Nonlinear differential-difference equations of elliptic and parabolic type and their applications to nonlocal problems

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

In this survey, we study boundary-value problems for nonlinear differential-difference equations of elliptic and parabolic types, as well as related nonlinear equations with nonlocal boundary conditions. The main feature of the equations under consideration is that the difference operator is located in the principal part of the nonlinear operator containing higher-order derivatives.

About the authors

O. V. Solonukha

Federal Research Center “Computer Science and Control” of the RAS

Author for correspondence.
Email: solonukha@yandex.ru
Moscow, Russia

References

  1. Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Задача Бицадзе-Самарского для параболической системы на плоскости// Докл. РАН. - 2016.- 471, № 5.- С. 517-519.
  2. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения.- М.: Мир, 1967.
  3. Бицадзе A.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических задач// Докл. АН СССР. -1969.- 185, № 4.-С. 739-740.
  4. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений. -М.: Наука, 1972.
  5. Вентцель А.Д. О граничных условиях для многомерных диффузионных процессов// Теор. вер. и ее примен. - 1959.- 4, № 2. -С. 172-185.
  6. Вишик М.И. Об общих краевых задачах для эллиптических дифференциальных уравнений// Тр. Моск. мат. об-ва- 1952.- 1.-С. 187-264.
  7. Вишик М.И. О разрешимости первой краевой задачи для нелинейных эллиптических систем дифференциальных уравнений// Докл. АН СССР. - 1960.- 134, № 4.-С. 749-752.
  8. Вишик М.И. О разрешимости краевых задач для квазилинейных параболических уравнений высших порядков// Мат. сб.- 1962.-59.-С. 289-325.
  9. Вишик М.И., Ладыженская О.А. Краевые задачи для уравнений в частных производных и некоторых классов операторных уравнений// Усп. мат. наук.- 1956.- 11, № 6.-С. 41-97.
  10. Власов В. В., Медведев Д.А. Об асимптотических свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа// Соврем. мат. Фундам. направл.- 2006.- 15.- С. 112-125.
  11. Власов В.В., Медведев Д.А. Функционально-дифференциальные уравнения в пространствах Соболева и связанные с ними вопросы спектральной теории// Соврем. мат. Фундам. направл.- 2008.- 30.- С. 3-173.
  12. Власов В.В., Раутиан Н.А. Cпектральный анализ функционально-дифференциальных уравнений. -М.: МАКС Пресс, 2016.
  13. Власов В.В., Раутиан Н.А., Шамаев А.С. Спектральный анализ и корректная разрешимость абстрактных интегродифференциальных уравнений, возникающих в теплофизике и акустике// Соврем. мат. Фундам. направл.-2011.-39.-С. 36-65.
  14. Власов В.В., Раутиан Н.А., Шамаев А.С. Исследование операторных моделей, возникающих в задачах наследственной механики// Соврем. мат. Фундам. направл.- 2012.- 45.- С. 43-61.
  15. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторно-дифференциальные уравнения.- М.: Мир, 1978.
  16. Гантмахер Ф.Р. Tеория матриц. -М.: Наука, 1967.
  17. Гуревич П.Л. Эллиптические задачи с нелокальными краевыми условиями и полугруппы Феллера// Соврем. мат. Фундам. направл.- 2010.- 38.- С. 3-173.
  18. Гущин А.К., Михайлов В.П. О разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения второго порядка// Мат. сб.- 1994.- 185, № 4.- С. 121-160.
  19. Дубинский Ю.А. Квазилинейные эллиптические и параболические уравнения любого порядка// Усп. мат. наук.-1968.- 23, № 1.- С. 45-90.
  20. Дубинский Ю.А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения// Итоги науки и техн. Соврем. пробл. мат.-1976.- 9.- С. 5-130.
  21. Житарашу Н.В., Эйдельман С.Д. Нелокальные граничные задачи для эллиптических уравнений// Мат. иссл. - 1971.- 6, № 2.- С. 63-73.
  22. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Нелокальная краевая задача второго рода для оператора Штурма-Лиувилля// Дифф. уравн.-1987.-23, № 8.- С. 1422-1431.
  23. Иванова Е.П. Методы исследования дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами аргументов// Итоги науки и техн. Соврем. мат. и ее прил. - 2022.- 204.- С. 44-52.
  24. Иваненко В.И., Мельник В.С. Вариационные методы в задачах управления для систем с распределенными параметрами.-Киев: Наукова думка, 1988.
  25. Иосида К. Функциональный анализ.- М.: Мир, 1967.
  26. Кадец В.М. Курс функционального анализа.- Харьков: ХНУ, 2004.
  27. Качуровский Р.И. О монотонных операторах и выпуклых функционалах// Усп. мат. наук.- 1960.- 15, № 4.-С. 213-215.
  28. Кишкис К.Ю. К теории нелокальных задач для уравнения Лапласа// Дифф. уравн.-1989.- 25, № 1.-С. 59-64.
  29. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений.-М.: Гостехиздат, 1956.
  30. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа.-М.: Наука, 1973.
  31. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа.- М.: Наука, 1973.
  32. Лийко В.В., Скубачевский А.Л. Смешанные задачи для сильно эллиптических дифференциальноразностных уравнений в цилиндре// Мат. заметки.-2020.- 107, № 5.- С. 693-716.
  33. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.-М.: Мир, 1972.
  34. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. -М.: Мир, 1971.
  35. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа.- М.: ГИТТЛ, 1951.
  36. Мельник В.С., Згуpовский М.З. Нелинейный анализ и упpавление бесконечномеpными системами. -Киев: Наукова думка, 1999.
  37. Моисеев Е.И. Об отсутствии свойства базисности у системы корневых функций одной нелокальной краевой задачи// Дифф. уравн.-1994.-30, № 12.-С. 2082-2093.
  38. Муравник А.Б. Об асимптотике решений некоторых параболических уравнений с нелокальными старшими членами// Тр. сем. им. И.Г. Петровского.- 2006.- 25.-С. 143-183.
  39. Муравник А.Б. Функционально-дифференциальные параболические уравнения: интегральные представления и качественные свойства задачи Коши// Соврем. мат. Фундам. направл.- 2014.- 52.- С. 3-143.
  40. Муравник А.Б. О задаче Дирихле в полуплоскости для дифференциально-разностных эллиптических уравнений// Соврем. мат. Фундам. направл.-2016.-60.-С. 102-113.
  41. Мышкис А.Д. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом// Усп. мат. наук.- 1977.- 32, № 2.- С. 173-202.
  42. Мышкис А.Д. Смешанные функционально-дифференциальные уравнения// Соврем. мат. Фундам. направл.- 2003.- 4.-С. 5-120.
  43. Онанов Г.Г., Скубачевский А.Л. Дифференциальные уравнения со смещенными аргументами в стационарных задачах механики деформируемого тела// Совет. прикл. мех.- 1979.-15.-С. 391-397.
  44. Панеях Б.П. О некоторых нелокальных краевых задачах для линейных дифференциальных операторов// Мат. заметки.- 1984.- 35, № 3.-С. 425-434.
  45. Подъяпольский В.В., Скубачевский А.Л. Спектральная асимптотика сильно эллиптических дифференциально-разностных операторов// Дифф. уравн.- 1999.-35, № 6.- С. 793-800.
  46. Попов В.А., Скубачевский А.Л. Априорные оценки для эллиптических дифференциально-разностных операторов с вырождением// Соврем. мат. Фундам. направл.- 2010.- 36.- С. 125-142.
  47. Похожаев С.И. О разрешимости нелинейных уравнений с нечетными операторами// Функц. анализ и его прилож. -1967.-1, № 3.-С. 66-73.
  48. Похожаев С.И., Дубинский Ю.А. Об одном классе операторов и разрешимости квазилинейных дифференциальных уравнений// Мат. сб.-1967.-72, № 2.- С. 226-236.
  49. Рабинович В.С. О дифференциально-разностных уравнениях в полупространстве// Дифф. уравн.- 1980.- 16, № 11.- С. 2030-2038.
  50. Рабинович В.С. О задаче Коши для параболических дифференциально-разностных операторов с переменными коэффициентами// Дифф. уравн.-1983.-19, № 6.- С. 1032-1038.
  51. Разгулин А.В., Романенко Т.Е. Вращающиеся волны в параболическом функционально-дифференциальном уравнении с поворотом пространственного аргумента и запаздыванием// Журн. выч. мат. и мат. физ. -2013.-53, № 11.-С. 1804-1821.
  52. Ройтберг Я.А., Шефтель З.Г. Нелокальные задачи для эллиптических уравнений и систем// Сиб. мат. ж. -1972.-13, № 1.- С. 165-181.
  53. Россовский Л.Е. Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения со сжатием и растяжением аргументов неизвестной функции// Соврем. мат. Фундам. направл.- 2014.- 54.-С. 3-138.
  54. Россовский Л.Е., Ханалыев А.Р. Коэрцитивная разрешимость нелокальных краевых задач для параболических уравнений// Соврем. мат. Фундам. направл.- 2016.-62.-С. 140-151.
  55. Самарский А.А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений// Дифф. уравн.- 1980.- 16, № 1.-С. 1925-1935.
  56. Селицкий А.М. Третья краевая задача для параболического дифференциально-разностного уравнения// Соврем. мат. Фундам. направл.-2007.- 21.- С. 114-132.
  57. Скрыпник И.В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач.-М.: Наука, 1990.
  58. Скубачевский А.Л. Гладкость обобщенных решений первой краевой задачи для эллиптического дифференциально-разностного уравнения// Мат. заметки.- 1983.- 34, № 1.- С. 105-112.
  59. Скубачевский А.Л. Эллиптические задачи с нелокальными условиями вблизи границы// Мат. сб.- 1986.- 129, № 2.- С. 279-302.
  60. Скубачевский А.Л. О некоторых задачах для многомерных диффузионных процессов// Докл. АН СССР. -1989.- 307, № 2.-С. 287-291.
  61. Скубачевский А.Л. О собственных значениях и собственных функциях некоторых нелокальных краевых задач// Дифф. уравн.- 1989.- 25, № 1.-С. 127-136.
  62. Скубачевский А.Л. Модельные нелокальные задачи для эллиптических уравнений в двугранных углах// Дифф. уравн.- 1990.- 26, № 1.-С. 120-131.
  63. Скубачевский А.Л. О методе срезающих функций в теории нелокальных задач// Дифф. уравн.- 1991.- 27, № 1.-С. 128-139.
  64. Скубачевский А.Л. Краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами// Докл. АН СССР. -1992.- 324, № 6.-С. 1155-1158.
  65. Скубачевский А.Л. О некоторых свойствах эллиптических и параболических функциональнодифференциальных уравнений// Усп. мат. наук.-1996.-51, № 1. -С. 169-170.
  66. Скубачевский А.Л. О бифуркации Хопфа для квазилинейного параболического функциональнодифференциального уравнения// Дифф. уравн.-1998.-34, № 10.- С. 1394-1401.
  67. Скубачевский А.Л. Неклассические краевые задачи. I// Соврем. мат. Фундам. направл.- 2007.- 26.- С. 3-132.
  68. Скубачевский А.Л. Неклассические краевые задачи. II// Соврем. мат. Фундам. направл.- 2009.- 33.- С. 3-179.
  69. Скубачевский А.Л. Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений и их приложения// Усп. мат. наук.- 2016.- 71, № 5.-С. 3-112.
  70. Скубачевский А.Л., Селицкий А.М. Вторая краевая задача для параболического дифференциальноразностного уравнения// Усп. мат. наук.-2007.- 62, № 1.- С. 207-208.
  71. Скубачевский А.Л., Шамин Р.В. Первая смешанная задача для параболическогодифференциальноразностного уравнения// Мат. заметки.- 1999.- 66, № 1.- С. 145-153.
  72. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике.-М.: Наука, 1988.
  73. Солдатов А.П. Задача Бицадзе-Самарского для функций, аналитических по Дуглису// Дифф. уравн.- 2005.- 41, № 3.-С. 396-407.
  74. Солонуха O.В. О нелинейной параболической задаче с препятствием// Усп. мат. наук.-2004.- 59, № 3.-С. 181-182.
  75. Солонуха O.В. О существовании решений нелинейных параболических вариационных неравенств с односторонними ограничениями// Мат. заметки.-2005.- 77, № 3. -С. 460-476.
  76. Солонуха O.В. Об одном классе существенно нелинейных эллиптических дифференциально-разностных уравнений// Тр. МИАН.-2013.- 283.-С. 226-244.
  77. Солонуха О.В. Об одной нелинейной нелокальной задаче эллиптического типа// Журн. выч. мат. и мат. физ. -2017.-57, № 3.- С. 60-72.
  78. Солонуха О.В. Об одном эллиптическом дифференциально-разностном уравнении с несимметричным оператором сдвигов// Мат. заметки.- 2018.- 104, № 4.- С. 604-620.
  79. Солонуха О.В. Обобщенные решения квазилинейных эллиптических дифференциально-разностных уравнений// Журн. выч. мат. и мат. физ.-2020.- 60, № 12.- С. 2085-2097.
  80. Солонуха О.В. О разрешимости линейной параболической задачи с нелокальными краевыми условиями// Соврем. мат. Фундам. направл.-2021.-67, № 2. -С. 349-362.
  81. Солонуха О.В. О периодических решениях параболических квазилинейных уравнений с краевыми условиями типа Бицадзе-Самарского// Докл. РАН. - 2022.- 503.-С. 83-86.
  82. Солонуха О.В. О разрешимости нелинейных параболических функционально-дифференциальных уравнений со сдвигами по пространственным переменным// Мат. заметки.- 2023.- 113, № 5.- С. 757-773.
  83. Стернин Б.Ю., Шаталов В.Е. Расширение алгебры псевдодифференциальных операторов и некоторые нелокальные эллиптические задачи// Мат. сб.- 1994.- 185, № 3.-С. 117-160.
  84. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды. -Петроград: Тип. М.П. Фроловой, 1917.
  85. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений.-М.: Мир, 1984.
  86. Bade W.G., Freeman R.S. Closed extensions of the Laplace operator determined by a general class of boundary conditions// Pacific J. Math. -1962.-12, № 2.- С. 395-410.
  87. Beals R. Nonlocal elliptic boundary value problems// Bull. Am. Math. Soc. -1964.- 70, № 5. -С. 693- 696.
  88. Br´ezis H. Equations et in´equtions non lin´eares dans les espaces vectoriels en dualit´e// Ann. Inst. Fourier.-´ 1968.- 18.- С. 115-175.
  89. Browder F. Non-local elliptic boundary value problems// Am. J Math.- 1964.- 86, № 4.-С. 735-750. 90. Browder F.E., Hess P. Nonlinear mappings of monotone type in Banach spaces// J. Funct. Anal.- 1972.- 11, № 2.-С. 251-294.
  90. Hartman P., Stampacchia G. On some nonlinear elliptic differential functional equations// Acta Math.- 1966.- 115.-С. 271-310.
  91. Grubb G. A characterization of the non-local boundary value problems assosiated with elliptic operator// Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci.- 1968.- 22, № 3.- С. 425-513.
  92. Guan Z., Kartsatos A.G., Skrypnik I.V. Ranges of densely defined generalized psuedomonotone pertubations of maximal monotone operators// J. Differ. Equ. -2003.-188.-С. 332-351.
  93. Feller W. The parabolic differential equations and the associated semi-groups of transformations// Ann. Math.- 1952.- 55.- С. 468-519.
  94. Feller W. Diffusion processes in one dimension// Trans. Am. Math. Soc. -1954.- 77.-С. 1-30.
  95. Kartsatos A.G., Skrypnik I.V. On the eigenvalue problems for pertubed nonlinear maximal monotone operators in reflexive Banach spaces// Trans. Am. Math. Soc.-2006.- 358, № 9.- С. 3851-3881.
  96. Minty G.J. Monotone (non-linear) operator in Hilbert space// Duke Math. J. -1962.-29.-С. 341-346.
  97. Onanov G.G., Skubachevskii A.L. Nonlocal problems in the mechanics of three-layer shells// Math. Model. Nat. Phenom. -2017.- 12, № 6.-С. 192-207.
  98. Picone M. I teoremi d’esistenza per gl’ integrali di una equazione differenziale lineare ordinaria soddisfacenti ad una nuova classe di condizioni// Rom. Acc. L. Rend.- 1908.- 17, № 1.- С. 340-347.
  99. Picone M. Equazione integrale traducente il piu generale problema lineare per le equazioni differenziali lineari ordinarie di qualsivoglia ordine// Atti Accad. Naz. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. Rend. - 1932.- 15.- С. 942-948.
  100. Razgulin A.V. Rotational multi-petal waves in optical systems with 2-D feedback// В сб.: «Chaos in Optics. Proceedings SPIE». - 1993.- 2039.-С. 342-352.
  101. Sato K., Ueno T. Multi-dimentional diffusion and the Markov process on the boundary// J. Math. Kyoto Univ.- 1965.-4.- С. 295-298.
  102. Schechter M. Nonlocal elliptic boundary value problems// Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. - 1966.- 20, № 2.-С. 421-441.
  103. Skubachevskii A.L. The first boundary value problem for strongly elliptic differential-difference equations// J. Differ. Equ. - 1986.- 63.-С. 332-361.
  104. Skubachevskii A.L. On the stability of index of nonlocal elliptic problems// J. Math. Anal. Appl. - 1991.- 160, № 2.- С. 323-341.
  105. Skubachevskii A.L. Elliptic Functional Differential Equations and Applications.- Basel-Boston-Berlin: Birkh¨auser, 1997.
  106. Skubachevskii A.L. Bifurcation of periodic solutions for nonlinear parabolic functional differential equations arising in optoelectronics// Nonlinear Anal. -1998.-32.-С. 261-278.
  107. Solonukha O.V. On nonlinear and quasilinear elliptic functional differential equations// Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. S.- 2016.- 9, № 3. -С. 847-868.
  108. Solonukha O.V. The criteria of accretivity of differential operators described by the 2×2 matrices and its applications// В сб.: «XXVIII Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам (КРОМШ-2017). Сборник материалов международной конференции». -Симферополь: ДИАЙПИ, 2017.- С. 124-128.
  109. Solonukha O.V. The first Boundary Value Problem for Quasilinear Parabolic Differential-Difference Equations// Lobachevskii J. Math. -2021.-42, № 5.- С. 1067-1077.
  110. Solonukha O.V. On periodic solutions of linear parabolic problems with nonlocal boundary conditions// Тавр. вестн. инф. и мат.- 2021.-51, № 2.- С. 7-11.
  111. Solonukha O.V. On nonlinear nonlocal parabolic problem// Russ. J. Math. Phys. -2022.- 29, № 1.- С. 121-140.
  112. Sommerfeld A. Ein Beitrag zur hydrodynamischen Erkl¨arung der turbulenten Flu¨ssigkeitsbewegungen// В сб.: «Proc. Intern. Congr. Math. (Rome, 1908). III». - Roma: Reale Accad. Lincei, 1909.- С. 116-124.
  113. Taira K. Diffusion Processes and Partial Differential Equations. -New York-London: Academic Press, 1988.

Copyright (c) 2023 Solonukha O.V.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies