ∈ R 0 мы получаем, что ( t B(s)dw(s)ω - постоянный вектор в Rn. Это означает, что для заданного ω и ω Г t t действие W (t) совпадает с l . 0 B(s)dw(s)ω Как и в предыдущем разделе, мы предполагаем, что s> n/2+2. Везде ниже мы используем один и тот же стохастический процесс W (t), построенный из выбранного нами винеровского процесса w(t) в Rn по формуле (5.1). Пусть g(t) - решение уравнения (3.3) на Ds(T n) с начальным условием g(0) = e и g˙(0) = v0 ∈ TeDs(T n). Это решение существует на некотором интервале t ∈ [0,T ]. Рассмотрим v(t) = g˙(t) ◦ g-1(t) ∈ TeDs(T n). Этот бесконечномерный вектор может быть также описан как векторное поле на T n, которое мы обозначим v(t, m). Рассмотрим случайный процесс η(t) = W (t) ◦ g(t) на Ds(T n). В конечномерном представлении 0 η(t) является случайным диффеоморфизмом на T n вида η(t, m) = g(t, m)+( t B(s)dw(s). Построим дополнительный случайный процесс ξ(t) = η(T - t), или, в конечномерном описании, ξ(t, m) = g(T - t, m)+ ( T -t B(s)dw(s). Поскольку ( t B(s)dw(s) - мартингал относительно его собственного 0 0 «прошлого», из свойств условного математического ожидания мы выводим, что D∗ξ(t) = g˙(T - D¯ s n t, m) = v(T - t, g(T - t, m)) и поэтому D∗D∗ξ(t) = ds g˙(s)|s=T -t = 0 на D (T ). СТОХАСТИЧЕСКИЙ ЛАГРАНЖЕВ ПОДХОД К ВЯЗКОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ 293 Рассмотрим случайный процесс ξt(s) = ξ(s)◦ξ-1(t) = W (T -s)◦g(T -s)◦g-1(T -t)◦(W (T -t))-1. m - ( T -t Отметим, что случайный диффеоморфизм (W (T - t))-1 действует по правилу (W (T - t))-1(m) = 0 0 B(s)dw(s). При s = t мы получаем ξt(t) = ξ(t) ◦ ξ-1(t) = W (T - t) ◦ g(T - t) ◦ g-1(T - t) ◦ (W (T - t))-1 = e. По построению m = ξ(t, ξ-1(t, m)) = g(T - t, ξ-1(t, m)) + ( T -t B(s)dw(s). Тогда g(T -t, ξ-1(t, m)) = m-( T -t B(s)dw(s), так что ξ-1(t, m) = g-1(T -t, m-( T -t B(s)dw(s)). Следо- 0 0 вательно, ξt(s, m) = ξ(s, g-1(T - t, m - ( T -t B(s)dw(s)) = g(T - s, g-1(T - t, m - ( T -t B(s)dw(s)) + ( T -t 0 0 0 B(s)dw(s). Отметим, что ξt(t, m) = m - ( T -t B(s)dw(s) + ( T -t B(s)w(s) = m, т. е. ξt(t) = e на Ds(T n). 0 0 t Тогда σ-алгебра «настоящее» N ξ тривиальна, и это означает, что условное математическое ожидание относительно этой σ-алгебры совпадает с обычным математическим ожиданием. Таким образом, принимая во внимание соотношения между v(t) и g(t) и определение D∗, мы получаем, что ∗ t 0 e D ξ (s) = E(v(T - t, m - ( T -t B(s)dw(s))) = E(Q T R-1 v(T - t)). W (T -t) 0 Введем на T n векторное поле V (t, m) = E(v(t, m-( t B(s)dw(s))) (в бесконечномерном описании W (t) V (t) = E(QeT R-1 v(t))). Теорема 5.1. V (T - t, m) удовлетворяет следующему аналогу уравнения Бюргерса: ∂ ∂t V (T - t, m)+ (V (T - t, m) · ∇)V (T - t, m) - 1 2 B(t)V (T - t, m) = 0, ∂xi∂xj где B(t) - дифференциальный оператор второго порядка B(t) = Bij (t) ∂ с матрицей (Bij )(t) = B(t)B∗(t). Доказательство теоремы 5.1 в точности аналогично доказательству теоремы 4.1 с заменой W (σ) на W. Переход к случаю несжимаемых жидкостей также аналогичен тому, что описано в предыдущем разделе, с заменой W (σ) на W. Получается аналог уравнения Навье-Стокса с вязким членом вида 1 ∂ 1 - 2 B(t)U (T - t, m): ∂t U (T - t, m)+ (U (T - t, m) · ∇)U (T - t, m) - 2 B(t)U (T - t, m) - grad p = 0.