Том 64, № 1 (2018): Дифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения

Рассмотрена смешанная задача для одномерной (по пространственной переменной) параболической системы второго порядка с Дини-непрерывными коэффициентами в области с негладкими боковыми границами. Методом граничных интегральных уравнений построено классическое решение этой задачи. Исследована гладкость решения.

В работе изучается корректная разрешимость начальных задач для абстрактных интегродифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве, а также проводится спектральный анализ оператор-функций, являющихся символами указанных уравнений. Изучаемые уравнения представляют собой абстрактную форму линейных интегродифференциальных уравнений в частных производных, возникающих в теории вязкоупругости и имеющих ряд других важных приложений. Установлена локализация и структура спектра операторфункций, являющихся символами этих уравнений.

В настоящей работе рассмотрены явные интегральные выражения гипергеометрического и гиперэллиптического типа для решений уравнений Шлезингера в классах верхнетреугольных матриц с собственными числами, образующими арифметические прогрессии с одинаковой разностью. Полученные интегральные представления дополняют и обобщают ранее известные результаты.

Рассматривается дифференциально-разностное уравнения второго порядка в ограниченной области Q ⊂ Rn. Предполагается, что дифференциально-разностный оператор содержит несколько разностных операторов с вырождением, соответствующих операторам дифференцирования. Кроме того, рассматриваемый дифференциально-разностный оператор нельзя представить в виде композиции разностного оператора и сильно эллиптического дифференциального оператора. Наличие вырожденных разностных операторов не позволяет получить неравенство Гординга. В работе получены априорные оценки, из которых следует секториальность, а также существование фридрихсова расширения рассматриваемого дифференциально-разностного оператора. Полученные оценки могут быть применены для исследования спектра фридрихсова расширения. Известно, что эллиптические дифференциально-разностные уравнения могут иметь решения, не принадлежащие даже пространству Соболева W 1(Q). Однако, опираясь на полученные оценки, можно доказать определенную гладкость решений, но не во всей области Q, а в некоторых подобластях Qr , порожденных сдвигами границы, где U Qr = Q.

В работе рассматривается проблема вычисления группы стабильных гомотопических классов псевдодифференциальных эллиптических граничных задач. Указанная проблема исследуется в терминах топологических K-групп некоторых пространств в следующих ситуациях: для краевых задач на многообразии с краем, для задач сопряжения с условиями на замкнутом подмногообразии коразмерности один, а также для нелокальных задач со сжатиями.

В гильбертовом пространстве X рассматривается абстрактная задача M∗ddt(My(t))=Ly(t)+f(t)z,0≤t≤τ,My(0)=My0, где L - замкнутый линейный оператор в X, M - оператор (не обязательно обратимый) из L(X), z∈X. При дополнительном условии, заключающемся в том, что Φ[My(t)]=g(t), где Φ∈X∗, а g∈C1([0,τ];C), ищутся условия, при которых можно найти такую функцию f из C([0,τ];C), для которой y есть сильное решение указанной абстрактной задачи, т.е., My∈C1([0,τ];X) и Ly∈C([0,τ];X). Аналогичная задача рассматривается и для уравнения второго порядка по времени. Приводятся различные примеры указанных общих задач.