To the Problem on Small Motions of the System of Two Viscoelastic Fluids in a Fixed Vessel

Abstract

In this paper, we study the problem of small motions of two Oldroyd viscoelastic incompressible fluids contained in a fixed vessel. By means of the operator approach, we reduce the original initialboundary value problem to the Cauchy problem for a differential operator equation in a Hilbert space and prove the well-posed solvability of the problem on an arbitrary interval of time. We obtain the equation for normal oscillations of the hydraulic system under consideration (Krein generalized operator pencil).

Full Text

1. ВВЕДЕНИЕ 1. О модели вязкоупругой жидкости. В данной работе изучается проблема малых движений вязкоупругих несжимаемых жидкостей модели Олдройта (см., например, [10]). В этой модели связь между тензором вязких напряжений и удвоенным тензором скоростей деформаций в вязкоупругой жидкости описывается не простейшим законом Гука, а линейным дифференциальным соотношением, где фигурируют производные первого порядка по времени как у тензора вязких напряжений, так и у тензора скоростей деформаций. Некоторые исследователи (см., например, [7, 14, 15], а также [9, 13]) рассматривают так называемую обобщенную модель Олдройта, когда упомянутая выше связь описывается линейным дифференциальным соотношением порядка m ;? 1. Тогда при естественном условии, что если в начальный момент времени тензор скорости деформации и его производные по времени вплоть до порядка m - 1 равны нулю, то эти же условия выполнены и для тензора вязких напряжений, получается связь между этими тензорами в любой момент времени с помощью интегрального оператора Вольтерра. Этот переход от дифференциальной связи к интегральной описан, например, в [13, c. 316-318]. 3 Пусть _u(t, x) = \ uk (t, x)_ek - поле скоростей в вязкоупругой жидкости, τkl(_u) := k=1 ∂uk + ∂xl ∂ul , ∂xk kl (k, l = 1, 2, 3) - удвоенный тензор скоростей деформаций, а σ× - тензор вязких напряжений. Тогда связь между ними описывается соотношением σ× = μI0(t)τ, (1.1) Qc РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ, 2018 547 548 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ где μ > 0 - коэффициент динамической вязкой жидкости, а m rt I0(t)τ := τ (t)+ \ αj j=1 0 e-βj (t-s)τ (s)ds, (1.2) где αj и βj - положительные константы, характеризующие вязкоупругую жидкость. Если αj = 0, j = 1,..., m, то отсюда получаем модель обычной вязкой несжимаемой жидкости, а из (1.1) - закон Гука. Отметим еще следующий факт: интегральный оператор Вольтерра из (1.1) является обратимым интегральным оператором второго рода, причем обратный оператор также является интегральным оператором Вольтерра. 2. Об истории вопроса и содержании данной работы. Одними из первых работ, связанных с применением методов функционального анализа к исследованию проблемы малых движений и нормальных колебаний вязкоупругой жидкости в частично заполненном сосуде, являются работы А. И. Милославского [7, 14, 15]. В них для обобщенной модели Олдройта (m > 1) применен операторный подход, развивающий построения, проведенные ранее С. Г. Крейном и его учениками применительно к задаче о малых колебаниях вязкой жидкости в частично заполненном сосуде. Исследования А. И. Милославского отражены, в частности, в главе 8 монографии [13]. Случай полного заполнения полости вязкоупругой жидкостью рассмотрен в [9], а также в [13, п. 7.1]. В данной работе, которая является продолжением исследований из [3], изучается проблема малых движений системы из двух вязкоупругих несмешивающихся жидкостей, полностью заполняющих неподвижный сосуд. Для простоты взята модель Олдройта (m = 1), хотя все построения можно провести и для обобщенной модели Олдройта (m > 1) по той же схеме. Аналогичный подход можно применить и к случаю, когда сосуд заполнен не двумя, а системой из произвольного числа несмешивающихся вязкоупругих жидкостей обобщенной модели Олдройта. Изложение в данной работе проведено по следующей схеме. После введения в разделе 2 дается постановка начально-краевой задачи о малых движениях системы из двух несмешивающихся вязкоупругих жидкостей, полностью заполняющих неподвижный сосуд и находящихся в однородном гравитационном поле, действующем вертикально вниз. Для классического решения задачи выведен закон баланса полной энергии. Это позволяет в разделе 3 осуществить выбор функциональных гильбертовых пространств, в которых естественно изучать поставленную проблему. Далее в разделе 4 приводится вывод формул для ортопроекторов, непосредственно связанных с указанными пространствами. После этого в разделе 5 осуществлен операторный подход к исследуемой задаче, позволяющий привести проблему к задаче Коши для интегро-дифференциального уравнения в некотором гильбертовом пространстве. Затем в разделе 6 осуществлен переход к системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в ортогональной сумме гильбертовых пространств. После подробного изучения свойств операторной матрицы, отвечающей возникшей системе уравнений (факторизация, аккретивность, замыкание) в разделе 7 доказываются теоремы о сильной разрешимости полученной задачи Коши на конечном интервале времени. На этой основе доказана также теорема о существовании обобщенного решения исходной начально-краевой задачи. Наконец, для проблемы нормальных колебаний гидросистемы получено уравнение (операторный пучок), обобщающее соответствующие уравнения как для проблемы с двумя обычными вязкими жидкостями (пучок С. Г. Крейна), так и для задачи о колебаниях одной вязкой жидкости. 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ЗАКОН БАЛАНСА ПОЛНОЙ ЭНЕРГИИ 1. Классическая постановка задачи. Будем считать, что две вязкоупругие жидкости модели Олдройта заполняют произвольный сосуд Ω ⊂ R3 и в состоянии равновесия под действием гравитационного поля занимают области Ω1 и Ω2, соответственно, с горизонтальной границей раздела Γ. Обозначим через S1 и S2 те части границы ∂Ω, которые примыкают к первой и второй жидкостям, соответственно. Введем декартову систему координат Ox1x2x3 таким образом, чтобы ось Ox3 была направлена вверх, т. е. против действия однородного гравитационного поля, а начало координат O находилось на Γ. Тогда ускорение гравитационного поля _g = -g_e3, g > 0, а в состоянии покоя поля давлений К ПРОБЛЕМЕ МАЛЫХ ДВИЖЕНИЙ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ В НЕПОДВИЖНОМ СОСУДЕ 549 в жидкостях выражаются по законам P0,k (x3)= p0 - ρk gx3, k = 1, 2, (2.1) где ρk - плотности жидкостей, а p0 - давление на границе раздела Γ, т. е. при x3 = 0. Рассмотрим малые движения системы из двух жидкостей, близкие к состоянию покоя. Пусть _uk (t, x) - поля малых скоростей, а pk (t, x) - отклонения полей давлений от их равновесных значений (см. (2.1)). Для простоты рассматриваем вязкоупругие жидкости модели Олдройта, когда в (1.1) m = 1. Кроме того, полагаем, что на исследуемую гидродинамическую систему дополнительно к гравитационному полю действует малое поле внешних сил f_ = f_(t, x), x ∈ Ω. Тогда линеаризованные уравнения движения жидкостей имеют следующий вид (см., например, [13, c. 318, 342-343]): ∂_uk ∂t ρk = -∇pk + μk ±_vk + ρk f_k (t, x), div _uk =0 (в Ωk ), (2.2) t r _vk (t, x)= _uk (t, x)+ αk 0 e-βk (t-s)_uk (s, x)ds =: I0,k (t)_uk , k = 1, 2, (2.3) где μk > 0 - динамические вязкости жидкостей, αk ;? 0, βk > 0 - коэффициенты, характеризующие свойства вязкоупругости жидкостей модели Олдройта, f_k (t, x) := f_(t, x)|x∈Ωk , а ± - трехмерный оператор Лапласа. Для вязких жидкостей, как известно, на твердых стенках Sk сосуда должны выполняться условия прилипания, т. е. _uk = _0 (на Sk ), k = 1, 2, (2.4) а на границе раздела Γ - условие непрерывности полей скоростей: _u1(t, x)= _u2(t, x), x ∈ Γ. (2.5) Будем описывать малые перемещения границы раздела между жидкостями с помощью функции вертикального отклонения x3 = ζ(t, x1, x2), (x1, x2) ∈ Γ. (2.6) Тогда на Γ должно выполняться кинематическое условие ∂ζ ∂t = _u1 · _n =: γn,1_u1 = _u2 · _n =: γn,2_u2, _n = _e3, (2.7) а символом γn,k обозначена операция взятия нормального следа на Γ, т. е. следа нормальной компоненты поля скорости. Заметим еще, что из условия сохранения объема каждой из жидкостей имеем интегральную связь r ζdΓ= 0. (2.8) Γ Сформулируем теперь динамические условия на Γ. Они состоят в том, что на движущейся границе раздела векторное поле напряжений при переходе от одной жидкости к другой изменяется непрерывно. Линеаризация этого условия и его снос на Γ приводят к следующим соотношениям: на Γ касательные напряжения (т. е. вдоль Γ) изменяются непрерывно, а нормальное напряжение (т. е. вдоль оси Ox3) компенсируется гравитационным скачком давлений. Имеем μ1τj3(_v1)= μ2τj3(_v2), _vk = I0,k (t)_uk , k = 1, 2, j = 1, 2; [-p1 + μ1τ33(_v1)] - [-p2+ μ2τ33(_v2)] = -g(ρ1 - ρ2)ζ (на Γ). (2.9) Наконец, для искомых функций _uk (t, x), pk (t, x), k = 1, 2, и ζ(t, x1, x2) необходимо еще задать начальные условия: _uk (0, x)= _u0 (x), x ∈ Ωk , _u0(x) ≡ _u0(x), x ∈ Γ, k 1 2 ζ(0, x)= ζ0(x), x ∈ Γ. (2.10) 550 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ 2. Закон баланса полной энергии. Будем считать, что задача (2.2)-(2.10) имеет классической решение, и выведем закон баланса полной энергии гидросистемы. Предварительно выпишем формулы Грина для векторных полей скоростей в областях Ω1 и Ω2, соответственно. Для дважды непрерывно дифференцируемых полей они имеют следующий вид: 3 ⎛ ⎞ 1 r \ μ1E1(_η1, _u1) := 2 μ1 Ω1 ⎝ j,l=1 τjl(_η1)τjl(_u1)⎠ dΩ1 = r r = _η1 · (-μ1±_u1 + ∇p1)dΩ1 + Ω1 Γ 3 \ η1,j (μ1τj,3(_u1) - p1δj3)dΓ, j=1 (2.11) div_η1 = div_u1 =0 (в Ω1), _η1 = _u1 ≡ _0 (на S1), 3 ⎛ ⎞ 1 r \ μ2E2(_η2, _u2) := 2 μ2 Ω2 ⎝ j,l=1 τjl(_η2)τjl(_u2)⎠ dΩ2 = r r = _η2 · (-μ2±_u2 + ∇p2)dΩ2 - Ω2 Γ 3 \ η2,j (μ2τj,3(_u2) - p2δj3)dΓ, j=1 (2.12) div_η2 = div_u2 =0 (в Ω2), _η2 = _u2 ≡ _0 (на S2). (В этих формулах учтено, что направление внешней нормали на Γ для области Ω1 будет _n1 = _e3, а для Ω2 - соответственно, _n2 = -_n1 = -_e3.) Умножим обе части (2.2) слева на _uk , проинтегрируем по Ωk и сложим результаты; будем иметь (для вещественнозначных полей): 2 r \ ρk _uk · ∂_u 2 r k dΩk = - \ 2 r _uk · ∇pk dΩk + \ μk 2 r _uk · (±_vk )dΩk + \ ρk _uk · f_k dΩk . ∂t k=1 Ωk k=1Ωk k=1 Ωk k=1 Ωk Используя формулы Грина (2.11), (2.12), а также граничные условия задачи (2.2)-(2.10), отсюда получаем соотношение ⎧ 1 d ⎪⎨ 2 r ⎫ ⎬⎪ 2 2 r \ ρk |_uk |2 dΩk = - \ μk Ek (_uk , _vk )+ \ ρk _uk · f_k dΩk + Ωk 2 dt ⎪⎩k=1 ⎭⎪ k=1 r 3 k=1 Ωk + \ uk,j (μ1τj3(_u1) - μ2τj3(_u2) - (p1 - p2)δj3) dΓ. Γ j=1 Учитывая еще соотношения (2.8) и (2.9), окончательно приходим к выводу, что ⎧ 1 d ⎪⎨ 2 r ⎫ r ⎪⎬ 2 2 r \ ρk |_uk |2 dΩk + g(ρ1 - ρ2) |ζ|2 dΓ = - \ μk Ek (_uk , _vk )+ \ ρk _uk · f_k dΩk . (2.13) Ωk 2 dt ⎪⎩k=1 Γ ⎪⎭ k=1 k=1 Ωk Это тождество есть закон баланса полной энергии системы в дифференциальной форме. Здесь в фигурных скобках стоит удвоенная полная (кинетическая плюс потенциальная) энергия гидросистемы, а справа - мощность диссипативных вязкоупругих сил и мощность дополнительных внешних сил, действующих на систему. После интегрирования (2.13) по t в пределах от 0 до t получаем закон баланса полной энергии в интегральной форме, т. е. на произвольном отрезке времени (0, t). К ПРОБЛЕМЕ МАЛЫХ ДВИЖЕНИЙ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ В НЕПОДВИЖНОМ СОСУДЕ 551 3. ВЫБОР ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ 1. Предварительные соображения. Будем исследовать задачу (2.2)-(2.10) методами теории операторов, действующих в гильбертовых пространствах (см. [4, 12, 13]). Тождество (2.13) показывает, что поля скоростей в данной задаче следует считать элементами векторного пространства пар функций со скалярным произведением _u = {_u1; _u2}, _u ∈ L_ 2(Ω), (3.1) (_u, _v)L 2(Ω) := 2 \ k=1 ρk (_uk , _vk )L 2(Ωk ) := 2 \ k=1 r ρk _uk · _vk dΩk . Ωk Точнее говоря, следует выбирать (см. [4]) лишь элементы J _uk ∈ J_0,Sk (Ωk ) := _uk ∈ L_ 2(Ωk ): div_uk =0 (в Ωk ), γn,k_uk := _uk · _nk =0 (на Sk ) , где _nk - внешняя нормаль к ∂Ωk . Такие поля отвечают конечной кинетической энергии системы. Заметим, что пространство L_ 2(Ωk ) со скалярным произведением r (_uk , _vk )L 2(Ωk ) := Ωk имеет ортогональное разложение (см. [4]) _uk · _vk dΩk причем L_ 2(Ωk )= J_0,Sk (Ωk ) ⊕ G_ 0,Γ(Ωk ), (3.2) G_ 0,Γ(Ωk ) := Jw_ k = ∇ϕk ∈ L_ 2(Ωk ): ϕk =0 (на Γ) , (3.3) J_0,Sk (Ωk )= J_0(Ωk ) ⊕ G_ h,Sk (Ωk ), (3.4) J J_0(Ωk )= ⎧ _vk ∈ L_ 2(Ωk ): div_vk =0 (в Ωk ), γn,k_vk =0 (на ∂Ωk ) , (3.5) ⎫ k (Ω )= G_ h,S k ⎨ ⎩ w_ k = ∇Φk ∈ L_ 2(Ωk ): ±Φk =0 (в Ωk ), ∂Φk ∂nk r =0 (на Sk ), Γ ⎬ Φk d Γ=0 ⎭ . (3.6) Будем далее обозначать подпространство пар из L_ 2(Ω), у которых компоненты являются элементами из J_0,Sk (Ωk ), через J_0,S (Ω), т. е. k J_0,S (Ω) := J{_u1; _u2}∈ L_ 2(Ω) : _uk ∈ J_0,S Тогда в силу (3.2)-(3.6) будем иметь 2 (Ωk ), k = 1, . (3.7) L_ 2(Ω) = J_0,S (Ω) ⊕ G_ 0,Γ(Ω), J_0,S (Ω) = J_0(Ω1) ⊕ J_0(Ω2) ⊕ G_ h,S1 (Ω1) ⊕ G_ h,S2 (Ω2), (3.8) G_ 0,Γ(Ω) = G_ 0,Γ(Ω1) ⊕ G_ 0,Γ(Ω2). Далее, с конечной потенциальной энергией системы связано пространство L2(Γ) скалярных функций, заданных на Γ, с квадратом нормы ||ζ|| 2 r L2(Γ) := Γ |ζ|2dΓ. Точнее говоря, ввиду условия (2.8) далее будем считать, что вертикальные отклонения границы раздела жидкостей ζ ∈ L2,Γ := L2(Γ) 8 {1Γ}, где 1Γ - функция, тождественно равная 1 на Γ. Введем еще пространства векторных полей с конечной скоростью диссипации энергии в жидко- J сти: J_1 0,Sk (Ωk ) := _uk ∈ H_ 1(Ωk ): div_uk =0 (в Ωk ), _uk = _0 (на Sk ) . 552 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ Здесь скалярное произведение определяется по формуле (см. (2.11), (2.12)) k k J 1 (_u , _v ) 0,Sk (Ωk ) := Ek (_uk , _vk ), (3.9) а на множестве пар (3.1) - по формуле J 1 (_u, _v) 0,S (Ω) 2 := \ μk Ek (_uk , _vk ), k=1 J_1 1 1 0,S1 0,S2 0,S (Ω) := J_ (Ω1) ⊕ J_ (Ω2). 0,S Отметим, что J_1 k (Ωk ) плотно вложено в J_0,Sk (Ωk ) и имеет место неравенство Корна: J 1 (Ωk ) ||_uk ||2 0,Sk H 1(Ωk ) ;? c˜k ||_uk ||2 J 0,S (Ωk ) ;? ck ||_uk ||2 k 0,Sk , ck > 0, ∀_uk ∈ J_1 (Ωk ), а метрика, порожденная скалярным произведением (3.9), эквивалентна стандартной метрике пространства 0,Sk H_ 1(Ωk ). Отсюда следует, что (J_1 (Ωk ); J_0,Sk (Ωk ) - гильбертова пара пространств. 0,Sk Обозначим через Ak : J_1 (Ωk ) → J 1 ( _ 0,Sk ∗ (Ωk ) оператор этой гильбертовой пары. Тогда будем иметь соотношения k k J 1 (_u , _v ) 0,Sk (Ωk ) k = (A1/2 k _uk , A1/2 k (Ω ) _vk )J 0,S k k (Ω ) = _uk , Ak_vk )J 0,S k 0,Sk , ∀_uk , _vk ∈ J_1 (Ωk ). (3.10) Здесь косыми скобками обозначено значение функционала, стоящего на втором месте, на элементе, стоящем на первом месте. Таким образом, возникают оснащенные гильбертовы пространства 0,Sk (Ωk ) ⊂→⊂→ J0,Sk (Ωk ) ⊂→⊂→ (J0,Sk (Ωk )) , k = 1, 2, (3.11) J_1 1 ∗ причем вложения, обозначаемые символом ⊂→⊂→, компактные. 0,S Введем, наконец, пространство J_1 (Ω) пар векторных полей (3.1) со скалярным произведением J 1 (_u, _v) 0,S (Ω) 2 := \ μk (_uk , _vk )J 1 k=1 0,Sk (Ωk ) 2 = \ μk Ek (_uk , _vk ). (3.12) k=1 Из приведенных построений очевидно, что J_1 _ ( 0,S (Ω); J0,S (Ω) - гильбертова пара пространств, причем оператор A этой пары имеет вид A = (μ1A1; μ2A2), (3.13) а формулы (3.10), (3.12) порождают соотношения J 1 (_u, _v) 0,S (Ω) = (A1/2 _u, A1/2 _v)J 0,S (Ω) 2 = \ k=1 μk Ek (_uk , _vk )= 2 = \ μk (A1/2_uk , A1/2_vk ) = _u, A_v) = (3.14) k k=1 k J0,Sk (Ωk ) J0,S (Ω) 2 = \ _uk , μk Ak_vk )J 1 (Ω ), ∀_u = {_u1; _u2}, _v = {_v1; _v2}∈ J_ (Ω). k=1 0,Sk k 0,S К ПРОБЛЕМЕ МАЛЫХ ДВИЖЕНИЙ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ В НЕПОДВИЖНОМ СОСУДЕ 553 2. Выбор функциональных пространств, порожденных задачей. Кинематическое условие (2.7) показывает, что в данной задаче элементы _uk , составляющие пару (3.1), не могут быть произвольными: для них нормальные компоненты на Γ должны совпадать, т. е. γn,1_u1 = γn,2_u2 (на Γ). Совокупность таких пар _u = {_u1; _u2} ∈ через J_0,S,Γ(Ω), т. е. J_0,S (Ω) образует подпространство, которое обозначим J_1 J_0,S,Γ(Ω) := {_u = {_u1; _u2}∈ J_0,S (Ω) : γn,1_u1 = γn,2_u2 (на Γ)}. (3.15) Далее, условие (2.5) показывает также, что на Γ все векторное поле для пары _u = {_u1; _u2} ∈ 0,S (Ω) изменяется непрерывно, т. е. γ1_u1 = γ2_u2 (на Γ), где γk - операция(оператор) взятия полного следа векторного поля _uk из области Ωk на границу Γ. 0,S Такие пары векторных полей образуют подпространство в пространстве J_1 (Ω), которое обо- 0,S,Γ значим через J_1 (Ω), т. е. J_1 0,S,Γ(Ω) := _u = {_u1; _u2}∈ J_1 J 0,S (Ω) : γ1_u1 = γ2_u2 (на Γ) . (3.16) Это подпространство плотно вложено в J_0,S,Γ(Ω) и потому - гильбертова пара пространств. J_1 _ ( 0,S,Γ(Ω); J0,S,Γ(Ω) (3.17) Обозначим через A˜ оператор гильбертовой пары (3.17). Очевидно, он является сужением опе- 0,S ратора A из (3.13) с J_1 (Ω) на J_0,S,Γ(Ω), и для него в силу (3.14) выполнены тождества 2 J 1 (_u, _v) 0,S,Γ(Ω) = (A˜1/2 _u, A˜1/2 _v)J 0,S,Γ 0,S,Γ (Ω) = \ μk Ek (_uk ; _vk )= _u, A˜_v)J k=1 (Ω) 0,S,Γ , ∀_u, _v ∈ J_1 (Ω). (3.18) Отметим еще, что оснащения (3.11) порождают оснащение из которого следует, что J_1 _ 0,S (Ω) ⊂→⊂→ J0,S (Ω) ⊂→⊂→ _1 ( ∗ J0,S (Ω) , (3.19) J_1 _ 0,S,Γ(Ω) ⊂→⊂→ J0,S,Γ(Ω) ⊂→⊂→ J (Ω) ( _1 ∗ 0,S,Γ . (3.20) Будем далее считать, что область Ω, составленная из двух областей Ω1 и Ω2, имеет липшицеву границу. При этом ∂Ω1 = S1 ∪ Γ, ∂Ω2 = S2 ∪ Γ, где Sk - липшицевы куски ∂Ωk , имеющие также липшицевы границы ∂Sk : ∂S1 = ∂S2 = ∂Γ. Такие предположения позволяют использовать обобщенные формулы Грина для оператора Лапласа в случае как скалярных полей, заданных в Ωk , так и в случае векторных полей скоростей (см. [2]). 4. ВЫВОД ФОРМУЛ ДЛЯ ОРТОПРОЕКТОРОВ 1. Первая формула. Получим сначала закон действия ортопроектора P0 := P0,S,Γ : J_0,S (Ω) → J_0,S,Γ(Ω) (4.1) (см. (3.7), (3.8), (3.15)). Для этого выясним, каково ортогональное дополнение в J_0,S (Ω) к подпространству J_0,S,Γ(Ω). Учтем структуру (3.8) подпространства J_0,S (Ω) и заметим, что для элементов из J_0(Ω1) и J_0(Ω2) нормальные компоненты полей равны нулю на всей границе. Отсюда получаем, что J_0,S,Γ(Ω) имеет структуру J_0,S,Γ(Ω) = J_0(Ω1) ⊕ J_0(Ω2) ⊕ G_ h,S,Γ(Ω), 554 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ G_ h,S,Γ(Ω) = J ( 1 _u = ρ1 ∇ϕ1; 1 ρ ∇ϕ2 2 : ±ϕk =0 (в Ωk ), ∂ϕk =0 (на S 1 ∂ϕ1 1 ∂ϕ2 ), = (на Γ), _n = _e , ∂nk r k ρ1 ∂n ρ2 ∂n 3 (4.2) Γ ( 1 1 ϕk dΓ=0 ⊂ G_ h,S1 (Ω1) ⊕ G_ h,S2 (Ω2). Пусть _u = ρ1 G_ h,S2 (Ω2). Тогда ∇ϕ1; ρ ∇ϕ2 2 ∈ G_ h,S,Γ(Ω), а _v = {∇ψ1; ∇ψ2} ортогональна _u в G_ h,S1 (Ω1) ⊕ r ρ1 ∇ψ1 · Ω1 1 ρ ∇ϕ1 1 r dΩ1 + ρ2 Ω2 ∇ψ2 · 1 ρ ∇ϕ2 2 dΩ2 = 0. (4.3) Воспользуемся теперь обобщенными формулами Грина для оператора Лапласа и скалярных полей (см. [2]). В рассматриваемом случае для липшицевых областей Ω1 и Ω2 они имеют следующий вид: r ∇ψ1 · ∇ϕ1dΩ1 = ψ1, (-±ϕ1))L2(Ω1) + γ1ψ1, ∂ϕ1 ∂n )L2(Γ), (4.4) Ω1 r ∇ψ2 · ∇ϕ2dΩ2 = ψ2, (-±ϕ2))L2(Ω1) - γ2ψ2, ∂ϕ2 ∂n )L2(Γ), (4.5) Ω2 ∀ψk , ϕk ∈ H1(Ωk ), γk ψk := ψk |Γ ∈ H1/2 := H1/2(Γ) ∩ L2,Γ, ∂ϕk ˜ -1/2 Γ Γ 1/2 1 ∗ (4.6) ∂n ∈ HΓ := (HΓ )∗, _n = _e3, ±ϕk ∈ (HΓ(Ωk )) , k = 1, 2. Γ Поясним смысл обозначений в (4.4)-(4.6). Прежде всего, слева в этих формулах стоит скалярное произведение функций из H1(Ωk ): Γ(Ωk ) (ψk , ϕk )H1 r := ∇ψk · ∇ϕk dΩk , Ωk r r ϕk dΓ= Γ Γ ψk dΓ= 0. (4.7) Γ Соответствующая норма эквивалентна стандартной норме H1(Ωk ), а H1(Ωk ) - подпространство пространства H1(Ωk ) коразмерности 1. Далее, γk - операторы следа скалярных функций, заданных в Ωk , на границе Γ ⊂ ∂Ωk . Согласно теореме Гальярдо (см. [11]), следы γk ψk ∈ H1/2(Γ) и Γ удовлетворяют условиям нормировки (4.7). Как известно, см. [1, 16], множество H1/2 плотно в L2,Γ и имеет место оснащение H1/2 -1/2 ( 1/2 ∗ Γ ⊂→⊂→ L2,Γ ⊂→⊂→ H˜Γ := HΓ . Γ Здесь символом ˜ обозначен класс функций из H1/2, продолжимых нулем на всю границу ∂Ωk в классе H-1/2(∂Ωk ) (см. [1, 8]). В частности, в формулах Грина (4.4), (4.5) производные по нормали Γ ∂ϕk /∂n ∈ H˜ -1/2, так как в силу постановки задачи (см. (3.6), (4.2)) должны быть выполнены условия Неймана ∂ϕk /∂nk =0 (на Sk ). Отметим еще, что имеется также оснащение Γ(Ωk ) ⊂→⊂→ L2(Ωk ) ⊂→⊂→ (HΓ) , H1 1 ∗ Γ и потому ±ϕk ∈ (H1)∗ , а косыми скобками в (4.4), (4.5) обозначены значения функционалов, стоящих на втором месте, на элементе, стоящем на первом месте. Возвращаясь к тождеству (4.3) и используя (4.4), (4.5), будем иметь соотношение (с учетом свойств (4.2) для ϕk ) r r 1 ∂ϕ1 ∇ψ1 · ∇ϕ1dΩ1 + Ω1 Ω2 ρ ∇ψ2 · ∇ϕ2dΩ2 =0= ρ1γ1ψ1 - ρ2γ2ψ2, 1 ∂n )L2(Γ). К ПРОБЛЕМЕ МАЛЫХ ДВИЖЕНИЙ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ В НЕПОДВИЖНОМ СОСУДЕ 555 Отсюда в силу свойства 1Γ, ∂ϕ1 ∂n )L2,Γ =0 получаем, что ρ1γ1ψ1 - ρ2γ2ψ2 = const =0 (на Γ), где использовано также свойство нормировки (4.7) для ψk , k = 1, 2. Итогом проведенных рассмотрений является следующее утверждение. Gh,S,Γ Лемма 4.1. Элементы из ( _ (Ω) ⊥ образуют множество ⊥ (G_ h,S,Γ(Ω) ( = {∇ψ1; ∇ψ2} : ±ψk =0 (в (Ωk )), ∂ψk ∂nk =0 (на Sk ),k = 1, 2, 1/2 (4.8) ψ := ρ1γ1ψ1 = ρ2γ2ψ2 ∈ HΓ . Опираясь на представление (4.8), получим закон действия ортопроектора P0 из (4.1). Для любого _u = {_u1; _u2}∈ J_0,S (Ω) должно быть P0_u = {_u1; _u2}- {∇ψ1; ∇ψ2}∈ J_0,S,Γ(Ω), и потому γn,1(P0_u)1 = γn,2(P0_u)2 ⇒ γn,1_u1 - ∂ψ1 ∂n |Γ = γn,2_u2 - ∂ψ2 ∂n |Γ, _n = _e3. Значит, для ψ1 и ψ2 должно выполняться условие ∂ψ1 ∂n - ∂n n,1 1 n,2 2 ∂ψ2 = γ _u - γ _u (на Γ). Таким образом, для определения пары функций {ψ1; ψ2} возникает следующая задача сопряжения: ∂ψk ±ψk =0 (в Ωk ), ∂nk =0 (на Sk ), k = 1, 2, (4.9) ψ := ρ1ψ1 = ρ2ψ2, ∂ψ1 ∂n - ∂n n,1 1 n,2 2 ∂ψ2 = γ _u - γ _u (на Γ). Найдем решение задачи (4.9), опираясь на свойства решений задач Неймана в областях Ωk : ±ψk =0 (в Ωk ), ∂ψk =0 (на S ), ∂n k ∂ψk = ζ (на Γ), ∂n k r ζk dΓ= 0. Γ Используя известные результаты разрешимости таких задач в областях Ωk с липшицевыми границами, разбитыми на липшицевы куски (см. [1, 2, 8, 16]), сформулируем итоговые утверждения, основанные на формулах Грина (4.4), (4.5). k Γ ψk |Γ ∈ H˜ -1/2 1. Слабое решение ψk |Ω ∈ H1(Ωk ) существует и единственно тогда и только тогда, когда Γ . В этом случае ψ1 = V1ζ1, ψ2 = -V2ζ2, Vk ∈ L(H˜ -1/2; H1(Ωk )), (4.10) при этом ∂ψ1 ∂ψ1 Γ Γ -1/2 1/2 и аналогично γ1ψ1 = γ1V1 ∂n =: C1 ∂n , C1 ∈ L(H˜Γ ; HΓ ), (4.11) ∂ψ2 ∂ψ2 -1/2 1/2 γ2ψ2 = -γ2V2 ∂n =: -C2 ∂n , C2 ∈ L(H˜Γ ; HΓ ). (4.12) 2. Операторы Ck (их называют операторами Стеклова) обладают свойствами положительности: ∂ψk k Ck ∂n , ∂ψk r ∂n )L2,Γ = Ωk 2 |∇ψk | dΩk , _n1 = _e3, _n2 = -_e3, k = 1, 2. Они отображают H˜ -1/2 на H1/2, и потому существуют обратные операторы Γ Γ C-1 1/2 -1/2 k ∈ L(HΓ ; H˜Γ ), которые также обладают свойством положительности. 556 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ Учитывая эти свойства, вернемся к задаче (4.9) и будем считать, в силу уравнений и краевых условий этой задачи, что имеются связи (4.11), (4.12), а тогда ∂ψ1 = C-1 -1 -1 ∂ψ2 -1 -1 -1 ∂n ∂n 1 γ1ψ1 = ρ1 C1 ψ, = -C2 γ2ψ2 = ρ2 C2 ψ. Подставляя эти соотношения во второе условие на Γ из (4.9), приходим к уравнению для нахождения функции ψ: (ρ-1 -1 -1 -1 1 C1 + ρ2 C2 )ψ = γn,1_u1 - γn,2_u2. (4.13) Из свойств положительности операторов C-1 и C-1 следует, что оператор ρ-1C-1 + ρ-1C-1 также 1 2 1 1 2 2 положителен и отображает H1/2 на H˜ -1/2. Поэтому существует обратный оператор Γ Γ (ρ-1 -1 -1 -1 -1 1/2 1/2 1 C1 + ρ2 C2 ) Γ ∈ L(H˜ - ; HΓ ). Далее, ввиду ортогональных разложений (3.2)-(3.6) и описаний подпространств G_ h,Sk (Ωk ) приходим к выводу, что для любого поля _u = {_u1; _u2}∈ J_0,S (Ω) имеют место свойства Γ γn,k_uk ∈ H˜ -1/2, k = 1, 2, и потому правая часть в (4.13) есть элемент этого пространства. Следовательно, уравнение (4.13) однозначно разрешимо и ψ = (ρ-1C-1 + ρ-1C-1 -1 1/2 1 1 2 2 ) (γn,1_u1 - γn,2_u2) ∈ HΓ . Зная значение ψ, теперь решаем задачи Зарембы ∂ψk 1 ±ψk =0 (в Ωk ), 1/2 ∂nk k =0 (на Sk ), k = 1, 2, γk ψk = ρ- ψ (на Γ). Γ Так как ψ ∈ HΓ , то каждая из этих задач имеет единственное решение из H1(Ωk ), и тогда можно считать, что ∇ψk = ρ-1Gk (γk ψk )= ρ-1Gk ψ, k k 1/2 Gk ∈ L(HΓ ; G_ h,Sk (Ωk )), k = 1, 2. (4.14) Проведенные рассуждения приводят к следующему выводу. Лемма 4.2. Ортопроектор P0,S,Γ : J_0,S (Ω) → J_0,S,Γ(Ω) действует по следующему закону: для любого _u = {_u1; _u2}∈ J_0,S (Ω) P0,S,Γ_u = _u - 1 Jρ-1G1 (ρ-1C-1 + ρ-1C-1)- (γn,1_u1 - γn,2_u2); 1 1 1 2 2 (4.15) 2 G2(ρ1 C1 + ρ2 C2 ) (γn,1_u1 - γn,2_u2)� . ρ-1 -1 -1 -1 -1 -1 (Если _u ∈ J_0,S,Γ_u, то, очевидно, P0,S,Γ_u = _u, как это и следует из (4.15).) Замечание 4.1. Имеет место тождество (ρ-1 -1 -1 -1 -1 -1 1 C1 + ρ2 C2 ) = ρ2C2(ρ1C1 + ρ2C2) ρ1C1. Замечание 4.2. Так как для Gk выполнены свойства (4.14), то 1/2 ∇ψ := {∇ψ1; ∇ψ2} =: Gψ : HΓ → G_ h,S (Ω) ⊂ G_ h,S1 (Ω1) ⊕ G_ h,S2 (Ω2). 2. Вторая формула. Получим теперь закон действия ортопроектора P1 := P 1 0,S,Γ : J _1 0,S (Ω) → J _1 0,S,Γ (Ω) (4.16) (см. (3.12), (3.16)). Рассуждения проведем по тому же плану, который был реализован в пункте 4.1 0,S для скалярных полей (потенциалов скоростей), однако теперь для векторных полей из J_1 (Ω). Найдем сначала ортогональное дополнение 0,S (Ω) 8 J_ (Ω). J_1 1 0,S,Γ Для этого понадобится обобщенная формула Грина μk Ek (_ηk , _uk )= _ηk , [-μk P0,Sk ±_uk + ∇p˜k ])L 2(Ωk )- К ПРОБЛЕМЕ МАЛЫХ ДВИЖЕНИЙ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ В НЕПОДВИЖНОМ СОСУДЕ 557 - { γk ηk,1, μk τ13(_uk ))L2(Γ) + γk ηk,2, μk τ23(_uk ))L2(Γ)- (4.17) + γk ηk,3, [-p˜k + μk τ33(_uk )])L2(Γ)� (-1) k-1 0,Sk , ∀_ηk , _uk ∈ J_1 (Ωk ) (см. [2]). (Здесь учтено, что на Γ имеем _n1 = _e3, _n2 = -_e3.) В (4.17) слева стоит скалярное 0,S произведение в J_1 k (Ωk ) (см. (3.9)); далее, в первом слагаемом справа P0,Sk - ортопроектор на J_0,Sk (Ωk ), а выражение -μk P0,Sk (Ωk )±_uk + ∇p˜k ∈ 0,Sk ∗ (J_1 (Ωk ) 0,Sk (после замыкания на гладких функциях _uk ∈ J_1 1/2 (Ωk ) ∩ H_ 2(Ωk )), -1/2 ∇p˜k ∈ G_ h,Sk (Ωk ), μk τj3(_uk ) ∈ H- (Γ), j = 1, 2, -p˜k + μk τ33(_uk ) ∈ HΓ . 0,S,Γ Предположим теперь, что _η ∈ J_1 0,S (Ω), а _u ∈ J 1 (Ω) и ортогонален _η. Тогда, опираясь на (3.18) и (4.17), будем иметь тождество 2 k μ1E1(_η1, _u1)+ μ2E2(_η2, _u2)= \ _ηk , [-μk P0,S ±_uk + ∇p˜k ])L 2(Ωk )- k=1 - γ1η1,1, [μ1τ13(_u1) - μ2τ13(_u2)])L2(Γ) - γ1η1,2, [μ1τ23(_u1) - μ2τ23(_u2)])L2(Γ)- - γ1η1,3[(-p˜1 + μ1τ33(_u1)) - (-p2 + μ2τ33(_u2))])L2(Γ) = 0. Отсюда, пользуясь обычными приемами вариационного исчисления, приходим к следующему выводу. 0,S,Γ Лемма 4.3. Ортогональное дополнение (J_1 (Ω) ⊥ к подпространству J _1 0,S,Γ (Ω) в про- 0,S странстве J_1 0,S (Ω) состоит из слабых решений _v = (_v1; _v2) ∈ J_1 (Ω) краевых задач μ1τj3(_v1) - μ2τj3(_v2)=0 (на Γ), j = 1, 2, [(-p˜1 + μ1τ33(_v1)) - (-p˜2 + μ2τ33(_v2))]=0 (на Γ). -μ1P0,S1 ±_v1 + ∇p˜1 = _0, div_v1 =0 (в Ω1), _v1 = _0 (на S1), -μ2P0,S2 ±_v2 + ∇p˜2 = _0, div_v2 =0 (в Ω2), _v2 = _0 (на S2), (4.18) Опираясь на (4.18), выведем формулу действия ортопроектора P1 из (4.16). Если _u - любой 0,S элемент из J_1 (Ω), то должно быть P1_u = P1{_u1; _u2} = {_u1; _u2}- {_v1; _v2}, (4.19) где {_v1; _v2} - решение задачи (4.18) с дополнительным условием на Γ, которое сейчас получим. Именно, должно выполняться свойство γ1(P1_u)1 = γ2(P1_u)2 (на Γ), откуда с учетом (4.19) получаем, что γ1_v1 - γ2_v2 = γ1_u1 - γ2_u2 =: ϕ_ ∈ H _˜ 1/2 Γ := H˜ 1/2(Γ)(+˙ )H˜ 1/2(Γ)(+˙ )H˜ 1/2 Γ . (4.20) Таким образом, для нахождения _v = {_v1; _v2} возникает векторная задача Стеклова (4.18), (4.20). Переходя к ее решению, будем считать, что на Γ задано векторное поле 3 3 1/2 Γ ψ_ := {-p˜1δj3 + μ1τj3(_u1)}j=1 ={-p˜2δj3 + μ3τj3(_u2)}j=1 ∈ H_ - := (4.21) Γ := (H˜ 1/2(Γ))∗(+˙ )(H˜ 1/2(Γ))∗(+˙ )(H˜ 1/2)∗. Тогда из (4.18) возникает две независимые задачи (их называют вторыми вспомогательными задачами С. Г. Крейна) в областях Ω1 и Ω2: -μk P0,Sk ±_vk + ∇p˜k = _0, div_vk =0 (в Ωk ), _vk = _0 (на Sk ), -p˜k δj3 + μk τj3(_vk )= (ψ_)j =: ψj , j = 1, 2, 3, k = 1, 2. 558 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ Для существования слабого решения этих задач необходимо и достаточно (в областях Ωk с липшицевыми ∂Ωk ), чтобы выполнялось условие (4.21). Эти решения, с использованием формул Грина (4.17), определяются из следующих тождеств: μ1E1(_η1, _v1)= γ1_η1, ψ_)L (Γ), ∀_η1 ∈ J_ 1 2 0,S1 (Ω1), (4.22) μ2E2(_η2, _v2)= - γ2_η2, ψ_)L (Γ), ∀_η2 ∈ J_ 1 2 0,S2 (Ω2), (4.23) L_ 2(Γ) := L2(Γ) ⊕ L2(Γ) ⊕ L2,Γ. Каждая из задач (4.22), (4.23) имеет единственное слабое решение, и тогда можно считать, что μ1_v1 = V1ψ_, μ2_v2 = -V2ψ_, Vk ∈ L(H_ -1/2; J_1 (Ωk )), k = 1, 2. (4.24) Введем еще операторы Стеклова Γ 0,Sk Ck := γk Vk , k = 1, 2, Ck ∈ L(H_ -1/2; _˜ 1/2), (4.25) Γ HΓ переводящие (векторные) данные Неймана в (векторные) данные Дирихле. Тогда из (4.24), (4.25) и (4.20) получаем связь 1 C1 + μ2 C2)ψ_ = ϕ_. (4.26) (μ-1 -1 Здесь снова, как и в п. 4.1, операторы Ck из (4.25) обладают свойствами положительности: Ck ψ_k , ψ_k )L 2(Γ) = Ek (_vk , _vk ), Γ при этом Ck отображает H_ -1/2 на HΓ _˜ 1/2. Поэтому существует ограниченный оператор C-1 _˜ 1/2 1/2 Γ k ∈ L(H- ; H_ Γ ). Отсюда следует, что существует ограниченный обратный положительный оператор (μ-1 -1 -1 _˜ 1/2 1/2 1 C1 + μ2 C2) Γ ∈ L(H- ; H_ Γ ), поэтому уравнение (4.26) однозначно разрешимо и ψ_ = (μ-1C1 + μ-1C2)-1ϕ_. 1 2 Тогда в силу (4.24) и (4.20) имеем _v1 = μ-1V1(μ-1C1 + μ-1C2)-1(γ1_u1 - γ2_u2), 1 1 2 _v2 = -μ-1V2(μ-1C1 + μ-1C2)-1(γ1_u1 - γ2_u2). 2 1 2 Итогом проведенных рассуждений является следующее утверждение. Лемма 4.4. Ортопроектор P1 действует по закону P1_u = _u - {μ-1V1(μ-1C1 + μ-1C2)-1(γ1_u1 - γ2_u2); -μ-1V2(μ-1C1 + μ-1C2)-1(γ1_u1 - γ2_u2)}, 1 1 2 2 1 2 где Vk и Ck - операторы, определенные в (4.24), (4.25). (Если _u = {_u1; _u2}∈ J_0,S,Γ(Ω), то, очевидно, P1_u = _u.) 1. ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАТОРНОГО ПОДХОДА. ПЕРЕХОД К ЗАДАЧЕ КОШИ ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 1. Вспомогательные краевые задачи. Перепишем исходную задачу (2.2)-(2.10) в виде пар соотношений для искомых объектов; тогда уравнения (2.2) принимают вид ( ∂_u1 ∂_u2 ( 1 1 J _ _ - ; ∂t ∂t ρ = ∇p1; 1 ρ ∇p2 2 + {ν1±_v1; ν2±_v2} + f1; f2 , (5.1) νk = μk /ρk , |Ωk f_k = f_ , k = 1, 2. Дальнейшая цель состоит в том, чтобы перейти от (5.1) к уравнению в гильбертовом пространстве J_0,S,Γ(Ω). К ПРОБЛЕМЕ МАЛЫХ ДВИЖЕНИЙ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ В НЕПОДВИЖНОМ СОСУДЕ 559 Для этого применим сначала слева ортопроекторы P0,Sk на подпространства J_0,Sk (Ωk ), k = 1, 2, на первую и вторую составляющие. Будем иметь: ∂ ( 1 1 J _˜ _˜ ∂t {_u1; _u2} = - 1 2 ρ ∇p˜1; ρ ∇p˜2 + {ν1P0,S1 ±_v1; ν2P0,S2 ±_v2} + f1; f2 , (5.2) _vk = I0,k (t)_uk , _˜ = P f , k = 1, 2. fk 0,Sk _k Это соотношение - связь между элементами в J_0,S (Ω). Теперь применим еще слева в (5.2) ортопроектор P0 = P0,S,Γ : J_0,S1 (Ω1) ⊕ J_0,S2 (Ω2)= J_0,S (Ω) → J_0,S,Γ(Ω). Это дает соотношение ∂ ( 1 1 J _˜ _˜ ∂t {_u1; _u2} = -P0 1 2 ρ ∇p˜1; ρ ∇p˜2 + P0 {ν1P0,S1 ±_v1; ν2P0,S2 ±_v2} + P0 f1; f2 . (5.3) Отметим еще одно обстоятельство. Так как в (5.3) ∇p˜k ∈ G_ h,Sk (Ωk ) (см. (3.6)), то Г p˜k dΓ = 0, Γ k = 1, 2. Используя еще соотношения r Γ τ33(_uk )dΓ= 0, k = 1, 2, см. [4, c. 115], получаем, что в граничном условии (2.9) на Γ можно pk |Γ заменить на p˜k |Γ = γk p˜k , k = 1, 2. Учитывая эти факты, представим решение исходной начально-краевой задачи в виде суммы пар векторных полей. Именно, будем считать, что ( 1 1 ρ ρ P0 ∇p˜1; 1 2 ∇p˜2 ( 1 1 ρ ρ = ∇p11; 1 2 ∇p12 ( 1 1 ρ ρ + ∇p21; 1 2 ∇p22 , и потребуем, чтобы наборы {_v1; _v2}, ( 1 1 ρ ρ ∇p11; 1 2 ∇p12 были решениями первой вспомогательной задачи ( 1 1 -P0{ν1P0,S1 ±_v1; ν2P0,S2 ±_v2} + 1 2 ρ ∇p11; ρ ∇p12 = {F_1; F_2} := ∂ ( 1 1 _˜ _˜ = - ∂t {_u1; _u2}- 1 2 ρ ∇p21; ρ ∇p22 + P0{f1; f2}, (5.4) _uk = _0 (на Sk ), k = 1, 2; {-p˜1δj3 + μ1τj3(_v1)}j=1-{-p˜2δj3 + μ2τj3(_v2)}j=1 = _0 (на Γ), 3 3 { а набор 1 ρ1 1 ρ ∇p21; 2 ∇p22} - решением второй вспомогательной задачи для потенциалов (задачи Стеклова): ±p2k =0 (в Ωk ), ∂p2k ∂nk =0 (на Sk ), k = 1, 2, (5.5) 1 ∂p21 = 1 , p ∂p22 21 - p22 = g(ρ1 - ρ2)ζ (на Γ). ρ 1 ∂n ρ 2 ∂n Рассмотрим сначала задачу (5.5). Введем функции ϕk , k = 1, 2, которые являются решениями вспомогательной задачи ±ϕk =0 (в Ωk ), ∂ϕk ∂nk =0 (на Sk ), r ϕk dΓ= 0, k = 1, 2, Γ (5.6) ∂ϕ1 = ∂ϕ2 , ρ γ ϕ § ρ γ ϕ = (ρ § ρ )ζ (на Γ). ∂n ∂n 1 1 1 2 2 2 1 2 560 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ Обозначим ψ := ∂ϕ1 ∂n Γ = ∂ϕ2 ∂n Γ, r ψdΓ= 0. Γ Тогда, как и в (4.9)-(4.12), будем иметь γ1ϕ1 = C1ψ, γ2ϕ2 = -C2ψ, и последнее условие на Γ приводит к связи (ρ1C1 + ρ2C2)ψ = (ρ1 - ρ2)ζ. Отсюда, учитывая, что ρ1C1 + ρ2C2 ∈ L(H˜ -1/2; H1/2) Γ Γ Γ является положительным оператором и действует на H1/2, получаем: ψ = (ρ1 - ρ2)(ρ1C1 + ρ2C2)-1ζ, и потому ϕ1 = (ρ1 - ρ2)V1(ρ1C1 + ρ2C2)-1ζ, ϕ2 = -(ρ1 - ρ2)V2(ρ1C1 + ρ2C2)-1ζ. (5.7) Таким образом, доказано следующее утверждение. Лемма 5.1. Задача (5.6) имеет (единственное) слабое решение тогда и только тогда, когда выполнено условие Это решение дается формулами (5.7). Γ ζ ∈ H1/2. Опираясь на эту лемму, введем оператор G по закону Γ Gζ := {∇ϕ1; ∇ϕ2}∈ G_ h,S,Γ(Ω), G ∈ L(H1/2; G_ h,S,Γ(Ω)) (5.8) (определение G_ h,S,Γ(Ω) см. в (4.2)), а также общий оператор нормального следа γˆn_u := γn,1_u1 = γn,2_u2, _u = {_u1; _u2}∈ J_0,S,Γ(Ω). (5.9) Лемма 5.2. Имеет место соотношение G∗ = (ρ1 - ρ2)γˆn, 1/2 Γ γˆn ∈ L(J_0,S,Γ(Ω); H˜ -1/2). (5.10) Доказательство. Пусть ζ ∈ HΓ , _η = {_η1; _η2}∈ J_0,S,Γ(Ω). Тогда r (Gζ, _η)L 2(Ω) = ρ1 Ω1 r 1 1 2 ∇ϕ1 · _η¯ dΩ + ρ Ω2 2 2 ∇ϕ2 · _η¯ dΩ = = ... = ρ1 γ1ϕ1, γn,1_η1)L2(Γ) - ρ2 γ2ϕ2, γn,2_η2)L2(Γ) = = |γn,1_η1 = γn,2_η2 = γˆn_η| = ρ1γ1ϕ1 - ρ2γ2ϕ2, γˆn_η)L2(Γ) = = (см. последнее условие (5.6))= (ρ1 - ρ2)ζ, γˆn_η)L2(Γ) = ζ, (ρ1 - ρ2)γˆn_η)L2(Γ). Отсюда и следует утверждение леммы. С помощью оператора G из (5.8), функций ϕ1 и ϕ2 из (5.6) и из (5.5) получаем, что в задаче (5.5) p21|Ω1 = gρ1ϕ1, p22|Ω2 = gρ2ϕ2, ( 1 ρ 1∇ p21; 1 ρ ∇p22 2 = gGζ. (5.11) К ПРОБЛЕМЕ МАЛЫХ ДВИЖЕНИЙ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ В НЕПОДВИЖНОМ СОСУДЕ 561 2. Переход к задаче Коши для интегро-дифференциального уравнения. Опираясь на полученные в п. 5.1 выводы, рассмотрим теперь вспомогательную задачу (5.4). Предварительно воспользуемся тождествами, следующими из (4.17). Имеем μ1E1(_η1, _v1)+ μ2E2(_η2, _v2)= _η1, P0,S1 (-μ1±_v1)+ ∇p˜1)L 2(Ω1)+ + _η2, P0,S2 (-μ2±_v2)+ ∇p˜2)L 2(Ω2) + γ1η1,1, [μ1τ13(_v1) - μ2τ13(_v2)])L2(Γ)+ + γ1η1,2, [μ1τ23(_v1) - μ2τ23(_v2)])L2(Γ) + γ1η1,3, [(-p˜1 + μ1τ33(_v1)) - (-p˜2 + μ2τ33(_v2))])L2(Γ), 0,S,Γ ∀_η = {_η1; _η2}∈ J_1 0,S (Ω), _v = {_v1; _v2}∈ J_1 (Ω). (5.12) 0,S,Γ Так как _η = P0_η, _η ∈ J_1 (Ω) ⊂ J_0,S,Γ(Ω), P0 : J_0,S (Ω) → J_0,S,Γ(Ω) - ортопроектор (см. (4.15)), то (5.12) можно переписать в виде 0,S (Ω) μ1E1(_η1, _v1)+ μ2E2(_η2, _v2)= (_η, _v)J 1 = k }k=1 J0,S (Ω) = _η, P0{P0,S (-νk ±_vk )+ ∇p˜k 2 ) + 3 (5.13) 2 + \ γ1η1,j , [(-p˜1δj3 + μ1τj3(_v1)) - (-p˜2δj3 + μ2τj3(_v2))])L (Γ), j=1 приспособленном к формулировке обобщенного решения вспомогательной задачи (5.4). Определение 5.1. Назовем обобщенным решением задачи (5.4) такую функцию _v(t)= {_v1(t); _v2(t)} = {I0,1(t)_u1(t); I0,2(t)_u2(t)} переменной t со значениями в J_0,S (Ω), для которой выполнено тождество, следующее из (5.13): J 1 (_η, _v(t)) 0,S (Ω) = (_η, - d_u dt J0,S (Ω) 0,S,Γ - gGζ + p_(t)) , ∀_η ∈ J_1 (Ω). (5.14) Здесь использовано обозначение (5.8) и последняя формула (5.11), а производные ∂/∂t заменены на d/dt (для функций переменной t со значениями в гильбертовом пространстве) и p_(t) := P0{f_1; f_2}. (5.15) Перейдем от (5.14) к интегро-дифференциальному уравнению в пространстве J_0,S,Γ(Ω). Так как J 1 (_η, _v(t)) 0,S (Ω) J = (P1_η, _v(t)) 1 0,S (Ω) J = (_η, P1_v(t)) 1 0,S (Ω) == (A˜1/2 _η, A˜1/2 P1_v(t))J 0,S,Γ (Ω) , (5.16) где J_1 0,S,Γ A˜ - оператор гильбертовой пары (J_1 (Ω); J_0,S,Γ(Ω)), см. (3.16)-(3.20), P1 : J _1 0,S (Ω) → 0,S,Γ(Ω) - ортопроектор, то тождество (5.14) с учетом (5.16) равносильно соотношению ˜ d_u AP1_v(t)= - dt - gGζ + p_(t), если правая часть - функция t со значениями в J_0,S,Γ(Ω). Теорема 5.1. Исходная начально-краевая задача (2.2)-(2.10) о малых движениях двух вязкоупругих жидкостей равносильна (после отделения тривиальных соотношений) задаче Коши d_u dt = -A˜P1(I0(t)_u) - gGζ + p_(t), dζ (5.17) = γˆn_u, _u(0) = _u0, ζ(0) = ζ0, dt для системы двух уравнений, из которых первое является интегро-дифференциальным уравнением первого порядка, t r }k=1 _v(t)= I0(t)_u(t)= {_uk 2 + {αk 0 }k=1, (5.18) e-βk (t-s) uk (s)ds 2 а второе - дифференциальным уравнением первого порядка. Решение _u(t) = {_u1(t); _u2(t)}, ζ(t) является функцией t со значениями в соответственно. J_0,S,Γ(Ω) и L2,Γ, 562 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ Замечание 5.1. Если жидкости невязкоупругие, то αk = 0 (k = 1, 2) и _v(t) ≡ _u(t). Эта задача разобрана в [13, п. 8.6, c. 133-140]. 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЗАДАЧИ К СТАНДАРТНОМУ ВИДУ 1. Переход к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Приведем задачу (5.17) к более симметричному виду, воспользовавшись формулой (5.10). Осуществим в (5.17) замену искомой функции по формуле Тогда приходим к задаче Коши η = (g(ρ1 - ρ2)1/2)ζ. (6.1) d_u dt dη = -A˜P1(I0(t)_u) - (g/(ρ1 - ρ2))1/2Gη + p_(t) (6.2) dt = (g/(ρ1 - ρ2)1/2G∗_u), _u(0) = _u0, η(0) = η0. Дальнейшее рассмотрение связано с выделением в задаче (6.2) операторной матрицы, отвечающей системе вязкоупругих жидкостей, изучению свойств этой матрицы, ее расширению (путем замыкания) до максимального аккретивного оператора. Параллельно будет осуществлен переход к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Введем в (6.2) новую искомую функцию t 1/2 r βk (t-s) 2 1 1 0,S1 0,S2 w_ (t) := {αk e- 0 _uk (s)ds}k=1 ∈ J_ (Ω1) ⊕ J_ (Ω2)= J_0,S (Ω), (6.3) см. (5.18), а также операторы 2 α1/2 := {α1/2} 2 , β := {βk } , (6.4) действующие в J_0,S (Ω). Тогда k k=1 k=1 dw_ 1/2 t 1/2 r βk (t-s) 2 1/2 dt = {αk _uk - βk [αk e- 0 _uk (s)ds]}k=1 = α _u - βw_ . (6.5) C учетом (6.3)-(6.5) задачу (6.2) можно переписать в виде задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка: d_u dt dw_ = -A˜(_u + P1α1/2w_ ) - (g/(ρ1 - ρ2))1/2G_η + p_(t), - = α1/2_u βw_ , _u(0) = _u0, dt dη w_ (0) = _0, (6.6) = (g/(ρ1 - ρ2))1/2G∗_u, η(0) = η0, p_(t) := P0{P0,S f_1; P0,S f_2}. dt 1 2 Коротко эту задачу можно записать в виде A - dz = ˜z + p(t), z(0) = z0, dt ⎛ A˜ A˜P1α1/2 (g/(ρ1 - ρ2))1/2G ⎞ ⎛ _u ⎞ ⎛ p_(t) ⎞ ˜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ _ ⎠ A= -α1/2P1 β 0 -(g/(ρ1 - ρ2))1/2G∗ 0 0 , z = w_ η , p(t)= 0 . 0 К ПРОБЛЕМЕ МАЛЫХ ДВИЖЕНИЙ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ В НЕПОДВИЖНОМ СОСУДЕ 563 2. Дополнительная симметризация. Осуществим в (6.6) еще одну замену w_ = A-1/2ψ_, Тогда из второй строчки (6.6) имеем соотношение d ψ_ ∈ J_0,S (Ω). 1 - (A-1/2ψ_)= α1/2P _u βA-1/2ψ_, (6.7) dt и если _u(t) - непрерывная по t функция со значениями в J _1 0,S,Γ (Ω), а ψ_(t) - со значениями в 0,S J_0,S (Ω), то правая часть в (6.7) непрерывна по t со значениями в J_1 (Ω) = D(A1/2). Поэтому к обеим частям в (6.7) можно применить оператор A d_u 1/2 . В итоге вместо (6.6) возникает задача Коши dt dψ_ dt dη = -(A˜_u + A˜P1α1/2A-1/2ψ_) - bGη + p_(t), = A1/2α1/2P1_u - A1/2βA-1/2ψ_, _u(0) = _u0, ψ_(0) = _0, (6.8) dt = bG∗_u, η(0) = (g(ρ1 - ρ2))1/2ζ0, b := (g/(ρ1 - ρ2))1/2 > 0. Эта система снова коротко переписывается в виде dy где операторная матрица -A = y + p(t), y(0) = y0, y = (_u; ψ_; η)τ , (6.9) dt ⎛ A˜ A˜P1α1/2A-1/2 bG ⎞ A := ⎝ -A1/2α1/2P1 A1/2βA-1/2 0 -bG∗ 0 0 ⎠ (6.10) задана на области определения D(A)= D(A˜) ⊕ D2 ⊕ D(G) (6.11) и действует в пространстве J_0,S,Γ(Ω) ⊕ J_0,S (Ω) ⊕ L2,Γ. Здесь D2 := {ψ_ ∈ J_0,S (Ω) : P1α1/2A-1/2ψ_ ∈ D(A˜)}. (6.12) 0,S,Γ Замечание 6.1. Оператор P1α1/2A-1/2 переводит пространство J_0,S (Ω) в J_1 (Ω) = D(A˜1/2) ⊃ D(A˜), причем D(A˜) плотно в D(A˜1/2). Изучим теперь общие свойства оператора A из (6.10), (6.11). Лемма 6.1. Операторная матрица A допускает факторизацию в виде произведения трех матриц с симметричным окаймлением средней матрицы: ⎛ A˜1/2 0 0 ⎞⎛ I A˜1/2P1α1/2A-1/2 bA˜-1/2G ⎞⎛ A˜1/2 0 0 ⎞ A=⎝ 0 I 0 ⎠⎝ -A1/2α1/2P1A˜-1/2 A1/2βA-1/2 0 ⎠⎝ 0 I 0 ⎠. (6.13) 0 0 I Лемма 6.2. Операторы -bG∗A˜-1/2 0 0 0 0 I A˜1/2P1α1/2A-1/2 : J_0,S (Ω) → J_0,S,Γ(Ω), A1/2α1/2P1A˜-1/2 : J_0,S,Γ(Ω) → J_0,S (Ω) (6.14) ограничены и взаимно сопряжены. Доказательство. Ограниченность этих операторов проверяется непосредственно. Например, для оператора A˜1/2P1α1/2A-1/2 имеем свойства 0,S A-1/2 ∈ L(J_0,S (Ω); J_1 0,S (Ω)), α1/2 ∈ L(J_1 (Ω)), 0,S P1 ∈ L(J_1 (Ω); J _1 0,S,Γ (Ω)) (см. лемму 4.3), _ A ∈ L(J ˜1/2 _1 0,S,Γ (Ω); J0,S,Γ(Ω)), и потому имеет место первое свойство ограниченности в (6.14). Второе свойство из (6.14) проверяется аналогично. 564 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ Проверим теперь свойство взаимной сопряженности этих операторов. Для любых _u ∈ J_0,S,Γ(Ω), ψ_ ∈ J_0,S (Ω) имеем J (A˜1/2P1α1/2A-1/2ψ_, _u) 0,S,Γ 0,S,Γ(Ω) = (Ω) = (P1α1/2A-1/2ψ_, A˜-1/2_u)J 1 = (α1/2A-1/2ψ_, P1A˜-1/2_u)J 1 -1/2 _ 1/2 ˜-1/2 _ 1/2 1/2 ˜-1/2 0,S (Ω) = (A ψ, α P1A J 1 _u) 0,S (Ω) = (ψ, A α P1A _u)J 0,S (Ω). Здесь при выводе были использованы свойства (3.14) и (3.18) для операторов A и A˜, а также 0,S свойство самосопряженности оператора α1/2 в J_1 (Ω), которое проверяется непосредственно. Замечание 6.2. Из определения оператора β (см. (6.4)) и структуры оператора A (см. (3.13)) следует, что A1/2βA-1/2 = β. Лемма 6.3. Справедливо соотношение A˜-1/2G = (G∗A˜-1/2)∗| D(G) , (6.15) причем замыкание по непрерывности оператора A˜-1/2G совпадает с (G∗A˜-1/2)∗. Доказательство. Убедимся сначала, что оператор G∗A˜-1/2 : J_0,S,Γ(Ω) → L2,Γ ограничен и даже 0,S,Γ компактен. Действительно, A˜-1/2 ∈ L(J_0,S,Γ(Ω); J_1 (Ω)), а оператор G∗ = (ρ1 - ρ2)γˆn, согласно 0,S,Γ определению γˆn (см. (5.9)) и теореме Гальярдо [11], ограничено действует из J_1 (Ω) ⊂ H_ 1(Ω) 1/2 1/2 на H˜Γ ⊂ HΓ ⊂→⊂→ L2,Γ. Пусть теперь η ∈ D(G), _u ∈ J_0,S,Γ(Ω). Тогда (A Gη, _u) ˜-1/2 J0,S,Γ(Ω) J0,S,Γ(Ω) = (Gη, A˜-1/2_u) 1/2 = (η, G∗A˜-1/2_u)L 2,Γ . Отсюда и следует (6.15), и из плотности D(G) ≡ HΓ (см. (5.8)) в L2,Γ получаем, что оператор A˜-1/2G ограничен (и даже компактен) на плотном множестве и поэтому допускает расширение путем замыкания до оператора A˜-1/2G = (G∗A˜-1/2)∗. 3. ТЕОРЕМЫ О КОРРЕКТНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ 1. Свойства основной операторной матрицы. Опираясь на приведенные выше свойства коэффициентов операторной матрицы A (см. (6.10)-(6.13) и леммы 6.1-6.3), установим общие свойства этой матрицы. Лемма 7.1. Операторная матрица (6.10) является аккретивной в пространстве J_0,S,Γ(Ω) ⊕ J_0,S (Ω) ⊕ L2,Γ =: H, т. е. Re(Ay, y)H ;? 0, ∀y ∈ D(A) ⊂ H. Доказательство. В силу факторизации (6.13) достаточно убедиться, что средний множитель ⎛ I A˜1/2P1α1/2A-1/2 bA˜-1/2G ⎞ J0 := ⎝ -A1/2α1/2P1A˜-1/2 β 0 ⎠ -bG∗A˜-1/2 0 0 обладает свойством аккретивности на множестве D(J0) := J_0,S,Γ(Ω) ⊕ J_0,S (Ω) ⊕ D(G). Имеем J ˜-1/2 1/2 -1/2 _ Re (J0y, y)H = Re (_u, _u)J 0,S,Γ(Ω) + (A P1α A ψ, _u)J 0,S,Γ(Ω)+ J0,S,Γ(Ω) +b(A˜-1/2Gη, _u) J0,S (Ω) - (A1/2α1/2P1A˜-1/2_u, ψ_) 0,S + (βψ_, ψ_)J (Ω)- (7.1) -b(G∗A˜-1/2_u, η)L 2,Γ = ||_u|| 2 J 0,S,Γ(Ω) 0,S + (βψ_, ψ_)J (Ω) ;? 0. Здесь при выводе были использованы свойства взаимной сопряженности операторов из леммы 6.2 (второе и четвертое слагаемые справа), а также утверждение леммы 6.3 (третье и шестое слагаемые). К ПРОБЛЕМЕ МАЛЫХ ДВИЖЕНИЙ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ В НЕПОДВИЖНОМ СОСУДЕ 565 Введем операторную матрицу Тогда для Ja из (7.1) имеем Ja := J0 + a diag(0; 0; I), a > 0. (7.2) Re(J y, y)H = ||_u||J 2 a 0,S,Γ 0,S (Ω) + (βψ_, ψ_)J (Ω) 2 + a||η||L 2,Γ H ;? c||y||2 , c > 0, (7.3) так как β - положительно определенный оператор (см. (6.4), βk > 0, k = 1, 2). Из (7.2), (7.3) следует, что операторная матрица A из (6.13) принимает вид A = diag(A˜1/2; I; I)Jadiag(A˜1/2; I; I) - a diag(0; 0; I) =: Aa - a diag(0; 0; I). (7.4) При этом оператор Aa представлен в виде произведения трех сомножителей, каждый из которых имеет ограниченный обратный. Поэтому Aa допускает расширение путем замыкания среднего сомножителя, и в итоге возникает максимальный равномерно аккретивный оператор. Aa Лемма 7.2. Замыкание ¯ оператора Aa представляется в виде ¯ ˜ ¯ ˜ Aa = diag(A1/2; I; I)Jadiag(A1/2; I; I), ⎛ ¯ Ja = ⎝ I -A1/2α1/2P1 A˜-1/2 A˜1/2P1α1/2A-1/2 b(G∗A˜-1/2)∗ ⎞ β 0 ⎠ , Ja где ¯ -bG∗A˜-1/2 0 a - равномерно аккретивный оператор, для которого выполнено свойство (7.3) (с заме- Ja ной Ja → ¯ ). При этом D( ¯ )= Aa Jy = (_u; ψ_; η)τ : _u ∈ D(A˜1/2), A˜1/2_u + A˜-1/2P1α1/2A-1/2ψ_+ Aa +b(G∗A˜-1/2)∗η ∈ D(A˜1/2) , R( ¯ )= H, (7.5) Aa и оператор ¯ Aa действует на D( ¯ ) по закону ¯ ⎛ A˜1/2(A˜1/2_u + A˜1/2α1/2P1A-1/2ψ_ + b(G∗A˜-1/2)∗η) ⎞ Aay = ⎝ -A1/2α1/2P1_u + βψ_ -bG∗_u + aη ⎠ . (7.6) 2. Теорема о разрешимости задачи Коши. Вернемся к задаче (6.9)-(6.13) и перепишем ее с учетом (7.4) в виде dy dt = -(Aa - aP3)y + p(t), y(0) = y0 = (_u0; _0; η0)τ , y = (_u; ψ_; η)τ , P3 := diag(0; 0; I). (7.7) Рассмотрим также аналогичную задачу с замкнутым максимальным аккретивным оператором: dy Aa dt = -( ¯ - aP3)y + p(t), y(0) = y0. (7.8) Теорема 7.1. Пусть в исходной начально-краевой задаче (2.2)-(2.10) выполнены условия _u0 = {_u0; _u0}∈ D(A˜) ⊂ D(A˜1/2)= J_1 (Ω), ζ0 = H1/2, 1 2 0,S,Γ Γ (7.9) f_k (t, x) ∈ C1([0,T ]; L_ 2(Ωk )), k = 1, 2. Aa Тогда задача Коши (7.8) имеет единственное сильное решение y(t) на отрезке [0,T ], т. е. y(t) ∈ C([0,T ]; D( ¯ )), dy/dt ∈ C([0,T ]; H), выполнено уравнение (7.8) при любом t ∈ [0,T ] и начальное условие y(0) = y0. Aa Доказательство. Так как согласно лемме 7.2 оператор ¯ является максимальным равномер- Aa но аккретивным оператором, а ¯ - aP3 - максимальным аккретивным оператором, то оператор -( Aa ¯ - aP3) является генератором сжимающей полугруппы, действующей в гильбертовом пространстве H = J_0,S,Γ(Ω) ⊕ J_0,S (Ω) ⊕ L2,Γ. Поэтому для разрешимости задачи (7.8) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия (см. [6, c. 166]): y0 = (_u0; ψ_0; η0)τ ∈ D( ¯ - aP )= D( ¯ ), p(t)= (p_(t); _0; 0)τ ∈ C1([0,T ]; H). (7.10) Aa 3 Aa 566 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ Проверим, что условия (7.9) являются достаточными для выполнения соотношений (7.10). В самом деле, если выполнены условия (7.9) для f_k (t, x), то P0,Sk f_k ∈ C 1 ([0,T ]; J_0,Sk (Ωk )), k = 1, 2, а _ _ 1 _ _ τ потому P0{P0,S1 f1; P0,S2 f2} = p_(t) ∈ C ([0,T ]; J0,S,Γ(Ω)) (см. (5.15)). Поэтому p(t)= (p_(t); 0; 0) ∈ C1([0,T ]; H), т. е. последнее условие в (7.10) выполнено. Далее, если выполнены условия (7.9) для _u0 и ζ0, то при ϕ_0 = _0 имеем свойство A˜1/2_u0 + _0+ bA˜-1/2Gη0 ∈ D(A˜1/2) (7.11) Γ (см. (7.5)), так как по лемме 6.3 (G∗A˜-1/2)∗| (g(ρ1 - ρ2))1/2ζ0 ∈ H1/2 (см. (6.1)). D(G) Γ = A˜-1/2G, D(G) = H1/2 (см. (5.8)) и η0 = Таким образом, при выполнении условий (7.9) имеют место условия (7.10). Значит, задача (7.8) имеет единственное сильное решение на отрезке [0,T ]. Теорема 7.2. При выполнении условий (7.9) задача (7.7) также имеет единственное сильное решение на отрезке [0,T ]. Aa Доказательство. Если выполнены условия (7.9), то по теореме 7.1 задача (7.8) имеет сильное решение на отрезке [0,T ]. Это означает, согласно закону (7.6) для оператора ¯ , что имеют место три уравнения d_u dt dψ_ = -A˜1/2(A˜1/2_u + A˜1/2P1α1/2A-1/2ψ_ + b(G∗A˜-1/2)∗η)+ p_(t), 1 - = A1/2α1/2P _u βψ_, _u(0) = _u0, dη dt dt = bG∗_u, η(0) = (g(ρ1 - ρ2))1/2ζ0, ψ_(0) = _0, где все слагаемые являются непрерывными функциями t ∈ [0,T ] со значениями в J_0,S,Γ(Ω), J_0,S (Ω) и L2,Γ, соответственно. При исследовании задачи Коши (6.8)-(6.12) возможен еще один подход, связанный с факторизацией операторной матрицы (6.10) по Шуру-Фробениусу. Лемма 7.3. Операторная матрица A из (6.10) допускает факторизацию вида ⎛ A˜ A˜P1α1/2A-1/2 bG ⎞ A = ⎝ -A1/2α1/2P1 A1/2βA-1/2 0 ⎠ = -bG∗ 0 0 ⎛ I 0 0 I 0 ⎠ ⎝ 0 β + QQ∗ bQQ+ 1 ⎠ ⎝ 0 I 0 ⎠ , (7.12) 0 I 0 bQ1Q∗ b2Q1Q+ 1 0 0 I = ⎝ -QA˜-1/2 -bQ1A˜-1/2 ⎞ ⎛ A˜ 0 0 ⎞ ⎛ I 1 A˜-1/2Q∗ bA˜-1/2Q+ ⎞ Q∗ := A˜1/2P1α1/2A-1/2 ∈ L(J_0,S (Ω); J_0,S,Γ(Ω)), Q1 := G∗A˜-1/2 ∈ L(J_0,S,Γ(Ω); H˜ 1/2 ⊂ H1/2), Γ Γ (7.13) Q = A1/2α1/2P1A˜-1/2 ∈ L(J_0,S,Γ(Ω); J_0,S (Ω)), Q+ -1/2 1/2 1 1 = A˜ 0,S,Γ G ∈ L(HΓ ; J_ (Ω)). A Замыкание ¯ операторной матрицы A представляется в виде ⎛ I 0 0 ¯ ⎝ ˜ ⎞ ⎛ A˜ ⎠ ⎝ 0 0 ⎞ ⎛ I 1 ⎠ ⎝ 1 A˜-1/2Q∗ bA˜-1/2Q∗ ⎞ ⎠ A = -QA-1/2 I 0 0 β + QQ∗ βQQ∗ 0 I 0 , (7.14) -bQ1A˜ 0 I 0 bQ1Q b Q1Q1 0 0 I -1/2 ∗ 2 ∗ Q∗ ¯+ 1 := Q1 (см. (6.15)), и этот оператор действует на области определения D( ¯)= {y = (_u; ψ_; η)τ : _u + A˜-1/2Q∗ψ_ + bA˜-1/2Q∗η ∈ D(A˜)}, A 1 К ПРОБЛЕМЕ МАЛЫХ ДВИЖЕНИЙ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ В НЕПОДВИЖНОМ СОСУДЕ 567 совпадающей, очевидно, с (7.5), по закону (сравн. с (7.6)) 1 ¯ ⎛ A˜(_u + A˜-1/2Q∗ψ_ + bA˜-1/2Q∗η) ⎞ Ay = ⎝ -A1/2α1/2P1_u + βψ_ -bG∗_u A ⎠ , y ∈ D( ¯). Доказательство. Факторизация (7.12), (7.13) проверяется непосредственно. Далее, по лемме 6.2 получаем, что операторы Q и Q∗ взаимно сопряжены, а из леммы 6.3 имеем связи Q+ ∗ ¯+ ∗ 1 = Q1|D(G), Q1 = Q1. Замечание 7.1. Из леммы 7.3 следует, что крайние сомножители в (7.14) обратимы и равны сумме единичного и компактного оператора, а средний множитель - квазидиагональный самосопряженный неотрицательный оператор, так как β + QQ∗ βQQ∗ ψ_ ψ_ = (βψ, ψ) + Q∗ψ + bQ∗η 2 ;? 0. (7.15) 1 1 bQ1Q∗ b2Q1Q∗ η · η _ _ J 0,S (Ω) || _ 1 ||J 0,S,Γ (Ω) Рассмотрим теперь, как и выше, задачу Коши с замкнутым оператором из (7.14): dy dt = -(J - F1)A0(J + F2)y + p(t), y(0) = y0, (7.16) ⎛ F1 = ⎝ 0 0 0 ⎞ 0 0 ⎠ , F2 = F∗ ∈ S∞(H), A0 := d 1 iag(A˜; A00), (7.17) 0 0 QA˜-1/2 1 bQ∗A˜-1/2 где A00 - матричный ограниченный неотрицательный оператор из (7.15). Теорема 7.3. Пусть в задаче Коши (7.16) выполнены первые два условия (7.9), а условия для f_k (t, x) заменены менее ограничительными: f_k (t, x) ∈ Cδ ([0,T ]; L_ 2(Ωk )), k = 1, 2, 0 < δ � 1. (7.18) Тогда задача (7.16) имеет единственное сильное решение y(t) на отрезке [0,T ]. Доказательство. Осуществим в задаче (7.16) замену искомой функции: (J + F2)y(t) =: w(t). (7.19) Тогда для w(t) возникает задача Коши dw где учтено, что dt = -(J + F2)(J - F1)A0w + p(t), w(0) = w0, (7.20) (J + F2)-1 = (J - F2), (J + F2)p(t)= p(t). В задаче (7.20) оператор -A0 является самосопряженным неотрицательным оператором и потому генератором аналитической полугруппы операторов, действующих в пространстве H. Так как операторы Fk из (7.17) - компактные, то оператор -(J + F2)(J - F1)A0 также является генератором полугруппы, аналитической в секторе, содержащем положительную полуось. Значит, уравнение (7.20) является абстрактным параболическим, и для его сильной разрешимости требуется выполнение условий w(0) ∈ D(A0)= D(A˜) ⊕ J_0,S (Ω) ⊕ L2,Γ, p(t) ∈ Cδ ([0,T ]; H), 0 < δ � 1. (7.21) Однако при выполнении первых двух условий (7.9), как и при доказательстве теоремы 7.1, можно проверить (см. (7.11)), что w(0) ∈ D(A0). Далее, при выполнении условий (7.18) аналогично убеждаемся, что для p(t) выполнено условие (7.21). Значит, задача Коши (7.20) имеет на отрезке [0,T ] единственное сильное решение w(t) ∈ C1([0,T ]; H) ∩ C([0,T ]; D(A0)). 568 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ Отсюда, возвращаясь от (7.20) к задаче Коши (7.16) путем обратной замены (7.19), приходим к выводу, что задача (7.16) имеет единственное сильное решение на отрезке [0,T ]. 3. О существовании обобщенного решения исходной начально-краевой задачи. Напомним (теорема 5.1), что исходная начально-краевая задача равносильна (после отделения тривиальных соотношений) задаче Коши (5.17). Определение 7.1. Будем говорить, что исходная начально-краевая задача (2.2)-(2.10) имеет обобщенное решение {_u(t); ζ(t)} на отрезке [0,T ], если выполнены следующие условия: 1. _u(t) ∈ C1([0,T ]; J_0,S,Γ(Ω)); 2. _v(t)= I0(t)_u(t) (см. (5.18)) обладает свойством P1_v(t) ∈ C([0,T ]; D(A˜)); Γ 3. ζ(t) ∈ C1([0,T ]; H1/2); Γ 1. для любого t ∈ [0,T ] выполнена система уравнений (5.17), где все слагаемые в первом уравнении - элементы из C([0,T ]; J_0,S,Γ(Ω)), а во втором - элементы из C([0,T ]; H1/2); 2. выполнены начальные условия (5.17). Теоремы 7.1 либо 7.3 позволяют доказать существование обобщенного решения исследуемой начально-краевой задачи. Теорема 7.4. Пусть выполнены условия теорем 7.1 либо 7.3. Тогда задача (2.2)-(2.10) имеет единственное обобщенное решение на отрезке [0,T ] (в смысле определения 7.1). Доказательство. Если условия теоремы 7.1 либо 7.3 выполнены, то каждая из задач (7.8) либо (7.16) имеет сильное решение на отрезке [0,T ]. В частности, для задачи (7.8) получаем, что справедлива система уравнений d_u dt dψ_ 1 = -A˜1/2(A˜1/2_u + Q∗ψ_ + bQ∗η)+ p(t), - = QA˜1/2_u βψ_, _u(0) = _u0, dt dη ψ_(0) = _0, (7.22) dt = bQ1A˜1/2_u, η(0) = (g(ρ1 - ρ2))1/2ζ0. Здесь в первом уравнении все слагаемые - элементы из C([0,T ]; J_0,S,Γ(Ω)), во втором - из C([0,T ]; J_0,S (Ω)), а в третьем - из C([0,T ]; H˜ 1/2), H˜ 1/2 ⊂ H1/2. Поясним утверждения о последних двух свойствах. Γ Γ Γ 0,S,Γ Из второго уравнения имеем ϕ_(t) := QA˜1/2_u = A1/2α1/2P1_u = A1/2α1/2_u для _u ∈ J_1 (Ω) = D(A˜1/2), причем ϕ_(t) ∈ C([0,T ]; J_0,S,Γ(Ω)). Отсюда в силу свойств α1/2 и A1/2 (см. (6.4), (3.13)) получаем, что _u(t) ∈ C([0,T ]; D(A˜1/2)). Тогда Q1A˜1/2_u = G∗_u = (ρ1 - ρ2)γˆn_u, и потому эта функция - элемент из C([0,T ]; H˜ 1/2), H˜ 1/2 ⊂ H1/2. Γ Γ Из третьего уравнения (7.22) имеем t r η(t)= (g(ρ1 - ρ2))1/2ζ(t)= η0 + b 0 Γ t r Q1A˜1/2_u(s)ds = (g(ρ1 - ρ2))1/2ζ0 + b 0 t G∗_u(s)ds = Тогда (лемма 6.3) r = g(ρ1 - ρ2)1/2[ζ0 + 0 Γ γˆn_u(s)ds] ∈ C1([0,T ]; H˜ 1/2). t bQ∗η(t)= bQ+η(t)= gA˜-1/2Gζ(t)= gA˜-1/2(Gζ0 + r Gγˆ _u(s)ds) C([0,T ]; (A˜1/2)), 1 1 и потому в (7.22) n ∈ D 0 1 A˜1/2(A˜1/2_u + Q∗ψ_ + bQ∗η)= A˜1/2(A˜1/2_u + Q∗ψ_)+ bGζ. К ПРОБЛЕМЕ МАЛЫХ ДВИЖЕНИЙ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ В НЕПОДВИЖНОМ СОСУДЕ 569 Далее, из второго уравнения (7.22) получаем t t и потому ψ_(t)= A1/2w_ (t)= r 0 e-β(t-s)QA˜1/2_u(s)ds = r 0 e-β(t-s)A1/2α1/2P1_u(s)ds, t r Q∗ψ_ = A˜1/2P1α1/2A-1/2 0 Отсюда следует, что t r e-β(t-s)A1/2α1/2P1_u(s)ds = A˜1/2 0 t P1αe-β(t-s)P1_u(s)ds. r A˜1/2_u + Q∗ψ_ = A˜1/2(_u(t)+ 0 P1αe-β(t-s)P1_u(s)ds)= A˜1/2P1I0(t)_u(t). Таким образом, при выполнении условий теоремы задача Коши для системы уравнений (7.22) преобразована в задачу Коши (5.17): d_u dt = -A˜P1(I0(t)_u) - gGζ + p(t), dζ = γˆn_u, _u(0) = _u0, ζ(0) = ζ0, dt т. е., согласно определению 7.1, исходная задача (2.2)-(2.10) имеет обобщенное решение {_u(t); ζ(t)} на отрезке [0,T ]. 4. К задаче о нормальных колебаниях гидросистемы. Рассмотрим теперь постановку задачи о малых нормальных движениях исследуемой гидросистемы, т. е. о таких решениях однородной задачи (7.22), которые зависят от t по закону (_u(t); ψ_(t); η(t))τ = (_u; ψ_; η)τ e-λt, где λ ∈ C - комплексный декремент затухания, а (_u; ψ_; η)τ - амплитудный элемент. Тогда для отыскания амплитудных элементов возникает спектральная задача 1 A˜1/2(A˜1/2_u + Q∗ψ_ + bQ∗η)= λ_u, В случае λ =0 приходим к соотношениям -QA˜1/2_u + βψ_ = λψ_, -bQ1A˜1/2_u = λη. (7.23) 1 A˜1/2(A˜1/2_u + Q∗ψ_ + bQ∗η)= _0, βψ_ = QA˜1/2_u, bQ1A˜1/2_u = _0. Из первой связи с учетом второй и третьей получаем (7.24) (A˜1/2_u, A˜1/2_u) + (Q∗β-1QA˜1/2_u, A˜1/2_u) + (bQ∗η, A˜1/2_u) = ||A˜1/2_u||2 + J0,S,Γ(Ω) + ||β-1/2QA˜1/2_u||2 + (η, bQ1A˜1/2_u)L J0,S,Γ(Ω) 1 = ||A˜1/2_u||2 J0,S,Γ(Ω) + ||β-1/2QA˜1/2_u||2 J 0,S,Γ(Ω) = 0, J 0,S (Ω) 2,Γ J 0,S,Γ(Ω) J 0,S (Ω) откуда следует, что _u = _0, а потому и ψ_ = β-1QA˜1/2_u = _0. Далее, из (7.24) имеем 1η = A˜ (G A ) η = (G ) η =: G¯η = Gη = 0, A˜1/2Q∗ 1/2 ∗ ˜-1/2 ∗ ∗ ∗ Γ так как G - ограниченный оператор из H1/2 на G_ h,S,Γ(Ω) (см. (5.8)). Отсюда и из леммы 5.1 (см. также (5.6)) получаем, что η = 0. Таким образом, задача (7.24) имеет лишь тривиальное решение, т. е. λ =0 не является собственным значением задачи (7.23). 570 Н. Д. КОПАЧЕВСКИЙ Опираясь на этот факт, преобразуем при λ /= 0 задачу (7.23) к спектральной проблеме для одного искомого элемента, исключив ψ_ и η (при условии λ∈/ σ(β)). Имеем ψ_ = (β - λI)-1QA˜1/2_u, η = -λ-1bQ1A˜1/2_u, и тогда _u является собственным элементом задачи 1 _u + A˜-1/2Q∗(β - λI)-1QA˜-1/2_u = λA˜-1_u + b2λ-1A˜-1/2Q∗Q1A˜1/2_u. Осуществляя еще здесь замену приходим к спектральной проблеме A˜1/2_u =: ϕ_ ∈ J_0,S,Γ(Ω), 1 L(λ)ϕ_ := (I + Q∗(β - λI)-1Q - λA˜-1 - b2λ-1Q∗Q1)ϕ_ = _0 (7.25) в пространстве J_0,S,Γ(Ω) для операторного пучка L(λ). В этом пучке Q∗(β - λI)-1Q = A˜1/2P1α(β - λI)-1P1A˜-1/2 · оператор-функция, принимающая ограниченные значения из L(J_0,S,Γ(Ω)), A˜-1 - положительный компактный оператор, действующий в J_0,S,Γ(Ω), а 1Q1 = A˜ (G¯G )A˜ Q∗ -1/2 ∗ -1/2 · неотрицательный компактный оператор, действующий в J_0,S,Γ(Ω). Исследование спектральной проблемы (7.25) будет проведено в другой работе. 8. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ В работе [5] получены формулы для ортопроекторов P0 и P1 (см. раздел 4) в случае, когда неподвижный сосуд заполнен не двумя, а тремя несмешивающимися вязкоупругими жидкостями. Это позволяет применить операторный подход к проблеме малых движений системы из трех вязкоупругих жидкостей, находящихся в полностью заполненном неподвижном сосуде, свести проблему к задаче Коши вида (7.8) и доказать теорему о сильной разрешимости исходной задачи на произвольном промежутке времени. Кроме того, как уже упоминалось во введении, переход от интегро-дифференциального уравнения первого порядка (см. (6.2)) к системе дифференциальных уравнений первого порядка, осуществленный в пункте 6.1 для модели Олдройта вязкоупругих жидкостей (m = 1), можно осуществить также и для жидкостей обобщенной модели Олдройта (m > 1) с помощью аналогичных приемов. Наконец, имея формулы для ортопроекторов P0 и P1 для проблемы малых движений системы из произвольного числа несмешивающихся вязкоупругих жидкостей, заполняющих неподвижный контейнер, можно с помощью примененного в данной работе подхода доказать теорему о сильной разрешимости задачи о малых движениях гидросистемы на произвольном отрезке времени. При этом для нахождения формул действия ортопроекторов P0 и P1 возникают скалярные и векторные задачи сопряжения, описанные в случае трех жидкостей в работе [5]. Автор благодарит Е. В. Семкину за сотрудничество, связанное с исследованием обсуждаемых здесь проблем.