Small Motions of an Ideal Stratified Fluid in a Basin Covered with Ice

Full Text

ВВЕДЕНИЕ В связи с новыми потребностями прикладных наук возрос интерес к изучению динамических характеристик жидкостей, обладающих разными специфическими свойствами. К таким жидкостям, в частности, относятся стратифицированные и флотирующие жидкости. Данная работа является продолжением цикла работ, связанных с изучением колебаний стратифицированной жидкости со свободной поверхностью, покрытой крошеным льдом. Под крошеным льдом подразумеваем плавающие на свободной поверхности весомые частицы некоторого вещества, которые в процессе колебания свободной поверхности друг с другом не взаимодействуют или их взаимодействие пренебрежимо мало, причем частицы все время находятся на поверхности в процессе малых движений данной гидродинамической системы. В представленной работе рассматривается ситуация, когда идеальная стратифицированная жидкость покрыта крошеным льдом и есть участки чистой воды. Эта задача близка к проблеме флотации, частично исследованной С. А. Габовым и А. Г. Свешниковым (см. [1, 2]), а также в работе М. А. Солдатова [9] для однородной жидкости. Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2018 573 574 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, Д. О. ЦВЕТКОВ В данной работе для получения операторного уравнения исходной задачи граничные условия на подвижной поверхности проектируются на подпространства ортогонального разложения H: H = H0 ⊕ H2 ⊕ H3, (1) H1 := { (ζ1; ζ2) | ζ1 ∈ L2 (Γ1) 8 {1Γ1 } , ζ2 ≡ 0 } , H2 := { (ζ1; ζ2) | ζ2 ∈ L2 (Γ2) 8 {1Γ2 } , ζ1 ≡ 0 } , где функция ζ отклонения подвижной поверхности от ее равновесного состояния представлена в виде пары функций ζ = (ζ1; ζ2), ζ1 = ζ|Γ1 и ζ2 = ζ|Γ2 , Γ1 - участок «чистой воды» , Γ2 - участок «крошеного льда». Доказано, что H3 есть одномерное подпространство, что существенно используется в дальнейшем. Отметим, что ортогональное разложение (1) естественным образом приспособлено к применению метода ортогонального проектирования для исходной задачи, т. е. для случая, когда на различных участках подвижной границы заданы различные граничные условия. Операторное уравнение в этой задаче имеет вид d2x 0 ∗ 1 A dt2 + Cx = F , x(0) = x , x (0) = x , (2) 0 < A = A∗ ∈ L(H), 0 :( C = C∗ ∈ L(H) в некотором гильбертовом пространстве H, где A, C - это операторные блок-матрицы. Для вывода уравнения (2) рассматриваются три вспомогательные задачи, связанные с проектированием граничных условий на поверхности Γ. Применение метода операторных блок-матриц позволило доказать теоремы о сильной разрешимости исходной начально-краевой задачи. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ПЕРЕХОД К СИСТЕМЕ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ 1. Математическая формулировка задачи. Пусть идеальная стратифицированная жидкость, плотность ρ0 которой в состоянии покоя изменяется вдоль вертикальной оси Ox3: ρ0 = ρ0(x3), частично заполняет неподвижный сосуд и занимает в состоянии покоя область Ω, ограниченную твердой стенкой S и свободной поверхностью Γ= Γ1 ∪ Γ2, где Γ1 - участок «чистой воды» , Γ2 - участок «крошеного льда». Обозначим через ρ1 поверхностную плотность крошеного льда. Предположим, что начало O декартовой системы координат Ox1x2x3 выбрано на свободной равновесной поверхности Γ, которая является плоской и расположена перпендикулярно ускорению силы тяжести _g = -g_e3, где _e3 - орт оси Ox3. Предполагаем далее, что твердая стенка S ⊂ ∂Ω является липшицевой поверхностью, причем ∂S = ∂Γ - липшицева кривая. Будем рассматривать основной случай устойчивой стратификации жидкости по плотности: gρ∗ (x3) 0 < N 2 min max :( N 2(x3) :( N 2 0 = N 2 < ∞, N 2(x3)= - 0 ρ0(x3) , ρ0(0) > 0, (1.3) Функцию N (x3) называют частотой Вейсяля-Брента, или частотой плавучести. Рассмотрим малые движения жидкости, близкие к состоянию покоя. Обозначим через _u = _u(t, x), x = (x1, x2, x3) ∈ Ω, поле скорости в жидкости, p = p(t, x) - отклонение поля давлений от равновесного давления P0 = P0(x3), ρ = ρ(t, x) - отклонение поля плотности от исходного поля ρ0(x3), а через ζ = ζ(t, xˆ) ( xˆ = (x1, x2) ∈ Γ) - отклонение свободно движущейся поверхности жидкости Γ(t) от Γ по нормали _n. Тогда малые движения исходной системы описываются следующей начально-краевой задачей (см., например, [2, 7]): ∂_u ∂t -1 = ρ0 (x3) -∇p - gρ_e3 + f_(t, x) ( в Ω ), ∇ div _u = 0, ∂ρ + ρ ∂t 0 · _u =0 ( в Ω ), ∂ζ r _u · _n =: un =0 ( на S ), un = ( на Γ ), ∂t Γ ∂2ζ ζ dΓ= 0, (1.4) p = gρ0(0)ζ ( на Γ1 ), p = gρ0(0)ζ + ρ1 ∂t2 ( на Γ2 ), _u(0, x)= _u0(x), ρ(0, x)= ρ0(x) ( x ∈ Ω ), ζ(0, xˆ)= ζ0(xˆ) ( xˆ ∈ Γ ). МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ В БАССЕЙНЕ, ПОКРЫТОМ ЛЬДОМ 575 2. Исключение поля плотности. Использование поля малых смещений жидкости. В начально-краевой задаче (1.4) можно исключить одну искомую функцию - поле плотности ρ(t, x), если ввести взамен поля скорости _u(t, x) поле малых смещений частиц жидкости _v(t, x), связанное с _u(t, x) соотношениями Тогда придем к связи ∂_v ∂t = _u, div _v =0 ( в Ω ). (1.5) 0 ρ(t, x)= -∇ρ0 · _v(t, x)+ f0(x)= -ρ∗ (x3)v3(t, x)+ f0(x), 0 f0(x) := ρ(0, x)+ ρ∗ (x3)v3(0, x), v3 := _v · _e3, (1.6) и к уравнениям для _v(t, x) и p(t, x): ∂2_v 1 2 0 ∂t2 = -ρ- (x3)∇p - N (x3)v3_e3 + ψ0(x), div _v =0 ( в Ω ), (1.7) ψ0(x)= f_(t, x) - gf0(x)_e3/ρ0(x3). С учетом сказанного перепишем исходную задачу (1.4) в виде: ∂2_v 1 2 0 ∂t2 = -ρ- (x3)∇p - N _v · _n =: vn =0 ( на S ), (x3)v3_e3 + ψ0(x), div _v =0 ( в Ω ), r v3 dΓ= 0, Γ ∂2v3 p = gρ0(0)v3 ( на Γ1 ), p = gρ0(0)v3 + ρ1 ∂t2 ( на Γ2 ), ∂_v (1.8) (0, x)= _u(0, x)= _u0(x), _v(0, x)= _v0(x), ∂t v3(0, xˆ)= ζ(0, xˆ)= ζ0(xˆ) ( xˆ ∈ Γ ). Начально-краевая задача (1.8) содержит лишь две искомые функции: векторное поле _v(t, x) и скалярное поле давлений p(t, x). По решению _v(t, x) задачи (1.8) решения _u(t, x) и ρ(t, x) задачи (1.4) можно найти по формулам (1.5) и (1.6). 3. Проектирование уравнений движения на ортогональные подпространства. Начальнокраевую задачу (1.8) приведем в дальнейшем к дифференциальному уравнению в гильбертовом пространстве. Для этого применим прием проектирования первого уравнения (1.8) на ортогональные подпространства (см. [6]). Свяжем с функцией ρ0 гильбертово пространство вектор-функций со скалярным произведением r L_ 2(Ω, ρ0) (_u, _v)= Ω ρ0(x3)_u(x)_v(x) dΩ. (1.9) Как следует из (1.3), для ρ = ρ0(x3) справедливы неравенства 0 < m :( ρ0 :( M < ∞, обеспечивающие эквивалентность норм, определенных по закону (1.9) и обычным скалярным произведением в L_ 2(Ω). Обозначим через J_0(Ω, ρ0) подпространство L_ 2(Ω, ρ0), которое получается замыканием в норме L_ 2(Ω, ρ0) множества гладких функций { _v ∈ C_ 1(Ω) : div _v =0 (в Ω), vn =0 (на ∂Ω) }. В качестве других подпространств возьмем подпространства r 0 G_ h,S (Ω, ρ0)= { _v ∈ L_ 2(Ω, ρ0): _v = ρ-1∇p, vn =0 (на S), ∇· _v =0 (в Ω), Γ 0 G_ 0,Γ(Ω, ρ0)= { w_ ∈ L_ 2(Ω, ρ0): w_ = ρ-1∇ϕ, ϕ =0 (на Γ) }. p dΓ= 0 }, 576 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, Д. О. ЦВЕТКОВ Лемма 1.1. Имеет место следующее ортогональное разложение: L_ 2(Ω, ρ0)= J_0(Ω, ρ0) ⊕ G_ h,S (Ω, ρ0) ⊕ G_ 0,Γ(Ω, ρ0). (1.10) Доказательство леммы повторяет доказательство аналогичного утверждения для пространства L_ 2(Ω), когда в (1.10) ρ0(x3)= const (см. [6, с. 106]). 0 Будем считать _v(t, x) и ρ-1∇p(t, x) функциями переменной t со значениями в L_ 2(Ω, ρ0), тогда в силу уравнений и граничных условий (1.8) и ортогонального разложения (1.10) имеем _v(t, x) ∈ J_0(Ω, ρ0) ⊕ G_ h,S (Ω, ρ0) =: J_0,S (Ω, ρ0), -1 ρ0 ∇p(t, x) ∈ G_ 0,Γ(Ω, ρ0) ⊕ G_ h,S (Ω, ρ0) =: G_ (Ω, ρ0). Поэтому при каждом t будем разыскивать их в виде 0 _v(t, x)= w_ (t, x)+ ρ-1∇Φ(t, x), 0 w_ (t, x) ∈ J_0(Ω, ρ0), ρ-1∇Φ(t, x) ∈ G_ h,S (Ω, ρ0), ρ-1 -1 -1 0 ∇p(t, x)= ρ0 ∇p1(t, x)+ ρ0 ∇p2(t, x), (1.11) 0 ∇p1(x, t) ∈ G_ h,S (Ω, ρ0), ρ0 ∇p2(t, x) ∈ G_ 0,Γ(Ω, ρ0). ρ-1 -1 Обозначим через P0, Ph,S и P0,Γ ортопроекторы на подпространства J_0(Ω, ρ0), G_ h,S (Ω, ρ0), G_ 0,Γ(Ω, ρ0), соответственно. Тогда, подставляя (1.11) в первое уравнение (1.8) и применяя ортопроекторы, получаем ∂2w_ г ∂t2 + P0 N 2(x3) ρ ( -1 ∂Φ 0 ∂x3 \ + w3 l _e3 = P0ψ0, (1.12) ∂2 ( 1 1 г 2 ( 1 ∂Φ \ l 0 ∇Φ) + ρ0 ∇p1 + Ph,S N (x3) ρ0 + w3 _e3 = Ph,S ψ0, (1.13) ∂t2 ρ- ρ-1 - г 2 ( ∂Φ ρ -1 - ∂x3 \ l 0 ∇p2 + P0,Γ N (x3) 0 ∂x3 + w3 _e3 = P0,Γψ0. (1.14) Из соотношения (1.14) следует, что составляющая поля давлений, обусловленная слагаемым ρ-1 0 ∇p2, определяется лишь полем вертикального смещения v3 и начальными условиями, следовательно, достаточно ограничиться рассмотрением первых двух соотношений, а также граничного условия с соответствующей заменой p → p1, так как p = p1 + p2, p2 =0 (на Γ). Для перехода от (1.12), (1.13) к системе уравнений с двумя искомыми функциями введем новые элементы: Ph,S г l N 2(x3)w3_e3 := ρ-1∇Ψ, Ph,S ∂Φ г l N 2(x3)ρ-1 _e3 := ρ-1∇η. (1.15) 0 Тогда (1.13) дает интеграл Коши-Лагранжа ∂2Φ 0 ∂x3 0 ∂t2 + p1 +Ψ+ η - F = c(t) (в Ω ), (1.16) 0 где c(t) - произвольная функция времени, Ph,S ψ0 = ρ-1∇F. Рассмотрим (1.16) на Γ2 и воспользуемся равенством ∂2v3 p1 = gρ0(0)v3 + ρ1 ∂t2 = gρ0(0) ρ ( -1 ∂Φ 0 ∂x3 \ + w3 ∂2 + ρ1 ∂t2 ρ ( -1 ∂Φ 0 ∂x3 \ + w3 = = gρ0(0) ( ∂Φ \ ρ-1 ∂2 + ρ1 ( ∂Φ \ ρ-1 = g ∂Φ ∂2 + ρ1ρ-1(0) ( ∂Φ \ (на Γ2 ); получим 0 ∂x3 ∂t2 0 ∂x3 ∂x3 0 ∂t2 ∂x3 ∂2Φ ∂Φ 1 ∂2 ( ∂Φ \ 3 ∂t2 + g ∂x 0 + ρ1ρ- (0) ∂t2 ∂x3 +Ψ+ η = F + c(t) (на Γ2 ). (1.17) Аналогично, получаем ∂2Φ ∂Φ 3 ∂t2 + g ∂x +Ψ+ η = F + c(t) (на Γ1 ). (1.18) МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ В БАССЕЙНЕ, ПОКРЫТОМ ЛЬДОМ 577 Соотношения (1.17) и (1.18) вместе с (1.12) дают два уравнения для определения двух искомых функций w_ (t, x) и Φ(t, x), при этом учитываются связи (1.15), а также ограничения, следующие из (1.12)-(1.14). Таким образом, начально-краевую задачу (1.8) перепишем в виде: ∂2w_ г ∂t2 + P0 N 2(x3) ρ ( -1 ∂Φ 0 ∂x3 \ + w3 l _e3 = P0ψ0 ( в Ω ), div w_ =0 ( в Ω ), w_ · _n =0 ( на ∂Ω ), ∂2Φ ∂Φ 3 ∂t2 + g ∂x +Ψ+ η = F + c(t) (на Γ1 ), ∂2Φ ∂Φ 1 ∂2 ( ∂Φ \ 3 ∂t2 + g ∂x 0 + ρ1ρ- ∂t2 ∂x3 +Ψ+ η = F + c(t) (на Γ2 ), ∇· (ρ-1(x)∇Φ) = 0 ( в Ω ), ρ-1(x)∇Φ · _n =0 ( на S ), (1.19) 0 r Φ dΓ= 0, Γ r ∂Φ ∂x3 Γ 0 dΓ= 0, ∂ ∂ ( ∂Φ \ w(0, x)= P0_u0, ρ-1 (0, xˆ) = (Ph,S _u0(x)) · _n , ∂t ∂t 0 ( ∂Φ ∂x3 Γ Γ \ w_ (0, x)= P0_v0, ρ-1 (0, xˆ) = ζ0(xˆ) ( xˆ ∈ Γ ). 0 ∂x3 Γ 4. Переход к системе дифференциально-операторных уравнений. Напомним, что откло- ∂Φ нение v3|Γ = ρ-1 + w3 частиц подвижной поверхности должно удовлетворять условию 0 ∂x3 Γ сохранения объема жидкости при колебаниях: r r ( ∂Φ \ r ∂Φ v3 dΓ= ρ-1 + w3 dΓ=0 =⇒ dΓ= 0, 0 ∂x3 Γ Γ ∂x3 Γ 0 так как w3|Γ = 0, ρ-1|Γ = const. Это же условие является необходимым условием разрешимости задачи Неймана ∇· (ρ-1(x)∇Φ) = 0 ( в Ω ), ρ-1(x)∇Φ · _n =0 ( на S ), 0 0 ρ-1 ∂Φ r 3 0 (0) ∂x = ψ ( на Γ ), ψ dΓ= 0. (1.20) Γ Функцию ψ = ρ-1(0) ∂Φ будем рассматривать как элемент пространства H = L 2,Γ := L2 (Γ) 8 0 ∂x3 Γ {1Γ} и искать в виде пары функций ψ = (ψ1; ψ2), где ψ1 = ψ|Γ1 и ψ2 = ψ|Γ2 , т. е. функций, заданных на соответствующих областях Γ1 и Γ2. Рассмотрим следующие подпространства пространства H: H1 := { (ψ1; ψ2) | ψ1 ∈ L2 (Γ1) 8 {1Γ1 } , ψ2 ≡ 0 } , (1.21) H2 := { (ψ1; ψ2) | ψ2 ∈ L2 (Γ2) 8 {1Γ2 } , ψ1 ≡ 0 } . (1.22) Очевидно, что пространства H1 и H2 ортогональны относительно скалярного произведения в L2 (Γ) . Тогда пространство H можно разложить в ортогональную сумму трех пространств: H = H1 ⊕ H2 ⊕ H3, (1.23) 3 где H есть одномерное подпространство пространства H, натянутое на вектор ϕ: � � ϕ, ∀ α ∈ C, ϕ = (mes Γ2; -mesΓ1) } . (1.24) Введем действующие в пространстве H ортопроекторы P1, P2 и P3 на подпространства H1, H2 и H3, соответственно. Они будут действовать по следующим правилам: r P1u = (u1 - u˜1; 0) , u˜1 = (mes Γ1)-1 Γ1 u1 dΓ1, (1.25) 578 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, Д. О. ЦВЕТКОВ P2u = (0; u2 - u˜2) , r u˜2 = (mes Γ2)-1 Γ2 u2 dΓ2, (1.26) P3u = (I - P1 - P2) u = (u˜1; u˜2) . (1.27) Цель дальнейших построений - перейти от начально-краевой задачи (1.19) к задаче Коши для дифференциального уравнения второго порядка в некотором гильбертовом пространстве. Граничные условия в (1.19) на Γ1 и Γ2 можно записать покомпонентно в следующем виде: ∂2Φ ∂t2 + gρ0ψ1 +Ψ+ η = F + c(t) (на Γ1 ), ∂2Φ ∂t2 + gρ0ψ2 + ρ1 ∂2ψ2 ∂t2 +Ψ+ η = F + c(t) (на Γ2 ). (1.28) Перейдем к построению потенциала Φ в области Ω, выразив его через ψ = ρ-1(0) ∂Φ . Так Γ 0 0 как ρ-1∇Φ ∈ G_ h,S (Ω, ρ0) , то функция Φ является решением задачи Неймана (1.20). ∂x3 Будем использовать в дальнейшем знак « » для обозначения среднего интегрального значения функции, заданной на Γ или ее части (см. � (1.25), (1.26)). Для получения общего вида функции Φ, учитывающего представление ψ в виде ;0 ψ = ψ1 - ψ�1 + 0; ψ2 - ψ�2 + ψ�1; ψ�2 =: P1ψ + P2ψ + P3ψ, (1.29) рассмотрим три вспомогательные задачи. Вспомогательная задача I. Найти обобщенное решение Φ = Φ1 задачи (1.20) при ψ = (ψ1 - ψ�1; 0) = P1ψ ∈ H1: ∇· (ρ-1(x)∇Φ1)=0 ( в Ω ), ρ-1(x)∇Φ1 · _n =0 ( на S ), r Φ1 dΓ= 0, 0 ρ-1 ∂Φ1 0 Γ 1 ∂Φ1 3 = ψ1 - ψ�1 ( на Γ1 ), ρ (0) ∂x 0 3 0 (0) ∂x - =0 ( на Γ2 ). (1.30) Так как H1 ⊂ H, то необходимое условие разрешимости задачи (1.30) выполнено, а значит, эта задача имеет единственное решение (см., например, [6, c. 46]) Φ1 = Φ1 (x) из пространства H1 Γ (Ω, ρ0) . Введем оператор T1, который ставит в соответствие функции P1ψ решение задачи (1.30): Φ1 = Φ1|Ω =: T1P1ψ = T1(ψ1 - ψ�1; 0) =: T1u1, u1 := P1ψ ∈ H1. (1.31) Рассмотрим теперь значения функции Φ1 на границе Γ. Введем оператор следа на границе Γ: γ (Φ1|Ω) := Φ1|Γ (1.32) и представим функцию Φ1|Γ в виде суммы ее проекций на подпространства H1, H2 и H3: Φ1|Γ = P1γT1P1ψ + P2γT1P1ψ + P3γT1P1ψ =: C11u1 + C21u1 + C31u1. (1.33) Вспомогательная задача II. Найти обобщенное решение Φ = Φ2 задачи (1.20) при ψ = (0; ψ2 - ψ�2)= P2ψ ∈ H2: ∇· (ρ-1(x)∇Φ2)=0 ( в Ω ), ρ-1(x)∇Φ2 · _n =0 ( на S ), r Φ2 dΓ= 0, 0 ρ-1 ∂Φ2 0 Γ 1 ∂Φ2 3 =0 ( на Γ1 ), ρ (0) ∂x 0 3 0 (0) ∂x - = ψ2 - ψ�2 ( на Γ2 ). (1.34) Γ Вспомогательная задача II имеет единственное решение Φ2 = Φ2 (x) ∈ H1 (Ω, ρ0) . Введем оператор T2, который ставит в соответствие функции P2ψ решение задачи (1.34): Φ2 = Φ2|Ω =: T2P2ψ = T2(0; ψ2 - ψ�2) =: T2u2, u2 = P2ψ ∈ H2. (1.35) МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ В БАССЕЙНЕ, ПОКРЫТОМ ЛЬДОМ 579 Снова рассмотрим значения функции Φ2 на границе Γ и представим функцию Φ2|Γ в виде суммы проекций этой функции на подпространства H1, H2 и H3: Φ2|Γ = P1γT2P2ψ + P2γT2P2ψ + P3γT2P2ψ =: C12u2 + C22u2 + C32u2. (1.36) Вспомогательная задача III. Найти обобщенное решение Φ = Φ3 задачи (1.20) при ψ = (ψ�1; ψ�2)= P3ψ ∈ H3: ∇· (ρ-1(x)∇Φ3)=0 ( в Ω ), ρ-1(x)∇Φ3 · _n =0 ( на S ), 0 ρ-1 0 ∂Φ3 r 3 0 (0) ∂x = P3ψ ( на Γ ), Φ3 dΓ= 0. (1.37) Γ Так как H3 - одномерное подпространство, H3 = {α �} , α ∈ C, � = (mes Γ2; -mes Γ1) , то ϕ ϕ достаточно рассмотреть граничную задачу (1.37) с функцией � ϕ вместо P3ψ, т. е. с граничными условиями на Γ1 и Γ2 следующего вида: ρ-1 ∂Φ3 = mes Γ2 (на Γ1), ρ (0) ∂x 1 ∂Φ3 3 0 3 0 (0) ∂x - = -mes Γ1 (на Γ2). (1.38) Γ Задача (1.34) имеет единственное решение Φ3 = αΦ� ∈ H1 (Ω, ρ0) , где Φ� - решение задачи (1.37) с граничными условиями (1.38). Аналогично предыдущему, введем оператор T3, который ставит в соответствие функции P3ψ решение задачи (1.37)-(1.38): Φ3 =: T3P3ψ =: T3u3, u3 = P3ψ ∈ H3. (1.39) Представим функцию Φ3|Γ в виде суммы ее проекций на подпространства H1, H2 и H3: Φ3|Γ = P1γT3P3ψ + P2γT3P3ψ + P3γT3P3ψ =: C13u3 + C23u3 + C33u3. (1.40) В этом случае операторы C13, C23 и C33 - одномерные. В дальнейшем все функции, зависящие от t, будем считать функциями переменной t со значениями в соответствующем гильбертовом пространстве; в связи с этим в уравнениях задачи заменим ∂/∂t на d/dt. В соответствии с разложением (1.29) представим решение исходной задачи (1.20) в виде суммы решений трех вспомогательных задач: Φ= Φ1 + Φ2 + Φ3. (1.41) Перепишем соотношения (1.28) в виде пары условий: d2 d2 dt2 (Φ|Γ1 ; Φ|Γ2 )+ ρ0g (ψ1; ψ2)+ ρ1 dt2 (0; ψ2)+ (Ψ|Γ1 ; Ψ|Γ2 )+ (η|Γ1 ; η|Γ2 )= (F |Γ1 ; F |Γ2 )+ (c (t); c (t)) , (1.42) и рассмотрим его как дифференциальное уравнение в гильбертовом пространстве H = H0 ⊕ H2 ⊕ H3 относительно искомых функций u1 (t) , u2 (t) и u3 (t) . Предварительно преобразуем отдельные группы слагаемых в (1.38), чтобы можно было ввести операторные матрицы, действующие на искомый вектор-столбец u := (u1; u2; u3)t . Прежде всего, в силу (1.33), (1.36), (1.40) и (1.41) имеем (Φ|Γ1 ; Φ|Γ2 )= Φ|Γ = Φ1|Γ + Φ2|Γ + Φ3|Γ = = C11u1 + C21u1 + C31u1 + C12u2 + C22u2 + C32u2 + C13u3 + C23u3 + C33u3, (1.43) где элементы Cik определены формулами (1.33), (1.36) и (1.40). Поэтому согласно этим определениям имеем, соответственно, C11u1 + C12u2 + C13u3 ∈ H1, C21u1 + C22u2 + C23u3 ∈ H2, C31u1 + C32u2 + C33u3 ∈ H3. Далее, очевидно соотношение ;0 (ψ1; ψ2)= ψ1 - ψ�1 + 0; ψ2 - ψ�2 + ψ�1; ψ�2 = u1 + u2 + u3. (1.44) 580 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, Д. О. ЦВЕТКОВ Пусть PH - ортопроектор на H = L2 (Γ) 8 {1Γ} . Тогда простые вычисления показывают, что PH (0; ψ2)= 0; ψ2 - ψ�2 + PH 0; ψ�2 = 0; ψ2 - ψ�2 + α ψ�1; ψ�2 = u2 + αu3, mes Γ1 1 0 < α := mes Γ + mes Γ2 < 1. Спроектируем обе части (1.42) на подпространства H1, H2 и H3, соответственно. Введем ряд обозначений: PH (F |Γ1 ; F |Γ2 )= (F |Γ1 ; F |Γ2 )= P1 (F |Γ1 ; F |Γ2 )+ P2 (F |Γ1 ; F |Γ2 )+ P3 (F |Γ1 ; F |Γ2 ) =: f1 + f2 + f3, PH (Ψ|Γ1 ; Ψ|Γ2 )= (Ψ|Γ1 ; Ψ|Γ2 )= P1 (Ψ|Γ1 ; Ψ|Γ2 )+ P2 (Ψ|Γ1 ; Ψ|Γ2 )+ P3 (Ψ|Γ1 ; Ψ|Γ2 ) =: Ψ1 + Ψ2 + Ψ3, 0 Ψi =: B2,iw_ , ρ-1∇Ψi = Ph,S г N 2(x3)w3_e3 l , i = 1, 3; (1.45) PH (η|Γ1 ; η|Γ2 )= (η|Γ1 ; η|Γ2 )= P1 (η|Γ1 ; η|Γ2 )+ P2 (η|Γ1 ; η|Γ2 )+ P3 (η|Γ1 ; η|Γ2 ) =: η1 + η2 + η3, 0 ηi =: Biui, ρ-1∇ηi = Ph,S г N 2(x3) ((Uiui)_e3) _e3 l , i = 1, 3; (1.46) B11w_ := P0 г N 2(x3)w3_e3 l , B1,iui := P0 г N 2(x3) ((Uiui)_e3) _e3 l , i = 1, 3. (1.47) 0 Здесь через Ui (i = 1, 3) обозначен оператор, который посредством решения вспомогательной задачи (см. (1.30), (1.34), (1.37)) ставит в соответствие элементу ui функцию ρ-1∇Φi ∈ G_ h,S (Ω, ρ0). Перепишем первое уравнение (1.19) и (1.42) с учетом замен (1.45)-(1.47) в виде системы уравнений, которая в векторно-матричной форме принимает вид: d2 ( I0 0 \ ( w_ \ г( 0 0 \ ( B11 B12 \l ( w_ \ ( P0ψ0 dt2 0 A u + 0 I + B21 B22 u = f \ (w_ ; u)t ∈H = J_0(Ω, ρ0) ⊕ H, u = (u1; u2; u3)t ∈ H = H1 ⊕ H2 ⊕ H3, f = (f1; f2; f3)t, I := diag(ρ0gI1; ρ0gI2; ρ0gI3), , (1.48) ⎛ 0 0 0 ⎞ ⎛ C11 C12 C13 ⎞ ⎛ B2,1 ⎞ A := ⎝ 0 ρ1 0 0 0 αρ1 ⎠ + ⎝ C21 C22 C23 C31 C32 C33 ⎠ , B21 := ⎝ B2,2 B2,3 ⎠ , (1.49) B12 := ( B1,1 B1,2 B1,3 ) , B22 := diag(B1; B2; B3). Начальные условия задачи (1.19) порождают начальные условия для уравнения (1.48): w_ (0) = P0_v0, ui(0) = Piζ0, i = 1, 3; (1.50) i w_ ∗ (0) = P0_u0, u∗ (0) = Pi ((Ph,S _u0) · _n) , i = 1, 3. (1.51) Итогом рассмотрения задачи (1.19) в этом пункте является Теорема 1.1. Начально-краевая задача (1.19) равносильна задаче Коши (1.48)-(1.51) для дифференциального уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве H. 5. Свойства операторных коэффициентов задачи. Лемма 1.2. Оператор ⎛ C11 C12 C13 ⎞ C := ⎝ C21 C22 C23 ⎠ C31 C32 C33 - самосопряженный компактный и положительный оператор, действующий в пространстве H = H1 ⊕ H2 ⊕ H3. МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ В БАССЕЙНЕ, ПОКРЫТОМ ЛЬДОМ 581 Доказательство. Все операторы Cij (i, j = 1, 3), из которых состоит оператор C, являются произведением ограниченных операторов ортогонального проектирования на компактный оператор γTj (см., например, [6]). Следовательно, все Cij (i, j = 1, 3) являются компактными операторами, а значит, и оператор C является компактным. Докажем, что оператор C является самосопряженным. Обозначим через Φ решение задачи Неймана (1.20) при ψ = u = (u1; u2; u3)t . Для ∀ u, v ∈ H имеем: ⎛⎛ C11 C12 C13 ⎞ ⎛ u1 ⎞ ⎛ v1 ⎞⎞ (Cu, v)H = ⎝⎝ C21 C22 C23 C31 C32 C33 ⎠ ⎝ u2 u3 ⎠ , ⎝ v2 v3 ⎠⎠ = = (C11u1, v1)+ (C12u2, v1)+ (C13u3, v1)+ (C21u1, v2)+ (C22u2, v2)+ (C23u3, v2)+ + (C31u1, v3)+ (C32u2, v3)+ (C33u3, v3)= [(C11u1, P1v)+ (C21u1, P2v)+ (C31u1, P3v)] + + [(C12u2, P1v)+ (C22u2, P2v)+ (C32u2, P3v)] + [(C13u3, P1v)+ (C23u3, P2v)+ (C33u3, P3v)] = = ( Φ1|Γ , v)H + ( Φ2|Γ , v)H + ( Φ3|Γ , v)H . Обозначим через Υ решение задачи Неймана (1.20) при ψ = v = (v1; v2; v3)t . Тогда, учитывая условия задачи (1.20), имеем: r (Cu, v)H = r Φ1·v dΓ+ r Φ2·v dΓ+ r Φ3·v dΓ= r Φ · v dΓ= ∂Υ Φ · ρ-1 dΓ= Γ Γ r ∂Υ Γ Γ r ∂Υ r 0 ∂x3 Γ ∂Υ = Φ · ρ-1 dΓ+ Φ · ρ-1 dS = Φ · ρ-1 dS = 0 ∂x3 Γ S r ( ) 0 ∂x3 r ( 0 ∂x3 ∂Ω ) ( ) 0 = Φ ·∇ ρ-1∇Υ Ω r d Ω+ Ω ρ0(x3) · 0 0 ρ-1∇Φ · ρ-1∇Υ d Ω= = ρ0(x3) · (ρ-1∇Φ) · (ρ-1∇Υ) d Ω= ... = (u, Cv)H . 0 0 Ω Так как оператор C является ограниченным, то из полученного выражения следует, что оператор C - самосопряженный. Рассмотрим теперь форму оператора C: r (Cu, u)H = ρ0(x3) · (ρ-1∇Φ) · (ρ-1∇Φ) d Ω � 0. 0 0 Ω Если (Cu, u)H = 0, то Φ ≡ ϕ = const. Тогда из условия нормировки функции Φ r Φ dΓ=0 Γ получаем, что Φ ≡ 0, а следовательно, и u = 0. Отсюда приходим к выводу, что оператор C положительный. Лемма доказана. Лемма 1.3. Оператор ( B11 B12 \ B = B21 B22 - самосопряженный, ограниченный и неотрицательный оператор, действующий в пространстве H = J_0(Ω, ρ0) ⊕ H1 ⊕ H2 ⊕ H3. Доказательство следует из равенства (BX , X )H = (B11w_ , w_ )J_0(Ω,ρ0) + r 3 i=1 (B1,iui, w_ )J_0(Ω,ρ0) + 2 3 i=1 (B2,iw_ , ui)Hi + 3 i (Biui, ui)H = i=1 = N 2(x3)ρ0(x3) w3 + (ρ-1∇Φ · _e3) dΩ. 0 Ω 582 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, Д. О. ЦВЕТКОВ Замечание 1.1. В уравнении (1.48) оператор A, с учетом его определения и леммы 1.2, удовлетворяет следующим свойствам: 0 < A ∈ L(H), L(H) - пространство ограниченных операторов, действующих в пространстве H. Однако операторный коэффициент при искомой функции не является положительно определенным оператором, а именно 0 :( ( 0 0 0 I \ + ( B11 B12 B21 B22 \ ∈ L(H). Данный факт не позволяет воспользоваться известной теоремой о существовании и единственности сильного решения (см., например, [5, c. 44]). 2. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ СИЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Вспомогательные утверждения. Введем пространства: ⎧ ⎫ H+ 1/2 1/2 ⎨ 1/2 r ⎬ 1 = H1 := H�Γ1 = v ∈ H ⎩ (Γ) : v ≡ 0 ( на Γ2) , Γ1 v dΓ1 =0 ⎭ , (2.1) H+ 1/2 ⎧ 1/2 ⎨ ⎫ 1/2 r ⎬ 2 = H2 := H�Γ2 = H3 = H1/2 v ∈ H ⎩ (Γ) : v ≡ 0( на Γ1) , Γ2 )∗ v dΓ2 =0 ⎭ , (2.2) ∗ 3 = H1/2 (Γ) ∩ H3, H- = (H+ , i = 1, 2, H- = (H3) . (2.3) i i 3 Построение этих пространств и изучение их свойств проводится аналогично случаю, когда граница области состоит из жесткой стенки и подвижной поверхности одного типа (см, например, [6]). Как следствие, имеем следующую лемму о свойствах операторов Cij . Лемма 2.1. Оператор Cij является ограниченным оператором, действующим из H- в H+, j i при этом он является компактным как оператор, действующий из H- в Hi. Оператор C-1 j ii является ограниченным как оператор, действующий из H+ в H-, при этом C-1/2 ограниченно i i ii действует из H+ в Hi и из Hi в H-, i, j = 1, 3. i i Обозначим пространства E1 := H1 и E2 := H�2 = H2 ⊕ H3. Оснащение H1 имеет вид (см. (2.1)) E+ + - - + - 1 = H1 ⊂ E1 = H1 ⊂ E1 = H1 . Для E2 имеем: E2 ⊂ E2 ⊂ E2 , где 2 := { (ψ�1; ψ2) | ψ�1 = const, ψ2 ∈ H (Γ2) , r r ψ�1 dΓ1 + ψ2 dΓ2 = 0 }, E2 := (E2 )∗ . E+ 1/2 - + Γ1 Γ2 Рассмотрим в гильбертовом пространстве E = E1 ⊕ E2 операторную матрицу (см. (1.49)) ( 0 0 \ ( C�11 C�12 \ A = 0 J� + C�21 , C�22 J� = diag (ρ1; αρ1) , (2.4) ( C21 \ , ( C22 C23 \ C = , C�11 = C11, C�12 = ( C12 C13 ) , C�21 = C31 �22 C32 C33 где операторы (согласно их определениям и леммам 1.2, 2.1) обладают следующими свойствами. 1. Оператор J� : E2 → E2 является ограниченным и положительно определенным. j 2. C�ij действует ограниченно из E- 1 i в E+ + j (i, j = 1, 2). Оператор C�ij : E- → Ei является при - ii этом компактным. Оператор C�- : Ei → Ei также ограниченный. 3. Оператор ограниченно действует из E- = E- × E2 в E+ = E+ × E2, причем сужение A 1 1 оператора A на E = E1 × E2 является ограниченным положительным самосопряженным оператором. МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ В БАССЕЙНЕ, ПОКРЫТОМ ЛЬДОМ 583 2. Теорема существования сильного решения вспомогательной задачи. Перепишем (1.48) в следующем виде: d2 ( w_ \ ( I0 + B11 B12 \( w_ \ ( P0ψ0 \ ( I0 0 \( w_ \ dt2 Au + B21 I + B22 u = f + 0 0 u . (2.5) Осуществляя замену Au = z в (2.5), перейдем от задачи (1.48)-(1.51) к следующей задаче Коши: d2v t ∗ ∗ ∗ t dt2 + Av = g + Rv, v(0) = (w_ (0); z(0)) , v (0) = (w_ (0); z (0)) (2.6) ( I0 0 \ t t A := IB F, R = 0 0 , g = (P0ψ0; f ) , v = (w_ ; z) . IB = ( I0 + B11 B12 B21 I + B22 \ ( I0 0 \ , F = 0 A-1 , D(A )= D (IB F )= D (F ). (2.7) Введем эквивалентную норму в пространстве H = J_0(Ω, ρ0) ⊕ H: B [v1; v2] := (I-1v1; v2), тогда B [IB Fv1; v2]= (Fv1; v2)= (v1; Fv2)= (v1; I-1IB Fv2)= [v1; IB Fv2], следовательно, A = IB F - самосопряженный оператор, более того, он является неограниченным и положительно определенным оператором (см. (2.7)). Определение 2.1. Сильным (по переменной t) решением задачи (2.6) на отрезке [0,T ] назовем такую функцию v(t) со значениями в H, для которой выполнены следующие условия: 1◦. v(t) ∈ D(A) при любом t ∈ [0; T ] и Av(t) ∈ C ([0; T ]; H); 2◦. v∗ (t) ∈ C1 ([0; T ]; D(A1/2)) ; 3◦. v∗∗ (t) ∈ C ([0; T ]; H); 4◦. выполнено уравнение (2.6), где все слагаемые - функции из C ([0; T ]; H) , и начальные условия. Теорема 2.1. Если выполнены условия v(0) ∈ D(A)= D(IB F )= D(F ), v∗(0) ∈ D(A1/2)= D((IB F )1/2)= D(F 1/2), (2.8) f (t) ∈ C1 ([0; T ]; H) , H = J_0(Ω, ρ0) ⊕ H, (2.9) тогда задача (2.6) имеет единственное сильное решение на отрезке [0; T ]. Доказательство. Если для задачи Коши выполнены условия d2v 0 dt2 + Av = g, v(0) = v , v∗ (0) = v1 , A = A∗ » 0, (2.10) v(0) ∈ D(A), v∗(0) ∈ D(A1/2), g(t) ∈ C1 ([0; T ]; H) , (2.11) то задача (2.10) имеет единственное сильное решение v = v0(t) на отрезке [0; T ], выражаемое формулой (см. [5, c. 67]) t r v0(t)= cos(tA1/2)v0 + A-1/2 sin(tA1/2)v1 + 0 A-1/2 sin (t - s)A1/2 g(s)ds, (2.12) где cos(tA1/2) и A-1/2 sin(tA1/2) - семейство операторных косинус-функций и синус-функций, построенное по A (см., например, [5, c. 48-56]). Обозначим в (2.6) g(t)= g(t)+ Rv. � g( Считая, что � t) известна, и используя формулу (2.12) для решения задачи Коши (2.10), приходим к следующему интегральному уравнению Вольтерра для искомой функции v(t): 584 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, Д. О. ЦВЕТКОВ t r v(t)= cos(tA1/2)v0 + A-1/2 sin(tA1/2)v1 + 0 t r A-1/2 sin (t - s)A1/2 g(s)ds+ t r + A-1/2 sin (t - s)A1/2 Rv(s)ds = v0(t)+ 0 0 A-1/2 sin (t - s)A1/2 Rv(s)ds. (2.13) Здесь v0(t) задана формулой (2.12) и строится по данным (2.11), причем она в силу условий (2.11) является сильным решением задачи (2.10). Это означает, в частности, что v0(t) ∈ C2 ([0; T ]; H) ∩ C1 [0; T ]; D(A1/2) ∩ C ([0; T ]; D(A)) . (2.14) Отметим, что A-1/2 sin(tA1/2)Rv(s) непрерывно дифференцируема по t (см., например, [4, 10], а также [5, свойство 3, c. 51]), следовательно, уравнение (2.13) имеет решение v(t) ∈ C ([0; T ]; H) . Оставшаяся часть доказательства теоремы сводится к проверке того, что выполнены свойства 2◦, 3◦ и 4◦ из определения сильного решения задачи (2.6). Формальное дифференцирование обеих частей (2.13) приводит к формулам t v∗ (t)= v∗ (t)+ d r -1/2 sin (t s) 1/2 Rv(s)ds = v∗ (t)+ (2.15) 0 dt A - A 0 0 t t r ∂ f r A + -1/2 sin ∂t 0 t (t - s)A1/2 Rv(s) 0 ds = v∗ (t)+ 0 cos (t - s)A1/2 Rv(s) ds; v∗∗ (t)= v∗∗ (t)+ d r cos (t s) 1/2 Rv(s)= v∗∗ (t)+ Rv(t)+ (2.16) 0 t + r ∂ f ∂t 0 dt cos - 0 (t - s)A1/2 A Rv(s) 0 t r 0 ds = v∗∗ (t)+ Rv(t) - 0 1/2 A sin (t - s)A1/2 Rv(s)ds. 0 Из полученных формул (2.15) и (2.16) можно сделать следующие выводы. Так как в силу (2.14) v∗ (t) ∈ C ([0; T ]; D(A1/2)) , то из (2.15), а также того, что оператор-функция cos(tA1/2) непрерывно дифференцируема по t, следует свойство 2◦ из определения сильного решения, т. е. 0 v∗ (t) ∈ C ([0; T ]; D(A1/2)) . Далее, так как v∗∗ (t) ∈ C ([0; T ]; H) , тогда из (2.16) и того, что оператор-функция A-1/2 sin(tA1/2) непрерывно дифференцируема, получаем свойство 3◦, т. е. v∗∗ (t) ∈ C ([0; T ]; H) . Наконец, непосредственный подсчет показывает, что функция v(t) являющаяся решением уравнения (2.13), удовлетворяет также исходному уравнению (2.6), причем все слагаемые в нем - непрерывные функции t со значениями в H. Заметим еще, что из (2.13) следует, что v(0) = v0(0) + 0 = v0(0), а из (2.15) v∗ (0) = v∗ (0) + 0 = v∗ (0). 0 0 Теорема доказана. Лемма 2.2. Если в задаче (1.48)-(1.51) выполнены условия: (w_ 0; u0)t ∈ H, (w_ 1; u1)t ∈ H, (P0ψ0; f )t ∈ C1 ([0,T ]; H) , H = J_0(Ω, ρ0) ⊕ H, (2.17) то имеют место начальные условия (2.8)-(2.9) в задаче (2.6). Доказательство. С учетом замены Au = z, пусть выполнены условия (2.8)-(2.9), тогда имеем ( v0 = (w_ 0; z0)t ∈ D(IB F )= D(F ) ) ⇐⇒ w_ 0 ∈ J_0(Ω, ρ0), z0 = Au0 ∈ D(A-1) , МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ В БАССЕЙНЕ, ПОКРЫТОМ ЛЬДОМ 585 последнее условие равносильно тому, что u0 ∈ H. Далее, v1 = (w_ 1; z1)t ∈ D(A1/2)= D((IB F )1/2)= D(F 1/2) ⇐⇒ ⇐⇒ w_ 1 ∈ J_0(Ω, ρ0), z1 = Au1 ∈ D(A-1/2) ⇐⇒ ⇐⇒ w_ 1 ∈ J_0(Ω, ρ0), A-1/2Au1 = A1/2u1 ∈ H ⇐⇒ w_ 1 ∈ J_0(Ω, ρ0), u1 ∈ H . 3. Теорема существования сильного решения исходной начально-краевой задачи. Исходя из формулировок задач (1.4), (1.8) и (1.19), дадим (согласованные между собой) определения сильных по переменной t решений этих задач. Определение 2.2. Сильным (по переменной t) решением задачи (1.4) на промежутке [0,T ] назовем набор функций _u (t, x) , p (t, x) , ρ (t, x) , ζ (t, xˆ) , для которых выполнены следующие условия: 0 1◦. _u (t) ∈ C1 [0,T ]; J_0,S (Ω, ρ0) , ρ-1∇p ∈ C [0,T ]; G_ (Ω, ρ0) , ρ (t) ∈ C1 ([0,T ]; L (Ω)) , где L2(Ω) - гильбертово пространство скалярных функций со скалярным произведением (ϕ, ψ)L2(Ω) := g 2 r Ω ρ0(x3)N 2(x3) -1 ϕ(x)ψ(x) dΩ, и при любом t ∈ [0,T ] справедливо первое уравнение (1.4); ∂ζ 2◦. un = ∂t ∈ C ([0,T ]; H); 3◦. выполнено граничное условие на Γ1 и Γ2: p = gρ0(0)ζ ∈ C ([0,T ]; L2(Γ1)) , ∂2ζ p = gρ0(0)ζ + ρ2 ∂t2 ∈ C ([0,T ]; L2(Γ2)) , где все слагаемые являются непрерывными по t функциями со значениями в L2(Γ1) и L2(Γ2), соответственно; 4◦. выполнены начальные условия (1.4). Определение 2.3. Сильным (по переменной t) решением задачи (1.8) на промежутке [0,T ] назовем набор функций _v (t, x) , p (t, x) , для которых выполнены следующие условия: 0 1◦. _v (t) ∈ C2 [0,T ]; J_0,S (Ω, ρ0) , ρ-1∇p ∈ C [0,T ]; G_ (Ω, ρ0) , и при любом t ∈ [0,T ] справедливо первое уравнение (1.8); 2◦. выполнено граничное условие на Γ1 и Γ2: p = gρ0(0)v3 ∈ C ([0,T ]; L2(Γ1)) , v3 = _v · _e3, ∂2v3 p = gρ0(0)v3 + ρ2 ∂t2 ∈ C ([0,T ]; L2(Γ2)) , где все слагаемые являются непрерывными по t функциями со значениями в L2(Γ1) и L2(Γ2), соответственно; 3◦ выполнены связи (1.5) и (1.6); 4◦. выполнены начальные условия (1.8). Определение 2.4. Сильным (по переменной t) решением задачи (1.19) на промежутке [0,T ] назовем такие функции w_ (t, x) из Γ J_0(Ω, ρ0) и Φ (t, x) со значениями в H1 (Ω, ρ0) , для которых выполнены следующие условия: 1◦. w_ (t) ∈ C2 ,T ]; J_0 (Ω, ρ0) ; 2◦. ( ∂Φ \ [0 ∈ C2 ([0,T ]; H) , ΦΓ ∈ C2 [0,T ]; H1/2 , для ∀t ∈ [0,T ]; ∂x3 Γ Γ 586 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, Д. О. ЦВЕТКОВ 3◦. выполнены соотношения ∂2w_ г ∂t2 + P0 N 2(x3) ρ ( -1 ∂Φ 0 ∂x3 \ + w3 l _e3 = P0ψ0 ( в Ω ), ∂2Φ ∂Φ 3 ∂t2 + g ∂x +Ψ+ η = F + c(t) (на Γ1 ), ∂2Φ ∂Φ 1 ∂2 ( ∂Φ \ 3 ∂t2 + g ∂x 0 + ρ2ρ- ∂t2 ∂x3 +Ψ+ η = F + c(t) (на Γ2 ), где все слагаемые являются непрерывными по t функциями со значениями соответственно в 0 J_0 (Ω, ρ0) , L2(Γ1), L2(Γ2), причем ρ-1∇Φ ∈ C2 [0,T ]; G_ h,S (Ω, ρ0) ; 4◦. выполнены начальные условия (1.19). Теорема 2.2. Пусть выполнены условия _u0 ∈ J_0,S (Ω, ρ0) , ρ0 ∈ L2(Ω), ζ0 ∈ H = L2 (Γ) 8 {1Γ} , (2.18) Γ (Ph,S _u0(x)) · _n ∈ H, f (t) ∈ C1 [0,T ]; L_ 2(Ω, ρ0) . (2.19) Тогда каждая из задач (1.4), (1.8) и (1.19) имеет единственное сильное по t решение. Доказательство. Доказательство теоремы проведем по этапам, переходя последовательно от задачи (1.48)-(1.51) к (1.19), затем от (1.19) к (1.8) и от (1.8) к (1.4). От задачи (1.48)-(1.51) к (1.19). Если выполнены условия (2.18) и (2.19), то для функций (w_ 0; u0)t = (P0v0; u0; u0; u0)t, u0 = Piζ0, i = 1, 3, 1 2 3 i (w_ 1; u1)t = (P0_u0; P1ζ1; P2ζ1; P3ζ1)t, Piζ1 = Pi [(Ph,S _u) · _n] , i = 1, 3, (P0ψ0; f )t = (P0ψ0; f1; f2; f3)t, fi = PiFΓ, i = 1, 3, выполнены условия (2.17) леммы 2.2. Действительно, для функции w_ (t, x) w_ 0 = P0_v0 ∈ J_0 (Ω, ρ0) , w_ 1 = P0_u0 ∈ J_0 (Ω, ρ0) ⇐⇒ ( ⇐⇒ (w3 (0, xˆ))Γ = 0, ∂ (w_ (0, x)) = P0_u0 ∂t \ (x) ∈ J_0 (Ω, ρ0) . (2.20) Кроме того, w_ (t) ∈ C2 ,T ]; J_0 (Ω, ρ0) . [0 Γ Так как ζ0 ∈ H = L2 (Γ) 8 {1Γ} , (Ph,S _u0(x)) · _n ∈ H, с учетом (2.20), получаем Далее, (w_ 0; u0)t ∈H = J_0(Ω, ρ0) ⊕ H, (w_ 1; u1)t ∈H = J_0(Ω, ρ0) ⊕ H. f (t) ∈ C1 [0,T ]; L_ 2(Ω, ρ0) ⇐⇒ ψ0 ∈ C1 [0,T ]; L_ 2(Ω, ρ0) ⇐⇒ ⇐⇒ P0ψ0 ∈ C1 ,T ]; J_0(Ω, ρ0) , Ph,S ψ0 = ρ-1∇F ∈ C1 [0,T ]; G_ h,S (Ω, ρ0) ⇐⇒ [0 0 ⇐⇒ P0ψ0 ∈ C1 ,T ]; J_0(Ω, ρ0) , FΓ ∈ C1 [0,T ]; H1/2 , [0 Γ 1/2 и если FΓ ∈ HΓ , то PiFΓ ∈ Hi. Поэтому по лемме 2.2 получаем, что задача (1.48)-(1.51) имеет единственное сильное решение на отрезке [0,T ] . Тогда d2 dt2 w_ ∈ C [0,T ]; J_0(Ω, ρ0) , d2 dt2 Au ∈ C ([0,T ]; H) . (2.21) Покажем, что функция Φ|Γ ∈ C2 Γ [0,T ]; H1/2 . Для этого, используя представление (2.4), перепишем второе условие (2.21) в виде двух: d2 dt2 u2 C�11u1 + C�12 � + ∈ C ([0,T ]; H1 ) , (2.22) МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ В БАССЕЙНЕ, ПОКРЫТОМ ЛЬДОМ 587 d2 dt2 C�21u1 + 2 � J� + C�22 u ∈ C [0,T ]; H�2 . (2.23) Поскольку J� + C�22 - ограниченный и положительно определенный, то из условия d2 dt2 J� + C�22 � u2 ∈ C [0,T ]; H�2 , (2.24) -1 подействовав ограниченным оператором J� + C�22 , получаем, что d2 � u2 dt2 ∈ C [0,T ]; H�2 . (2.25) Следовательно, по свойствам операторов C�ij (см. после (2.4)) получаем, что 2 d u ∈ C ([0,T ]; H+ d2 , C� u ∈ C [0,T ]; H� + . (2.26) dt2 C�12 �2 ) 1 dt2 22 �2 2 Тогда из (2.22) следует, что d2 dt2 C�11u1 + ∈ C ([0,T ]; H1 ) . (2.27) Подействуем слева в (2.27) оператором C�-1/2, ограниченным из H+ в H1; имеем: 11 1 2 2 C�-1/2 d d C� u = 1/2 C � 11 dt2 11 1 dt2 11 u1 ∈ C ([0,T ]; H1) . (2.28) Далее, оператор C�-1/2 ограниченно действует из H1 в H-. Поэтому оператор C�21C�-1/2 ограничен 11 1 11 2 как оператор, действующий из H1 в H� +, а следовательно, 11 C�21C�-1/2 d2 dt2 1/2 C u �11 1 d2 = dt2 C�21u1 2 ∈ C [0,T ]; H� + . (2.29) Тогда из (2.22), (2.26) и (2.29) в силу вложений H+ ⊂ H1/2 и H� + ⊂ H1/2 получаем, что 1 Γ 2 Γ u2 ∈ C2 ,T ]; H1/2 =⇒ u2 + C�21u1 + C�22 � [0 Γ 0 =⇒ ρ-1∇Φ (t, x) ∈ C2 [0,T ]; G_ h,S (Ω) . Отсюда следует, что для функции Φ = Φ (t, x) выполнены уравнения и краевые условия задачи (1.19), причем в краевых условиях все функции являются непрерывными по t. Кроме того, выполнены начальные условия ( ∂Φ \ ρ-1 (0, x) = ζ0 (xˆ) ∈ H, 0 ∂x3 Γ ∂ ( ∂Φ \ ρ-1 (0, xˆ) = (Ph,S _u0(x)) · _n ∈ H, ∂ а также ∂t 0 ∂x3 Γ Γ (ρ-1 0 ∂t 0 ∇Φ) (0, x)= Ph,S _u ∈ G_ h,S (Ω, ρ0) . (2.30) Значит, согласно определению 2.4, функции w_ (t, x) и Φ (t, x) является сильным (по t) решением задачи (1.19) на отрезке [0,T ] . От задачи (1.19) к (1.8). Убедимся теперь, что из доказанных фактов следует существование сильного (по t) решения задачи (1.8). Следуя обратному ходу преобразований (см. (1.11)), введем по сильному решению w_ (t, x) и Φ (t, x) задачи (1.19) функции _v (t, x) и p (t, x): 0 _v(t, x)= w_ (t, x)+ ρ-1∇Φ(t, x) ∈ C2 [0,T ]; J_0,S (Ω, ρ0) . Так как 0 w_ (t, x) ∈ C2 [0,T ]; J_0 (Ω, ρ0) , ρ-1∇Φ(t, x) ∈ C2 [0,T ]; G_ h,S (Ω, ρ0) , 588 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ, Д. О. ЦВЕТКОВ p1|Γ1 = gρ0(0)v3|Γ1 = gρ0(0) ρ ( -1 ∂Φ \ 1 0 ∂x3 Γ ∈ C ([0,T ]; L2(Γ1)) , ∂2 p1|Γ2 = gρ0v3|Γ2 + ρ2 ∂t2 v3|Γ2 = gρ0 ρ ( -1 ∂Φ \ 0 ∂x ∂2 + ρ2 ∂t2 ρ ( -1 ∂Φ \ 0 ∂x ∈ C ([0,T ]; L2(Γ2)) , 3 Γ2 0 то ρ-1∇p1(x, t) ∈ C [0,T ]; G_ h,S (Ω, ρ0) , и тогда 3 Γ2 ρ-1 -1 -1 0 ∇p(t, x)= ρ0 ∇p1(t, x)+ ρ0 ∇p2(t, x) ∈ C [0,T ]; G_ (Ω, ρ0) , Далее, начальные условия задачи (1.19) порождают начальные условия задачи (1.8): v3(0, xˆ)= ζ0(xˆ) ∈ H, ∂ ∂ _v(0, x)= ∂t ∂t 0 (w_ + ρ-1∇Φ) (0, x)= _u0 ∈ J_0,S (Ω, ρ0). От задачи (1.20) к (1.4). Опираясь на доказанные факты выше, учитывая связи (1.5), (1.6), легко проверить, что при условиях теоремы задача (1.4) имеет сильное (по t) решение в смысле определения 2.2. 4. Заключительные замечания. Замечание 2.1. Теорему существования сильного решения задачи Коши для дифференциальнооператорного уравнения (2.6) можно доказать также, опираясь на следующие преобразования, изложенные в [8, c. 291-293], применительно к уравнению v∗∗ + IB Fv = g + Rv, (2.31) рассматриваемому в гильбертовом пространстве H. Введем новые искомые функции F 1/2v =: u, u∗ = F 1/2v∗ = F 1/2w, v∗ = w, (2.32) и перейдем к системе уравнений первого порядка: d ( w_ dt u \ ( 0 -IB F 1/2 = F 1/2 0 \( w_ u \ ( g + RF -1/2u \ + 0 = = ( IB 0 0 I2 \( 0 -F 1/2 F 1/2 0 \( w_ u \ ( g + RF -1/2u \ + 0 . (2.33) Здесь оператор diag(IB ; I2) ограничен и положительно определен, а оператор ( 0 -F 1/2 F 1/2 0 \ ( 0 iF 1/2 \ = i -iF 1/2 0 B является генератором унитарной группы операторов, действующей в пространстве H ⊕ H. Поэтому произведение таких операторов обладает таким же свойством в пространстве с эквивалентной нормой, определяемой оператором diag(I-1; I2). Далее, дополнительное слагаемое, определяемое выражением (RF -1/2u; 0)t, соответствует ограниченному возмущению генератора унитарной и потому сильно непрерывной группы операторов. Поэтому операторный коэффициент в полученной задаче Коши является генератором сильно непрерывной группы операторов. Значит, если выполнены условия F 1/2v0 = u0 ∈ D(F 1/2) ⇐⇒ v0 ∈ D(F ), v1 = w0 ∈ D(F 1/2), g(t) ∈ C1 ([0,T ]; H) , то задача (2.33) имеет единственное сильное решение на отрезке [0,T ] (теорема 2.1). Замечание 2.2. Теорему 2.1 можно доказать также, опираясь на тот факт, что в задаче (2.31) оператор IB F является самосопряженным и положительно определенным в пространстве с эквивалентной нормой (см. п. 2.2). Поэтому он является генератором семейства косинус-функций, действующих в этом пространстве (см. [3, c. 175-177]). Далее, так как оператор R из (2.6) ограничен, то возмущенный оператор IB F - R, согласно [3, теорема 8.5, c. 177], также является генератором семейства косинус-функций. Отсюда снова следует, что при выполнении условий (2.8), (2.9) задача (2.6) имеет единственное сильное решение на отрезке [0,T ].

About the authors

N D Kopachevsky

V. I. Vernadsky Crimean Federal University

Email: kopachevsky@list.ru
Simferopol, Russia

D O Tsvetkov

V. I. Vernadsky Crimean Federal University

Email: tsvetdo@gmail.com
Simferopol, Russia

References

Supplementary files