Реологические уравнения состояния бетона

Полный текст

1. Введение Уравнения механического состояния значимы в теории бетона, и им посвящено большое количество работ, отраженных частично в [1; 2]. Эти уравнения представляют теоретические обоснования экспериментально выявленных при эталонных нагружениях феноменологических зависимостей. В неравновесном процессе силового деформирования существенную роль играет явление прироста деформации при постоянном напряжении, называемое ползучестью. Учет ползучести бетона, естественно, приводит к реологическим уравнениям состояния. Традиционный вывод этих уравнений использует принцип наложения деформаций и заключается в суммировании в некоторый момент частичных приращений деформаций ползучести, порожденных частичными приращениями напряжения в последовательные предыдущие моменты времени . В линейной теории ползучести идеального (нестареющего) бетона принцип наложения известен как принцип суперпозиции Л. Больцмана [3] - деформация определяется напряжением и его продолжительностью и не зависит от и при . Взаимонезависимость деформаций позволяет нахождение отвечающего приращению напряжения полного приращения деформации ползучести суперпозицией (наложением) : , (1) где - мера ползучести идеального бетона в момент при нагружении в момент . При постоянном модуле упругости приращению отвечает приращение мгновенной деформации: . (2) Согласно (1) и (2) получим равенство , (3) выражающее принцип наложения деформаций в наследственной теории ползучести Больцмана - Вольтерра. Предельный переход в (3) позволяет получить выражение . (4) Добавление к деформации приводит к уравнению , преобразующемуся к виду . (5) Для стареющего бетона принимается мера ползучести , , (6) где - функция старения; - предельная мера ползучести при суток; - функция накопления деформаций ползучести, причем , где , - эмпирический коэффициент. Зависимость функции от аргумента определяется природой запаздывающих деформаций ползучести. Решением дифференциального уравнения , (7) отражающего пропорциональность скорости затухания деформаций ползучести ее дефициту, является функция . (8) Замечание. Полагая в функции , при получим Это соответствует наличию так называемой кратковременной ползучести, что противоречит инерционной природе запаздывающих деформаций ползучести. Вместе с тем соотношение коррелирует с экспериментально наблюдаемым начальным всплеском кривой ползучести, рассматриваемым как следствие быстро натекающей ползучести. В [4; 5] для стареющего бетона по аналогии с уравнением Больцмана - Вольтерра предлагается линейное реологическое уравнение . (9) А.А. Гвоздев, принимая линейную зависимость для мгновенной деформации , полагал, что ползучесть состоит из линейной части и нелинейной части , порожденной структурными повреждениями [2]. В.М. Бондаренко, наряду с деформацией ползучести , полагал нелинейной зависимость и мгновенной деформации от и вывел нелинейное реологические уравнение [1] , (10) где и - нелинейные функции напряжений, порождающие мгновенные и запаздывающие деформации соответственно. В [6; 7] на основе концепции прочностной структуры бетона получена модификация принципа суперпозиции Л. Больцмана и выведено нелинейное реологическое уравнение с единой для мгновенных и запаздывающих деформаций функцией напряжений . Согласно концепции прочностной структуры величина представляет напряжение , способных к силовому сопротивлению фракций бетонного элемента, названного в [6] структурным. При этом , является нелинейной функцией уровня напряжений и выводится нелинейное реологическое уравнение [7-9] . (11) При допущении равенств и уравнение (10) приводится к виду . (12) В приложениях удобна квазилинейная форма нелинейных уравнений, означающая представление деформации как произведение порожденной напряжением деформации на множитель квазилинейности : . (13) Из равенств (12) и (13) явствует, что есть решение уравнения . (14) В [10; 11] полагают , , . Параметры и определяют согласно (14) при и , и предъявляют равенство (15) как квазилинейное представление нелинейного уравнения (12), где - временный линейный модуль деформаций. Функция является грубой аппроксимацией решения уравнения (14), и равенство (15) не выражает квазилинейное представление уравнения (12). Таким образом, возникает задача корректного квазилинейного представления уравнений (11) и (12). Уравнение (9) в [4; 5] выводится по приведенной выше схеме наложением деформаций . При этом не учитывается прочность бетона в момент приложения напряжения , что приводит к некорректному ядру ползучести в [12; 13]. Задача уточнения известных уравнений модификацией принципа суперпозиции Л. Больцмана реализуется в контексте. Замечание. Нелинейные относительно уравнения состояния бетона являются линейными относительно , и в релаксационных задачах нахождение осуществляется известными методами, а напряжение определяется решением уравнения [14; 15]. Идентичность функций старения меры ползучести и модуля упругости позволяет сведение интегрального уравнения состояния к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами относительно деформации . Решение этого уравнения определяет . 2. Линейные реологические уравнения состояния Физико-механические процессы влекут изменение показателей прочности , упругости и меры ползучести . На основе экспериментальных данных [16] выявлена общность функций старения этих показателей и установлено равенство [17] . (16) При постоянном на интервале напряжении , или , , (17) и согласно (11) , (18) где - уровень напряжений, - приведенное к моменту его приложения[I2] напряжение, . Приращение уровня напряжений порождает приращение деформаций ползучести . (19) Полагая в линейной постановке зависимость приращения лишь от величины и его длительности, получим аналогичное (19) равенство , (20) а переходя к пределу: . (21) Поскольку , то . (22) Интегрируя первый интеграл по частям, получим . (23) Учитывая, что и уравнение (22), имеем , а, добавляя начальную деформацию, получим . (24) Сумма представляет собой линейное реологическое уравнение состояния бетона наследственной теории старения. Таким образом, . (25) Замечание. Для меры ползучести уравнение (9) представлено в виде[I3] . (26) Различие уравнений (9) и (25) возникает из-за учета при выводе уравнения (25) не только величины приращения напряжения , но и прочности в момент его приложения. Этот учет реализуется при наложении частичных приращений деформации ползучести согласно равенству (19), выражающему модификацию принципа суперпозиции Л. Больцмана [3]. Замечание. Для старого бетона величина и допустимо пренебречь последним слагаемым в уравнении (26). Наряду с применением принципа наложения частичных приращений деформаций ползучести величину можно определить путем интегрирования полного дифференциала [14] (27) функции . Поскольку , с учетом (8) в результате получим и добавлением деформаций и , приходим к уравнению (25). Замечание. Предлагаемый способ представляет другой подход для вывода уравнения состояния (25) и формально реализует принцип наложения частичных деформаций и с учетом эволюции модуля упругости и прочности . Замечание. Представлением деформаций в виде вводится мера ползучести , не учитывающая эволюцию модуля упругости . Это обстоятельство влечет следующее соотношение между мерами ползучести и : . (28) Согласно (28) уравнение (9) приобретает вид . (29) Неизбежно возникающее при подстановке соотношения (28) в уравнение (9) слагаемое в работе [12] ошибочно объявлено лишним, что послужило поводом для заявления «Принцип наложения как основополагающая ошибка в теории ползучести…» [13]. 3. Нелинейные реологические уравнения состояния Согласно двухкомпонентной ползучести по А.А. Гвоздеву [2] при одноосном напряженном состоянии , (30) где - нелинейная функция напряжений, - функция от суммарной длительности напряжений к моменту . В [4] для нелинейной теории предлагается уравнение . (31) Нелинейное реологическое уравнение состояния бетона впервые вывел В.М. Бондаренко [1]. Представленные в (10) функции и в виде и преобразуют уравнение (10) в форму . (32) В отличие от традиционного подхода бетон рассматривается как объединение твердых фракций (зерен), соединенных упругими связями - цементными волокнами со статистически распределенными прочностями. Концепция прочностной структуры позволяет обосновать принцип наложения деформаций в нелинейной постановке [6; 7]. Структурные повреждения при неубывающем нагружении порождают перераспределение напряжений с разрушенных связей на способные к силовому сопротивлению целые связи, увеличивая их расчетное напряжение (33) до так называемого структурного напряжения , (34) где - площадь нормального сечения целых (рабочих) в момент времени связей и фракций. Согласно (33) и (34) . (35) Функция определяет меру увеличения расчетного напряжения до структурного в процессе постепенного разрушения части связей. Поскольку разрушение каждой связи в момент зависит от ее прочности в этот момент, следовательно, мера является функцией от уровня напряжений . Например, по П.И. Васильеву [18]: , (36) где и - эмпирические коэффициенты. Перераспределение напряжений влечет нелинейную зависимость деформаций от напряжений и взаимозависимость частичных приращений деформации ползучести [6], ибо эффект каждого догружения определяется площадью рабочих фракций , зависящей от всех предшествующих догружений , . Реологическое уравнение описывает напряженно-деформированное состояние целых на промежутке связей и фракций, объединение которых образует рабочую часть бетонного элемента . Приращение не разрушает связи и фракции , и именно это влечет независимость приращений деформаций ползучести в момент : (37) от остальных приращений в момент , а потому . (38) Соотношение (38) является аналогом принципа наложения Л. Больцмана в нелинейной постановке и приводит к уравнениям состояния для нестареющего бетона (39) или . (40) По аналогии с линейной постановкой получим нелинейное уравнение состояния для стареющего бетона: . (41) Расчетная модель структуры бетона в статистической теории прочности представляется набором зерен, соединенных неравновесными связями, прочность которых является случайной величиной. Эта модель восходит к Вейбулу [19] и развита в [20; 21]. Гипотеза, что в процессе нагружения связи деформируются линейно с одинаковым модулем упругости, приводит к линейной диаграмме . Экспериментальные диаграммы, для построения которых используются напряжения , не зависящие от площади рабочих связей , получаются нелинейными. По концепции прочностной структуры бетона зависимость и является линейной и отношение на диаграмме изображается прямой, названной в [22; 23] фиктивной диаграммой. Замечание. С позиции прочностной структуры бетона эта прямая представляет графическую интерпретацию деформирования целых на отрезке связей при неубывающем нагружении. Замечание. При разгружении работают лишь целые связи и экспериментально построенный параллельный фиктивной (согласно [22; 23]) диаграмме отрезок подтверждает линейную зависимость от . 4. Квазилинейные представления уравнений состояния Согласно равенствам и уравнения (25) и (41) представлены в виде , (42) . (43) Введем величины и [I4] , представляющие собой линейные и нелинейные податливости соответственно. Тогда на основании уравнений (42) и (43) получим временные упругопластические модули в линейной и нелинейной поставках: , (44) . (45) Уравнению (25), представленному в виде (46) соответствует временный линейный модуль , (47) а в нелинейной постановке - временный модуль . (48) Согласно (43) и (45) при суперпозиции по приращениям уровня напряжений , (49) а при суперпозиции по приращениям напряжений . (50) Представления деформации в нелинейной постановке , (51) (52) с соответствующими функциями квазилинейности и называются квазилинейными. При постоянном на отрезке напряжении , , (53) а при неубывающем эти функции определяются из равенств , . (54) Согласно (54) и равенствам (42)-(45) , . (55) При неубывающем напряжении имеем , а потому и . Аналогично получим и с учетом (55) , . (56) Согласно представление в виде , (57) предъявляемое как квазилинейное, получается из квазилинейного (58) заменой на , что в силу (55) эквивалентно замене на . Равенством (57) согласно (55) дается оценка величины сверху. Замечание. При равенство (57) при напряжениях , близких к , является аппроксимацией квазилинейного представления. Идея квазилинейного представления деформации для согласования уравнений с экспериментальными данными принадлежит Ю.Н. Работнову [24], предложившему для нестареющего бетона , уравнение . (59) Замечание. В [24] принимается одинаковость функций нелинейности напряжений и . Это коррелирует с прочностной структурой бетона, согласно которой функции напряжений и представляют структурное напряжение . Из и следует , а потому . В [1] функции и принимаются в форме [18]: , (60) , (61) где , , , - эмпирические коэффициенты. Принятие в равенстве функции в аналогичной форме (по П.И. Ва-сильеву [18]) естественно, ибо и соответствующая при напряжениях целым фракциям площадь определяется условием , что эквивалентно . При постоянном на отрезке времени напряжении , согласно [1] . (62) Полагая, что постоянное на напряжение порождает такую же деформацию, получим . (63) Согласно уравнениям (62) и (63) и . (64) Из равенств (60), (61), (36) и (64) при получим , (65) . (66) При некотором имеем , , и . (67) Замечание. Определенная по заданным функциям и функция не обеспечивает квазилинейное представление при . Кроме того, не исключено, что наблюдаемое различие и , и в уравнениях (60) и (61) принадлежит диапазону погрешностей измерений. Согласно (59) имеет место равенство . (68) При , где (с учетом и ) определяется вторым из равенств (55), получим квазилинейное представление . (69) Для реологического уравнения состояния бетона [1] . (70) и квазилинейное представление (71) при кратковременном нагружении, полагая , , , , согласно (71) получим функцию , (72) описывающую диаграмму (включая ниспадающую ветвь) в форме В.М. Бондаренко [1]. При имеем и , а потому , . (73) Величины и являются уровнями напряжений и деформаций, а равенство (74) представляет уравнение состояния бетона, описываемое в параметрах и . При диаграмма получается в виде [25], а параметрическое уравнение . (75) Если диаграмма задается согласно [26], то соответствующее параметрическое уравнение имеет вид . (76) Зависимость на плоскости в координатах изображается графиком функции . Длительное нагружение описывается функцией , которой отвечает поверхность в координатах . Ее пересечением с плоскостью (параллельной плоскости ) является кривая , по которой, с учетом того, что и , строится кривая на плоскости . Эта кривая описывает диаграмму , а соответствующая функция представляет собой параметрическое уравнение состояния. Таким образом, параметры и для неравновесного процесса деформирования являются аналогами параметров и для равновесных механических систем. Замечание. Структура параметрического уравнения, определяемая функцией , не зависит от режима нагружения. Это позволяет по найденным при кратковременном нагружении значениям и определить параметры и длительного нагружения. Параметрическое уравнение (74) при условии идентичности и вывел В.Г. Назаренко, рассматривая состояние бетона как состояние неравновесной термодинамической системы [27]. Параметры и , характеризующие прочностные и деформационные свойства бетона, связываются с помощью его удельной энергии целостности [28]. Величина является максимальным энергетическим ресурсом сопротивления деформированию единицы объема бетона и представляется площадью, ограниченной полной диаграммой фигуры. Адаптация теории ползучести к методу конечных элементов при формулировке уравнений ползучести в приращениях выполнена в монографии [29]. 5. Заключение В результате проведенного исследования авторами сделан ряд выводов. 1. Наложением частичных приращений деформаций, порожденных последовательными приращениями уровня напряжений, выведены уравнения механического состояния бетона. Учет прочности бетона в моменты приложения нагружения уточняет его известные уравнения состояния в линейной и нелинейной постановке. 2. Общий для мгновенных и запаздывающих деформаций множитель нелинейности напряжений превышает множитель квазилинейности, умножением на который линейной части деформации получается ее квазилинейное представление. Делением нелинейной деформации на эти множители выделяются соответственно обратимая и линейная ее части. 3. Обратимые деформации реализуются целыми до момента начала разгружения связями за счет накопленного ими приращения потенциальной энергии при нагружении. Отсутствие в процессе разгружения перераспределения напряжений между этими связями влечет линейную зависимость напряжений от деформаций. Это обосновывает наблюдаемый в экспериментах факт, известный как признак Ясинского - Энгессера. 4. Отмеченная выше некорректность уравнений механического состояния бетона порождена не принципом наложения деформаций, а его реализацией по приращениям напряжений как для идеального бетона. Наложение деформаций по приращениям уровня напряжений приводит к корректным уравнениям состояния, что означает необоснованность заявлений об ошибочности принципа наложения. 5. Правомерность принципа наложения в теории ползучести бетона создает возможность применения этой теории в расчетах бетонных и железобетонных конструкций методом конечных элементов.

Об авторах

Евгений Алексеевич Ларионов

Российский университет дружбы народов

Email: evgenylarionov39@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-4906-5919

доктор технических наук, профессор кафедры технологии строительства и конструкционных материалов, инженерная академия

Российская Федерация, 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6

Владимир Павлович Агапов

Российский университет дружбы народов

Email: agapovpb@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-1749-5797
SPIN-код: 2422-0104

доктор технических наук, профессор кафедры технологий строительства и конструкционных материалов, инженерная академия

Российская Федерация, 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6

Алексей Семенович Маркович

Российский университет дружбы народов; Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: markovich-as@rudn.ru
ORCID iD: 0000-0003-3967-2114
SPIN-код: 9203-1434

доктор технических наук, доцент кафедры технологий строительства и конструкционных материалов, инженерная академия, Российский университет дружбы народов; профессор кафедры металлических и деревянных конструкций, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет

Российская Федерация, 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6; Российская Федерация, 129337, г. Москва, Ярославское ш., д. 26

Курбан Рабаданович Айдемиров

Дагестанский государственный технический университет

Email: kyrayd@mail.ru
ORCID iD: 0009-0005-1474-4275
SPIN-код: 8167-4343

кандидат технических наук, доцент кафедры строительных конструкций и гидротехнических сооружений

Российская Федерация, 367026, г. Махачкала, пр. Имама Шамиля, д. 70

Список литературы

Дополнительные файлы