Investigation of Operator Models Arising in Viscoelasticity Theory

Abstract

We study the correct solvability of initial problems for abstract integrodifferential equations with unbounded operator coefficients in a Hilbert space. We do spectral analysis of operator-functions that are symbols of such equations. The equations under consideration are an abstract form of linear integrodifferential equations with partial derivatives arising in viscoelasticity theory and having a number of other important applications. We describe localization and structure of the spectrum of operatorfunctions that are symbols of such equations.

Full Text

1. ВВЕДЕНИЕ Работа посвящена исследованию интегродифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве. Рассматриваемые уравнения представляют собой абстрактное гиперболическое уравнение, возмущенное слагаемыми, содержащими вольтерровы интегральные операторы. Эти уравнения могут быть реализованы как интегродифференциальные уравнения в частных производных, возникающие в теории вязкоупругости (см. [13, 17], а также как интегродифференциальные уравнения Гуртина-Пипкина (см. [15, 24, 25, 30]), которые описывают процесс распространения тепла в средах с памятью с конечной скоростью. Кроме того, указанные уравнения возникают в задачах усреднения в многофазных средах (закон Дарси, см. [3, 12]). Перечисленные задачи можно объединить в достаточно широкий класс интегродифференциальных уравнений в частных производных, поэтому более естественно рассматривать интегродифференциальные уравнения с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовых пространствах (абстрактные интегродифференциальные уравнения), которые могут быть реализованы как интегродифференциальные уравнения в частных производных. В настоящее время существует обширная литература по абстрактным интегродифференциальным уравнениям (см., например, работы [2-11, 21-23, 27-34] и цитированную в них литературу). В работах [1, 2, 21-23, 27, 34] (см. также цитированную в них литературу) изучались интегродифференциальные уравнения, главной частью которых является абстрактное параболическое уравнение. Интегродифференциальные уравнения, главной частью которых является абстрактное гиперболическое уравнение, изучены в меньшей степени (см., например, [5-11, 20, 28, 33]). Пусть H - сепарабельное гильбертово пространство, A - самосопряженный положительный оператор, A∗ = A, действующий в пространстве H, имеющий компактный обратный. Рассмотрим следующую задачу для интегродифференцильного уравнения второго порядка на положительной полуоси R+ = (0, ∞): t d2u 2 r 2 dt2 + A u - 0 K (t - s)A u (s) ds = f (t) , t ∈ R+, (1.1) u(+0) = ϕ0, u(1)(+0) = ϕ1. (1.2) где A - самосопряженный положительный оператор, действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве H, имеющий компактный обратный. Скалярная функция K (t) имеет представление ∞ K (t)= \ cj Rj (t) , (1.3) j=1 где cj > 0, j ∈ N, функции Rj (t) - дробно-экспоненицальные функции (см. [17, гл. 1]), которые имеют вид ∞ Rj (t)= tα-1 \ n=0 (-βj )ntnα Γ[(n + 1)α] , 0 < α :( 1, (1.4) Γ(·) - гамма функция Эйлера. При этом предполагается, что последовательность {βj } удовлетворяет следующим условиям: 0 < βj < βj+1,, j ∈ N, βj → +∞, j → +∞. Кроме того, выполнены условия ∞ \ cj βj < 1, (1.5) j=1 ∞ \ cj < +∞. (1.6) j=1 Преобразование Лапласа функции Rj (t) имеет вид Rˆj (λ) = 1 λα + βj (см. [17, гл. 1]). При этом под λα (0 < α :( 1) понимается главная ветвь многозначной функции f (λ)= λα, λ ∈ C, с разрезом по отрицательной действительной полуоси λα = |λα|eiα arg λ, -π < arg λ < π. Следует также отметить, что уравнения рассматриваемого вида возникают в физических задачах. Широкий класс приложений - это задачи усреднения в многофазных средах, где одной из фаз является упругая (или вязкоупругая) среда, а другой - вязкая (сжимаемая или несжимаемая) жидкость (подробнее см. [18, 19]). Задача усреднения состоит в том, чтобы построить эффективную (усредненную) модель такой двухфазной среды, когда отдельные включения той или иной фазы быстро чередуются при изменении пространственных переменных. Предварительные исследования показывают, что одномерная модель распространения колебаний в такой усредненной (гомогенизированной) среде в абстрактной форме может быть записана как операторное уравнение, рассматриваемое в данной работе. К уравнениям, близким по форме к рассматриваемым в этой статье, относится ряд уравнений и систем уравнений, возникающих в кинетической теории газов. В этих задачах интегральные слагаемые играют роль вязкости. Такое операторное представление вязкости возникает при выводе уравнений газовой динамики непосредственно из законов взаимодействия молекул (см. [16]). Рассматривая преобразование Лапласа уравнения (1.1) при однородных начальных условиях, получаем оператор-функцию L (λ)= λ2I + A2 - Kˆ (λ)A2, (1.7) которая является символом этого уравнения. Здесь имеющие представление Kˆ (λ) - преобразование Лапласа ядра K(t), ∞ Kˆ (λ)= \ j=1 cj λα + βj , 0 < α :( 1. (1.8) 62 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН В предлагаемой работе мы устанавливаем корректную разрешимость начальной задачи для уравнения (1.1) в весовых пространствах Соболева на положительной полуоси и исследуем вопрос о локализации спектра для оператор-функции L(λ), являющейся символом указанного уравнения. В наших предшествующих работах [4-11, 33] проводилось подробное исследование задачи (1.1), (1.2) в случае, когда ядро K(t) было представимо рядом убывающих экспонент с положительными коэффициентами, что равносильно случаю α = 1 в представлении (1.3). Наш подход к исследованию основывался на спектральном анализе оператор-функции (1.7), который также дает возможность получить результат о корректной разрешимости и представление решения указанной задачи в виде ряда по экспонентам, соответствующим точкам спектра оператор-функции L(λ). Отметим также, что результаты работ [4-8, 10, 11, 33] подытожены в главе 3 монографии [9]. Следует отметить, что метод, используемый нами для доказательства корректной разрешимости начальных задач для абстрактных интегродифференциальных уравнений, существенно отличается от более традиционного подхода, использованного Л. Пандолфи в работе [32], где разрешимость изучается в функциональном пространстве на конечном временном интервале (0,T ). В нашей ра- 2,γ боте разрешимость изучается в весовых пространствах Соболева W 2 (R+, A) вектор-функций на положительной полуоси R+, где A - положительный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве. Доказательство нашей теоремы 2.1 о резрешимости существенно использует гиль- 2,γ бертову структуру пространств W 2 (R+, A), L2,γ (R+,H), а также теорему Пэли-Винера, в то время, как в работе [32] рассмотрения проводятся в банаховом функциональном пространстве гладких функций на конечном временном интервале (0,T ). На протяжении всей работы выражение вида D ;S E подразумевает неравенство D :( cE, выполненное с некоторой положительной константой c, выражение D ≈ E означает D ;S E ;S D. Мы используем символы := и =: для введения новых величин. 2. ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТОВ Превратим область определения Dom(Aβ ) оператора Aβ , β > 0, в гильбертово пространство Hβ , введя на Dom(Aβ ) норму ∓· ∓β = ∓Aβ · ∓, эквивалентную норме графика оператора Aβ . 2,γ 1. Корректная разрешимость. Через W n (R+, A) обозначим пространство Соболева векторфункций на полуоси R+ = (0, ∞) со значениями в H, снабженное нормой 1/2 ∓u∓W n \ ⎛r∞ ≡ ⎝ e-2γt ⎞ ( 2 u(n) 2 2,γ (R+,A) 0 H (t) H + ∓Au(t)∓ dt⎠ , γ � 0. 2,γ Подробнее о пространствах W n (R+, A) см. в монографии [14, гл. 1]. Для n = 0 полагаем W 0 2,γ (R+, A0) = L2,γ (R+,H) , где через L2,γ (R+,H) обозначено пространство измеримых функций со значениями в пространстве H, снабженное нормой ⎛ +∞ ⎞1/2 r ∓f ∓L2,γ (R+,H) = ⎝ 0 e-2γt 2 ∓f (t)∓ H dt⎠ . Определение 2.1. Будем называть вектор-функцию u сильным решением задачи (1.1), (1.2), 2,γ если она принадлежит пространству W 2 (R+, A) для некоторого γ � 0, удовлетворяет уравнению (1.1) почти всюду на полуоси R+ и начальному условию (1.2). Следующая теорема дает достаточное условие корректной разрешимости задачи (1.1), (1.2). Теорема 2.1. Предположим, что вектор-функция Af (t) ∈ L2,γ0 (R+,H) для некоторого γ0 > 0, ядро K (t) представимо в виде (1.3), (1.4) с постоянной α ( 1 < α < 1), а также выполняются 2 условия (1.5), (1.6) и, кроме того, ϕ0 ∈ H3, ϕ1 ∈ H2. Тогда существует такое γ1 > γ0, что 2,γ для всех γ � γ1 задача (1.1), (1.2) имеет единственное решение в пространстве W 2 (R+, A) , удовлетворяющее неравенству ( ∓u∓W 2 2 :( d ∓Af ∓ + A3ϕ0 + A2ϕ1 , (2.1) 2,γ (R+,A ) L2,γ (R+,H) H H ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАТОРНЫХ МОДЕЛЕЙ, ВОЗНИКАЮЩИХ В ТЕОРИИ ВЯЗКОУПРУГОСТИ 63 с постоянной d, не зависящей от вектор-функции f и векторов ϕ0, ϕ1. 2. Спектральный анализ. Обозначим через aj собственные значения оператора A (Aej = aj ej ), занумерованные в порядке возрастания (с учетом кратности): 0 < a1 < a2 < ... < an < j=1 ..., an → +∞ (n → +∞). Соответствующие собственные векторы {ej }∞ образуют ортонормированный базис пространства H. Рассмотрим сужение оператор-функции L(λ) на одномерное подпространство, натянутое на вектор en: n ln (λ)= (L (λ) en, en)= λ2 + a2 / ∞ 1 - \ k=1 ck \ , λα + βk 1 < α < 1. 2 Перейдем к изучению структуры спектра оператор-функции L(λ) в случае, когда выполнены условия (1.5), (1.6). Теорема 2.2. Пусть выполнено условие (1.5). Тогда спектр оператор-функции L(λ) лежит в открытой левой полуплоскости. n Теорема 2.3. Пусть выполнены условия (1.5) и cj =0 для всех j, больших некоторого N ∈ N. Тогда для каждого достаточно большого n ∈ N существует два невещественных комплексносопряженных нуля λn+ = λ¯- функции ln (λ) , имеющих следующую асимптотику: λ± ( πα 1-α Q ( ( πα α Q \ 1-α) n = - sin 2 an 2 ± ian 1 - cos a - 2 n 2 + o (an , n → +∞, (2.2) N где Q = ), cj . j=1 Здесь уместно сделать важное замечание. Замечание 2.1. При α =1 асимптотическая формула (2.2) переходит в ранее известную асимптотическую формулу (2.15) из работы [11] (см. также [9]). Отметим, что оператор-функция вида (1.7) в случае, когда ядра интегральных операторов являются рядами убывающих экспонент с положительными коэффициентами, изучалась в [7]. Теоремы 2.1, 2.3 представляют собой естественное развитие результатов работы [7]. 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ Начнем с доказательства теоремы 2.1 в случае однородных (нулевых) начальных условий ϕ0 = ϕ1 = 0. При доказательстве теоремы 2.1 с нулевыми начальными условиями используется схема доказательства корректной разрешимости задачи Коши для уравнений гиперболического типа, основанная на применении преобразования Лапласа. В связи с этим, для удобства читателя, напомним широко известные факты, которые мы будем использовать в дальнейшем. Определение 3.1. Назовем пространством Харди H2(Re λ > γ, H) класс вектор-функций fˆ(λ) со значениями в H, голоморфных в полуплоскости {λ ∈ C : Re λ > γ � 0}, для которых +∞ r 2 sup fˆ(x + iy) dy < ∞ (λ = x + iy). (3.1) x>γ H -∞ Сформулируем хорошо известную теорему Пэли-Винера для пространств Харди H2(Re λ > γ, H). Теорема (Пэли-Винер). 125. Пространство H2(Re λ > γ, H) совпадает с множеством вектор-функций (преобразований Лапласа), допускающих представление r∞ fˆ(λ)= 1 √2π 0 e-λtf (t)dt, (3.2) где f (t) ∈ L2,γ (R+,H) , λ ∈ C, Re λ > γ � 0. 64 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН 126. Для любой вектор-функции fˆ(λ) ∈ H2(Re λ > γ, H) существует и единственно представление (3.2), где вектор-функция f (t) ∈ L2,γ (R+,H) , причем справедлива формула обращения +∞ 1 r ˆ (γ+iy)t f (t)= √2π -∞ f (γ + iy)e dy, t ∈ R+, γ � 0. (3.3) 127. Для вектор-функций fˆ(λ) ∈ H2(Re λ > γ, H) и f (t) ∈ L2,γ (R+,H) , связанных соотношением (3.2), справедливо равенство: +∞ +∞ r 2 r 2 ∓fˆ 2 ≡ sup f (x + iy) dy = e-2γt ∓f (t)∓2 dt ≡ ∓f ∓ . (3.4) ∓H2(Re λ>γ,H) ˆ x>γ H -∞ 0 H L2,γ (R+,H) Сформулированная теорема широко известна для скалярных функций. Однако она без труда обобщается на случай вектор-функций со значениями в сепарабельном гильбертовом пространстве. Доказательство теоремы 2.1. Вначале рассмотрим задачу (1.1), (1.2) с нулевыми начальными данными ϕ0 = ϕ1 = 0. Применяя преобразование Лапласа к уравнению (1.1), получаем следующее представление для преобразования Лапласа решения задачи (1.1), (1.2): uˆ (λ)= L-1 (λ) fˆ(λ) . (3.5) Согласно теореме Пэли-Винера Afˆ(λ) ∈ H2 (Re λ > γ; H) , посколькуAf (t) ∈ L2,γ (R+,H) . Перейдем к оценке оператор-функции L-1 (λ) а правой полуплоскости. Разделим правую полуплоскость на две области Ω1 = {λ : Re λ = x > |y| ,y = Im λ} , Ω2 = {λ : Re λ = x < |y| ,y = Im λ} , x > 0. Вначале проведем оценки в области Ω2. Преобразование Лапласа Kˆ (λ) допускает представление ∞ Г Kˆ (λ)= \ cj (|λ|α cos (αϕ)+ βj ) - i|λ|α sin (αϕ) l . (3.6) j=1 (|λ|α cos (αϕ)+ βj )2 + (|λ|α sin (αϕ))2 Рассмотрим следующие скалярные функции ln (λ) 1 λ \ 2 ∞ ck Mn (λ)= a2 = (L (λ) en, en)= a2 a2 +1 - λα + β , n ∈ N, n n n k=1 k и выделим их вещественные и мнимые части x2 - y2 2xy a Re Mn (λ)= 2 n a +1 - Re Kˆ (λ) , Im Mn (λ)= 2 n - Im K (λ) . Тогда Im Mn (λ) допускает следующую оценку снизу: 2xy Im Mn (λ)= a2 ∞ + \ cj α ( λ |λ|α sin (αϕ) 2 α 2 � n j=1 | | cos (αϕ)+ βj ) + (|λ| sin (αϕ)) \ 2xy ∞ απ yα sin ( 4 2xy απ yα (sin ( 4 a � 2 + n j=1 cj |λ|2α + 2βj |λ|α j + β2 � a 2 + c1 n . (2yα + β1)2 Следовательно, для y > x � γ > 0 получаем неравенство απ 2xy yα sin ( 2xy k 2γy1+α + k a2 a y(1 α)/2 4 1 1 n n - a a a2 y + � + c1 � n n 2 (2yα + β1)2 2 α a y α � k2 2 n n (3.7) c положительными постоянными k1 и k2. В результате приходим к оценке 1 :( 1 :( k3 . (3.8) |ln (λ)| n a2 |Im Mn (λ)| any(1-α)/2 ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАТОРНЫХ МОДЕЛЕЙ, ВОЗНИКАЮЩИХ В ТЕОРИИ ВЯЗКОУПРУГОСТИ 65 Из неравенства (3.8) для всех y > x � γ вытекает оценка an :( |ln (λ)| k3 y(1-α)/2 . (3.9) Совершенно аналогично, для всех y < -x < -γ получим неравенство an :( |ln (λ)| k4 |y|(1-α)/2 . (3.10) В результате, объединяя два последних неравенства, приходим к тому, что в области Ω2 ∩ {(x, y): |y| > x > γ > 0} выполнено неравенство an :( |ln (λ)| k5 |y|(1-α)/2 . (3.11) Оценим теперь Re Mn (λ) в области Ω1 для достаточно больших x. Заметим прежде всего, что в области Ω1 справедливо неравенство x2 - y2 � 0. Тогда для достаточно больших |λ| имеем ∞ λ|α cos (αϕ)+ βj Re Mn (λ) � 1 - Re Kˆ (λ)=1 - \ cj j=1 (|λ|α | cos (αϕ)+ βj )2 + |λ|2α sin2 � (αϕ) ∞ � 1 - \ cj | λ|α + βj ( απ � 1 - d1 α . (3.12) j=1 4 |λ|2α + 2|λ|αβj cos j + β2 |λ| Следовательно, для заданного δ (0 < δ < 1) можно выбрать такое R0 > 0, что для λ : |λ| > R0 будет выполнена оценка Re Mn (λ) > 1 - δ. Таким образом, для всех |λ| > R0, λ ∈ Ω1 получаем следующее неравенство: an :( |ln (λ)| an n |Re Mn (λ)| a2 :( const an , n ∈ N (3.13) с постоянной const, не зависящей от n. В теореме 2.2 настоящей статьи независимо установлено, что в замкнутой правой полуплоскости отсутствует спектр оператор-функции L (λ) и, следовательно, функции an ln (λ) являются аналитическими (регулярными) в открытой правой полуплоскости. По теореме Вейерштрасса отсюда немедленно вытекает, что функции an ln (λ) будут являться ограниченными на множестве {λ : λ ∈ Ω1 ∩ {0 < γ < |λ| < R0}} . Таким образом неравенство (3.13) будет справедливо в области Ω1 ∩ {λ : {|λ| > γ > 0}} . Из оценок (3.11) и (3.13) следует, что существует такая константа d > 0, для которой справедливо неравенство 1 1 an 1 sup 1 1 1 :( d < ∞, n ∈ N. (3.14) Re λ>γ 1 ln (λ) 1 В свою очередь, из неравенства (3.14) имеем sup AL-1 (λ) :( d < ∞. (3.15) Re λ>γ Перейдем к доказательству однозначной разрешимости задачи (1.1), (1.2) в пространстве W 2 2,γ (R+, A2) с нулевыми начальными данными ϕ0 = ϕ1 = 0. Покажем вначале, что векторфункция A2u (t) ∈ L2,γ (R+,H) . Легко видеть, что A2uˆ (λ)= A2L-1 (λ) fˆ(λ)= AL-1 (λ) Afˆ(λ) . (3.16) 0 Согласно условиям теоремы 2.1, вектор-функция A2f (t) принадлежит пространству L2,γ (R+,H) . Следовательно, по теореме Пэли-Винера вектор-функция Afˆ(λ) принадлежит пространству H2 (Re λ > γ0,H) и справедливо следующее равенство: ˆ ∓Af ∓L2, = Af + . (3.17) γ0 (R ,H) H2(Re λ>γ0,H) 66 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН Согласно (3.14)-(3.17) мы получаем цепочку неравенств 2 A2u 2 = A2uˆ 2 = AL-1 (λ) Afˆ(λ) :( d2 ∓Af ∓2 . L2,γ (R+ ,H) H2(Re λ>γ,H) H2(Re λ>γ,H) L2,γ (R+,H) (3.18) Таким образом, вектор-функция A2u (t) принадлежит пространству L2,γ (R+,H) и справедлива следующая оценка: A2u L2,γ (R+,H) :( d∓Af ∓L2,γ (R+,H). (3.19) Покажем теперь, чтовектор-функция λ2uˆ (λ) такжепринадлежитпространству H2 (Re λ > γ, H) . Заметим, что при Re λ > γ справедливо представление I = λ2L-1 (λ)+ (1 - Kˆ (λ) A2L-1 (λ) . (3.20) Следовательно, при Re λ > γ имеем )+ fˆ(λ)= λ2uˆ (λ ( 1 - Kˆ (λ) A2L-1 (λ) fˆ(λ) . (3.21) В силу предположений относительно функции K (t) функция 1 - Kˆ (λ) является ограниченной и аналитической в полуплоскости {λ : Re λ > γ} . В самом деле, справедливо следующее неравенство: ∞ \ j 1 1 c 1 1 α 11 - Kˆ (λ)1 :( 1+ j=1 |λ + βj | :( const . Регулярность (аналитичность) вытекает, согласно (1.6), из равномерной сходимости ряда. Оценим вектор-функцию λ2uˆ (λ) в пространстве Харди H2 (Re λ > γ, H) . Из представления (3.21), неравенства (3.14) и предыдущей оценки получаем λ2uˆ (λ) ˆ :( f (λ) 1 + 11 - Kˆ (λ)1 AL-1 (λ) Af (λ) :( H2(Re λ>γ,H) H 2(Re 1 λ>γ,H) 1 1 H2(Re λ>γ,H) 2 :( const ∓Af (λ)∓H (Re λ>γ,H) . (3.22) Таким образом, из теоремы Пэли-Винера вытекает неравенство d2u 2 :( d1 ∓Af ∓ 2 L2,γ (R+,H) . (3.23) dt2 L 2,γ (R+ ,H) Наконец, объединяя оценки (3.19) и (3.23), мы получаем, что вектор-функция u (t) принадлежит 2,γ пространству W 2 (R+,H) , и справедлива оценка ∓u∓W 2 2 :( d2∓Af ∓ . (3.24) 2,γ (R+,A ) L2,γ (R+,H) Рассмотрим теперь задачу (1.1), (1.2) с неоднородными начальными данными ϕ0 и ϕ1. Положим u (t)= cos (At) ϕ0 + A-1 sin (At) ϕ1 + w (t) . (3.25) Тогда вектор-функция w (t) является решением задачи t d2w 2 r 2 dt2 + A w (t) - 0 K (t - s)A w (s) ds = f1 (t) , (3.26) w (+0) = w(1) (+0) = 0, (3.27) t где f1 (t)= f (t) - h (t) , h (t)= [ K (t - s)A2 (cos (As) ϕ0 + A-1 sin (As) ϕ1) ds. 0 Для доказательства теоремы достаточно установить следующее неравенство: ∓Af1∓L2,γ (R+,H) :( ∓Af ∓L2,γ (R+,H) + ∓Ah∓L2,γ (R+,H) < ∞. (3.28) Оценим вектор-функцию Ah (t) . С этой целью оценим вектор-функцию Ahˆ (λ) в пространстве Харди H2(Re λ > γ, H). Вектор-функция Ahˆ (λ) допускает представление 0 Ahˆ (λ)= Kˆ (λ) A λ(λ2I + A2)-1A2ϕ 1 + A(λ2I + A2)-1Aϕ = ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАТОРНЫХ МОДЕЛЕЙ, ВОЗНИКАЮЩИХ В ТЕОРИИ ВЯЗКОУПРУГОСТИ 67 0 = Kˆ (λ) λ(λ2I + A2)-1A3ϕ 1 + A(λ2I + A2)-1A2ϕ . (3.29) В дальнейшем мы будем использовать следующее известное предложение (см., например, [7]). Предложение 3.1. Для κ > 0 в полуплоскости {λ : Re λ > κ} справедливы неравенства 2 2)-1 const ( 2 2 )-1 const A(λ I + A :( , Re λ λ λ I + A :( . (3.30) Re λ Легко видеть, что в полуплоскости {λ : Re λ > κ > 0} выполнено неравенство 1 |λα + β|2 = (x2 α 1 α/2 :( 0 + y2) :( / 0 + 2(x2 + y2) 1 β cos (αϕ)+ β2 const \ :( (3.31) y2α ( x2 \α 1+ 0 2cos (αϕ) β 1+ β 2 + y2α +1 (x2 2 y 0 + y (x2 2)α/2 0 + y 2)α здесь λ = x0 + iy, x0 = |λ| cos ϕ, y = |λ| sin ϕ, x0 > κ, y > 0, β > 0. Следовательно, в силу предположения (1.6) и неравенства (3.30) мы получаем оценку 1 1 1 ˆ 1 const . (3.32) 1K (x0 + iy)1 :( |y|α +1 Вначале оценим вектор-функцию Ah1 (λ) = Kˆ (λ) λ(λ2I + A2)-1A3ϕ0 . Из неравенств (3.30) и (3.32) получаем +∞ 2 r 2 2) 2 -1 3 2 Ahˆ1 (λ) H2(Re λ>κ,H) = sup x0>κ -∞ K (x0 + iy) (x0 + iy) r(x0 + y I + A A ϕ0 dy :( +∞ r 5 0 :( d4 A3ϕ0 dy :( d A3ϕ 2. (3.33) с положительными постоянными d4, d5. |y|2α +1 -∞ Аналогично для вектор-функции Ah2 (λ) = Kˆ (λ) A(λ2I + A2)-1A2ϕ1, в силу (3.30) и (3.32), справедлива следующая оценка +∞ 2 2 r ( 2 2 -1 2 ∓Ah2 (λ)∓H2(Re λ>κ,H) = sup x0>κ -∞ K (x0 + iy) A (x0 + iy) I + A +∞ A ϕ1 dy :( r :( d6 2 A2ϕ1 2 dy :( d7 A2ϕ1 (3.34) |y|2α+1 +1 -∞ с положительными постоянными d6, d7. Объединяя оценки (3.33) и (3.34), при α > 1/2 получаем неравенство 3 2 Ahˆ (λ) :( d8 ( A ϕ0 + A ϕ1 ) (3.35) H2(Re λ>κ,H) с постоянной d8, не зависящей от ϕ0 и ϕ1. Наконец, из (3.35), согласно теореме Пэли-Винера, вытекает искомое неравенство ( 3 2 ) ∓Ah (t)∓L2,γ (R+,H) :( d9 A ϕ0 + A ϕ1 (3.36) с постоянной d9, не зависящей от ϕ0 и ϕ1. Теорема 2.1 доказана. n Доказательство теоремы 2.2. Функция ϕ (λ) = λ2 + a2 , где λ = x + iy, отображает верхний правый квадрант Φπ/2 = {λ :0 < arg λ < π/2} в верхнюю полуплоскость {λ : Im λ > 0} . В свою / ∞ \ очередь, функция Ψ (λ)= \ cj a2 отображает угол Φ в угол {λ : -απ/2 < arg λ < 0} . J =1 λα + βj n π/2 68 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН Следовательно, уравнение ϕ (λ)= Ψ (λ) , эквивалентное уравнению ln (λ)= 0, не имеет решений в первом квадранте. Вследствие того, что функция ln (λ) имеет вещественные коэффициенты, ее невещественные нули являются комплексно сопряженными. Таким образом, уравнение ln (λ) = 0 не имеет нулей в квадранте Φ-π/2 = {λ : -π/2 < arg λ < 0} . Более того, при выполнении условия (1.5) уравнение φ (x)= Ψ (x) не имеет решений, лежащих на полуоси (0, +∞) , поскольку гра- / ∞ cj \ n a фик параболы x2 +a2 в этом случае не пересекается с графиком функции Ψ (x)= при положительных x. ), 2 j=1 xα + βj n Отметим также, что на мнимой оси нет спектра оператор-функции L (λ) . В самом деле, рассмотрим два случая: π 1) y > 0, x = 0, iy = ei 2 y; π 2) y < 0, x = 0, iy = e-i 2 t, t > 0. В первом случае справедливо следующее неравенство: απ ⎛ ⎞ ∞ cj sin ( ⎟ Im ln (iy)= -yα ⎜\ ( 2 \ a2 < 0, Во втором случае имеем ⎜ ⎝j=1 2 ⎠ (yα cos ( απ 2 + βj + y2αsin2 ( απ ⎟ n 2 -πi j ⎛ ∞ c sin ( πα ⎞ Im ln (e 2 t = tα ⎜\ 2 ⎟ a2 > 0. При x = y =0 имеем ⎝ j=1 2 (tα cos ( πα 2 + βj + t2αsin2 ( πα ⎠ n 2 ⎛ ∞ c ⎞ n β > 0. ln (0) = a2 ⎝1 - \ j ⎠ j=1 j Поскольку спектр оператор-функции L (λ) совпадает c замыканием объединения нулей функций ln (λ) ,n ∈ N, а каждая из функций ln (λ) , по доказанному, не имеет нулей в замкнутой правой полуплоскости, то и оператор-функция L (λ) не имеет спектра в замкнутой правой полуплоскости. Теорема 2.2 доказана. Замечание 3.1. При нарушении условия (1.5), т. е. при ),∞ cj > 1, в правой полуплоскости j=1 βj имеется бесконечное число вещественных собственных значений оператор-функции. Данное замечание может быть установлено из простых графических соображений. Рассмотрим сужения вектор-функций ln (λ) на вещественную ось. Уравнение ln (x) = 0 может быть переписано в виде ϕn (x)= ψ (x) , где a x2 ϕn (x)= 2 n ∞ + 1, ψ (x)= \ j=1 cj . xα + βj Заметим, что функция ψ (x) на полуоси [0, +∞) является монотонно убывающей и достигающей своего максимума при x = 0, равного ),∞ cj > 1. Поэтому график функции ψ (x) пересекается с j=1 βj графиками парабол ϕn (x) при положительных значениях xn. При этом с ростом n нули xn будут стремиться к точке x∗, являющейся решением уравнения ψ (x)= 1. Доказательство теоремы 2.3. Будем искать невещественные комплексно-сопряженные нули функций ln(λ) в виде λ± = ±ian + τnan, n → +∞, где {τn}∞ - ограниченная последовательность. n Тогда исходное уравнение n ) 2 Kˆ (λ±) = (λ± n=1 +1 (3.37) a n 2 n ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАТОРНЫХ МОДЕЛЕЙ, ВОЗНИКАЮЩИХ В ТЕОРИИ ВЯЗКОУПРУГОСТИ 69 n эквивалентно уравнению Kˆ (λ±)= τn (τn + 2i) . Таким образом τn = n Kˆ (λ±) (2i + τn) . (3.38) В дальнейшем ограничимся рассмотрением нулей λ+ (для λ- результат вытекает из того, что λ+ n n n n и λ- являются комплексно-сопряженными числами). Обозначим hn (τ )= n K (λ+) (τ + 2i) n , λ+ = ian + τnan. Тогда соотношение (3.38) может быть переписано в виде τn = hn (τn) . Покажем, что существует неподвижная точка τn отображения τ → hn (τ ) при n → +∞. Для этого достаточно показать, что отображение τ → hn (τ ) , n → +∞, является сжимающим. Искомое решение τn может быть найдено, как предел последовательности {τ k �∞ , k → +∞, τ k = hn (τ k-1) . n k=1 n n Отображение τ → hn (τ ) является сжимающим. Действительно, это следует из оценки 1 1 1Kˆ (λ+)1 + 1Kˆ (λ+) 2λ+1 1 1 1 Kˆ (λ+) - Kˆ (λ+) (anτ + 2ian) 1 1 n 1 1 n n 1 1 1 1h (τ )1 = 1 n 1 n (τ + 2i)2 1 :( 1 1 1 1 2 1 (3.39) и следующей леммы. Лемма 3.1. Соотношения 1 1 1 1 1λKˆ (λ)1 → 0, 1Kˆ (λ)1 → 0, |λ|→ +∞, (3.40) 1 1 1 1 выполнены в области Ωπ-δ = {λ : |arg λ| < π - δ, 0 < δ < π/4} . Доказательство. Соотношения (3.40) следуют из представлений N Kˆ (λ)= 1 \ λα N cj , λKˆ (λ)= -α \ cj βj λα ( \2 и следующих оценок: j=1 1+ λα j=1 1+ βj λα 1 1 1 ˆ 1 N M1 \ 1 1 1 ˆ 1 N M2 \ где M1, M2 = const . 1K (λ)1 :( |λ|α j=1 cj , 1λK (λ)1 :( |λ|α j=1 cj . Используя разложение правой части (3.38) в многочлен Тейлора по степеням τn, получаем iKˆ (ian) hn (τn)= - 2 (1 + O (τn)) , n → +∞. (3.41) Таким образом, для τn справедливо представление iK (ian) τn = - 2 (1 + O (τn)) , n → +∞. (3.42) Лемма 3.2. В области Ωπ-δ функция Kˆ (λ) допускает представление Kˆ (λ)= Q1 + Q2 + o ( 1 \ , λ + , (3.43) λα λ2α N N λ2α | |→ ∞ где Q1 = ), cj , Q2 = - ), cj βj . j=1 j=1 Доказательство. Представление (3.43) немедленно вытекает из очевидного соотношения cj λα + βj cj ( βj = λα 1 - λα ( 1 \\ + o λα , j = 1,...,N ; |λ|→ +∞, λ ∈ Ωπ-δ . 70 В. В. ВЛАСОВ, Н. А. РАУТИАН Из соотношений (3.42), а также представления Kˆ (λ) = Q1 + o ( 1 \ , вытекающего из (3.43), получаем асимптотическое представление для τn: πi λα λα ( 1 \ τn = - iQ1 (1 + o (τn)) + o ( 1 \ e 2 (1-α) = - a-αQ1 + o , an → +∞. (3.44) 2(ian)α a a 2 α n α n n n Таким образом, невещественные собственные значения λ+ допускают представление 2 eπi (1-α) 2 λ+ 1-α 1-α В свою очередь, n = ian - an Q1 + o (an ) , an → +∞. (3.45) πi πα πα e 2 (1-α) = sin ( 2 + i cos ( 2 . (3.46) Наконец, используя (3.46) и выделяя вещественную и мнимую часть в представлении (3.45), получим искомую формулу: λ± ( πα 1-α Q1 ( ( πα 1-α Q1 \ 1-α n = - sin 2 an 2 ± i an - cos 2 an 2 + o (an ) , an → +∞. Теорема 2.3 доказана.