Rheological Equations of State of Concrete

Full Text

1. Введение Уравнения механического состояния значимы в теории бетона, и им посвящено большое количество работ, отраженных частично в [1; 2]. Эти уравнения представляют теоретические обоснования экспериментально выявленных при эталонных нагружениях феноменологических зависимостей. В неравновесном процессе силового деформирования существенную роль играет явление прироста деформации при постоянном напряжении, называемое ползучестью. Учет ползучести бетона, естественно, приводит к реологическим уравнениям состояния. Традиционный вывод этих уравнений использует принцип наложения деформаций и заключается в суммировании в некоторый момент частичных приращений деформаций ползучести, порожденных частичными приращениями напряжения в последовательные предыдущие моменты времени . В линейной теории ползучести идеального (нестареющего) бетона принцип наложения известен как принцип суперпозиции Л. Больцмана [3] - деформация определяется напряжением и его продолжительностью и не зависит от и при . Взаимонезависимость деформаций позволяет нахождение отвечающего приращению напряжения полного приращения деформации ползучести суперпозицией (наложением) : , (1) где - мера ползучести идеального бетона в момент при нагружении в момент . При постоянном модуле упругости приращению отвечает приращение мгновенной деформации: . (2) Согласно (1) и (2) получим равенство , (3) выражающее принцип наложения деформаций в наследственной теории ползучести Больцмана - Вольтерра. Предельный переход в (3) позволяет получить выражение . (4) Добавление к деформации приводит к уравнению , преобразующемуся к виду . (5) Для стареющего бетона принимается мера ползучести , , (6) где - функция старения; - предельная мера ползучести при суток; - функция накопления деформаций ползучести, причем , где , - эмпирический коэффициент. Зависимость функции от аргумента определяется природой запаздывающих деформаций ползучести. Решением дифференциального уравнения , (7) отражающего пропорциональность скорости затухания деформаций ползучести ее дефициту, является функция . (8) Замечание. Полагая в функции , при получим Это соответствует наличию так называемой кратковременной ползучести, что противоречит инерционной природе запаздывающих деформаций ползучести. Вместе с тем соотношение коррелирует с экспериментально наблюдаемым начальным всплеском кривой ползучести, рассматриваемым как следствие быстро натекающей ползучести. В [4; 5] для стареющего бетона по аналогии с уравнением Больцмана - Вольтерра предлагается линейное реологическое уравнение . (9) А.А. Гвоздев, принимая линейную зависимость для мгновенной деформации , полагал, что ползучесть состоит из линейной части и нелинейной части , порожденной структурными повреждениями [2]. В.М. Бондаренко, наряду с деформацией ползучести , полагал нелинейной зависимость и мгновенной деформации от и вывел нелинейное реологические уравнение [1] , (10) где и - нелинейные функции напряжений, порождающие мгновенные и запаздывающие деформации соответственно. В [6; 7] на основе концепции прочностной структуры бетона получена модификация принципа суперпозиции Л. Больцмана и выведено нелинейное реологическое уравнение с единой для мгновенных и запаздывающих деформаций функцией напряжений . Согласно концепции прочностной структуры величина представляет напряжение , способных к силовому сопротивлению фракций бетонного элемента, названного в [6] структурным. При этом , является нелинейной функцией уровня напряжений и выводится нелинейное реологическое уравнение [7-9] . (11) При допущении равенств и уравнение (10) приводится к виду . (12) В приложениях удобна квазилинейная форма нелинейных уравнений, означающая представление деформации как произведение порожденной напряжением деформации на множитель квазилинейности : . (13) Из равенств (12) и (13) явствует, что есть решение уравнения . (14) В [10; 11] полагают , , . Параметры и определяют согласно (14) при и , и предъявляют равенство (15) как квазилинейное представление нелинейного уравнения (12), где - временный линейный модуль деформаций. Функция является грубой аппроксимацией решения уравнения (14), и равенство (15) не выражает квазилинейное представление уравнения (12). Таким образом, возникает задача корректного квазилинейного представления уравнений (11) и (12). Уравнение (9) в [4; 5] выводится по приведенной выше схеме наложением деформаций . При этом не учитывается прочность бетона в момент приложения напряжения , что приводит к некорректному ядру ползучести в [12; 13]. Задача уточнения известных уравнений модификацией принципа суперпозиции Л. Больцмана реализуется в контексте. Замечание. Нелинейные относительно уравнения состояния бетона являются линейными относительно , и в релаксационных задачах нахождение осуществляется известными методами, а напряжение определяется решением уравнения [14; 15]. Идентичность функций старения меры ползучести и модуля упругости позволяет сведение интегрального уравнения состояния к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами относительно деформации . Решение этого уравнения определяет . 2. Линейные реологические уравнения состояния Физико-механические процессы влекут изменение показателей прочности , упругости и меры ползучести . На основе экспериментальных данных [16] выявлена общность функций старения этих показателей и установлено равенство [17] . (16) При постоянном на интервале напряжении , или , , (17) и согласно (11) , (18) где - уровень напряжений, - приведенное к моменту его приложения[I2] напряжение, . Приращение уровня напряжений порождает приращение деформаций ползучести . (19) Полагая в линейной постановке зависимость приращения лишь от величины и его длительности, получим аналогичное (19) равенство , (20) а переходя к пределу: . (21) Поскольку , то . (22) Интегрируя первый интеграл по частям, получим . (23) Учитывая, что и уравнение (22), имеем , а, добавляя начальную деформацию, получим . (24) Сумма представляет собой линейное реологическое уравнение состояния бетона наследственной теории старения. Таким образом, . (25) Замечание. Для меры ползучести уравнение (9) представлено в виде[I3] . (26) Различие уравнений (9) и (25) возникает из-за учета при выводе уравнения (25) не только величины приращения напряжения , но и прочности в момент его приложения. Этот учет реализуется при наложении частичных приращений деформации ползучести согласно равенству (19), выражающему модификацию принципа суперпозиции Л. Больцмана [3]. Замечание. Для старого бетона величина и допустимо пренебречь последним слагаемым в уравнении (26). Наряду с применением принципа наложения частичных приращений деформаций ползучести величину можно определить путем интегрирования полного дифференциала [14] (27) функции . Поскольку , с учетом (8) в результате получим и добавлением деформаций и , приходим к уравнению (25). Замечание. Предлагаемый способ представляет другой подход для вывода уравнения состояния (25) и формально реализует принцип наложения частичных деформаций и с учетом эволюции модуля упругости и прочности . Замечание. Представлением деформаций в виде вводится мера ползучести , не учитывающая эволюцию модуля упругости . Это обстоятельство влечет следующее соотношение между мерами ползучести и : . (28) Согласно (28) уравнение (9) приобретает вид . (29) Неизбежно возникающее при подстановке соотношения (28) в уравнение (9) слагаемое в работе [12] ошибочно объявлено лишним, что послужило поводом для заявления «Принцип наложения как основополагающая ошибка в теории ползучести…» [13]. 3. Нелинейные реологические уравнения состояния Согласно двухкомпонентной ползучести по А.А. Гвоздеву [2] при одноосном напряженном состоянии , (30) где - нелинейная функция напряжений, - функция от суммарной длительности напряжений к моменту . В [4] для нелинейной теории предлагается уравнение . (31) Нелинейное реологическое уравнение состояния бетона впервые вывел В.М. Бондаренко [1]. Представленные в (10) функции и в виде и преобразуют уравнение (10) в форму . (32) В отличие от традиционного подхода бетон рассматривается как объединение твердых фракций (зерен), соединенных упругими связями - цементными волокнами со статистически распределенными прочностями. Концепция прочностной структуры позволяет обосновать принцип наложения деформаций в нелинейной постановке [6; 7]. Структурные повреждения при неубывающем нагружении порождают перераспределение напряжений с разрушенных связей на способные к силовому сопротивлению целые связи, увеличивая их расчетное напряжение (33) до так называемого структурного напряжения , (34) где - площадь нормального сечения целых (рабочих) в момент времени связей и фракций. Согласно (33) и (34) . (35) Функция определяет меру увеличения расчетного напряжения до структурного в процессе постепенного разрушения части связей. Поскольку разрушение каждой связи в момент зависит от ее прочности в этот момент, следовательно, мера является функцией от уровня напряжений . Например, по П.И. Васильеву [18]: , (36) где и - эмпирические коэффициенты. Перераспределение напряжений влечет нелинейную зависимость деформаций от напряжений и взаимозависимость частичных приращений деформации ползучести [6], ибо эффект каждого догружения определяется площадью рабочих фракций , зависящей от всех предшествующих догружений , . Реологическое уравнение описывает напряженно-деформированное состояние целых на промежутке связей и фракций, объединение которых образует рабочую часть бетонного элемента . Приращение не разрушает связи и фракции , и именно это влечет независимость приращений деформаций ползучести в момент : (37) от остальных приращений в момент , а потому . (38) Соотношение (38) является аналогом принципа наложения Л. Больцмана в нелинейной постановке и приводит к уравнениям состояния для нестареющего бетона (39) или . (40) По аналогии с линейной постановкой получим нелинейное уравнение состояния для стареющего бетона: . (41) Расчетная модель структуры бетона в статистической теории прочности представляется набором зерен, соединенных неравновесными связями, прочность которых является случайной величиной. Эта модель восходит к Вейбулу [19] и развита в [20; 21]. Гипотеза, что в процессе нагружения связи деформируются линейно с одинаковым модулем упругости, приводит к линейной диаграмме . Экспериментальные диаграммы, для построения которых используются напряжения , не зависящие от площади рабочих связей , получаются нелинейными. По концепции прочностной структуры бетона зависимость и является линейной и отношение на диаграмме изображается прямой, названной в [22; 23] фиктивной диаграммой. Замечание. С позиции прочностной структуры бетона эта прямая представляет графическую интерпретацию деформирования целых на отрезке связей при неубывающем нагружении. Замечание. При разгружении работают лишь целые связи и экспериментально построенный параллельный фиктивной (согласно [22; 23]) диаграмме отрезок подтверждает линейную зависимость от . 4. Квазилинейные представления уравнений состояния Согласно равенствам и уравнения (25) и (41) представлены в виде , (42) . (43) Введем величины и [I4] , представляющие собой линейные и нелинейные податливости соответственно. Тогда на основании уравнений (42) и (43) получим временные упругопластические модули в линейной и нелинейной поставках: , (44) . (45) Уравнению (25), представленному в виде (46) соответствует временный линейный модуль , (47) а в нелинейной постановке - временный модуль . (48) Согласно (43) и (45) при суперпозиции по приращениям уровня напряжений , (49) а при суперпозиции по приращениям напряжений . (50) Представления деформации в нелинейной постановке , (51) (52) с соответствующими функциями квазилинейности и называются квазилинейными. При постоянном на отрезке напряжении , , (53) а при неубывающем эти функции определяются из равенств , . (54) Согласно (54) и равенствам (42)-(45) , . (55) При неубывающем напряжении имеем , а потому и . Аналогично получим и с учетом (55) , . (56) Согласно представление в виде , (57) предъявляемое как квазилинейное, получается из квазилинейного (58) заменой на , что в силу (55) эквивалентно замене на . Равенством (57) согласно (55) дается оценка величины сверху. Замечание. При равенство (57) при напряжениях , близких к , является аппроксимацией квазилинейного представления. Идея квазилинейного представления деформации для согласования уравнений с экспериментальными данными принадлежит Ю.Н. Работнову [24], предложившему для нестареющего бетона , уравнение . (59) Замечание. В [24] принимается одинаковость функций нелинейности напряжений и . Это коррелирует с прочностной структурой бетона, согласно которой функции напряжений и представляют структурное напряжение . Из и следует , а потому . В [1] функции и принимаются в форме [18]: , (60) , (61) где , , , - эмпирические коэффициенты. Принятие в равенстве функции в аналогичной форме (по П.И. Ва-сильеву [18]) естественно, ибо и соответствующая при напряжениях целым фракциям площадь определяется условием , что эквивалентно . При постоянном на отрезке времени напряжении , согласно [1] . (62) Полагая, что постоянное на напряжение порождает такую же деформацию, получим . (63) Согласно уравнениям (62) и (63) и . (64) Из равенств (60), (61), (36) и (64) при получим , (65) . (66) При некотором имеем , , и . (67) Замечание. Определенная по заданным функциям и функция не обеспечивает квазилинейное представление при . Кроме того, не исключено, что наблюдаемое различие и , и в уравнениях (60) и (61) принадлежит диапазону погрешностей измерений. Согласно (59) имеет место равенство . (68) При , где (с учетом и ) определяется вторым из равенств (55), получим квазилинейное представление . (69) Для реологического уравнения состояния бетона [1] . (70) и квазилинейное представление (71) при кратковременном нагружении, полагая , , , , согласно (71) получим функцию , (72) описывающую диаграмму (включая ниспадающую ветвь) в форме В.М. Бондаренко [1]. При имеем и , а потому , . (73) Величины и являются уровнями напряжений и деформаций, а равенство (74) представляет уравнение состояния бетона, описываемое в параметрах и . При диаграмма получается в виде [25], а параметрическое уравнение . (75) Если диаграмма задается согласно [26], то соответствующее параметрическое уравнение имеет вид . (76) Зависимость на плоскости в координатах изображается графиком функции . Длительное нагружение описывается функцией , которой отвечает поверхность в координатах . Ее пересечением с плоскостью (параллельной плоскости ) является кривая , по которой, с учетом того, что и , строится кривая на плоскости . Эта кривая описывает диаграмму , а соответствующая функция представляет собой параметрическое уравнение состояния. Таким образом, параметры и для неравновесного процесса деформирования являются аналогами параметров и для равновесных механических систем. Замечание. Структура параметрического уравнения, определяемая функцией , не зависит от режима нагружения. Это позволяет по найденным при кратковременном нагружении значениям и определить параметры и длительного нагружения. Параметрическое уравнение (74) при условии идентичности и вывел В.Г. Назаренко, рассматривая состояние бетона как состояние неравновесной термодинамической системы [27]. Параметры и , характеризующие прочностные и деформационные свойства бетона, связываются с помощью его удельной энергии целостности [28]. Величина является максимальным энергетическим ресурсом сопротивления деформированию единицы объема бетона и представляется площадью, ограниченной полной диаграммой фигуры. Адаптация теории ползучести к методу конечных элементов при формулировке уравнений ползучести в приращениях выполнена в монографии [29]. 5. Заключение В результате проведенного исследования авторами сделан ряд выводов. 1. Наложением частичных приращений деформаций, порожденных последовательными приращениями уровня напряжений, выведены уравнения механического состояния бетона. Учет прочности бетона в моменты приложения нагружения уточняет его известные уравнения состояния в линейной и нелинейной постановке. 2. Общий для мгновенных и запаздывающих деформаций множитель нелинейности напряжений превышает множитель квазилинейности, умножением на который линейной части деформации получается ее квазилинейное представление. Делением нелинейной деформации на эти множители выделяются соответственно обратимая и линейная ее части. 3. Обратимые деформации реализуются целыми до момента начала разгружения связями за счет накопленного ими приращения потенциальной энергии при нагружении. Отсутствие в процессе разгружения перераспределения напряжений между этими связями влечет линейную зависимость напряжений от деформаций. Это обосновывает наблюдаемый в экспериментах факт, известный как признак Ясинского - Энгессера. 4. Отмеченная выше некорректность уравнений механического состояния бетона порождена не принципом наложения деформаций, а его реализацией по приращениям напряжений как для идеального бетона. Наложение деформаций по приращениям уровня напряжений приводит к корректным уравнениям состояния, что означает необоснованность заявлений об ошибочности принципа наложения. 5. Правомерность принципа наложения в теории ползучести бетона создает возможность применения этой теории в расчетах бетонных и железобетонных конструкций методом конечных элементов.

About the authors

Evgeny A. Larionov

RUDN University

Email: evgenylarionov39@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-4906-5919

Doctor of Technical Sciences, Professor of the Department of Construction Technology and Structural Materials, Engineering Academy

6 Miklukho-Maklaya St, Moscow, 117198, Russian Federation

Vladimir P. Agapov

RUDN University

Email: agapovpb@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-1749-5797
SPIN-code: 2422-0104

Doctor of Technical Sciences, Professor of the Department of Construction Technology and Structural Materials, Academy of Engineering

6 Miklukho-Maklaya St, Moscow, 117198, Russian Federation

Alexey S. Markovich

RUDN University; Moscow State University of Civil Engineering (National Research University)

Author for correspondence.
Email: markovich-as@rudn.ru
ORCID iD: 0000-0003-3967-2114
SPIN-code: 9203-1434

Doctor of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Construction Technology and Structural Materials, Academy of Engineering, RUDN University; Professor of the Department of Metal and Timber Structures, National Research Moscow State University of Civil Engineering

26 Yaroslavl Highway, Moscow, 129337, Russian Federation

Kurban R. Aidemirov

Daghestan State Technical University

Email: kyrayd@mail.ru
ORCID iD: 0009-0005-1474-4275
SPIN-code: 8167-4343

PhD, Associate Professor, Associate Professor of the Department of Building Structures and Hydraulic Structures

70, I. Shamily avenue, Makhachkala, 367026, Russian Federation

References

Supplementary files