Том 64, № 3 (2018): Труды Крымской осенней математической школы-симпозиума

Рассматривается возмущение интегральным оператором свертки оператора Штурма- Лиувилля на конечном интервале с краевыми условиями Дирихле и условиями разрыва в середине интервала. Исследуется обратная задача восстановления сверточного слагаемого по спектру. Вопрос сведен к решению так называемого основного нелинейного интегрального уравнения с особенностью, для вывода и исследования которого проведен детальный анализ ядер операторов преобразования для рассматриваемого интегро-дифференциального выражения. Доказывается глобальная разрешимость основного уравнения, что позволяет доказать единственность решения обратной задачи и получить необходимые и достаточные условия ее разрешимости в терминах асимптотики спектра. Доказательство конструктивно и дает алгоритм решения обратной задачи.

В работе обсуждаются основные направления и результаты теории топологических радикалов. Рассматриваются приложения к различным проблемам теории операторов и теории банаховых алгебр.

Изучается задача о малых движениях идеальной стратифицированной жидкости со свободной поверхностью, частично покрытой крошеным льдом. Под крошеным льдом подразумеваем плавающие на свободной поверхности весомые частицы некоторого вещества, которые в процессе колебания свободной поверхности друг с другом не взаимодействуют или их взаимодействие пренебрежимо мало, причем частицы все время находятся на поверхности в процессе малых движений. Используя метод ортогонального проектирования граничных условий на подвижной поверхности и введения вспомогательных задач, исходная начально-краевая задача сводится к равносильной задаче Коши для дифференциального уравнения второго порядка в некотором гильбертовом пространстве. Получены условия, при которых существует сильное по времени решение начально-краевой задачи, описывающей эволюцию данной гидросистемы.