Inverse Spectral Problem for Integrodifferential Sturm-Liouville Operators with Discontinuity Conditions

Full Text

ВВЕДЕНИЕ 1. Предварительные сведения. Обратные задачи спектрального анализа заключаются в восстановлении операторов по их спектральным характеристикам. Такие задачи часто возникают в математике, механике, физике, электронике, геофизике, метеорологии и других областях естествознания и техники. Наиболее полные результаты в теории обратных задач получены для дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля и Дирака (см. монографии [10, 12, 18, 27, 47] и литературу в них), а в последствии - и для дифференциальных операторов высших порядков, а также для дифференциальных систем с произвольным расположением характеристических чисел главной части [17-19, 46, 47]. Однако классические методы решения обратных задач (такие, как метод оператора преобразования [10, 12, 18, 27] и метод спектральных отображений [17, 18, 27, 46, 47]), которые для дифференциальных операторов позволяют получить глобальное решение обратных задач вместе с необходимыми и достаточными условиями их разрешимости, не работают для интегродифференциальных и других классов нелокальных операторов. Поэтому общая теория обратных задач для интегро-дифференциальных операторов еще не построена, а имеются лишь отдельные фрагменты, не составляющие общей картины [2-4, 6, 8, 11, 14, 15, 20-26, 31, 32, 34, 36, 41, 48-50]. В то же время, интегро-дифференциальные операторы представляют значительный интерес в связи с многочисленными приложениями (см., например, [35]). Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2018 427 428 С. А. БУТЕРИН 2. Постановка задачи. В работе исследуется обратная задача для интегро-дифференциального оператора €, соответствующего следующей краевой задаче L = L(q, M, α0, α1, β) с условиями разрыва в середине интервала: x r π π €y = -y×× + q(x)y + 0 M (x - t)y(t) dt = λy, x ∈ 0, 2 ∪ ,π , (1.1) 2 y π +0 2 π = α0y 2 0 - , y× π 2 +0 π = α1y× 2 + π - 0 βy 2 0 - , (1.2) y(0) = y(π)= 0, (1.3) где q(x), M (x) - комплекснозначные функции, такие что q(x) ∈ L2(0, π) и (π - x)M (x) ∈ L2(0, π), (1.4) а α0, α1, β - комплексные числа, причем выполняется условие регулярности α0 + α1 /= 0. Пусть {λk }k∈N - спектр краевой задачи L. Доказывается следующая теорема. Теорема 1.1. Собственные значения λk, k ∈ N, задачи L имеют вид λk = k + ω1 - (-1)k ω2 + κk 2 , {κk }k N ∈ l , (1.5) где πk k π ∈ 2 π π/2 β 1 r β α0 - α1 r r α ω1 = 0 + + α1 2 0 α q(x) dx, ω2 = 0 + α1 + 2(α0 + α1) π/2 q(x) dx - 0 q(x) dx . (1.6) Рассмотрим следующую обратную задачу. Задача 1.1. По заданному спектру {λk }k;;:1 краевой задачи L вида (1.1)-(1.3) найти функцию M (x) в предположении, что потенциал q(x) и параметры разрыва α0, α1,β известны априори. 3. История вопроса и основной результат работы. Присутствие разрыва в математической модели связано с разрывными свойствами материалов или с наличием разрыва в соответствующем физическом процессе. Для дифференциальных операторов с условиями разрыва обратные задачи исследовались в [16, 28, 29, 33, 37-40, 42-45]. Различные аспекты обратных задач для интегродифференциальных операторов без разрыва изучались в [2, 6, 8, 11, 14, 15, 20-22, 24-26, 31, 32, 34, 41, 48-50]. В частности, в [2, 11, 15] задача 1.1 исследовалась в случае, когда α0 = α1 = 1 и β = 0. Так, например, в [15] была установлена единственность ее решения, локальная разрешимость и устойчивость. В [2] было построено глобальное решение задачи 1.1 и получены необходимые и достаточные условия ее разрешимости в терминах асимптотики спектра. При этом в [2] использовался иной, нежели в [15], метод (см. также [22] для случая q(x) ≡ const), основанный на сведении обратной задачи к так называемому основному нелинейному интегральному уравнению с особенностью, которое было решено глобально. В дальнейшем, развивая идеи этого метода, были исследованы обратные задачи для интегро-дифференциальных систем Дирака [21], для интегро-дифференциальных операторов на геометрическом графе [20], а также для скалярных интегро-дифференциальных операторов дробных порядков [31, 32]. Целью настоящей работы является доказательство единственности решения задачи 1.1, а также получение необходимых и достаточных условий ее разрешимости в случае наличия разрыва (1.2) у решения соответствующей краевой задачи. При этом, как будет видно из дальнейшего, необходимо наложить на параметры разрыва следующее дополнительное ограничение: α0 + α1 ∈/ (-∞, 0]. (1.7) Доказывается следующая теорема. Теорема 1.2. Пусть задана произвольная комплекснозначная функция q(x) ∈ L2(0, π) и комплексные числа α0, α1, β, причем выполнено (1.7). Тогда для всякой последовательности комплексных чисел {λk }k∈N вида (1.5), (1.6) существует единственная (с точностью до значений на множестве нулевой меры) функция M (x), (π - x)M (x) ∈ L2(0, π), такая что последовательность {λk }k∈N является спектром соответствующей краевой задачи L(q, M, α0, α1, β). ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 429 Таким образом, асимптотика (1.5), (1.6) является необходимым и достаточным условием разрешимости обратной задачи. Доказательство теоремы 1.2 конструктивно и дает алгоритм решения обратной задачи (см. ниже алгоритм 6.1). Использованный метод позволяет получить аналогичные результаты и для произвольного конечного набора точек разрыва. Отметим, что обратные задачи для интегро-дифференциальных операторов с условиями разрыва исследовались также в [3, 4, 23, 36]. При этом в [3, 23] рассматривались операторы первого порядка, а в [4, 36] - второго. В [36] исследовался вопрос единственности решения обратной задачи в специальном случае, когда терпит разрыв только y×, но его величина зависит от λ. В [4] установлена единственность решения и получены необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи в случае q(x)= 0, но в более широком классе сверточных ядер, а именно когда под интегралом в (1.1) вместо y(t) присутствует y×(t). Следует отметить, что случай q(x) /=0 значительно более трудный. 4. О структуре работы. В следующем разделе исследуется характеристическая функция краевой задачи L и доказывается теорема 1.1. Для этих целей используется специальное решение уравнения (1.1), а также строятся операторы преобразования, связанные с соответствующим интегро-дифференциальным выражением. В разделе 3 устанавливаются дополнительные свойства ядер операторов преобразования, которые будут использованы в дальнейшем при доказательстве разрешимости обратной задачи. В разделе 4 выводится основное нелинейное интегральное уравнение обратной задачи и отыскивается его решение на первой половине интервала. В разделе 5 находится решение основного уравнения на второй половине интервала, при этом центральным местом является исследование особенности некоторого линейного интегрального уравнения Вольтерра третьего рода. В разделе 6 доказывается теорема 1.2 и приводится конструктивная процедура решения обратной задачи. 2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ И ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1. Характеристическая функция. Построим решение y = U (x, λ) уравнения (1.1), удовлетворяющее начальным условиям U (0, λ)= 0, U ×(0, λ)= 1, (2.1) а также условиям разрыва (1.2). Для этой цели рассмотрим непрерывно дифференцируемые решения C(x, λ) = C(x, λ; q, M ), S(x, λ) = S(x, λ; q, M ) уравнения (1.1), удовлетворяющие начальным условиям C(0, λ)= S×(0, λ)= 1, C×(0, λ)= S(0, λ)= 0. (2.2) Здесь и далее для того, чтобы подчеркнуть зависимость той или иной функции f (x1,..., xn) от каких-либо функций f1,..., fm, иногда будем писать f (x1,..., xn; f1,..., fm). Непосредственной подстановкой в (1.1), (1.2) и (2.1) легко проверить, что функция U (x, λ) имеет вид ⎧ π S(x, λ), 0 � x < , ⎪ 2 ⎪ ⎪ )= U (x, λ ⎨ ⎪ π S(x, λ)+ (α0 - 1)S 2 ,λ C1 π - x ,λ + 2 (2.3) ⎪ π π π π где 2 ⎩⎪ + (α1 - 1)S× ,λ + βS ,λ 2 S1 x - ,λ , 2 π 2 < x � π, π C1(x, λ)= C(x, λ; q1,M ), S1(x, λ)= S(x, λ; q1,M ), q1(x)= q x + , 0 < x < 2 . (2.4) 2 Нетрудно видеть, что в силу единственности решения задачи Коши (1.1), (1.2), (2.1) собственные значения краевой задачи L совпадает с нулями целой функции Δ(λ) := U (π, λ) (2.5) с учетом кратности, которая называется характеристической функцией задачи L. 430 С. А. БУТЕРИН 2. Операторы преобразования. В дальнейшем нам понадобится следующее утверждение. Лемма 2.1. Интегральные уравнения x F (x, t, τ )= F (x, t, τ )+ 1 r 0 2 t r q(s) ds t r F (s, ξ, τ ) dξ + q(s) ds 2s-t r F (s, ξ, τ ) dξ- t τ x 2(s-x)+t r r t-τ r t+τ 2 x r τ t-s r - τ - 2 q(s) ds F (s, ξ, τ ) dξ + M (s) ds dξ t +x τ 0 t τ t-τ r t r 2ξ-t-s r F (ξ - s, η, τ ) dη+ + M (s) ds 0 dξ t+τ +s τ 2 F (ξ - s, η, τ ) dη- t-τ r - 0 M (s) ds x r dξ +x s+τ -t 2 2(ξ-x)+t-s r F (ξ - s, η, τ ) dη τ , 0 � τ � t � x � π, (2.6) x-t 1 r t+s r t-τ 2 r t-s r G(x, t, τ )= G0(x, t, τ )+ 2 ds 0 τ +s q(ξ)G(ξ, ξ - s, τ ) dξ + 0 ds τ +s q(ξ)G(ξ, ξ - s, τ ) dξ + 2 x- t+τ 2x-t-s t-τ x-t t-s r + x-t r ds τ +s r q(ξ)G(ξ, ξ - s, τ ) dξ + 0 t-τ -s r M (s) ds 0 r dξ G(ξ + η, η, τ ) dη + τ t-τ r + 0 2 r M (s) ds 0 t+τ +s t-s-2ξ r dξ G(ξ + η, η, τ ) dη+ τ t-τ r + 0 M (s) ds x- 2 r x-t r 2(x-ξ)-t-s dξ G(ξ + η, η, τ ) dη , 0 � τ � t � x � π, (2.7) τ с непрерывными свободными членами F0(x, t, τ ) и G0(x, t, τ ) имеют единственные решения F (x, t, τ )= F (x, t, τ ; q, M ) и G(x, t, τ )= G(x, t, τ ; q, M ), соответственно, также являющиеся, в свою очередь, непрерывными функциями. Доказательство. Для уравнения (2.6) метод последовательных приближений дает где ∞ F (x, t, τ )= \ Fk (x, t, τ ), (2.8) k=0 x F (x, t, τ )= 1 r k+1 2 t r q(s) ds t r Fk (s, ξ, τ ) dξ + q(s) ds 2s-t r Fk (s, ξ, τ ) dξ- t τ x 2(s-x)+t r r t+τ 2 t-τ r τ x t-s r r - +x τ -t 2 q(s) ds τ Fk (s, ξ, τ ) dξ + 0 M (s) ds dξ t τ Fk (ξ - s, η, τ ) dη+ ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 431 t-τ r + t r M (s) ds 2ξ-t-s r dξ Fk (ξ - s, η, τ ) dη- 0 t-τ r - 0 t+τ +s 2 M (s) ds τ x r s+τ -t 2(ξ-x)+t-s r dξ Fk (ξ - s, η, τ ) dη τ , k ;;: 0. (2.9) Положим Покажем, что F0 := max 0�τ �t�x�π 2 +x π r |F0(x, t, τ )|, C = 0 |q(s)| ds + π 3 r 4 (π - s)|M (s)| ds. 0 |Fk (x, t, τ )| � F0 (Ct)k , 0 � τ � t � x � π, k ;;: 0. (2.10) k! В самом деле, при k = 0 оценка (2.10) очевидна. Предполагая, что она верна при k = j для некоторого j ;;: 0, покажем ее справедливость и для k = j + 1. Согласно (2.9) и (2.10), будем иметь x 1 r |Fj+1(x, t, τ )| � 2 t+τ 2 t r |q(s)| ds τ |Fj (s, ξ, τ )| dξ + x r +x τ -t 2 t r |q(s)| ds τ |Fj (s, ξ, τ )| dξ+ t-τ r + |M (s)| ds 0 x r t+τ +s 2 t r dξ |Fj (ξ - s, η, τ )| dη + τ t-τ r |M (s)| ds 0 x r +x s+τ -t 2 t r dξ |Fj (ξ - s, η, τ )| dη . τ Поскольку в последних двух интегралах 2x - t - τ - s � 2(π - s) и t - τ - s � π - s, приходим к оценке x Cj r |Fj+1(x, t, τ )| � F0 2j! t+τ 2 t-τ t r |q(s)| ds τ t ξj dξ + x r +x τ -t 2 t r |q(s)| ds τ ξj dξ+ 3 r r + 2 (π - s)|M (s)| ds 0 τ ηj dη � F0 (Ct)j+1 , (j + 1)! которая совпадает с (2.10) для k = j +1. Таким образом, ряд (2.8) сходится равномерно в пирамиде 0 � τ � t � x � π, а значит, его сумма является решением уравнения (2.6). Для единственности достаточно показать, что F0(x, t, τ ) ≡ 0 влечет F (x, t, τ ) ≡ 0. В самом деле, при нулевом свободном члене определим Fk (x, t, τ ) по формулам (2.9), положив F0(x, t, τ ) := F (x, t, τ ). Тогда, очевидно, Fk (x, t, τ ) = F (x, t, τ ) для всех k ;;: 0, и в силу (2.10) приходим к F (x, t, τ ) ≡ 0. Для уравнения (2.7) рассуждения аналогичны. Заметим, что в уравнениях (2.6) и (2.7) переменная τ фактически является параметром, т. е. утверждение леммы 2.1 останется справедливым, если зафиксировать τ ∈ [0, π). Следующая лемма дает операторы преобразования для функций S(x, λ) и C(x, λ). Лемма 2.2. Положим ρ2 = λ. Имеют место следующие представления: x S(x, λ)= sin ρx r + ρ 0 P (x, t) sin ρ(x - t) ρ dt, (2.11) x r C(x, λ)= cos ρx + 0 Q(x, t) cos ρ(x - t) dt, (2.12) 432 С. А. БУТЕРИН где функции P (x, t)= P (x, t; q, M )= F (x, t, 0; q, M ), Q(x, t)= Q(x, t; q, M )= G(x, t, 0; q, M ) (2.13) являются решениями уравнений (2.6) и (2.7), соответственно, при τ =0 и F (x, t, 0) = 1 0 2 2 x- t 2 x- t r t 2 q(s) ds + t 2 r t ds (x - t)M (s) 0 t , (2.14) G (x, t, 0) = 1 r 0 2 0 r q(s) ds + 0 r q(s) ds + 0 ds (x - s)M (s) . При этом функции P (x, t) и Q(x, t) непрерывны в треугольнике 0 � t � x � π. Кроме того, P (x, · ), Q(x, · ) ∈ W 1[0, x] для всех x ∈ (0, π] и P ( ·, t), Q( ·, t) ∈ W 1[t, π] для всех t ∈ [0, π), а также 2 P (x, 0) = Q(x, 0) = 2 x 1 r 2 q(t) dt, P (x, x)= 0, 0 � x � π. (2.15) 0 Доказательство. Подстановкой легко проверить, что задача Коши (1.1), (2.2) для функции y = S(x, λ) равносильна интегральному уравнению S(x, λ)= x sin ρx r + ρ 0 sin ρ(x - t) ρ t r q(t)S(t, λ)+ 0 ds M (t - s)S(s, λ) dt. (2.16) Подставляя искомое представление (2.11) в уравнение (2.16) и умножая на ρ, получим x где r 4 P (x, t) sin ρ(x - t) dt = \ Pν (x, λ), (2.17) 0 ν=1 x r P1(x, λ)= 0 x r t r sin ρ(x - t)q(t) dt 0 t r cos ρs ds, s r P2(x, λ)= 0 x r sin ρ(x - t) dt M (t - s) ds 0 0 t r cos ρξ dξ, s r P3(x, λ)= 0 x r sin ρ(x - t)q(t) dt 0 t r P (t, t - s) ds 0 s r cos ρξ dξ, ξ r Поскольку P4(x, λ)= 0 sin ρ(x - t) dt 0 M (t - s) ds 0 P (s, s - ξ) dξ 0 cos ρη dη. - sin ρ(x t) cos ρs = 1 2 sin ρ(x - t + s)+ sin ρ(x - t - s) , преобразуя переменные и меняя порядок интегрирования, получаем x x x 2 x- t 1 r P1(x, λ)= 2 r q(t) dt 1 r sin ρs ds = 2 r sin ρ(x - t) dt q(s) ds, (2.18) - 0 x 2t 0 t 2 ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 433 x 1 r P2(x, λ)= 2 0 x r x-t sin ρs ds x-s r M (ξ) dξ + 0 x-t r x-2t sin ρs ds 2t-x+s r M (ξ) dξ 0 dt = x x 1 r r = sin ρt dt 2 x-t r ds M (ξ) dξ = x t 1. r r 2. (x - t) sin ρ(x - t) dt M (s) ds, (2.19) 0 x-t 0 0 0 x 1 r P3(x, λ)= 2 x dt q(t) r t r sin ρs ds P (t, t - ξ) dξ + 0 x-t r + sin ρs ds x-t t r s-x+t P (t, t - ξ) dξ x 1 r dt = 2 x r sin ρ(x - t) t r q(s) ds P (s, ξ) dξ + x-2t x-t-s t r 0 2s-t r t 0 x 2(s-x)+t r r + q(s) ds t 0 2 P (s, ξ) dξ - 2 x- t q(s) ds 0 P (s, ξ) dξ dt, (2.20) x 1 r P4(x, λ)= 2 0 x r x-t sin ρs ds x-t r x-s r M (ξ) dξ 0 2t-x+s r x-s-ξ r P (t - ξ, η) dη + 0 2t-x+s-ξ r + x-2t sin ρs ds 0 x M (ξ) dξ 0 t x P (t - ξ, η) dη t-s dt = 1 r r = 2 sin ρ(x - t) r r M (s) ds dξ P (ξ - s, η) dη + 0 t t 2ξ-t-s r r r 0 t 0 t x r r 2(ξ-x)+t-s r + M (s) ds 0 dξ t+s 0 2 P (ξ - s, η) dη - 0 M (s) ds dξ +x s-t 0 2 P (ξ - s, η) dη dt. (2.21) Согласно (2.18)-(2.21) тождество (2.17) выполняется при всех λ ∈ C тогда и только тогда, когда функция P (x, t) удовлетворяет уравнению 1 P (x, t)= 2 2 x- t r t 2 q(s) ds + t t x r r (x - t)M (s) ds + 0 t 2s-t t r q(s) ds 0 x P (s, ξ) dξ + 2(s-x)+t r r + q(s) ds t 0 2 P (s, ξ) dξ - r 2 x- t r q(s) ds 0 P (s, ξ) dξ + t x r r + M (s) ds dξ t-s t r r P (ξ - s, η) dη + t r M (s) ds 2ξ-t-s r dξ P (ξ - s, η) dη - 0 t 0 t r 0 x 2(ξ-x)+t-s r r t+s 0 2 - M (s) ds 0 dξ +x s-t 0 2 P (ξ - s, η) dη , 0 � t � x � π, (2.22) которое, в свою очередь, в соответствии с (2.13), (2.14) равносильно уравнению (2.6) при τ = 0. 434 С. А. БУТЕРИН Остальные свойства функции P (x, t) непосредственно вытекают из вида уравнения (2.22). Для C(x, λ) и Q(x, λ) доказательство аналогично. 3. Различные представления характеристической функции. Обозначим x r f ∗ g(x)= 0 x r f (x - t)g(t) dt, f ∗ 1(x)= 0 f (t) dt. Следующая лемма дает основополагающее представление для характеристической функции. Лемма 2.3. Характеристическая функция краевой задачи L имеет вид π Δ(λ)= α0 + α1 sin ρπ r + w(x) sin ρx dx, w(x) ∈ W 1[0, π], (2.23) 2 ρ ρ 2 0 причем функция w(x) удовлетворяет краевым условиям π w(0) = π β + α0 - α1 r 2 4 π 2 2 r q(x) dx - 0 q(x) dx β , w(π)= 2 π α0 + α1 r + 4 0 q(x) dx. (2.24) При этом имеет место представление β w(π - x)= 2 + w1(x)+ V (x), 0 � x � π, (2.25) где - ⎧ (α0 1) ⎪ ⎪ ⎪ w2 + w3 + w2 ∗ w3 (x)+ V (x)= V (x; M )= 1 ⎪⎨ +(α1 - 1) w4 + w5 + w4 ∗ w5 (x)+ (2.26) 2 ⎪ +β + w + w π ∗ w ∗ 1(x), 0 � x � , ⎪ w2 4 2 4 ⎪ π 2 ⎪⎩ (α0 - 1)V1(x)+ (α1 - 1)V2(x)+ βV3(x), < x � π, 2 w1(x)= w1(x; M )= P (π, x; q, M ), 0 � x � π, (2.27) π w2(x)= w2(x; M )= P 2 π , x; q, M , w3(x)= w3(x; M )= Q 2 ,M , x; q1 , ⎫ ⎪ ⎪⎬ π π π w4(x)= w4(x; M )= P 2 , x; q1,M , w5(x)= w5(x; M )= K , x; q, M 2 , 0 � x � 2 , (2.28) ⎪ w6(x)= w6(x; M )= w4 ∗ 1(x), ⎪⎭ t r K(x, t; q, M )= P (x, t; q, M )+ 0 Px(x, τ ; q, M ) dτ, (2.29) π 2 r V1(x)= V1(x; M )= w3(π - x) - w2(π - x)+ w2(t)w3(x - t) dt- π 2 r - π-x 2 x- π w2(t)w3(x - π + t) dt + 2 x- π r 0 w2(t)w3(π - x + t) dt, (2.30) π 2 r V2(x)= V2(x; M )= w5(π - x) - w4(π - x)+ w4(t)w5(x - t) dt- 2 x- π ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 435 π 2 r - π-x w4(t)w5(x - π + t) dt + 2 x- π r 0 w4(t)w5(π - x + t) dt, (2.31) π 2 r V3(x)= V3(x; M )= w6(π - x)+ w2 ∗ 1(π - x)+ w2(t)w6(x - t) dt- π 2 r - π-x 2 x- π w2(t)w6(x - π + t) dt + 2 x- π r 0 w2(t)w6(π - x + t) dt. (2.32) Доказательство. Согласно лемме 2.2, функции P1(x, t) := P (x, t; q1,M ), Q1(x, t) := Q(x, t; q1,M ) 2 непрерывны в треугольнике 0 � t � x � π/2 и P1(x, · ), Q1(x, · ) ∈ W 1[0, x] для всех x ∈ (0, π/2], а также x 1 r 1 π 2 +x r π P1(x, 0) = Q1(x, 0) = 2 0 q1(t) dt = 2 π 2 q(t) dt, P1(x, x)= 0, 0 � x � 2 . (2.33) Таким образом, согласно (2.15), (2.27)-(2.29) и (2.33) имеем π w1(x) ∈ W 1[0, π], wν (x) ∈ W 1r0, l ν = 2, 6, (2.34) 2 2 2 , ⎫ π π 2 ⎪ 1 r w1(0) = 2 0 1 r q(t) dt, w2(0) = w5(0) = 2 0 π 1 r ⎪ q(t) dt, ⎪ ⎪⎬ ⎪ (2.35) w3(0) = w4(0) = 2 π 2 π q(t) dt, w6(0) = 0, ⎪ ⎪ ⎪⎭ π w1(π)= w2 = w4 = 0. (2.36) 2 2 Далее, согласно (2.3) и (2.5) получаем π π π π π Δ(λ)= S(π, λ)+ (α0 - 1)S ,λ C1 2 ,λ + 2 (α1 - 1)S× ,λ + βS ,λ 2 2 S1 ,λ , (2.37) 2 где в силу (2.4), (2.11)-(2.13), (2.27) и (2.28) будем иметь π 1 S(π, λ)= ρ r sin ρπ + 0 w1(x) sin ρ(π - x) dx , (2.38) S π ,λ = 1 2 ρ π 2 ρπ r sin + 2 0 π r π 2 π 2 w2(x) sin ρ - x dx , (2.39) π C1 ,λ 2 ρπ = cos 2 + w3(x) cos ρ 2 0 π 2 - x dx, (2.40) π S1 ,λ = 2 π 1 ρπ r sin + ρ 2 0 w4(x) sin ρ 2 - x dx . (2.41) 436 С. А. БУТЕРИН Кроме того, дифференцируя (2.11) с учетом (2.15), а затем интегрируя по частям, получаем x r S×(x, λ)= cos ρx + 0 x r Px(x, t) x sin ρ(x - t) dt + r ρ 0 t x r r P (x, t) cos ρ(x - t) dt = = cos ρx + 0 cos ρ(x - t) dt 0 Px(x, τ ) dτ + 0 P (x, t) cos ρ(x - t) dt. Таким образом, согласно определениям (2.13) и (2.29) будем иметь x r S×(x, λ)= cos ρx + 0 K(x, t; q, M ) cos ρ(x - t) dt, и, наконец, согласно (2.28) приходим к представлению π 2 π S× π ,λ 2 ρπ r = cos + 2 0 2 w5(x) cos ρ - x dx. (2.42) Подставляя представления (2.38)-(2.42) в (2.37), получаем 9 Δ(λ)= \ Δj (λ), (2.43) j=0 где α0 + α1 sin ρπ π r β sin ρ(π - x) Δ0(λ) := 2 + + w1(x) ρ 2 0 dx, (2.44) ρ Δ1(λ) := α0 - 1 cos ρ π 2 ρπ r 2 0 w2(x) sin ρ π 2 - x dx = π 2 α0 - 1 r 2ρ 0 w2(x) sin ρ(π - x) - sin ρx dx = π 2 = α0 - 1 r 2 0 w2(x) sin ρ(π - x) ρ π r dx - π 2 w2(π - x) sin ρ(π - x) ρ dx , (2.45) Δ2(λ) := α0 - 1 sin ρ π 2 ρπ r 2 0 w3(x) cos ρ π 2 - x dx = π 2 = α0 - 1 r 2 0 w3(x) sin ρ(π - x) ρ π r dx + π 2 w3(π - x) sin ρ(π - x) ρ dx , (2.46) Δ3(λ) := π 2 α0 - 1 r ρ 0 w2(x) sin ρ π 2 π 2 π r 2 - x dx 0 π 2 w3(x) cos ρ π 2 - x dx = = α0 - 1 r 2ρ r w2(x) dx w3(t) sin ρ(π - x - t)+ sin ρ(t - x) dt = 0 0 2 2 π x+ π = α0 - 1 r 2ρ r w2(x) dx w3(t - x) sin ρ(π - t) dt+ 0 x ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 437 π 2 r + w2(x) dx x+π r dt w3(π + x - t) sin ρ(π - t) = 0 π 2 α0 - 1 r 2 x+ π π π 2 sin ρ(π - x) r r = 2 w2 ∗ w3(x) 0 π 2 r dx + ρ π 2 2 x- π r 2 x- π w2(t)w3(x - t) dt - sin ρ(π - x) и, аналогично, - π-x w2(t)w3(x - π + t) dt + 0 w2(t)w3(π - x + t) dt dx (2.47) ρ Δ4(λ) := α1 - 1 cos ρ π 2 ρπ r 2 0 w4(x) sin ρ π 2 - x dx = π 2 = α1 - 1 r 2 0 w4(x) sin ρ(π - x) ρ π r dx - π 2 w4(π - x) sin ρ(π - x) ρ dx , (2.48) Δ5(λ) := α1 - 1 sin ρ π 2 ρπ r 2 0 w5(x) cos ρ π 2 - x dx = π 2 = α1 - 1 r 2 0 w5(x) sin ρ(π - x) ρ π r dx + π 2 w5(π - x) sin ρ(π - x) ρ dx , (2.49) Δ6(λ) := π 2 α1 - 1 r ρ 0 w4(x) sin ρ π 2 - x π 2 r dx w5(x) cos ρ 0 π 2 - x dx = π 2 = α1 - 1 r 2 w4 ∗ w5(x) sin ρ(π - x) ρ π r dx + π 2 r w4(t)w5(x - t) dt- 0 2 2 π x- π r r 2 2 π x- π sin ρ(π - x) - π-x w4(t)w5(x - π + t) dt + 0 w4(t)w5(π - x + t) dt dx , (2.50) ρ β Δ7(λ) := ρ2 sin π 2 ρπ r 2 0 w4(x) sin ρ π 2 - x π π 2 β r dx = ρ 0 w4(x) sin ρ π 2 - x π 2 r dx cos ρx dx = 0 2 = β r 2 0 w6(x) sin ρ(π - x) ρ π r dx + π 2 w6(π - x) sin ρ(π - x) ρ dx , (2.51) β Δ8(λ) := ρ2 sin π 2 ρπ r 2 0 w2(x) cos ρ π 2 - x dx = 438 С. А. БУТЕРИН π 2 = β r 2 0 w2 ∗ 1(x) sin ρ(π - x) ρ π r dx + π 2 w2 ∗ 1(π - x) sin ρ(π - x) ρ dx , (2.52) β Δ9(λ) := ρ2 π 2 r w2(x) sin ρ 0 π 2 - x π 2 π 2 r dx w4(x) sin ρ 0 π 2 - x π 2 dx = 2 - β r π r = w (x) sin ρ x dx ρ 2 0 0 π 6 - π w (x) cos ρ x dx = 2 π 2 = β r 2 w2 ∗ w6(x) sin ρ(π - x) ρ π r dx + 2 r w2(t)w6(x - t) dt- 0 π 2 2 2 π x- π r r 2 x- π sin ρ(π - x) - π-x w2(t)w6(x - π + t) dt + 0 w2(t)w6(π - x + t) dt dx . (2.53) ρ Подставляя (2.44)-(2.53) в (2.43), приходим к (2.23), где функция w(x) имеет вид (2.25). При этом, согласно (2.26), (2.30)-(2.32) и (2.34) заключаем, что w(x) ∈ W 1[0, π/2] и w(x) ∈ W 1[π/2, π]. 2 2 Далее, используя (2.26), (2.30)-(2.32) и (2.35), вычисляем V π = α0 - 1 (w π α1 - 1 + w ∗ w ) + (w + w π ∗ w ) + 2 2 3 2 3 2 2 5 4 5 2 β π π + 2 (w2 + w4 + w2 ∗ w4) ∗ 1 2 = V +0 , 2 2 что вместе с (2.25) и (2.34) дает w(x) ∈ W 1[0, π]. Наконец, используя (2.25), (2.26), (2.30)-(2.32) и (2.36), получаем (2.24). Известным методом (см., например, [12]) при помощи теоремы Руше [13] доказывается следующее утверждение. Лемма 2.4. Всякая функция Δ(λ) вида (2.23), (2.24) имеет бесконечное множество нулей λk, k ∈ N, вида (1.5), (1.6). Отметим, что теорема 1.1 является прямым следствием леммы 2.4. Также известным методом при помощи теоремы Адамара [9] о разложении целой функции в бесконечное произведение доказывается следующее утверждение (см., например, [15]). Лемма 2.5. Всякая функция Δ(λ) вида (2.23) определяется своими нулями однозначно. При этом Δ(λ)= π α0 + α1 2 ∞ тт k=1 λk - λ k2 . (2.54) 3. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЯДЕР ОПЕРАТОРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1. Предварительное наблюдение. Заметим, что для всякого фиксированного δ ∈ (0, π] каждое из интегральных уравнений (2.6) и (2.7) можно сузить на множество Dδ := J (x, t, τ ):0 � x � π, 0 � τ � t � min{δ, x} . Иными словами, при (x, t, τ ) ∈ Dδ правые части этих уравнений зависят от значений неизвестной функции только на множестве Dδ. При этом очевидно, что на Dδ решения соответствующих «суженных» уравнений совпадают с решениями исходных. Поэтому функции F (x, t, τ ; q, M ) и ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 439 G(x, t, τ ; q, M ) при (x, t, τ ) ∈ Dδ зависят от значений функции M (s) только при s ∈ (0, δ). В частности, ввиду (2.13), функции P (x, t) и Q(x, t) на трапеции Dδ := J(x, t):0 � x � π, 0 � t � min{δ, x} зависят от M (s) тоже только при s ∈ (0, δ). Введем обозначения г 1 δ 1r f δ := f L2(0,δ) = 1 |f (x)|2 dx, Bδ,r := {f : f δ � r}, Bδ := Bδ,1. (3.1) 0 2. Локальные оценки. Следующая лемма дает оценки для ядер P (x, t) = P (x, t; q, M ) и Q(x, t)= Q(x, t; q, M ) при (x, t) ∈ Dδ для малых δ > 0. Лемма 3.1. Существуют δq ∈ (0, π] и Cq > 0, зависящие только от функции q(x), такие что для любого δ ∈ (0, δq ] и для всех M, M˜ ∈ Bδ при (x, t) ∈ Dδ справедливы оценки |P (x, t)| � Cq, |Pˆ(x, t)| � Cq √δ Mˆ δ, |Q(x, t)| � Cq, |Qˆ(x, t)| � Cq √δ Mˆ δ, (3.2) где Pˆ(x, t)= P (x, t; q, M ) - P (x, t; q, M˜ ), Qˆ(x, t)= Q(x, t; q, M ) - Q(x, t; q, M˜ ), Mˆ = M - M˜ . Доказательство. Докажем утверждение леммы для P (x, t); для Q(x, t) доказательство аналогично. Положим π r Cq := π + max Jπ, 0 |q(x)| dx , δq := (2Cq )-1, P := max (x,t)∈Dδ |P (x, t)|, Pˆ := max (x,t)∈Dδ |Pˆ(x, t)|. Тогда в силу (2.22) имеем P � Cq/2+ CqδP, т. е. P � (2 - 2δCq )-1Cq. Учитывая, что 2Cqδ � 2Cqδq = 1, приходим к первой оценке в (3.2). Далее, почленно вычитая уравнение (2.22) для P (x, t; q, M˜ ) (т. е. при M (x)= M˜ (x)) из уравнения для P (x, t; q, M ), будем иметь x t t 2s-t Pˆ(x, t)= 1 r 2 t r q(s) ds 0 Pˆ(s, ξ) dξ + r t 2 r q(s) ds 0 Pˆ(s, ξ) dξ- x r - q(s) ds 2(s-x)+t t r Pˆ(s, ξ) dξ + 1 r 2 r x Mˆ (s) (x - t)+ dξ t-s r P (ξ - s, η) dη+ 2 x- t 0 0 t 0 t r + dξ 2ξ-t-s x r r P (ξ - s, η) dη - 2(ξ-x)+t-s r dξ P (ξ - s, η) dη ds+ t+s 0 2 +x s-t 0 2 t x + 1 r M˜ (s) r dξ 2 t-s t r r Pˆ(ξ - s, η) dη + 2ξ-t-s r dξ Pˆ(ξ - s, η) dη- 0 t 0 t+s 0 2 x r - dξ +x s-t 2 r 2(ξ-x)+t-s Pˆ(ξ - s, η) dη ds, 0 откуда приходим к Pˆ � CqδPˆ + π√δ Mˆ δ, что дает вторую оценку в (3.2). 440 С. А. БУТЕРИН 3. Пошаговая линеаризуемость. В дальнейшем для каждого фиксированного δ ∈ (0, π] будем использовать обозначения M1(x)= где σ = min{2δ, π}. ( M (x), x ∈ (0, δ), 0, x ∈ (δ, σ), ( 0, x ∈ (0, δ), M2(x)= M (x), x ∈ (δ, σ), (3.3) Лемма 3.2. Для всякого δ ∈ (0, π/2] имеет место представление t r P (x, t; q, M )= P (x, t; q, M1)+ 0 F (x, t, τ ; q, M1)M2(τ ) dτ, (x, t) ∈ D2δ, (3.4) где функция F (x, t, τ ; q, M1) является решением уравнения (2.6) при M1(x) вместо M (x), (x, t, τ ) ∈ D2δ и F (x, t, τ )= 1 0 2 x r x - t + ds t t-τ r 0 P (s - τ, ξ; q, M1) dξ + t r + ds 2s-t-τ r x r P (s - τ, ξ; q, M1) dξ - 2(s-x)+t-τ r ds P (s - τ, ξ; q, M1) dξ . (3.5) t+τ 0 2 +x τ -t 0 2 Доказательство. С помощью непосредственной подстановки получаем, что правая часть (3.4) является решением интегрального уравнения (2.22) при (x, t) ∈ D2δ тогда и только тогда, когда при (x, t) ∈ D2δ выполняется следующее соотношение: t t 3 r r 1 F (x, t, τ ; q, M1)M2(τ ) dτ = 0 0 F0(x, t, τ )M2(τ ) dτ + \ 2 k=1 (Qk (x, t)+ Mk (x, t)), (3.6) где функция F0(x, t, τ ) определяется по формуле (3.5), а также после перемены порядка интегрирования имеем Q1(x, t) := x t r r q(s) ds t 0 ξ r dξ F (s, ξ, τ ; q, M1)M2(τ ) dτ = 0 x t r r = q(s) ds t 0 t r M2(τ ) dτ τ t r F (s, ξ, τ ; q, M1) dξ = 0 M2(τ ) dτ x t r r q(s) ds t τ F (s, ξ, τ ; q, M1) dξ, t r Q2(x, t) := t 2 q(s) ds 2s-t ξ r r dξ 0 0 F (s, ξ, τ ; q, M1)M2(τ ) dτ = t r = q(s) ds 2s-t r M2(τ ) dτ 2s-t t r r F (s, ξ, τ ; q, M1) dξ = t r M2(τ ) dτ q(s) ds 2s-t r F (s, ξ, τ ; q, M1) dξ, t 0 τ 2 0 t+τ τ 2 x r Q3(x, t) := - q(s) ds 2(s-x)+t ξ r r dξ F (s, ξ, τ ; q, M1)M2(τ ) dτ = 2 x- t 0 0 ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 441 x r = - q(s) ds 2(s-x)+t r M2(τ ) dτ 2(s-x)+t r F (s, ξ, τ ; q, M1) dξ = и, кроме того, 2 x- t 0 τ t r = - M2(τ ) dτ 0 x r +x τ -t 2 q(s) ds 2(s-x)+t r F (s, ξ, τ ; q, M1) dξ τ t r M1(x, t) := 0 x r M (s) ds dξ t t-s η r r dη 0 0 F (ξ - s, η, τ ; q, M1)M2(τ ) dτ, (3.7) t r M2(x, t) := t r M (s) ds 2ξ-t-s η r r dξ dη F (ξ - s, η, τ ; q, M1)M2(τ ) dτ, 0 t r M3(x, t) := - t+s 2 x r M (s) ds 0 0 2(ξ-x)+t-s η r r dξ dη F (ξ - s, η, τ ; q, M1)M2(τ ) dτ. +x 0 s-t 0 0 2 Меняя порядок интегрирования в (3.7) и учитывая, что M (x) = M1(x)+ M2(x) при x ∈ (0, 2δ), получаем t r M1(x, t)= 0 M (s) ds t-s x r r M2(τ ) dτ dξ 0 t t-s r F (ξ - s, η, τ ; q, M1) dη = τ t r = M2(τ ) dτ 0 t-τ x r r (M1(s)+ M2(s)) ds dξ 0 t t-s r F (ξ - s, η, τ ; q, M1) dη. (3.8) τ Поскольку M2(x)=0 на (0, δ) и t ∈ [0, 2δ], будем иметь t r M2(τ ) dτ 0 t-τ r 0 x r M2(s) ds dξ t t-s r F (ξ - s, η, τ ; M1) dη = 0. τ Таким образом, под вторым интегралом в (3.8) исчезает слагаемое M2(s), а значит, получим t r M1(x, t)= 0 M2(τ ) dτ t-τ r 0 x r M1(s) ds dξ t t-s r F (ξ - s, η, τ ; q, M1) dη. τ Аналогичным образом вычисляем t r M2(x, t)= t r M (s) ds 2ξ-t-s r dξ M2(τ ) dτ 2ξ-t-s r F (ξ - s, η, τ ; q, M1) dη = 0 t+s 0 2 t t-s t r r r τ 2ξ-t-s r = M (s) ds 0 0 M2(τ ) dτ dξ t+τ +s τ 2 F (ξ - s, η, τ ; q, M1) dη = t r = M2(τ ) dτ 0 t-τ r 0 t r M1(s) ds t+τ +s 2 2ξ-t-s r dξ F (ξ - s, η, τ ; q, M1) dη, τ 442 С. А. БУТЕРИН t r M3(x, t)= - 0 M (s) ds x r dξ +x s-t 2 2(ξ-x)+t-s r M2(τ ) dτ 0 2(ξ-x)+t-s r F (ξ - s, η, τ ; q, M1) dη = τ t r = - M (s) ds 0 t t-s r M2(τ ) dτ 0 t-τ x r dξ +x s+τ -t 2 x 2(ξ-x)+t-s r F (ξ - s, η, τ ; q, M1) dη = τ 2(ξ-x)+t-s r r = - M2(τ ) dτ 0 0 M1(s) ds r r dξ +x s+τ -t τ 2 F (ξ - s, η, τ ; q, M1) dη. Учитывая все сделанные преобразования, заключаем, что если функция F (x, t, τ ; q, M1) удовлетворяет условиям леммы, то выполняется тождество (3.6). Таким образом, обе части (3.4) будут удовлетворять одному и тому же уравнению (2.22), имеющему единственное решение, что и доказывает лемму. Аналогично лемме 3.2 доказывается следующее утверждение. Лемма 3.3. Для всякого δ ∈ (0, π/2] имеет место представление t r Q(x, t; q, M )= Q(x, t; q, M1)+ 0 G(x, t, τ ; q, M1)M2(τ ) dτ, (x, t) ∈ D2δ, где функция G(x, t, τ ; q, M1) является решением уравнения (2.7) при M1(x) вместо M (x), (x, t, τ ) ∈ D2δ и G (x, t, τ )= 1 0 2 x - τ + x-t r ds 0 t-τ r 0 Q(ξ + s, ξ; q, M1) dξ+ t-τ 2 r + ds 0 t-τ -2s r Q(ξ + s, ξ; q, M1) dξ + 0 2 x- t+τ r ds x-t 2(x-s)-t-τ r 0 Q(ξ + s, ξ; q, M1) dξ . 4. ОСНОВНОЕ НЕЛИНЕЙНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ 1. Основное уравнение. Дифференцируя соотношение (2.25) по x, получаем 1 -w×(π - x)= w× (x; M )+ V ×(x; M ), 0 < x < π. (4.1) На это соотношение можно смотреть, как на нелинейное уравнение относительно функции M (x), которое мы назовем основным нелинейным интегральным уравнением обратной задачи или кратко основным уравнением. Основное уравнение (4.1) занимает центральное место при исследовании задачи 1.1. Имеет место следующая теорема. 2 Теорема 4.1. Пусть выполнено условие (1.7). Тогда для любой функции w(x) ∈ W 1[0, π], удовлетворяющей краевым условиям (2.24), уравнение (4.1) имеет единственное решение M (x), удовлетворяющее условию (1.4). Отметим, что из определения функций w1(x) и V (x) нетрудно увидеть, что правая часть (4.1) при x ∈ (0, π/2) не зависит от значений функции M (x) на (π/2, π). Это обстоятельство позволяет сначала решить уравнение (4.1) отдельно на интервале (0, π/2), а затем - на (π/2, π). В связи с этим доказательство теоремы 4.1 подразделяется на два основных этапа. На первом этапе устанавливается существование и единственность квадратично суммируемого решения на интервале (0, π/2), а на втором этапе решение отыскивается уже на интервале (π/2, π). Если основная трудность, которую необходимо преодолеть на первом этапе, связана с нелинейностью данного уравнения, то на втором этапе трудность связана с наличием в уравнении особенности и, как следствие, с попаданием решения в нужный класс (1.4). Данный раздел посвящен первому этапу. ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 443 Для каждого k = 1, 5 разложим функцию wk (x) на сумму трех функций: wk (x)= wk,1(x)+ wk,2(x)+ wk,3(x), где 1 w1,1(x)= 2 2 π- x r x 2 π-x x 1 r q(t) dt, w1,2(x)= 2 (π - x) 0 ⎫ ⎪ M (t) dt, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 x ⎪ ⎪ 1 r 1 π r ⎪ w2,1(x)= 2 x 2 π-x 2 q(t) dt, w2,2(x)= 2 x 2 2 - x M (t) dt, ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x ⎬ 1 r w3,1(x)= 2 0 1 r q1(t) dt + 2 0 π-x 1 r q1(t) dt, w3,2(x)= 2 0 π 2 - t M (t) dt, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (4.2) 1 r ⎪ 2 w4,1(x)= 2 x 2 ⎪ ⎪ q1(t) dt, w4,2(x)= w2,2(x), ⎪ ⎪ ⎪ π ⎪ ⎪ 1 w5,1(x)= w2,1(x)+ 2 r 2 π- x ⎪ q1(t) dt, w5,2(x)= w2,2(x). ⎪ ⎪ ⎪⎭ Таким образом, wk,3(x) определяются по формулам wk,3(x) := wk (x) - wk,1(x) - wk,2(x), k = 1, 5. (4.3) Кроме того, положим wk,4(x) := wk,2(x)+ wk,3(x), k = 2, 5. (4.4) С учетом введенных обозначений, а также формул (2.26)-(2.29), уравнение (4.1) на первой половине интервала (0, π) примет вид π g(x)= A(x)M (x)+ F M (x), 0 < x < 2 , (4.5) где g(x) ∈ L2(0, π/2) - свободный член, определяемый по формуле 1,1 g(x)= -w×(π - x) - w× (x) - α0 - 1 2 w × 2,1 + w × 3,1 2,1 + w2(0)w3,1 + w× ∗ w3,1 (x) - α0 - 1 - 2 w × 4,1 + w × 5,1 4,1 + w4(0)w5,1 + w× ∗ w5,1 - (x) β 2 w2,1 + w4,1 + w2,1 ∗ w4,1 (x), F M (x)= x 1 - α0 - 2α1 r 4 A(x)= M (t) dt + w× π α0 + α1 4 - (x)+ α0 + α1 - 1 2 x, (4.6) 0 + α0 - 1 2 + α1 - 1 2 w × 2,3 w × 4,3 + w × 3,3 + w × 5,3 1,3 2,1 + w2(0)w3,4 + w× 4,1 + w4(0)w5,4 + w× β 2,4 ∗ w3,4 + w× 4,4 ∗ w5,4 + w× § w3 § w5 (x)+ (x)+ (x). (4.7) Справедливо следующее утверждение. + 2 w2,4 + w4,4 + w2,1 ∗ w4,4 + w2,4 ∗ w4 Лемма 4.1. Коэффициент A(x) в уравнении (4.5) удовлетворяет условию r π l A(x) /= 0, x ∈ 0, , (4.8) 2 тогда и только тогда, когда выполняется условие (1.7). 444 С. А. БУТЕРИН Доказательство. Согласно (4.6), условие (4.8) является противоположным условию α0 + α1 α0 + α1 - 1 ∈ [0, 1], которое, в свою очередь, равносильно α0 + α1 ∈ (-∞, 0], что и доказывает лемму. 2. Классы Eb. Прежде чем перейти непосредственно к доказательству разрешимости уравнения (4.5), проведем некоторую вспомогательную работу. Определение 4.1. Оператор D : L2(0, b) → L2(0, b) назовем оператором класса Eb (т. е. D ∈ Eb), если выполнены следующие четыре условия: 0. для всякой функции f (x) ∈ L2(0, b) и для любого числа γ ∈ (0, b) функция Df (x) на (0, γ) не зависит от значений f (x) на (γ, b); 1. для любого ε > 0 найдется δ ∈ (0, b], такое что D : Bδ → Bδ,ε, где Bδ и Bδ,ε определены в (3.1); 2. для любого α > 0 найдется δ ∈ (0, b], такое что для любых функций f (x), f˜(x) ∈ Bδ имеет δ место оценка Df - Df˜ δ � α f - f˜ ; 3. для всякого δ ∈ (0, b/2] и для любой функции f (x) ∈ L2(0, 2δ) справедливо представление x r где Df (x)= Df1(x)+ δ R(x, t; f1)f2(t) dt, 0 < x < 2δ, (4.9) ( f (x), x ∈ (0, δ), f1(x)= 0, x ∈ (δ, 2δ), f2(x)= ( 0, x ∈ (0, δ), f (x), x ∈ (δ, 2δ), (4.10) функция R(x, t; f1) суммируема с квадратом в треугольнике δ < t < x < 2δ и не зависит от f2(x). Замечание 4.1. В условиях 2)-4) определения 4.1 тем же символом D обозначено расширение оператора D на пространства L2(0, δ), δ < b, которое в силу условия 1) определено однозначно. Замечание 4.2. Нетрудно убедиться, что для всякого оператора D ∈ Eb в условиях 2) и 3) можно взять любое достаточно малое δ > 0. Иными словами, эти условия можно эквивалентно представить следующим образом: 2’) для любого ε > 0 найдется δ ∈ (0, b], такое что D : Bδ1 → Bδ1,ε для всех δ1 ∈ (0, δ]; 3’) для любого α > 0 найдется δ ∈ (0, b], такое что для любых функций f (x), f˜(x) ∈ Bδ1 имеет δ1 место оценка Df - Df˜ δ1 � α f - f˜ для всех δ1 ∈ (0, δ]. В самом деле, пусть f (x), f˜(x) ∈ Bδ1 при некотором δ1 ∈ (0, δ]. Положим ( f (x), x ∈ (0, δ1), fc(x)= 0, x ∈ (δ1, δ), f˜c(x)= ( f˜(x), x ∈ (0, δ1), 0, x ∈ (δ1, δ). Тогда fc(x), f˜c(x) ∈ Bδ. Согласно 2) будем иметь Dfc(x) ∈ Bδ,ε. С другой стороны, в силу 1) Df δ1 = Dfc δ1 � Dfc δ � ε, и 2×) доказано. Далее, согласно 3) имеем δ1 Dfc - Df˜c δ � α fc - f˜c δ = α f - f˜ . С другой стороны, в силу 1) получаем и приходим к 3×). δ1 Df - Df˜ = Dfc - Df˜c δ1 δ1 � Dfc - Df˜c δ � α f - f˜ Следующая лемма устанавливает замкнутость класса Eb относительно некоторых операций. Лемма 4.2. Пусть D1, D2 ∈ Eb, а g1(x) и g2(x) - ограниченные на интервале (0, b) функции. Тогда D∈ Eb, где оператор D определен любым из следующих способов: a) Df (x)= g1(x)D1f (x)+ g2(x)D2f (x); ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 445 b) Df (x)= D1f ∗ D2f (x); c) Df (x)= D1f ∗ (g1f )(x); x r 1. Df (x)= 0 x K(x, t)f (t) dt; r 2. Df (x)= 0 K(x, t)D1f (t) dt; 3. Df (x)= f1(x). Здесь функция K(x, t) суммируема с квадратом в треугольнике 0 < t < x < b, а функция f1(x) ∈ L2(0, b) не зависит от f (x). Доказательство. Положим gk := sup 0<x<b |gk (x)|, k = 1, 2. 4. Условия 1) и 4) определения 4.1 очевидны. Условия 2) и 3) следуют из оценок Df δ � g1 D1f δ + g2 D2f δ, Df - Df˜ � g D f -D f + g D f -D f , соответственно. δ 1 1 1 ˜ δ 2 2 2 ˜ δ 5. Условие 1) очевидным образом следует из представлений x r Df (x)= 0 D1f (t)D2f (x - t) dt = x r D1f (x - t)D2f (t) dt. 0 Условия 2) и 3) следуют из оценок Df δ � √δ D1f δ D2f δ и Df - Df˜ � √δ D f D f -D f + D f D f -D f . δ 1 δ 2 2 ˜ δ 2 ˜ δ 1 1 ˜ δ Далее, при x ∈ (0, 2δ) согласно (4.9) будем иметь x x-t t r r r Df (x)= 0 D1f1(x - t)+ δ R1(x - t, τ ; f1)f2(τ ) dτ D2f1(t)+ δ R2(t, τ ; f1)f2(τ ) dτ dt. Меняя порядок интегрирования, получаем x r где Df (x)= Df1(x)+ δ x-t R(x - t, τ ; f1)f2(τ ) dτ + h(x), 0 < x < 2δ, r R(x, t; f1)= 0 R2(x - τ, t; f1)D1f1(τ )+ R1(x - τ, t; f1)D2f1(τ ) dτ, x r h(x)= δ f2(t) dt x-t r f2(τ ) dτ δ x-t r R1(x - s, t; f1)R2(s, τ ; f1) ds. τ В силу (4.10) имеем h(x) = 0 при x ∈ [0, 2δ]. Кроме того, нетрудно показать, что R(x, t; f1) суммируема с квадратом в треугольнике δ < t < x < 2δ, и 4) доказано для b). Для c)-e) доказательство аналогично, а f) очевидно. Теорема 4.2. Пусть f (x) ∈ L2(0, b) и D∈ Eb. Тогда уравнение f (x)= y(x)+ Dy(x), 0 < x < b, (4.11) имеет единственное решение y(x) ∈ L2(0, b). 446 С. А. БУТЕРИН Доказательство. Согласно условию 1) из определения 4.1 уравнение (4.11) можно решать шагами, т. е. для любого γ ∈ (0, b) сначала отыскать решение на интервале (0, γ), а затем продолжить это решение на (γ, b). Выберем δ > 0 так, чтобы оно отвечало условиям 2) и 3) из определения 4.1 для ε = 1/2 и некоторого фиксированного α ∈ (0, 1), соответственно, и чтобы f δ � 1/2. Рассмотрим оператор ψy(x) := f (x) - Dy(x), который в силу нашего выбора δ отображает шар Bδ в себя и является в нем сжатием. Таким образом, согласно принципу сжимающих отображений, уравнение (4.11) на интервале (0, δ) имеет единственное решение в шаре Bδ. Далее, пусть для некоторого δ ∈ (0, b/2) на интервале (0, δ) решение уравнения (4.11) уже найдено. Будем искать решение на (0, 2δ) в виде y(x) = y1(x)+ y2(x), где y1(x) = 0 на (δ, 2δ), а y2(x) = 0 на (0, δ). Тогда согласно условию 4) из определения 4.1 уравнение (4.11) на (δ, 2δ) примет вид x r f1(x)= y2(x)+ δ R(x, t)y2(t) dt, δ < x < 2δ, (4.12) где функции f1(x)= f (x)-Dy1(x) и R(x, t)= R(x, t; y1) суммируемы с квадратом в своих областях определения и не зависят от y2(x). Уравнение (4.12) имеет единственное решение y2(x) ∈ L2(δ, 2δ). Продолжая этот процесс, за конечное число шагов находим суммируемое с квадратом решение y(x) уравнения (4.11) на всем интервале (0, b). Покажем, что найденное решение единственно. Пусть y˜(x) ∈ L2(0, b) - еще одно решение. Тогда в соответствии с нашим первоначальным выбором δ > 0 при некотором δ1 ∈ (0, δ) оба решения на интервале (0, δ1) попадут в шар Bδ1 , и значит, в силу принципа сжимающих отображений y(x)= y˜(x) п.в. на (0, δ1), а ввиду единственности продолжения решения на (δ1, b) они совпадут и на всем (0, b). 3. Решение основного уравнения на первой половине интервала. Используя результаты предыдущего подраздела, здесь мы докажем разрешимость нелинейного уравнения (4.5). Лемма 4.3. Оператор F , определенный формулой (4.7), принадлежит классу Eπ/2. k,3 Доказательство. Согласно (4.2)-(4.4), (4.7) и лемме 4.2 достаточно доказать, что w(j)(x) = w(j) k,3(x; M ), как операторы от M (x), принадлежат классу Eπ/2 для всех k = 1, 5 и j = 0, 1. 1,3 Покажем, например, что w1,3(x; M ), w× (x; M ) ∈ Eπ. В самом деле, согласно (2.22), (2.27), (4.2) и (4.3) имеем π x 1 r r x 2s-x r r w1,3(x; M )= 2 q(s) ds x 0 P (s, ξ; q, M ) dξ + x 2 q(s) ds 0 P (s, ξ; q, M ) dξ- π r - q(s) ds 2(s-π)+x x r r P (s, ξ; q, M ) dξ + π r M (s) ds dξ x-s r P (ξ - s, η; q, M ) dη+ 2 π- x 0 0 x 0 x x 2ξ-x-s r r r + M (s) ds 0 dξ x+s 0 2 P (ξ - s, η; q, M ) dη- x π r r - M (s) ds 2(ξ-π)+x-s r dξ P (ξ - s, η; q, M ) dη , 0 π 1 r 2 π+ s-x 0 x r × w1,3(x; M )= 2 q(s)P (s, x; q, M ) ds - q(s)P (s, 2s - x; q, M ) dξ- x x 2 ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 447 π x r r - q(s)P (s, 2(s - π)+ x; q, M ) ds + π r M (s) ds P (ξ - s, x - s; q, M )dξ- 2 π- x 0 x x x r r - M (s) ds 0 x π r r x+s 2 P (ξ - s, 2ξ - x - s; q, M )dξ- - M (s) ds 2 0 π+ s-x P (ξ - s, 2(ξ - π)+ x - s; q, M )dξ . Заметим, что во всех подынтегральных выражениях двух предыдущих формул значение аргумента функции M, а также второго аргумента функции P никогда не превосходит x. Используя это обстоятельство и опираясь на леммы 3.1 и 3.2, нетрудно проверить, что для операторов w1,3(x; M ), и w × 1,3 (x; M ) выполняются все условия в определении 4.1. Для операторов w(j)(x) = w(j)(x; M ), j = 0, 1, при k = 2, 5 доказательство аналогично, с той k,3 k,3 разницей, что при таких k функции wk,3(x) определены только при x ∈ (0, π/2), а значит, соответствующие операторы принадлежат только Eπ/2. Из лемм 4.1-4.3 и теоремы 4.2 непосредственно вытекает, что уравнение (4.5) имеет единственное решение M (x) ∈ L2(0, π/2), что, в свою очередь, означает разрешимость основного уравнения (4.1) на первой половине интервала (0, π). 5. РЕШЕНИЕ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ НА ВТОРОЙ ПОЛОВИНЕ ИНТЕРВАЛА 1. Сведение к линейному интегральному уравнению Вольтерра третьего рода. Согласно (2.27) и (3.4) имеем x r w1(x; M )= w1(x; M1)+ 0 F (π, x, t; q, M1)M2(t) dt, 0 � x � π, (5.1) где функции M1(x) и M2(x) определены по формулам (3.3) при δ = π/2, σ = π. В силу (2.6) и (3.5) справедливо тождество F (π, x, x; q, M1)= π - x. (5.2) 2 Дифференцируя представление (5.1) по x и учитывая (5.2), получаем x π - x r 1(x; M )= w1(x; M1)+ M2(x)+ 2 Φ(x, t; q, M1)M2(t) dt, 0 < x < π, (5.3) w× где функция × Φ(x, t; q, M )= 0 ∂ F (π, x, t; q, M ) (5.4) ∂x суммируема с квадратом в треугольнике 0 < t < x < π. Используя (5.3), можно записать основное уравнение (4.1) следующим образом: x r g1(x)= (π - x)M2(x)+2 π 2 Φ(x, t; q, M1)M2(t) dt, 0 < x < π, (5.5) где функция g1(x) ∈ L2(0, π) имеет вид 1 g1(x)= -2w×(π - x) - 2w× (x; M1) - 2V ×(x; M ), 0 < x < π. (5.6) Заметим, что согласно (2.26) и (2.28)-(2.32) функция V (x; M ) на интервале (π/2, π) зависит от значений функции M (x) только при x ∈ (0, π/2), т. е. V (x; M ) = V (x; M1) на всем (0, π). Поэтому соотношение (5.5) на интервале (π/2, π) становится линейным интегральным уравнением Вольтерра относительно функции M2(x) со свободным членом g1(x). Однако за счет наличия 448 С. А. БУТЕРИН множителя (π - x) оно является так называемым уравнением третьего рода, которое имеет на интервале (π/2, π) единственное решение M2(x), принадлежащее классу L2(π/2,T ) для всякого T ∈ (π/2, π). Таким образом, с учетом предыдущего раздела приходим к тому, что основное уравнение (4.1) имеет единственное решение M (x), 0 < x < π, принадлежащее классу L2(0,T ) для всякого T ∈ (0, π). По причине наличия множителя (π - x) в (5.5) пока трудно сказать что-либо о его суммируемости на всем интервале 0 < x < π. Целью данного раздела является доказательство того, что решение M (x) удовлетворяет условию (1.4). 2. Предварительное уточнение. Перепишем (5.5) в виде x где h(x)= (π - x)M2(x), r g1(x)= h(x) - π 2 h(t) dt + ϕ(x), 0 < x < π, π - t (5.7) x r ϕ(x)= π 2 Ψ(x, t)h(t) dt, Ψ(x, t)= 2Φ(x, t; q, M1)+1 . (5.8) π - t В дальнейшем нам понадобятся следующие две леммы. Лемма 5.1. Пусть η, θ - вещественные числа, θ ;;: 0. Решение y(x) уравнения x r y(x)= f (x)+ η a y(t) dt b - t , a < x < b, (5.9) удовлетворяет условию (b - x)θy(x) ∈ L2(a, b) тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий (в зависимости от значения разности η - θ): 1) (b - x)θf (x) ∈ L2(a, b) при η - θ < 1/2; 2) (b - x)θf (x) ∈ L2(a, b), при η - θ > 1/2. b r (b - x)η-1f (x) dx =0 (5.10) a Для доказательства нам потребуется следующее утверждение (см. [1]), которое следует из частного случая неравенств Харди [30]. Предложение 5.1. Зафиксируем α < 1/2. Операторы x 1 r f (t) dt b , T f = 1 r f (t) dt Tαf = (b - x)α ∗ (b - t)1-α α (b - x)1-α , a < x < b, (b - t)α a x отображают L2(a, b) в L2(a, b) и ограничены. Доказательство леммы 5.1. Подстановкой нетрудно проверить, что решение уравнения (5.9) имеет вид y(x)= f (x)+ η (b - x)η x r (b - t)η-1f (t) dt. (5.11) a Пусть η - θ < 1/2. Легко видеть, что (b - x)θy(x) = f0(x)+ ηTαf0(x), где f0(x) = (b - x)θf (x) ∈ L2(a, b), α = η - θ < 1/2. Согласно предложению 5.1 имеем (b - x)θy(x) ∈ L2(a, b). Пусть теперь η - θ > 1/2. Используя (5.10), преобразуем (5.11) к виду b η r y(x)= f (x) - (b - x)η x (b - t) η-1 f (t) dt, ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 449 α откуда, умножая на (b - x)θ, получаем (b - x)θy(x) = f0(x) - ηT ∗f0(x), где α = θ - η +1 < 1/2. Снова используя предложение 5.1, получаем (b - x)θy(x) ∈ L2(a, b). Достаточность доказана, перейдем к необходимости. Согласно (5.9) имеем x r (b - x)θ |f (x)| � |y0(x)| + η a |y0(t)| dt b - t ∈ L2(a, b), где y0(x)= (b - x)θy(x) ∈ L2(a, b). Пусть η - θ > 1/2. Тогда (b - x)η-1y(x)= (b - x)η-θ-1y0(x) ∈ L(0, π). Поэтому, умножая обе части (5.9) на (b - x)η-1, интегрируя от a до b и меняя порядок интегрирования в повторном интеграле, будем иметь b r (b - x)η-1f (x) dx = a b b r r (b - x)η-1y(x) dx - η a a b y(x) dx r b - x x (b - t)η-1 dt = 0, т. е. приходим к (5.10). Лемма 5.2. Зафиксируем η ;;: 0. Уравнение x x где r y(x)= f (x)+ η a y(t) dt b - t r + G(x, t)y(t) dt, a < x < b, (5.12) a b x r r (b - x)ηf (x) ∈ L2(a, b), |G(x, t)|2 dt dx < ∞, a a имеет единственное решение y(x), (b - x)ηy(x) ∈ L2(a, b). Доказательство. Положим β(x)= (x - b)2η+1/(2η + 1) и обозначим через L2,β (a, b) пространство функций f (x), a < x < b, с нормой г г 1 b 1r f L2,β = 1 a 1 b 1r |f (x)|2 dβ(x)= 1 a (b - x)2η |f (x)|2 dx. Пусть линейный ограниченный оператор F взаимно однозначно отображает банахово пространство B на себя, а линейный оператор G : B → B вполне непрерывен. Тогда если оператор S = F + G является инъекцией, то он является и биекцией B на B. Действительно, обозначив S1 = SF -1, имеем S1 = E + G1, где E - единичный оператор, а G1 = GF -1. Тогда S1 - инъекция, а G1 вполне непрерывен. Согласно альтернативе Фредгольма (см. [5]) S1 - биекция. Следовательно, S - тоже биекция. Обозначим F := E - ηT0, x r Gy := - a x r G(x, t)y(t) dt = - a G(x, t) Gβ (x, t)y(t) dβ(t), Gβ (x, t) := (b - t)2η , и запишем уравнение (5.12) в операторном виде: f = Fy + Gy. С помощью предложения 5.1 легко показать, что оператор F ограничен в L2,β (a, b), и согласно лемме 5.1 для θ = η он является биекцией L2,β (a, b) на L2,β (a, b). Кроме того, легко видеть, что оператор G отображает L2,β (a, b) в себя. Поскольку b x b r r r |Gβ (x, t)|2 dβ(t) dβ(x) � a a a x r |G(x, t)|2 dt dx < ∞, a то G является оператором Гильберта-Шмидта, а значит, он вполне непрерывен в L2,β (a, b) (см., например, [7]). Осталось заметить, что F + G - инъекция, а следовательно, и биекция L2,β (a, b) на L2,β (a, b). 450 С. А. БУТЕРИН В силу (2.6), (3.5) и (5.4) будем иметь π 1 Φ(x, t; q, M )= 2 x r r - 1+ x P (s - t, x - t; q, M ) ds- π r - x+t 2 P (s - t, 2s - x - t; q, M ) ds - π r +π t-x 2 x r P (s - t, 2(s - π)+ x - t; q, M ) ds+ + q(s)F (s, x, t; q, M ) ds - x x+t 2 q(s)F (s, 2s - x, t; q, M ) ds- π r - +π t-x 2 q(s)F (s, 2(s - π)+ x, t; q, M ) ds + x-t π r r M (s) ds 0 x F (ξ - s, x - s, t; q, M ) dξ- x-t r - M (s) ds 0 x r x+t+s 2 F (ξ - s, 2ξ - x - s, t; q, M ) dξ- x-t r - M (s) ds 0 π r +π s+t-x 2 F (ξ - s, 2(ξ - π)+ x - s, t; q, M ) dξ . (5.13) Согласно (5.8) и (5.13) функция Ψ(x, t) суммируема с квадратом в треугольнике π/2 < t < x < π, и, применяя лемму 5.2 к (5.7), (5.8), получаем (π - x)h(x) ∈ L2(0, π). 3. Окончательное уточнение. До сих пор использовалась лишь принадлежность производной w×(x) классу L2(0, π). Покажем теперь, что выполнение краевых условий (2.24) влечет (1.4), т. е. уточним, что h(x) ∈ L2(0, π). Для этой цели потребуется лемма 5.1 и следующие два вспомогательные утверждения. Лемма 5.3. Зафиксируем θ ∈ [1/3, 1]. Тогда если (π - x)θh(x) ∈ L2(0, π), то 1 (π - x)θ- 3 ϕ(x) ∈ L2(0, π). Доказательство. Согласно (5.8) и (5.13) найдется функция f (x) ∈ L2(0, π), такая что |Ψ(x, t)| � f (t). Таким образом, получаем x 1 1 r 1 (π - x)θ- 3 |ϕ(x)| � (π - x)- 3 π 2 что и требовалось доказать. f (t)(π - t)θ |h(t)| dt � C(π - x)- 3 ∈ L2(0, π), Лемма 5.4. Если (π - x)1-εh(x) ∈ L2(0, π) при некотором ε > 0, то π r ϕ(x) dx = 0. (5.14) 0 Доказательство. В силу (5.2), (5.4) и (5.8) имеем ζ ζ r r ϕ(x) dx = 0 π 2 ζ ζ ζ x r r ϕ(x) dx = dx π π 2 2 1)+1 2 ∂ F (π, x, τ ; q, M h(τ ) ∂x π - τ ζ dτ = r h(τ ) r = dτ - π τ π τ 2 )+1 ∂ 2 F (π, x, τ ; q, M1 ∂x r dx = π 2 h(τ ) π - τ 2F (π, ζ, τ ; q, M1) - (π - ζ) dτ. ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 451 Согласно (2.6), (3.5) приходим к соотношению ζ ζ 6 r r h(τ ) ϕ(x) dx = \ π - τ Fk (ζ, τ ) dτ, (5.15) где 0 F1(ζ, τ ) := k=1 π 2 π ζ-τ r r ds ζ 0 P (s - τ, ξ; q, M1) dξ, F2(ζ, τ ) := ζ r ζ+τ 2 2s-ζ-τ r ds 0 P (s - τ, ξ; q, M1) dξ - π r +π τ -ζ 2 2(s-π)+ζ-τ r ds 0 P (s - τ, ξ; q, M1) dξ, F3(ζ, τ ) := π ζ r r q(s) ds ζ τ F (s, ξ, τ ; q, M1) dξ, F4(ζ, τ ) := ζ r ζ+τ 2 q(s) ds 2s-ζ r F (s, ξ, τ ; q, M1) dξ - τ π r +π τ -ζ 2 q(s) ds 2(s-π)+ζ r F (s, ξ, τ ; q, M1) dξ, τ F5(ζ, τ ) := ζ-τ r 0 π r M1(s) ds dξ ζ ζ-s r F (ξ - s, η, τ ; q, M1) dη, τ F6(ζ, τ ) := ζ-τ r 0 M1(s) ds ζ r ζ+τ +s 2 2ξ-ζ-s r dξ F (ξ - s, η, τ ; q, M1) dη - τ ζ-τ r - 0 M1(s) ds π r dξ +π s+τ -ζ 2 2(ξ-π)+ζ-s r F (ξ - s, η, τ ; q, M1) dη. τ В оставшейся части доказательства одним и тем же символом C будем обозначать различные константы в оценках, не зависящие от аргументов функций. Так как P (x, t; q, M1) - ограниченная функция, то π r |F1(ζ, τ )| � ds ζ ζ-τ r 0 |P (s - τ, ξ; q, M1)| dξ � C(π - ζ)(ζ - τ ). Далее, доопределяя функцию P (x, t; q, M1) нулем вне треугольника Dπ и преобразуя пределы интегрирования, будем иметь F2(ζ, τ )= +π τ -ζ 2 r ds 2s-ζ-τ r ζ r P (s - τ, ξ; q, M1) dξ + ds 2s-ζ-τ r P (s - τ, ξ; q, M1) dξ - ζ+τ 0 2 +π τ -ζ 2 2(s-π)+ζ-τ π r - ds ζ 2(s-π)+ζ-τ r 0 P (s - τ, ξ; q, M1) dξ. 452 С. А. БУТЕРИН Здесь +π τ -ζ 2 r ds ζ+τ 2 2s-ζ-τ r 0 P (s - τ, ξ; q, M1) dξ � C +π τ -ζ 2 r ds ζ+τ 2 2s-ζ-τ r 0 dξ � C(π - ζ)2, ζ 2s-ζ-τ r r ds P (s - τ, ξ; q, M1) dξ � C - ζ - τ + π ζ 2 (π - ζ), +π τ -ζ 2 π r 2(s-π)+ζ-τ 2(s-π)+ζ-τ r ds P (s - τ, ξ; q, M1) dξ � C(π - ζ) ζ 0 2(π - ζ)+ ζ - τ . Таким образом, приходим к оценке |F2(ζ, τ )| � C(π - ζ)(π - τ ). Далее, так как F (x, t, τ ; q, M1) - ограниченная функция, а q(x), M1(x) ∈ L2(0, π), аналогично приходим к следующим оценкам для остальных Fk (ζ, τ ): |F3(ζ, τ )| � π ζ r r |q(s)| ds ζ τ |F (s, ξ, τ ; q, M1)| dξ � C!π - ζ(ζ - τ ), |F4(ζ, τ )| = +π τ -ζ 2 r |q(s)| ds ζ+τ 2 2s-ζ r |F (s, ξ, τ ; q, M1)| dξ + τ ζ + r q(s) ds 2s-ζ r F (s, ξ, τ ; q, M1) dξ + +π τ -ζ 2 2(s-π)+ζ π + r 2(s-π)+ζ r q(s) ds ζ τ F (s, ξ, τ ; q, M1) dξ � C!π - ζ(π - τ ), ζ-τ r π ζ-s r r 3 |F5(ζ, τ )| � 0 |M1(s)| ds dξ ζ τ |F (ξ - s, η, τ ; q, M1)| dη � C(π - ζ)(ζ - τ ) 2 , |F6(ζ, τ )| = ζ-τ r 0 |M1(s)| ds +π s+τ -ζ 2 r dξ ζ+τ +s 2 2ξ-ζ-s r |F (ξ - s, η, τ ; q, M1)| dη + τ ζ-τ r + ζ r M1(s) ds 2ξ-ζ-s r dξ F (ξ - s, η, τ ; q, M1) dη + +π 0 s+τ -ζ 2 2(ξ-π)+ζ-s ζ-τ + r π 2(ξ-π)+ζ-s r r M1(s) ds dξ 0 ζ τ F (ξ - s, η, τ ; q, M1) dη � C!ζ - τ (π - ζ)(π - τ ). Итак, справедлива следующая общая оценка: |Fk (ζ, τ )| � C!π - ζ (π - τ ), k = 1, 6, ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ 453 которая вместе с (5.15) дает ζ ζ r ε r 2 (π - τ )1-ε|h(τ )| ϕ(x) dx � C(π - ζ) 0 π 2 (π - 1-ε τ ) 2 dτ, где правая часть стремится к нулю при ζ → π, что влечет (5.14). Рассмотрим соотношение (5.7). Имеем g1(x), (π-x)h(x) ∈ L2(0, π). Согласно лемме 5.3 получаем (π - x)2/3ϕ(x) ∈ L2(0, π). Применяя лемму 5.1 к (5.7), (5.8), уточняем (π - x)2/3h(x) ∈ L2(0, π). Снова используя лемму 5.3, получим (π - x)1/3ϕ(x) ∈ L2(0, π). Далее, согласно лемме 5.4 имеем (5.14). Кроме того, согласно (5.6) будем иметь r π =2 g1(x) dx w(π - x) - w1(x; M1) - V (x; M ) 0 π x=0 . (5.16) Используя (2.24), вычисляем - 2w(π x) π x=0 В силу (2.35) и (2.36) имеем π 2 r = 2(w(0) - w(π)) = -α0 0 π π r q(x) dx - α1 π 2 π r q(x) dx. (5.17) - 1 1 2w (x; M ) x=0 = 2(w1(0) - w1(π)) = 0 q(x) dx. (5.18) Наконец, используя (2.26), (2.30)-(2.32), (2.35) и (2.36) получим π - 2V (x; M ) x=0 π 2 r = 2(V (0) - V (π)) = α0 0 π r q(x) dx + α1 π 2 π r q(x) dx - 0 q(x) dx. (5.19) Таким образом, в силу (5.16)-(5.19) приходим к равенству π r g1(x) dx = 0, 0 которое вместе с (5.7), (5.14) и леммой 5.1 дает (π - x)1/3h(x) ∈ L2(0, π). Снова применяя леммы 5.1 и 5.3, окончательно уточняем, что (π - x)M2(x)= h(x) ∈ L2(0, π), и приходим к утверждению теоремы 4.1. 6. РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1.2 Известным методом (см., например, [22, лемма 3.3]) доказывается следующее утверждение, являющееся обратным к лемме 2.5. Лемма 6.1. Пусть заданы произвольные комплексные числа λk, k ;;: 1, вида (1.5), (1.6). Тогда функция Δ(λ), определенная по формуле (2.54), имеет вид (2.23), (2.24). Отметим также, что лемма 6.1 может быть получена непосредственно из [22, леммы 3.3 и 3.4]. 2 Доказательство теоремы 1.2. Пусть задана комплекснозначная функция q(x) ∈ L2(0, π) и комплексные числа α0, α1, β, причем α0 + α1 ∈/ (-∞, 0], а также некоторая последовательность комплексных чисел {λk }k∈N вида (1.5), (1.6). Тогда согласно лемме 6.1 функция Δ(λ), построенная по формуле (2.54), имеет вид (2.23) с некоторой функцией w(x) ∈ W 1[0, π], удовлетворяющей краевым условиям (2.24). В силу теоремы 4.1 основное уравнение (4.1) с этой функцией w(x) имеет 454 С. А. БУТЕРИН единственное решение M (x), удовлетворяющее условию (1.4). Рассмотрим соответствующую краевую задачу L = L(q, M, α0, α1, β). Пусть Δ˜ (λ) - ее характеристическая функция. Тогда согласно лемме 2.3 она имеет вид π Δ˜ (λ)= α0 + α1 sin ρπ + r sin ρx w˜(x) dx, w˜(x) W 1[0, π], (6.1) где 2 ρ ρ ∈ 2 0 β w˜(π - x)= 2 + w1(x; M )+ V (x; M ), 0 � x � π, (6.2) а функции w1(x; M ) и V (x; M ) определены при помощи формул (2.25)-(2.29). При этом π β w˜(π)= 2 α0 + α1 r + 4 q(x) dx = w(π). (6.3) 0 Дифференцируя (6.2) по x и сравнивая с (4.1), получаем w˜×(x) = w×(x) п.в. на (0, π), а учи- 2 тывая (6.3) и тот факт, что w(x), w˜(x) ∈ W 1[0, π], приходим к тождеству w˜(x) ≡ w(x). Итак, принимая во внимание (2.23) и (6.1), окончательно заключаем, что Δ˜ (λ) ≡ Δ(λ). Таким образом, спектр построенной краевой задачи L совпадает с заданной последовательностью {λk }k;;:1. Единственность M (x) следует из единственности решения основного уравнения (4.1). Доказательство теоремы 1.2 конструктивно и дает следующий алгоритм решения задачи 1.1. Алгоритм 6.1. Пусть заданы спектр {λk }k;;:1 некоторой краевой задачи L(q, M, α0, α1, β), функция q(x) и числа α0, α1, β. 1. Строим функцию Δ(λ) по формуле (2.54). 2. В соответствии с (2.23) вычисляем функцию w(x) по формуле 2 w(x)= π ∞ \ kΔ(k2) sin kx. k=1 3. Находим функцию M (x) из основного уравнения (4.1).

About the authors

S A Buterin

Saratov State University

Email: buterinsa@info.sgu.ru
Saratov, Russia

References

Supplementary files