Нелинейные дифференциально-разностные уравнения эллиптического и параболического типа и их приложения к нелокальным задачам

Полный текст

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 Глава 1. Квазилинейные эллиптические дифференциально-разностные уравнения . . . . 447 1.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447 1.2. Разбиение области Q ⊂ Rn и свойства разностных операторов . . . . . . . . . . . . . . 449 1.3. Квазилинейные уравнения с сильно монотонным оператором. Существование и един- ственность обобщенного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 1.4. Операторы с полуограниченной вариацией и (S+)-операторы. Существование обобщен- ного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 1.5. Условие сильной эллиптичности для симметрического разностного оператора . . . . . 463 Глава 2. Существенно нелинейные эллиптические дифференциально-разностные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 2.1. Алгебраическое условие эллиптичности и существование решения . . . . . . . . . . . . 466 2.2. Алгебраическое условие сильной эллиптичности и существование решения . . . . . . 472 © О.В. Солонуха, 2023 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 445 2.3. Уравнения с p-лапласианом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 Глава 3. Квазилинейные параболические дифференциально-разностные уравнения . . . . 490 3.1. Постановка начально-краевой задачи. Операторное уравнение . . . . . . . . . . . . . . 490 3.2. Разбиение области ΩT и свойства разностного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . 492 3.3. Квазилинейные параболические уравнения с сильно монотонным дифференциально- разностным оператором. Существование и единственность обобщенного решения . . . 494 3.4. Операторы с (V;W)-полуограниченной вариацией и обладающие свойством (S+) на W операторы. Существование обобщенного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 3.5. Существование периодических решений параболического дифференциально-разностного уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504 Глава 4. Существенно нелинейные параболические дифференциально-разностные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 4.1. Параболические уравнения с дифференциально-разностным оператором, обладающим свойством (S+) на W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 4.2. Параболические уравнения с оператором с (V,W)-полуограниченной вариацией . . . 512 4.3. Параболическое уравнение с p-лапласианом и разностным оператором . . . . . . . . . 518 4.4. Существование периодических решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520 Глава 5. Дифференциальные уравнения с нелокальными краевыми условиями типа Бицадзе-Самарского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522 5.1. Разностный оператор и изоморфизм соболевских пространств . . . . . . . . . . . . . . 522 5.2. Существование решения эллиптического дифференциального уравнения с нелокаль- ными краевыми условиями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527 5.3. Существование решения начально-краевой задачи для параболического дифференци- ального уравнения с нелокальными краевыми условиями типа Бицадзе-Самарского . 534 5.4. Существование периодических по t решений параболических дифференциальных урав- нений с нелокальными краевыми условиями типа Бицадзе-Самарского . . . . . . . . 549 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553 ВВЕДЕНИЕ Дифференциально-разностные уравнения являются одним из направлений функциональнодифференциальных уравнений и нелокальных задач. Изучение нелокальных задач было начато еще в классических работах А. Зоммерфельда [113], Я.Д. Тамаркина [84] и М. Пиконе [99, 100] для обыкновенных дифференциальных уравнений. Теория функционально-дифференциальных уравнений (в частности дифференциально-разностных уравнений) получила развитие в трудах А.Д. Мышкиса и многих других математиков, см. монографии [2, 12, 41, 85, 106] и имеющуюся там библиографию. При этом в настоящее время наиболее хорошо изучены функционально-дифференциальные уравнения с запаздыванием по времени и задачи с интегродифференциальными членами. Общая теория линейных эллиптических и параболических функционально-дифференциальных уравнений и линейных нелокальных эллиптических задач (разрешимость, априорные оценки, гладкость обобщенных решений, спектральные свойства операторов) достаточно развита, см. [10-14, 17, 32, 38-40, 45, 46, 53, 54, 58-71, 104, 106, 107] и приведенную там библиографию. Задачи с нелинейными младшими членами рассмотрены, например, в [51, 101, 107]. Многие математики изучали задачи с абстрактными нелокальными граничными условиями и абстрактными функциональными возмущениями дифференциального оператора, как линейные, так и нелинейные, см. [6, 86, 87, 89, 91, 92, 103]. При этом, в абстрактных нелинейных задачах рассматривались монотонные и псевдомонотонные операторы. Рассмотрение эллиптических дифференциальных уравнений со сдвигами по пространственным переменным вызвано рядом приложений. В 1969 г. такая задача была поставлена в работе А.В. Бицадзе и А.А. Самарского [3] в связи с приложениями в теории плазмы. Такого типа задачи возникают также в теории многомерных диффузионных процессов [5, 60, 94, 95, 102, 106, 114]. Исследованию этой задачи был посвящен целый ряд работ, см. [1, 18, 21, 22, 28, 37, 52, 73, 83] и библиографию. В 1980 г. исследование задачи Бицадзе-Самарского в случае произвольного эллиптического уравнения с переменными коэффициентами и произвольной структуры носителя нелокальных членов было сформулировано как нерешенная проблема [55]. Теория линейных нелокальных эллиптических краевых задач с условиями типа Бицадзе-Самарского была построена в работах А.Л. Скубачевского [59, 61-63, 67, 68, 105, 106]. Одним из методов исследования этих задач является сведение нелокальных эллиптических задач к эллиптическим дифференциальноразностным уравнениям, см. [61, 106]. Для исследования нелинейных задач начиная с 60-х годов прошлого века применяется теория операторов монотонного (псевдомонотонного) типа, см. [4, 27, 97]. В работах М.И. Вишика и других советских математиков основным элементом исследования являлись краевые и смешанные задачи для уравнений эллиптического, параболического и гиперболического типов, эллиптический оператор которых задан в дивергентной или недивергентной форме. Такими уравнениями занимались М.И. Вишик, О.Ф. Ладыженская, С.И. Похожаев, Ю.А. Дубинский и др., см. [7-9, 19, 20, 30, 31, 47, 48] и библиографию. Также такие уравнения активно исследовались в других странах Х. Брезисом, Ф. Браудером, Ж.-Л. Лионсом и многими другими, см. [15, 33, 88, 90] и библиографию. Западные математики ввели понятие псевдомонотонного оператора, см. [33, 88]. Основное условие, которому удовлетворяли дифференциальные операторы, получившие название псевдомонотонных, - условие эллиптичности. В 60-е годы также Ю.А. Дубинский ввел понятие алгебраического условия сильной эллиптичности и рассмотрел уравнения с операторами с полуограниченной вариацией [19, 20]. Позже было доказано, что операторы с полуограниченной вариацией являются псевдомонотонными, а операторы, удовлетворяющие условию эллиптичности и коэрцитивности, являются не только псевдомонотонными, но и обладают свойством (S+), см. работы И.В. Скрыпника [57] и др. Класс оператора определяет свойства решения (множества решений) операторного уравнения. В нелинейном анализе сформулированы теоремы существования решений для уравнений с операторами разных классов псевдомонотонного типа и изучены свойства решений, см. [15, 20, 33, 57] и др. Однако до сих пор эти теоремы применялись только для исследования дифференциальных уравнений. С 60-х годов математики полагали, что при исследовании нелинейных функционально-дифференциальных и нелокальных задач также следует использовать теорию операторов псевдомонотонного типа, см. [87, 89, 91], однако рассмотрены были только достаточно абстрактные задачи. В данной работе нелинейные дифференциально-разностные уравнения и нелинейные уравнения с краевыми условиями типа Бицадзе-Самарского рассмотрены с помощью теории операторов псевдомонотонного типа и метода разбиения области, разработанного в линейной теории дифференциально-разностных уравнений. При этом условия на дифференциально-разностный оператор или нелокальные краевые условия типа Бицадзе-Самарского конструктивны и содержат условия на коэффициенты разностного оператора и коэффициенты дифференциального оператора. Глава1 КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1.1. Постановка задачи Рассмотрим функционально-дифференциальное уравнение вида ARu(x) = f(x) (x ∈ Q) (1.1) с краевым условием u(x) = 0 (x ∈ Rn \ Q). (1.2) Здесь Q ⊂ Rn - ограниченная область с границей ∂Q класса C∞ или Q = (0,d) × G, G ⊂ Rn-[1] - ограниченная область (с границей ∂G класса C∞, если n 3). В случае n = 1 мы полагаем1 Q = (0,d). Полагаем также, что оператор A задан формулой , (1.3) функции вещественнозначны, а ограниченный разностный оператор R определяется по формуле , (1.4) где ah ∈ R, M ⊂ Rn - конечное множество векторов с целочисленными (или соизмеримыми) координатами, x = (x1,...,xn) ∈ Rn. Разностный оператор R является нелокальным: сдвиги на векторы h ∈ M могут отображать точки x ∈ Q в точки x + h ∈ Rn \ Q. Поэтому краевые условия должны задавать значения неизвестной функции не только на границе ∂Q, но и на некотором множестве вне Q. Для простоты в дальнейшем будем считать, что это множество совпадает с Rn \ Q. Пусть2 p ∈ (1,∞) и 1/p + 1/q = 1. Введем оператор RQ = PQRIQ : Lp(Q) → Lp(Q), где IQ : Lp(Q) → Lp(Rn) - оператор продолжения функций из Lp(Q) нулем в Rn \ Q, PQ : Lp(Rn) → Lp(Q) - оператор сужения функций из Lp(Rn) на Q. Таким образом, функция u(x), определенная на Q, отображается в функцию (IQu)(x), определенную на всем пространстве Rn. После действия оператора R на IQu мы получаем функцию, определенную на Rn. Оператор PQ вводится, чтобы получить сужение функции (RIQu)(x) на область Q. Обозначим через Wp1(Q) множество функций u ∈ Lp(Q) таких, что их частные производные 1-го порядка также являются функциями из Lp(Q). При p ∈ (1,∞) соболевские пространства Wp1(Q) банаховы и рефлексивны относительно нормы . (1.5) Через W˚p1(Q) обозначается замыкание множества финитных бесконечно дифференцируемых в Q функций C˙ ∞(Q) в пространстве Wp1(Q). Как известно, эквивалентной нормой в пространстве W˚p1(Q) является норма (следствие из неравенства Фридрихса, см. [15, гл. II, §1]), сопряженным пространством к W˚p1(Q) является Wq-1(Q). Для определения корректной интегральной формы рассматриваемые в теории уравнений в частных производных дифференциальные операторы должны удовлетворять условию интегрируемости: коэффициенты оператора A, заданного в (1.3), являются функциями типа Каратеодори (т. е. измеримы по x ∈ Q и непрерывны по остальным переменным для п.в. x ∈ Q), а также удовлетворяют оценке (1.6) где c1 > 0 и g ∈ Lq(Q). Условие интегрируемости (1.6) является стандартным (с небольшими вариациями) для построения интегрального представления дифференциального оператора, см. [29, гл. 1, §2], а также [15, 20, 33] и др. Если через обозначить спаривание в соответствующих банаховых пространствах, то для оператора ARQ : W˚p1(Q) → Wq-1(Q), заданного формулами (1.3) и (1.4), для любых ξ ∈ W˚p1(Q) имеем ; (1.7) здесь и ниже ∂0u := u. Далее будем обозначать AR := ARQ. Определение 1.1. Пусть f ∈ Wq-1(Q). Функция u ∈ W˚p1(Q) называется обобщенным решением задачи (1.1), (1.2), если для любого ξ ∈ W˚p1(Q) справедливо интегральное тождество (1.8) 1.2. Разбиение области Q ⊂ Rn и свойства разностных операторов Через M обозначим аддитивную группу, порожденную множеством M, а через Qr -открытые связные компоненты множества. Определение 1.2. Множество Qr называется подобластью. Семейство R всех подобластей Qr (r = 1,2,...) называется разбиением области Q. Легко видеть, что множество R не более чем счетно, при этом и Известно, что для любой подобласти Qr1 и произвольного вектора h ∈ M либо найдется подобласть Qr2 такая, что Qr2 = Qr1 + h, либо Qr1 + h ⊂ Rn \ Q, см. [106, лемма 7.1]. Таким образом, семейство R можно разбить на непересекающиеся классы следующим образом: подобласти Qr1,Qr2 ∈ R принадлежат одному классу, если Qr2 = Qr1+h для некоторого h ∈ M. Будем обозначать подобласти Qr через Qsl, где s - номер класса, а l - номер подобласти в s-м классе. Очевидно, каждый класс состоит из конечного числа N = N(s) подобластей ([diamQ]+1)n для целочисленных сдвигов. Множество классов может быть конечным или счетным, см. примеры в [106, гл. II, §7]. Лемма 1.1. Операторы IQ : Lp(Q) → Lp(Rn), PQ : Lp(Rn) → Lp(Q), R : Lp(Rn) → Lp(Rn) и RQ : Lp(Q) → Lp(Q) ограничены, 1 < p < ∞. Обозначим через подпространство функций из Lp(Q), обращающихся в нуль вне ). Введем ограниченный оператор по формуле . Очевидно, что Ps является оператором проектирования на . Поскольку mesn(∂Qsl) = 0, имеем прямую сумму . (1.9) Лемма 1.2. является инвариантным подпространством оператора RQ для любого 1 < p < ∞. Изоморфизм рефлексивных банаховых пространств Рис. 1.1. Разбиение области Q = {x ∈ R2 : x21 + x22 < 1}. Fig. 1.1. Partition of the domain Q = {x ∈ R2 : x21 + x22 < 1}. определяется по формуле (Usu)l(x) = u(x + hsl) где l = 1,...,N = N(s), а вектор hsl таков, что (x ∈ Qs1), (1.10) . Лемма 1.3. Оператор, заданный соотношением RQs = UsRQUs-1, есть оператор умножения на матрицу Rs порядка N(s) × N(s) с элементами (1.11) , (1.12) Доказательство совпадает с доказательством для операторов (см. [106, лемма 8.6]). Для удобства читателей приведем его полностью. Доказательство. Пусть . Обозначим . В силу формулы (1.10) и определения оператора RQ для всех x ∈ Qs1 . Здесь суммирование ведется по всем h ∈ M таким, что h+hsi = hsj для некоторого . Тогда , где определены по формуле (1.12). Из ограниченности области Q и формул (1.11)-(1.12) следует, что в случае постоянных коэффициентов ah число различных матриц Rs конечно. Обозначим это число n1, и пусть Rsν обозначают все различные матрицы Rs (ν = 1,...,n1). Пример 1.1. Пусть Q = {x ∈ R2 : x21 + x22 < 1}. Рассмотрим оператор R : Lp(R2) → Lp(R2), определенный по формуле Ru(x1,x2) = a0u(x1,x2) + a1u(x1 + 1,x2) + a-1u(x1 - 1,x2). Тогда разбиение R состоит из трех классов подобластей, в первом классе - две подобласти, а в остальных по одной (см. рис. 1.1), оператору RQ соответствуют матрицы . Пример 1.2. Рассмотрим оператор R : Lp(Rn) → Lp(Rn), определенный по формуле . (1.13) Пусть Q = (0,d) × G, k - натуральное число, - ограниченная область (с границей ∂G ∈ C∞, если- постоянные. а) Пусть θ = 1. Тогда разбиение R состоит из одного класса подобластей Q1l = (l - 1,l) × G (l = 1,...,k + 1). Кроме того, h1l = (l - 1,0,... ,0), l = 1,...,k + 1, и a0 a1 ... a 1 a0 ... R1 = ⎜⎜⎜⎝ -... ... ... a k a-k+1 ... - . (1.14) x2 Q11 Q12 Q13 1 0 1 2 3 x1 Рис. 1.2. Разбиение области Q = (0,3) × (0,1). Fig. 1.2. Partition of the domain Q = (0,3) × (0,1). б) Пусть θ < 1. Тогда разбиение R состоит из двух классов подобластей Q1l = (l - 1,l - 1 + θ) × G(l = 1,...,k + 1), Q2l = (l - 1 + θ,l) × G(l = 1,...,k). Кроме того, h1l = (l - 1,0,... ,0)(l = 1,...,k + 1), h2l = (l - 1,0,... ,0)(l = 1,...,k) и a0 a R1 = ⎜ -... 1 ⎜⎝ a -k a1 a0 ... a k+1 - ... ... ... ... , a0 a 1 R2 = ⎜⎜⎜⎝ -... a k+1 - a1 a0 ... a k+2 - ... ... ... ... . (1.15) Лемма 1.4. Спектр оператора. Доказательство совпадает с доказательством [106, лемма 8.7]. Лемма 1.5. Оператор RQ непрерывно отображает W˚p1(Q) в Wp1(Q), (RQu)xi = RQuxi. (1.16) Утверждение леммы следует из равенства (1.16) для функций u ∈ C˙ ∞(Q) и плотности подпространства C˙ ∞(Q) в W˚p1(Q). x2 Q11 Q21 Q12 Q22 Q13 1 0 0,4 1 1,4 2 2,4 x1 Рис. 1.3. Разбиение области Q = (0, 2,4) × (0,1). Fig. 1.3. Partition of the domain Q = (0, 2,4) × (0,1). Лемма 1.6. RQu ∈ Wp1(Qsl) для всех u ∈ Wp1(Q), а также . (1.17) Более того, если , то существует обратный оператор RQ-1 : Lp(Q) → Lp(Q), причем , (1.18) RQ-1w ∈ Wp1(Qsl) для всех w ∈ Wp1(Q) и . (1.19) Здесь константы c2,c3 > 0 не зависят от s, u и w. При этом ∂i(RQ-1w)(x) = RQ-1∂iw(x) (x ∈ Qsl;s = 1,2,... ;l = 1,...,N(s)). Доказательство. Докажем сначала справедливость оценки (1.17): . Перейдем ко второй части утверждения. Согласно условиям леммы . Следовательно, линейный оператор ограничен. В силу леммы 1.2 PsRQ = RQPs. Воспользуемся этой коммутативностью и разложением (1.9). Тогда в силу леммы 1.3, где I - единичный оператор в Lp(Q). Аналогично доказывается, что RQA0 = I. Следовательно, оператор RQ имеет ограниченный обратный, определяемый по формуле (1.18). Из равенства (1.18) получаем UsPsRQ-1 = Rs-1UsPs. (1.20) Пусть w ∈ Wp1(Q). Тогда из (1.20) следует принадлежность RQ-1w ∈ Wp1(Qsl) (s = 1,2,... ; l = 1,... ,N(s)), неравенство (1.19) и коммутируемость с оператором ∂i на Qsl. Ниже нам необходимы несколько свойств для оценки матричных форм. Лемма 1.7. Пусть матрица Rs размерности N(s) × N(s) такова, что . Тогда существует константа c4 > 0 такая, что . (1.21) Здесь (Rsv)i - i-я координата вектора Rsv. Доказательство. Рассмотрим v как элемент банахова пространства с нормой . Предположим, что оценка (1.21) не верна. Тогда для любого k ∈ N существует вектор такой, что . Обозначим . Поскольку , то ограниченная в конечномерном пространстве последовательность {uk} имеет предел u0 такой, что и . В левой части полученной формулы стоит сумма произведений неотрицательных величин. Равенство нулю возможно, если (Rsu0)iu0i = 0 для всех i = 1,...,N(s). То есть, (Rsu0,u0) = 0. Однако это противоречит условию положительности симметрической части матрицы Rs +Rs∗ > 0. Полученное противоречие доказывает оценку (1.21). Лемма 1.8. Пусть . Тогда (1.22) для некоторой константы c5 > 0, причем c5 не зависит от u, но зависит от p. Доказательство. Доказательство следует из равенства в лемме 1.4 и дискретности спектра разностного оператора. Замечание 1.1. Подчеркнем основную идею рассмотрения нелинейных дифференциальноразностных уравнений методами теории операторов монотонного типа. Для этого рассмотрения необходимо понятие обобщенного решения, т. е. наличие корректной интегральной формы (1.8), существование которой гарантирует условие интегрируемости (1.6). Кроме того, структурирование условий требует, как и в линейном случае, см. [69, 106] и др., разбиения области. Но в отличие от линейного случая разностный оператор оказывается под знаком нелинейного дифференциального оператора, т. е. нельзя, как в линейном случае, применить свойство аддитивности интеграла Лебега непосредственно. Для того, чтобы это сделать, необходимо использовать невырожденность разностного оператора, существование обратного к нему, а также вспомогательные функции. В случае квазилинейных уравнений активное использование этих объектов идет в доказательствах утверждений, а для существенно нелинейных уравнений матрицы, соответствующие обратному оператору RQ-1, участвуют в формулировке условий для дифференциально-разностного оператора. 1.3. Квазилинейные уравнения с сильно монотонным оператором. Существование и единственность обобщенного решения Обозначим через X и Y абстрактные рефлексивные банаховы пространства, X∗ - сопряженное к X пространство. Определение 1.3. Оператор A : X → Y деминепрерывен, если из сходимости um → u в X следует слабая сходимость Оператор A : X → Y ограничен, если образ ограниченного множества из X ограничен в Y. Лемма 1.9. Пусть коэффициенты оператора A : Wp[2](Q) → Wq-1(Q), заданного в (1.3), являются функциями типа Каратеодори (т. е. измеримы по x ∈ Q и непрерывны по остальным переменным для п.в. x ∈ Q), а также удовлетворяют оценке (1.6). Тогда оператор AR : W˚p1(Q) → Wq-1(Q) деминепрерывен и ограничен. Доказательство. В силу леммы 1.6 линейный оператор RQ : W˚p1(Q) → Wp1(Q) ограничен. Линейный ограниченный оператор непрерывен. Дифференциальный оператор A : Wp1(Q) → Wq-1(Q) деминепрерывен и ограничен в силу условия (1.6), см., например, [29, гл. 1, §2]. Композиция AR = ARQ является деминепрерывным, ограниченным оператором. Определение 1.4. Оператор A : X → X∗ называется монотонным, если Монотонный оператор строго монотонен, если Определение 1.5. Оператор A : X → X∗ называется сильно монотонным1, если для любых u,y ∈ X существуют константы ce > 0 и α > 0 такие, что2 . (1.23) Напомним, что в случае линейности дифференциального M-периодического оператора A положительная определенность симметрической части разностного оператора RQ гарантирует сильную эллиптичность дифференциально-разностного оператора, см. [106]. Для квазилинейных дифференциальных операторов существует алгебраическое условие сильной эллиптичности, см. [20, гл. 2, §2]. В этом разделе будет сформулировано алгебраическое условие сильной эллиптичности для квазилинейного дифференциально-разностного оператора. Введем матрицу ζ ∈ RN(s)×(n+1) ζ10 ζ11 ζ12 ... ζ1n ⎞ ζ20 ζ21 ζ22 ... ζ2n ζ := ⎜⎜⎝⎜ ... ... ... ... ... ⎟⎟⎠⎟. (1.24) ζN(s)0 ζN(s)1 ζN(s)2 ... ζN(s)n Будем обозначать через ζ·i i-й столбец ζ, через ζl· - l-ю строку ζ. Лемма 1.10. Пусть p ∈ [2,∞), {Rs} -матрицы, соответствующие оператору RQ, Rs = . Мы предполагаем, что оператор A : Wp1(Q) → Wq-1(Q), заданный формулой (1.3), имеет измеримые по x ∈ Q и дифференцируемые по ξj ∈ R (j = 0,1,... ,n) коэффициенты Ai(x,ξ), ξ = (ξ0,ξ1,...,ξn) ∈ Rn+1, причем производные таковы, что для любых s = 1,2,... , ζ,η ∈ RN(s)×(n+1) и почти всех справедливо алгебраическое условие сильной эллиптичности ηmi|2 , (1.25) 1 ( ) 1 а для всех ξ ∈ Rn+1 и почти всех x ∈ Q выполнена оценка роста p-2 (i,j = 0,...,n), (1.26) 0 гдеТогда операторg1 ∈ Lp/(p-2)(QA), cR6:,cW˚7p1>(Q0)не зависят от→ Wq-1(Q), заданный формулойx,ζ и η. (1.7), сильно монотонен. Доказательство. Пусть w = RQ(u - y) и v = RQy, где u,y ∈ W˚p1(Q). Согласно лемме 1.6 существует ограниченный обратный оператор RQ-1 : Lp(Q) → Lp(Q). Из равенства (1.7) и леммы 1.5 следует, что Тогда, используя формулу (1.18), имеем где (·,·) - скалярное произведение в RN(s). Используем дифференцируемость коэффициентов Ai и формулу Тейлора: (1.28) Заметим, что в (1.28) интегралы по Qs1 существуют в силу условия (1.26). Распишем подынтегральное выражение: , где diag - диагональная матрица порядка N(s) × N(s) с диагональными элементами Используем алгебраическое условие сильной эллиптичности (1.25): Согласно известной оценке имеем . По построению w = RQ(u - y). В силу положительности симметрической части матрицы Rs справедлива оценка (1.21), т. е. 1 n Сильная монотонность оператора AR доказана. Теорема 1.1. Пусть для всех s, а также выполнены условия интегрируемости (1.6), дифференцируемости (1.26) для i,j = 0,1,... ,n и сильной эллиптичности (1.25), p ∈ [2,∞). Тогда для любого f ∈ Wq-1(Q) существует единственное обобщенное решение задачи (1.1), (1.2), причем , (1.30) где u1 и u2 -обобщенные решения задачи (1.1)-(1.2) при правых частях f1 и f2 соответственно. Здесь c10 > 0 не зависит от uk и fk. 1Эта оценка была использована в [20]. Для удобства читателей докажем ее. Очевидно, что оценка справедлива при p = 2. При p > 2 предположим, что (если это не так, можно умножить формулу под знаком модуля на -1). Тогда при.Функция ψ1(·,b) возрастает по первому аргументу на . То есть. Таким образом, . Доказательство. Согласно лемме 1.9 оператор AR деминепрерывен и ограничен. Деминепрерывный, сильно монотонный оператор AR : W˚p[3](Q) → Wq-1(Q) является гомеоморфизмом, см. [20, следствие 1.1.1]. Существование и единственность обобщенного решения задачи (1.1)-(1.2) доказаны. Пусть u1 ∈ W˚p1(Q) и u2 ∈ W˚p1(Q) - обобщенные решения задачи (1.1), (1.2) при правых частях f1 и f2 ∈ Wq-1(Q), соответственно. Тогда . Используем оценку сильной монотонности оператора (1.29): , т. е. . Из этой оценки следует (1.30). 1.4. Операторы с полуограниченной вариацией и (S+)-операторы. Существование обобщенного решения В этом разделе рассмотрим ситуацию, когда алгебраическому условию сильной эллиптичности удовлетворяет только «главная часть» оператора, содержащая производные только старшего порядка. Дифференциальные квазилинейные уравнения с подобными операторами были рассмотрены в 60-е годы XX-го века Ю.А. Дубинским, он же сформулировал для них алгебраическое условие сильной эллиптичности и рассмотрел, каким условиям должна удовлетворять остальная часть квазилинейного дифференциального оператора. Построенное в этом разделе условие сильной эллиптичности для квазилинейного дифференциально-разностного оператора при отсутствии сдвигов вырождается в условие, предложенное Ю.А. Дубинским, см. [20]. Позже алгебраическое условие сильной эллиптичности было использовано для изучения дифференциальных операторов, обладающих свойством (S+), cм. [57] и библиографию. Слабо непрерывные операторы1 с полуограниченной вариацией и (S+)-операторы являются псевдомонотонными, см. [57, гл. I, §1]. Сильно монотонный оператор является оператором с полуограниченной вариацией. Кроме того, сильно монотонный оператор обладает свойством (S+), см., например, [15, 57]. Определение 1.6. Оператор A : X → X∗ называется оператором с полуограниченной вариацией, если существует непрерывная функция C такая, что для всех u,y ∈ X таких, что , , (1.31) при τ → 0 для всех- компактная полунорма относительно При X = W˚p1(Q) в качестве удобно рассматривать компактно, см. [72, гл. I, §8, пп. 2]. Определение 1.7. Оператор A : X → X∗ называется коэрцитивным, если существует непрерывная функция c : R+ → R такая, что , (1.32) и c(s) → ∞ при s → ∞. Определение 1.8. Оператор A : X → X∗ называется псевдомонотонным, если для любой слабо сходящейся в X последовательности при выполнении оценки (1.33) справедливо неравенство (1.34) Определение 1.9. Пусть слабо в X и справедлива оценка (1.33). Если при этом мы имеем сильную сходимость um → u в X, то A : X → X∗ обладает свойством (S+). Лемма 1.11. Пусть. Пусть также оператор A, заданный формулой (1.3), имеет измеримые по x ∈ Q и непрерывные по ξj ∈ R (j = 0,1,... ,n) коэффициенты Ai(x,ξ), ξ ∈ Rn+1, удовлетворяющие оценке (1.6). Более того, пусть существуют производные Aij(x,ξ), i,j = 1,2,...,n, удовлетворяющие оценке (1.26), а также алгебраическому условию сильной эллиптичности для всех s, ζ ∈ RN(s)×(n+1), η ∈ RN(s)×n и почти всех: , (1.35) где c11 > 0 не зависит от x,ζ и η. Тогда AR : W˚p1(Q) → Wq-1(Q) обладает свойством (S+). Доказательство. Сначала покажем, что «главная часть» оператора AR, содержащая слагаемые со старшими производными, сильно монотонна. Выделим три слагаемых: где Заметим, что в силу условий (1.35), (1.26) оператор A1R(u,·) : W˚p1(Q) → Wq-1(Q) удовлетворяет условиям леммы 1.10 (c нулевыми функциональными коэффициентами при i = 0). То есть, аналогично (1.29) получаем . (1.37) Пусть слабо в . В силу компактности вложения W˚p1(Q) ⊂ Lp(Q), um → u в Lp(Q). В силу непрерывности оператора и RQum → RQu в Lp(Q). Из сходимости RQum → RQu в Lp(Q) и условия (1.6) следует, что Ai(·,RQum,∇RQu) → Ai(·,RQu,∇RQu) в Lq(Q), см. [29, гл. 1, §2, п. 4]. Так как слабо в W˚p1(Q), то. Следовательно, . Рассмотрим второе слагаемое под знаком предела: , так как подынтегральными функциями являются произведения, первый сомножитель которых принадлежит последовательности функций, сходящихся к нулю в пространстве Lq(Q), а второй - последовательности функций, слабо сходящихся к нулю в Lp(Q). Для третьего слагаемого , поскольку подынтегральной функцией является произведение, первый сомножитель которого принадлежит ограниченной в Lq(Q) последовательности, а второй - последовательности функций, сходящихся к нулю в Lp(Q). То есть, . Воспользуемся оценкой (1.37): , т. е. . Доказана сходимость по норме последовательности um → u в W˚p1(Q), т. е. оператор AR обладает свойством (S+). Лемма 1.12. Пусть выполнены условия леммы 1.11 и , (1.38) (1.39) где . Тогда оператор AR : W˚p1(Q) → Wq-1(Q) коэрцитивный. Доказательство. Распишем выражение Для первого слагаемого в силу (1.35) получена оценка (1.37): . (1.41) Оценим второе слагаемое, используя (1.38) и неравенство Г¨ельдера: Заметим, что при 1/p) < p < p. рывность вложения пространств Лебега , а также непрерывность оператора -1 : . Таким образом, где c17 = nc15/(εqq), и в силу неравенства Фридрихса . (1.43) Аналогично для последнего слагаемого (1.40), используем непрерывность вложения Lp(Q) для а также непрерывность оператора: 1in где в силу непрерывности вложения пространств Лебега при , использовано также неравенство Фридрихса (1.43). Выберем ε таким образом, что c15εp/p = c12/2, и подставим оценки (1.41), (1.42) и (1.44) в (1.40): Первое слагаемое в правой части неравенства (1.45) положительно и имеет степенной рост порядка p, а остальные (отрицательные) слагаемые имеют степенной рост порядков меньше p. Оператор AR коэрцитивен. Теорема 1.2. Пусть для всех s, а также выполнены условия интегрируемости (1.6), дифференцируемости (1.26) для i,j = 1,...,n, сильной эллиптичности (1.35) и коэрцитивности (1.38)-(1.39), p ∈ [2,∞). Тогда для любого f ∈ Wq-1(Q) существует обобщенное решение задачи (1.1), (1.2) u ∈ W˚p1(Q), множество решений задачи (1.1), (1.2) слабо компактно. Доказательство. Из условий теоремы следует, что AR - деминепрерывный (см. лемму 1.9) и коэрцитивный (см. лемму 1.12) оператор, обладающий свойством (S+) (см. лемму 1.11), т. е. псевдомонотонный. Согласно [33, теорема 2.7, гл. 2] существует обобщенное решение задачи (1.1), (1.2) u ∈ W˚p1(Q). Ограниченность множества решений следует из коэрцитивности оператора AR, поскольку для всех решений выполняется неравенство: . Слабая компактность множества решений следует из того, что оператор в рассматриваемом уравнении обладает свойством (S+). Докажем это. Пусть последовательность {un} принадлежит множеству решений. Пусть u - предельная точка множества {un} в слабой топологии W˚p1(Q). С точностью до подпоследовательностей,. В то же время, . Согласно свойству (S+), un → u в W˚p1(Q). Из деминепрерывности оператора следует, что ARu в Wq-1(Q), u удовлетворяет интегральному тождеству (1.8). Лемма 1.13. Пусть , а также существуют непрерывные производные Aij(x,ξ), удовлетворяющие алгебраическому условию сильной эллиптичности (1.35) и оценке (1.26) для всех i,j = 0,1,... ,n. Тогда AR : W˚p1(Q) → Wq-1(Q) -оператор с полуограниченной вариацией. Доказательство. Как и в доказательстве леммы 1.12, разобьем оператор на три слагаемых, см. (1.36), и получим для первого слагаемого правой части (1.36) оценку (1.37). Оценим второе слагаемое правой части (1.36). Воспользуемся дифференцируемостью коэффициентов, формулой Тейлора и теоремой о среднем: для некоторого τ ∈ [0, 1]. Заметим, что интегралы по Q существуют в силу условия (1.26). Оценим подынтегральное выражение, используя (1.26): . Подставим полученное выражение в (1.46) и применим неравенство Г¨ельдера: 1in . Здесь учтено, что . Используем также неравенства Фридрихса (1.43) и ограниченность оператора RQ (1.22): . Тогда . Для вспомогательной функции имеем, что Аналогично оценим третье слагаемое правой части (1.36): Поскольку , то . Следовательно, Подставляя оценки (1.37), (1.47) и (1.48) в (1.36), получаем . Пусть. Тогда То есть . Полученная функция удовлетворяет требованиям определения оператора с полуограниченной вариацией. Теорема 1.3. Пусть Rs∗ +Rs > 0 для всех s, а также оператор A, заданный формулой (1.3), имеет измеримые по x ∈ Q и непрерывные по ξj ∈ R (j = 0,1,... ,n) коэффициенты Ai(x,ξ), ξ ∈ Rn+1, удовлетворяющие оценке интегрируемости (1.6), дифференцируемости (1.26) для i,j = 0,...,n, условию сильной эллиптичности (1.35) и условию коэрцитивности (1.38)-(1.39), p ∈ [2,∞). Тогда для любого f ∈ Wq-1(Q) существует обобщенное решение задачи (1.1), (1.2) u ∈ W˚p1(Q), множество решений задачи (1.1), (1.2) ограничено и слабо замкнуто. Доказательство. Из условий теоремы следует, что AR - деминепрерывный (см. лемму 1.9), коэрцитивный оператор с полуограниченной вариацией (см. лемму 1.13). Следовательно, обобщенное решение задачи (1.1), (1.2) существует, см. [20, теорема 3.1, гл. 2, §3]. С другой стороны, из условий теоремы 1.3 следует выполнение условий теоремы 1.2, что также доказывает данное утверждение. Замечание 1.2. При рассмотрении дифференциальных уравнений с оператором с полуограниченной вариацией в работе [20] вместо условий (1.38)-(1.39) рассматривались оценки , (1.50) 0 , (1.51) где Очевидно, что при выполнении этих оценок справедливы оценки (1.38)-(1.39), оператор AR коэрцитивен. 1.5. Условие сильной эллиптичности для симметрического разностного оператора Для дифференциальных операторов рассматривались также условия сильной эллиптичности при другой правой части, чем в (1.25), см., например, [57]. Аналогичные условия можно построить для дифференциально-разностных операторов. При этом могут измениться условия, гарантирующие коэрцитивность оператора AR. В самом общем случае в условии сильной эллиптичности для дифференциально-разностного оператора обязательно присутствуют коэффициенты матрицы Rs или Rs-1, см. далее. Поскольку каждую матрицу можно неединственным способом разложить на сумму произведений матриц, то и левая часть в условии сильной эллиптичности может быть модифицирована в соответствии с дополнительными данными о разностном операторе. Тогда в формулах будут коэффициенты матриц, использованных в разложении. В качестве иллюстрации этого построим условие сильной эллиптичности для симметрического разностного оператора. Для упрощения изложения рассмотрим дифференциальный оператор, содержащий только старшие производные: . (1.52) Введем вспомогательные матрицы, существующие в силу симметричности и положительности матриц Rs: = s ml m,l=1, . Лемма 1.14. Пусть p ∈ [2,∞), Rs > 0 -симметрические матрицы, соответствующие разностному оператору RQ. Пусть дифференциальный оператор A, cм. (1.52), задан дифференцируемыми коэффициентами Ai(x,ξ), измеримыми для п.в. x ∈ Q, непрерывными по всем ξ ∈ Rn, для производных справедлива оценка роста (1.26) и для любых ζ,η ∈ RN(s)×n выполнено алгебраическое условие сильной эллиптичности , (1.53) где c20 > 0 не зависит от x,ζ и η. Тогда оператор AR : W˚p1(Q) → Wq-1(Q) сильно монотонен. Доказательство. Сначала отметим, что в силу оценки (1.26) справедлива оценка (1.6), т. е. AR - деминепрерывный, см. лемму 1.9. Пусть w = RQ(u-y) и v = RQy, где u,y ∈ W˚p1(Q). Согласно лемме 1.6 существует ограниченный обратный оператор RQ-1 : Lp(Q) → Lp(Q). Из равенства (1.7) и леммы 1.5 следует, что Используя формулу (1.18), распишем где (·,·) - скалярное произведение в RN(s). В силу дифференцируемости коэффициентов Ai и справедливости формулы Тейлора Заметим, что интегралы по Qs1 существуют в силу (1.26). Распишем подынтегральное выражение, учитывая симметричность и положительную определенность матриц Rs и Rs-1: . По правилу умножения матриц левая часть подынтегрального скалярного произведения может быть представлена в виде , где diag - диагональная матрица порядка с диагональными элементами Обозначим . (1.55) Используем алгебраическое условие сильной эллиптичности (1.53): . Поскольку !, то . Дискретный спектр матриц не содержит 0, т. е. см. (1.22). Сильная монотонность оператора AR доказана. Теорема 1.4. Пусть выполнены условия леммы 1.14. Тогда для любого f ∈ Wq-1(Q) существует единственное обобщенное решение задачи (1.1), (1.2) с дифференциальным оператором A, заданным в (1.52), причем , (1.57) где u1 и u2 -обобщенные решения задачи (1.1)-(1.2) при правых частях f1 и f2 соответственно. Здесь c10 > 0 не зависит от uk и fk, k = 1,2. Доказательство совпадает с доказательством теоремы 1.1. Очевидно, что при наличии младших производных в дифференциальном операторе мы получим результаты, аналогичные полученным в разделе 1.4. Глава2 СУЩЕСТВЕННО НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ В этой главе задача (1.1)-(1.2), см. раздел 1.1, исследуется при условии, что дифференциальный оператор может являться существенно нелинейным. Будут использованы свойства разбиения области и разностного оператора, см. раздел 1.2. Константы c1,c2,c3,c4,c5 > 0 определены в разделах 1.1-1.2. Нумерация остальных констант соответствует этой главе, если нет ссылки на формулы из главы 1. 2.1. Алгебраическое условие эллиптичности и существование решения Пусть функции Ai,i = 0,1,... ,n, и матрицы Rs удовлетворяют следующим условиям: (A0) Условие невырожденности: . (A1) Условие интегрируемости: Ai -функции типа Каратеодори, т.e. Ai(x,ξ) измеримы по x для всех ξ ∈ Rn+1 и непрерывны по ξ ∈ Rn+1 для п.в. x ∈ Q; более того, для п.в. x ∈ Q и любых ξ ∈ Rn+1 |Ai(x,ξ)|ξi|p-1, i = 0,... ,n, (1.6) 0 где c1 > 0, g ∈ Lq(ΩT ). (A2) Условие коэрцитивности: для всех s, и любых ζ ∈ RN(s)×(n+1), существуют такие, что . (2.1) 1 1 (A3) Условие эллиптичности: для всех s, и любых ζ,η ∈ RN(s)×(n+1) таких, что справедлива оценка . (2.2) Заметим также, что в случае отсутствия сдвигов (т. е. при RQ = I) условие (A2) трансформируется в условие коэрцитивности для дифференциальных операторов (см. [20, 93], например), а условие (A3) является стандартным при исследовании псевдомонотонных дифференциальных операторов (см. [33, 57] и др.), a также дифференциальных операторов, обладающих свойством (S+) (см. [57] и др.). Лемма 2.1. Пусть выполнены условия (A0)-(A2). Тогда оператор AR : W˚p1(Q) → Wq-1(Q), заданный формулой (1.7), коэрцитивен. Доказательство. Пусть u ∈ W˚p1(Q), w = RQu. Вследствие условия (А0) разностный оператор RQ невырожден, т. е. существует ограниченный обратный оператор RQ-1 : Lp(Q) → Lp(Q), см. лемму 1.6. Следовательно, Подставив оценку (2.1) в формулу (2.3), в силу утверждений леммы 1.6 получим, что . Q Q Воспользуемся равенством (1.16), оценкой (1.22) для оператора RQ : Lp(Q) → Lp(Q) и оценкой (1.17) для оператора. Тогда Q Из неравенства Фридрихса и оценки (2.4) получаем , (2.5) где c9 > 0, константы c9,c10,c11,c12 не зависят от u. И поскольку , то для достаточно больших полученное в правой части (2.5) выражение монотонно возрастает к +∞ при , степень роста p > 1. Коэрцитивность доказана. Построим вспомогательные функции Hs : Qs1 × R2N(s)×(n+1) → R1: , (2.6) определенные для всех ζ,η ∈ RN(s)×(n+1) таких, что ηl0 = 0, l = 1,...,N(s). Введем также обозначение . Лемма 2.2. Для любых κ,C,C1 > 0 существует положительная функция cs(x) такая, что для всех ζ ∈ U(C,C1), где и η ∈ RN(s)×(n+1) таких, что ηl0 = 0, l = 1,...,N(s), справедлива оценка | . (2.7) Здесь cs(x) > 0 определена для почти всех x ∈ Qs1, зависит от κ,C,C1 и не зависит от ζ и η. Доказательство. Пусть Uκ := {η ∈ RN(s)×(n+1) : |η| = κ, ηl0 = 0}. При фиксированных x ∈ Qs1, ζ ∈ U(C,C1) и η ∈ Uκ определим функцию одной переменной hs(χ) := Hs(x,ζ,χη), χ ∈ R+. Тогда . Согласно условию эллиптичности (2.2), hs(1) > 0. Кроме того, (ζ + χη) - (ζ + η) = (χ - 1)η, т. е. в силу того же условия для любого χ > 1 . Заметим, что σs(1) = 0 по построению. Таким образом, для любого. Перепишем этот результат в следующем виде: , поскольку для произвольного) существуют такие, что. Следовательно, Определим функцию . Поскольку множества U(C,C1) и Uκ ограничены и замкнуты, то минимум существует. Более того, этот минимум строго положителен, поскольку |η| = κ > 0 и справедлива оценка (2.2). Оценка (2.7) доказана. Лемма 2.3. Пусть справедливы условия (A0)-(A3). Тогда оператор A : W˚p1(Q) → Wq-1(Q), заданный в (1.7), обладает свойством (S+). Доказательство. Пусть слабо в W˚p1(Q) и . (2.8) 1. Сначала докажем, что. В силу компактности вложения W˚p1(Q) ⊂ Lp(Q), um → u в Lp(Q), см. [72, гл. I, §8, пп. 2]. Используя лемму 1.6, условие (A1) и теорему [29, теорема 2.1, гл. 1, §2] о непрерывном отображении получим, что Ai(x,RQuj,∇RQu) → Ai(x,RQu,∇RQu) вLq(Q), т. е. в силу слабой сходимости . B силу условия (A1) и ограниченности слабо сходящейся последовательности {uj} множество {A0(x,RQuj,∇RQuj)} ограничено в Lq(Q), т. е. , поскольку uj → u в Lp(Q). Следовательно, Для изучения правой части (2.9) введем вспомогательные функции w = RQu и wj = RQuj. Согласно лемме 1.6 существует ограниченный обратный оператор RQ-1. Воспользуемся формулой (1.18) и коммутативностью операторов RQ-1 и ∂i на Qsl: т. е. мы обозначили . Введем матрицы ζj = {ζlij } и ηj = {ηlij } следующим образом: ζlj0 = ηlj0 = wj(x + hsl), l = 1,...,N(s), ζlij = ∂iwj(x + hsl), ηlij = ∂iw(x + hsl), l = 1,...,N(s), i = 1,...,n. Заметим, что при этом. Из условия (A3) следует, что Isj > 0 для всех j. Подставим эту оценку в (2.9). Тогда . Сопоставив это неравенство с неравенством (2.8), получаем, что . (2.10) 2. Следующим шагом докажем, что при этом uj → u в W˚p1(Q), т. е. ∂iuj → ∂iu в Lp(Q). Для этого достаточно показать сходимость по мере последовательностей {∂iuj} и их равностепенную непрерывность в целом в Lp(Q), см. теорему о сильной сходимости [72, гл. 1, п. 3]. 2.1. Для доказательства сходимости по мере используем функцию Hs, определенную в (2.6). Из равенства (2.10) получаем, что Воспользуемся оценкой (2.7). Тогда здесь cs(x + hsl) = cs(x) для любого hsl. Поскольку cs(x) > 0, а оператор RQ невырожден, то данное равенство возможно лишь при сходимости ∂iuj → ∂iu по мере для всех i = 1,...,n. 2.2. Для доказательства равностепенной непрерывности достаточно показать, что pdx ⊂ (2.11) mes и стремление к пределу в (2.11) равномерно относительно j. Заметим, что Первое слагаемое правой части (2.12) оценим, исходя из условия коэрцитивности (2.2), а остальные - применяя условие (A1) и неравенство Г¨eльдера, также будет применена оценка из условия интегрируемости (1.6): 1 ( ) 1 Здесь вторая и третья сумма правой части (2.12) оценены вместе в четвертом слагаемом правой части (2.13) с учетом того, что . Для сокращения записи введем обозначение. Скомпонуем слагаемые и оценим с помощью неравенства Юнга: Выберем ε1,ε2 > 0 такими, что . Тогда , (2.15) где - функция, равная сумме третьего и последних пяти слагаемых правой части (2.14): . Следовательно, для любого s и любого (2.16) E 1 (s) E E Сходимость первого интеграла в правой части (2.16) к нулю при j → ∞ на любом множестве E ⊂ Qs1 доказана выше, см. (2.10). Сходимость второго интеграла в правой части (2.16) к нулю следует из абсолютной непрерывности интеграла и того, что множествокомпактно, поскольку при формировании функций gsj участвовали фиксированные функции и функции из компактных множеств: Таким образом, сходимость в (2.16) равномерна по j для всех s, множества {∂iwj} компактны в . В силу непрерывности оператора RQ это возможно тогда и только тогда, когда множества {∂iuj} компактны в . Так как mes, то равенство (2.11) доказано. Слабо сходящаяся в W˚p[4](Q) последовательность {uj} принадлежит компактному множеству. Двух пределов существовать не может, т. о. данная последовательность сходится к u в W˚p1(Q). Лемма 2.4. Если справедливы условия (A0)-(A3), то оператор A : W˚p1(Q) → Wq-1(Q), заданный формулой (1.7), псевдомонотонен. Это следует из леммы 2.3, так как деминепрерывный оператор, обладающий свойством (S+), является псевдомонотонным. Теорема 2.1. Пусть справедливы условия (A0)-(A3). Тогда для любого f ∈ Wq-1(Q) существует обобщенное решение задачи (1.1)-(2.2) u ∈ W˚p1(Q). Более того, множество решений задачи (1.1), (1.2) ограничено и слабо замкнуто. Доказательство. Из условий теоремы следует, что AR -деминепрерывный, см. лемму 1.9, коэрцитивный (см. лемму 2.1), оператор, обладающий свойством (S+) (см. лемму 2.3), т. е. псевдомонотонный (см. лемму 2.4). Следовательно, обобщенное решение задачи (1.1), (1.2) существует, см. [33, теорема 2.7, гл. 2]. Ограниченность и слабая замкнутость множества решений следует из того, что оператор в рассматриваемом уравнении коэрцитивен и обладает свойством (S+), см. доказательство в теореме 1.2. 2.2. Алгебраическое условие сильной эллиптичности и существование решения В предыдущей главе построено алгебраическое условие сильной эллиптичности для квазилинейных дифференциально-разностных операторов. Близкую конструкцию можно построить для существенно нелинейных дифференциально-разностных операторов. Для существенно нелинейных дифференциальных операторов аналогичное условие рассмотрено в работах автора, см. [75]. Лемма 2.5. Пусть p ∈ [2,∞), справедливы условия (A0),(A1), а также (A4) Условие сильной эллиптичности: для всех s, п.в. и любых ζ,η ∈ RN(s)×(n+1) таких, что существует такая, что ηli|p. (2.17) (A5) Условие локальной липшицевости: функции локально липшицевы по ξ0, A0(x,ξ) локально липшицева по, т. е. существуют ε > 0 и функция типа Каратеодори1 Ψ такие, что для любыхимеет единственную ненулевую координату, , (2.18) (2.19) 0 n где. Тогда оператор AR : W˚p1(Q) → Wq-1(Q), заданный формулой (1.17), обладает полуограниченной вариацией. При доказательстве леммы 2.5 нам понадобятся повторяющиеся вычисления: Лемма 2.6. В силу непрерывности функции Ψ из условий (2.18)-(2.19) следует, что для всех ξ, таких, что справедлива оценка . (2.20) Доказательство. Очевидно, что существуют n2 ∈ N и δ ∈ Rn+1 (|δ| < ε) такие, что Тогда 1). 1 Воспользуемся оценкой (2.18): . Переходя к пределу при получаем, что . (2.21) Оценим теперь интеграл по τ из формулы (2.21). Для этого подставим в (2.21) оценку (2.19) и используем известное неравенство ! при α 0. Поскольку мы считаем, что отличаются только в одной координате j, то . Подставив это выражение в (2.21), получаем оценку (2.20). Доказательство леммы 2.5. Обозначим w = RQu и v = RQy, u,y ∈ W˚p1(Q), причем в силу невырожденности оператора RQ существует обратный оператор RQ-1 : Lp(Q) → Lp(Q), см. лемму 1.6. По определению оператора AR и в силу формулы (1.18) где (·,·) - скалярное произведение в RN(s). Очевидно, что при u(x) = y(x) для почти всех x ∈ Q значение данного интеграла неотрицательно. Поэтому, не ограничивая общности, будем считать, что для почти всех x ∈ Q. Очевидно, что при этом и существует λ ∈ [0, 1] такое, что λw(x) + (1 возможно, λ = λ(x). Введем матрицы порядка ζ = (UsPsw,UsPs∂1w ...,UsPs∂nw), η = (UsPsv,UsPs∂1v ...,UsPs∂nv), а также матрицытакие, что (2.23) . (2.24) По построению. В то же времяСначала оценим часть подынтегральной суммы правой части (2.22) Первую сумму правой части (2.25) оценим с помощью условия сильной эллиптичности (2.17): . 1 (s) 1 То есть . (2.26) Рассмотрим вторую и третью суммы правой части (2.25): Is2 Исходя из условия липшицевости (A4) и непрерывности функции Липшица Ψ, воспользуемся оценкой (2.20), см. лемму 2.6: Аналогично для второй группы слагаемых правой части (2.27) имеем Подставим (2.28) и (2.29) в (2.27); учитывая, что, cм. (2.24), получаем оценку Is2 Заметим, что для всех λ ∈ [0, 1] при , а также в силу ограниченности и невырожденности матриц Rs-1 ηli| 1 1 для некоторого c13 > 0. Тогда |ζlk|p-2 + 1 (s) 0 Перейдем к переменным w и v: 0 1 где. В этой оценке учтено, что (см. (1.22)) и (неравенство Фридрихса), для v = RQy оценки аналогичны. Для сокращения записи введем функцию. В силу неравенства Юнга из (2.32) следует, что . (2.33) Осталось оценить слагаемое при i = 0 в подынтегральной сумме правой части (2.22): Исходя из условия липшицевости (A4) и непрерывности функции Липшица Φ, воспользуемся оценкой (2.20), см. лемму 2.6, и подставим в (2.34) аналогично выводу формулы (2.31) из (2.27): Is3 . Вернемся к функциям w,v,u и y и воспользуемся неравенством Г¨ельдера: p-2 + 0 . Заметим, что . Здесь, как и выше, были учтены оценки , а также аналогичные оценки для v = RQy. Осталось воспользоваться известным неравенством: Подставляя (2.26), (2.33) и (2.35) в (2.22), получим =: поскольку . Так как q > 1 и W˚p1(Q) ⊂ Lp(Q) компактно, то AR - оператор с полуограниченной вариацией. Теорема 2.2. Пусть выполнены условия (A0)-(A2) и (A4)-(A5). Тогда для любого f ∈ Wq-1(Q) существует непустое, ограниченное, слабо замкнутое множество обобщенных решений задачи (1.1), (1.2). Доказательство. Из условий теоремы следует, что AR - деминепрерывный (см. лемму 1.9) оператор с полуограниченной вариацией (см. лемму 2.5), причем AR коэрцитивен (см. лемму 2.1). Следовательно, обобщенное решение задачи (1.1), (1.2) существует, см. [20, теорема 3.1, гл. 2, §3], множество решений ограниченно в силу коэрцитивности AR и слабо замкнуто, см. [24, следствие 4.1, гл. 1, §4]. Замечание 2.1. Вместо условия (A2) в теореме 2.2 может быть использовано другое условие, гарантирующее коэрцитивность задачи. Например, если при p ∈ [2,∞) кроме условий (A0),(A1),(A4),(A5) справедливы более сильные оценки для слагаемых с младшими членами: , (2.37) (2.38) (2.39) где 2.3. Уравнения с p-лапласианом Рассмотрим существенно нелинейное функционально-дифференциальное уравнение с дифференциальным оператором, заданным p-лапласианом: ΔpRu(x) = f(x) (x ∈ Q) (2.40) с краевым условием u(x) = 0 (x ∈ R \ Q). (2.41) Здесь p > 2, f ∈ Wq-1(Q) и Δp - p-лапласиан, задаваемый формулой . (2.42) Определение 2.1. Функция u ∈ W˚p1(Q) называется обобщенным решением задачи (2.40), (2.41), если для любого ξ ∈ W˚p1(Q) справедливо интегральное тождество (2.43) Как известно [15, 33], p-лапласиан Δp : W˚p1(Q) → Wq-1(Q) является ограниченным, максимально сильно монотонным оператором, деминепрерывным и коэрцитивным, удовлетворяющим условию сильной эллиптичности. Особенностью рассмотрения данной задачи является то, что благодаря наличию разностного оператора дифференциально-разностный оператор ΔpR в отличие от дифференциального оператора Δp не только не обладает свойством монотонности, но и затруднительно предложить условия на R, когда этот оператор удовлетворяет условию эллиптичности, см. пример 2.1 ниже. Поэтому рассмотрение данного уравнения методами предыдущих разделов весьма проблематично. В этом разделе будут использована связь p-лапласиана с оператором двойственности в Lp. Благодаря этому удается сформулировать достаточные условия существования обобщенного решения задачи (2.40), (2.41) в терминах сильной аккретивности оператора RQ-1, см. определение 2.3. Заметим, что как и в предыдущей главе, в отличие от линейной теории важное значение имеют свойства не оператора RQ, а оператора RQ-1. Ниже будет доказано, что сильная аккретивность оператора RQ-1 гарантирует псевдомонотонность оператора ΔpRQ. Для простоты изложения будет рассмотрен p-лапласиан без младших членов. При наличии младших членов, определяемых непрерывными функциями типа Каратеодори, очевидно, что псевдомонотонность оператора ΔRQ+A0RQ сохраняется: в лемме 1.11 показано, что при в W˚(Q) , что и доказывает псевдомонотонность оператора ΔpRQ + A0RQ при псевдомонотонности ΔpRQ. Сохранение условия коэрцитивности может потребовать дополнительных условий, например, если или выполнено условие (1.39) из леммы 1.12. 2.3.1. Примеры при Q ⊂ R. Проиллюстрируем некоторые особенности дифференциальноразностного оператора с p-лапласианом на примерах при Q ⊂ R. Первый пример показывает, что даже при «хорошем» разностном операторе дифференциальноразностный оператор с p-лапласианом может не удовлетворять алгебраическому условию эллиптичности. При этом будет рассмотрен симметрический положительно определенный разностный оператор RQ с dimR1 = 2, который сохраняет сильную эллиптичность дифференциальноразностного оператора с лапласианом, см. [69, 106]. Пример 2.1. Пусть Q = (0,2), Ru(x) = u(x) + 0,9u(x + 1) + 0,9u(x - 1), p = 4. Разностному оператору соответствует матрица В терминах разделов 1.1-2.2 p-лапласиан как дифференциальный оператор определяется функциями Ai(x,ξ) = Ai(ξ) = |ξi|p-2ξi. Классическое условие эллиптичности для оператора ΔpRQ будет иметь вид , где В нашем примере n = 1, N(1) = 2. Рассмотрим . Тогда . Нетрудно посчитать, что . Условие эллиптичности нарушено. Далее построим явные решения некоторых дифференциально-разностных уравнений с p-лапласианом. Будет показано, что такие уравнения могут иметь неединственное решение, более того, множество решений может быть не конечно. Пример 2.2. Пусть p ∈ (2,∞), Q = (0,3), Ru(x) = u(x) + u(x + 1) + u(x + 2). Рассмотрим задачу (2.44) (2.45) . (2.46) Этому разностному оператору соответствует матрица R1: , . Введем функции v1(x) = u(x) (x ∈ (0,1)), v2(x) = u(x + 1) (x ∈ (0,1)), v3(x) = u(x + 2) (x ∈ (0,1)). Из уравнения (2.45) получим систему уравнений при x ∈ (0,1): , (2.47) (2.48) (2.49) Общее решение системы уравнений (2.47)-(2.49) имеет вид , т. е. Запишем уравнения для определения констант ki. Из краевых условий (2.46) имеем, что u(0) = v1(0) = 0, u(3) = v3(1) = 0. То есть p p k1 - k3 - |k2|p-1 + |k4|p-p1 = 0, k5 - |1 - k6|p-1 = 0. (2.50) (2.51) Из вложения W˚41(0,2) ⊂ C[0, 2] следует, что v1(1) = u(1-0) = u(1+0) = v2(0) и v2(1) = u(2-0) = u(2 + 0) = v3(0), т. е. p p p p k1 - k3 - |1 - k2|p-1 + |1 -p k4|p-1 = k3p- k5 - |k4|p-1 p+ |k6|p-1, (2.52) k3 - k5 - |1 - k4|p-1 + |1 - k6|p-1 = k5 - |k6|p-1. (2.53) Поскольку правая часть уравнения (2.45) - регулярная функция, то . (2.54) Равенства (2.54) эквивалентны равенствам, т. е. |1 - k2| = |0 - k4|, |1 - k4| = |0 - k6|. (2.55) С учетом равенств (2.55) и (2.52) получаем k1 -k3 = k3 -k5. А соотношения (2.53), (2.51) и (2.55) дают, что k1 = k3 = k5. То есть, . Существуют по меньшей мере два набора констант, соответствующих этим условиям. Выпишем решения, соответствующие этим наборам. Если , то . Если , то При этом и , Задача (2.45), (2.46) с разностным оператором из (2.44) имеет два решения. Пример 2.3. Пусть p ∈ (2,∞), Q = (0,3). Рассмотрим задачу (2.45), (2.46) при Ru(x) = u(x) + u(x + 2). Этому разностному оператору соответствует матрица R1: (2.56) . Как и в предыдущем примере, введем функции v1(x) = u(x) (x ∈ (0,1)), v2(x) = u(x + 1) (x ∈ (0,1)), v3(x) = u(x + 2) (x ∈ (0,1)). Из уравнения (2.45) получим систему уравнений при x ∈ (0,1): , (2.57) (2.58) (2.59) Общее решение системы уравнений (2.57)-(2.59) имеет вид , т. е. . Запишем уравнения для определения констант ki. Из краевых условий (2.46) имеем, что u(0) = v1(0) = 0 и u(3) = v3(1) = 0, т. е. p p k1 - k5 - |k2|p-1 +p|k6|p-1 = 0, k5 - |1 - k6|p-1 = 0. (2.60) (2.61) Из вложения W˚41(0,2) ⊂ C[0, 2] следует, что v1(1) = u(1-0) = u(1+0) = v2(0) и v2(1) = u(2-0) = u(2 + 0) = v3(0), т. е. p p p k1 - k5 - |1 - k2|p-1 +p|1 - k6|p-1 = kp3 - |k4|p-1, (2.62) k3 - |1 - k4|p-1 = k5 - |k6|p-1. (2.63) Далее, поскольку правая часть уравнения (2.45) - регулярная функция, то должно выполняться (2.54), т. е. |1 - k2| = |0 - k4|, |1 - k4| = |0 - k6|. Таким образом, получаем соотношения для коэффициентов: . (2.64) Этим условиям, например, удовлетворяют наборы: ; . Следовательно, задача (2.45), (2.46) с разностным оператором из (2.56) имеет бесконечное множество решений, в частности, и , где z ∈ R+. 2.3.2. Достаточное условие сильной аккретивности. Определение 2.2 (см. [33, гл. 2, п. 2.2]). Отображение J : X → X∗ из банахова пространства X в сопряженное ему X∗ называется отображением двойственности относительно функции Φ, если и Учтем, что стандартным оператором двойственности пространства Лебега Lp(Q) является оператор J относительно функции Φ(r) = rp-1, заданный формулой Ju = |u|p-2u, а для пространства W˚p1(Q) оператор двойственности задан p-лапласианом. Определение 2.3. Линейный оператор RQ : Lp(Q) → Lp(Q) называется аккретивным, если для любого . Аккретивный линейный оператор : Q Lp(Q) → Lp(Q) сильно аккретивен, если . (2.65) В дальнейшем под мы будем понимать либо оператор RQ-1, либо его часть в предположении, что . Очевидно, что если оператору RQ соответствуют диагональные матрицы, тосильно аккретивен тогда и только тогда, когда диагональные элементы этих матриц строго положительны, причем константа ca определена минимальным диагональным элементом. Заметим также, что по построению сумма аккретивных операторов является аккретивным оператором. Для сильной аккретивности суммы аккретивных операторов достаточно сильной аккретивности одного из элементов суммы. Докажем вспомогательную оценку. Лемма 2.7. Пусть λ,a,b ∈ R+, p > 2. Тогда , (2.66) если λ ∈ R+ удовлетворяет оценке . (2.67) В частности, оценка (2.66) справедлива, если λ < p p-√1 p = qp1/q. (2.68) p - 1 Если в оценке (2.67) или (2.68) неравенство нестрогое, то в оценке (2.66) неравенство тоже нестрогое. Доказательство. В силу вида формулы (2.66), не нарушая общности, будем считать, что a b (иначе поменяем a и b местами). Оценим сначала . Из неравенств следует, что и . Теперь рассмотрим (2.66), если при λ мы имеем противоположный знак. Поскольку (b/a)p-1 p (b/a) , то . Используя известную формулу получим, что λ при . Пусть ε = 1/q . Тогда . Следовательно, q . Рассмотрим оценку (2.68). Если , т. е. pp . (p - 1)p-1 Для нестрогих оценок доказательство аналогично. Лемма 2.8. Пусть оператору соответствуют матрицы такие, что для всех s = 1,...,n1 и любых m = 1,2,... ,N(s) справедлива оценка , (2.69) где λ удовлетворяет (2.67) (2.68) сильно аккретивен. Если в (2.69) равенство нестрогое для какого-то s или m, то RQ аккретивен. Доказательство. В силу представления (1.18), Оценим подынтегральное выражение в (2.70). Пусть ξ ∈ RN(s) - произвольный вектор. Обозначим через коэффициенты симметрической и кососимметрической частей матрицы Rs. Тогда Первое слагаемое правой части (2.71) неотрицательно в силу оценки (2.66). Второе слагаемое правой части (2.71) неотрицательно, поскольку . Следовательно, ⎛ ⎞ p. (2.72) Подставляя оценку (2.72) в (2.70), получаем, что Таким образом, если справедлива оценка (2.67), то оператор сильно аккретивен с константой . (2.74) Очевидно, что если для некоторого s или m в (2.69) неравенство нестрогое, то из (2.73) следует, что , оператор аккретивен. Замечание 2.2. Пусть λmax(p) удовлетворяет соотношению . В силу неравенства (2.67) λmax(p) монотонно убывает при росте и λmax(p) → 1 при p → ∞. Пример 2.4. Пусть Q = (0,2) × (0,1) и Ru(x) = 4u(x1,x2) + 4u(x1 + 1,x2) - 3u(x1 - 1,x2). Этому оператору соответствует матрица . Обратной к ней является матрица . Для любого p ∈ (2,∞) существует ε > 0 такое, что λ = 1+ε удовлетворяет условию (2.67). Тогда . Условие (2.69) удовлетворено, оператор сильно аккретивен. Пример 2.5. Пусть Q = (0,2) × (0,1) и Ru(x) = u(x1,x2) + 5u(x1 + 1,x2) - 5u(x1 - 1,x2). Этому оператору соответствует матрица . Обратной к ней является матрица . Симметрические части матриц R1 и R1-1 положительно определены, т. е. при p = 2 разностный оператор RQ сохраняет сильную эллиптичность оператора ΔRQ, см. примеры из [106, §9]. Легко проверить, что условие (2.69) нарушено: , мы не можем гарантировать сильную аккретивность оператора RQ-1. Пример 2.6. Пусть Q = (0,2) × (0,1) и Ru(x) = u(x1,x2) - 2u(x1 + 1,x2) + u(x1 - 1,x2). Тогда. Условие (2.69) удовлетворено, если . Оператор RQ-[5] сильно аккретивен при Пример 2.7. Пусть Q = (0,3) × (0,1) и Ru(x) = u(x1,x2) - u(x1 + 1,x2) + u(x1 + 2,x2). Тогда . Для любого p ∈ (2,∞) существует ε > 0 такое, что λ = 1 + ε удовлетворяет условию (2.65): 2 · 1 > (1 + ε)-1|1 - 0| + |1 + 0|, 2 · 1 > (1 + ε)-1|0 - 1| + |0 + 1|. Условие (2.69) удовлетворено, оператор RQ-1 сильно аккретивен. 2.3.3. Свойства оператора ΔpRQ и существование обобщенного решения. Сначала сформулируем несколько свойств оператора двойственности, действующего в сепарабельном, рефлексивном, банаховом пространстве. Лемма 2.9. Пусть. Тогда . (2.75) Доказательство. Согласно определению оператора двойственности, неравенство (2.75) следует из свойства предела норм слабо сходящихся последовательностей: так как , то , см., например, [15, лемма 5.3, гл. 1]. Для двух следующих лемм потребуется покоординатное представление элементов пространств Лебега Lp(Q) и Lq(Q). Введем биортогональный базис пары пространств Lp(Q) и Lq(Q). Поскольку эти пространства рефлексивны, сепарабельны и банаховы, то существует1 базис {ei,gi} такой, что {ei} - базис в Lp(Q), {gi = J(ei)} -базис в . При этом каждому элементу u ∈ Lp(Q) ставится в соответствие ряд Фурье , (2.76) соответственно, элементы J(u) имеют разложение в ряд Фурье . (2.77) Распишем формально: , т. е. в первой сумме участвуют слагаемые с одинаковыми функциями |ei|p-2ei, а во второй сумме - в произведении обязательно будут участвовать не менее двух различных функций ejk и ejl, По определению биортогональной системы, . Таким образом, , (2.78) Поскольку ряд коэффициентов u суммируем в степени ), то ряд коэффициентов Ju суммируем в степени q: . Лемма 2.10. Пусть. Тогда. Доказательство. В силу слабой сходимости последовательности {um}, эта последовательность сходится покоординатно: для всех i. Но тогда имеем сходимость |u(i)|p-2u(i). С учетом связи покоординатного представления элементов um,u и J(um),J(u), см. (2.78), получена покоординатная сходимость J(um) → J(u). Покоординатная сходимость в рефлексивном банаховом пространстве эквивалентна слабой, а двух различных слабых пределов не существует, т. е. . Лемма 2.11. Пусть. Тогда для произвольного сильно аккретивного оператора RQ справедливо, что . (2.79) Доказательство. Пусть . Тогда (см. лемму 2.10) и (в силу непрерывности оператора ). Поскольку в силу аккретивности оператора, то в случае, когда, выражение (2.79) справедливо. Поэтому рассмотрим случай, когда . Тогда и, с точностью до подпоследовательности, , а также . Распишем данное выражение с помощью соответствующих рядов Фурье. Поскольку , (в силу линейности оператора), то . То есть для достаточно больших значений с точностью до подпоследовательностей . Теперь можно использовать теорему о минимаксе и поменять порядок перехода к пределам в следующей формуле: . . Лемма 2.12. Оператор ΔpRQ : W˚p1(Q) → Wq-1(Q), заданный формулой (2.43), ограничен и деминепрерывен. Доказательство. p-Лапласиан удовлетворяет условию интегрируемости c Ai(x,ξ) = |ξi|p-2ξi. Поэтому утверждение леммы 2.12 следует из леммы 1.9. Можно привести непосредственное доказательство. В силу леммы 1.6 линейный оператор RQ : W˚p1(Q) → Wp1(Q) ограничен; p-лапласиан ограничен и деминепрерывен как отображение двойственности в W˚p1(Q), см. [33, гл. II, пп. 2.2]; следовательно ΔpRQ также ограничен и деминепрерывен. Лемма 2.13. Пусть и . (2.80) Тогда, если сильно аккретивен, то . (2.81) Доказательство. Так как, то, по определению слабой сходимости в пространстве для любого i = 1,...,n. Исходя из оценки (2.80), существует индекс i = i1 такой, что . (2.82) В силу свойств оператора двойственности, при, см. лемму 2.10. Кроме того, линейный оператор RQ . Воспользуемся линейностью оператора и распишем (2.82): (2.83) для i = i1. Но в лемме 2.11 доказано, что в силу сильной аккретивности . (2.84) m→∞ Из (2.80) и (2.84) следует, что . (2.85) Повторяя рассуждения, использованные при выводе (2.84), из (2.85) получим, что существует индекс такой, что. Следовательно, за конечное число шагов мы докажем равенство (2.81). Лемма 2.14. Пусть разностному оператору RQ : W˚p[6](Q) → Wp1(Q) соответствуют невырожденные матрицы Rs, ah ∈ R1. Кроме того, пусть обратный оператор1 RQ-1 сильно аккретивен[7]. Тогда оператор ΔpRQ : W˚p1(Q) → Wq-1(Q), заданный формулой (2.43), псевдомонотонен и коэрцитивен. Доказательство. Поскольку разностному оператору RQ : W˚p1(Q) → Wp1(Q) соответствуют невырожденные матрицы Rs, то существует обратный оператор RQ-1, причем для любых u,ξ ∈ W˚p1(Q) , где w = RQu, ψ = RQξ. Здесь было учтена коммутативность разностного оператора RQ и оператора дифференцирования ∂i (см. лемму 1.5): RQ-1∂iψ = RQ-1∂iRQξ = RQ-1RQ∂iξ = ∂iξ. Покажем псевдомонотонность ΔpRQ. Пусть слабо в W˚p1(Q) и . Рассмотрим последовательность {wm = RQum}. В силу непрерывности оператора RQ данная последовательность слабо в Wp1(Q). Кроме того, lim . m 1 Поскольку RQ-1 - линейный, сильно аккретивный оператор, то справедливо равенство (2.81), cм. лемму 2.13: . Псевдомонотонность оператора ΔpRQ доказана. Покажем, что оператор ΔpRQ коэрцитивен. В силу коммутативности RQ и ∂i, а также сильной аккретивности оператора RQ-1 получаем, что , cм. (2.65). Осталось использовать невырожденность RQ и оценку (1.22): Коэрцитивность доказана. Теорема 2.3. Пусть разностному оператору RQ : W˚p1(Q) → Wp1(Q) соответствуют невырожденные матрицы Rs, ah ∈ R1. Кроме того, пусть обратный оператор RQ-1 сильно аккретивен. Тогда задача (2.40), (2.41) имеет непустое, ограниченное, слабо замкнутое множество обобщенных решений. Кроме того, решения задачи (2.40), (2.41) удовлетворяют оценке const. (2.87) Доказательство. Вследствие лемм 2.12 и 2.14 при указанных выше условиях оператор ΔpRQ : W˚p1(Q) → Wq-1(Q), заданный формулой (2.43), деминепрерывен, ограничен, коэрцитивен и псевдомонотонен. Эти свойства гарантируют существование элемента u ∈ W˚p1(Q), удовлетворяющего тождеству (2.43), см. [33, теорема 2.7, гл. 2]. Ограниченность множества решений следует из коэрцитивности оператора. Докажем это, одновременно доказывая оценку (2.87). Пусть u - обобщенное решение задачи (2.40), (2.41). Тогда из оценки коэрцитивности (2.86) и интегрального тождества (2.43) следует, что , что и доказывает оценку (2.87). Покажем, что из псевдомонотонности ΔpRQ следует слабая замкнутость множества решений. Пусть последовательность {um} принадлежит множеству решений, слабо в W˚p1(Q). Поскольку , то в силу псевдомонотонности оператора ΔpRQ для любого ξ ∈ W˚p1(Q) . Из этого следует, что u удовлетворяет интегральному тождеству (2.43). Пример 2.8. Пусть Q = (0, 2,4) × (0,1) и Ru(x) = u(x1,x2) - u(x1 + 1,x2) + u(x1 + 2,x2). Область разбивается на два класса подмножеств, см. рис. 2.1. x2 Q11 Q21 Q12 Q22 Q13 1 0 0,4 1 1,4 2 2,4 x1 Рис. 2.1. Разбиение области Q = (0, 2,4) × (0,1). Fig. 2.1. Partition of the domain Q = (0, 2,4) × (0,1). Оператору RQ соответствуют две матрицы R1 и R2: . Обратными к ним являются матрицы . В примере 2.7 доказано, что матрица R1-1 соответствует сильно аккретивному оператору для любого p ∈ (2,∞). Вторая матрица также соответствует сильно аккретивному оператору 2 · 1 > λ-1|1 - 0| + |1 + 0|, cм. лемму 2.8 и оценку (2.69). Следовательно, оператор ΔpRQ деминепрерывен, ограничен, коэрцитивен и псевдомонотонен. Решение задачи (2.40), (2.41) существует для любого f ∈ Wq-1(Q), 1/q + 1/p = 1, p ∈ (2,∞). Глава3 КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 3.1. Постановка начально-краевой задачи. Операторное уравнение В цилиндре ΩT = Q×(0,T) рассмотрим функционально-дифференциальное уравнение со сдвигами по пространственным переменным ∂tu(x,t) + ARu(x,t) = f(x,t) ((x,t) ∈ ΩT) с начальным условием (3.1) u(x,0) = ϕ(x) (x ∈ Q) и краевым условием (3.2) u(x,t) = 0 (x ∈ Rn \ Q, 0 < t < T). (3.3) Здесь Q ⊂ Rn - ограниченная область с границей ∂Q класса C∞ или Q = (0,d) × G, G ⊂ Rn-1 - ограниченная область (с границей ∂G класса C∞, если при n = 2). В случае n = 1 мы полагаем Q = (0,d). Пусть дифференциальный оператор задан формулой . (3.4) Все функции полагаем вещественнозначными. Определим ограниченный разностный оператор R : Lp(Rn+1) → Lp(Rn+1) по формуле , (3.5) где ah ∈ R, M ⊂ Rn - конечное множество векторов с целочисленными (или соизмеримыми) координатами, x = (x1,...,xn) ∈ Rn. Поскольку разностный оператор R является нелокальным, сдвиги на вектора h ∈ M могут отображать точки x ∈ Q в точки x + h ∈ Rn \ Q. Поэтому краевые условия должны задавать значения неизвестной функции не только на границе цилиндра ΓT = ∂Q × (0,T), но и на некотором множестве, лежащем в (Rn \ Q) × (0,T). Для простоты в дальнейшем мы можем считать, что это множество совпадает с (Rn \ Q) × (0,T). Поэтому краевые условия (3.3) задаются на всем множестве (Rn \ Q) × (0,T). Будем искать обобщенные решения данной задачи в соболевских пространствах. Линейные пространства c нормой являются рефлексивными банаховыми при 1 < p < ∞, если этими свойствами обладало пространство X, см., например [15]. В данной работе в качестве X рассматриваются пространства Wp1(Q) и W˚p1(Q), обладающие данными свойствами; определения этих соболевских пространств приведены в разделе 1.1. Пусть 1/p + 1/q = 1 и V := Lp(0,T;W˚p1(Q)) ∩ L2(ΩT ). Таким образом, V = Lp(0,T;W˚p1(Q)) при p ∈ [2,∞), а сопряженным к нему является пространство V∗ := Lq(0,T;Wq-1(Q)). При p ∈ (1,2) сопряженным к V является пространство V∗ := Lq(0,T;Wq-[8](Q)) + L2(ΩT ). При этом если f = f1 + f2, где f1 ∈ Lq(0,T;Wq-[9](Q)) и f2 ∈ L2(ΩT ), то для любого ξ ∈ V положим где W 1 Q ×W˚ 1 Q → R (·,·) : L (Q)×L (Q) → R - скалярное произведение, норма в V∗ определена по формуле . Подробнее (и в более общей постановке) эти пространства описаны в [15, гл. IV, §1, п. 5], а также в [20, 33] и др.1 Также будем рассматривать рефлексивное банахово пространство W = {u ∈ V : ∂tu ∈ V∗} (3.6) с нормой , где ∂tu - производная элемента u ∈ V в смысле распределений со значениями в V∗. Как известно, пространство W ⊂ C(0,T;L2(Q)), см. [15, теорема 1.17, гл. IV], поэтому u|t=0 имеет смысл. Будем предполагать, что правая часть в (3.1) f ∈ V∗ и начальные условия в (3.2) ϕ ∈ L2(Q). Поскольку оператор R нелокальный, введем оператор RQ = PQRIQ : Lp(ΩT ) → Lp(ΩT ), где IQ : Lp(ΩT ) → Lp(Rn × (0,T)) - оператор продолжения функций из Lp(ΩT ) нулем в (Rn \ Q) × (0,T), PQ : Lp(Rn × (0,T)) → Lp(ΩT ) - оператор сужения функций из Lp(Rn × (0,T)) на ΩT . Функция u(x,t), определенная на ΩT , отображается в функцию (IQu)(x,t), определенную на множестве Rn×(0,T). После действия оператора R на IQu мы вновь получаем функцию, определенную на множестве Rn × (0,T). Оператор PQ вводится для того, чтобы получить сужение функции (RIQu)(x,t) на область ΩT . Поскольку вышесказанное справедливо для всех p ∈ (1,∞), то получаем, что RQ : Lp(0,T;W˚p1(Q)) ∩ L2(ΩT ) → Lp(0,T;Wp1(Q)) ∩ L2(ΩT ). Задача (3.1)-(3.3) рассматривается как операторное уравнение ∂tu + ARu = f (3.7) в пространстве W c начальным условием (3.3), где AR := ARQ. Ниже будут наложены стандартные условия, гарантирующие, что дифференциальный оператор A действует из пространства Lp(0,T;Wp1(Q)) ∩ L2(ΩT ) в V∗, см. [15, 29, 72]. Таким образом, AR : V = Lp(0,T;W˚p1(Q)) ∩ L2(ΩT ) → V∗. Определение 3.1. Будем называть функцию u ∈ W обобщенным решением задачи (3.1)- (3.3), если она удовлетворяет операторному уравнению (3.7) и начальному условию (3.2). Для определения корректной интегральной формы дифференциальные операторы должны удовлетворять условию интегрируемости: коэффициенты оператора A, заданного в (3.4), являются функциями типа Каратеодори (т. е. измеримы по (x,t) ∈ ΩT и непрерывны по остальным переменным для п.в. (x,t) ∈ ΩT ), а также удовлетворяют оценке (3.8) 0 где c1 > 0 и g ∈ Lq(ΩT ). Тогда для любого v ∈ V (3.9) здесь и ниже ∂0u := u. Определение 3.2. Функция u ∈ V называется слабым обобщенным решением задачи (3.1)- (3.3), если она удовлетворяет интегральному тождеству для всех ξ ∈ W таких, что. 3.2. Разбиение области ΩT и свойства разностного оператора Отметим, что рассматривается оператор со сдвигами только по пространственным переменным. Поэтому можно воспользоваться результатами эллиптической теории, см. 1.2. В этом разделе будут сформулированы свойства оператора RQ : Lp(0,T;W˚p1(Q)) → Lp(0,T;Wp1(Q)). Лемма 3.1. Операторы IQ : Lp(ΩT ) → Lp(Rn × (0,T)) и PQ : Lp(Rn × (0,T)) → Lp(ΩT ), а также R : Lp(Rn × (0,T)) → Lp(Rn × (0,T)) и RQ : Lp(ΩT ) → Lp(ΩT ) ограничены, 1 < p < ∞. Обозначим через подпространство функций из Lp(ΩT ), обращающихся в нуль при). Введем ограниченный оператор по формуле . Очевидно, что Ps является оператором проектирования на . Поскольку mesn(∂Qsl) = 0, пространства Лебега Lp(Q) и Lp(ΩT ) можно рассматривать как прямые суммы соответствующих пространств над классами подобластей: ; . (3.11) Лемма 3.2. является инвариантным подпространством оператора RQ для любого 1 < p < ∞. Изоморфизм рефлексивных банаховых пространств определяется по формуле (Usu)l(x,t) = u(x + hsl,t) (x ∈ Qs1,t ∈ (0,T), l = 1,...,N(s)), (3.12) где hs1 = 0. Лемма 3.3. Оператор, заданный соотношением RQs = UsRQUs-1, (3.13) является оператором умножения на матрицу Rs порядка N(s) × N(s) с элементами , (3.14) - Доказательство повторяет доказательство леммы 1.3; для p = 2 cp. c [106, лемма 8.9]. Из ограниченности области Q и формул (3.14) следует, что в случае постоянных коэффициентов ah число различных матриц Rs конечно. Обозначим это число n1, и пусть Rsν обозначают все различные матрицы Rs (ν = 1,...,n1). Лемма 3.4. Спектр оператора RQ Лемма 3.5. Отображение непрерывно, причем ∂i(RQu)(x,t) = RQ∂iu(x,t) ((x,t) ∈ ΩT ). (3.15) Утверждение леммы следует из равенства (3.15) для функций u ∈ C˙ ∞(ΩT ) и плотности подпространства C˙ ∞(ΩT ) в Lp(0,T;W˚p1(Q)). Лемма 3.6. имеем, более того, для любых s = 1,2,... , l = 1,...,N(s) . (3.16) Кроме того, если , то существует обратный оператор RQ-1 : Lp(ΩT ) → для всех, при этом для всех s = 1,2,... и l = 1,...,N(s) ∂i(RQ-1w)(x,t) = RQ-1∂iw(x,t), ((x,t) ∈ Qsl × (0,T)). (3.17) Обратный оператор определен формулой , (3.18) при этом для всех s = 1,2,... и l = 1,...,N(s) справедлива оценка . (3.19) Здесь константы c2,c3 > 0 не зависят от u, w, а также от s. Доказательство совпадает с доказательством леммы 1.6. Заметим, что свойства, указанные в леммах 3.4-3.6 справедливы для всех p ∈ (1,∞). Таким образом, леммы 3.4-3.6 справедливы не только для оператора , но и для L2(ΩT ) при p ∈ (1,2). Лемма 3.7. Пусть . Тогда (3.20) для некоторой константы c5 > 0, причем c5 не зависит от u, но зависит от p. Доказательство следует из равенства в лемме 3.4 и дискретности спектра разностного оператора. 3.3. Квазилинейные параболические уравнения с сильно монотонным дифференциально-разностным оператором. Существование и единственность обобщенного решения Ряд определений и конструкций, используемых в этом разделе, сформулированы в разделе 1.2. Лемма 3.8. Пусть разностный оператор RQ : V → Lp(0,T;W˚p1(Q))∩L2(ΩT ) имеет постоянные коэффициенты ah, коэффициенты дифференциального оператора A, заданного в (3.4), являются функциями типа Каратеодори и удовлетворяют оценке (3.8). Тогда оператор AR : V → V∗ деминепрерывен и ограничен. Доказательство. В силу леммы 3.6 линейный оператор RQ ограничен. Линейный ограниченный оператор непрерывен. Оператор A деминепрерывен и ограничен в силу условия (3.8), см., например, [29, гл. 1, §2]. Композиция AR = ARQ является деминепрерывным, ограниченным оператором. Лемма 3.9. Пусть p ∈ [2,∞), {Rs} -матрицы, соответствующие оператору RQ, Rs = . Мы предполагаем, что оператор A, заданный формулой (3.4), имеет измеримые по (x,t) ∈ ΩT и дифференцируемые по ξj ∈ R(j = 0,1,... ,n) коэффициенты Ai(x,t,ξ), ξ = (ξ0,ξ1,...,ξn) ∈ Rn+1, причем производные удовлетворяют оценкам c6 ζmi|p-2 |ηmi|2 (x ∈ Qs1,t ∈ (0,T)), (3.21) 1 (3.22) для любых s = 1,2,... , ζ,η ∈ RN(s)×(n+1) и ξ ∈ Rn+1; здесьне зависят от x, t, ζ и η. Тогда оператор AR : Lp(0,T;W˚p1(Q)) → Lq(0,T;Wq-1(Q)), заданный формулой (3.4), сильно монотонен. Доказательство. Пусть w = RQ(u-y) и v = RQy, где u,y ∈ Lp(0,T;W˚p1(Q)). Согласно лемме 3.6 существует ограниченный обратный оператор RQ-1 : Lp(ΩT ) → Lp(ΩT ). Из равенства (3.4) и леммы 3.5 следует, что Тогда, используя формулу (3.13), имеем где (·,·) - скалярное произведение в RN(s). Используем дифференцируемость коэффициентов Ai и формулу Тейлора: Заметим, что интегралы по Qs1 и (0,T) существуют в силу (3.22). Пусть определяет диагональную матрицу размерности N(s) × N(s) с диагональными элементами Распишем подынтегральное выражение в (3.24): для почти всех t ∈ (0,T) и x ∈ Qs1. Используя алгебраическое условие сильной эллиптичности (3.21) получим, что c6y)(x + hsm,t)|2 . 1 ( ) 1 Согласно известной оценке !, (доказательство оценки cм. в ссылке к лемме 1.10). По построению w = RQ(u - y). В силу невырожденности матрицы Rs справедлива оценка (3.20), т. е. Сильная монотонность оператора AR доказана. Замечание 3.1. Аналогично доказывается, что при выполнении условий леммы 3.9 Теорема 3.1. Пусть выполнены условия интегрируемости (3.8), дифференцируемости (3.22) для i,j = 0,1,...,n и сильной эллиптичности (3.21), p ∈ [2,∞). Тогда для любых f ∈ Lq(0,T;Wq-1(Q)) и ϕ ∈ L2(Q), существует единственное обобщенное решение задачи (3.1)-(3.3), более того, справедливы следующие оценки: (3.27) , (3.28) где u1 и u2 -обобщенные решения задачи (3.1)-(3.3) при правых частях f1 и f2 и начальных условиях ϕ1 и ϕ2, соответственно; c10,c11,c12 > 0 не зависят от uk,fk и ϕk. Доказательство. Согласно лемме 3.8 оператор AR деминепрерывен и ограничен. Согласно лемме 3.9 оператор AR сильно монотонен. Сильно монотонный оператор строго монотонен и коэрцитивен. Следовательно, решение операторного уравнения (3.7) с начальным условием (3.3) существует и единственно, см. [15, теорема 1.1, гл. VI, §1]. Докажем оценки (3.27) и (3.28). Пусть u1 ∈ W и u2 ∈ W - обобщенные решения задачи (3.1)- (3.3) при правых частях f1 и f2, а также начальных условиях ϕ1 и ϕ2, соответственно. Тогда для всех t ∈ (0,T] имеем, что Здесь использована известная оценка (cм., например, [15, замечание 1.22, гл. IV, §2]). Пусть также u3 ∈ W -обобщенное решение задачи (3.1)-(3.3) при ϕ = ϕ1 и f = f2. Тогда для всех t ∈ (0,T] , (3.30) (3.31) Используем оценку (3.26) и неотрицательность первого слагаемого левой части равенства (3.30): , т. е. . (3.32) Кроме того, в силу монотонности AR из (3.30) следует, что . Подставив оценку из (3.32), мы получим, что . (3.33) В то же время, из неотрицательности второго слагаемого левой части равенства (3.31) следует, что . (3.34) С другой стороны, из (3.26) и (3.31) следует, что Используя неравенство треугольника, из (3.32)-(3.35) получаем, что , . Оценки (3.27) и (3.28) доказаны. 3.4. Операторы с (V;W)-полуограниченной вариацией и обладающие свойством (S+) на W операторы. Существование обобщенного решения В этом разделе рассмотрим ситуацию, когда алгебраическому условию сильной эллиптичности удовлетворяет только «главная часть» оператора AR, содержащая производные только старшего порядка. Как и в эллиптическом случае, построенное в этом разделе условие сильной эллиптичности для параболического квазилинейного дифференциально-разностного оператора при отсутствии сдвигов вырождается в условие, предложенное Ю.А. Дубинским, см. [20]. Напомним, что в общем случае банахово пространство W ⊂ X определено по формуле W = {u ∈ X : ∂tu ∈ X∗}. Определение 3.3. Оператор A : W → X∗ называется оператором с (X;W)-полуограниченной вариацией, если существует непрерывная функция C, для которой при всех u,y ∈ X таких, что , выполняется условие , (3.36) где τ-1C(r1,τr2) → +0 при τ → 0 для всех- полунорма, компактная относительно и непрерывная относительно . При X = Lp(0,T;W˚p1(Q)) удобно рассматривать в качестве . Как известно, W = {u ∈ Lp(0,T;W˚p1(Q)) : ∂tu ∈ Lq(0,T;Wq-1(Q))} вложено в Lp(ΩT ) компактно, см., например, [33, (2.16), гл. 3, п. 2] и [33, теорема 5.1, гл. 1, п. 5]. Определение 3.4. Говорят, что оператор A : D(A) ⊂ X → X∗ c линейной областью определения D(A) радиально непрерывен[10], если для любых u,y ∈ D(A), v ∈ X непрерывна функция . Определение 3.5. Оператор A : W → X∗ называется псевдомонотонным на W, если для любой последовательности сходящейся слабо в W, при выполнении оценки (3.37) справедливо соотношение (3.38) Как известно, радиально непрерывный оператор с (X;W)-полуогpаниченной вариацией является псевдомонотонным на W, cм. [36, предложение 4.2.2, гл. 4, §4.2]. Определение 3.6. Пусть слабо в W и справедлива оценка (3.37). Если при этом um → u в X, то A : W → X∗ обладает свойством (S+) на W. Деминепрерывный оператор, обладающий свойством (S+) на W, псевдомонотонен на W, доказательство аналогично приведенному в [57, с. 11]. Для удобства читателей докажем это. Пусть слабо в W и справедлива оценка (3.37). Тогда uj → u в X согласно свойству слабо в X в силу деминепрерывности оператора A. Следовательно, для всех ξ ∈ X. Лемма 3.10. Пусть. Пусть также оператор A, заданный формулой (3.4), имеет измеримые по (x,t) ∈ ΩT и непрерывные по ξj ∈ R (j = 0,1,... ,n) коэффициенты Ai(x,t,ξ), ξ = (ξ0,ξ1,...,ξn) ∈ Rn+1, удовлетворяющие оценке (3.8). Более того, пусть существуют непрерывные производные Aij(x,t,ξ), i,j = 1,2,...,n, удовлетворяющие оценке (3.22) и алгебраическому условию сильной эллиптичности (3.39) для всех s и почти всех не зависит от x,ζ и η. Тогда AR : Lp(0,T;W˚p1(Q)) → Lq(0,T;Wq-1(Q)) обладает свойством (S+) на W. Доказательство. Сначала покажем, что «главная часть» оператора AR, содержащая слагаемые со старшими производными, сильно эллиптична. Выделим три слагаемых: где Заметим, что в силу условий (3.39), (3.22) оператор A1R(u,·) удовлетворяет условиям леммы 3.9 (c нулевыми функциональными коэффициентами при i = 0). Аналогично (3.25) получаем, что . (3.41) Пусть слабо в . В силу компактности вложения W ⊂ Lp(ΩT ), um → u в Lp(ΩT ). В силу непрерывности оператора и RQum → RQu в Lp(ΩT ). Из сходимости RQum → RQu в Lp(ΩT ) и условия (3.8) следует, что Ai(·,·,RQum,∇RQu) → Ai(·,·,RQu,∇RQu) в Lq(ΩT ), см. [29, гл. 1, §2, п. 4]. Кроме того, так как . Тогда . Рассмотрим второе слагаемое под знаком предела: , так как подынтегральными функциями являются произведения, первый сомножитель которых принадлежит последовательности функций, сходящихся к нулю в пространстве Lq(ΩT ), а второй - последовательности функций, слабо сходящихся к нулю в Lp(ΩT ). Для третьего слагаемого , поскольку подынтегральной функцией является произведение, первый сомножитель которого принадлежит ограниченной в Lq(ΩT ) последовательности, а второй - последовательности функций, сходящихся к нулю в Lp(ΩT ). То есть, . Воспользуемся оценкой (3.41): , что доказывает сходимость. Сходимость по норме последовательности um → u в Lp(0,T;W˚p1(Q)) доказана, оператор AR обладает свойством (S+) на W. Лемма 3.11. Пусть выполнены условия леммы 3.10 и , (3.42) (3.43) 0 где 2 , c15 > 0. R : p(0,T p (Q)) → Lq(0,T;Wq-1(Q)) коэрцитивный. Доказательство. Для первого слагаемого в силу (3.39) получена оценка (3.41): . (3.45) Оценим второе слагаемое, используя (3.42) и неравенство Гельдера: . Заметим, что Поскольку в силу непрерывности вложения пространств Лебега и непрерывности оператора , то . Следовательно, где в силу неравенства Фридрихса . (3.47) Аналогично, для последнего слагаемого правой части (3.44) используем непрерывность вложения для а также непрерывность оператора: 1 где в силу непрерывности вложения пространств Лебега при ; использовано также неравенство Фридрихса (3.47). Выберем ε таким образом, что c17εp/p = c14/2, и подставим оценки (3.45), (3.46) и (3.48) в (3.44): Первое слагаемое в правой части неравенства (3.49) положительно и имеет степенной рост порядка p, а остальные (отрицательные) слагаемые имеют степенной рост порядков меньше p. Оператор AR коэрцитивен. Теорема 3.2. Пусть выполнены условия интегрируемости (3.8), дифференцируемости (3.22) для i,j = 1,...,n, сильной эллиптичности (3.39) и коэрцитивности (3.42)-(3.43), ϕ ∈ L2(Q), f ∈ Lq(0,T;Wq-1(Q)), p ∈ [2,∞). Тогда существует непустое, ограниченное и слабо замкнутое в W множество обобщенных решений задачи (3.1)-(3.3). Доказательство. Из условий теоремы следует, что AR - деминепрерывный (см. лемму 3.9), коэрцитивный (см. лемму 3.11) оператор, обладающий свойством (S+) на W (см. лемму 3.10), т. е. псевдомонотонный на W. Согласно [33, теорема 1.2, гл. 3, §1.4], существует обобщенное решение задачи (3.1)-(3.3) u ∈ W. Ограниченность множества решений следует из коэрцитивности оператора AR. Докажем это. Пусть u - решение, (иначе оценка тривиальна). Тогда (3.50) . (3.51) С правой стороны неравенства (3.51) стоит ограниченное значение. Ограничение левой части (3.51) в силу коэрцитивности оператора AR гарантирует ограниченность, причем можно определить константу, которой ограничена эта норма, так, что данная константа зависит только от и от функции, оценивающей коэрцитивность оператора AR, но не зависит от u. В то же время из формулы (3.50) и ограниченности следует, что ограничена . Доказана ограниченность обобщенных решений задачи (3.1)-(3.3) в пространстве W. Слабая компактность множества решений следует из того, что оператор в рассматриваемом уравнении обладает свойством (S+) на W. Докажем это. Пусть принадлежат множеству решений для каждого n. При этом, по определению, и ∂tun , кроме того, u|t=0 = ϕ в силу непрерывности вложения W ⊂ C(0,T;L2(Q)). Поскольку un - решение (3.7), то . (3.52) Первое слагаемое (3.52), так как. Распишем второе слагаемое (3.52): в силу слабой сходимости, т. е. . C другой стороны, в силу свойства норм слабо сходящихся последовательностей. То есть, если то . (3.53) Подставив это выражение в (3.52) получим, что. Согласно свойству (S+) на W, un → u в Lp(0,T;W˚p1(Q)). Из деминепрерывности оператора следует, что в Lq(0,T;Wq-1(Q)). Следовательно, u удовлетворяет операторному уравнению (3.7). Если условие дифференцируемости справедливо для всех i,j = 0,1,... ,n, то можно доказать более сильное свойство для квазилинейного дифференциально-разностного оператора. Лемма 3.12. Пусть p ∈ [2,∞), выполнены условия леммы 3.10 и существуют непрерывные производные Aij(x,t,ξ), удовлетворяющие оценке (3.22) для всех i,j = 0,1,... ,n. Тогда AR : Lp(0,T;W˚p1(Q)) → Lq(0,T;Wq-1(Q)) -оператор с (V,W)-полуограниченной вариацией. Доказательство. Как и в доказательстве леммы 3.10, разобьем оператор на три слагаемых, см. (3.40), и получим для первого слагаемого правой части (3.40) оценку (3.41). Оценим второе слагаемое правой части (3.40). Воспользуемся дифференцируемостью коэффициентов, формулой Тейлора и теоремой о среднем: для некоторого. Заметим, что интегралы по ΩT существуют в силу условия (3.22). Оценим подынтегральное выражение, используя (3.22): . Подставим полученное выражение в (3.54) и применим неравенство Г¨ельдера: ; здесь учтено, что |RQu|p-2 + |RQy|p-2 при p > 2. Используем также неравенства Фридрихса (3.47) и ограниченности оператора . Тогда . Введем вспомогательную функцию . Следовательно, 1 Аналогично оценим третье слагаемое правой части (3.40): Поскольку , 0 n то . Следовательно, Подставляя оценки (3.41), (3.55) и (3.56) в (3.40), получаем . Пусть. Тогда Два последних слагаемых правой части (3.57) удовлетворяют условиям функции , определяющей (V,W)-полуограниченность вариации оператора AR, cм. (3.36). Теорема 3.3. Пусть выполнены условия интегрируемости (3.8), дифференцируемости (3.22) для i,j = 0,1,...,n, сильной эллиптичности (3.39) и коэрцитивности (3.42)-(3.43), ϕ ∈ L2(Q), f ∈ Lq(0,T;Wq-1(Q)), p ∈ [2,∞). Тогда существует непустое, ограниченное и слабо замкнутое в W множество обобщенных решений задачи (3.1)-(3.3). Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.2, только вместо теоремы о существовании решения параболического уравнения с псевдомонотонным на W оператором (см. [33, теорема 1.2, гл. 3, §1]) мы можем использовать теорему о существовании решения параболического уравнения с оператором с (V,W)-полуограниченной вариацией (см. [20, теорема 3.2, гл. 3]). Теорема 3.4. Пусть p = 2, а также выполнены условия интегрируемости (3.8), дифференцируемости (3.22) для i,j = 0,1,... ,n, сильной эллиптичности (3.39) и коэрцитивности (3.42)(3.43). Тогда для любых f ∈ L2(ΩT ) и ϕ ∈ L2(Q) существует обобщенное решение задачи (3.1)- (3.3), причем ∂tu ∈ L2(ΩT ). Доказательство. При p = 2 можно рассматривать рефлексивное банахово пространство . 1 Как известно, W1 ⊂ L2(ΩT ) компактно, см. [33, теорема 5.1, гл. 1, §5]. Согласно оценке (3.57) оператор AR является оператором с (V,W1)-полуограниченной вариацией. Оценки (3.42)-(3.43) гарантируют коэрцитивность оператора, см. лемму 3.11. Следовательно, существует решение операторного уравнения (3.7), см. [20, теорема 3.2, гл. 3] или [33, теорема 1.2, гл. 3, §1]. При этом решение u ∈ W,1 т. е. ∂tu ∈ L2(ΩT ). 3.5. Существование периодических решений параболического дифференциально-разностного уравнения Помимо начально-краевой задачи, полученные выше результаты позволяют доказать существование периодических по t решений параболической задачи (3.1), (3.3). В цилиндре Q × R рассмотрим уравнение ∂tu(x,t) + ARu(x,t) = f(x,t) ((x,t) ∈ Q × R) (3.58) с краевым условием u(x,t) = 0 (x ∈ Rn \ Q), если f(x,t) и коэффициенты дифференциального оператора A периодичны по t с периодом T. То есть достаточно рассмотреть уравнение (3.1) с краевым условием (3.3) при условии периодичности u(x,0) = u(x,T) (x ∈ Q). (3.59) Введем рефлексивное банахово пространство с нормой - производная элемента u ∈ V в смысле распределений со значениями в V∗. Обозначим через сужение оператора AR на пространство W : Определение 3.7. Будем называть функцию обобщенным решением задачи (3.58), (3.3), (3.59), если она удовлетворяет операторному уравнению (3.60) Очевидно, что W ⊂ W непрерывно. Более того, операторнаследует свойства оператора. Используя это, сформулируем теоремы существования решения. Теорема 3.5. Пусть, коэффициенты дифференциального оператора A периодичны по t с периодом T, а также выполнены условия дифференцируемости (3.22) для i,j = 0,1,... ,n и сильной эллиптичности (3.21), p ∈ [2,∞). Тогда для любого f ∈ Lq(0,T;Wq-1(Q)) существует единственное обобщенное решение задачи (3.58), (3.3), (3.59), более того, справедлива следующая оценка: , (3.61) где u1 и u2 -обобщенные решения задачи (3.58), (3.3), (3.59) при правых частях f1 и f2; c24 > 0 не зависит от uk и fk. Доказательство. В силу условия интегрируемости (3.8) оператор деминепрерывен и ограничен, см. лемму 3.8. В силу условий дифференцируемости (3.22) и сильной эллиптичности (3.21) оператор AR сильно монотонен, см. лемму 3.9. Сильно монотонный оператор строго монотонен и коэрцитивен. Следовательно, решение операторного уравнения (3.60) существует и единственно, см. [15, теорема 1.4, гл. VI, §1]. Докажем оценку (3.61). Пусть - обобщенные решения задачи (3.58), (3.3), (3.59) при правых частях f1 и f2. Тогда . (3.62) Здесь использована известная оценка для любого u ∈ W: , cм., например, [15, замечание 1.22, гл. IV, §2]. То есть для любого Используем оценку сильной монотонности оператора (3.26): , т. е. . (3.63) Оценка (3.61) доказана. Теорема 3.6. Пусть, коэффициенты дифференциального оператора A периодичны по t с периодом T, а также выполнены условия интегрируемости (3.8), дифференцируемости (3.22) для i,j = 1,...,n, сильной эллиптичности (3.39) и коэрцитивности (3.42)(3.43), f ∈ Lq(0,T;Wq-1(Q)), p ∈ [2,∞). Тогда существует непустое, ограниченное и слабо замкнутое в W множество обобщенных решений задачи (3.58), (3.3), (3.59). Доказательство. В силу условия интегрируемости (3.8) оператор деминепрерывен и ограничен, см. лемму 3.8. В силу условий дифференцируемости (3.22) и сильной эллиптичности (3.39) оператор обладает свойством см. лемму 3.10, т. е. псевдомонотонен на W. В силу условий (3.42)-(3.43) оператор AR коэрцитивен, см. лемму 3.11. Согласно [33, теорема 1.1, гл. 3, §1.3], где, существует обобщенное решение задачи (3.58), (3.3), (3.59) Ограниченность множества решений следует из коэрцитивности оператора AR. Докажем это. Пусть u - решение,. Тогда . (3.64) С правой стороны неравенства (3.64) стоит ограниченное значение, причем ограничение зависит только от и от функции, оценивающей коэрцитивность оператора , но не зависит от u. При этом существует t1 ∈ [0,T] такое, что. Но тогда для любого , , что доказывает ограниченность множества решений в пространстве W. Слабая компактность множества решений следует из того, что оператор в рассматриваемом уравнении обладает свойством Докажем это. Пусть принадлежат множеству решений для каждого n. При этом, по определению, и , причем u|t=0 = u|t=T . Поскольку un -решение операторного уравнения (3.60), то . (3.65) Первое слагаемое (3.65), так как. Распишем второе слагаемое (3.65): в силу слабой сходимости, т. е. Подставив это выражение в (3.65), получим, что. Согласно свойству (S+) . Из деминепрерывности оператора следует, что в Lq(0,T;Wq-1(Q)). Следовательно, u удовлетворяет операторному уравнению (3.60). Глава4 СУЩЕСТВЕННО НЕЛИНЕЙНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ В этой главе задача (3.1)-(3.3) (см. раздел 3.1) исследуется при условии, что дифференциальный оператор может являться существенно нелинейным. Будут использованы свойства разбиения области и разностного оператора (см. раздел 3.2). Константы c1,c2,c3,c4,c5 > 0 были определены в разделах 3.1-3.2. Нумерация остальных констант будет соответствовать этой главе, если нет ссылки на формулы из главы 3. Также будут использованы определения из главы 3. 4.1. Параболические уравнения с дифференциально-разностным оператором, обладающим свойством (S+) на W Предположим, что для любого класса s функции Ai,i = 0,1,... ,n, и матрицы Rs удовлетворяют следующим условиям: (A0) Условие невырожденности: . (A1) Условие интегрируемости: Ai -функции типа Каратеодори, т.e. Ai(x,t,ξ) измеримы по x и t для всех ξ ∈ Rn+1 и непрерывны по ξ ∈ Rn+1 для п.в. ; более того, для п.в. и любых ξ ∈ Rn+1 (3.8) где (A2) Условие коэрцитивности: для всех s, п.в. и любых ζ ∈ RN(s)×(n+1), существуют такие, что . (4.1) (A3) Условие эллиптичности: для всех s, п.в. и любых ζ,η ∈ RN(s)×(n+1) таких, что справедлива оценка . (4.2) Условие интегрируемости (A1) является стандартным (с небольшими вариациями) для построения интегрального представления дифференциального оператора, см. [20, 29, 33] и др. Благодаря этому условию для любых v ∈ V (4.3) здесь и ниже Заметим также, что в случае отсутствия сдвигов (т. е. при RQ = I) условие (A2) трансформируется в условие коэрцитивности для дифференциальных операторов (см. [20, 93], например), а условие (A3) является стандартным при исследовании псевдомонотонных на W дифференциальных операторов, см. [33] и др., a также дифференциальных операторов, обладающих свойством (S+) на W, см. [93] и др. Лемма 4.1. Пусть выполнены условия (A0)-(A2). Тогда оператор AR : V → V∗, заданный формулой (4.3), коэрцитивен. Доказательство аналогично доказательству леммы 2.1. Для удобства читателей приведем его полностью. Доказательство. Пусть u ∈ V, w = RQu. Вследствие условия (А0) разностный оператор RQ невырожден, т. е. существует ограниченный обратный оператор RQ-1 : Lp(ΩT ) → Lp(ΩT ), см. лемму 3.6. Следовательно, Подставив оценку (4.1) в формулу (4.4), в силу утверждений леммы 3.6 получим, что mes(ΩT ). Воспользуемся равенством (3.15), оценкой (3.20) для оператора RQ : Lp(ΩT ) → Lp(ΩT ) и оценкой (3.16) для оператора. Тогда mes(ΩT ) Очевидно, . Отсюда и из (4.5) получим , (4.6) где константы c9,c10,c11,c12 не зависят от u, c9 > 0. И поскольку , то для достаточно больших полученное в правой части (4.5) выражение строго положительно и монотонно возрастает при , степень роста p > 1. Построим вспомогательные функции , (4.7) определенные для всех ζ,η ∈ RN(s)×(n+1) таких, что ηl0 = 0, l = 1,...,N(s). Введем также обозначение . Лемма 4.2. Для любых κ,C,C1 > 0 существует положительная функция cs(x,t) такая, что для всех ζ ∈ U(C,C1), где и η ∈ RN(s)×(n+1) таких, что ηl0 = 0, l = 1,...,N(s), справедлива оценка | . (4.8) Здесь cs(x,t) > 0 определена для почти всех (x,t) ∈ Qs1 × [0,T], зависит только от κ,C,C1 и не зависит от ζ и η. Доказательство совпадает с доказательством леммы 2.2. В лемме 2.2 рассмотрена функция Hs на ограниченном множестве, а в лемме 4.2 функция Hs рассматривается на ограниченном множестве. Лемма 4.3. Пусть справедливы условия (A0)-(A3). Тогда оператор A : V → V∗, заданный формулой (4.3), обладает свойством (S+) на W. Доказательство. Пусть слабо в W и . (4.9) 1. Сначала докажем, что . Так как слабо в W, то uj → u в пространстве Lp(ΩT ), см., например, [33, (2.16), гл. 3, п. 2] и [33, теорема 5.1, гл. 1, п. 5]. Используя лемму 3.6, условие (A1) и [29, теорема 2.1, гл. 1, §2] о непрерывном отображении получим, что Ai(x,t,RQuj,∇RQu) → Ai(x,t,RQu,∇RQu) вLq(ΩT ), т. е. в силу слабой сходимости . Кроме того, в силу условия (A1) и ограниченности слабо сходящейся последовательности {uj} множество {A0(x,t,RQuj,∇RQuj)} ограничено в Lq(ΩT ), т. е. , поскольку uj → u в Lp(ΩT ). Следовательно, Для изучения правой части (4.10) введем вспомогательные функции w = RQu и wj = RQuj. Согласно лемме 3.6 существует ограниченный обратный оператор RQ-1. Воспользуемся формулой (3.18), а также коммутативностью операторов RQ-1 и ∂i на Qsl × (0,T): Введем матрицы ζj = {ζlij } и ηj = {ηlij } следующим образом: ζlj0 = ηlj0 = wj(x + hsl,t), l = 1,...,N(s), ζlij = ∂iwj(x + hsl,t), ηlij = ∂iw(x + hsl,t), l = 1,...,N(s), i = 1,...,n. Заметим, что при этом для всех j. Из условия (A3) следует, что Isj > 0 для всех j. Подставим эту оценку в (4.10). Тогда . Сопоставив это неравенство с неравенством (4.9), получаем, что . (4.11) 2. Следующим шагом докажем, что при этом uj → u в Lp(0,T;W˚p1(Q)), т. е. ∂iuj → ∂iu в Lp(ΩT ). Для этого достаточно показать сходимость по мере последовательностей {∂iuj} и их равностепенную непрерывность в целом в Lp(ΩT ), см. теорему о сильной сходимости в [72, гл. 1, п. 3]. 2.1. Для доказательства сходимости по мере используем функцию Hs, определенную в (4.7). Из условия (4.9) и равенства (4.11) получаем, что Воспользуемся оценкой (4.8). Тогда здесь cs(x + hsl,t) = cs(x,t) для любого hsl. Поскольку cs(x,t) > 0, а оператор RQ невырожден, то данное равенство возможно лишь при сходимости ∂iuj → ∂iu по мере для всех i = 1,...,n. 2.2. Для доказательства равностепенной непрерывности достаточно показать, что pdxdt ⊂ , (4.12) mes и стремление к пределу в (4.12) равномерно относительно j. Заметим, что Первое слагаемое правой части (4.13) оценим, исходя из условия коэрцитивности (4.1), а остальные - применяя условие (A1) и неравенство Г¨eльдера: части (4.14) с учетом того, что. Очевидно, что . Для сокращения записи введем функцию . Скомпонуем слагаемые и оценим с помощью неравенства Юнга: 1 (s) 1 Выберем ε1,ε2 > 0 такими, что . Тогда , (4.16) где - функция, равная сумме третьего и последних пяти слагаемых правой части (4.15): . Следовательно, для любого s и любого E ⊂ Qs1 × (0,T) Сходимость первого интеграла в правой части (4.17) к нулю при j → ∞ на любом множестве E ⊂ Qs1×(0,T) доказана выше, см. (4.11). Сходимость второго интеграла в правой части (4.17) к нулю следует из абсолютной непрерывности интеграла и того, что множество компактно, поскольку при формировании функций участвовали фиксированные функции и функции из компактных множеств {wj} ⊂ Lp(ΩT ) и {uj} ⊂ Lp(ΩT ): Таким образом, сходимость в (4.17) равномерна по j для всех s, множества {∂iwj} компактны в. В силу непрерывности оператора RQ это возможно тогда и только тогда, когда множества {∂iuj} компактны в. Так как mes, то равенство (4.12) доказано. Слабо сходящаяся в V последовательность {uj} принадлежат компактному множеству. Поскольку двух пределов существовать не может, то данная последовательность сходится к u в V. Свойство (S+) на W доказано. Следствие 4.1. Пусть справедливы условия (A0)-(A3). Тогда оператор A : V → V∗, заданный формулой (2.40), псевдомонотонен[11] на W. Теорема 4.1. Пусть справедливы условия (A0)-(A3). Тогда для любых f ∈ V∗ и ϕ ∈ L2(Q) существует непустое, ограниченное и слабо замкнутое в W множество обобщенных решений задачи (3.1)-(3.3). Доказательство. Из условий теоремы следует, что AR - деминепрерывный (см. лемму 3.8), коэрцитивный (см. лемму 4.1) оператор, обладающий свойством (S+) на W (см. лемму 4.3), т. е. псевдомонотонный на W. Согласно [33, теорема 1.2, гл. 3, §1.4] существует обобщенное решение задачи (3.1)-(3.3) u ∈ W. Ограниченность множества решений следует из коэрцитивности оператора AR, слабая замкнутость множества решений - из свойства (S+) на W, полное доказательство приведено в теореме 3.2. 4.2. Параболические уравнения с оператором с (V,W)-полуограниченной вариацией Как и в эллиптическом случае (см. разделы 2.2 и 2.3), для существенно нелинейного дифференциально-разностного оператора можно построить условие сильной эллиптичности и доказать свойство (V,W)-полуограниченной вариации. Лемма 4.4. Пусть p ∈ [2,∞), справедливы условия (A0),(A1), а также (A4) Условие сильной эллиптичности: для всех s, п.в. и любых ζ,η ∈ RN(s)×(n+1) таких, что , существует такая, что справедлива оценка 1 (A5) Условие локальной липшицевости: функции локально липшицевы по ξ0, функция A0(x,t,y,ξ) локально липшицева по, т. е. существует ε > 0 и функция типа Каратеодори[12] Ψ такие, что для любых , (4.19) (4.20) где при p = 2. Тогда оператор AR : Lp(0,T;W˚p1(Q)) → Lq(0,T;Wq-1(Q)), заданный в (4.3), обладает (V;W)полуограниченной вариацией. Доказательство. Обозначим w = RQu и v = RQy, u,y ∈ Lp(0,T;W˚p1(Q)), причем в силу невырожденности оператора RQ существует обратный оператор RQ-1 : Lp(ΩT ) → Lp(ΩT ), см. лемму 3.6. По определению оператора AR и в силу формулы (3.18) где (·,·) - скалярное произведение в RN(s). Очевидно, что при u(x,t) = y(x,t) для почти всех (x,t) ∈ ΩT значение данного интеграла неотрицательно. Поэтому, не ограничивая общности, будем считать, что для почти всех (x,t) ∈ ΩT . Очевидно, что при этом v(x,t) и существует λ ∈ [0, 1] такое, что для почти всех (x,t) ∈ ΩT , возможно λ = λ(x,t). Введем матрицы порядка N(s) × (n + 1) ζ = (UsPsw,UsPs∂1w ...,UsPs∂nw), η = (UsPsv,UsPs∂1v ...,UsPs∂nv), а также матрицы , ∀i = 1,...,n, (4.22) l0 = ηl0 = l0 + (1 - )ηl0, ∀l = 1,...,N(s). (4.23) По построению , i ∀i = 1,... ,n. Сначала оценим часть подынтегральной суммы правой части (4.21) Первую сумму правой части (4.24) оценим с помощью (4.18): ∂iv(x + hsl,t)|p . (4.25) 1 ( ) 1 То есть . (4.26) Рассмотрим вторую и третью суммы правой части (4.24): Исходя из условия локальной липшицевости . Применим оценку (4.20) и неравенство !: , т. е. Аналогично для второй группы слагаемых правой части (4.27) имеем Подставим (4.28) и (4.29) в (4.27); учитывая, что, cм. (4.23), получаем оценку Заметим, что , а также в силу ограниченности и невырожденности матриц Rs-1 ηli| 1 n для некоторого c13 > 0. Тогда 0 n Перейдем к переменным 0 n 0kn 1in 1 где . В этой оценке учтено, что (см. (3.20)) и вследствие неравенства Фридрихса ; для v = RQy оценки аналогичны. Для сокращения записи введем функцию. В силу неравенства Юнга из (4.32) следует, что . (4.33) Осталось оценить слагаемое при в подынтегральной сумме правой части (4.21): Исходя из условия локальной липшицевости (A5), . (4.35) Оценим интеграл, применив оценку (4.20): Подставляя (4.35) и (4.36) в (4.34), получим, что . Вернемся к функциям w,v,u и y и воспользуемся неравенством Г¨ельдера: . Заметим, что . Здесь, как и выше, (см. (3.20)) и c16r1 (см. неравенство Фридрихса), а также учтены аналогичные оценки для v = RQy. Осталось воспользоваться неравенством Г¨ельдера: Подставляя (4.26), (4.33) и (4.37) в (4.23), получим поскольку . Так как q > 1 и W ⊂ Lp(ΩT ) компактно, то AR -оператор с (V;W)-полуограниченной вариацией. Теорема 4.2. Пусть p ∈ [2,∞) и справедливы условия (A0)-(A1) и (A4)-(A5). Кроме того, пусть выполнено либо условие коэрцитивности (A2), либо оценки (3.42)-(3.43). Тогда для любых f ∈ Lq(0,T;Wq-1(Q)) и ϕ ∈ L2(Q) существует обобщенное решение задачи (3.1)-(3.3) u ∈ W, множество решений ограничено и слабо замкнуто в W. Доказательство. В силу условий (A0)-(A1) AR - ограниченный, деминепрерывный оператор (см. лемму 3.8), а в силу (A4)-(A5) AR - оператор с (V;W)-полуограниченной вариацией (см. лемму 4.4). Кроме того, AR коэрцитивен либо в силу условия (A2) (см. лемму 4.1), либо в силу выполнения оценок (3.42)-(3.43) (см. лемму 3.11). Согласно [20, теорема 3.2, гл. 3] существует обобщенное решение u ∈ W задачи (3.1)-(3.3). Множество решений ограничено (см. доказательство в теореме 3.2) и слабо замкнуто в силу свойства (V,W)-полуограниченной вариации (см. [36, теорема 4.2.1, гл. 4, §2]). Замечание 4.1. Вместо условия (A2) в теореме 4.2 может быть использовано другое условие, гарантирующее коэрцитивность задачи. Например, если при p ∈ [2,∞) кроме условий (A0),(A1),(A4),(A5) справедливы более сильные оценки для слагаемых с младшими членами: , (4.39) (4.40) | (4.41) 0kn где. Теорема 4.3. Пусть p = 2 и справедливы условия невырожденности (A0), интегрируемости (A1), коэрцитивности (A2), сильной эллиптичности (A4) и локальной липшицевости (A5). Тогда для любых f ∈ L2(ΩT ) и ϕ ∈ L2(Q) существует обобщенное решение задачи (3.1)-(3.3), причем ∂tu ∈ L2(ΩT ). Доказательство. При p = 2 можно рассматривать рефлексивное банахово пространство . Как известно, W1 ⊂ L2(ΩT ) компактно, см. [33, теорема 5.1, гл. 1, §5]. Согласно оценке (4.38)V 1 оператор AR является коэрцитивным оператором с ( ,W)-полуограниченной вариацией. Следовательно, существует решение операторного уравнения (3.7), см. [20, теорема 3.2, гл. 3] или [33, теорема 1.2, гл. 3, §1]. При этом решение u ∈ W,1 т. е. ∂tu ∈ L2(ΩT ). Замечание 4.2. При p = 2 утверждения теорем 4.2 и 4.3 сохранятся, если отказаться от условий коэрцитивности (A2), (3.42)-(3.43) или (4.39)-(4.41). В этом случае нужные ограничения получаем благодаря наличию в уравнении оператора ∂t и оценке полуограниченности вариации оператора AR (4.38) (следствие из [36, замечание 4.2.3]). 4.3. Параболическое уравнение с p-лапласианом и разностным оператором В этом разделе рассмотрим задачу (3.1)-(3.3), когда дифференциальный оператор задан p-лапласианом. Как и в разделе 2.3, для исследования дифференциально-разностного оператора ΔpRQ : Lp(0,T;W˚p1(Q)) → Lq(0,T;Wq-1(Q)) будем использовать свойства оператора двойственности. Определение 4.1. Функция u ∈ W называется обобщенным решением задачи (3.1)-(3.3) с дифференциальным оператором , (4.42) если этот элемент удовлетворяет операторному уравнению ∂tu + ΔpRQu = f, (4.43) и u|t=0 = ϕ. Определение 4.2. Линейный оператор называется аккретивным, если для любого u ∈ Lp(Q). Аккретивный линейный оператор RQ : Lp(Q) → Lp(Q) сильно аккретивен, если . (4.44) Заметим, что оператор J : Lp(ΩT ) → Lq(ΩT ), действующий по формуле Ju = |u|p-2u, обладает свойствами, аналогичными свойствам оператора J : Lp(Q) → Lq(Q), cм. леммы 2.9-2.11. Очевидно также, что если оператор аккретивен (сильно аккретивен), то и оператор аккретивен (сильно аккретивен), поскольку в нем нет явной зависимости от t. Критерий сильной аккретивности, доказанный в лемме 2.8 для эллиптического случая, будет справедлив и при рассмотрении в цилиндре. Ниже воспользуемся результатами раздела 2.3. Лемма 4.5. Оператор ΔpRQ : Lp(0,T;W˚p1(Q)) → Lq(0,T;Wq-1(Q)) ограничен и деминепрерывен. Доказательство. p-Лапласиан удовлетворяет условию интегрируемости c Ai(x,t,ξ) = |ξi|p-2ξi. Утверждение леммы 4.5 следует из леммы 3.8. Лемма 4.6. Пустьи (4.45) Тогда, если сильно аккретивен, то . (4.46) Доказательство аналогично доказательству леммы 2.13. Лемма 4.7. Пусть разностному оператору RQ соответствуют невырожденные матрицы Rs, ah ∈ R[13]. Кроме того, пусть обратный оператор RQ-1 сильно аккретивен c константой ca, см. (4.44). Тогда оператор ΔpRQ : Lp(0,T;W˚p1(Q)) → Lq(0,T;Wq-1(Q)) псевдомонотонен1 и коэрцитивен, причем . (4.47) Доказательство аналогично доказательству леммы 2.14. Теорема 4.4. Пусть оператор RQ-1 сильно аккретивен. Тогда для любых f ∈ Lq(0,T;Wq-1(Q)) и ϕ ∈ L2(Q) задача (3.1)-(3.3) с A = Δp имеет непустое, ограниченное, слабо замкнутое множество обобщенных решений, причем для каждого решения справедливы оценки: , (4.48) (4.49) где c30,c31,c32,c33 > 0 не зависят от u,f и ϕ. Доказательство. Вследствие лемм 4.5 и 4.7 при указанных выше условиях оператор ΔpRQ деминепрерывен, ограничен, коэрцитивен и псевдомонотонен. Следовательно, решение операторного уравнения (4.43) существует при ϕ = 0, cм. [33, теорема 1.1, гл. 3, §1]. Для произвольного ϕ ∈ L2(Q) в силу непрерывности и плотности вложений C1(0,T;W˚p1(Q))∩W ⊂ W ⊂ C(0,T;L2(Q) (cм. [15, леммы 1.12, 1.17, гл. IV, §1]) существует элемент v ∈ W такой, что v|t=0 = ϕ. Поскольку оператор ΔpRQ(·+v) деминепрерывен, ограничен, коэрцитивен и псевдомонотонен, то существует решение уравнения ∂t(u + v) + ΔpRQ(u + v) = f, u|t=0 = 0, cм. [33, теорема 1.1, гл. 3, §1]. Это доказывает существование обобщенного решения задачи (3.1)- (3.3) с A = Δp. Ограниченность множества решений следует из коэрцитивности оператора. Докажем это, одновременно доказывая оценки (4.48), (4.49). Пусть u - решение операторного уравнения (4.43), u|t=0 = ϕ. Тогда . (4.50) Используем оценку коэрцитивности (4.47) и распишем первое слагаемое левой части: . (4.51) Оценим правую часть (4.50) с помощью неравенства Г¨ельдера и формулы : . Пусть εp/p = c-5 pca/2. В силу неотрицательности нормы отбросим первое слагаемое в левой части (4.51) . Оценка (4.49) доказана. С другой стороны, третье слагаемое в левой части (4.51) также неотрицательно, следовательно . Подставив в это неравенство оценку (4.49), мы получим оценку (4.48). Слабая замкнутость множества решений следует из псевдомонотонности оператора ΔpRQ. Покажем это. Пусть {um}- решения,. Заметим, что u|t=0 = um|t=0 = ϕ. Поскольку в силу слабой сходимости и , то воспользуемся монотонностью оператора ∂t на множествах с фиксированными начальными условиями: . В силу псевдомонотонности ΔpRQ из последнего неравенства следует, что для любого ξ ∈ Lp(0,T;W˚p1(Q)). Неравенство (4.52) означает, что u - решение операторного уравнения (4.43), причем по построению u|t=0 = ϕ. Заметим, что в этом разделе для простоты изложения рассмотрен p-лапласиан без младших членов. Младшие члены, определяемые непрерывными функциями типа Каратеодори, составляют ограниченный, деминепрерывный и псевдомонотонный на W оператор. Обозначим его по аналогии с ранее введенными обозначениями A0R. Таким образом, сумма ограниченного псевдомонотонного оператора ΔpRQ и ограниченного псевдомонотонного на W оператора A0R даст псевдомонотонный на W оператор. Сохранение условия коэрцитивности может потребовать дополнительных условий, например, если или выполнено условие (3.43) из леммы 3.11. 4.4. Существование периодических решений В этом разделе сформулируем теоремы существования периодических по t решений существенно нелинейных параболических дифференциально-разностных уравнений; квазилинейные уравнения см. в разделе 3.5. В цилиндре Q×R рассмотрим уравнение (3.58). Поскольку нас интересуют периодические по t решения с периодом T, то уравнение будем рассматривать в рефлексивном банаховом пространстве W {u ∈ V : ∂ u ∈ V∗,u t=0 = u t=T } с нормойсужение оператора AR на пространство W: Очевидно, что непрерывно. Более того, оператор наследует свойства оператора AR : W → V∗. Используя это, сформулируем теоремы существования решения. Теорема 4.5. Пусть коэффициенты дифференциального оператора A периодичны по t с периодом T, а также выполнены условия невырожденности (A0), интегрируемости (A1), коэрцитивности (A2) и эллиптичности (A3). Тогда для любого f ∈ Lq(0,T;Wq-1(Q)) множество периодических обобщенных решений задачи (3.58), (3.3), (3.59) непусто и слабо компактно. Доказательство. В силу условий теоремы оператордеминепрерывен и ограничен, см. лемму 3.8, а также коэрцитивен (лемма 4.1) и обладает свойством (S+) на W (лемма 4.3), т. е. псевдомонотонeн на W. Следовательно, решение операторного уравнения (3.60) существует, см. [33, теорема 1.2, гл. 3, §1]. Ограниченность множества решений следует из коэрцитивности оператора, слабая компактность в W следует из свойства (S+) на W, полное доказательство приведено в теореме 3.6. Теорема 4.6. Пусть коэффициенты дифференциального оператора A периодичны по t с периодом T, а также выполнены условия невырожденности (A0), интегрируемости (A1), сильной эллиптичности (A4), локальной липшицевости (A5) и коэрцитивности (3.42)-(3.43), p ∈ [2,∞). Тогда множество периодических обобщенных решений задачи (3.58), (3.3), (3.59) непусто и слабо компактно для любого f ∈ Lq(0,T;Wq-1(Q)). Доказательство. В силу условий (A0)-(A1) AR - ограниченный, деминепрерывный оператор (см. лемму 3.8), в силу условий (3.42)-(3.43) - коэрцитивный (см. лемму 3.11), а в силу AR - оператор с -полуограниченной вариацией (см. лемму 4.4). Следовательно, AR - псевдомонотонный на W оператор, см. [36, предложение 4.2.2, гл. 4, §4.2]. Согласно [33, теорема 1.2, гл. 3, §1] существует обобщенное решение задачи (3.58), (3.3) Ограниченность множества решений следует из коэрцитивности оператора AR, см. доказательство в доказательстве теоремы 3.6. Слабая компактность множества решений следует из псевдомонотонности на W оператора. Для удобства читателей приведем это доказательство полностью. Пусть {um} - решения, Заметим, что при этом в V∗, um|t=0 = um|t=T и u|t=0 = u|t=T . Кроме того, , так как первое слагаемое правой части стремится к нулю из-за слабой сходимости {um}, второе слагаемое правой части стремится к нулю вследствие монотонности оператора ∂t, см. (3.66). В силу псевдомонотонности на W оператора из последнего неравенства следует, что Неравенство (4.53) означает, что u - решение операторного уравнения (4.43), причем по построению u|t=0 = u|t=T . Теорема 4.7. Пусть оператор RQ-1 сильно аккретивен. Тогда для любого f ∈ Lq(0,T;Wq-1(Q)) существует непустое, ограниченное и слабо замкнутое в W множество периодических обобщенных решений задачи, причем решения удовлетворяют оценке , (4.54) где c34 > 0 не зависит от u и f. Доказательство. Вследствие лемм 4.5 и 4.7 при указанных выше условиях оператор ΔpRQ деминепрерывен, ограничен, коэрцитивен и псевдомонотонен. Следовательно, справедливо также свойство псевдомонотонности на W. Согласно [33, теорема 1.2, гл. 3, §1] существует обобщенное решение задачи (3.58), (3.3) Ограниченность множества решений следует из коэрцитивности оператора. Докажем это, одновременно доказывая оценку (4.54). Пусть u - решение операторного уравнения (4.43), u|t=0 = u|t=T . Тогда . В силу периодичности решения. Используем оценку коэрцитивности (4.47) для левой части и неравенства Г¨ельдера для правой: . (4.55) Из этого неравенства непосредственно следует оценка (4.54). Слабая компактность множества решений следует из псевдомонотонности на W оператора ΔpRQ, см. доказательство теоремы 4.6. Глава5 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ ТИПА БИЦАДЗЕ-САМАРСКОГО В 1969 г. А.В. Бицадзе и А.А. Самарский сформулировали новую нелокальную краевую задачу, возникающую в теории плазмы, см. [3]: - Δw(x) = f(x) (x = (x1,x2) ∈ Q = (0,2) × (0,1)), (5.1) (5.2) при γ1 = 0 и γ2 = 1. Разрешимость задачи в случае произвольного эллиптического уравнения с переменными коэффициентами и произвольной структуры носителя нелокальных членов была сформулирована как нерешенная задача, см. [55]. В конце 80-х годов была построена общая теория линейных нелокальных эллиптических краевых задач, в рамках которой была решена указанная проблема, см. [59, 67, 68, 106]. Вопрос о нелинейных эллиптических нелокальных задачах, а также о линейных и нелинейных параболических задачах с нелокальными краевыми условиями оставался открытым. В этой главе будут рассмотрены данные задачи с использованием метода разбиения области и границы, а также теории операторов псевдомонотонного типа. Поскольку в главе будут использованы оценки, полученные в предыдущих главах, то нумерация констант в этой главе будет k1,k2,..., а также будут использованы константы из предыдущих глав cj c указанием формул, где они определены. 5.1. Разностный оператор и изоморфизм соболевских пространств Вначале рассмотрим эллиптические задачи. Будет использовано разбиение области, см. раздел 1.2. Кроме разбиения области, необходимо рассмотреть свойства разбиения границы ∂Q, определяемое тем же множеством сдвигов M ⊂ Rn, см. раздел 1.2. По-прежнему, M - аддитивная группа, порожденная M. Условие 5.1. Пусть множество K, заданное формулой , (5.3) удовлетворяет условию mesn 1(K ∩ ∂Q) = 0. (5.4) - Обозначим через Γρ открытые, связные в топологии ∂Q компоненты множества ∂Q\K. В [106, §7] получен следующий результат: Лемма 5.1. Если для некоторого h ∈ M, то или Γρ+h ⊂ Q, или существует Γr ⊂ ∂Q \ K такое, что Γρ + h = Γr. Согласно этому свойству множества могут быть разбиты на классы. Множества Γρ1 + h1 и Γρ2 + h2 принадлежат одному классу, если 1) существует вектор h ∈ M такой, что Γρ1 + h1 = Γρ2 + h2 + h; 2) для любых Γρ1 + h1,Γρ2 + h2 ⊂ ∂Q нормали к ∂Q в точках x ∈ Γρ1 + h1 и x - h ∈ Γρ2 + h2 однонаправлены. Обозначим множество Γρ +h через Γrj, где r - номер класса, j - номер элемента в классе (1 ). Не нарушая общности, будем считать, что Γr1,...,ΓrJ0 ⊂ Q, Γr,J0+1,...,ΓrJ ⊂ ∂Q (0 0 = 0(r) (r)). Как известно (см. [106, §7]), данное разбиение обладает следующими свойствами: Лемма 5.2 (см. [106, лемма 7.6]). Для любого Γrj ⊂ ∂Q существует подобласть Qsl такая, что Γrj ⊂ ∂Qsl. Более того, если Γrj ⊂ ∂Qsl, то Γrj ∩ ∂Qs1l1 = ∅ для любых пар . Лемма 5.3 (см. [106, лемма 7.7]). Для каждого r = 1,2,... существует единственный номер s = s(r) такой, что N(s) = J(r) и Γrl ⊂ ∂Qsl (l = 1,...,N(s)) (с точностью до перенумеровки). Рассмотрим изоморфизм между подпространствами Соболева, порожденный разностным оператором. При этом предполагается выполненным следующее условие: Условие 5.2. Для каждой подобласти Qsl (s = 1,2,... , l = 1,...,N(s)) и для любого ε > 0 существует открытое множество Gsl ⊂ Qsl с границей ∂Gsl ∈ C1 такое, что mesn(Qsl \ Gsl) < ε, mesn-1(∂GslΔ∂Qsl) < ε. Обозначим Wp,γ1 (Q) (γ = {γijr }) подпространство функций из Wp1(Q), удовлетворяющих нелокальным краевым условиям (5.5) где J0 = J0(r), J = J(r), γljr - вещественные числа, B = {r : J0 > 0}. Рассмотрим набор вещественных постоянных коэффициентов . Определим разностный оператор , (5.6) а также оператор RQ = PQRIQ : Lp(Q) → Lp(Q). Здесь IQ : Lp(Q) → Lp(Rn) - оператор продолжения функций из Lp(Q) нулем в Rn \ Q, PQ : Lp(Rn) → Lp(Q) - оператор сужения функций из Lp(Rn) на Q. Напомним, что оператору RQ соответствуют матрицы такие, что , (5.7) где hsi определяется условием Из ограниченности области Q и формулы (5.7) следует, что множество различных матриц Rs конечно. Согласно лемме 5.3, для каждого r = 1,2,... , найдется единственный номер s = s(r) такой, что N(s) = J(r) и Γrl ⊂ ∂Qsl (l = 1,...,N(s)) после перенумерации подобластей s-го класса. Обозначим через Rs(r) матрицы, полученные из Rs (s = s(r)) путем перенумерования соответствующих столбцов и строк. Пусть-я строка матрицы размерности J ×J0, полученной путем вычеркивания последних J - J0 столбцов из матрицы Rs(r). Определение 5.1. Будем говорить, что матрицы Rs соответствуют граничным условиям (5.5), если выполнено следующее условие: Условие 5.3. Существует набор Λ = {ah : h ∈ M} такой, что для любого s = 1,2,... матрицы Rs невырождены, а также для всех = s(r) справедливы соотношения: (l = J0 + 1,...,J). (5.8) Обозначим через Rs0 матрицу порядка J0 × J0, полученную из матрицы Rs вычеркиванием последних N - J0 строк и столбцов. Пример 5.1. Рассмотрим нелокальные краевые условия задачи Бицадзе-Самарского: (5.9) Согласно этим краевым условиям мы имеем множество сдвигов M = {(0,0);(1,0);(-1,0)}, которые разбивают область Q = (0,2) × (0,1) на две подобласти Q11 = (0,1) × (0,1) и Q12 = (1,2) × (0,1), принадлежащих одному классу. Множество K состоит из 6 точек: K = {(i,j) : i = 0,1,2;j = 0,1}. Множество {Γrj} состоит из 8 элементов, которые принадлежат 4-м классам: 1) Γ11 = {1} × (0,1), Γ12 = {0} × (0,1); x2 Γ41 Γ42 Γ11 Q11 Γ31 = Γ21 Q12 Γ32 Γ22 1 Γ12 0 1 2 x1 Рис. 5.1 Fig. 5.1 2) Γ21 = {1} × (0,1), Γ22 = {2} × (0,1); 3) Γ31 = (0,1) × {0}, Γ12 = (1,2) × {0}; 4) Γ41 = (0,1) × {1}, Γ12 = (1,2) × {1}. Подчеркнем, что Γ11 и Γ21 расположены на одном подмножестве, но имеют противоположные нормали. В соответствии с множеством сдвигов разностный оператор должен иметь вид Ru(x) = u(x1,x2) + a1u(x1 + 1,x2) + a-1u(x1 - 1,x2). Данному оператору соответствует матрица, невырожденная при. В - то же время, для любого u ∈ W˚p1(Q) и w = RQu получаем: . Таким образом, если a1 = γ1, a-1 = γ2 и u ∈ W˚p1(Q), то функция w = RQu ∈ Wp1(Q) и удовлетворяет нелокальным краевым условиям (5.9), т. е. RQ(W˚p1(Q)) ⊂ Wp,γ1 (Q), где γ = {γ1,γ2}. Пример 5.2. Пусть Q = (0,3) × (0,1). Рассмотрим нелокальные краевые условия при γ1 = : (5.10) Согласно этим краевым условиям мы имеем множество сдвигов M = {(k,0)}k=0,±1,±2, которые разбивают область Q = (0,3) × (0,1) на три подобласти. Разбиение области и границы показано на рис. 5.2: x2 Γ41 Γ42 Γ43 Γ12 Q11 Γ31 = Γ21 Γ11 Q12 Γ32 = Γ22 Q13 Γ32 Γ23 1 Γ13 0 1 2 x1 Рис. 5.2 Fig. 5.2 Разностный оператор в силу симметричности нелокальных условий также будет симметричным: Ru(x) = a0u(x) + a1u(x1 + 1,x2) + a1u(x1 - 1,x2) + a2u(x1 + 2,x2) + a2u(x1 - 2,x2). Этому оператору соответствует матрица . На основании условия 5.3 вычислим значения {ai}: a1 = γ1a0 + γ2a1, a2 = γ2a0 + γ1a1. Для удобства вычисления определим a0 = 1. Тогда a1 = 3/4 и a2 = 3/16. Таким образом, если a0 = 1, a1 = 3/4, a2 = 3/16 и u ∈ W˚p1(Q), то функция w = RQu ∈ Wp1(Q) и удовлетворяет нелокальным краевым условиям (5.10), т. е. RQ(W˚p1(Q)) ⊂ Wp,γ1 (Q). Следующая теорема устанавливает связь между эллиптическими дифференциальными уравнениями с нелокальными условиями вида (5.5) и эллиптическими дифференциально-разностными уравнениями с однородными условиями Дирихле. Это позволяет применять результаты, полученные для одной из этих задач, к исследованию другой задачи. Теорема 5.1. Предположим, что выполнены условия 5.1-5.3, а соответствующие матрицы Rs (s = 1,2,... ) и Rs0 (s = s(r), r ∈ B) невырождены. Тогда существует множество γ = {γljr } такое, что оператор RQ отображает W˚p1(Q) на Wp,γ1 (Q) непрерывно и взаимно однозначно. Доказательство. При p = 2 данная теорема доказана в [106, теорема 8.1]. Для p ∈ (1,+∞) доказательство содержит некоторые отличия. Поэтому для удобства читателей приведем его полностью. 1. Докажем вначале, что RQ(W˚p1(Q)) ⊂ Wp,γ1 (Q) для некоторого γ. Очевидно, RQ(W˚p1(Q)) ⊂ Wp1(Q). Поэтому достаточно доказать, что функция RQu удовлетворяет условиям (5.5) для u ∈ W˚p1(Q). Пусть eri - i-я строка матрицы, полученной из Rs путем вычеркивания последних N(s) - J0 столбцов (r ∈ B, s = s(r)). Поскольку , существуют числа γljr такие, что (l = J0 + 1,...,N = N(s)). (5.11) Обозначим через Lp(∪lQsl) подпространство функций из Lp(Q), обращающихся в нуль вне множества. Пространство является инвариантным пространством RQ, см. лемму 1.2. Определим изоморфизмпо формуле . (5.12) Пусть также Ps : Lp(Q) → Lp(∪lQsl) - оператор проекции на Lp(∪lQsl). Тогда (UsPsu)l|Γr1 = 0 (l = J0 + 1,...,N) для любого u ∈ W˚p1(Q). Из (5.11) следует, что где l = J0 + 1,...,N. Таким образом, RQ(W˚p1(Q)) ⊂ Wp,γ1 (Q). 2. Теперь докажем обратное вложение. В соответствии с [106, лемма 7.6], для любого фиксированного r и соответствующего s = s(r) существуют ρ = ρ(r) и m = m(r) такие, что Γr1 ⊂ ∂Qρm, . Перенумеруем подобласти ρ-го класса так, что Γrl ⊂ ∂Qρl (l = 1,...,J0). Пусть w ∈ Wp,γ1 (Q). Тогда u = RQ-1w ∈ Wp1(Qsl), см. лемму 1.6. a) Покажем, что u ∈ W˚p1(Q). Пусть ϕl = 0 (l = J0 + 1,...,N(s)), (5.14) ϕl = ψl (l = 1,...,J0), (5.15) где ϕl = (UsPsu)l(x - hsl)|Γrl (l = 1,...,N(s)), ψl = (UρPρu)l(x - hρl)|Γrl (l = 1,...,N(ρ)). Введем функцию j sl , j j sl j p . s,l С учетом (5.14) для доказательства принадлежности u ∈ W˚p1(Q) достаточно показать, что для любого функция u имеет обобщенные производные ∂ju и ∂ju(x) = uj(x) (x ∈ Q), т. е. для любого v ∈ C˙ ∞(Q) (5.16) Поскольку C∞(Q) всюду плотно в Wp1(Q), для каждого w ∈ Wp1(Q) существует последовательность wm ∈ C∞(Q), сходящаяся по норме, т. е. , (5.17) (5.18) Полагая um = RQ-1wm, из (5.17) и леммы 1.6 имеем, что . (5.19) Из равенств RQ-1 = 'Us-1Rs-1UsPs и PsRQ-1 = RQ-1Ps следует, что . (5.20) В силу конечности числа различных матриц Rsν, а также с учетом (5.18) и (5.20) получаем, что . (5.21) Из условия 5.2 следует формула интегрирования по частям для произвольных um ∈ C∞(Qsl) и: где νsl - единичный вектор внешней нормали к ∂Qsl в точке. Переходя к пределу при m → ∞ и суммируя по s и l, получаем (5.16). Заметим, что в данной формуле интегральные слагаемые на множестве ∂Qsl \ K равны нулю в силу равенств (5.14), если l = J0 + 1,...,N(s). C другой стороны, в силу равенств (5.15) и соотношений νrl = -νρl, имеем , где νrl и νρl - единичные вектора внешних нормалей к ∂Qrl и ∂Qρl соответственно, l = 1,...,J0. b) Теперь докажем равенства (5.14) и (5.15). Поскольку w ∈ Wp1(Q), то (UsPsRQu)l(x - hsl)|Γrl = (UρPρRQu)l(x - hρl)|Γrl, т. е. (RsUsPsu)l(x - hsl)|Γrl = (RρUρPρu)l(x - hρl)|Γrl (l = 1,...,J0). Следовательно, функции ϕl и ψl удовлетворяют условиям: (i = 1,...,J0). (5.22) Более того, (5.13) для функции w = RQu можно переписать в виде . (5.23) Применим (5.11): . (5.24) Из соотношений (5.23) и (5.24) следует, что = 0 (l = J0 + 1,...,N(s)). (5.25) В силу (5.11) -матрица порядка (N(s) - J0) × (N(s) - J0) системы (5.25). Поскольку . Следовательно, ϕl = 0 (l = J0 + 1,...,N(s)). Аналогично получаем, что ψl = 0 (l = J0 + 1,...,N(s)). Таким образом, система (5.21) преобразуется к виду = 0 (i = 1,...,J0). (5.26) По построению, Γrl ⊂ ∂Qsl ∩∂Qρl (l = 1,...,J0). Следовательно, hsl = hρl (l = 1,...,J0) и rils = rilρ (i,l = 1,...,J0), см. (5.7). В силу невырожденности матрицы Rs0 из системы уравнений (5.26) получаем, что ϕl = ψl при l = 1,...,J0. 5.2. Существование решения эллиптического дифференциального уравнения с нелокальными краевыми условиями Рассмотрим нелинейное уравнение (x ∈ Q) (5.27) с нелокальными краевыми условиями (5.5). Определение 5.2. Пусть f ∈ Lq(Q), 1/p + 1/q = 1. Функция w ∈ Wp,γ1 (Q) называется обобщенным решением задачи (5.27), (5.5), если для любого ξ ∈ W˚p1(Q) справедливо интегральное тождество (5.28) Существование обобщенного решения нелокальной задачи связано с существованием решения эквивалентной дифференциально-разностной задачи Дирихле. Напомним, что согласно условию 5.3, граничным условиям (5.5) ставится в соответствие разностный оператор RQ, определяемый набором матриц Rs. Поэтому, используя результаты разделов 1.2-2.3, сформулируем теоремы существования решений дифференциальных уравнений с нелокальными краевыми условиями типа Бицадзе-Самарского. Сначала рассмотрим квазилинейные эллиптические дифференциальные уравнения с нелокальными граничными условиями. Теорема 5.2. Пусть выполнены условия 5.1-5.3, где нелокальным граничным условиям соответствует разностный оператор с невырожденными матрицами Rs (s = 1,2,...) и Rs0 (s = s(r), r ∈ B), причем Rs∗ + Rs > 0. Пусть, кроме того, коэффициенты Ai, i = 0,1,... ,n дифференцируемы и удовлетворяют условиям сильной эллиптичности (1.25)-(1.26). Тогда для любого f ∈ Wq-1(Q) существует единственное обобщенное решение задачи (5.27), (5.5). Более того, если w1 и w2 -обобщенные решения задачи (5.27), (5.5) при правых частях f1 и f2 соответственно, то справедлива оценка . (5.29) Здесь k1 > 0 не зависит от Доказательство. В силу условий 5.1-5.3 существует разностный оператор RQ, соответствующий нелокальным граничным условиям (5.5). Поскольку матрицы Rs (s = 1,2,...) и Rs0 (s = s(r), r ∈ B) невырождены, то RQ : W˚p1(Q) → Wp,γ1 (Q) является изоморфизмом, см. теорему 5.1. То есть для любого w ∈ Wp,γ1 (Q) существует u ∈ W˚p1(Q) такое, что w = RQu. Подставив эту замену переменных в (5.28), мы получим интегральное тождество (1.8). Очевидно, что w = RQu является решением интегрального тождества (5.28) тогда и только тогда, когда u является решением интегрального тождества (1.8). Согласно лемме 1.9 оператор AR := ARQ деминепрерывен и ограничен. Деминепрерывный, сильно монотонный оператор AR : W˚p1(Q) → Wq-1(Q) является гомеоморфизмом, см. [20, следствие 1.1.1]. Существование и единственность решения (1.8) доказана. В силу того, что RQ - изоморфизм, это доказывает существование и единственность решения (5.28). Докажем оценку (5.29). Пусть w1,w2 ∈ Wp,γ1 (Q) и - обобщенные решения задачи (5.27), (5.5) при правых частях f1,f2 ∈ Wq-1(Q), соответственно. Тогда существуют u1,u2 ∈ W˚p1(Q) - решения (1.8) при правых частях f1,f2 ∈ Wq-1(Q), причем . Используем оценку сильной эллиптичности (1.29): , т. е. . Вернемся к переменным wj, используя оценку (1.22): . Теорема доказана. Пример 5.3. Пусть p = 2, Q = (0,2)×(0,1), f ∈ L2(Q). Рассмотрим квазилинейное уравнение (5.30) с краевыми условиями Бицадзе-Самарского: (5.31) Здесь | | . (5.32) В работе [3] был рассмотрен оператор A = -Δ и доказана разрешимость задачи при γ1 = 0 и γ-1 = 1. Существование и единственность обобщенного решения в пространстве W21(Q) для произвольного линейного сильно эллиптического оператора A, заданного 1-периодическими функциями Aij(x,w) = Aij(x), при |γ1 + γ-1| < 2 была доказана в [106]. Там же была установлена взаимосвязь задачи (5.30), (5.31) и эллиптического функционально-дифференциального уравнения ARu(x) ≡ ARQu(x) = f (x ∈ Q) (5.33) c краевым условием u = 0 (x ∈ ∂Q), (5.34) где оператор RQ = IQRPQ таков, что Ru(x) = u(x) + γ1u(x1 + 1,x2) + γ-1u(x1 - 1,x2). А именно, было доказано, что если, то оператор RQ : W˚21(Q) → W21,γ(Q) является изоморфизмом. Здесь удовлетворяют (5.31)}. Таким образом, функция w ∈ W21(Q) тогда и только тогда является обобщенным решением (5.30), (5.31), когда существует обобщенное решение u ∈ W˚21(Q) задачи (5.33), (5.34), причем w = RQu. В рассматриваемой квазилинейной задаче нельзя наложить условие 1-периодичности функций Aij, поскольку имеется явная зависимость Aij от w. Используем теорему 5.2 для проверки сильной монотонности оператора AR. Заметим, что оператору RQ соответствует матрица , где γ0 := 1. Матрица R1 невырождена при. Матрица R10 = 1 также невырождена. Согласно лемме 1.10 оператор AR сильно монотонен, если, а непрерывные функции Aij удовлетворяют неравенству , где k2 > 0 не зависит от ξ ∈ R2 и η ∈ R2×2. В этом случае нелокальная эллиптическая задача (5.30), (5.31) имеет единственное обобщенное решение w ∈ W21,γ(Q) для любого f ∈ W2-1(Q), см. теорему 5.2. Теорема 5.3. Пусть выполнены условия 5.1-5.3, где нелокальным граничным условиям соответствует разностный оператор с невырожденными матрицами Rs (s = 1,2,...) и Rs0 (s = s(r), r ∈ B), причем Rs∗ + Rs > 0. Пусть, кроме того, выполнены условия интегрируемости (1.6), дифференцируемости (1.26) для i,j = 1,...,n, сильной эллиптичности (1.35) и коэрцитивности (1.38)-(1.39), p ∈ [2,∞). Тогда для любого f ∈ Wq-1(Q) существует непустое, ограниченное, слабо замкнутое множество обобщенных решений задачи (5.27), (5.5). Доказательство. В силу условий 5.1-5.3 существует разностный оператор RQ, соответствующий нелокальным граничным условиям (5.5). Поскольку матрицы Rs (s = 1,2,...) и Rs0 (s = s(r), r ∈ B) невырождены, то RQ : W˚p1(Q) → Wp,γ1 (Q) является изоморфизмом, см. теорему 5.1. То есть для любого w ∈ Wp,γ1 (Q) существует u ∈ W˚p1(Q) такое, что w = RQu. Подставив эту замену переменных в (5.28), мы получим интегральное тождество (1.8). Очевидно, что w = RQu является решением интегрального тождества (5.28) тогда и только тогда, когда u является решением интегрального тождества (1.8). Если , а также выполнены условия интегрируемости (1.6), дифференцируемости (1.26) для i,j = 1,...,n, сильной эллиптичности (1.35) и коэрцитивности (1.38)-(1.39), p ∈ [2,∞), то множество решений интегрального тождества (1.8) непусто, принадлежит W˚p1(Q), ограничено и слабо замкнуто, см. теорему 1.2. В силу ограниченности и непрерывности оператора RQ : W˚p1(Q) → Wp,γ1 (Q), а также взаимнооднозначного соответствия w = RQu множество решений интегрального тождества (5.28) непусто, принадлежит Wp,γ1 (Q), ограничено и слабо замкнуто. Перейдем к рассмотрению нелинейных дифференциальных уравнений. Теорема 5.4. Пусть выполнены условия 5.1-5.3, где нелокальным граничным условиям соответствует разностный оператор с невырожденными матрицами Rs (s = 1,2,...) и Rs0 (s = s(r), r ∈ B). Пусть также оператор A, заданный формулой (1.3), имеет измеримые по x ∈ Q и непрерывные по ξj ∈ R (j = 0,1,... ,n) коэффициенты Ai(x,ξ), ξ = (ξ0,ξ1,...,ξn) ∈ Rn+1, удовлетворяющие оценке интегрируемости (1.6), условию эллиптичности (2.1) и условию коэрцитивности (2.2), p ∈ (1,∞). Тогда для любого f ∈ Wq-1(Q) существует непустое, ограниченное, слабо замкнутое множество обобщенных решений задачи (5.27), (5.5). Доказательство. В силу условий 5.1-5.3 существует разностный оператор RQ, соответствующий нелокальным граничным условиям (5.5). Поскольку матрицы Rs (s = 1,2,...) и Rs0 (s = s(r), r ∈ B) невырождены, то RQ : W˚p1(Q) → Wp,γ1 (Q) является изоморфизмом, см. теорему 5.1. То есть для любого w ∈ Wp,γ1 (Q) существует u ∈ W˚p1(Q) такое, что w = RQu. Подставив эту замену переменных в (5.28), мы получим интегральное тождество (1.8). Очевидно, что w = RQu является решением интегрального тождества (5.28) тогда и только тогда, когда u является решением интегрального тождества (1.8). В силу остальных условий теоремы 5.4 существует непустое, принадлежащее W˚p1(Q), ограниченное и слабо замкнутое множество решений интегрального тождества (1.8), см. теорему 2.1. В силу ограниченности и непрерывности оператора RQ : W˚p1(Q) → Wp,γ1 (Q), а также взаимнооднозначного соответствия w = RQu множество решений интегрального тождества (5.28) непусто, принадлежит Wp,γ1 (Q), ограничено и слабо замкнуто. Fig. 5.3 Пример 5.4. Пусть Q = {x ∈ R2 : |x1|2 + |x2|2 < 1}, разбиение области и границы задано сдвигами M = {(0,0);(1,0);(-1,0)}, см. рис. 5.3. Нелокальные краевые условия имеют следующий вид: w|Γj2 = γ-1w|Γj1, j = 1,2, ⎫⎬ w|Γj2 = γ1w|Γj1, j = 4,5, (5.35) w|Γj1 = 0, j = 3,6. ⎭ Область Q разбивается на четыре подобласти, принадлежащих трем классам. Множество K состоит из 7 точек (выделены на рис. 5.3). Граничным условиям соответствует разностный оператор Ru(x) = u(x) + γ1u(x1 + 1,x2) + γ-1u(x1 - 1,x2). Этому оператору соответствуют матрицы . R10 = 1, R2 и R3 невырождены. Задача (5.27), (5.35) будет иметь решение, если, например, выполнены следующие четыре условия: 1) условие невырожденности: = 1; 2) условие интегрируемости: Ai - функции типа Каратеодори, удовлетворяющие (1.6); 3) условие эллиптичности: 0 (, ); 4) условие коэрцитивности: для п.в., , 0 2 где - 1 -1 - x ∈ Q ∪ совпадают с условиями, накладываемыми на дифференциальный оператор при исследовании эллиптических нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Теорема 5.5. Пусть выполнены условия 5.1-5.3, где нелокальным граничным условиям соответствует разностный оператор с невырожденными матрицами Rs (s = 1,2,...) и Rs0 (s = s(r), r ∈ B), причем RQ-1 сильно аккретивен. Тогда для любого f ∈ Wq-1(Q) существует непустое, ограниченное, слабо замкнутое множество обобщенных решений уравнения ) (x ∈ Q) (5.36) с нелокальными граничными условиями (5.5), причем для всех решений справедлива оценка , (5.37) где k2 > 0 не зависит от Доказательство. Очевидно, обобщенное решение задачи (5.36), (5.5) должно удовлетворять для всех ξ ∈ W˚p1(Q) интегральному тождеству . (5.38) В силу условий 5.1-5.3 существует разностный оператор RQ, соответствующий нелокальным граничным условиям (5.5). Поскольку матрицы Rs (s = 1,2,...) и Rs0 (s = s(r), r ∈ B) невырождены, то RQ : W˚p1(Q) → Wp,γ1 (Q) является изоморфизмом, см. теорему 5.1. То есть для любого w ∈ Wp,γ1 (Q) существует u ∈ W˚p1(Q) такое, что w = RQu. Подставив эту замену переменных в (5.38), мы получим интегральное тождество (2.43). Очевидно, что w = RQu является решением интегрального тождества (5.38) тогда и только тогда, когда u является решением интегрального тождества (2.43). Поскольку RQ невырожден, а RQ-1 сильно аккретивен, то тождество (2.43) имеет непустое, ограниченное, слабо замкнутое множество обобщенных решений, удовлетворяющих оценке , (5.39) cм. теорему 2.3. В силу ограниченности и непрерывности оператора RQ : W˚p1(Q) → Wp,γ1 (Q), а также взаимно-однозначного соответствия w = RQu множество решений интегрального тождества (5.28) непусто, принадлежит Wp,γ1 (Q), ограничено и слабо замкнуто. И поскольку (см. (1.22) и неравенство Фридрихса (1.43)), то из (5.39) следует оценка (5.37). Пример 5.5. Рассмотрим уравнение Δpw(x) = f с краевыми условиями (x ∈ Q = (0,2) × (0,1)), (5.40) (5.41) Как показано в примере 5.1, краевым условиям данной задачи соответствует матрица . Обратной к этой матрице будет матрица . Матрицы R1 и R10 = 1 невырождены если |γ| < 1. Матрица R1-1 соответствует сильно аккретивному оператору также если |γ| < 1, см. условие (2.69) в лемме 2.8. То есть, при |γ| < 1 задача (5.40)-(5.41) имеет решение для любого f ∈ Wq-1(Q), cм. теорему 5.5. Пример 5.6. Рассмотрим задачу Δpw(x) = f с нелокальными краевыми условиями (x ∈ Q = (0,3) × (0,1)) (5.42) (5.43) где. Как показано в примере 5.2, граничным условиям данной задачи соответствует матрица . Данная матрица симметрична и положительно определена, т. е. невырождена. R10 также невырождена как главный минор положительно определенной матрицы. С точностью до 3-го знака после запятой выпишем обратную матрицу: . Очевидно, что условие (2.69) в лемме 2.8 не выполнено: 8,615 < | - 12| + 7,385 и 19 < | - 12| + | - 12|, оператор RQ-1 может не быть сильно аккретивным. Мы не можем гарантировать существование решения задачи (5.42)-(5.43). При p = 2 линейная задача (5.42)-(5.43) рассматривалась в [106, пример 13.5, гл. 2], было доказано существование единственного решения для любого f ∈ L2(Q). Пример 5.7. Рассмотрим уравнение (5.42) c нелокальными краевыми условиями (5.44) Подставив параметры нелокальных краевых условий (5.44) в уравнение (5.8) (условие 5.3), получим, что этим условиям соответствует оператор RQ c матрицей , т. е. Ru(x) = u(x) - u(x1 + 1,x2) + u(x1 + 2,x2). Матрицы невырождены, соответствует сильно аккретивному оператору (см. доказательство в примере 2.8). Задача (5.42), (5.44) имеет решение для любого f ∈ Lq(Q) и p ∈ (2,∞), cм. теорему 5.5. Проиллюстрируем возможность однозначной и неоднозначной разрешимости уравнения с pлапласианом и нелокальными граничными условиями на простых примерах. Для этого рассмотрим задачу (5.42)-(5.43) в одномерном случае с различными правыми частями. Напомним, что при p = 2 задача (5.42)-(5.43) имеет единственное решение для любого f ∈ L2(Q). Пример 5.8. Пусть p ∈ (2,∞). Рассмотрим уравнение (5.45) с нелокальными краевыми условиями (5.46) Общее решение уравнения (5.44) имеет вид w(x) = c1x + c2. Подставим общее решение в нелокальные краевые условия (5.46):) ) c)2 = γ1()c1 + c)2) + γ2(2)c1 + )c2), " 3c1 + c2 = γ2(c1 + c2) + γ1(2c1 + c2). Следовательно, ) ) ) ) ) ) (γ1 + 2γ2)c1 + (γ1 + γ2 - 1)c2 = 0, " (5.47) (2γ1 + γ2 - 3)) c1 + (γ1 + γ2 - 1)) c2 = 0. Вычитая из второго уравнения системы (5.47) первое, получим, что) ) (γ1 -γ2-3)c1 = 0. Поскольку . Подставив это значение в одно из равенств системы (5.47),) получим, что . То есть c2 = 0. Система (5.47) имеет единственное решение . Следовательно, задача (5.45), (5.43) имеет единственное решение) w = 0 при любом Пример 5.9. Рассмотрим уравнение (5.48) с нелокальными краевыми условиями (5.46), p = 4. Общее решение уравнения (5.48) имеет вид . (5.49) Подставим (5.49) в нелокальные краевые условия: (5.50) Из системы (5.50) легко выписать уравнение для) c2: ) . (5.51) Очевидно, что c2 = 1) .5 является решением (5.51). Численные методы дают дополнительные ре-) ) ) шения: ) (приведены с точностью до 3-го знака после запятой). Докажем, что на интервалах (0,1) и (2,3) действительно существуют решения уравнения (5.51). Подставим значения:. Введем функцию . ) - ) - 4 - ) | ) Функция g непрерывна. Поскольку ) и, то g имеет нуль на интервале) (0,1). То есть уравнение (5.51) имеет решение на этом интервале.) Аналогично, поскольку) и , то на интервале (2,)3) функция g также имеет нуль. То есть уравнение (5.51) имеет решение на) этом интервале. Так как уравнение (5.51) имеет не менее трех решений, то задача (5.48), (5.47)) также имеет не менее трех решений. 5.3. Существование решения начально-краевой задачи для параболического дифференциального уравнения с нелокальными краевыми условиями типа Бицадзе-Самарского Исследование линейных эллиптических дифференциальных уравнений с нелокальными краевыми условиями широко проводилось ранее, см. [59, 67, 67, 106] и библиографию. Эволюционные дифференциальные уравнения с нелокальными краевыми условиями ранее не исследовались. В этом разделе будут рассмотрены параболические дифференциальные уравнения с нелокальными краевыми условиями, причем для рассмотрения как линейных, так и нелинейных задач будут использованы свойства максимально монотонных операторов, а не теория полугрупп. Определение 5.3. Оператор Λ : D(Λ) ⊂ X → X∗ называется монотонным, если . Монотонный оператор называется максимально монотонным, если не существует нетривиального расширения оператора, сохраняющего свойство монотонности. 5.3.1. Постановка задачи. Будем использовать разбиение области Q и построение множества {Γrj}, подробно изложенное в разделе 5.1. Обозначим теперь ΓTrl := Γrl × (0,T). Также будут использованы условия 5.1, 5.2 и 5.3. Рассмотрим дифференциальное уравнение ∂tu(x,t) + Au(x,t) = f(x,t) (x,t) ∈ ΩT , где дифференциальный оператор A задан формулой (3.4): (5.52) , c начальным условием u|t=0 = ψ и нелокальными краевыми условиями x ∈ Q (5.53) (5.54) где J0 = J0(r), J = J(r), γljr - вещественные числа, B = {r : J0 > 0}. Через Lp(0,T;Wp,γ1 (Q)) (γ = {γijr }) обозначим подпространство функций из Lp(0,T;Wp1(Q)), удовлетворяющих нелокальным краевым условиям (5.54). Рассмотрим набор вещественных постоянных коэффициентов Λ = {ah : h ∈ M}. Определим разностный оператор , (5.55) а также оператор RQ = PQRIQ : Lp(ΩT ) → Lp(ΩT ). Напомним, что свойства оператора RQ исследуются с помощью матриц таких, что , где hsi определяется условием . Если выполнены условия 5.1-5.3, то нашему набору {γlj} соответствует набор Λ = {ah : h ∈ M} и разностный оператор R. Согласно лемме 5.3, для каждого r = 1,2,... найдется единственный номер s = s(r) такой, что N(s) = J(r) и Γrl ⊂ ∂Qsl × (0,T) (l = 1,...,N) после перенумерации подобластей s-го класса (как и в эллиптическом случае). Обозначим через Rs(r) матрицы, полученные из Rs (s = s(r)) путем перенумерования соответствующих столбцов и строк. Кроме того, обозначим через Rs0 матрицу порядка J0 ×J0, полученную из матрицы Rs вычеркиванием последних N(s)-J0 строк и столбцов. Проиллюстрируем разбиение области и построение разностного оператора, соответствующего краевым условиям, на простом примере. Пример 5.10. В качестве модельного примера рассмотрим параболическую задачу с лапласианом в прямоугольном параллелепипеде ΩT = (0,2) × (0,1) × (0,T): (5.56) , (5.57) где f ∈ L2(ΩT ), ψ ∈ L2(Q), c нелокальными краевыми условиями (5.58) Согласно этим краевым условиям мы имеем множество сдвигов M = {(0,0);(1,0);(-1,0)}, порожденная этими сдвигами группа разбивает область Q = (0,2) × (0,1) на две подобласти Q11 = (0,1) × (0,1) и Q12 = (1,2) × (0,1) из одного класса. Множество K состоит из 6 точек: K = {(i,j) : i = 0,1,2;j = 0,1}. Множество состоит из 8 элементов, которые принадлежат 4-м классам, см. рис. 5.4: 1) ); 2) ); 3)); 4) Γ41 = (0,1) 1 (0 ), Γ42 = (1,2) 1 (0 ). Заметим, что в полученном параллелепипеде есть еще 4 части граней, не входящих в множество {ΓTij} (i = 1,...,4;j = 1,2). В частности, на гранях {0} × Q11 и {0} × Q12 заданы начальные условия, на гранях {T}×Q11 и {T}×Q12 мы получим терминальные значения искомой функции. Теорема 5.6. Предположим, что выполнены условия 5.1-5.3, а соответствующие матрицы Rs и Rs0 (s = s(r), r ∈ B) невырождены. Тогда существует множество γ = {γljr } такое, что оператор RQ : Lp(0,T;W˚p1(Q)) → Lp(0,T;Wp,γ1 (Q)) -изоморфизм. Доказательство. Заметим, что оператор RQ не зависит от t. В силу невырожденности матриц Rs и Rs0 оператор RQ(·,t) : W˚p1(Q) → Wp,γ1 (Q) отображает W˚p1(Q) на Wp,γ1 (Q) непрерывно и взаимно однозначно, см. теорему 5.1 для p ∈ (1,∞), для p = 2 см. [106, теорема 8.1] или [69, теорема 2.1]. Следовательно, RQ отображает Lp(0,T;W˚p1(Q)) на Lp(0,T;Wp,γ1 (Q)) непрерывно и взаимно однозначно. x2 1 ΓT12 0 1 2 x1 Рис. 5.4 Fig. 5.4 Обозначим Vγ = Lp(0,T;Wp,γ1 (Q)) ∩ L2(ΩT ). Мы рассматриваем оператор ∂t как неограниченный оператор ∂t : D(∂t) ⊂ Vγ → V∗. Поскольку D(∂t) ⊂ C(0,T;L2(Q)), то начальные условия определены корректно. Введем пространство Wγ := {w ∈ Vγ : ∂tw ∈ V∗}. Тогда задача (5.52)-(5.54) может быть рассмотрена как операторное уравнение ∂tw + Aw = f, w ∈ Wγ (5.59) c начальными условиями (5.53). Определение 5.4. Будем называть функцию w ∈ Wγ обобщенным решением задачи (5.52)- (5.54), если она удовлетворяет операторному уравнению (5.59) и начальным условием (5.53). Теорема 5.7. Пусть выполнены условия 5.1-5.3, причем матрицы Rs и Rs0 невырождены. Элемент u ∈ W является решением операторного уравнения ∂tRQu + ARQu = f, u ∈ W (5.60) c начальными условиями u(x,0) = ϕ(x) = RQ-1ψ (5.61) тогда и только тогда, когда RQu = w ∈ Wγ является решением операторного уравнения (5.59), (5.53). Доказательство. Так как выполнены условия 5.1-5.3, то существует разностный оператор RQ : Lp(0,T;W˚p1(Q)) → Lp(0,T;Wp,γ1 (Q)), являющийся изоморфизмом, см. теорему 5.6. Кроме того, RQ : L2(ΩT ) → L2(ΩT ) невырожденный, т. е. RQ : V → Vγ также изоморфизм. Таким образом, для каждого w ∈ Wγ существует единственный элемент u ∈ V такой, что w = RQu, u = RQ-1w. Кроме того, ∂tRQu = RQ∂tu. Покажем сначала, что если u ∈ Lp(0,T;W˚p1(Q)), ∂tu ∈ Lq(0,T;Wq-1(Q)), то ∂tRQu = RQ∂tu ∈ Lq(0,T;Wq-1(Q)). Линейный оператор RQ : Lq(ΩT ) → Lq(ΩT ) ограничен, см. лемму 3.1. Для любого u ∈ Lp(0,T;W˚p1(Q)) такого, что ∂tu ∈ Lq(ΩT ), имеем, что RQ∂tu ∈ Lq(ΩT ). Очевидно, что ∂tRQu = RQ∂tu ∈ Lq(ΩT ). B силу непрерывности вложения пространств Lq(ΩT ) ⊂ Lq(0,T;Wq-1(Q)) для любого u ∈ W, существует последовательность {un} ⊂ W такая, что . Кроме того, RQ∂tu = lim RQ∂tun = lim ∂tRQun = ∂tRQu в силу замкнутости графика линейного ограниченного оператораn→∞ RQ. Посколькуn→∞ RQ : L2(ΩT ) → L2(ΩT ) невырожденный, то это доказывает, что RQ∂tu = ∂tw ∈ V∗ = Lq(0,T;Wq-1(Q)) + L2(ΩT ). Поскольку RQ : C(0,T;L2(Q)) → C(0,T;L2(Q)) также невырожден, то значение функции ϕ(x) := u(x,0) = RQ-1w(x,0) = RQ-1ψ(x) определено взаимно однозначно. Пример 5.11. Продолжим рассмотрение примера 5.10. Согласно краевым условиям (5.58), мы имеем множество сдвигов M = {(0,0);(1,0);(-1,0)}. В соответствии с M разностный оператор должен иметь вид Ru(x,t) = u(x,t) + a1u(x1 + 1,x2,t) + a-1u(x1 - 1,x2,t). Данному оператору соответствует матрица, невырожденная при. В то же время, для - любого u ∈ L2(0,T;W˚21(Q)) и w = RQu получаем: w(x1,0,t) = w(x1,1,t) = 0, a1u(1,x2,t) = w(0,x2,t) = γ1w(1,x2,t) = γ1u(1,x2,t), a-1u(1,x2,t) = w(2,x2,t) = γ2w(1,x2,t) = γ2u(1,x2,t). В последних двух формулах первое и третье равенства получены из определения разностного оператора, а второе - из краевых условий (5.58). Таким образом, если a1 = γ1, a-1 = γ2 и u ∈ L2(0,T;W˚21(Q)), то функция w = RQu принадлежит L2(0,T;W21(Q)) и удовлетворяет нелокальным краевым условиям (5.58), т. е. RQ(L2(0,T;W˚21(Q))) ⊂ L2(0,T;W21,γ(Q)), где γ = {γ1,γ2}. При этом R10 = 1. Поскольку условия 5.1-5.3 выполнены, то задаче (5.56)-(5.58) соответствует задача ∂tRQu(x,t) + ΔRQu(x,t) = f(x,t) ((x,t) ∈ ΩT ), u(x,0) = ϕ(x) = RQ-1ψ(x) (x ∈ Q), u(x,t) = 0 ((x,t) ∈ ∂Q × (0,T)). 5.3.2. Максимальная монотонность оператора ∂tRQ. Пусть RQ∗ - сопряженный к RQ оператор. Обозначим симметрическую и кососимметрическую части оператора RQ через . (5.62) Очевидно, что ∂i(RQ∗ u) = RQ∗ (∂iu), ∂i(RQsymu) = RQsym(∂iu), ∂i(RQsku) = RQsk(∂iu), (5.63) а операторы RQs∗ : LNp (s)(ΩT ) → LNp (s)(ΩT ), RQssym : LNp (s)(ΩT ) → LpN (s)(ΩT ) и RQssk : LpN (s)(ΩT ) → , определенные соотношениями RQs∗ = UsRQ∗ Us-1, RQssym = UsRQsymUs-1, RQssk = UsRQskUs-1, (5.64) являются операторами умножения на матрицы , соответственно. Определение 5.5. Оператор RQ + RQ∗ положительно определен, если . Замечание 5.1. RQ и RQsym положительно определены тогда и только тогда, когда Rssym > 0 для всех s, см. [106, лемма 8.8] или [69, лемма 2.8]. Более того, если Rssym > 0, то Rs и Rs0 невырождены. Как известно, оператор ∂t : W → V∗ при фиксированных начальных условиях является максимально монотонным. Для ϕ = 0 этот факт подробно рассмотрен в [33, гл. 3, §2]. Переход к произвольным начальным данным из L2(Q) подробно описан в [34]. Докажем условия, при которых оператор ∂tRQ : W → V∗ является максимально монотонным. Сначала докажем вспомогательную оценку. Лемма 5.4. Если Rssym > 0 для всех s, то где k5 > 0 не зависит от u. Доказательство. Вычислим первое равенство в (5.65): . Поскольку Rssym > 0, то существует квадратный корень . Из формул (3.13) и (5.64) получаем . Из положительной определенности матриц Rssym следует положительная определенность оператора RQsym и оценка (5.65). Следствие 5.1. Если Rssym > 0 для всех s, то ∀u ∈ L2(ΩT ), (5.66) где k5 > 0 не зависит от u. Следствие 5.2. для любого t, . Как известно, в рефлексивных строго выпуклых со своим сопряженным пространствах максимальная монотонность оператора Λ эквивалентна следующему свойству: , (5.67) см. [33, лемма 1.1, гл. 3]. В частности, см. [33, гл. 3], этим свойством обладает оператор Λ = ∂t с областью определения , (5.68) причем Лемма 5.5. Пусть Rssym > 0 для всех s. Тогда оператор Λ = ∂tRQ с областью определения, заданной в (5.68), максимально монотонен. Доказательство. Согласно правилам дифференцирования и в силу коммутативности ∂tRQ = R R∗ R∗ для всех u ∈ W. Поскольку , см. следствие 5.2, то Так как u ∈ D(Λ), используем оценку (5.65): . С другой стороны, Λ∗ = -∂tRQ∗ имеет область определения D(Λ∗) = {v ∈ V : ∂tRQ∗ v ∈ V∗, v|t=T = 0}, т. е. используя оценку (5.65) и равенство (5.69), мы получим, что для всех v ∈ D(Λ∗). Свойство (5.67) доказано, оператор ∂tRQ максимально монотонен, см. [33, лемма 1.1, гл.3]. 5.3.3. Линейная параболическая задача. Рассмотрим линейное параболическое уравнение (5.70) на ΩT c начальными условиями (5.53) и нелокальными граничными условиями (5.54), p = 2. Определение 5.6. Линейный оператор A : L2(0,T;W˚21(Q)) → L2(0,T;W2-1(Q)) назовем сильно эллиптичным, если для любых u ∈ L2(0,T;W˚12(Q)), k6 > 0 и k7 ∈ R не зависят от u. Лемма 5.6. Пусть Aij ∈ C∞(Rn+1), Aij(x,t) = Aji(x,t) (i,j = 0,1,... ,n), причем функции Aij M-периодичны для i,j = 1,...,n, (т. е. Aij(x + h,t) = Aij(x,t) для всех h ∈ M) и 2, (5.71) k8 > 0. Кроме того, пусть оператор RQ + RQ∗ положительно определен. Тогда линейный оператор AR := ARQ : L2(0,T;W˚21(Q)) → L2(0,T;W2-1(Q)) ограничен и сильно эллиптичен. Доказательство. Ограниченность оператора AR следует из того, что Aij ∈ C∞(Rn), а оператор RQ ограничен, см. лемму 3.1. Заметим, что это означает также деминепрерывность оператора AR. Сильная эллиптичность оператора AR(·,t) : W˚21(Q) → W2-1(Q) доказана в [69, 106]. Для удобства читателей покажем справедливость этого утверждения для AR : L2(0,T;W˚21(Q)) → L2(0,T;W2-1(Q)). Поскольку , число различных матриц Rs конечно, а функции Aij M-периодичны для i,j = 1,...,n, воспользуемся формулами (3.13) и (3.15): . Так как , воспользуемся положительной определенностью оператора RQ + RQ∗ , т. е. положительной определенностью матриц, а также оценкой (5.71): n (Ω 1) s 1 i n 2 Оценим оставшееся слагаемое оператора. При этом мы учтем, что по определению |Aij(x,t)| (cм. лемму 3.6): . (5.73) Таким образом, . (5.74) Лемма доказана. Замечание 5.2. Утверждение леммы 5.6 справедливо также, если дифференциально-разностный оператор имеет слагаемые с младшими производными, поскольку, если Aij ∈ C∞(Rn), то , . Можно взять. Тогда . Теорема 5.8. Пусть Aij ∈ C∞(Rn+1), Aij(x,t) = Aij(x,t) (i,j = 0,1,... ,n), причем Aij Mпериодичны для i,j = 1,...,n и справедлива оценка (5.71). Кроме того, пусть оператор RQ + RQ∗ положительно определен. Тогда для любых f ∈ L2(0,T;W-1(Q)) и ϕ ∈ L2(Q) существует единственное решение задачи (5.59), (5.53). Более того, при некоторых k11,k12,k13,k14 > 0, не зависящих от ui, fi и ϕ2 (i = 1,2), справедливы оценки (5.75) - - - , (5.76) где u1 и u2 -решения задачи (5.59), (5.53) при правых частях f1 и f2 и начальных условиях ϕ1 и ϕ2, соответственно. Доказательство. Сначала рассмотрим задачу при ϕ = 0. Тогда согласно лемме 5.5 оператор ∂tRQ максимально монотонен, а согласно лемме 5.6 оператор AR ограничен, деминепрерывен и сильно эллиптичен. Пусть в оценке сильной эллиптичности k7 = 0. Тогда AR монотонен и коэрцитивен. Кроме того, так как является максимально монотонным, см. лемму 5.5. Следовательно, выполнены условия теоремы 1.1 из [33, гл. III, §1]. Решение задачи (5.59), (5.53) существует. Единственность данного решения следует из монотонности операторов. Если k7 > 0, то заменой функции u(x,t) = eλtv(x,t) получим эквивалентное уравнение ∂tRQv + (AR + λRQ)v = e-λtf, 0 < t < T, (5.77) v(0) = 0. (5.78) В силу оценки (5.66), если k5λ > k7, то оператор AR + λRQ монотонен и коэрцитивен, т. е. решение задачи (5.77), (5.78) существует и единственно, см. выше. Следовательно, существует и единственно решение задачи (5.59), (5.53). Осталось рассмотреть задачу при . Воспользуемся линейностью операторов. Так как W ⊂ C(0,T;L2(Q)) непрерывно и плотно, то для любого ϕ ∈ L2(Q) существует функция y ∈ W такая, что y(x,0) = ϕ(x)(x ∈ Q). Тогда заменой функции u(x,t) = v(x,t)+y(x,t) можно получить эквивалентное уравнение ∂tRQv + ARv = f - ∂ty - ARy := f, 0 < t < T, (5.79) (5.80) Как доказано выше, задача (5.79), (5.80) имеет единственное решение. Следовательно, существует и единственно решение задачи (5.59), (5.53). Покажем зависимость решения от начальных условий и правой части. Используем сильную эллиптичность оператора AR. Как показано выше, вследствие оценки (5.74) существует такое, что . Пусть u1,u2 ∈ W - решения задачи (5.81) при начальных условиях ϕ1,ϕ2 ∈ L2(Q), а также при правых частях и , соответственно. Пусть Аналогично формуле (5.69), , cм. (5.66). Из формул (5.82) и (5.66) следует, что . Тогда для любого t ∈ (0,T] Здесь Рассмотрим также функцию u3 ∈ W, являющуюся решением задачи (5.81) при начальных условиях ϕ1 и правой части. Тогда для любого t ∈ (0,T] В силу аддитивности интеграла Лебега, . (5.86) Используя оценку (5.86) и неотрицательность первого слагаемого левой части (5.83), имеем, что , откуда . (5.87) С другой стороны, второе слагаемое левой части (5.84) также неотрицательно, т. е. . Опять применим оценку из (5.65): Из (5.85) в силу неотрицательности второго слагаемого левой части следует, что , и благодаря невырожденности RQsym имеем, что , (5.89) а также Здесь мы воспользовались ограниченностью оператора RQsym : L2(Q) → L2(Q), см. [106, лемма 8.15]. Используем неравенство треугольника для норм. Тогда из (5.87)-(5.90) следует, что , (5.91) . (5.92) По построению являются решениями задачи (5.59), (5.53). Подставив эти выражения (а также значения f1 = e-λtf1 и f2 = e-λtf2) в (5.91), (5.92) мы получим оценки (5.75), (5.76). Следующая теорема является следствием теорем 5.7 и 5.8. Теорема 5.9. Пусть выполнены условия 5.1, 5.2 и 5.3. Пусть матрицы Rs и Rs0, заданные в условии 5.3, невырождены, причем Rs +Rs∗ > 0 (s = s(r),r ∈ B). Пусть также Aij ∈ C∞(Rn+1), Aij(x,t) = Aij(x,t) (i,j = 0,1,... ,n), причем Aij M-периодичны для i,j = 1,...,n и справедлива оценка (5.71). Тогда для любых f ∈ L2(0,T;W2-1(Q)) и ψ ∈ L2(Q) существует единственное обобщенное решение задачи (5.52)-(5.54). Более того, для некоторых k12,k13,k14,k15 > 0, не зависящих от wi, fi и ψi (i = 1,2), , (5.93) , (5.94) где w1,w2 -обобщенные решения задачи (5.52)-(5.54) c линейным оператором A при правых частях f1,f2 и начальных условиях ψ1,ψ2, соответственно. Замечание 5.3. Если выполнены условия теоремы 5.9 и f ∈ L2(ΩT ), то обобщенное решение задачи (5.52)-(5.54) таково, что ∂tw ∈ L2(ΩT ). Кроме того, если w1,w2 -обобщенные решения задачи (5.52)-(5.54) c линейным оператором A при правых частях f1,f2 и начальных условиях ψ1,ψ2, соответственно, то справедливы оценки , Доказательство аналогично предыдущему, если рассматривать . При этом используется компактность вложения W12,γ ⊂ L2(ΩT ). Пример 5.12. Теперь можно закончить рассмотрение примера 5.10. Нелокальным краевым условиям соответствует разностный оператор Ru(t,x) = u(t,x)+γ1u(t,x1+1,x2)+γ2u(t,x1-1,x2). Данному оператору соответствует матрица , невырожденная при. При |γ1 +γ2| < 2 оператор RQ положительно определен, условия леммы 5.5 и теоремы 5.8 выполнены. В силу теоремы 5.9 для любых f ∈ L2(0,T;W2-1(Q)) и ψ ∈ L2(Q) при |γ1 +γ2| < 2 задача (5.56)- (5.58) имеет единственное обобщенное решение w ∈ W2,γ := {w ∈ L2(0,T;W21,γ(Q)) : ∂tw ∈ L2(0,T;W2-1(Q))}. Если при этом f ∈ L2(ΩT ), то ∂tw ∈ L2(ΩT ). 5.3.4. Квазилинейные параболические уравнения. Сформулируем теоремы существования решения нелокальных задач для нелинейного параболического уравнения с дифференциальным оператором с дифференцируемыми коэффициентами, p ∈ [2,∞). Теорема 5.10. Пусть выполнены условия 5.1-5.3. Пусть матрицы Rs и Rs0, заданные в условии 5.3, невырождены, причем Rs + Rs∗ > 0 (s = s(r), r ∈ B). Предположим, что дифференциальный оператор A задан функциями Ai(x,t,ξ), измеримыми по (x,t) ∈ ΩT , непрерывными по ξ для п.в. (x,t) ∈ ΩT , для которых выполнены условия интегрируемости (3.8), дифференцируемости (3.22) для i,j = 0,1,... ,n и сильной эллиптичности (3.21), p ∈ [2,∞). Тогда для любых f ∈ Lq(0,T;Wq-1(Q)) и ψ ∈ L2(Q), существует единственное обобщенное решение задачи (5.52)- (5.54), причем , (5.95) (5.96) где w1,w2 -обобщенные решения задачи (5.52)-(5.54) при правых частях f1,f2 и начальных условиях ψ1,ψ2, соответственно. Доказательство. Так как выполнены условия 5.1-5.3, то существует разностный оператор RQ : Lp(0,T;W˚p1(Q)) → Lp(0,T;Wp,γ1 (Q)), являющийся изоморфизмом (см. теорему 5.6). Воспользуемся теоремой 5.8 и рассмотрим эквивалентную задачу (5.60)-(5.61). В силу оценки интегрируемости (3.8) оператор AR деминепрерывен и ограничен (см. лемму 3.8), а в силу условий (3.21)(3.22) -сильно монотонен (см. лемму 3.9), причем , (5.97) см. (3.25). Если ψ = 0, то ϕ = 0 и ∂tRQ является максимально монотонным, см. лемму 5.5. Следовательно, существует решение u ∈ W операторного уравнения (5.60), см. [33, теорема 1.1, гл. III, §1]. Более того, в силу монотонности AR данное решение единственно. Если, то существует фиксированный элемент u ∈ W ⊂ C(0,T;L2(Q)) такой, чтоСуществование такого элемента обусловлено тем, что плотно вложено в W, см. [15, лемма 1.12, Ch. IV], a W непрерывно вложено в C(0,T;L2(Q)), см. [15, теорема 1.17, Ch. IV]. Подставив, получим эквивалентное уравнение (5.98) v|t=0 = 0. (5.99) Очевидно, что f ∈ Lq(0,T;Wq-1(Q)). По построению оператор удовлетворяет оценкам (3.8), (3.21) и (3.22), т. е. является ограниченным, деминепрерывным и сильно эллиптичным. Применяя [33, теорема 1.1, гл. III, §1] получаем существование решения задачи (5.98)-(5.99). Следовательно, существует решение u ∈ W операторного уравнения (5.60) с начальным условием u|t=0 = ϕ. Так как существует единственное решение u ∈ W операторного уравнения (5.60), (5.61), то w = RQu ∈ Wγ является единственным обобщенным решением задачи (5.52)-(5.54). Докажем оценки (5.95), (5.96). Пусть w1,w2 ∈ Wγ - обобщенные решения задачи (5.52)-(5.54) при правых частях f1,f2 и начальных условиях ψ1,ψ2, соответственно. Пусть ui = RQ-1wi и ϕi = RQ-1ψi. Поскольку ui - решения уравнения (5.60), то мы использовали оценки (5.66) и (5.69). Пусть также u3 ∈ W - решение уравнения (5.60), (5.61) при начальном условии ϕ = ϕ1 и правой части f = f2. Тогда В силу оценки (5.97) и равенства (5.101), т.e. для получаем, что , (5.104) (5.105) С другой стороны, второе слагаемое левой части (5.101) неотрицательно в силу монотонности AR. Подставляя оценку (5.105), получим , т. е. Неотрицательность второго слагаемого правой части (5.102) влечет оценку . Опять воспользуемся оценкой (5.66) и ограниченностью оператора : Осталось применить неравенство треугольника . и воспользоваться ограниченностью оператора RQ : L2(Q) → L2(Q): . Оценка (5.95) доказана. В то же время из оценок (5.97), (5.102) и (5.107) следует, что т. e. . Воспользуемся неравенствами (5.104) и (5.108), а также неравенством треугольника . Из этого неравенства в силу ограниченности оператора RQ : Lp(0,T;W˚p1(Q)) → Lp(0,T;Wp1(Q)) следует, что . Оценка (5.96) доказана. Теорема 5.11. Пусть выполнены условия 5.1-5.3. Пусть матрицы Rs и Rs0, заданные в условии 5.3, невырождены, причем. Предположим, что дифференциальный оператор A задан функциями Ai(x,t,ξ), измеримыми по (x,t) ∈ ΩT , непрерывными по ξ для п.в. (x,t) ∈ ΩT , для которых выполнены условия интегрируемости (3.8), дифференцируемости (3.22) для i,j = 1,...,n, сильной эллиптичности (3.39) и коэрцитивности (3.42)-(3.43), p ∈ [2,∞). Тогда для любых f ∈ Lq(0,T;Wq-1(Q)) и ψ ∈ L2(Q), существует непустое, ограниченное и слабо замкнутое в Wγ множество обобщенных решений задачи (5.52)-(5.54). Доказательство. Так как выполнены условия 5.1-5.3, то существует разностный оператор RQ : Lp(0,T;W˚p1(Q)) → Lp(0,T;Wp,γ1 (Q)), являющийся изоморфизмом (см. теорему 5.6). Воспользуемся теоремой 5.8 и рассмотрим эквивалентную задачу (5.60)-(5.61). Из условий теоремы следует, что AR - деминепрерывный (см. лемму 3.9), коэрцитивный (см. лемму 3.11) оператор, обладающий свойством (S+) на W (см. лемму 3.10), т. е. псевдомонотонный на W. Если ψ = 0, то ϕ = 0 и ∂tRQ является максимально монотонным, см. лемму 5.5. Согласно [33, теорема 1.2, гл. 3, §1.4] существует решение задачи (5.60)-(5.61) u ∈ W. Иначе мы, аналогично предыдущей теореме, можем рассмотреть фиксированный элемент такой, что и эквивалентное уравнение (5.98)-(5.99). По построению оператор AR(·+u) удовлетворяет оценкам (3.8), (3.21) и (3.22), т. е. является ограниченным, деминепрерывным, коэрцитивным и обладает свойством (S+) на W. Применяя [33, теорема 1.1, гл. III, §1] получаем существование решения задачи (5.98)(5.99). Следовательно, существует решение u ∈ W операторного уравнения (5.60) с начальным условием u|t=0 = ϕ. Ограниченность множества решений следует из коэрцитивности оператора AR. Докажем это. Пусть u - решение,. Тогда (5.109) . (5.110) С правой стороны неравенства (5.110) стоит ограниченное значение. Ограничение левой части (5.110) в силу коэрцитивности оператора AR гарантирует ограниченность , причем можно определить константу, которой ограничена эта норма так, что данная константа будет зависеть только от и от функции, оценивающей коэрцитивность оператора AR, но не зависеть от u. В то же время из равенства (5.109), ограниченности и ограниченности оператораследует, что ограничено . Доказана ограниченность решений задачи (5.60)-(5.61) в пространстве W. А поскольку RQ ограничен и w = RQu является решением (5.59), (5.53) тогда и только тогда, когда u - решение (5.60)-(5.61), то множество решений (5.59), (5.53) ограничено в Wγ. Слабая компактность множества решений следует из того, что оператор AR является псевдомонотонным на W. Докажем это. Пусть принадлежат множеству решений для каждого n. При этом по определению, кроме того, u(0) = ϕ в силу непрерывности вложения W ⊂ C(0,T;L2(Q)). Поскольку un - решение (5.60), то . (5.111) Первое слагаемое (5.111), так как. Распишем второе слагаемое (5.111): в силу слабой сходимости в Lq(0,T;Wq-1(Q)) и непрерывности оператора RQ. В лемме 5.5 доказано, что ∂tRQ - монотонный оператор при нулевых начальных условиях. В силу линейности оператора ∂tRQ это свойство сохраняется для любых фиксированных начальных условий, т. е.. Следовательно, (5.112) в силу слабой сходимости и непрерывности оператора RQ. Подставив это выражение в (5.111), получим, что. В силу условия псевдомонотонности на W оператора AR и монотонности оператора ∂tRQ . Поскольку данное неравенство справедливо для всех v ∈ Lp(0,T;W˚p1(Q)), то u удовлетворяет операторному уравнению (5.60). Доказана слабая компактность в W решений уравнения (5.60) с начальными условиями (5.61). А поскольку RQ непрерывен и w = RQu является решением (5.59), (5.53) тогда и только тогда, когда u - решение (5.60)-(5.61), то множество решений задачи (5.59), (5.53) слабо компактно в Wγ. 5.3.5. Нелинейные нелокальные задачи. Теорема 5.12. Пусть выполнены условия 5.1-5.3. Пусть матрицы Rs и Rs0, заданные в условии 5.3, невырождены, причем. Предположим, что дифференциальный оператор A задан функциями Ai(x,t,ξ), измеримыми по (x,t) ∈ ΩT , непрерывными по ξ для п.в. (x,t) ∈ ΩT, для которых выполнены условия интегрируемости (3.8), а также один из следующих наборов: 1) условия коэрцитивности (A2) (см. (4.1)) и эллиптичности (A3) (см. (4.2)), p ∈ (1,∞); 2) условия сильной эллиптичности (A4) (см. (4.18)) и локальной липшицевости (A5) (см. (4.19)-(4.20)), а также одно из условий коэрцитивности (A2), (3.42)-(3.43) или (4.39)- (4.41), p ∈ [2,∞). Тогда для любых f ∈ V∗ и ψ ∈ L2(Q), существует непустое, ограниченное и слабо замкнутое в Wγ множество обобщенных решений задачи (5.52)-(5.54). Доказательство. Так как выполнены условия 5.1-5.3, то существует разностный оператор RQ : Lp(0,T;W˚p1(Q)) → Lp(0,T;Wp,γ1 (Q)), являющийся изоморфизмом, см. теорему 5.6. Воспользуемся теоремой 5.8 и рассмотрим эквивалентную задачу (5.60)-(5.61). В силу условия интегрируемости (3.8) оператор AR деминепрерывный и ограниченный, см. лемму 3.9. Остальные условия гарантируют коэрцитивность и псевдомонотонность на W оператора AR. В случае 1) мы имеем коэрцитивный оператор, обладающий свойством (S+) на W, см. леммы 4.1 и 4.3. В случае 2) мы имеем коэрцитивный оператор, обладающий свойством (V;W)-полуограниченной вариации, см. лемму 4.4 и замечание 4.1. Дальнейшее доказательство аналогично доказательству теоремы 5.11. Теорема 5.13. Пусть выполнены условия 5.1-5.3. Пусть матрицы Rs и Rs0, заданные в условии 5.3, невырождены, причем Rs + Rs∗ > 0 (s = s(r), r ∈ B), а обратный оператор Rq-1 сильно аккретивен. Предположим, что дифференциальный оператор A = Δp, p ∈ (2,∞). Тогда для любых f ∈ Lq(0,T;Wq-1(Q)) и ψ ∈ L2(Q) существует непустое, ограниченное и слабо замкнутое в Wγ множество обобщенных решений задачи (5.52)-(5.54), причем решения удовлетворяют оценкам , (5.113) (5.114) где k25,k26,k27,k28 > 0 не зависят от w,f и ψ. Доказательство. Так как выполнены условия 5.1-5.3, то существует разностный оператор RQ : Lp(0,T;W˚p1(Q)) → Lp(0,T;Wp,γ1 (Q)), являющийся изоморфизмом, см. теорему 5.6. Воспользуемся теоремой 5.8 и рассмотрим эквивалентную задачу (5.60)-(5.61). В силу сильной аккретивности оператора RQ-1 оператор ΔpRQ деминепрерывен, ограничен, коэрцитивен и псевдомонотонен, см. леммы 4.5 и 4.7. Если ψ = 0, то ϕ = 0 и ∂tRQ является максимально монотонным, см. лемму 5.5. Согласно [33, теорема 1.1, гл. 3, §1.4] существует решение u ∈ W задачи (5.60)-(5.61). Иначе мы, аналогично доказательству теоремы 5.10, можем рассмотреть фиксированный элемент W ⊂ C(0,T;L2(Q)) такой, что и эквивалентное уравнение (5.98)-(5.99). По построению оператор ΔpRQ(·+u) деминепрерывен, ограничен, коэрцитивен и псевдомонотонен. Применяя [33, теорема 1.1, гл. III, §1], доказываем существование решения задачи (5.98)-(5.99). Следовательно, существует решение операторного уравнения (5.60) с начальным условием u|t=0 = ϕ. Ограниченность множества решений следует из коэрцитивности оператора ΔpRQ и ограниченности оператора RQ, слабая компактность множества решений следует из псевдомонотонности оператора ΔpRQ и непрерывности оператора RQ (подробнее см. доказательство теоремы 5.11). Для доказательства оценок (5.113), (5.114) докажем аналогичные оценки для решений u задачи (5.98)-(5.99) с оператором ΔpRQ. Для них справедливо равенство . (5.115) Используем равенство (5.69) для первого слагаемого левой части (5.115) и оценку (4.47) для второго слагаемого левой части (5.115), а правую часть (5.115) распишем с помощью неравенства Г¨ельдера. Тогда Выберем ε > 0 так, что εp/p = c-5 pca/2. Первое слагаемое левой части (5.116) неотрицательно, ϕ = RQψ, следовательно , т. e. в силу ограниченности оператора . (5.117) Так как w = RQu, а оператор RQ ограничен и справедлива оценка (3.20), то из (5.117) следует (5.114). С другой стороны, в силу неотрицательности , Так как w = RQu, а оператор RQ ограничен и справедлива оценка (1.22), то из (5.118) следует (5.113). Пример 5.13. Рассмотрим задачу Бицадзе-Самарского (5.56)-(5.58) c p-лапласианом (продолжим рассмотрение задачи из примеров 5.10-5.12). Будем искать w, удовлетворяющее уравнению ∂tw + Δpw = f, w|t=0 = ψ (5.119) c нелокальными краевыми условиями (5.58). В примере 5.11 доказано, что краевым условиям (5.58) соответствует разностный оператор Ru(x,t) = u(x1,x2,t) + γ1u(x1 + 1,x2,t) + γ2u(x1 - 1,x2,t) c матрицей . Матрица R1 невырождена при. При |γ1 +γ2| < 2 оператор RQ положительно определен, условия леммы 5.5 выполнены. Кроме того, обратному оператору RQ-1 соответствует матрица . То есть, если (5.120) где, то оператор RQ-1 сильно аккретивен, см. лемму 2.8. Следовательно, при выполнении оценки (5.120) выполнены условия теоремы 5.13, задача (5.56)-(5.58) имеет обобщенное решение. Пример 5.14. На параллелепипеде ΩT = (0,3) × (0,1) × (0,T) рассмотрим уравнение (5.119) c нелокальными условиями w(x1,0,t) = w(x1,1,t) = 0 (0 w(0,x2,t) = 0,5w(1,x2,t) (0 (5.121) w(3,x2,t) = 0,5w(2,x2,t) (0 В соответствии со сдвигами, имеющимися в краевых условиях, разностный оператор должен иметь вид. В силу симметричности краевых условий этому оператору соответствует симметрическая матрица , причем согласно условию 5.3 RQ соответствует краевым условиям, если a1 = 0,5a0, a2 = 0,5a1. То есть и . Легко видеть, что матрицы R1 и R10 положительно определены. Обратная матрица удовлетворяет критерию сильной аккретивности из леммы 2.8: 4/3 > 2/3; 5/3 > 2/3 + 2/3. Следовательно, задача (5.119), (5.57), (5.121) имеет обобщенное решение для любых f ∈ Lq(0,T;Wq-1(Q)) и ψ ∈ L2(Q), см. теорему 5.13. 5.4. Существование периодических по t решений параболических дифференциальных уравнений с нелокальными краевыми условиями типа Бицадзе-Самарского Как и выше, будем использовать разбиение области Q и построение множества {Γrj}, подробно изложенное в разделе 5.1, ΓTrl := Γrl(0,T) × (0,T), а также условия 5.1-5.3. Рассмотрим дифференциальное уравнение (5.52), где дифференциальный оператор A задан формулой (3.4), с нелокальными краевыми условиями (5.54). Будем искать периодические по t решения задачи (5.52), (5.54) с периодом T, т. е. w(x,0) = w(x,T) (x ∈ Q). (5.122) Определение 5.7. Будем называть функцию w ∈ Wγ обобщенным решением задачи (5.52), (5.54), (5.122), если она удовлетворяет операторному уравнению (5.59) и условию периодичности (5.122). Теорема 5.14. Пусть выполнены условия 5.1-5.3, причем матрицы Rs и Rs0 невырождены. Элемент u ∈ W является решением операторного уравнения (5.60) и удовлетворяет условию периодичности u(x,0) = u(x,T) (5.123) тогда и только тогда, когда RQu = w ∈ Wγ является решением операторного уравнения (5.58) и удовлетворяет условию периодичности (5.122). Доказательство совпадает с доказательством теоремы 5.7. Надо только отметить, что поскольку оператор RQ : C(0,T;L2(Q)) → C(0,T;L2(Q)) невырожден, то u(x,0) = RQ-1w(x,0) = RQ-1w(x,T) = u(x,T). Как известно, оператор ∂t : D(∂t) → V∗ с областью определения D(∂t) := {u ∈ V : ∂tu ∈ V∗, u(x,0) = u(x,T)}. (5.124) является максимально монотонным, см., например, [33, гл. 3, §2]. Докажем это свойство для ∂tRQ : W → V∗. Лемма 5.7. Пусть оператор RQ невырожденный[14]. Тогда оператор ∂tRQ с областью определения D(∂tRQ) := {u ∈ V : ∂tu ∈ V∗, u(x,0) = u(x,T)}. максимально монотонен. Доказательство. По построению D(∂tRQ) ⊂ W. Кроме того, . То есть D(∂tRQ)∗ ⊂ W. Заметим, что . Более того, согласно правилам дифференцирования, . Поскольку , получаем, что . С другой стороны, в силу невырожденности оператора, . Условие (5.67) для оператора Λ = ∂tRQ выполнено, оператор ∂tRQ максимально монотонен, см. [33, лемма 1.1, гл. 3]. Сформулируем теоремы существования решений. Теорема 5.15. Пусть выполнены условия 5.1-5.3. Пусть Rs + Rs∗ > 0 (s = s(r), r ∈ B). Пусть линейный дифференциальный оператор A, заданный в (5.70), таков, что Aij ∈ C∞(Rn+1), Aij(x,t) = Aij(x,t) (i,j = 0,1,... ,n), причем Aij M-периодичны для i,j = 1,...,n (т. е. Aij(x + h,t) = Aij(x,t) для всех h ∈ M) и справедлива оценка (5.71). Тогда для любого f ∈ L2(0,T;W2-1(Q)) существует единственное обобщенное решение задачи (5.52), (5.54), (5.122), причем справедливы оценки , (5.125) где w1 и w2 -решения задачи (5.52), (5.54), (5.122) при правых частях f1 и f2, k33 > 0 не зависит от wi и fi. Доказательство. В силу выполнения условий 5.1-5.3 существует разностный оператор RQ, соответствующий нелокальным краевым условиям. Поскольку Rssym > 0, то матрицы Rs и Rs0 невырождены, т. е. соответствующий оператор RQ является изоморфизмом, см. теорему 5.6, а оператор ∂tRQ максимально монотонен, см. лемму 5.7. Также условие Rssym > 0, M-периодичность коэффициентов и оценка (5.71) гарантируют, что оператор AR = ARQ деминепрерывен, ограничен и сильно эллиптичен, см. лемму 5.6. То есть выполнены условия теоремы 1.1 из [33, гл. III, §1], операторное уравнение (5.60) c условием периодичности (5.123) имеет решение u ∈ W. Монотонность оператора AR гарантирует единственность решения. Согласно этому результату и теореме 5.14, w = RQu - обобщенное решение задачи (5.52), (5.54), (5.122). Оценка (5.125) следует из сильной эллиптичности оператора AR. Не нарушая общности, будем считать, что k7 = 0, иначе перейдем к вспомогательным функциям, как в теореме 5.8, т. е. . Пусть u1 = RQ-1w1 и u2 = RQ-1w2. Тогда . Воспользуемся сильной эллиптичностью: . Тогда , где константа c5 из оценки (3.20), a c18 - из неравенства Фридрихса, что доказывает оценку (5.125). Пример 5.15. Рассмотрим параболическую задачу с лапласианом: ∂tw(x,t) - Δw(x,t) = f(t,x) (x ∈ Q), где f ∈ L2(ΩT ), c нелокальными краевыми условиями Бицадзе-Самарского (5.126) (5.127) Как показано в примерах 5.10-5.12, этим краевым условиям соответствует разностный оператор Ru(t,x) = u(t,x) + γ1u(t,x1 + 1,x2) + γ2u(t,x1 -1,x2) с матрицей . Матрица R1 невырождена при. При |γ1 +γ2| < 2 оператор RQ положительно определен, условия леммы 5.7 и теоремы 5.15 выполнены. В силу теоремы 5.15 задача (5.126)-(5.127) имеет единственное периодическое по t c периодом T решение для любого f ∈ L2(ΩT ) при |γ1 + γ2| < 2. Теорема 5.16. Пусть выполнены условия 5.1-5.3, Rs + Rs∗ > 0 (s = s(r), r ∈ B). Предположим, что дифференциальный оператор A задан функциями Ai(x,t,ξ), измеримыми по (x,t) ∈ ΩT , непрерывными по ξ для п.в. (x,t) ∈ ΩT , для которых выполнены условия интегрируемости (3.8), дифференцируемости (3.22) для i,j = 0,1,... ,n и сильной эллиптичности (3.21), p ∈ [2,∞). Тогда для любого f ∈ Lq(0,T;Wq-1(Q)) существует единственное обобщенное решение задачи (5.52), (5.54), (5.122), причем справедливы оценки , (5.128) где w1 и w2 -решения задачи (5.52), (5.54), (5.122) при правых частях f1 и f2, k34 > 0 не зависит от wi и fi. Доказательство. В силу выполнения условий 5.1-5.3 существует разностный оператор RQ, соответствующий нелокальным краевым условиям. Поскольку Rssym > 0, то матрицы Rs и Rs0 невырождены, т. е. соответствующий оператор RQ является изоморфизмом, см. теорему 5.6, а оператор ∂tRQ максимально монотонен, см. лемму 5.7. В силу оценки интегрируемости (3.8) оператор AR деминепрерывен и ограничен, см. лемму 3.8, а в силу условий (3.21)-(3.22) - сильно эллиптичен (сильно монотонен), см. лемму 3.9. То есть выполнены условия теоремы 1.1 из [33, гл. III, §1], операторное уравнение (5.60) c условием периодичности (5.123) имеет решение u ∈ W. Монотонность оператора AR гарантирует единственность решения. Согласно этому результату и теореме 5.14, w = RQu - обобщенное решение задачи (5.52), (5.54), (5.122). Оценка (5.125) следует из сильной монотонности оператора AR, т. е. . Пусть u1 = RQ-1w1 и u2 = RQ-1w2. Тогда , следовательно, , где константа c5 из оценки (3.20), a c18 - из неравенства Фридрихса, что доказывает оценку (5.128). Теорема 5.17. Пусть выполнены условия 5.1-5.3; Rssym > 0 (s = s(r), r ∈ B); дифференциальный оператор A задан функциями Ai(x,t,ξ), измеримыми по (x,t) ∈ ΩT , непрерывными по ξ для п.в. (x,t) ∈ ΩT, для которых справедливо условия интегрируемости (3.8), дифференцируемости (3.22) для i,j = 1,...,n, сильной эллиптичности (3.39) и коэрцитивности (3.42)-(3.43), p ∈ [2,∞). Тогда для любого f ∈ Lq(0,T;Wq-1(Q)) существует ограниченное и слабо замкнутое множество обобщенных решений задачи (5.52), (5.54), (5.122). Доказательство. В силу выполнения условий 5.1-5.3 существует разностный оператор RQ, соответствующий нелокальным краевым условиям, причем RQ является изоморфизмом, см. теорему 5.6, а оператор ∂tRQ максимально монотонен, см. лемму 5.7. В силу оценки интегрируемости (3.8) оператор AR деминепрерывен и ограничен. Кроме того, AR коэрцитивен и обладает свойством (S+) на W, cм. леммы 3.11 и 3.10. Условия теоремы 1.2 из [33, гл. III, §1] выполнены, операторное уравнение (5.60) c условием периодичности (5.122) имеет решение u ∈ W. Ограниченность множества решений следует из коэрцитивности оператора AR, а слабая замкнутость - из псевдомонотонности на W оператора AR. Согласно этому результату и теореме 5.14 множество обобщенных решений задачи (5.52), (5.54), (5.122) непусто, ограничено, слабо замкнуто и состоит из элементов w = RQu, где u ∈ W - решение уравнения (5.60) c условием периодичности (5.123). Теорема 5.18. Пусть выполнены условия 5.1-5.3; Rs и Rs0 (s = s(r), r ∈ B) невырождены; дифференциальный оператор A задан функциями Ai(x,t,ξ), измеримыми по (x,t) ∈ ΩT , непрерывными по ξ для п.в. (x,t) ∈ ΩT , кроме того, справедливы условия (A1)-(A3) из главы 4. Тогда для любого f ∈ V∗ существует ограниченное и слабо замкнутое множество обобщенных решений задачи (5.52), (5.54), (5.122). Доказательство. В силу выполнения условий 5.1-5.3 существует разностный оператор RQ, соответствующий нелокальным краевым условиям, причем RQ является изоморфизмом, см. теорему 5.6, а оператор ∂tRQ максимально монотонен, см. лемму 5.7. В силу условия интегрируемости (A1) оператор AR деминепрерывен и ограничен, см. лемму 3.9. Из оценки (A2) следует коэрцитивность оператора AR, см. лемму 4.1. При выполнении условий эллиптичности (A3) и коэрцитивности (A2) оператор AR обладает свойством (S+) на W и псевдомонотонен на W, см. лемму 4.3. Условия теоремы 1.2 из [33, гл. III, §1] выполнены, операторное уравнение (5.60) c условием периодичности (5.122) имеет решение u ∈ W. Ограниченность множества решений следует из коэрцитивности оператора AR, а слабая замкнутость - из псевдомонотонности на W оператора AR. Согласно этому результату и теореме 5.14 множество обобщенных решений задачи (5.52), (5.54), (5.122) непусто, ограничено, слабо замкнуто и состоит из элементов w = RQu, где u ∈ W - решение уравнения (5.60) c условием периодичности (5.123). Теорема 5.19. Пусть выполнены условия 5.1-5.3; Rs и Rs0 (s = s(r), r ∈ B) невырождены; обратный оператор RQ-1 сильно аккретивен. Тогда для любого f ∈ Lq(0,T;Wq-1(Q)) существует ограниченное и слабо замкнутое множество обобщенных решений задачи (5.52), (5.54), (5.122) с дифференциальным оператором A = Δp, причем для каждого решения справедлива оценка , (5.129) где c35 > 0. Доказательство. В силу выполнения условий 5.1-5.3 существует разностный оператор RQ, соответствующий нелокальным краевым условиям. Поскольку матрицы Rs и Rs0 невырождены, т. е. соответствующий оператор RQ является изоморфизмом, см. теорему 5.6, а оператор ∂tRQ максимально монотонен, см. лемму 5.7. Сильная аккретивность оператора RQ-1 гарантирует, что оператор ΔpRQ деминепрерывен, ограничен и псевдомонотонен, см. леммы 4.5 и 4.7. То есть выполнены условия теоремы 1.1 из [33, гл. III, §1], операторное уравнение (5.60) c условием периодичности (5.123) имеет решение u ∈ W. Ограниченность множества решений следует из коэрцитивности оператора ΔpRQ, а слабая замкнутость - из псевдомонотонности оператора ΔpRQ. Согласно этому результату и теореме 5.14 множество обобщенных решений задачи (5.52), (5.54), (5.122) непусто, ограничено, слабо замкнуто и состоит из элементов w = RQu, где u ∈ W - решение уравнения (5.60) c условием периодичности (5.123). Оценка (5.129) следует из условия коэрцитивности оператора ΔpRQ: , поскольку . Тогда , где константа c5 из оценки (3.20), a c18 - из неравенства Фридрихса, что доказывает оценку (5.129). Пример 5.16. Рассмотрим уравнение ∂tw + Δpw = f, w|t=0 = ψ, (5.130) с нелокальным краевым условиям (5.127). В примере 5.11 доказано, что данным краевым условиям соответствует разностный оператор Ru(t,x) = u(t,x) + γ1u(t,x1 + 1,x2) + γ2u(t,x1 - 1,x2) c матрицей . Матрица R1 невырождена при. Кроме того, обратному оператору RQ-1 соответствует матрица . То есть, если (5.131) где, то оператор RQ-1 сильно аккретивен, см. лемму 2.8. Следовательно, при выполнении оценки (5.131) выполнены условия теоремы 5.19, задача (5.130), (5.127) имеет периодическое по t решение c периодом T.

Об авторах

О. В. Солонуха

Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» РАН

Автор, ответственный за переписку.
Email: solonukha@yandex.ru
Москва, Россия

Список литературы